函数方程的柯西解法
柯西公式的推论
柯西公式的推论柯西公式是数学分析中的一个重要概念，而由它衍生出的推论更是为解决各种数学问题提供了有力的工具。
先来说说柯西公式到底是啥。
它就像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂数学问题的大门。
柯西公式表达为：若函数$f(z)$在区域$D$内处处解析，$C$为$D$内的一条简单正向闭曲线，$z_0$为$C$内一点，则$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z - z_0}dz$ 。
那从这个神奇的公式能得出啥推论呢？比如说，它可以用来推断函数的零点个数。
想象一下，你在解一个方程，怎么知道它有几个根呢？柯西公式的推论就能帮上忙啦！还记得我之前教过的一个学生小明，他在学习柯西公式推论的时候，那叫一个头疼。
每次做题，总是抓不住要点。
有一次，课堂上做一道关于判断函数在某个区域内零点个数的题目，小明瞪着题目看了半天，就是无从下手。
我走过去，看到他眉头紧锁，就问他：“怎么啦，小明？”他苦着脸说：“老师，这柯西公式的推论我总是搞不明白，感觉好复杂。
”我拿起他的笔，给他慢慢讲解：“你看啊，这道题咱们先根据已知条件判断函数的解析性，然后再看曲线的走向……”小明听着听着，眼睛里渐渐有了光亮。
经过那次之后，小明像是突然开了窍，后面再遇到类似的题目，做得越来越顺。
其实柯西公式的推论就像是一个隐藏在数学森林中的宝藏，只要你找到了正确的路径，就能发现它的价值。
再比如说，柯西公式的推论在计算复变函数的积分时也特别有用。
有时候，直接计算积分可能会让你感到头大，但是如果巧妙地运用柯西公式的推论，问题就能迎刃而解。
就拿计算$\int_{|z|=2}\frac{z^2 + 1}{z(z - 1)}dz$ 这道题来说吧。
如果直接去算，那可真是麻烦得很。
但运用柯西公式的推论，先判断函数的奇点，再根据奇点的情况进行分类讨论，计算过程就会清晰很多。
总之，柯西公式的推论在复变函数这一领域中有着广泛的应用。
它就像是数学世界里的一盏明灯，照亮了我们前行的道路。
数学物理方程柯西问题
数学物理方程柯西问题柯西问题（Cauchy Problem）是数学物理学中常见的一类问题，涉及到解方程及求解物理问题的数学模型。
所谓柯西问题就是通过一些方程，已知一些初始条件或边界条件，求解出一个函数或一个物理系统在其中一时刻或一段时间内的状态。
柯西问题广泛应用于数学分析、偏微分方程、数值计算等领域。
接下来，我们将详细介绍柯西问题的定义、求解方法以及实际应用。
柯西问题的定义是在一定的初始条件下，求解出一个函数的解析表达式或数值解。
典型的柯西问题通常由一个偏微分方程和一些边界条件或初始条件组成。
例如，著名的热传导方程可以用来描述物体中的温度分布情况。
柯西问题就是在这个方程已知的情况下，给定初始温度分布，求解出物体在其中一时刻的温度分布。
对于柯西问题的求解，常用的方法有解析法和数值法。
对于一些简单的问题，可以通过对方程进行解析求解，得到一个精确的解析表达式。
这种方法通常适用于一些线性方程，例如线性常微分方程等。
对于一些复杂的问题，解析求解并不容易或者不可能，这时就需要借助数值方法来近似求解。
数值方法将问题离散化，将连续的方程转换为离散的方程，然后通过迭代的方式逼近真实的解。
常见的数值方法有有限差分法、有限元法、谱法等等。
这些方法通常要依赖于计算机进行计算，能够处理更加复杂的问题。
柯西问题在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
在物理学中，柯西问题常用于解决热传导、电磁场分布、气体动力学等问题。
在工程领域中，柯西问题可以用于预测和模拟材料的破裂、流体的流动等。
此外，数学分析中也经常需要求解柯西问题，例如微分方程的存在唯一性定理就是基于柯西问题的解的存在唯一性。
总结起来，柯西问题是数学物理学中的一类常见问题，涉及到解方程及求解物理问题的数学模型。
柯西问题的求解可以通过解析法和数值法来进行。
解析法适用于一些简单线性问题，数值法适用于一些复杂问题。
柯西问题在科学研究和工程实践中有着广泛的应用，能够帮助我们理解和解决实际问题，推动科学技术的发展。
柯西函数方程的
柯西函数方程的柯西函数方程是一类非常重要的非线性方程，在微积分、动力系统和应用数学中有广泛的应用。
函数方程的起源可以追溯到18世纪法国数学家克莱米耶（Laplace），他认为函数的求解是一个非常具有挑战性的问题，后来由德国数学家哈灵（Hirn）扩展而来，给出了求解柯西函数方程的具体方法和算法。
柯西函数方程一般形式为：f(x) =a^b(g(x,t)dt)其中，f（x）代表函数值，g（x，t）代表被积函数，a和b分别为积分的下限和上限。
特别的，当被积函数g(x,t)为恒等式时，柯西方程变成了常规积分求取。
由柯西函数方程可知，求解函数方程可以分解为求解柯西函数g(x,t)和进行定积分求解两个步骤。
首先，从欧拉齐公式、拉普拉斯方法、牛顿迭代法、改进牛顿法等数学算法中，选择合适的算法来求解柯西函数g(x,t)，以获得函数值f(x)的近似值。
