2019-2020学年高三数学数学归纳法复习学案.doc

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2019-2020学年高中数学 4.11数学归纳法A导学案新人教版选修4-5.doc

2019-2020学年高中数学 4.11数学归纳法A 导学案新人教版选修4-5【学习目标】1．了解数学归纳法的原理．2．了解数学归纳法的使用范围．3．会用数学归纳法证明一些简单问题．【重点难点】数学归纳法的原理及应用. 【学习过程】一、自主学习要点1：由有限多个个别的特殊事例得出的推理方法，通常称为．要点2．一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当时命题成立；(2)假设当时命题成立，证明时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n 0开始的所有自然数都正确．这种证明方法称为数学归纳法．二、合作，探究，展示，点评题型一利用数学归纳法证明等式【例1】通过计算下面的式子，猜想出－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n －1)的结果，并加以证明．【变式1】用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.【例2】证明12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (其中n ∈N *)成立的过程如下，请判断证明是否正确？为什么？证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12.∴当n ＝1时，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋11－12＝1－12k ＋1＝右边．这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．【变式2】用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2)．题型二用数学归纳法证明不等式【例3】用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2)．【变式3】 1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1(n ∈N *)．三、知识小结《数学归纳法（一）》课时作业一、选择题1．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ＞1)．在验证n ＝2时成立，左式是( )．A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋142．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N *)，则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的项为 ( )．A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.k ＋4＋k ＋22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)23．某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时该命题成立，则一定可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时该命题不成立，那么应有 ( )． A ．当n ＝4时该命题成立 B ．当n ＝6时该命题成立 C ．当n ＝4时该命题不成立 D ．当n ＝6时该命题不成立4．已知f (x )是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若f (k )≥k 2成立，则f (k ＋1)≥(k＋1)2成立，下列命题成立的是 ( )．A ．若f (3)≥9成立，则对于任意的k ≥1，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (4)≥16成立，则对于任意的k ≥4，均有f (k )<k 2成立C ．若f (7)≥49成立，则对于任意的k <7，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝16成立，则对于任意的k ≥4，均有f (k )≥k 2成立二、填空题5．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2，n ∈N ＋”，当n ＝1时，左端为___ _____．6．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·…·3·…·(2n －1)”，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为____________．7．观察下列等式1＝1， 3＋5＝8，7＋9＋11＝27，13＋15＋17＋19＝64， ……请猜想第n 个等式是________________________．三、解答题8．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．9．求证：11×2＋13×4＋…＋1n －n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n .10．是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1×22＋2×32＋…＋n ·(n ＋1)2＝n n ＋12(an 2＋bn ＋c )对一切正整数n 都成立？。

2019—2020年兴义地区重点中学高考一轮复习教学案——数学归纳法

2019—2020年兴义地区重点中学高考一轮复习教学案——数学归纳法知识结构网络前n 性质n 证等式,不等式,整除性几何题,数列求和、通项3．1数学归纳法——数学归纳法是专门另类的方法,专门解决与正整数有关的命题,不要不记得噢!一、明确复习目标1.明白得数学归纳法的原理; 把握数学归纳法的证明步骤;2.能用数学归纳法证明恒等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列咨询题；二．建构知识网络1.归纳法: 由专门事例推出一样结论的推理方法.有不完全归纳法,完全归纳法.2.数学归纳法:关于与正整数有关的命题证明： ①当n=n 0〔每第一个值〕时成立；②假设n=k 〔k ≥n 0〕时命题成立，证明当n=k +1时命题成立；这就证明了命题对n 0以后的所有正整数都成立。

(1)事实上:第一步证明了〝归纳基础〞；第二步证明了〝递推规律〞——〝假设n=k 命题成立，那么n=k +1命题成立〞，从而能够无限的递推下去，保证了对n 0以后的所有正整数都成立。

(2)两点注意: ①两步缺一不可〔如命题2〕②证〝n =k +1成立〞必用〝n=k 成立〞〔归纳假设〕如关于等式2+4+……2n =n 2+n +1能够证明〝假设n=k 时成立，那么n=k +1时也成立〞，没有归纳基础。

事实上那个等式是不成立的。

3．数学归纳法的应用:证明等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列咨询题；三、双基题目练练手1．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n时，由n=k 的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是〔〕A ．222)1(k k ++B ．22)1(k k ++C ．2)1(+k D ．]1)1(2)[1(312+++k k2．某个命题与正整数n 有关，假如当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现当5=n 时该命题不成立，那么可推得〔〕A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=4时该命题不成立D ．当n=4时该命题成立3.用数学归纳法证明对n 为正偶数时某命题成立，假设已假设2(≥=k k n 为偶数〕时命题为真，那么还需要用归纳假设再证〔〕 A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立4.〔2004太原模拟〕假设把正整数按以下图所示的规律排序，那么从2002到2004年的箭头方向依次为 ( )A .B .D .C .12456789101112…5．平面内有n (n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条只是同一点，猜想这n 条直线交点的个数为 .6.如图，第n 个图形是由正n +2边形〝扩展〞而来〔n =1，2，3，…〕，那么第n －2个图形中共有____________个顶点.简答:1-4.BCBD; 5.2)1(-n n ; 6. 观看规律…第n －2个图形有〔n +2－2〕2+〔n +2－2〕=n 2+n 个顶点四、经典例题做一做【例1】用数学归纳法证明等式：)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-++-⋅+-⋅n n n n n n n n . [证明]︒1. 当1=n 时，左边0)11(122=-⋅=，右边0201412=⋅⋅⋅=，∴左边=右边，1=n 时等式成立；︒2. 假设k n =时等式成立，即)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-⋅++-⋅+-⋅k k k k k k k k ， ∴当1+=k n 时，左边])1()1)[(1(])1[(]2)1[(2]1)1[(122222222+-+++-+⋅++-+⋅+-+⋅=k k k k k k k k222222[1(1)2(2)()][1(21)2(21)(21)]k k k k k k k k k =⋅-+-++⋅-+⋅++⋅++++)]12(2)1)[(1(41)12(2)1()1)(1(412++-+=+⋅+++-=k k k k k k k k k k )2()1(41)23)(1(4122++=+++=k k k k k k k =右边，即1+=k n 时等式成立，依照︒︒21与，等式对*∈N n 都正确.【例2】是否存在正整数m ，使得f 〔n 〕=〔2n +7〕·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?假设存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;假设不存在，请讲明理由.解：由f 〔n 〕=〔2n +7〕·3n +9，得f 〔1〕=36， f 〔2〕=3×36， f 〔3〕=10×36， f 〔4〕=34×36，由此猜想m =36.下面用数学归纳法证明：〔1〕当n =1时，明显成立.〔2〕假设n =k 时， f 〔k 〕能被36整除，即f 〔k 〕=〔2k +7〕·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2〔k +1〕+7］·3k +1+9=3［〔2k +7〕·3k +9］+18〔3k －1－1〕，由于3k －1－1是2的倍数，故18〔3k －1－1〕能被36整除.这确实是讲，当n =k +1时，f 〔n 〕也能被36整除.由〔1〕〔2〕可知对一切正整数n 都有f 〔n 〕=〔2n +7〕·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.方法提炼：此题是探干脆命题，它通过观看、归纳、专门化猜想出结论，再用数学归纳法证明。

