1.4.2正弦函数余弦函数的性质2(教学设计)
正弦函数余弦函数的性质教学设计
正弦函数余弦函数的性质教学设计教学设计题目：正弦函数和余弦函数的性质一、教学目标：1.理解正弦函数和余弦函数的定义和图像特点；2.掌握正弦函数和余弦函数的周期、振幅、相位等性质；3.能够利用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。
二、教学内容：1.正弦函数和余弦函数的定义和图像特点；2.正弦函数和余弦函数的周期、振幅、相位等性质；3.正弦函数和余弦函数在实际问题中的应用。
三、教学流程：【导入】（5分钟）1.利用实物或幻灯片展示一个周期性的物体（如钟摆、运动员腕表）；2.引导学生思考：你能观察出这个物体有哪些规律性的变化吗？3.引导学生回忆中学过的函数，提到是否有一些函数能够描述这种规律性的变化？【探究】（20分钟）1.引导学生尝试利用直尺、铅笔在纸上标出正弦函数和余弦函数的图像；2.让学生观察图像，找出正弦曲线和余弦曲线的相似之处和不同之处；3.分组讨论并总结正弦函数和余弦函数的定义和图像特点。
【归纳】（15分钟）1.教师引导学生对上述内容进行归纳总结，将正弦函数和余弦函数的定义和图像特点整理成导学笔记；2.教师对学生的总结进行点评，给予肯定和指导。
【深化】（15分钟）1.教师拿出钟表，让学生观察时针的运动；2.引导学生思考：时针的运动是否具有周期性？有什么规律性的变化？是否可以用函数来描述？3.通过时针的运动，引入正弦函数和余弦函数的周期概念。
【拓展】（20分钟）1.教师引导学生观察不同振幅、不同相位的正弦函数和余弦函数的图像；2.教师解释振幅和相位的概念，并给出具体的定义；3.引导学生思考振幅和相位对函数图像的影响。
【展示】（15分钟）1.教师运用课件或黑板展示正弦函数和余弦函数的定义和图像特点，以及周期、振幅、相位等性质；2.教师通过示例演示如何求解正弦函数和余弦函数的周期、振幅、相位等具体数值。
【练习】（30分钟）1.学生进行练习题的训练，巩固对于正弦函数和余弦函数性质的掌握；2.教师巡视指导，及时给予反馈和纠正。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第1课时) 优秀教学设计
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、 新课 讲解
1．周期函数定义：对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取 对于上述周
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
【课题】：正弦、余弦函数的性质（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
1．正弦函数的图象
2．余弦函数的图象
二、过程与方法
1．会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象
2．用诱导公式画出余弦函数的图象
3．会用“五点法”画出正、余弦函数的图象
三、情感态度与价值观
1．培养学生的数形结合思想
（3）∵
2
sin(
1 2
x
6
2 )
2
sin
1 2
(x
4 )
6
2
sin(
1 2
x
6
)
∴自变量
x
只要并且至少要增加到
x
4
，函数
y
2
sin(
1 的值才能重复出现，
所以，函数
y
2
sin(
1 2
x
6
)
，
x
R
的周期是
4
．
例 3 ： 下 列 三 角 函 数 的 周 期 ： ① y 3cos x ② y sin 2x （ 3 ）
y
2
sin(
人教版高中数学必修四《正弦函数余弦函数的性质》教学设计
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质2 教学设计一、教学目标知识目标：观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题。
能力目标：培养分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；增强自主探究的能力。
情感目标：学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力，享受成功的喜悦。
二、教材分析本节课是《数学必修4》的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的图像和周期性之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。
该内容共两课时，这里讲的是第二课时。
正弦、余弦函数的图像和性质是三角函数里的重点内容,也是高考热点考察的内容之一。
通过本节课的学习，不仅可以培养学生的观察能力，分析问题、解决问题的能力，而且渗透了数形结合、类比、分类讨论等重要的数学思想方法，为以后、为高考的学习打下基础。
三、教学重难点教学重点： 正弦函数、余弦函数的单调性、最值。
教学难点: 确定函数的单调区间，应该对单调性的应用进行多层次练习，在练习中掌握正弦、余弦函数的性质及应用。
四、教学过程 复习引入： （1）单调性：正弦曲线下面是正弦函数sin ()y x x R =∈图像的一部分：-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()sin ()y x x R =∈在)](22,22[Z k k k ∈++-ππππ上单调增，函数值从-1增加到1，在)](223,22[Z k k k ∈++ππππ上单调减，函数值从1减小到-1. 余弦曲线 cos ()y x x R =∈cos ()y x x R =∈在)](2,2[Z k k k ∈+-πππ上单调增，函数值从-1增加到1，在)](2,2[Z k k k ∈+πππ上单调减，函数值从1减小到-1.（2）最值：正弦函数R x x y ∈=,sin ①当且仅当Z k k x ∈+=,22ππ时,取得最大值1②当且仅当Z k k x ∈+-=,22ππ时,取得最小值1-余弦函数R x x y ∈=,cos①当且仅当Z k k x ∈=,2π时,取得最大值1 ②当且仅当Z k k x ∈+=,2ππ时,取得最小值1- 应用一： 正、余弦函数的最值问题例1.以下函数有最大、最小值吗？如果有，求出最大值、最小值，并写出取最大、最小值时的自变量 x 的集合.练习1.求函数y=-3sin2x 的最大最小值，并写出取最大最小值时自变量x 的集合 解：令2t x =，函数sin y t =max 3(1)3y =-⨯-=.4x k ππ=-+Rx x y ∈-=,sin 3)2(Rx x y ∈+=,1cos )1(此时 得：因此 此时x 的取值集合是同理此时x 的取值集合是 方法总结：对形如类型的函数求最值时，主要是利用三角函数的图象求解，在解题时注意函数的定义域。
正弦函数余弦函数的性质教学设计
1.4.2〔1〕正弦、余弦函数的性质(教学设计)教学目的：知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义； 能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。
德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重点：正、余弦函数的周期性教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：一、创设情境,导入新课：1．现实生活中的“周而复始〞现象：〔1〕今天是星期二，则过了七天是星期几.过了十四天呢.……〔2〕现在下午2点30，则每过24小时候是几点. 〔3〕路口的红绿灯〔贯穿法律意识〕2．数学中是否存在“周而复始〞现象，观察正〔余〕弦函数的图象总结规律正弦函数()sin f x x =性质如下： 〔观察图象〕 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2︒规律是：每隔2π重复出现一次〔或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现〕 3︒这个规律由诱导公式sin(2k π+*)=sin*可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π〔k Z ∈〕时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：〔1〕当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；––π2π2π-2π5ππ-2π-5π-Oxy 11-〔2〕对于定义域的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、师生互动，新课讲解：1．周期函数定义：对于函数f (*)，如果存在一个非零常数T ，使得当*取定义域的每一个值时，都有：f (*+T)=f (*)则函数f (*)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件-高一上学期数学人教A版必修4
此时x＝2kπ－
，k∈Z.
[0,2]
