第7章椭球面上的测量计算

一、椭球面常用坐标系
1、大地坐标系
• 过P点的子午面NPS与起始子午面NGS 之间的夹角叫做P点的大地经度L，经 度有东经、西经之分； P点的法线Pn 与赤道面的夹角叫P点的大地纬度B ， 纬度有北纬、南纬之分。
• 若P点不在椭球面上，还需增加第三 参数——大地高H。大地高与正高及 正常高的关系为： H H正Ng(大地水准面差) 距
M dS dB
M
E B
• 进一步推导（过程略），可得：
a(1e2)
M 或M
W3c
V3
(76)0
或M

N V2
• 式中：W 1e2 sin2 B
V 1e2 cos2 B
（常用）
N a, W
ca2 b
• 子午圈曲率半径与纬度的大小有关。其变化规律如表7－2所示：
B
B 0
a
④第一偏心率：⑤e a2 b2 a
第二偏心率： e a2 b2 b
• e和e‫׳‬是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。
• 五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其 中至少应有一个是长度元素（如a或b）。习惯上通常用a和α。
W
V
• 式中，a、b 为椭球长、短半径，W、
V为前述辅助函数：
W 1e2 sin2 B
V 1 e2 cos2 B
x aco Bsaco Bs (7 1)6 1e2si2n B W
ya(1 e2)siB n b siB n (7 1)7
W
V
设Pn = N，由右图可以看出：
• MN 为过M 点的子午线。
• S 为连结M 点和P点的大地线（最短曲线， 将在§7－5介绍）长度。
• A 为大地线在M 点的方位角。
• 以M 为极点，MN 为极轴，S 为极径，A 为极角，便构成大地极坐标系。
• 在大地极坐标系中，P点的位置用（S,A ） 表示。
二、几种坐标系之间的关系
1、子午面直角坐标与大地坐标的关系
• 斜截弧（平行圈PHK）的曲率半径r等于 P点的横坐标x）子午面直角坐标。（
地坐标（ L ，B ，H ）
• 关系式如下：
L tg1( Y ) X
(7 31)
B tg1( Z Ne2 sin B) X 2 Y2
(7 32)
H Z N(1 e2 ) sin B
(7 34)
• （7－31）可直接由（7－25）得到。
• （7－32）可根据右图得到。
2、空间直角坐标与子午面直角坐标的 关系
• 从右边2图容易得出：
XxcosL
YxsinL

(724)
Zy
L
3、空间直角坐标与大地坐标的关系
（1）由大地坐标（ L ，B ，H ）求空间
直角坐标（X ，Y ，Z）
L
• 当P点在椭球面上，即H ＝0时， 将
(7-18)、(7-20)二式代入(7-24)式即得：
是子午椭圆上P点处的法‫׳‬卯酉圈EPE • 截弧，而平行圈PHK可看作子午椭圆 。”斜截弧“上P点处的
• 麦尼尔定理：如果过曲面上一点引两条 截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在 该点处两截弧具有公切线，则斜截弧在 该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径 乘以两截弧平面夹角的余弦。
• 由右图可知，两截弧平面夹角为B。
• 2000国家大地坐标系是一个地心坐标系，原点与地球质心重合。
• 2000国家大地坐标系采用的地球椭球参数如下：
参数
CGS2000椭球
a
6378137m
α 1/29பைடு நூலகம்.257222101
二、椭球参数间的关系（运用初等数学知识很容易推导，过程略）
e2

a2 b2 a2
1 e2 b2 a2
e2 e2 1 e2
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。
• 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
WGS-84椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
6378137 (m)
一、地球椭球的基本几何参数 • 地球椭球：在控制测量中用来代表地球的椭球，它是地球的数学
表达模型。 • 参考椭球：具有一定的几何参数，经过定位和定向，用以代表某
一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。 • 地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行
计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。
• 椭球体有关元素——
O为椭球中心；
NS为旋转轴；
EAE‫׳‬为赤道（⊥NS；（
a为长半轴；
b为短半轴；
；（ NKAS为子午圈（经圈或子午椭圆
。（ 与赤道平行 为平行圈（纬圈，‫׳‬QKQ
• 决定椭球形状和大小的五个参数——
①长半轴（长度元素 ：（a
②短半轴（长度元素 ：（b
ab
③扁率（反映椭球体的扁平程度 ：（
• 在不规则的地球自然表面上获得的距离、角度等观测数据必须先 归算到规则的椭球面上，再按保角投影方法投影到高斯平面上才 能进行平差计算。
• 等级控制点的坐标都是高斯平面直角坐标系中的坐标。如果不对 地面观测数据进行归算、改化就直接按坐标公式计算，则当范围 较大时控制网无法拼接。如公路测量等。
• 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。
同一点上不同方向的法截线的形状及曲率半径也各不相同。 • 下面介绍椭球面上几种主要曲线的曲率半径。
一、子午圈曲率半径
• 在子午椭圆上取微分弧长dS（dS=DK）， 相应地有坐标增量 (子午面直角坐标系) dx、 dy。
• 设微分弧dS的曲率中心为n，则线段Dn及 Kn即子午圈曲率半径，用M表示。
• 由平面曲线的曲率半径定义公式知：
0 B90 B 90
M
说明
M0 a(1e2)
c (1e2)3
在赤道上最小，小于 赤道半径
a(1e2)Mc 随纬度的增大而增大
M9 0
a c 1e2
在极点上最大, 等于 极点曲率半径c
• M随纬度B的变化情况亦可从下图中看出。
B=90o B
B=0o
二、卯酉圈曲率半径
x＝NcosB
(7-18)
N
比较(7-16)式，有：N＝a / W (7-19)
于是 y ＝ N(1－e2)sinB
(7-20)
又由图可知：y＝PQsinB
(7-21)
所以： PQ＝N(1－e2)
(7-22)
Qn＝N－PQ＝Ne2
(7-23)
• 由(7-22) 、 (7-23)可知P点法线Pn在 赤道两侧的长度。
• 过椭球面上P点可作无数个法截面。 其中与子午面垂直的那个法截面同椭 球面的交线称为卯酉圈。右图中的 EPE‫׳‬即为过P点的卯酉圈，其曲率半 径用N表示。
为中心的平行圈PHK的切‫׳‬过P点作以O • 线PT，该切线位于垂直于子午面的平 行圈平面内。
也垂直于子午面，故PT也‫׳‬卯酉圈EPE • 是卯酉圈在P点处的切线，垂直于法 线Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈 。 在P点处的公切线‫׳‬EPE
α
1／298.3
1／298.257
1/298.257223563
• 经国务院批准，根据《中华人民共和国测绘法》，我国自2019年 7月1日起启用2000国家大地坐标系（简称“2000坐标系”， 或 CGS2000，即China Geodetic System 2000，或CGCS2000 ，即 China Geodetic Coordinate System 2000 ）。
• 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。
• 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。
地球自然表面 高斯平面 参考椭球面
§7-1 地球椭球的几何参数及其相互关系
• 为了进行控制测量计算，必须了解椭球面上曲线的曲率半径。 • 先介绍两个名词。 • 法截面——过椭球面上的一点作垂直于椭球面的法线，包含这条
法线的平面。 • 法截线——法截面与椭球面的交线。法截线又叫法截弧。 • 由一条法线可作无数个法截面，相应有无数条法截线。 • 在圆球面上，各点的法截线形状相同，曲率半径也相同。 • 在椭球面上，不仅各点的法截线形状不同、曲率半径不同，而且