2020高中数学第六章 7《数学归纳法》复习学案

2020高中数学第6章不等式、推理与证明7《数学归纳法》复习学案【要点梳理·夯实知识基础】数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：(1)验证：n＝1时，命题成立；(2)在假设当n＝k(k≥1)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．用数学归纳法证明的关键在于两个步骤，要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”．(1)验证是基础：第一个步骤是要找一个数n0，这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”．(2)递推是关键：从“k”到“k＋1”的过程中，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题成立，在推导过程中，归纳假设要用一次或几次．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．()(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√[小题查验]1．[教材改编]在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：C [凸n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验n ＝3.]2．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14解析：D [f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，1n ＝12，1n 2＝14，故f (2)＝12＋13＋14.]3．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：B [因为假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)，故下一个偶数为k ＋2.]4．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋ ________ .解析：易得f (k ＋1)＝f (k )＋π.答案：π5．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n >1)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是 ________ .解析：n ＝k 时，左边＝1＋12＋…＋12k －1，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋…＋12k ＋1－1. 所以左边应增加的项的项数为2k .答案：2k【考点探究·突破重点难点】考点一用数学归纳法证明等式(自主练透)逻辑推理——数学归纳法证明的核心素养逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．数学归纳法作为一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法，一定要掌握数学归纳法的基本原理与一般步骤．[题组集训]1．求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边． (2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N ＋，等式成立．2．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，结论成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N ＋)．用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n 0的值．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n ＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．提醒：第一步验证n ＝n 0时，n 0不一定为1.考点二用数学归纳法证明不等式(师生共研)[典例] 用数学归纳法证明：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)．[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，即命题成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即 1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k>1＋k 2＋2k ·12k ＋2k＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k<12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N ＋都成立．(1)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有①放缩法；②利用均值不等式法；③作差比较法等．[跟踪训练] 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立．证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k 时不等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15……⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1>2k ＋12·2k ＋22k ＋1 ＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12. ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立．考点三用数学归纳法证明整除性问题(师生共研)[典例] 用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n 为正整数．[证明] (1)当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．(2)假设当n ＝k 时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，法一：42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)，∵42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除．∴42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除．法二：因为[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－3(42k ＋1＋3k ＋2)＝(42k ＋1·42＋3k ＋2·3)－3(42k ＋1＋3k ＋2)＝42k ＋1·13，∵42k ＋1·13能被13整除，∴[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－3(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除，因而42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除，∴当n ＝k ＋1时命题也成立，由(1)(2)知，当n ∈N ＋时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．用数学归纳法证明整除问题，P (k )⇒P (k ＋1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P (k ＋1)进行分拆、配凑成P (k )的形式，也可运用结论：“P (k )能被p 整除且P (k ＋1)－P (k )能被p 整除⇒P (k ＋1)能被p 整除．”[跟踪训练]已知n 为正整数，a ∈Z ，用数学归纳法证明：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．证明：(1)当n ＝1时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1＝a 2＋a ＋1，能被a 2＋a ＋1整除．(2)假设n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，那么当n ＝k ＋1时， a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝(a ＋1)2[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋a k ＋2－a k ＋1(a ＋1)2＝(a ＋1)2[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]－a k ＋1(a 2＋a ＋1)能被a 2＋a ＋1整除．即当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知，对于任意n ∈N ＋，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．考点四归纳——猜想——证明(师生共研)[典例] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n ＞0(n ∈N ＋)．(1)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．(2)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2).[解析] (1)分别令n ＝1,2,3，得⎩⎨⎧ 2a 1＝a 21＋1，2(a 1＋a 2)＝a 22＋2，2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 23＋3，∵a n ＞0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3.猜想：a n ＝n .由2S n ＝a 2n ＋n ①，可知，当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)②，①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1，(ⅰ)当n ＝2时，a 22＝2a 2＋12－1，∵a 2＞0，∴a 2＝2.(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ＝k ，那么当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝2a k ＋1＋a 2k －1＝2a k ＋1＋k 2－1⇒[a k ＋1－(k ＋1)][a k ＋1＋(k －1)]＝0，∵a k ＋1＞0，k ≥2，∴a k ＋1＋(k －1)＞0，∴a k ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时也成立．∴a n ＝n (n ≥2)．显然n ＝1时，也成立，故对于一切n ∈N ＋，均有a n ＝n .(2)要证nx ＋1＋ny ＋1≤2(n ＋2)，只要证nx ＋1＋2(nx ＋1)(ny ＋1)＋ny ＋1≤2(n ＋2)．即n(x＋y)＋2＋2n2xy＋n(x＋y)＋1≤2(n＋2)，将x＋y＝1代入，得2n2xy＋n＋1≤n＋2，即只要证4(n2xy＋n＋1)≤(n＋2)2，即4xy≤1.∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1，∴xy≤x＋y2＝12，即xy≤14，故4xy≤1成立，所以原不等式成立．“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．[跟踪训练]设a>0，f(x)＝axa＋x，令a1＝1，a n＋1＝f(a n)，n∈N＋.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．解：(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a1＋a；a3＝f(a2)＝a2＋a ；a4＝f(a3)＝a3＋a.猜想a n＝a(n－1)＋a(n∈N＋)．(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．②假设n＝k(k∈N＋)时猜想正确，即a k＝a(k－1)＋a，则a k＋1＝f(a k)＝a·a ka＋a k＝a·a(k－1)＋aa＋a(k－1)＋a＝a(k－1)＋a＋1＝a[(k＋1)－1]＋a.这说明，n＝k＋1时猜想正确．由①②知，对于任何n∈N＋，都有a n＝a(n－1)＋a.。