其次，利用梯形法、辛普森法、辛普森-贝尔斯积分法等定积分的方法，对获取的柯西函数g(x,t)、求取柯西函数方程的函数值f(x)。
柯西函数方程的研究和开发是理论科学家和应用研究人员面临的一个重要挑战。
为此，人们研究出了一系列的求解方法，可以有效求解柯西函数方程，并有效应用到实际工程中。
例如，利用改进牛顿法求解柯西函数方程，可以满足计算要求；利用牛顿-贝尔斯可以准确估计柯西函数方程的结果，并且该结果可以用于精确估计积分值。
此外，在柯西函数方程研究中，数值分析是非常重要的一环。
利用数值分析，可以获得准确的柯西函数方程求解结果。
对于比较复杂的函数方程来说，数值计算是一种非常快速的求解方法。
此外，利用复合柯西函数方程进行求解，可以把一些复杂的柯西函数方程简化为一系列更容易求解的计算问题。
综上所述，柯西函数方程是一个非常重要的概念，广泛应用于微积分、动力系统和应用数学等领域，是理论科学家和应用研究人员面临的一个具有挑战性的问题。
总的来说，人们提出了一些方法来有效求解柯西函数方程，并应用到实际工程中。
亥姆霍兹方程柯西问题的求解过程
亥姆霍兹方程柯西问题的求解过程
亥姆霍兹方程是一个著名的偏微分方程，描述了波动现象的传播。
柯西问题是指在给定初始条件下求解方程。
对于二维亥姆霍兹方程：
∇²u + k²u = 0
其中， u 是待求解的函数， k 是波数。
柯西问题的初始条件一般包括波函数 u 在某一时间 t=0 和空间区域内的初始值。
要解决这个问题，一般采用 Fourier 分解法。
设 u 可以分解为平面波的叠加形式：
u(x, y, t) = ∑[An cos(kn x + ln y - ωn t) + Bn sin(kn x + ln y - ωn t)]
其中， An、Bn 是待定系数， kn、ln 是波数，ωn 是与 kn 有关的频率。
将初始条件代入上述公式，可以得到 An 和 Bn 的值。
然后将其代入泛定解中，即可以得到方程的求解结果。
需要注意的是，在实际问题中，亥姆霍兹方程的求解往往还需要结合具体的边界条件来求解。
具体求解过程可能因问题的复杂性而有所不同，可针对具体问题采用适当的数值解法（如有限差分法、有限元法等）进行求解。
函数方程柯西法
函数方程柯西法函数方程柯西法是一种解决函数方程问题的重要方法。
它由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在19世纪初提出，被广泛应用于数学和物理学领域。
该方法通过引入复变函数的概念，将函数方程转化为复变函数的积分方程，从而简化求解过程。
在函数方程柯西法中，关键的步骤是利用柯西积分定理和柯西积分公式来求解积分方程。
首先，根据所给的函数方程，我们将其转化为复变函数形式。
其次，利用柯西积分定理，将函数方程表示为复变函数的闭合曲线积分。
然后，根据柯西积分公式，将闭合曲线积分转化为函数在曲线内部的积分。
最后，通过求解积分方程，得到函数方程的解。
函数方程柯西法的优势在于可以将原本复杂的函数方程问题转化为积分方程问题，从而简化计算过程。
它适用于各种类型的函数方程，例如函数的微分方程、差分方程和积分方程等。
而且，函数方程柯西法还可以用于求解边值问题、特殊函数的函数方程等高阶问题。
举个例子来说明函数方程柯西法的应用。
假设我们要求解函数方程 f(x) = f(x+a) - f(x+b)，其中a和b是常数。
我们可以将该函数方程转化为复变函数形式，即求解 F(z) = F(z+a) - F(z+b)，其中F(z)是f(x)的复变函数形式。
接下来，我们选择一个适当的闭合曲线C，使得曲线C内部只有一个奇点，并且曲线C包含方程中的所有自变量x。
然后，利用柯西积分定理，将函数方程表示为曲线C上的积分，即F(z) = (1/2πi)∮C F(η) / (η-z) dη，其中∮表示沿曲线C的积分。
根据柯西积分公式，我们可以将曲线C上的积分转化为曲线C内部的积分，即F(z) = (1/2πi)∫D F(η) / (η-z) dη，其中D表示曲线C内的区域。
然后，我们可以对该积分方程进行求解，得到函数方程的解F(z)。
最后，我们将F(z)转化回f(x)的形式，即得到函数方程的解f(x)。
通过这种方式，我们可以利用函数方程柯西法解决各种类型的函数方程问题。
第三章 3.2-3.3 柯西积分定理及公式
记作
F ( z ) f ( z ) .
五、原函数
2. 由变上限积分构成的原函数 定理 若 G ( z ) H ( z ) c ,在单连域 D 内处处解析，
P63 定理 3.5
F(z) f()d,
z0 z
D
z,z0D,
令 则 在 D 内解析，且
证明 (略)
13
五、原函数
闭路变形原理
P62
D
C1
如图，设 f ( z) 在 D 内解析，
C C 在边界 C 上连续， 1 2
Γ C2
G 为 D 内的一条“闭曲线”，
则
f ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z . C C Γ
1 2
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。
Green公式
C R方程
v u u v ( ) d x d y i ( ) d x d y x y x y G G
0.