4．若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是________．
因为－1≤cos x≤1
要使cos x＝m－1有意义，须有－1≤m－1≤1，
所以0≤m≤2.
新知探究
[－1,1]
[－1,1]
思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，
n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，
你能确定m的最小值、n的最大值吗？
提示：由正弦函数和余弦函数的单调
性可知m＝ ，n＝π.
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
[例1]
正弦函数、余弦函数的单调性
(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则
a的取值范围是________．
思路点拨
确定a的范围 → y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数 → y＝
5
4
23
−
5
＜cos
＝cos
π
.
4
x在[0，π]上是减函数，
，
17
−
4
π
)
4
.
三角函数值大小比较的策略
解
题
策
略
1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转
化到
− ,
2 2
或
3
,
2 2
内；对于余弦函数来说，一般将两个
角转化到[－π，0]或[0，π]内.
2不同名的函数化为同名的函数.
所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．
[例3]
(2)已知函数f(x)＝asin
1.4.2(2)正弦_余弦函数的性质(奇偶性、单调性)上课用(全)
关键：借助y sin z的单调性。
1 思考：函数y sin( x ), x [2 ,2 ]的 2 3 单调递减区间。
小
结：
奇偶性 [ 单调性（单调区间）
+2k, +2k],kZ 单调递增 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ 单调递减 2 2
例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请 写出取最大值、最小值时的自变量x的集合， 并说出最大值、最小值分别是什么？
(1)y= cosx +1, x∈R
(2)y= –3sin2x, x∈R
例4 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1) sin( ) 与 sin( ) 18 10 解： 2 10 18 2 又 y=sinx 在[ , ] 上是增函数
正弦、余弦函数的奇偶性:
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…
2
…
0
1
…
2
…
正弦函数余弦函数的性质2(教学设计)
1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(教学设计)教学目的：知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性，最值，值域的求法；能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：正、余弦函数单调性和最值；教学难点：正、余弦函数单调性的理解与应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、复习回顾，导入新课：1、一般结论：函数sin()y A x b ωϕ=++及函数cos()y A x b ωϕ=++，x R ∈的周期2||T πω=2、y=sinx 为奇函数，图象关于原点对称；y=cosx 是偶函数，图象关于y 轴对称。
3、正弦函数y=sinx 每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数y=cosx 在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.4、正弦函数y=sinx 当x=22k ππ+时取最大值1，当x=322k ππ+时取最小值-1。
余弦函数y=cosx 当x=2k π时取最大值1，当x=2k ππ+最取最小值-1。
（以上k Z ∈） 二、师生互动，新课讲解：1、对称轴观察正、余弦函数的图形，可知（1）y=sinx 的对称轴为x=2ππ+k k ∈Z（2）y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z特别提示：当x 为对称轴时，三角函数达到最大（小）值。
2、对称中心观察正、余弦函数的图形，可知（1）y=sinx 的对称中心（,0)k π k ∈Z（2）y=cosx 的对称中心（,0)2k ππ+k ∈Z例1：写出函数x y 2sin 3=的对称轴；变式训练1：)4sin(π+=x y 的一条对称轴是（ C ）(A) x 轴， (B) y 轴， (C) 直线4π=x ， (D) 直线4π-=x例2：（课本P39例5）求函数y=sin()32π+x ,x ]2,2[ππ-∈的单调区间？变式训练2：求函数y= -sinx 的单调递增区间。
正弦函数余弦函数性质2教案
正弦函数余弦函数性质2教案教案：正弦函数余弦函数性质一、教学内容：正弦函数与余弦函数性质2二、教学目标：1.理解正弦函数与余弦函数的周期性；2.掌握正弦函数与余弦函数的奇偶性；3.运用正弦函数与余弦函数的性质解决具体问题。
三、教学重难点：1.正弦函数与余弦函数的周期性；2.正弦函数与余弦函数的奇偶性。
四、教学方法：1.讲解法；2.举例法；3.练习与讨论相结合。
五、教学准备：课本、教学课件、黑板、白板笔、多媒体设备。
六、教学过程：Step 1 理解正弦函数与余弦函数的周期性（15分钟）1.引导学生回顾正弦函数与余弦函数的图像，并解释周期的概念。
2.将周期性进行形象化的说明，告诉学生周期是指在一定的区间内，函数的图像会重复出现。
3.让学生观察正弦函数与余弦函数的图像，指出周期是2π，即在区间[0,2π)内，正弦函数和余弦函数的图像会重复出现。
Step 2 掌握正弦函数与余弦函数的奇偶性（20分钟）1.针对正弦函数与余弦函数的性质，引导学生回忆奇函数与偶函数的性质。
2.提出正弦函数的奇函数性质和余弦函数的偶函数性质，并用图像进行说明。
3.引导学生通过改变x的正负值来验证正弦函数和余弦函数的奇偶性。
Step 3 运用正弦函数与余弦函数的性质解决具体问题（25分钟）1.指导学生通过观察正弦函数与余弦函数的图像，得出一些结论。
例：sin(x + π/2) = cosx，sin(x - π/2) = - cosx2.引导学生应用这些结论解决具体问题。
例：已知正弦函数的一个周期为2π，求cos(x-π/2)的一个周期。
Step 4 练习与讨论（25分钟）1.分发练习题给学生进行独立解答。
2.教师巡视指导学生解题过程，并提供必要的帮助。
3.讨论答案，解析题目的解题方法和思路。
Step 5 总结与拓展（15分钟）1.总结正弦函数与余弦函数的性质，并强调正弦函数的奇函数性质、余弦函数的偶函数性质以及周期为2π。
2.提醒学生要注意在应用正弦函数与余弦函数的性质时，要根据题目考察的具体内容进行灵活运用。
《正弦函数余弦函数的性质》教学设计
《正弦函数余弦函数的性质》教学设计教学设计：正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1.知识与能力目标a.了解正弦函数和余弦函数的定义及其性质；b.掌握正弦函数和余弦函数的图像特点；c.理解正弦函数和余弦函数的周期性和对称性；d.熟练利用性质解决与正弦函数和余弦函数相关的问题。
2.过程与方法目标a.通过多种形式的讲解和演示，提高学生对正弦函数和余弦函数的概念的理解；b.引导学生进行小组合作和交流讨论，培养学生的合作学习意识和能力；c.鼓励学生进行思考和探究，培养学生的自主学习和问题解决能力；d.利用图像和实例帮助学生加深对正弦函数和余弦函数的理解。
【教学重点】正弦函数和余弦函数的定义及其性质。
【教学准备】教师：课堂教学设计、教学PPT、黑板、彩色粉笔、实物模型等。
学生：学习笔记、教材。
【教学过程】Step 1 导入与引入（10分钟）1.教师先介绍正弦函数和余弦函数的概念，并通过实际生活中的例子，比如海浪起伏、摆动等，引导学生了解正弦函数和余弦函数的特点和应用。
2.教师再通过黑板写出正弦函数和余弦函数的定义，引导学生思考函数的定义与图像的关系。
Step 2 讲解正弦函数和余弦函数的性质（15分钟）1.教师通过PPT或者黑板，讲解正弦函数和余弦函数的性质，如定义域、值域、周期、对称性等，并通过图像和实例加深学生的理解。
2.教师提问学生：正弦函数和余弦函数的定义域是什么？取值范围是什么？周期是多少？能否找到其他满足这些性质的函数？引导学生思考函数图像的特点。
Step 3 利用性质解决问题（15分钟）1.教师引导学生通过性质解决实际问题，比如：已知一个函数的定义域是[-π/2,π/2]，值域是[-1,1]，且函数是奇函数，能否确定这个函数是正弦函数？怎样确定？等。
2.教师安排学生小组活动，给出一些问题，要求学生根据性质解答，并交流讨论解题思路和方法。