2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法学案新人教A版

2.3 数学归纳法1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)归纳递推：假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．思考：数学归纳法的第一步n 0的初始值是否一定为1?[提示] 不一定．如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°，第一个值n 0＝3. 2．数学归纳法的框图表示1．下面四个判断中，正确的是( )A ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n (n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1 B ．式子1＋k ＋k 2＋…＋kn －1(n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1＋kC ．式子1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1＋12＋13D ．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4C [A 中，n ＝1时，式子＝1＋k ；B 中，n ＝1时，式子＝1；C 中，n ＝1时，式子＝1＋12＋13；D 中，f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1.故正确的是C.]2．如果命题p (n )对所有正偶数n 都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n ＝________成立．[答案] 23．已知S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)，则S 1＝________，S 2＝________，S 3＝________，S 4＝________，猜想S n ＝________.13 25 37 49 n 2n ＋1 [分别将1,2,3,4代入得S 1＝13， S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49，观察猜想得S n ＝n2n ＋1.]1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．(2)用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)(n ∈N *)． (1)2(2k ＋1) [令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1) (k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．](2)证明： ①当n ＝1时，121×3＝1×22×3成立．②假设当n ＝k (n ∈N *)时等式成立，即有 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②可得对于任意的n ∈N *等式都成立．用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点： (1)弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；(2)弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；(3)证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形.1．求证：1－12 ＋13 －14 ＋… ＋12n －1 －12n ＝1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋… ＋12n (n ∈N *)．[证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时， 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k 成立．那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋1－12(k ＋1) ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，对于任意n ∈N *，等式都成立.【例2】已知数列1×4，4×7，7×10，…，(3n －2)(3n ＋1)的前n 项和为S n ，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．[解] S 1＝11×4 ＝14； S 2＝14 ＋14×7 ＝27 ； S 3＝27＋17×10 ＝310 ； S 4＝310 ＋110×13 ＝413. 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n3n ＋1 .下面用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14 ，右边＝n 3n ＋1 ＝13×1＋1 ＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4 ＋14×7 ＋17×10 ＋… ＋1(3k －2)(3k ＋1) ＝k 3k ＋1 ，则当n ＝k ＋1时，11×4 ＋14×7 ＋17×10 ＋… ＋1(3k －2)(3k ＋1) ＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k 3k ＋1 ＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任意n ∈N *都成立．(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式，求通项或前n 项和．②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． ③给出一些简单的命题(n ＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．2．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明．[解] 由a 1＝2－a 1，得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32 ；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74 ；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158 .猜想a n ＝2n－12n －1 .下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当n ＝k 时猜想成立，则有a k ＝2k －12k －1 ，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝12[]2(k ＋1)－S k ＝k ＋1－12 (2k －2k－12k －1 )＝2k ＋1－12(k ＋1)－1 ，所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n－12n －1 对任意正整数n 都成立.1．你能指出下列三组数的大小关系吗？ (1)n ，n (n －1)，n (n ＋1)(n ∈N *)； (2)1n2，1n (n －1)，1n (n ＋1)(n ∈N *，n >1)；(3)12n ＋1＋12n ，12n －1(n ∈N *)． [提示] (1)n (n －1)<n <n (n ＋1)； (2)1n (n ＋1)<1n 2<1n (n －1)；(3)∵12n ＋1＋12n <12n ＋12n ＝22n ＝12n －1，∴12n ＋1＋12n <12n －1. 2．结合探究问题1，试给出一些常见的不等式放缩方法．[提示] 在不等式证明时，我们可以使分母变大(小)，从而实现数值变小(大)．如： (1)1k＝2k ＋k>2k ＋k ＋1＝2()k ＋1－k ()k ∈N *，k >1， 1k＝2k ＋k<2k ＋k －1＝2()k －k －1()k ∈N *，k >1. (2)1k 2<1k (k －1)＝1k －1－1k (k ≥2), 1k 2>1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1.(3)1k 2<1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12(1k －1－1k ＋1)(k ≥2)．【例3】用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．思路探究：按照数学归纳法的步骤证明，由n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．[证明] (1)当n ＝1时， 32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2 ≤ 1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ≤ 12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ＋12k ＋1 ＋12k ＋2 ＋… ＋12k ＋2k >1＋k 2 ＋2k·12k ＋1 ＝1＋k ＋12 . 又1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ＋12k ＋1 ＋12k ＋2 ＋… ＋12k ＋2k <12 ＋k ＋2k·12k ＝12 ＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立．3．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1<k ，则当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1×2k2k ＝k ＋1，所以，当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立． 4．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ≥2)．[证明] (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2 <2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1.即当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)和(2)知原不等式在n ≥2时均成立．用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k )＞g (k )，求证f (k ＋1)＞g (k ＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n ＝k ＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论.在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1； (2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1成立时，左边计算所得的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3C [当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a1＋1＝1＋a ＋a 2，故C 正确．]2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是( )A ．(2k ＋1)＋(2k ＋2)B ．(2k －1)＋(2k ＋1)C ．(2k ＋2)＋(2k ＋3)D ．(2k ＋2)＋(2k ＋4)C [当n ＝k 时，左边是共有2k ＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时，左边共有2k ＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k ＋2)＋(2k ＋3)．故选C.]3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，由此推测，当n ＞2时，有________．[答案] f (2n)＞n ＋224．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2＞12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．122＋132＋…＋1(k ＋2)2＞12－1k ＋3 [从不等式结构看，左边n ＝k ＋1时，最后一项为1(k ＋2)2，前面的分母的底数是连续的整数，右边n ＝k ＋1时，式子为12－1(k ＋1)＋2，即不等式为122＋132＋…＋1(k ＋2)2＞12－1k ＋3.] 5．用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N *时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n . [证明] (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2＝(k ＋1)2－12k (k ＋1)＝k ＋22(k ＋1) ＝(k ＋1)＋12(k ＋1).∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立．。