上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。
一、柯西基本定理
定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
性质 函数 G ( z ) H ( z ) c ,的任何两个原函数相差一个常数。
z F ( z ) c .是 G ( z ) H ( z ) c ,的两个原函数，则 (z)c和 f(z)d 证明 设 F
z
0
z
其中，c 为任意常数。
G ( z ) H ( z ) c ,的原函数 F ( z ) 称为 定义 函数 G ( z ) H ( z ) c ,的不定积分，
函数方程的几种方法
函数方程三、求解函数方程的几种方法：可能会遇到函数方程的问题，在这里我们介绍几种典型的求解函数的方法。
一．代换法 1．解函数方程：x xx f x f +=-+1)1()( (1) 解：令1,0,1≠-=y y y x ；则x y -=11，将此代入（1：yy y f y y f 12)11()1(-=-+-或 x x x f x x f 12)11()1(-=-+-。
(2) 此时(1)及(2)并无法解出)(x f ；所以我们再令1,0,11≠-=z z x ；则z =此代入（1）式则可得z z z f z f --=+-12)()11(， 即x f x f +-)()11(。
(3)将(1)，(2)及(3)联立，则可得到一个以)1(),11(),(x x f x f x f --一次方程组；我们利用消去法来解此问题． (1)+(3)－：x x x x x x f 1212)1()(2----++=)1(21)(23---=⇒x x x x x f 。
经检验是原函数方程的解． 2．（2007越南数学奥林匹克）设b 是一个正实数，试求所有函数R R f →:得)3(3)()(1)(1)(y y f bx y f b b b x f y x f yy-+⋅=+-+-+对任意实数x 、y 均成立。
解：将原方程变形为：1)(3))(()(-++⋅+=++y f bx y x yb x f b y x f ， (x , y ∈①令x b x f x g +=)()(，则①等价于1)(3)()(-⋅=+y g x g y x g ，(x , )R y ∈②在②中令0=y 得1)0(3)()(-⋅=g x g x g )(R x ∈这表明1)0(0)(==g x g 或。
1）若0)(=x g )(R x ∈，则x b x f -=)(；2）若1)0(=g ，在②式中令0=x 得：1)(1)(33)0()(--=⋅=y g y g g y g ，即0)(31)(=--y g y g 。
微分方程中的柯西问题
微分方程中的柯西问题
柯西问题是微积分中一个重要的概念，它是指求解某一特定微分方程的参数化解析解。
它是建立在柯西定理上的，这是一个数学定理，说明了对于一个特定的微分方程，存在一个参数化的解析解。
柯西问题的定义是：给定微分方程，求解其参数化解析解。
在微积分中，解析解是指一个函数的参数化解，参数可以是常数，也可以是参数函数的参数，而参数函数又可以是某种特殊函数，如指数函数、对数函数、正弦函数等。
柯西问题是一个重要的数学问题，它是微积分中许多问题的基础。
比如，可以用柯西问题来求解求解常微分方程，而且可以用柯西问题求解广义微分方程。
此外，柯西问题还可以用来求解某种特殊的微分方程组，如高阶微分方程组、抛物型微分方程组、椭圆型微分方程组等。
柯西问题的解决方法有许多种，最常见的是函数参数化解法。
这种方法是将微分方程改写成一个参数函数的形式，然后根据参数函数的特性，求解其参数化解析解。
比如，当参数函数为指数函数时，可以用指数函数的参数化解法求解参数化解析解；当参数函数为对数函数时，可以用对数函数的参数化解法求解参数化解析解等。
另外，柯西问题也可以用数值方法求解，比如牛顿迭代法、拉格朗日迭代法、四阶龙格库塔法等。
这些方法可以用来求解某些微分方程，但是它们不能用来求解参数化解析解。
柯西问题是微积分中一个重要的概念，它有着重要的理论意义和实际应用，在微积分中柯西问题的解决方法有许多种，可以根据实际情况选择合适的方法来求解某一特定的微分方程的参数化解析解。
二维热传导方程柯西问题的求解
二维热传导方程柯西问题的求解二维热传导方程是描述一个二维物体内部温度分布随时间变化的方程。
柯西问题是指在一个有界的区域上，给出初始温度分布和边界条件，求解在给定的时间内物体内部温度分布的问题。
二维热传导方程的数学表达为：∂u/∂t = a(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)其中u(x, y, t)表示物体在点(x, y)的温度，t表示时间，a是热扩散系数。
柯西问题的边界条件通常有三种情况：1.温度边界条件：在区域边界上给出物体的温度分布。
2.边界绝热条件：在区域边界上假设物体与外界没有热量的交换，即∂u/∂n = 0，其中n表示区域边界的法向量。
3.边界反射条件：在区域边界上假设物体与外界的热量交换满足反射条件，即∂u/∂n = −k(∂u/∂n)，其中k是热导率。
柯西问题的初始条件通常是给出物体在t=0时刻的温度分布。
解柯西问题的方法有多种，其中常用的有分离变量法和离散化法。
1.分离变量法：分离变量法的基本思想是将温度函数u(x, y, t)表示为两个只与变量x和y有关的函数的乘积，即u(x, y, t) = X(x) * Y(y)。
将上述表示代入二维热传导方程中，可以得到两个分离后的常微分方程。
2.离散化法：离散化法的基本思想是将物体内部的连续温度分布离散为一系列离散点的温度值，然后利用差分近似来逼近二维热传导方程。
常用的差分近似方法有有限差分法和无限差分法。
有限差分法将物体内部的连续区域离散为一个有限的网格，在网格节点上近似求解差分方程。
无限差分法则通过在整个区域上进行离散化，利用无穷级数的性质求解差分方程。
在实际求解柯西问题时，需要根据具体的边界条件和初始条件选择合适的求解方法，并通过数值计算的方式得到近似解。
通常需要使用计算机编程来实现求解过程，常用的编程语言有MATLAB和Python 等。
以上就是关于二维热传导方程柯西问题的求解的一些基本概念和方法。
在实际应用中，需要根据具体的问题和条件来选择适合的数学模型和求解方法，以获得准确的温度分布信息。
函数方程的柯西解法
