高中数学复习学案(第73讲)数学归纳法人教版选修2

题目第一章概率与统计数学归纳法人教版选修2

高考要求

1掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程

2对数学归纳法的认识不断深化

3掌握数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明

知识点归纳

1归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般

2不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法

3完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法

完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法

4数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法

5数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立

6用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；

(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确

由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确

数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题: 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉

题型讲解

例1 比较2n与n2的大小（n∈N *）

分析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明

解：当n=1时，21＞12，

当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，

当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，

猜想：当n≥5时，2n＞n2

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=5时，25＞52成立

（2）假设n=k（k∈N *，k≥5）时2k＞k2，

那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k

＞k2+C0

k +C1

k

+C1-k

k

=k2+2k+1=（k+1）2

∴当n=k+1时，2n＞n2

由（1）（2）可知，对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立

综上，得当n =1或n ≥5时，2n ＞n 2；

当n =2，4时，2n =n 2；当n =3时，2n ＜n 2

点评：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩

另法：当n ≥5时，要证2n ＞n 2，也可直接用二项式定理证：

2n =（1+1）n =C 0n +C 1n +C 2n +…+C 2-n n +C 1-n n +C n

n

＞1+n +

2)1(-n n +2

)

1(-n n =1+n +n 2－n ＞n 2 例2 是否存在常数a 、b 、c 使等式1·（n 2－12）+2（n 2－22）+…+n （n 2－n 2）=an 4+bn 2+c 对一切正整数n 成立?证明你的结论

分析：先取n =1，2，3探求a 、b 、c 的值，然后用数学归纳法证明对一切n ∈N *，a 、b 、c 所确定的等式都成立

解：分别用n =1，2，3代入解方程组

1,4011643,4819180.

a a

b

c a b c b a b c c ⎧=⎪++=⎧⎪

⎪⎪

++=⇒=-⎨⎨

⎪⎪

++=⎩=⎪⎪⎩

下面用数学归纳法证明

（1）当n =1时，由上可知等式成立; （2）假设当n =k +1时，等式成立， 则当n =k +1时， 左边=1·［（k +1）2－12］+2［（k +1）2－22］+…+k ［（k +1）2－k 2］ +（k +1）［（k +1）2－（k +1）2］

=1·（k 2－12）+2（k 2－22）+…+k （k 2－k 2）+1·（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1）

=

41k 4+（－41

）k 2+（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1） =41（k +1）4－4

1

（k +1）2 ∴当n =k +1时，等式成立 由（1）（2）得等式对一切的n ∈N *均成立

点评：本题是探索性命题，它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力

例3 设a 0为常数，且a n =3n －

1－2a n －1（n ∈N *）

证明：n ≥1时，a n =

5

1[3n +（－1）n －

1·2n ］+（－1）n ·2n ·a 0 分析：给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证 证明：（1）当n =1时，

5

1

［3+2］－2a 0=1－2a 0，而a 1=30－2a 0=1－2a 0 ∴当n =1时，通项公式正确

（2）假设n =k （k ∈N *）时正确， 即a k =5

1［3k +（－1）k －

1·2k ］+（－1）k ·2k ·a 0， 那么

a k +1=3k －2a k =3k －52×3k +5

2

（－1）k ·2k +（－1）k +1·2k +1a 0 =53·3k +5

1

（－1）k ·2k +1+（－1）k +1·2k +1·a 0 =

5

1

［3k +1+（－1）k ·2k +1］+（－1）k +1·2k +1·a 0 ∴当n =k +1时，通项公式正确

由（1）（2）可知，对n ∈N *，a n =

5

1［3n +（－1）n －

1·2n ］+（－1）n ·2n ·a 0 点评：由n =k 正确⇒n =k +1时也正确是证明的关键 另法：也可用构造数列的方法求a n 解：∵a 0为常数，∴a 1=3－2a 0

由a n =3n －

1－2a n －1， 得n n a 33=－1

132--n n a +1，

即n n a 3=－32·113--n n a 3

1 ∴n n a 3－51=－32（113--n n a －5

1） ∴{

n

n a 3

－

51}是公比为－32

，首项为5

13230--a 的等比数列 ∴

n n

a 3－

51=（54－32a 0

）·（－3

2）n －1 ∴a n =（54－32a 0）·（－2）n －

1×3+51×3n

=5

1［3n +（－1）n －

1·2n ］+（－1）n ·2n ·a 0 点评：关键是转化成a n +1=ca n +d 型

例4 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由

解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得

f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36， 由此猜想m =36

下面用数学归纳法证明： （1）当n =1时，显然成立

（2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除， 即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;

当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k －

1－1），

由于3k －1－1是2的倍数，故18（3k －

1－1）能被36整除 这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除