Step 4 总结与拓展（10分钟）1.教师带领学生总结正弦函数和余弦函数的性质，并强调重点。
1.4.2正弦函数余弦函数的性质说课稿
∴该函数既是奇函数，又是偶函数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)∵函数 y＝x2，y＝cos x 的图象都关于 y 轴对称， 则 x2≠cos x 的解集关于原点对称， ∴函数定义域是一个关于原点对称的区间， 又 f(－x)＝－－xx22＋－ccooss －－xx＝xx22－＋ccooss xx＝f(x)， ∴该函数是偶函数． (3)由1co－s cxo－s 1x≥≥00，， 得 cos x＝1，故 f(x)＝0， ∴函数 f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1既是奇函数也是偶函数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
方法三：观察法(图象法)． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法 求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同 名同角三角函数，且函数的次数为 1.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法 (1)把 ωx＋φ 看成一个整体，由 2kπ－2π≤ωx＋φ≤2kπ＋2π(k∈Z) 解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由 2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ ＋32π(k∈Z)解出 x 的范围，所得区间即为减区间． (2)在求函数 y＝Asin (ωx＋φ)或 y＝Acos (ωx＋φ)的单调区间时， 当 ω<0 时，必须利用诱导公式转化成－ω>0 后再进行求解．
y∈[－1,1] 2π
y∈[－1,1] 2π
奇偶性
奇函数
偶函数
在[2kπ－π，2kπ]
单调性 在2kπ－2π，2kπ＋2π(k∈Z)上递增； (k∈Z) 上递增；
在2kπ＋2π，2kπ＋32π(k∈Z)上递减
正弦函数余弦函数性质2教案.doc
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质——单调性与最值【学习目标】1.通过图象理解正弦函数、余弦函数的单调性、最大值与最小值，体会数形结合方法；2.会求简单正弦函数、余弦函数的单调性、最大值与最小值。
【重点难点】重点:通过图象理解正弦函数、余弦函数的单调性、最值难点:正、余弦函数单调性的理解与应用【教学过程】一、复习旧知1.复习正弦、余弦函数的图象和性质（定义域、值域、周期、奇偶性）练习题：②函数y=2sin2x的定义域是，值域是②函数y＝sin(2x+ π3)的最小正周期是③函数y＝sin2x是 ( )A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数C．周期为π2的偶函数 D．周期为π2的奇函数2.复习函数的单调性定义函数的单调性反映了函数在区间上的一个走向。
增函数：减函数：3.观察正余弦函数的图象，探究其单调性二、讲授新课1、正弦函数的单调性在正弦函数的一个周期的区间[－π2，3π2]讨论它的单调性【结论】2、余弦函数的单调性【结论】3、正弦函数、余弦函数的最值：①观察正弦函数图象，可以容易发现正弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：当x=时，ymax =1, 当x= 时，ymin=－1②观察余弦函数图象，可以容易发现余弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：当x=时，ymax =1, 当x= 时，ymin=－1三、例题讲解➢例1：求使下列函数取得最大值、最小值时自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是多少？（1）y=cosx+1,x∈R（2）y=-3sin2x,x∈R变式训练1：函数y=2+sin（x+ π3）取得最大值时x 的集合为，最大值为【总结】➢例2：求函数的单调递增区间。
分析：采用代换法，利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间。
变式训练2：1.求函数的单调减区间。
2.求函数y=2cos(3x+π3)的单调递增区间。
【总结】四、巩固提高1．函数f(x)＝sin(2x－π4)在区间[0，π2]上的最小值为()A．－1 B．－22C．22D．02.函数＝2cos(2x－π3)的单调增区间是.3．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是()A．y＝sin(2x＋π2) B．y＝cos(2x＋π2) C．y＝sin(x＋π2) D．y＝cos(x＋π2)4.求函数y＝2cos(-x+π4)的单调递增区间.)42sin( 3π+=x y)3 2sin(π+=xy5.求函数y=－sin(2x －π3)的单调递减区间。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)[学习目标]1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小． 3．会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间． [知识链接]1．怎样求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期答 由诱导公式一知：对任意x ∈R ，都有A sin [(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)， 所以A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．由于x 至少要增加2π|ω|个单位，f (x )的函数值才会重复出现，因此，2π|ω|是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期．同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)也是周期函数，最小正周期也是2π|ω|.2．观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. [预习导引]正弦函数、余弦函数的性质：续表续表要点一 求正、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间，即求sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )， ∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 规律方法 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式． 跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ；(2)y ＝log cos x .解 (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.令u ＝x －π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，即2k π＋π2≤u ≤2k π＋32π(k ∈Z )， 亦即2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )． 亦即2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π(k ∈Z )，故函数y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π(k ∈Z )．(2)由cos x >0，得2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z . ∵12<1，∴函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间即为 u ＝cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )的递减区间，∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .故函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )． 要点二 正、余弦函数的单调性的应用例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°； (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°； 从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.