函数方程的柯西解法在函数方程的发展史上，许多函数方程的建立和解法都是由柯西首先提出的. 本节我们就来研究函数方程的柯西解法.在前几节讨论的函数方程中，所涉及的函数大多数是自然数的函数. 而本节中的函数，它的定义域都是在某一区间上的实数.柯西解法的步骤是：依次求出对于自变量的所有自然数值、整数值、有理数值，直至所有实数值的函数方程的解.如所周知，一个函数方程的解往往并不是唯一的. 也就是说，可能存在着不同的函数，满足同一个函数方程. 为了保证函数方程的解的唯一性，通常需要给所求的函数附加一些条件，例如要求所求的函数必须是连续的，或者必须是单调的. 在本节里，要求函数方程的解都必须是单调函数.什么是单调函数呢？如果对于较大的自变量的值，函数值也较大；即当12x x >时，有)()(12x f x f >，就是说函数)(x f 单调增加. 如果对于较大的自变量的值，函数值反而较小；即当12x x >时，有)()(12x f x f <，就说函数)(x f 单调减小. 单调增加和单调减小的函数，统称单调函数.在后面的讨论中，我们还要用到区间套原理. 这个原理是这样的： 设有一个区间序列：,],[,,],[,],[,],[332211•••••••••••••••••n n βαβαβαβα （78）其中每个区间都包含着后一个区间：),3,2,1(,],[],[11 ••••••i ••••••i i i i =βα⊃βα++ （其中⊃是集的包含符号）形成一个“区间套”，而且区间长度可以任意地小（就是说，不论我们事先给定一个多么小的正数ε，序列（78）中总存在这样一个区间，从此以后所有的区间的长度都小于ε）. 那末，必定存在着唯一的一个点ξ，被所有（无穷多）这些区间所包含.特别是当ξ是无理数时，如果把n α和n β取作ξ的精确到10-n 的不足近似值和过剩近似值. 那末以ξ的不足近似值和过剩近似值为端点，将构成一个区间套. 相应的区间的长度是10-n . 例如，我们知道，圆周率π是一个无理数：.897931415926535.3•• =π于是，可以构成区间套.]142.3,141.3[]15.3,14.3[]2.3,1.3[••••••• ⊃⊃⊃区间的长度依次是3.2-3.1=10-1，3.15-3.14=10-2，3.142-3.141=10-3，…. 我们注意到，每个区间的端点n n βα和都是有理数，而只有唯一的一个无理数α=π被包含在所有这些区间之内.有了这些准备之后，我们转入函数方程的柯西解法的讨论. [例19] 解函数方程.)()()(•y f x f y x f +=+ （79）解 由函数方程（79）容易推得（用数学归纳法）：.)()()()(2121•x f x f x f x x x f n n +++=+++ （80）在（80）中如果令x •x x x n ==== 21，就得到 .)()(•x nf nx f =再令nmx=（m 是正整数），又有 .)1()1()(•mf m f m f n m n f n m nf =∙==⎪⎭⎫⎝⎛∙=⎪⎭⎫ ⎝⎛所以.)1(•n m f n m f ∙=⎪⎭⎫⎝⎛记常数f (1)=c . 于是对于任何正有理数x >0，都有.)(cx •x f = （81）当自变量的值为零时，即令x=y =0，由函数方程（79），有,)0()0()0(•f f f +=∴.00)0(•c f ∙==这就是说，对于自变量的值为零的情形，函数方程（79）的解也是（81）. 对于自变量为负数的情形，如x 为负有理数，可设••x y.0>-=于是有.0)0()()()(•f y x f y f x f ==+=+所以.)()(cx •cy y f x f =-=-=总之，对于自变量的任何有理数值x =r ，函数方程（79）的解都是（81）：.)(cr •r f = （82）现在来讨论自变量是无理数的情形. x =ξ(ξ是无理数). 设ξ的精确到小数点后第i 位的不足近似值和过剩近似值是i i βα和. 根据f (x )的单调性（为确定起见，不妨设f (x )是单调增加的），推知),3,2,1(.)()()( ••••••i ••i f f i f =β<ξ<α （83）因为••f f c ,0)0()1(=>=由i i β<ξ<α又得.•c c c i i β<ξ<α由于i α，i β是有理数，由（83）得.)(•c f c i i β<ξ<α （84）比较（83）和（84），看出ξc 和)(ξf 处于同一个区间套之内. 根据区间套原理，只有一个点为所有区间套公有，得知)(ξf =ξc . （85）综合（82）和（85），即得：对于任何实数x ，函数方程（79）的解是正比例函数.)(cx •x f =[例20] 解例2中的函数方程,)()(22•y f x f y x f +=⎪⎭⎫⎝⎛+ （9） 并求出由摄氏温度换算为华氏温度的关系式.解 在函数方程（9）中，令y =0，就有,)0()(22•f x f x f +=⎪⎭⎫⎝⎛ 或者.)0()(2)2(•f x f x f -= （86）用数学归纳法可以证明，)87(.)0()2()()()(222121•••f n x f x f x f x x x f •n n --+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++事实上，设n=k 时，方程（87）成立，即设••f k x f x f x f x x x f •k k .)0()2()()()(222121--+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++ 于是有.)()]0()2()2()2()2([21)(2222)()(2)(222121121121121121•x f f k •x f x f x f x f x x x f x f x x x f x x x x f x x x x f •k k k k k k k k k k ++++++--+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎪⎭⎫⎝⎛++++根据（86），得.)0()1()()()()()()]0()2()0()(2)0()(2)0()(2[2122121121121•f k x f x f x f x f x f f k f •x f f x f f x f x x x f •k k k k k --++++=+---++-+-=⎪⎭⎫⎝⎛++++++就是说，对于n=k +1，方程（87）仍然成立. 又当n =2时，显然有.)0()22()()()()(22212121•f x f x f ••x f x f x x f --+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 这就证明了由函数方程（9）可以推出函数方程（87）.