第九章多元函数微分法及其应用答案

第九章 多元函数微分法及其应用

一、填空题

1.若22(,)tan x f x y x y xy y =+-,则(,)f tx ty =222222tan (,)x t x t y t xy t f x y y

+-=.

2.若()0)x f y y =>,则()f x =.

3.函数arcsin

y z x =的定义域为{(,)|||10}y x y x x ≤≠且. 4. 1

sin 00lim(1)xy x y xy →→+=e .

5.若2xy z e yx =+,则

z y ∂=∂2xy xe x +. 6.若23(,)5f x y x y =,则(0,1)x f =3(0,1)10|0xy =.

7.若222ln(1)u x y z =+++,则du =

2222()xdx ydy zdz x y z ++++. 8.设y

x z e =,则dz =21y y x x y e dx e dy x x

-+. 9.已知sin()x z y e =+,而3y x =,则dz dx =23(3)cos()x x x e x e ++. 10. 已知2x y z e -=,而3sin ,x t y t ==,则

dz dt =3sin 22(cos 6).t t e t t -- 11.设)1ln(22y x z ++=,则===21y x dz 1233

dx dy +. 12. 设v u z 2=,而y x v y x u sin ,cos ==,则=∂∂x z 223cos sin x y y , =∂∂y z 322cos (cos 2sin )x y y y -. 13.若(,)z f x y =在区域D 上的两个混合偏导数22,z z x y y x

∂∂∂∂∂∂ 连续 ，则在D 上22z z x y y x

∂∂=∂∂∂∂. 14.函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微的 必要 条件是(,)z f x y =在点00(,)x y 处

的偏导数存在.(填“充分”、“必要”或“充分必要”)

15.函数(,)z f x y =在点00(,)x y 可微是(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续的 充分 条件. (填“充分”、“必要”或“充分必要”)

16．设23(,,)f x y z xy z =，其中(,)z z x y =是由方程22230x y z xyz ++-=所确定的隐函数，则(1,1,1)x f =2-.

二、选择题

1.二元函数221arcsin z x y

=+的定义域是( A ) （A ）22{(,)|14}x y x y ≤+≤; （B ）22{(,)|14}x y x y <+≤;

（C ）22{(,)|14}x y x y ≤+<; （D ）22{(,)|14}x y x y <+<.

2.设函数ln()z xy =,则

z x ∂=∂( C ) （A ）1y ; （B ）x y

; （C ）1x ; （D ）y x . 3.设函数2sin()z xy =,则z x

∂=∂( D ) （A ）2cos()xy xy ; （B ）2cos()xy xy -; （C ）22cos()y xy -; （D ）22cos()y xy .

4.设函数3xy z =,则z x

∂=∂( D ) （A ）3xy y ; （B ）3ln 3xy ; （C ）13xy xy -; （D ）3ln3xy y .

5.设函数1z xy =

,则z y ∂=∂( C ) （A ）21x y -; （B ）21x y ; （C ）2

1xy -; （D ）21xy . 6.设函数sin z xy =,则22z x

∂=∂( A ) （A ）2sin y xy -; （B ）2sin y xy ; （C ）2sin x xy -; （D ）2sin x xy .

7.设二元函数x y z x y

+=-,则dz =( B ) （A ）22()()xdx ydy x y --; （B ）22()()xdy ydx x y --; （C ）22()()ydy xdx x y --; （D ）22()()

ydx xdy x y --. 8.设函数()y f x =是由方程0y y xe x -+=确定,则dy dx

=( B )

（A ）1y y e xe -; （B ）11y y e xe --; （C ）11y y e xe -+; （D ）1y

y e xe

+. 9.设函数(,)z f x y =是由方程2320x y xyz +-=确定,则z x

∂=∂( B ) （A ）222x yz xyz +; （B ）222x yz xyz -; （C ）2232y xz xyz -; （D ）22

32y xz xyz

+. 10.若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处不连续，则( C )

（A ）00

lim (,)x x y y f x y →→必不存在； （B ）00(,)f x y 必不存在； （C ）(,)f x y 在点00(,)x y 必不可微；（D ）0000(,),(,)x y f x y f x y 必不存在.

11.考虑二元函数(,)f x y 的下面4 条性质：

①函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续；

②函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数连续；

③函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微；

④函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在.

则下面结论正确的是（ A ）

（A ）②⇒③⇒①；（B ）③⇒②⇒①；（C ）③⇒④⇒①； D ）③⇒①⇒④。

12.设函数2224222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

，则在(0,0)点处（ C ）

（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在；

（C ）不连续，偏导数存在； （D ）不连续，偏导数不存在。

三、是非题

1. 设2ln z x y =+，则

12z x x y

∂=+∂ （× ） 2. 若函数(,)z f x y =在00(,)P x y 处的两个偏导数00(,)x f x y 与00(,)y f x y 均存在，则该函数在P 点处一定连续 （ × ）

3. 函数(,)z f x y =在00(,)P x y 处一定有0000(,)(,)xy yx f x y f x y =. （ × ）

4.

函数22220(,)0,

0x y f x y x y +≠=+=⎩在点(0,0)处有(0,0)(0,0)0x y f f ==.（ √ ）

5.

函数z =在点(0,0)处连续，但在点(0,0)处的两个偏导数(0,0),(0,0)x y z z 均不存在。 （ √ ）