规律方法 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪演练2 比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π；(2)cos 870°与sin 980°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， ∵0°<150°<170°<180°，∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°. 要点三 求正、余弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x的集合为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2 x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性． 跟踪演练3 求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x . 从而原式就是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，这个函数的最小正周期为2π4，即T ＝π2.当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2(k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2(k ∈Z )时，y max ＝2； 当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时，y min ＝－2.1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[－π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π解得π3≤x ≤43π.故选D. 2．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin 3>sin 2C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25πD ．sin 2>cos 1 答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.故选D.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π. ∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32.故选B.4．求函数y ＝f (x )＝sin 2 x －4sin x ＋5的值域． 解 设t ＝sin x ，则|t |≤1， f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1) g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2.开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间[－1,1]内． g (t )在[－1,1]上是单调递减的，∴g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2，即g(t)∈[2,10]．所以y＝f(x)的值域为[2,10]．1．求函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.一、基础达标1．若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么()A．sin α>sin βB．sin β>sin αC．sin α≥sin βD．sin α与sin β的大小不定答案D3．函数y＝2sin2x＋2cos x－3的最大值是()A ．－1B ．1C ．－12 D ．－5 答案 C解析 由题意，得y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝ －2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12. 4．对于下列四个命题：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4；③tan 138°＞tan 143°；④tan 40°＞sin 40°. 其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案 B5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A. 6．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.答案 34解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1，∴0≤ωx ≤ωπ3<π3. ∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 7．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2； (2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )． 整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )．二、能力提升8．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 答案 C解析 由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2为y ＝|sin x |的单调递增区间． 9．设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0＜x ＜π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值答案 B解析 因为sin x >0，分子分母同除以sin x 得：f (x )＝1＋a sin x ，因为a ＞0,0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，故选B.10．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________． 答案 sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.11．若函数y ＝a cos x ＋b (a ，b 为常数)的最大值为1，最小值为－7，求函数y ＝3＋ab sin x 的最值和最小正周期．解 ∵－1≤cos x ≤1，当a ＞0时，b －a ≤y ≤a ＋b∴{ b －a ＝－7a ＋b ＝1∴{ a ＝4b ＝－3.当a ＜0时，a ＋b ≤y ≤b －a ，∴{ b －a ＝1a ＋b ＝－7∴{ a ＝－4b ＝－3.当a ＝4，b ＝－3时，y ＝3－12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π； 当a ＝－4，b ＝－3时，y ＝3＋12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π.12．(2013·福建理改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，将函数f (x )图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象．求函数f (x )与g (x )的解析式．解 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，φ∈(0，π) 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝0，得φ＝π2，所以f (x )＝cos 2x 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin x .三、探究与创新13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )， 同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )． 令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在． 令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 这表明y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在⎣⎡⎦⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 奇偶性