在（87）中，令x x x x n ==== 21，即得.)0()2()(22•f n x nf x n f --=⎪⎭⎫⎝⎛ （88）又令nmx=（m 是正整数），则有 ,)0()2(22•f n n m nf m f --⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 就是.)0()2(22•f n m f n m nf -+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 但由（88）知.)0()2(2222•f n m f m f -+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛代入上式即得.)0()]0()1([)0()0()1()0()2()0()2()1(•nf f m •nf mf mf •f n f m mf n m nf +-=+-=-+--=⎪⎭⎫⎝⎛因而.)0()]0()1([•f f f nmn m f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 记.)0(,)0()1(21•c •f •c f f ==- 最后有,)(21•c x c x f += （89）当x =0时，显然有.)0(221•f c c x c ==+ （90）如果令0>-=x y，就有.)()()0(2•x f x f f -+=所以)91(.])([2)()0(2)(21212•••••c x c •c x c c x f f x f +=+--=--=总之，由（89），（90），（91）得，对于任何有理数x =r ，函数方程（9）的解是)92(.)(21••••c r c r f +=现在，讨论自变量是无理数的情形：x =ξ（ξ是无理数）. 设ξ的精确到小数点后第i位的不足近似值和过剩近似值是αi 和βi . 根据f (x )的单调性[不妨假定f (x )是单调增加的. 单调减小情形的论证类似]推知，),3,2,1.()()()( ••••••i •f f f i i =β<ξ<α （93）同样根据单调增加性，得知.0)0()1(1•f f c >-=所以由i i β<ξ<α可得,212121•c c c c c c i i +β>+ξ<+α而由于i α，i β是有理数，所以（93）又可写成.)(2121•c c f c c i i +β<ξ<+α （94）（93）和（94）表明21c c +ξ和)(ξf 处于同一个区间套之内. 根据区间套原理，就有)(ξf =21c c +ξ. （95）综合（92），（95），可知对于任何实数x ，函数方程（9）的解是一次函数.)(21•c x c x f += （96）现在来求由摄氏温度换算为华氏温度的关系式.由（10）知.32)0(2•f c ==此外，由（10）还知.21210021•c c =+所以.5910022121•c c =-=最后得.3259)(•x x f +=[例21] 解例4中的函数方程.)()()(•y x f y f x f += （10）解 由（16）容易推得（用数学归纳法）：.)()()()(2121•x x x f x f x f x f n n +++=如果令x x x x n ==== 21，对于任何实数x 和自然数n ，就有.)()]([•nx f x f n = （97）在（97）中，令mx1=（m 是自然数），便有 .)]1([11•fm f m f m n f mnmn m n=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛记f (1)=c . 就得.•c m n f m n=⎪⎭⎫⎝⎛ （98） 令y=0. 对于任何实数x ，由（16）各.)()0()(•x f f x f =因为f (x )是单调的，所以f (x )不恒等于零. 从而.1)0(0•c f == （99）如果令••mn x y.=-=那末由（16）又得 .1)0(==⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-f m n f m n f 所以.11•c c m n f m n f m nm n -==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛- （100） （98），（99），（100）表明，对于任何有理数r ，满足函数方程（16）的是指数函数.)(•c r f r =对于自变量为无理数的情形，推证方法和例19，20类似，这里从略. 总之，函数方程（16）的解是指数函数.)(•c x f x =由此可见，放射性物质的衰变规律服从指数函数. 进一步研究得知，1克的放射性物质经过时间x 年后，剩余的放射性物质为.)(•e x f x λ-=就是说，指数的底.e •c = 而λ是一个与具体放射性物质有关的常数.[例22] 解函数方程.)()()(•y f x f xy f += （101）函数的定义域是正实数.解 在（101）中，如果令y =1，就有.)1()()(•f x f x f +=∴ f (1)=0. （102）又由（101）容易推得.)()()()(2121•x f x f x f x x x f n n +++=令•x x x x n ,21==== 即得.)()(•x nf x f n = （103）在上式中，以nx 代x ，又得.)()(•x nf x f n =∴.)(1)(•x f nx f n =（104） 设qpr =是正有理数（p ，q 是正整数）. 由（103），（104）就有 .)()(1)()(•x f q px f q x f x f p qp qp === （105） 在函数方程（101）中，如果令xy1=，就得 .0)1(1)(•f x f x f ==⎪⎭⎫⎝⎛+∴,)(1•x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛ 或者.)()1()(1•x f x f -=- （106）仍设r 是正有理数. 于是由（106），（103）有.)()()(])[()(1•x f r x f x f x f r r r -=-==-- （107）此外.)(00)1()(0•x f f x f ∙=== （108）综合（105），（107），（108）所得结果，证明了对于任何有理数r ，都有.)()(•x rf x f r =当指数为无理数α时，仿照例19，20那样，可以证明.)()(•x f x f α=α （109）因而有.)()(•x yf x f y = （110）其中y 是任何实数.因为f (x )是单调的，所以不能恒等于零. 从而存在着值x=c ，使得0)(≠c f . 在（110）中，令••c f •y c •x .)(1,==可得 .1][)(1•cf c f =记)(1c f c=•a •.那末有.1)(•a f =于是.)()(y •a yf a f y ==令x •y •ax a y •log ,-==或，可得 x x f a log )(=.这就是说，函数方程（101）的解是对数函数. 值得指出的是，例19所讨论的函数方程（79）.)