2019-2020学年高中数学 2.3数学归纳法学案苏教版选修2-2.doc

2019-2020学年高中数学 2.3数学归纳法学案苏教版选修2-2二、预习指导 1．预习目标了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．预习提纲(1)回顾已学知识，体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法．(2)数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据，你能说出它的两个步骤吗?(3)结合课本第86－87页的例1－例3，体会用数学归纳法证明命题的2个步骤，解题时缺一不可；结合课本第88－90页的例4和例5，体会用“归纳－猜想－证明”的方法处理问题．(4)阅读课本第85页至第90页内容，并完成课后练习． 3．典型例题(1) 数学归纳法是以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳(完全归纳)的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程(递推关系)．数学归纳法证明命题的步骤是： ① 递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；② 递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；(归纳假设)证明当n =k ＋1时结论也正确．(归纳证明)由①，②可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确．例1 用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++过程中， ① 当n=1时，左边有_____项，右边有_____项； ② 当n=k 时，左边有_____项，右边有_____项； ③ 当n=k ＋1时，左边有_____项，右边有_____项； ④ 等式的左右两边，由n=k 到n=k ＋1时有什么不同?分析：证明时注意：n 取第一个值n 0是什么；从n=k 到n=k ＋1时关注项的变化．解：①当n=1时，左边有2_项，右边有__1__项；②当n=k 时，左边有_2k_项，右边有__k_项；③当n=k ＋1时，左边有_2(k ＋1)_项，右边有_k ＋1_项；④等式的左边，由n=k 到n=k ＋1时多了两项：112(1)12(1)k k -+-+；等式的右边，由n=k 到n=k ＋1时多了两项：121k ++12(1)k +，少了一项：11k +．(2)数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题．例2 用数学归纳法证明21111222n ++⋅⋅⋅+< (n∈N *) 分析：用数学归纳法证明问题时，①注意从“n=k 到n=k ＋1”时项的变化；②配凑递推假设；③检验是否用了归纳假设．证明：① 当n=1时，112<，结论成立； ② 假设当n=k 时结论成立，即21111222k ++⋅⋅⋅+<则当n=k ＋1时，21211111111111()1122222222222k k k +++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+<+⨯= ∴当n =k ＋1时结论成立由①，②可知，不等式对于从1开始的所有正整数n 都成立．例3 已知f (n )=(2n ＋7)·3n＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N 都能使m 整除f (n )，求m 的最大值．分析：归纳证明时，利用归纳假设创设递推条件，寻求f(k ＋1)与f(k)的递推关系，是解题的关键．解：∵f (1)=36，f (2)=108=3×36，f (3)=360=10×36∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明 ① n =1，2时，由上得证；② 假设n =k (k ≥2)时，f (k )=(2k ＋7)·3k＋9能被36整除，则n =k ＋1时，f (k ＋1)=(2k ＋9)·3k ＋1＋9=(6k ＋27)·3k ＋9=(2k ＋7)·3k＋9＋(4k ＋20)·3k= f (k )＋36(k ＋5)·3k －2k ≥2) ∴f (k ＋1)能被36整除；由①、②知f (n )能被36整除．∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求m 的最大值等于36．例4 平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2个部分．分析：注意从n=k 到n=k ＋1时的变化．解：① 当n=1时，平面内1个圆把平面分成2部分，此时n 2－n ＋2=2，结论成立；② 假设当n=k 时结论成立，即平面内k 个圆把平面分成k 2－k ＋2个部分，则当n=k ＋1时，第k ＋1个圆与前面k 个圆都相交，第k ＋1个圆被前面k 个圆分成2k 段弧，每段弧都把原来的平面部分一分为二，因此多了2k 个部分，所以平面内k＋1个圆把平面分成(k 2－k ＋2)＋2k= k 2＋k ＋2=(k ＋1)2－(k ＋1)＋2个部分，即当n=k ＋1时结论成立；由①、②可知，平面内n 个圆把平面分成n 2－n ＋2个部分．(3)解题时我们常常会遇到一类先猜后证的问题，这种问题的解题流程为：归纳→猜想→证明，而证明往往会用数学归纳法．猜归法是发现与论证的完美结合．例5 ① 是否存在常数,,a b c ，使得2223212n an bn cn +++=++对一切正整数n 都成立?并证明你的结论；② 是否存在a ，b ，c 使得等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2=12)1(+n n (an 2＋bn ＋c ) 对于一切正整数n 都成立?证明你的结论；③ 已知*1111,23n a n N n=++++∈，是否存在关于n 的整式()g n ，使得等式121()(1)n n a a a g n a -+++=-对于大于1的一切正整数n 都成立?证明你的结论．分析：根据已知条件“对一切正整数n 都成立”，我们可以先通过前几个数，如n =1，2，3的情形，进行归纳猜想，然后用数学归纳法证明结论．解：① 假设存在常数,,a b c 使等式成立，令1,2,3n =得：2221128421232793a b c a b c a b c =++⎧⎪+=++⎨⎪++=++⎩解之得131216a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；下面用数学归纳法证明：222(1)(21)126n n n n +++++=对一切正整数n 都成立．证明：01 当1n =时，左边1=，右边(11)(21)16++==，即原式成立； 02 假设当n k =时，原式成立，即2222(1)(21)1236k k k k ++++++=则当1n k =+时，222222(1)(21)123(1)(1)6k k k k k k ++++++++=++ 22(1)(21)6(1)(1)(276)66(1)(2)(23)6k k k k k k k k k k +++++++==+++=即当1n k =+时原式成立，由01、02知222(1)(21)126n n n n +++++=对一切正整数n 都成立．综上所述，当131216a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，题设对一切自然数n 均成立；② 假设存在a ，b ，c 使题设的等式成立，令n =1，2，3，则有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=101133970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a 于是，对n =1，2，3下面等式成立 1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 记S n =1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)201 n=1时，等式已证，成立；02 假设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2＋11k ＋10) 则：S k ＋1=S k ＋(k ＋1)(k ＋2)2=12)1(+k k (3k 2＋11k ＋10) ＋(k ＋1)(k ＋2)2=(1)12k k +(k ＋2)(3k ＋5)＋(k ＋1)(k ＋2)2=12)2)(1(++k k (3k 2＋5k ＋12k ＋24)=12)2)(1(++k k (3k 2＋17＋24)= 12)2)(1(++k k ［3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10］即对n =k ＋1等式也成立．由01、02知，1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 对一切正整数n都成立．综上所述，当a =3，b =11，c =10时，题设对一切自然数n 均成立；③ 假设()g n 存在，令2n =，求得(2)2g =，令3n =，求得(3)3g =，令4n =，求得(4)4g =，由此猜想：()g n n =，下面用数学归纳法证明：121(1)n n a a a n a -+++=-对一切大于1的正整数n 都成立．(略)例6 （Ⅰ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<. 求()f x 的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题.注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.解：（Ⅰ）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-，令()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)内是减函数；当 1x > 时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞内是增函数.故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)r x rx r ≤+- ①若1a ，2a 中有一个为0，则12121122b b a a a b a b ≤+成立；若1a ，2a 均不为0，又121b b +=，可得211b b =-，于是在①中令12a x a =，1r b =，可得1111122()(1)b a a b b a a ≤⋅+-，即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-，亦即12121122b b a a a b a b ≤+.