初中数学 开放性试题及答案

开放性试题及答案

1、用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形.

(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE

外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.

(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 的方程01)1(2

=++--m x m x 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.

2、电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU 蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10.05cm 。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗）

E B A C B A M C D M 图3 图4 图1 图2 第21题图

3、在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的

方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？

4、如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A1B1C1D1.试问

怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，

且剩下图形的面积为原正方形面积的

9

5

，

请说明理由(写出证明及计算过程).

5、甲船在点O处发现乙船在北偏东600的B处以每小时a海里的速度向北航行，甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应以什么方向航行才能追上乙船。

A D

E

H

F

B C

G

（方案一）

A D

E

F

B C

（方案二）

第23题图

6、已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB上的点，过点E作CG⊥AB，F是直线CG上任意上点，连结AF交⊙O于D，连结DC、AC、AG。(1)探索AC、AD、AF、DC、FC间关系；(2)若CD＝12，AD＝16，AC＝24，你能求出图中其它哪些线段？

7. 已知：关于x的二次函数y＝(c－a)x2－22bx＋c＋a，其中a、b、c是一三角形的三边，

且∠C＝900，(1)求证：二次函数的图象与x轴必有两个不同的交点；(2)如果A(x1，0)、B(x2，0)是上述图象和x轴的两交点，且满足x12＋x22＝12，求a：b：c；(3)已知n为大于1的自然数，设二次函数图象的顶点为C，连接AC、BC，点A1，A2，……，A n－1，把AC分成n 等分，过各分点作x轴的平行线，分别交BC于B1，B2，……，B n－1，求线段A1B1，A2B2，……，A n－1 B n－1的和。(可用含n的式子来表示)（据题意可画出草图）

8、已知：如图，点A在y轴上，⊙A与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D(0，3)和点E(0，－1)，

（1）求经过B、E、C三点的二次函数的解析式；

（2）若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点P（s，t），与x轴交于点M，连结PA并延长与⊙A交于点Q，设Q点的纵坐标为y，求y关于t的函数关系式，并观察图形写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当y＝0时，求切线PM的解析式，并借助函数图象，求出（1）中抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围。

9、如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴。

(1)请画出：点A、B关于原点O的对称点A2 、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必

证明）；

(2)连结A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、

B1B2；

(3)设线段AB两端点的坐标分别为A（-2 ，4）、B（-4 ，2），连结（1）中A2B2 ，试问在

χ轴上是否存在点C ，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？或存在，求出点C的坐标（不

必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由。

x

10、周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发。设甲、乙两组行进同一段所用的时间之比为2∶3 。

(1)直接写出甲、乙两组行进速度之比；

(2)当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A 处，且A 处离山顶的路程尚有1.2千米。试问山脚离山顶的路程有多远？

(3)在题（2）所述内容（除最后的问句外）的基础上，设乙组从A 处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B 处与乙组相遇。请你先根据以上情景提出一个

相应的问题，再给予解答（要求：○

1问题的提出不得再增添其他条件；○2问题的解决必须利用上述情景提供的所有．．

已知条件）

答案：1、（1）如图

（2）由题可知AB ＝CD ＝AE ，又BC ＝BE ＝AB ＋AE

∴BC ＝2AB ， 即a b 2=

由题意知 a a 2,是方程01)1(2=++--m x m x 的两根

∴⎩

⎨⎧+=⋅-=+1212m a a m a a 消去a ，得 071322=--m m 解得 7=m 或2

1-=m 经检验：由于当21-

=m ，0232<-=+a a ，知21-=m 不符合题意，舍去. 7=m 符合题意.

∴81=+==m ab S 矩形

答：原矩形纸片的面积为8c m 2.

2、答案：可以切割出66个小正方形。

方法一：

（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 的圆内，如图中矩形ABCD 。

∵AB ＝1 BC ＝10

∴对角线2AC ＝100＋1＝101＜2

05.10

（2）我们在矩形ABCD 的上方和下方可以分别放入9个小正方形。