()()(•y f x f y x f +=+是一个很重要的方程. 这方程是由柯西最早加以研究的，后来就叫做柯西函数方程. 我们立即就会看到，柯西函数方程在解函数方程上的作用：有许多其它函数方程，都可以通过适当方法转化为柯西函数方程，从而获得解答. 试看以下例子.[例23] 用柯西方程解例20中的函数方程.)()(22•y f x f y x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 解 设f (0)=a . 由所给的函数方程得.])([21)]0()[(21202•a x f •f x x f x f +=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 由此又有.)([212)]()([21a •y x f y x f y f x f ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ ∴.)()()(a •y f x f y x f -+=+ （111）设a x f x g -=)()(，就有•a •y f y •g a •y x f y x g .)()(,)()(-=-+=+代入（111），即得.)()()(•y g x g y x g +=+ （112）这方程正是柯西函数方程. 所以有.)(cx •x g =∴.)(a •cx x f +=这和我们在例20中所获得的结果是一致的，但解答过程却简短多了.[例24] 用柯西方程解例21中的函数方程.)()()(•y x f y f x f +=解 我们首先证明••x f .0)(>由所给的函数方程得知.022222)(2•x f x f x f x x f x f ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+= 这就是说，对于x 的任何实数值，f (x )的值是非负数. 我们进一步证明，对于x 的任何实数值，f (x )不能是零. 实际上，一旦存在某个x 0，能使f (x 0)=0. 那末f (x )将恒等于零. 这是因为.0)()(])[()(0000•x f x x f x x x f x f =-=+-=这样一来，就与我们在本节初对f (x )的单调性要求相矛盾了. 总之，对于任何实数x ，总有••x f .0)(>在所给的函数方程两边同时取对数，即得.)(log )(log )(log •y f x f y x f a a a +=+设)(log )(y x f x g a+=，就有.)()()(•y g x g y x g +=+这样就把原函数方程化成了柯西方程. 柯西方程的解是正比例函数.)(1x •c x g =∴.)(l o g 1x •c x f a = 即,)()(11•c a a x f x x c x c ===这里，1ca c =. 所得的结果和例21相同.练习与解答练习13 用柯西方程解函数方程)0(.)()()()()(≠+=+x ••y f x f y f x f y x f解 由原方程得.)(1)(1)()()()()(1•y f x f y f x f y f x f y x f +=+=+ 设•x f x .)(1)(=ϕ 就有.)()()(•y x y x ϕ+ϕ=+ϕ这是柯西方程.∴ .)(cx •x =ϕ.1)(•x acx x f == 这里，••c •a .1=所给函数方程的解是反比例函数.练习14 用柯西方程解例22中的方程.)()()(•y f x f xy f +=解 因函数)(x f 的定义域是正实数. 故可设•y ••v x •u b b ,log ,log ==或.,•b •y •b x v u == 代入原函数方程得.)()()(•b f b f b f v u v u +=+令.)()(•b f t t =ϕ就有.)()()(•v u v u +ϕ+ϕ=+ϕ这是柯西方程.∴ .)(cu •u =ϕ所以有.log )()()(x •c cu u b f x f b u ==ϕ==设••b a c .1=则.log loglog log 1x •x x x c a c b c b b === ∴.log )(x •x f a =所给函数方程的解是对数函数.练习15 利用函数方程 .)()()(•y f x f y x f =+的解是指数函数x c x f =)(这一结果（例21，24），解定义在正实数上的函数方程 .)()()(•y f x f xy f =解 设••b •y •b •x •y ••v x •u v u b b .,,log ,log ====或代入原函数方程，得.)()()(•b f b f b f v u v u +=+令.)()(•b f t t =ϕ就有.)()()(•v u v u ϕϕ=+ϕ∴ .)(•a u u =ϕ,.)()()(log log log •x •a ••a a u b f x f a x x u u b b b ===ϕ==令•a •c b ,log =就有 .)(•x x f c =所给函数方程的解是幂函数.。
12-6欧拉-柯西近似法
一阶微分方程
积分曲线
y f ( x , y ) (1)
定义1
设 ( 1 ) 中 右 端 的 函 数 f ( x , y ) 在 区 域D 内
有 定 义 ， 那 么 过 D 内 每 一 点 M ( x, y) 作 一 条 以
f ( x, y)为 斜 率 的 直 线 ， 并 把 向 量
过 D 内 任 一 点 M ( x , y ) ,做 一 个 以M 为 起 点 长度等于 的向量
( x , y )
0
1 [ f ( x , y )]
y
2
{ 1, f ( x , y ) }
如图所示, 可形象地表示方向场.
o
x
定义2
方 向 场 中 具 有 同 一 方 向 ( y C ) 的 点
D 上，微分方程
线一定存在．如果 样的积分曲线是唯一的
注意 下面总假定函数
闭区域 D 上连续．
f ( x, y) 及
y
f ( x, y) 在
设方程 ( 1 ) 经过点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 的积分曲线为 y ( x )，并设当 的一段积分曲线位于 x 0 H x x 0 H 时，对应 D 内．
2 x0 x0
程初值问题在指定区间
位小数）： 1；按 h 0 . 1 在 [ 0 . 5 , 0 ] 上求
1；按 h 0 . 02 在 [ 0 , 0 . 1 ] 上
求近似解 .
练习题答案
1． x 0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 y 1 . 000 0 . 900 0 . 820 0 . 758 0 . 712 0 . 681 2． x 0 . 00 0 . 02 0 . 04 0 . 06 0 . 08 0 . 10 y 1 . 000 1 . 020 1 . 042 1 . 066 1 . 092 1 . 121