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在下图中利用平移画出余弦曲线
观察图像填下列各空： 从函数图象看，正弦函数 y＝sin x 的图象关于 关于 对称；从诱导公式看，sin (－x)＝
对称，余弦函数 y＝cos x 的图象 ，cos(－x)＝ 均对一切 x∈R 函数．
恒成立．所以说，正弦函数是 R 上的
函数，余弦函数是 R 上的
【注意】判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求其定义域，看它是否关
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求值区间内． 训练 3 π π 5π 若 f(x)是以 为周期的奇函数，且 f 3＝1，求 f－ 6 的值． 2
【当堂训练】 3 1．函数 y＝sin(4x＋ π)的周期是( 2 A．2π B．π ) B．y＝sin 2x D．y＝cos(－4x) 1－sin x (2)f(x)＝ . 1＋sin x ) π C． 2பைடு நூலகம்π D． 4
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鸡西市第十九中学学案
2014 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
1.4.2 学习 目标 重点 难点
正弦函数、余弦函数的性质(二) 奇偶性
1．掌握函数 y＝sin x，y＝cos x 的奇偶性， 2．会判断简单三角函数的奇偶性． 正弦函数、余弦函数奇（偶）函数的图像特征
【奇函数】一般地，对于函数 f ( x) 的 定义域的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) ，那 么 f ( x) 就叫做奇函数．奇函数的图象关于 关于 例如： 对称,那么这个函数为奇函数. ； 对称.反过来,如果一个函数的图象
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于原点对称，一些函数的定义域比较容易观察，直接判断 f(－x)与 f(x)的关系即可；一 些复杂的函数要防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错. 例 1 判断下列函数的奇偶性． 1 π 1＋sin x－cos2x － x＋ ； (1)f(x)＝sin (2) f ( x ) ＝ lg(1 － sin x ) － lg(1 ＋ sin x ) ； (3) f ( x ) ＝ . 2 2 1＋sin x
高中数学_正弦函数余弦函数的性质(二)教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计板书设计学情分析授课对象学生来自于高一普通班学生,知识掌握水平一般，虽然对于函数性质的研究在高一必修一中已经研究了基本初等函数指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质.但对于三角函数性质的研究,学生掌握起来还是有些难度的.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质这一基本方法,也是数形结合的思想方法，学生基本能掌握但不能灵活应用. 由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质。
要注意引导学生用周期进行正确归纳。
效果分析根据本节课的特点，对函数奇偶性、单调性、最值的探究，以数形结合为主要抓手，通过观察图像，教师进行适当提示与点拨，引导学生进行自主探究，合作探究，总结规律，并能运用规律分析问题，解决问题。
通过本节课的学习，学生基本掌握了正弦函数、余弦函数奇偶性、单调性及单调区间和最值的求法，并会用函数单调性比较同名三角函数值的大小。
在教学中以引导启发为主，在学生观察比较的基础上，师生以问答的形式进行探讨，步步深入，完成本节课的教学任务，实现了“教师引导，学生探究，师生互动，和谐高效”的教学模式。
根据教育的直观性原则，使用了多媒体辅助教学手段，对于本节课起到了良好的效果。
课件的展示，使学生深刻理解所学知识点，大大提高了教学效果和课堂效率。
但对学生而言,还需要大量的练习进行巩固理解.教材分析《正弦函数、余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修四的内容，是正弦函数、余弦函数图像的继续，中学数学的重要内容之一，与研究函数周期性与奇偶性的方法一样，可以观察图像直观地得到函数的单调性与最值，不要求证明。
教学中要根据函数图像以及《教学1》中所给函数增减性定义进行描述。
具体的，可以选择一个恰当的区间（这个区间长为一个周期，且仅有一个增区间和一个减区间），对正弦函数在这个区间上的单调性进行描述，然后利用函数的周期性说明其他区间上的单调性。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教案数学教案
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质一、教学目标：1、 知识与技能（1）理解并掌握正弦函数、余弦函数的单调性、最大（小）值； （2）能熟练运用正弦函数、余弦函数的性质解题。
（3）能区别正、余弦函数之间的关系。
2、过程与方法通过正弦函数、余弦函数在R 上的图像，让学生探索出正弦函数、余弦函数的单调性、最大（小）值；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、 情感态度与价值观通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点重点: 正弦函数、余弦函数的单调性、最大（小）值。
难点: 正弦函数、余弦函数的单调性、最大（小）值的应用。
三、教学过程 （一）、复习回顾周期性：一般地，对于函数f （x ），如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f(x+T)= f(x)，那么函数f （x ）就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
奇偶性：正弦函数是奇函数 ，余弦函数是偶函数。
思考：函数的单调性的定义的是如何引入的？由图像的上升和下降判断函数的单调性，如果函数的图像在定义域的某个区间内是上升的，则说明函数在该区间内是增函数，如果函数的图像在定义域的某个区间内是下降的，则说明函数在该区间内是减函数。
（二）、新课讲授1、正弦函数、余弦函数的单调性在正弦函数一个周期上截取一段，观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈［－23,2ππ］的图像，从y ＝sin x ，x ∈［－23,2ππ］的图象以及表中可看出： 当x ∈［－2，2］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1. 当x ∈［2π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1.结合正弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.类似地，从y ＝cos x ，x ∈［－π，π］的图象上可看出： 余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 例4、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-18sin π与⎪⎭⎫⎝⎛-10sin π （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-523cos π与⎪⎭⎫⎝⎛-417cos π 分析：本例的两组都是正弦或余弦，只需将角用诱导公式化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可，还要注意判断又没有符号不同的情况。
必修四第一章《正弦函数余弦函数的性质》教学设计(王卫)
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质评1节.二、教学目标及解析目标：1、通过图象理解正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值和对称性，体会数形结合方法；2、会求简单正弦函数、余弦函数的周期、单调区间、最值等。
解析：1、目标1在于让学生体会到数形结合、归纳的数学思想，能独立归纳出的正弦函数、余弦函数的性质。
2、目标2在于让学生学会运用性质对简单正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值等的求解。
三、问题诊断分析本节课的教学中，学生可能出现如下几个问题：①函数周期性的定义是什么？②如何求出正弦函数、余弦函数的周期？③不理解正弦函数、余弦函数的单调区间？不能正确写出正弦函数、余弦函数的单调区间？学生出现这几个问题的原因是不理解正弦函数、余弦函数的本质，对函数的周期性、单调性理解不透彻。