综上，对120,0a a ≥≥，1b ，2b 为正有理数且121b b +=，总有12121122b b a a a b a b ≤+. ②（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：设12,,,n a a a 为非负实数，12,,,n b b b 为正有理数.若121n b b b +++=，则12121122nb b b n n n a a a a b a b a b ≤+++. ③用数学归纳法证明如下：（1）当1n =时，11b =，有11a a ≤，③成立. （2）假设当n k =时，③成立，即若12,,,k a a a 为非负实数，12,,,k b b b 为正有理数，且121k b b b +++=，则12121122kb b b k k k a a a a b a b a b ≤+++.当1n k =+时，已知121,,,,k k a a a a +为非负实数，121,,,,k k b b b b +为正有理数，且1211k k b b b b +++++=，此时101k b +<<，即110k b +->，于是111212121121()k k k k b b b b b b b b k k k k a a a a a a a a ++++==12111111111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aaaa +++++----+.因121111111kk k k b b b b b b ++++++=---，由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaaa+++---≤1212111111kk k k k b b b a a a b b b +++⋅+⋅++⋅---112211k k k a b a b a b b ++++=-，从而112121k k b b b b k k a a a a ++≤1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭.又因11(1)1k k b b ++-+=，由②得1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭11221111(1)1k kk k k k a b a b a b b a b b +++++++≤⋅-+-112211k k k k a b a b a b a b ++=++++，从而112121k k b b b b k k a a a a ++112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++.故当1n k =+时，③成立.由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.4．自我检测(1)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3，n ∈N )第一步应验证______． (2)用数学归纳法证明()111112312nn n N n ++++<∈>-且时，第二步证明从“k 到k ＋1”，左端增加的项数是_____ ．(3)设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥ 成立时，总可推出 (1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是_____ ．①若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；②若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立；③若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立； ④若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． (4)观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<…，则可归纳出____．三、课后巩固练习A 组1．用数学归纳法证明：2)1()13(1037241+=+++⨯+⨯+⨯n n n n ．2．用数学归纳法证明：()()()()()1221321,n n n n n n n N *+++=⋅⋅⋅⋅-∈．3．设f (n )=1＋11123n++⋅⋅⋅+，求证：n ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)=nf (n ) (n ∈N，n ≥2) ．B 组 4．若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n ． 5．用数学归纳法证明2*2(4,)nn n n N ≥≥∈．6．用数学归纳法证明*221(,3)n n n N n >+∈≥． 7．用数学归纳法证明11111231n n n ++⋅⋅⋅+≥+++(n ∈N，n ≥2)． 8．用数学归纳法证明：*(31)71()n n n N +-∈能被9整除． 9．求证：121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除(n ∈N *)．10．是否存在常数c b a ,,使等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ⋅-+-+⋅⋅⋅+-=++ 对一切正整数n 都成立?证明你的结论．11．是否存在常数a ，b ，c ，使等式23333123()()()()n an bn c n n n n n++++++=…对一切n N *∈都成立?并证明你的结论． 12．已知数列1111......1447710(32)(31)n n ⨯⨯⨯-+，，，，，，计算1234S S S S ，，，，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明．13．已知数列{}n a 满足条件,,6),1)(1()1(21n a b a a n a n n n n n +==-+=-+令试猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明．14．数列{a n }中，1n n a a +>，a 1=1，且211()2()10n n n n a a a a ++--++= (1)求234,,a a a 的值；(2)猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想．C 组15 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145， (1)求数列{b n }的通项公式b n ；(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1＋nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n ＋1的大小，并证明你的结论． 16．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *，且x 1＞0．不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c ．(Ⅰ)求x n ＋1与x n 的关系式；(Ⅱ)猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)17．一个计算装置有一个入口A 和一输出运算结果的出口B ，将自然数列{}(1)n n ≥中的各数依次输入A 口，从B 口得到输出的数列{}n a ，结果表明：①从A 口输入1n =时，从B 口得113a =；②当2n ≥时，从A 口输入n ，从B 口得到的结果n a 是将前一结果1n a -先乘以自然数列{}n 中的第1n -个奇数，再除以自然数列{}n a 中的第1n +个奇数．试问： (1)从A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数?(2)从A 口输入100时，从B 口得到什么数?并说明理由．18．某国采用养老储备金制度：公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，，以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．(Ⅰ)写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；(Ⅱ)求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．注意数学归纳法的两个步骤缺一不可．实际问题五、拓展视野已知函数()sin f x x x =-，数列{n a }满足：1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<==证明：(Ⅰ)101n n a a +<<<；(Ⅱ)3116n n a a +<．分析: 可以考虑用数学归纳法证明(I)．解: (I)先用数学归纳法证明 ,3,2,1,10=<<n a n(i)当n=1时，由已知条件知结论成立；(ii)假设当n=k 时结论成立，即10<<k a ， ∵10<<x 时，0cos 1)(>-='x x f ∴)(x f 在(0，1)上是增函数，∴)1()()0(f a f f k <<，即11sin 101<-<<+k a ， ∴当n=k ＋1时，结论成立．由(i)、(ii)可知，10<<n a 对一切正整数都成立．又∵10<<n a 时，0sin sin 1<-=--=-+n n n n n n a a a a a a ， ∴n n a a <+1，综上所述，101<<<+n n a a ；(II)设函数10,61sin )(3<<+-=x x x x x g ，由(I)可知，当10<<x 时，x x <sin ，∴02)2(222sin 221cos )(22222=+->+-=+-='x x x x x x x g ， ∴)(x g 在(0，1)上是增函数．又0)0(=g ，∴当10<<x 时，)(x g >0成立，∴0)(>n a g ，即061sin 3>+-n n n a a a ，∴3161n n a a <+．2.3 数学归纳法1．n =3 2．12k +3．④ 提示：当(4)25f ≥时，(4)f 2≥4，从而(5)f 2≥5，，2()f k k ≥（4k ≥）成立 4．112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *)1-3 略4. 证明 (1)当n =2时，2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时不等式成立，即2413212111>+++++k k k 111111,23221221111111123221221131111311242122124212213113242(21)(1)24n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++++++=++++++-++++++>++-=+-+++++=+>++则当时即n =k+1时不等式成立，故不等式2413212111>+++++n n n 对于大于1的自然数n 都成立。