柯西函数方程
柯西函数方程柯西函数方程是由法国数学家柯西在19世纪初提出的一类函数方程，它的形式是f(某+y)=f(某)+f(y)，其中f(某)是函数在实数域上的定义。
柯西函数方程是函数方程中的一个经典问题，涉及到了函数的性质和性质的推导。
柯西函数方程的解可以分为两类，一类是线性函数，即f(某)=C某，其中C是常数。
另一类是非线性函数，即f(某)不是C某所代表的线性函数。
对于非线性函数的求解要更加复杂，涉及到函数的连续性、可微分性等性质。
首先，我们来看一下柯西函数方程的线性解。
对于线性解f(某)=C某，我们有f(某+y)=C(某+y)=C某+Cy=f(某)+f(y)，符合柯西函数方程的定义。
这个解表明，如果f(某)是柯西函数方程的一个解，那么它必然是线性函数。
接下来，我们考虑非线性解。
首先，我们可以推导出柯西函数的性质。
将y=某代入柯西函数方程中，得到f(2某)=2f(某)，这表明f(某)是一个奇函数。
将y=-某代入方程中，得到f(0)=2f(0)，所以f(0)=0。
再将y=-某/2代入方程中，得到f(某/2)=f(某)/2，由此可以得到f(某/2^n)=f(某)/2^n。
通过求导，我们可以知道f'(某)存在且连续。
由f(某/2^n)=f(某)/2^n可知，f’(某/2^n)=f’(某)/2^n，当n趋于正无穷时，f’(某/2^n)趋于f’(0)，f’(某)/2^n趋于0。
所以我们可以得出结论，对于所有实数某，f’(某)=0，即f(某)是一个常数函数，记为f(某)=C。
综上所述，柯西函数方程的解可以表达为f(某)=C某或f(某)=C。
其中C某是线性解，C是非线性解。
柯西函数方程的研究不仅仅停留在实数域，还涉及到了复数域、无穷维空间等更加广泛的领域。
在复数域上的柯西函数方程，要求函数是解析函数，且方程的解为f(z) = cz，其中c是常数。
在无穷维空间，即函数空间上的柯西函数方程具有更多的性质和解法。
总结起来，柯西函数方程是一个经典的函数方程问题，它的解可以分为线性解和非线性解。
数学物理方程 柯西问题
数学物理方程柯西问题数学物理方程是描述自然界行为规律的一种数学工具，它由数学方程和物理方程组成。
其中柯西问题是数学物理方程中的一个重要问题，它描述了在一定条件下，由初值问题所确定的一种波动现象如何在时间和空间上逐步发展。
步骤一：柯西问题的定义柯西问题（Cauchy problem）是指给定一个偏微分方程中的初值问题，求解该方程在一定条件下的解，在这种条件下，初值所确定的一种波动现象在时间和空间上逐步发展。
步骤二：柯西问题的基本形式柯西问题的基本形式是：对于一个偏微分方程，它的未知函数是一个关于时间和空间变量的函数u(x,t)，而初值则可以表示为：u(x,0)=f(x) (1)这里的f(x)是x在某区域内的已知函数。
步骤三：求解柯西问题解决柯西问题的一般方法是通过对偏微分方程进行积分来得到解析式。
对于很多偏微分方程，这种方法不一定是可行的，因此需要借助数值解法，如有限元法、有限差分法、谱方法等，来求得方程的近似解。
步骤四：柯西问题的应用柯西问题在科学研究和工程应用中具有广泛的应用。
例如，在气象学领域，柯西问题被广泛用于描述大气中的空气质量、温度、湿度等变化规律，以及预测天气。
在地震学领域，柯西问题被用于研究地震波的传播规律，提高地震预警的准确率。
在工程设计中，柯西问题被用于建立各种物理模型，如流体力学、热传导等，来预测系统的性能表现。
总结：在数学物理方程中，柯西问题是一个重要的数学工具，它可以帮助我们描述各种物理现象的发展规律。
我们可以通过求解柯西问题来深入理解物理现象的本质，探索科学的奥秘。
同时，柯西问题也被广泛应用于各个领域，推动科学技术的发展和工程实践的进步。
几种函数方程的求解方法
1 柯西函数方程
先介绍柯西函数方程的求解过程. 1 . 1 柯 西 函 数 方 程 [2]
设 / U )是 R 上 的 连 续 函 数 ，且对一 切 的 U 6 R ，均有
f ( x + y )=f (x )+f (y ). 则 存 在 实 数 a = / ( l ) ，使得 f (x )= ax(x G R ).
/ ( 甲 ) = | ( / U ) + / ( y )).
求 /(*). 解 设 / ( 0 ) = 6. 由已知得
} ( / ( . ) +/ ( r ) ) = / ( ^ ^ )
= y (/(^ + r )+/(〇 ))
=^f(x +y) =f(x) +f(y) - f ( 0 ) ^ f ( x + j )-/(〇)
« —► 〇〇
n —► 〇〇
因 此 ，/"(尤）： 似
6 R ).
1 . 2 柯西函数方程的变式
在 解 题 过 程 中 ，利 用 柯 西 函 数 方 程 可 得 出 几 种 常 用 的 变 式 .[2]
设/U )为 R 上的连续函数. (1) 若对一切的％、7 6 11，总有 f(x +y)=f(x)f(y),
= ( / ( ^ ) - / ( 〇 ) ) + ( / ( y )-/(〇 )).
令 g (尤)=/(丨)-/(〇).贝丨J g(x +y) =g(x) +g(y). 由 柯 西 函 数 方 程 ，知 当 X G Q 时 ， g(x) =xg(l ). 当 R 时 ，不 妨 设 g (幻 单 调 递 增 ，存 在 收 敛 数 列 U 4 j 、丨汍丨（A 矣X 矣此），且当 A：—•+ 〇〇时 ，a t 、执 均 收 敛 于 ac•则
柯西方程
定义与性质编辑柯西方程是函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)此方程的解称为加性函数，在有理数定义域上，利用初等代数我们很容易得出有一组函数满足条件，是f(x)=cx,其中c是任意实数。
定义域是实数时，同样有一族函数满足条件，但有些是极其复杂的，所以我们需要更多的条件得到f(x)=cx，以下条件与f(x)是正比例函数：◎f是连续函数（在1821年已被柯西证明），后来在1875年被达布将条件减弱为f在某点连续[1]。
◎存在a,b∈R,(a<b),函数在(a,b)有界◎f单调，或f在某区间单调。
◎存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0另外，如果没有其他条件的话，（假如承认选择公理成立），那么有无穷非f(x)=cx的函数满足该条件,这是1905年哈默(Georg Hamel)利用哈默基的概念证明的。
希尔伯特第五问题是该方程的推广存在实数c使得f(cx)≠cf(x)解称为柯西-哈默方程(Cauchy-Hamel function),希尔伯特第三问题中，从3-D向高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量（Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。
