线性子空间直和证明的若干探讨2010.7.5

线性子空间直和证明的若干探讨

郭倩向虎周刘丹

华中农业大学理学院，武汉，湖北，430070

摘要：

线性空间是高等代数最基本的概念之一(见文献[1])，线性子空间是线性空间这一抽象概念所生发出的重要知识点，而线性子空间的直和是线性子空间之间的一种特殊运算，直和是一种要求更高的和，关于直和的证明有一道典型题目：证明()A A L +()

A A E L +-⊕n R =（n m R A ⨯∈,+A 为A 的广义逆）。本文将以此题为重点进行展开，通过数种不同证法的展示来探讨直和的证明,给出了一般直和的通用证法。

关键词：线性子空间；直和；证明

一、引言

线性代数是很多非数学类专业的公共基础课之一。线性代数是数学类专业的骨干基础课程，线性空间对很多数学知识有领导作用（侯维民教授）。线性代数是代数学中应用最广泛的部分之一,它对培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、解决实际问题的能力有重要的意义(文献[2])。线性代数的基本概念和理论在数学各分支中是一种“通用语言”,有着基础性的地位,在科学技术各领域中更有多方面的重要应用,是理工科大学生的必修课程(文献[3])。

线性空间是线性代数中的重要知识点，线性空间也是线性代数中最为抽象的概念。单个线性空间有自己的性质和运算法则，同时空间与空间之间相互嵌套，每个线性空间都有自己的子空间。空间与空间之间会产生新的定义和运算，如空间的和与交。空间的和与交的概念比线性空间的其他概念更为抽象，证明更加困难，只有掌握清楚了子空间的这些最为抽象的运算，才能对线性空间这一知识点有整体的把握。子空间的和，尤其是直和虽然概念抽象、证明困难，但仍然有规律可循。只要掌握了方法，便能得心应手，本文便致力于此。

研究线性空间直和问题的文章有很多，大多都是研究某种直和的具体模型，如直和与特殊矩阵、直和与线性变换、直和的分解定理、直和与哈密尔顿-凯莱公式等。本文主要研究研究线性空间直和的两种基本模型，对常见的直和问题做出归纳整理。本文模型一中的前三个等价条件在文献[1]中都可找到，故不详述。第四个等价条件在文献[4]和文献[5]中都有类似提到，本文给出了不同的证明方法。本文模型二中的第三种组合在文献[6]有提到，本文的证法与之类似，同时结合了典型例题。

本文的特点是归纳和整理出了线性空间直和常见的形式，同时结合了典型例题去探讨本文整理所的方法的具体应用。(本文只探讨两个子空间的直和，两个以上的子空间的直和可推广得来)

二、子空间直和概念的初步探讨(模型一)

定义：设1V ，2V 是线性子空间V 的子空间，如果和21V V +中的每个向量α的

分解式21ααα+=，i i V ∈α(i =1,2)，是唯一的，这个和就称为直和，记为21V V ⊕。(文献[1])

初步探讨：在前提条件：21V V V +=下，21V V V ⊕=的等价条件：

1：V 中每个向量α的分解式21ααα+=，i i V ∈α(i =1,2)是唯一的；

2：等式021=+αα，i i V ∈α)2,1(=i 只有在i α全为零向量时才成立；

3：{}021=V V ；

4：V 中存在一个向量α的分解式21ααα+=，i i V ∈α)2,1(=i 是唯一的。说明：充分必要条件1，2，3的证明见文献[1]

充分必要条件4的证明如下:

法Ⅰ：

先证必要性:由直和⇒条件4

由定义可知21V V +中每个向量α的分解式唯一，自然存在一个属于21V V +的向量的分解式唯一。

再证充分性:由条件4⇒直和

易知条件3⇔直和，故可由条件4⇒条件3⇒直和。

不妨证明“条件4⇒条件3”的逆否命题：若1V 2V {}0≠，则任意∈α(21V V +)的分解式必不唯一

假设

1V =L ),,,(121k ααα ，2V ),,,(221k L βββ =，),,,(321k L V V γγγ =则任

意∈α(21V V +)=)

,,,,,,,(212121k k L βββααα 必有

2

21111122112211k k k k k k k l l l l l l βββαααα++++++++++= 由1V 2V {}0≠可知3,,,21k γγγ 必不全为0.不妨假设1γ不为0，则

+++++=)(122111

1γααααn l l l k k )(1222112111γβββn l l l k k k k k -++++++ ()

,2,1 =n 易知

112211)(11V n l l l k k ∈++++γααα ,212211)(22111V n l l l k k k k k ∈-++++++γβββ .且随着n 的变化α的分解便不同，故可知任意向量∈α(21V V +)的分解式必不唯

一。

所以，“条件4⇒条件3”的逆否命题成立，故“条件4⇒条件3”成立，故原命题充分性可证。

法Ⅱ：

先证必要性：由直和⇒条件4

由定义可知21V V +中每个向量α的分解式唯一，自然存在一个属于21V V +的向量的分解式唯一。

再证充分性：由条件4⇒直和

易知条件2⇔直和，故可由条件4⇒条件2⇒直和。

不妨证明“条件4⇒条件2”的逆否命题：若0向量的分解式不唯一，则任意∈α(21V V +)的分解式必不唯一

假设

1V =L ),,,(121k ααα ，2V ),,,(221k L βββ =，则任意的向量

∈α(21V V +)=),,,,,,,(2

12121k k L βββααα 必有

2

21111122112211k k k k k k k l l l l l l βββαααα++++++++++= 由0向量的分解式不唯一可知，不妨假设存在0=0+0=21γγ+，(21,γγ不全为0，且2211,V V ∈∈γγ)，则

)()(22211122112

211111γβββγαααα+++++++++=+++k k k k k k k l l l l l l 故可知任意向量∈α(21V V +)的分解式必不唯一

所以，“条件4⇒条件2”的逆否命题成立，故“条件4⇒条件2”成立，故原命题充分性可证。

综上可以把初步探讨的结果整合一下：

①直和：和空间每个向量分解唯一⇔和空间存在一个向量分解唯一⇔和空间的0向量分解唯一。

②和空间的0向量分解唯一⇔{}021=V V 。

三、直和证明的新思路（模型二）

问题：

如果1V ,2V 是V 的线性子空间，怎样证明V V V =⊕21呢？需要什么条件呢？