学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。
解决这些问题的关键是结合图像变化趋势加以理解；结合定义，通过例题加以模仿。
在此过程中，需要学生感受归纳的数学思想，找出函数之间的共同点和规律，通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。
四、教学条件支持本节课的教学中需要用到几何画板和智能黑板，因为使用几何画板有利于展示函数的图像，能够给学生直观的认识。
五、教学过程1、自学问题1：周期函数的概念是什么？问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？问题3：正、余弦函数的最值与对称性分别是什么？2、互学导学问题1：周期函数的概念是什么？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，培养学生的归纳能力。
师生活动：学生思考并回答，教师指导。
小问题1：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？答：描点法（几何法、五点法），图象变换法。
并要求学生回忆哪五个关键点。
小问题2：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？答：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性等小问题3：正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.小问题4：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理论依据是什么？sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈小问题5：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx 称为周期函数，2k π为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？由inx k x s 2sin =+π）（知: 知:最小正周期是π2.小问题8：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？由x k x cos )2cos(=+π知: 正、余弦函数是周期函数，2k π（k ∈Z, k ≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x ∈R ; (2)y=sin2x,x ∈R ;(3)y=2sin(2x -6π),x ∈R .(1) 因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx ≠3cosx,所以π不是周期.(2) 教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期是2π,就是说,当u 增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.(3)因为2sin ［21(x+4π)-6π］=2sin ［(2x -6π)+2π］=2sin(2x -6π).所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π; (2)周期为π; (3)周期为4π.变式1、P36练习第2题.小问题9：周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，培养学生的归纳能力。
《正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)》示范课教学设计【高中数学】
《正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）》教学设计经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质．教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性、最值等性质．教学难点：正弦函数、余弦函数单调区间的求法．PPT课件．（一）新知探究问题1：对于一般的函数，我们一般要研究其哪些性质？观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格．预设的师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想象，完成上述表格，之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流．注意，在此环节，只是利用图象得出结论，下一环节才从代数的角度分析．在完成表格时，因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性，学生在猜想并写出单调区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑．对此，在学生展示交流过程中，教师可以通过如下追问促进学生的思考，帮助他们理解，并借助信息技术，引导学生进行直观想象．追问1：如何理解点（π，0）也是正弦函数y＝sin x的对称中心？如何理解直线x＝π2是正弦函数y＝sin x的对称轴？追问2：逐一列举正弦函数y＝sin x的单调递增区间，它们与区间[－π2，π2]之间有怎样的关系？预设答案：设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序．培养学生运用类比、对比的方法，并根据图象进行合理猜想，直观感知研究对象的意识和能力．问题2：教科书分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？ 预设的师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题． 预设答案：正弦、余弦函数选择的区间分别为[−π2，3π2]、[−π，π]，这两个区间距离原点最近，我们相对更熟悉一点．设计意图：引导学生阅读教科书，重视教科书，在直观感知的基础上系统、规范地认知函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性．例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．（1）y ＝cos x +1，x ∈R ； （2）y ＝－3sin 2x ，x ∈R ．追问：如何转化为你熟悉的函数求解？师生活动：学生先独立完成，之后就解题思路和结果进行展示交流，教师及时予以明确换元法及其重要作用．预设答案：解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．（1）使函数y ＝cos x +1，x ∈R 取得最大值的x 的集合 ，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝；使函数y ＝cos x +1，x ∈R 取得最小值的x 的集合 ，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π+π，k ∈Z ｝；函数y ＝cos x +1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．（2）令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使y ＝sin z ，z ∈R 取得最小值的z 的集合｛z ｜z ＝－2π＋2k π，k ∈Z ｝． 由2x ＝z ＝－2π＋2k π，得x ＝－4π＋k π．所以，y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝－4π＋k π，k ∈Z ｝． 同理，使函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是｛x ｜x ＝4π＋k π，k ∈Z ｝． 函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3．设计意图：巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用． 例2 不通过求值，比较下列各数的大小：（1）sin （－18π）与sin （－10π）； （2）cos （－5π23）与cos （－4π17）． 追问：比较大小的依据是什么？预设的师生活动：学生独立完成，教师进行指导．本例中，对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解．预设答案：解：（1）因为－2π＜－18π＜－10π＜0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－2π，0]上单调递增，所以sin （－18π）＜sin （－10π）．（2）cos （－5π23）=cos 5π23=cos 5π3，cos （－4π17）=cos 4π17=cos 4π， 且余弦函数在区间［0，π］上单调递减， 所以cos4π＞cos 5π3，即cos （－4π17）＞cos （－5π23）．