导数系列：一类以自然指数对数为背景的导数压轴题解法教师版

导数系列:一类以自然指数对数为背景的导数压轴题解法教师版

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一类以自然指数和对数为背景的压轴题解法

注: 本文以目前数学成绩在一本线上下的学子的数学水准，进行展开讲解。

根据“遗传学规律”明年全国乙卷再次考到的可能性极大,打出来给学生将保准学生横扫此类压轴题!

源于课本:1-1课本99页B 组1题或课本２-2第32页B 组１题的习题:利用函数的单调性,证明下列不等式，并通过函数图像直观验证:x e x +≥1； 【探究拓展】

探究１：证明不等式x e x +≥1*

变式1：设a x e x f x --=)(，其中,R a ∈若对于任意R x ∈，0)(>x f 恒成立，则参数a 的取值范围是＿＿＿______ 1

变式2：设1)(--=ax e x f x ,其中R a ∈,若对于任意R x ∈,0)(≥x f 恒成立，则参数a 的取值范围是____＿____ 1=a

变式3:设1)(--=x ae x f x ,其中R a ∈,若对于任意R x ∈,0)(≥x f 恒成立,则参数a 的取值范围是_____＿＿＿_ 1=a

点评：太巧了：增之一分则太肥，减之一分则太瘦.．.... 探究2:不等式x e x +≥1*有哪些等价变形并在坐标系中画图？ 变形1：x e x -≥-1 变形2:()1

11

x e x x -≤

>-+ 变形3:)1()1ln(->≤+x x x 变形4:)0(1ln >-≤x x x *

变形５:)0(11

ln

>+-≥x x x

变形6：)0(11

ln >+-≥x x

x

归一：我们只要通过画图并记住x e x +≥1*,)0(1ln >-≤x x x ＊即可，考试出现了其它变形换元转化为这２个不等式即可。

探究3：观察：“插中”不等式(当然是我编的名字) 变形4:)0(1ln >-≤x x x *

变形6:)0(11

ln >+-≥x x

x ＊

两式相加除以２，的大小并证明：还是右边试比较：左边)1

(21ln x

x x -

结论：“插中”不等式*:若01x <≤,则11ln .2x x x ⎛⎫

≥- ⎪⎝⎭ ；若1,x ≥则11ln ;2x x x ⎛⎫

≤

- ⎪⎝⎭

请在坐标系中画出图像:这个图像很漂亮,容易记住。

点评:数学很美，插中不等式很明显是加强，更加精准了，在高考中经常考到,往后看... 总结:①x e x +≥1＊,②)0(1ln >-≤x x x *③“插中”不等式＊，以上三式都是将自然指数和对数放缩为我们更加熟悉的一次函数或者反比例函数进行放缩处理。

题型一:化归为指数型x e x +≥1放缩

例1(２０10年全国)设函数()2

1x

f x e x ax =---。（1）若0a =，求()f x 的单调区间;（2）若0x ≥时

()0f x ≥，求a 的取值范围。(提示:1x e x ≥+)

解:(1）0a =时，()1x

f x e x =--,'()1x

f x e =-.

当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <;当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少,在(0,)+∞单调增加

(2）'()12x

f x e ax =--

由(I ）知1x e x ≥+,当且仅当0x =时等号成立.故

'()2(12)f x x ax a x ≥-=-,

从而当120a -≥,即1

2

a ≤

时,'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =, 于是当0x ≥时,()0f x ≥.

ﻩ由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x

e x x ->-≠.从而当1

2

a >

时， ﻩﻩ'()12(1)(1)(2)x x

x x x f x e a e

e e e a --<-+-=--,

故当(0,ln 2)x a ∈时,'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <. 综合得a 的取值范围为1(,]2

-∞.

练习1:(2012年全国)已知函数()()()1

21

'102

x f x f e f x x -=-+,(1）求()f x 的解析式及单调区间；(2）

若()2

1,2

f x x ax b ≥++求()1a b +的最大值。（很简单,省略)

练习2：(2０1３年全国)已知函数()()ln .x

f x e x m =-+当2m ≤时，证明()0.f x >(很简单，省略)

练习３:（２016年广一模)已知函数()()()3,ln 12x m

f x e

x g x x +=-=++。1）若曲线()y f x =在点

()()0,0f 处的切线斜率为１，求实数m 的值。2)当1m ≥时，证明:()()3

f x

g x x

>-。(2016年广二模也

有用到）

练习４：已知函数()1(0,)x f x e ax a e =-->为自然对数的底数. ⑴求函数()f x 的最小值;