§7-2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系
• 椭球面上的坐标系有： ①大地坐标系 ②空间直角坐标系 ③子午平面直角坐标系 ④大地极坐标系 ⑤地心纬度坐标系 ⑥归化纬度坐标系 • 前两种是大地测量中最常用的基本坐标系，而最后两种坐标系在
实际应用中很少采用，仅用于大地测量公式推导和某些特殊测量 计算中。
• 椭球面上的测量计算公式很多。为简化书写，引入下列符号：
c a2 b
t tgB
W 1 e2 sin2 B
2 e2co2sB
V 1 e2 cos2 B
• 式中B为大地纬度； W、 V为辅助函数，其中W叫第一基本纬度 函数， V叫第二基本纬度函数。
• 自1738年布格（法国）推算出第一组椭球参数以来，200多年来 各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目 繁多、数值各异的椭球参数，比较著名的就有30多组。
B
XNcoBscoLs
YNcoBssinL
(725)
n
ZN(1e2)sinB
• 当P点不在椭球面上，即H ≠0时，有
XNHcoBscoLs
YNHcoBssinL

Z(N(1e2)H)sinB
(730)
3、空间直角坐标与大地坐标的关系
（2）由空间直角坐标（X ，Y ，Z）求大
• OP″＝x＝ X2 Y2
• 因等式右边也包含B，故需迭代计算， 其初始值可设为0; N值也需逐次迭代。
• 同样，（7－34）可根据右图得到。
sinB＝Z / (H+P'Q)
• 教材7.2.3“地心站平坐标系”实际应用较少。
L B
n
Ne2sinB
OP″=OP2 Ne2
§7-3 椭球面上的几种曲率半径
H H正常(高程异常 )
• 在大地坐标系中， P点的位置用 （ L ， B ， H ）表示。
2、空间直角坐标系
• 以椭球中心O为原点，起始子午面与 赤道面交线为X轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y轴，椭球体旋转轴
为Z轴。X、Y、Z构成右手坐标系。
• 在空间直角坐标系中， P点的位置用
（X ，Y ，Z）表示。
e2

a2 b2 b2
1 e2 a2 b2
e2 e2 1 e2
a b 1 e2 , c a 1 e2 , e e 1 e2 , V W 1 e2 , e 2 2
b a 1 e2
a c 1 e2
e e 1 e2
第七章 椭球面上的测量计算
（教材第六章“GPS卫星定位技术”将在另一门专业课中介绍）
§7-1 地球椭球的几何参数及其相互关系 §7-2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 §7-3 椭球面上的几种曲率半径 §7-4 椭球面上的弧长计算 §7-5 大地线 §7-6 将地面观测值归算至椭球面 §7-7 大地测量主题解算简介（*） §7-8 椭球面上三角形的解算（增加）

W V
1

e
2



W 1 e 2 V b V a

V 1 e2 W a W b

W 2 1 e 2 sin 2 B (1 e 2 )V 2

V 2 1 2 (1 e2 )W 2
• 在这两个坐标系中，同点的L相同。
• 过点P作子午椭圆的法线，该法线与
x 轴、 y 轴的交点分别为Q、n，与x
轴的夹角为B（ P点纬度）。
• 可以证明（过程略），子午面直角
坐标（x，y）与大地纬度B 有以下
关系式：
aco Bs aco Bs
x

(7 1)6
1e2si2n B W
ya(1 e2)siB n b siB n (7 1)7
3、子午面直角坐标系
• 设P点的大地经度为L。在过P点的子午 面上，以子午椭圆中心为原点，建立平 面直角坐标系（注意：该平面直角坐标系的x、 y轴的方向与测量习惯不一致 ）。在该坐标系 中， P点的位置用（L，x，y ）表示。
• 子午面直角坐标系仅用于大地测量公式 推导。
4、大地极坐标系
• M为椭球面上任意一点 。