2019-2020学年高三数学第一轮复习66数学归纳法教学案(教师版).doc

2019-2020 学年高三数学第一轮复习 66 数学归纳法教学案（教师版）一、课前检测1．在数列 { a n }中， a 1=1， a n 1 a n 2n ( n N ), 求a n 。

解： n=1 时 , a 1=1n 2时, a 2 a 1 2a 3 a 22a 4 a 3 23以上 n-1 个等式累加得n1a n a n 1 2a na 1 2 22 ... 2n 1= 2(1122)=2n 2，故 a n 2n 2 a 1 2n 12．在数列 { a n }中， a 1=1， a n 1 na n ，求 a n 。

且a 1 0!=1 也适用该式 ∴ a n (n 1)! ( n N ).二、知识梳理（一）基本知识1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法 . 特点：特殊→一般2. 不完全归纳法 :根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法 .3. 完全归纳法 : 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法 .完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法 .与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的 .通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法 .4. 数学归纳法 : 对于某些与自然数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当 n 取第一个值 n 0时命题成立；然后假设当 n=k （k N*，k ≥n 0）时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法且 a 1 1 也满足该式∴ a n 2n 1 ( n N ) 。

解：由已知得an 1 ann ，分别取 n=1、2、3 （n-1）, 代入该式得 n-1 个等式累乘，即a 2 .a 3 .a 4a 1 a 2 a 3a n=1× 2× 3×⋯× (n-1)=(n-1)!an 1所以时， a n (n 1)!故 a n (n 1)! a 125. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数 n 0，如果当 n=n 0 时，命题成立，再假设当 n=k(k ≥ n 0，k ∈N * )时，命题成立 .( 这时命题是否成立不是确定的 ) ，根据这个假设，如能推出当 n=k+1 时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于 n 0的正整数 n 0+1， n 0+2，⋯，命题都成立 .6. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1) 证明：当 n 取第一个值 n 0 结论正确；(2) 假设当 n=k(k ∈ N *，且 k ≥ n 0)时结论正确，证明当 n=k+1 时结论也正确 . 由(1) ，(2) 可知，命题对于从 n 0开始的所有正整数 n 都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉 . (二)解读(1 )用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证 n 取第一个允许值 n 0时命题成立；第二步从 n=k(k ≥n 0) 时命题成立的假设出发，推证 n=k+1 时命题也成立。

2019-2020年苏教版高中数学(选修2-2)2.3《数学归纳法》word教案5篇

2019-2020年苏教版高中数学（选修2-2）2.3《数学归纳法》word教案5篇一、教学目标知识与技能：（1）体会归纳推理这种基本的分析问题法，并把它们用于对问题的发现中去。

（2）明确归纳推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。

过程与方法：（1）通过歌德巴赫猜想引入课题，激发学生的学习积极（2）通过师生合作做实验的过程，让学生体会数学的严谨性；（3）通过生活中的实例，让学生体会归纳推理的思想方法。

情感态度与价值观：正确认识归纳推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

二、教学重点：理解归纳推理的思维过程与一般形式。

三、教学难点：运用归纳推理得到一般性的结论。

四、教学方法与手段：多媒体演示，互动实验。

五、教学过程：情景一：歌德巴赫猜想问题1：同学们，你们有没有听说过一个世纪难题，歌德巴赫猜想，简称“1+1”？____________________________________________问题2：你们知道这个歌德巴赫猜想的具体内容吗____________________________________________问题3：你们想不想知道歌德巴赫是怎样提出这个猜想的？1742年，歌德巴赫在教学中发现：4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7， 14=3+11=7+7， 16=3+13=5+11， 18=5+13=7+11， 20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，……由此，他猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（简称“1+1”），可是他既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想。