你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试． 设计意图：初步应用函数的单调性解决比较大小的问题． 例3 求函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π21x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．追问：如何转化为熟悉的函数求解？师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解． 预设答案：通过换元转化为熟悉的函数单调性问题，然后求解． 令z ＝3π21+x ，x ∈[－2π，2π]，则z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，．因为y ＝sin z ，z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，的单调递增区间是z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2π2π，，且由2π-≤3π21+x ≤2π得3π5-≤x ≤3π，所以，函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π21x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3π3π5，．变式：求函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 213π，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．预设的师生活动：学生独立完成．对于变式问题，会有一部分学生出错，教师要引导学生将正确和错误解答进行对比分析．预设答案：令z ＝sinx 213π-，x ∈[－2π，2π]，则z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，．因为y ＝sin z ，z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，的单调递减区间是z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2ππ32，或⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π42π，，且由3π2-≤x 213π-≤2π-或2π≤x 213π-≤3π4得3π5≤x ≤2π或－2π≤x ≤3π，所以，函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 213π，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23π5，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3ππ2，． 设计意图：类比例3求解，进一步熟练换元转化的思想方法．通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．（二）归纳小结问题3：教师引导学生回顾本单元的学习内容，回答下面的问题：（1）正弦函数、余弦函数的图象是什么形状？它们具有什么性质？请结合一个具体的函数谈一谈．（2）对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的？又是如何研究它的性质的？余弦函数呢？（3）通过本节课的学习，你对正弦函数、余弦函数有了哪些新的认识？对于如何研究一个函数又有了哪些新的体会？设计意图：通过小结，复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数的理解．通过对本单元研究过程的总结，体会研究正弦函数、余弦函数性质的方法，进一步体会研究函数的一般思路和方法．（三）拓展研究问题4：三角函数的定义是利用单位圆给出的，你能利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质吗？请将你的研究方案和研究报告写下来．设计意图：让学生换一个角度认识正弦函数、余弦函数的性质，提升其理解的深刻性．同时开放学生的思维，通过探索发现提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力．（四）布置作业 教科书习题．。
正弦函数余弦函数的性质优秀教学设计
正弦函数余弦函数的性质优秀教学设计教学设计：正弦函数、余弦函数的性质教学目标：1.理解正弦函数、余弦函数的定义和性质。
2.掌握正弦函数、余弦函数的图像特征。
3.能够应用正弦函数、余弦函数解决实际问题。
教学内容：1.正弦函数和余弦函数的定义和性质。
2.正弦函数和余弦函数的图像特征。
3.正弦函数和余弦函数的应用。
教学步骤和教学方法：1.导入新知识（10分钟）-利用问题情境引入正弦函数和余弦函数的定义和性质，激发学生的兴趣。
-引导学生思考正弦函数和余弦函数的周期性、振幅和相位等特征。
-帮助学生建立正弦函数和余弦函数与三角形的关系，加深理解。
2.理解正弦函数和余弦函数的性质（30分钟）-通过示例和练习展示正弦函数和余弦函数的定义和性质，引导学生进行观察和思考。
-分组讨论，让学生自主总结正弦函数和余弦函数的周期、振幅和相位等特征。
-总结讨论结果，归纳出正弦函数和余弦函数的性质。
3.掌握正弦函数和余弦函数的图像特征（45分钟）-展示正弦函数和余弦函数的图像，帮助学生观察和分析。
-引导学生通过调整参数，观察正弦函数和余弦函数图像的变化规律，进一步理解特征。
-分组比较不同参数对图像的影响，总结出对图像的变化规律。
4.正弦函数和余弦函数的应用（35分钟）-指导学生如何利用正弦函数和余弦函数解决实际问题，如音乐、天文和工程等领域的应用。
-引导学生选择合适的模型，建立方程，求解实际问题。
-分组讨论不同应用情境下的解决方法和思路，分享成果。
5.小结和总结（10分钟）-对本节课的学习内容进行小结，并强调正弦函数和余弦函数的重要性和应用价值。
-引导学生回顾学习过程，总结所学知识和经验。
-群策群力，搜集问题和困惑，帮助学生解决疑惑，巩固所学内容。
教学资源和评价方式：1.教学资源：投影仪、教材、课件、练习题和实例参考。
2.评价方式：观察学生的参与程度、课堂表现和练习题答案。
同时，课后可以布置作业，检验学生对于正弦函数和余弦函数的理解和应用。
正弦函数余弦函数的性质教案
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。
【教学目标】1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。
教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。
心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。
但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。
【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。
2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
【课时安排】1课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复 习导入、展示目标。
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1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(教学设计)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性，最值，值域的求法；
能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学
习态度和勇于创新的精神。
教学重点：正、余弦函数单调性和最值；
教学难点：正、余弦函数单调性的理解与应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教学过程：
一、复习回顾，导入新课：
1、一般结论：函数sin()y A x b ωϕ=++及函数cos()y A x b ωϕ=++，x R ∈的周期2||T πω=
2、y=sinx 为奇函数，图象关于原点对称；y=cosx 是偶函数，图象关于y 轴对称。
3、正弦函数y=sinx 每一个闭区间［－
2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2
π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数y=cosx 在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.
