离散数学 课件 PPT 精品课程 考研 大学课程 数学一 第九章 树

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定理9.2 设T＝<V,E>是n阶非平凡的树,则T中 至少有2片树叶.
证明： 设树 T 有 x 片树叶，树 T 中所有结点的度数 n
之和
deg(vi )
i 1
等于边数的2倍。在树T中边数等于结
n i 1
点数减1，即n–1。所以2(n–1)= d eg(vi ) 。另一方面，
棵生成树,称T的n-1个树枝对应的G的n-1个 割集(每个割集只含一个树枝,其余的边都是 弦)S1,S2,· · · ,Sn-1为对应生成树T的G的基本 割集,称{S1,S2,· · · ,Sn-1}为对应生成树T的基本 割集系统. 对一个n阶连通图G来说, 基本割集的个 数必为n-1个,这是G的固有特性.
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定义9.2 设G＝<V,E>是无向连通图,T是G的 生成子图,并且T是树,则称T是G的生成树. G在T中的边称为T的树枝, G不在T中的边称为T的弦. T的所有弦的集合的导出子图称为T的余树.
例 图(b)，(c)为图(a)的两棵生成树。
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（a）
（b）
（c）
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T有5个树枝a, b, c, d, e, 因而有5个 基本割集:Sa={a,g,f } ; Sb={b,g,h } ; Sc={c,f,h } ; Sd={d,i,h } ; Se={e,f,i}. 基本割集系统为{Sa,Sb,Sc, Sd,Se}.
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a b g
c d h
e
i
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定义9.5 设无向连通带权图G=<V,E,W>,T是 G的一棵生成树.T各边带权之和称为T的权,记 作W(T).G的所有生成树中带权最小的生成树 称为最小生成树. 问题的提出： 要在 n 个城市间建立通信联络 网。顶点：表示城市，权：城市间通信线路的 花费代价。希望此通信网花费代价最小。
例题 判断下列哪些图是树？
v1 v2 v4 v5 v3 v2 v4 v1 v3 v5 v1 v2 v3
v4
v5
(a)
(b)
(c)
解: 图(a)是树, 因为它连通又不包含回路。图(b), (c)不 是树, 因为图(b)虽连通但有回路, 图(c)虽无回路但不连 通。 在图(a)中, v1、 v4、 v5为均为叶， v2、 v3均为分 支节点。
【 8 枚硬币问题】 若有 8 枚硬币a， b， c， d， e， f， g， h， 其中 7 枚重量相等， 只 有 1 枚稍轻。 现要求以天平为工具， 最少 的比较几次可以挑出轻币来？
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第九章 树
§9.1 无向树及生成树
定义9.1
连通而不含回路的无向图称为无 向树,简称树,常用T表示树. 是树的非连通无向图称为森林.
在右图中, Ca=aed, Cb=dbf, Cc=cef,为对应生成树T的基本回路， {Ca,Cb,Cc}为T的基本回路系统。 一个连通图G对应不同的生成树的 基本回路及基本回路系统可能不同， 但基本回路的个数等于m-n+1.
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Fra Baidu bibliotek
a d b f e
c
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定义9.4 设T是n阶连通图G=<V,E>的一
连通分支数大于等于2,且每个连通分支均
平凡图称为平凡树. 设T＝<V,E>为一棵无向树,v∈V,若d(v)＝1,
则称v为T的树叶.若d(v)≥2,则称v为T的分 支点.
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例
（a）
（b）
（c ）
图中（a），（b）为树，而（c）不是树， 但（c）为森林。
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例 (2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T的余树.
（1）
（2）
（3）
余树可能不连通，也可能含回路。
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定理9.3 任何连通图G至少存在一棵生成树. 推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1. 推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T是G的生 成树,T'是T的余树,则T'中有m-n+1条边.
（1）
（2）
（3）
m=8,n=5
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a
d b
f
e
图中, 初级回路aed， bdf，cef.
c
这3个回路中每一 个回路都只含一条 弦,其余的边都是树 枝,这样的回路称为 基本回路.
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定义9.3 设T是n阶连通图G=<V,E>的一棵生成 树,G有n条边.设e1,e2· · · ,em-n+1为T的弦,设Cr是T 加弦er产生的G的回路,r=1,2,…m-n+1.称Cr为 对应于弦er的基本回路,称{C1,C2,· · · ,Cm-n+1}为 对应生成树T的基本回路系统.
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例题 在右下图所示的图G中,实边所构成的子图是G的 一棵生成树T，求T对应的基本回路和基本回路系统， 基本割集和基本割集系统。 解: G中顶点数n=6, 边数m=9，基本回路个数为 m-n+1=4,即T有4条弦，f,g,h,i。 对应每条弦有一个基本回路： Cf=face; Cr=gba; Ch=hdcb; Ci=ied; 基本回路系统为{ Cf ,Cr ,Ch , Ci }. f
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例 连通图、树和森林之间的相互转换。
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定理9.1 设G＝<V,E>,则下面各命题是等价的:
G连通而不含回路; G的每对顶点之间具有唯一的一条路径; G是连通的且n＝m+1; G中无回路且n＝m+1; G中无回路,但在G中任两个不相邻的顶点之间 增加一条边,就形成唯一的一条初级回路; (6) G是连通的且G中每条边都是桥; (7) G是连通的,但删除任何一条边后,就不连通了. 其中n为G中顶点数,m为边数. (1) (2) (3) (4) (5)
树中的分支点为n-x个，每个分支点的度数大于等于 2， 所有分支点度数之和大于等于 2(n–x) ，从而下式成立： 2(n-1)=
deg( 解之，得 x≥ 2。vi )
i 1
8
n
≥x+2(n-x)
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例题 画出5阶所有非同构的无向树。
解：设Ti为5阶无向树,则Ti的边数为4， Ti的度序列之 和为8， △(Ti)≤4, (Ti)≥1, 可能的度序列为： (1) 1,1,1,1,4 (2) 1,1,1,2,3 (3) 1,1,2,2,2 称只有一个分支点且其度数为 n-1的n阶无向树为星形图，称 唯一的分支点为星心。