于是，歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。

欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

2019-2020版高中数学第四讲数学归纳法证明不等式复习课学案新人教A版选修4-5

第四讲数学归纳法证明不等式复习课学习目标 1.梳理数学归纳法的思想方法，初步形成“归纳—猜想—证明”的思维模式.2.熟练掌握用数学归纳法证明不等式、等式等问题的证明步骤．1．数学归纳法是用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法．2．一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n ＝n 0时命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋且k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．完成以上两个步骤，就可以断定命题对不小于n 0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 3．在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推，递推是实现从有限到无限飞跃的关键．4．用数学归纳法证明不等式，关键是在假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立的条件下，推出当n ＝k ＋1时命题成立这一步，为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要用到分析法，综合法，放缩法等相关知识和方法．类型一归纳—猜想—证明例1 已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，5×2n －2，n ≥2，n ∈N ＋.(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设当n ＝k 时成立，即a k ＝5×2k －2(k ≥2，k ∈N ＋)，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1.故当n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N ＋有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，5×2n －2，n ≥2，n ∈N ＋.反思与感悟利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．跟踪训练1 设f (n )＞0(n ∈N ＋)，对任意自然数n 1和n 2总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)，又f (2)＝4.(1)求f (1)，f (3)的值；(2)猜想f (n )的表达式，并证明你的猜想．解 (1)由于对任意自然数n 1和n 2，总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)．取n 1＝n 2＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)，即f 2(1)＝4. ∵f (n )＞0(n ∈N ＋)， ∴f (1)＝2.取n 1＝1，n 2＝2，得f (3)＝23.(2)由f (1)＝21，f (2)＝4＝22，f (3)＝23，猜想f (n )＝2n .证明：①当n ＝1时，f (1)＝2成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，f (k )＝2k成立．当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )·f (1)＝2k·2＝2k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知猜想正确，即f (n )＝2n，n ∈N ＋. 类型二用数学归纳法证明等式或不等式命题角度1 用数学归纳法证明等式(以三角函数为背景)例2 求证tan α·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(n －1)α·tan nα＝tan nαtan α－n (n ≥2，n ∈N ＋)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝tan α·tan2α，右边＝tan2αtan α－2＝2tan α1－tan 2α·1tan α－2 ＝21－tan 2α－2 ＝2tan 2α1－tan 2α＝tan α·2tan α1－tan 2α ＝tan α·tan2α，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时等式成立，即tan α·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k －1)α·tan kα＝tan kαtan α－k .当n ＝k ＋1时，tan α·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k －1)α·tan kα＋tan kα·tan(k ＋1)α ＝tan kαtan α－k ＋tan kα·tan(k ＋1)α ＝tan kα[1＋tan α·tan (k ＋1)α]tan α－k＝1tan α⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan (k ＋1)α－tan α1＋tan (k ＋1)α·tan α·[1＋tan(k ＋1)α·tan α]－k ＝1tan α[tan(k ＋1)α－tan α]－k ＝tan (k ＋1)αtan α－(k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)知，当n ≥2，n ∈N ＋时等式恒成立．反思与感悟归纳法是证明有关正整数n 的命题的一种方法，应用广泛．用数学归纳法证明一个命题必须分两个步骤：(1)论证命题的起始正确性，是归纳的基础；(2)推证命题正确的可传递性，是递推的依据．两步缺一不可，证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征．跟踪训练2 用数学归纳法证明：当n ∈N ＋时，(2cos x －1)·(2cos2x －1)…(2cos2n －1x －1)＝2cos2nx ＋12cos x ＋1. 证明 (1)当n ＝1时，左边＝2cos x －1，右边＝2cos2x ＋12cos x ＋1＝4cos 2x －12cos x ＋1＝2cos x －1，即左边＝右边，∴命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立，即(2cos x －1)(2cos2x －1)…(2cos2k －1x －1)＝2cos2kx ＋12cos x ＋1.当n ＝k ＋1时，左边＝(2cos x －1)(2cos2x －1)…·(2cos2k －1x －1)·(2cos2k x －1)＝2cos2kx ＋12cos x ＋1(2cos2k x －1) ＝4(cos2kx )2－12cos x ＋1＝2cos2k ＋1x ＋12cos x ＋1.∴当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，当n ∈N ＋时命题成立．命题角度2 用数学归纳法证明不等式例3 用数学归纳法证明12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22，其中n ≥2，n ∈N ＋.证明 (1)当n ＝2时，左边＝12，右边＝0，结论成立；(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，结论成立，即12＋13＋14＋…＋12k －1>k －22，则当n ＝k ＋1时，左边＝12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋2k －12k ＝k －12，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22，n ≥2，n ∈N ＋.反思与感悟用数学归纳法证明不等式，除了注意数学归纳法规范的格式外，还要注意灵活利用问题的其他条件及相关知识．跟踪训练3 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞56(n ≥2，n ∈N ＋)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＞56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56.当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N ＋均成立．类型三用数学归纳法证明整除问题例4 用数学归纳法证明：n (n ＋1)(2n ＋1)能被6整除．证明 (1)当n ＝1时，1×2×3显然能被6整除． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立，即k (k ＋1)(2k ＋1)＝2k 3＋3k 2＋k 能被6整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)＝2k 3＋3k 2＋k ＋6(k 2＋2k ＋1)．因为2k 3＋3k 2＋k,6(k 2＋2k ＋1)都能被6整除，所以2k 3＋3k 2＋k ＋6(k 2＋2k ＋1)能被6整除，即当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)和(2)知，对任意n ∈N ＋原命题成立．反思与感悟用数学归纳法证明整除问题的关键点(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．(2)与n 有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从n ＝k ＋1时的表达式中分解出n ＝k 时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式．跟踪训练4 设x ∈N ＋，n ∈N ＋，求证：xn ＋2＋(x ＋1)2n ＋1能被x 2＋x ＋1整除．证明 (1)当n ＝1时，x 3＋(x ＋1)3＝[x ＋(x ＋1)]·[x 2－x (x ＋1)＋(x ＋1)2]＝(2x ＋1)(x 2＋x ＋1)，结论成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，结论成立，即x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1能被x 2＋x ＋1整除，那么当n ＝k ＋1时，x (k ＋1)＋2＋(x ＋1)2(k ＋1)＋1＝x ·xk ＋2＋(x ＋1)2(x ＋1)2k ＋1＝x [x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1]＋(x ＋1)2(x ＋1)2k ＋1－x (x ＋1)2k ＋1＝x [xk ＋2＋(x ＋1)2k ＋1]＋(x 2＋x ＋1)·(x ＋1)2k ＋1.由假设知，xk ＋2＋(x ＋1)2k ＋1及x 2＋x ＋1均能被x 2＋x ＋1整除，故x (k ＋1)＋2＋(x ＋1)2(k ＋1)＋1能被x 2＋x ＋1整除，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)知，原结论成立．1．某同学回答“用数学归纳法证明n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)”的过程如下：证明：(1)当n ＝1时，显然命题是正确的；(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，有k (k ＋1)<k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1) ＝k 2＋3k ＋2<k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知对于任意n ∈N ＋命题成立．以上证法是错误的，错误在于( ) A ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用归纳假设 B ．归纳假设的写法不正确 C ．从k 到k ＋1的推理不严密 D ．当n ＝1时，验证过程不具体答案 A2．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( ) A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立答案 D解析对于D ，∵f (4)＝25≥42， ∴当k ≥4时，均有f (k )≥k 2.3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋4＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N ＋)，则当n ＝k ＋1时，左端应为在当n ＝k 时的基础上加上________________．答案 (k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2解析当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2.所以增加了(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2.4．已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12a n ·(4－a n )(n ∈N )．证明：a n ＜a n ＋1＜2(n ∈N )．