4、正弦函数y=sinx 当x=22k ππ+时取最大值1，当x=
322
k ππ+时取最小值-1。
余弦函数y=cosx 当x=2k π时取最大值1，当x=2k ππ+最取最小值-1。
（以上k Z ∈） 二、师生互动，新课讲解：
1、对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
（1）y=sinx 的对称轴为x=2π
π+k k ∈Z
（2）y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z
特别提示：当x 为对称轴时，三角函数达到最大（小）值。
2、对称中心
观察正、余弦函数的图形，可知
（1）y=sinx 的对称中心（,0)k π k ∈Z
（2）y=cosx 的对称中心（,0)2k π
π+
k ∈Z
例1：写出函数x y 2sin 3=的对称轴；
变式训练1：)4sin(π
+=x y 的一条对称轴是（ C ）
(A) x 轴， (B) y 轴， (C) 直线4π=
x ， (D) 直线4π-=x
例2：（课本P39例5）求函数y=sin()32π
+x
,x ]2,2[ππ-∈的单调区间？
变式训练2：求函数y= -sinx 的单调递增区间。
例3：求函数y=1-cos 3x
的单调递减区间。
变式训练3：求函数y= 2-sin2x 的单调递增区间。
例4：(tb0135503)求下列函数的单调区间，并求出它们的最值：
(1) y=sin(3x-3π
)；(2) y= -2cos(2x+3π
)
变式训练4：求函数y=sin （-2x ）的单调递增区间。
例5：作出下列函数的图象，若是周期函数，请写出它的周期
（1）y=|sinx| (2)y=|cosx|
变式训练5：作出下列函数的图象，若是周期函数，请写出它的周期
（1）y=sin|x| (2)y=cos|x|
例6：已知函数)42sin(3π
-=x y ，用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象；
课堂巩固练习（课本P40练习NO ：4；5；6）
三、课堂小结，巩固反思：
1、会求三角函数的最小正周期、会判断函数的奇偶性，会求单调区间，会求最值，以及会判断对称轴与对称中心。
四、课时必记：
1、对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
（1）y=sinx 的对称轴为x=2π
π+k k ∈Z
（2）y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z
特别提示：当x 为对称轴时，三角函数达到最大（小）值。
2、对称中心
观察正、余弦函数的图形，可知
（1）y=sinx 的对称中心（,0)k π k ∈Z
（2）y=cosx 的对称中心（,0)2k π
π+
k ∈Z
五、[分层作业]
A 组：
1．观察函数sin y x =的图象，它的一条对称轴为 （ B ）
A ． 0x =
B ． 2x π
= C ． x π= D ． 2x π=
2．函数sin(2)4y x π
=+的最小值为 ，相应的x 的值是 ．
3、已知函数3sin )(+⋅=x m x f 的最大值是7，则常数=m ____________。
4、求下列函数的最值，并求使函数取得最值时的自变量x 的集合。
（1）x y cos 21
1-= （2）)322sin(3π
-=x y
5、求下列函数的单调区间：
（1）sin(2)4y x π
=+ （2）3cos 21y x =+ （3）y=cos(-2x) (4)y= -cosx
B 组：
1、(tb3806301)下列四个函数中，在),2(ππ
上为增函数的是（ ）
（A ）y=sinx (B) y=sin2x (C)y=cosx (D)y=cos2x
2、函数y （ ）
A ． 5[,]66π
π
B ． 5[2,2]()66k k k Z ππ
ππ++∈
C ． 57[2,2]()66k k k Z π
π
ππ++∈ D ． 513[2,2]()66k k k Z π
π
ππ++∈
3、已知函数2sin(2)3y x π
=-，用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象；
C 组：
1、（课本P46习题1.4B 组 NO ：3）
2、在(0,2)π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是 （ ） A 5(,)(,)424π
π
ππ⋃ B (,)4π
π C 5(,)44π
π D 53(,)(,)442πππ
π⋃
【分析】（解法一）在单位圆中用正弦线、余弦线比较即等C （解法二）在同一坐标系内作出sin ,cos y x y x ==的图象，观察它们的位置关系，选C （解法三）取x π=，要满足sin cos x x >，对照选项，排除后选C。