证明 (1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32，所以a 0＜a 1＜2，命题正确．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时命题成立，即a k －1＜a k ＜2. 则当n ＝k ＋1时，a k －a k ＋1＝12a k －1(4－a k －1)－12a k (4－a k )＝2(a k －1－a k )－12(a k －1－a k )(a k －1＋a k )＝12(a k －1－a k )(4－a k －1－a k )．而a k －1－a k ＜0,4－a k －1－a k ＞0，所以a k －a k ＋1＜0. 又a k ＋1＝12a k (4－a k )＝12[4－(a k －2)2]＜2.所以当n ＝k ＋1时命题正确．由(1)(2)可知，对一切n ∈N ，有a n ＜a n ＋1＜2.1．在推证“n ＝k ＋1”命题也成立时，必须把归纳假设“n ＝k ”时的命题作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法．对项数估算的错误，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，弄错项数发生的变化是常见错误．2．用数学归纳法证明的问题通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式或不等式是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、归纳，猜想出一个等式或不等式，然后再用数学归纳法证明．3．用数学归纳法证明与自然数有关的不等式以及数列有关的命题是考查的重点，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．一、选择题1．若命题A (n )(n ∈N ＋)在n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N ＋)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案 C解析由已知得n ＝n 0(n 0∈N ＋)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.2．上一个n 层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f (n )，则下列猜想正确的是( ) A ．f (n )＝nB ．f (n )＝f (n )＋f (n －2)C ．f (n )＝f (n )·f (n －2)D ．f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＝1，2)，f (n －1)＋f (n －2)(n ≥3)答案 D解析当n ≥3时，f (n )分两类，第一类，从第n －1层再上一层，有f (n －1)种方法；第二类从第n －2层再一次上两层，有f (n －2)种方法，所以f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ≥3)． 3．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( ) A.4(n ＋1)2 B.2n (n ＋1)C.12n－1D.12n －1答案 B解析由a 2＝S 2－S 1＝4a 2－1，得a 2＝13＝22×3，由a 3＝S 3－S 2＝9a 3－4a 2，得a 3＝12a 2＝16＝23×4，由a 4＝S 4－S 3＝16a 4－9a 3，得a 4＝35a 3＝110＝24×5，猜想a n ＝2n (n ＋1).4．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.5．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·2·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增加的式子是( )A ．2k ＋1B ．2k ＋3C ．2(2k ＋1)D ．2(2k ＋3)答案 C解析当n ＝k ＋1时，(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)·(2k ＋2) ＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·2(2k ＋1)，∴2(2k ＋1)是从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应增加的式子．6．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳假设证明当n ＝k ＋1时的情况，只需展开( ) A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．二、填空题7．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋n ，用数学归纳法证明f (n )≥3，在假设当n ＝k 时成立后，f (k ＋1)与f (k )的关系是f (k ＋1)＝f (k )·________________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2k k ＋1解析 f (k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ，f (k ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ＋2，∴f (k ＋1)＝f (k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2k k ＋1. 8．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2，用数学归纳法证明a n ＝4·2n －1－2的第二步中，设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时结论成立，即a k ＝4·2k －1－2，那么当n ＝k ＋1时，应证明等式____________成立．答案 a k ＋1＝4·2(k ＋1)－1－29．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用含n 的式子表示)．答案 5 12(n －2)(n ＋1)解析 f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，f (6)＝14，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f (4)－f (3)＝3，f (5)－f (4)＝4，f (6)－f (5)＝5，…，f (n )－f (n －1)＝n －1. 累加，得f (n )－f (3)＝3＋4＋…＋(n －1) ＝3＋(n －1)2(n －3)．∴f (n )＝12(n －2)(n ＋1)．10．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________________________．答案 k 3＋5k ＋3k (k ＋1)＋6解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋3k 2＋3k ＋1＋5k ＋5 ＝k 3＋5k ＋3k 2＋3k ＋6 ＝k 3＋5k ＋3k (k ＋1)＋6. 三、解答题11．已知f (n )＝(2n ＋7)×3n＋9(n ∈N ＋)，用数学归纳法证明f (n )能被36整除．证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝(2＋7)×3＋9＝36，能被36整除． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，f (k )＝(2k ＋7)×3k＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k ＋1＋2×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k ×3＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k＋9]－27＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k＋9]＋18(3k－1－1)．由于3k －1－1是2的倍数，故18(3k －1－1)能被36整除，即当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)也能被36整除．根据(1)和(2)可知，对一切正整数n ，都有f (n )＝(2n ＋7)×3n＋9能被36整除．12．是否存在常数a ，b ，c ，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c )对一切正整数成立？并证明你的结论．解假设存在a ，b ，c ，使题中等式对一切正整数成立，则当n ＝1,2,3时，上式显然成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1×22＝16(a ＋b ＋c )，1×22＋2×32＝12(4a ＋2b ＋c )，1×22＋2×32＋3×42＝9a ＋3b ＋c ，解得a ＝3，b ＝11，c ＝10. 下面用数学归纳法证明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(3n 2＋11n ＋10)对一切正整数均成立．(1)当n ＝1时，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立，即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k (k ＋1)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)，则当n ＝k ＋1时，有1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2＋(k ＋1)·(k ＋2)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝k (k ＋1)12(k ＋2)(3k ＋5)＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝(k ＋1)(k ＋2)12(3k 2＋5k ＋12k ＋24) ＝(k ＋1)(k ＋2)12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]．即当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任何正整数n ，等式都成立．13．设P n ＝(1＋x )n ，Q n ＝1＋nx ＋n (n －1)2x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比较P n 与Q n 的大小，并加以证明．解 (1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n .(2)当n ≥3时，(以下再对x 进行分类)．①若x ∈(0，＋∞)，显然有P n ＞Q n ；②若x ＝0，则P n ＝Q n ；③若x ∈(－1,0)，则P 3－Q 3＝x 3＜0，所以P 3＜Q 3. P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )＜0，所以P 4＜Q 4.假设P k ＜Q k (k ≥3)，则P k ＋1＝(1＋x )P k ＜(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k＝1＋kx ＋k (k －1)x 22＋x ＋kx 2＋k (k －1)x 32＝1＋(k ＋1)x ＋k (k ＋1)2x 2＋k (k －1)2x 3 ＝Q k ＋1＋k (k －1)2x 3＜Q k ＋1，即当n ＝k ＋1时，不等式成立．所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n ＜Q n .四、探究与拓展14．已知f (n )＝1＋12＋13＋ (1)(n ∈N ＋)，g (n )＝ 2(n ＋1－1)(n ∈N ＋)．(1)当n ＝1,2,3时，分别比较f (n )与g (n )的大小(直接给出结论)；(2)由(1)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并证明你的结论．解 (1)f (1)＞g (1)，f (2)＞g (2)，f (3)＞g (3)．(2)当n ＝1时，f (1)＞g (1)；当n ＝2时，f (2)＞g (2)；当n ＝3时，f (3)＞g (3)．猜想：f (n )＞g (n )(n ∈N ＋)，即1＋12＋13＋…＋1n ＞ 2(n ＋1－1)(n ∈N ＋)．下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝2(2－1)，f (1)＞g (1)，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k ＞2(k ＋1－1)．则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞2(k ＋1－1)＋1k ＋1＝2k ＋1＋1k ＋1－2，g(k＋1)＝2(k＋2－1)＝2k＋2－2，所以只需证明2k＋1＋1k＋1＞2k＋2，即证2(k＋1)＋1＝2k＋3＞2(k＋2)(k＋1)，即证(2k＋3)2＞4(k＋2)(k＋1)，即证4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8，此式显然成立．所以，当n＝k＋1时不等式也成立．综上可知，对n∈N＋，不等式都成立，即1＋12＋13＋…＋1n＞2(n＋1－1)(n∈N＋)成立．。