2在有理数中的证明编辑y=0,那么有f(x+0)=f(x)+f(0),即f(0)=0y=-x,那么由f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)=-f(-x)利用数学归纳法,可知f(nx)=nf(x)将x用x/n代替，那么有f(nx/n)=nf(x/n)=f(x)任意有理数m/n,有f((m/n)x)=mf(x)/n以上合起来，就是任意q∈Q，α≠0有f(αq)=qf(α),取α=1,可得f(q)=qf(1),得证。
3在实数域上证明编辑函数连续由于函数连续，且有理数稠密，不难说明f(x)=xf(1)在x为任意实数上成立（利用有理数逼近）。
12函数方程(2)
初 等 数 学 专 题 研 究
x 把指数函数 f ( x ) = c 定义为函数方程 f ( x ) f ( y ) = f ( x + y )
的解
x 把幂函数 f ( x ) = c 定义为函数方程 f ( x ) f ( y ) = f ( xy ) 的解
f ( 0) = 1
初 等 数 学 专 题 研 究
（对于余弦函数，我们知道cos0=1）
在函数方程（12）中，令x = y = 0. 就有 f (0) + f (0) = 2[ f (0)]2 但由（15）知道，f (0) ≠ 0
f ( 0) = 1
所以得
12.2 用函数方程定义初等函数 性质2 性质 函数f (x)是偶函数：
这启示我们可以把余弦函数定义为函数方程
f ( x + y ) + f ( x y ) = 2 f ( x ) f ( y ) (12)
为了使函数方程（12）的解 f ( x ) 具有唯一性， 还需给出下列条件： 1．函数 f (x) 在整个实轴上连续. c 2．方程 f ( x ) = 0 有一个最小正根 存在. 就是说 2
初 等 数 学 专 题 研 究
证明 如果x = 0，由性质3和1，得
f ( c ) = f ( 0 ) = 1
12.2 用函数方程定义初等函数
2 性质5 性质 f ( 2 x ) = 2 f ( x ) 1
2 （对于余弦函数，有 cos 2 x = 2 cos x 1 )
证明 因为
f ( 2 x ) + 1 = f ( 2 x ) + f ( 0) = 2 f 2 ( x )
柯西定理证明过程完整
柯西定理证明过程完整摘要：1.柯西定理的概念与意义2.柯西定理的证明方法2.1 引入二次函数2.2 几何意义证明2.3 用ROLLE 定理证明3.柯西定理的应用3.1 证明泰勒公式的拉格朗日余项3.2 求解柯西定理的详细证明方法正文：一、柯西定理的概念与意义柯西定理，又称为柯西中值定理，是微积分学中的一个重要定理。
它表明，如果一个函数在闭区间[a, b] 上连续，在开区间(a, b) 内可导，并且在区间端点的函数值相等，即f(a) = f(b)，那么至少存在一点c ∈ (a, b)，使得该函数在c 点的导数等于端点函数值的差除以区间长度，即f"(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
柯西定理在微积分学中有着非常广泛的应用，它是泰勒公式、罗尔定理等许多重要定理的证明基础，也是求解实际问题中的关键思想。
二、柯西定理的证明方法1.引入二次函数为了证明柯西定理，我们可以引入一个二次函数y = (a1xb1 + a2xb2 + a3xb3 +...+ anxbn)，其中a1, a2, a3,..., an 为常数，x 为自变量，b1, b2, b3,..., bn 为函数f(x) 的各阶导数。
显然，这个二次函数的值y 大于等于0。
我们将这个二次函数改写为y = (a1a2a3 +...+ an)x + 2(a1b1a2b2a3b3 +...+ anbn)x + (b1b2b3 +...+ bn)。
这样，我们可以发现，a1a2a3 +...+ an = f(x)，而b1b2b3 +...+ bn = f"(x)。
由于f(x) 在区间[a, b] 上连续，在开区间(a, b) 内可导，并且f(a) = f(b)，根据拉格朗日中值定理，存在一点c ∈ (a, b)，使得f"(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
将这个结论代入二次函数中，我们可以得到：y = (f(x) + 2(f(x) - f(c))(f"(c) - f"(x)) + (f"(c))x由于f(x) 在区间[a, b] 上连续，在开区间(a, b) 内可导，因此f(x) - f(c) 和f"(x) - f"(c) 在区间(a, b) 内具有相同的符号。
柯西函数方程范文
柯西函数方程范文f(x+y)=f(x)+f(y)其中，x和y是实数或复数，f(x)是未知的函数。
柯西函数方程是研究函数的一种基本方程，其性质影响了现代数学许多领域的发展。
一、线性函数解最简单的柯西函数方程的解是线性函数解，即f(x) = ax，其中a是任意常数。
通过代入求解，可以证明这是柯西函数方程的解。
将f(x) =ax和f(y) = ay代入方程可以得到：f(x+y) = ax + ay = a(x + y) = a(x) + a(y) = f(x) + f(y)因此，线性函数解是柯西函数方程的解。
二、间断解除了线性函数解外，柯西函数方程还有其他类型的解。
其中最有趣的一类是间断解。
间断解指的是在一些点上函数不连续的解。
这样的解通常具有一定的局部性质。
具体来说，如果存在一个点c，使得对于任意的小于0的实数ε，存在趋向于c的一个序列{x_n}（其中x_n≠c），则称函数f(x)在点c处间断。
柯西函数方程的间断解是指在柯西函数方程下，存在点c，使得函数f(x)在点c处间断。
三、连续非线性解以前人的研究及柯西函数方程的定义可以发现，任何一个连续函数f，只要满足柯西函数方程，则f(x) = ax即线性函数是该方程的唯一解。
那么是否存在其他类型的解呢？这个问题被由路易·柯西最早提出为正确的。
事实上，连续非线性解是存在的。
换句话说，对于柯西函数方程，除了线性函数解外，还存在其他类型的解。
这使得柯西函数方程具有了更多的变化和灵活性。
这个结论非常震撼，它揭示了连续函数的潜在性质和奇特性质。
四、连续非线性解的构造虽然柯西函数方程存在连续非线性解，但是具体的解析形式很难找到。
那我们如何构造这些解呢？一种常用的方法是通过一些附加条件来构造连续非线性解。
例如，假设f(x)在区间[0,1]上是连续的，并且满足柯西函数方程。
然后我们可以通过限制f(x)在[0,1]上的取值来构造出一类新的解。
具体的构造方法可以通过分段定义函数的方式来实现，即在[0,1]之外，f(x)的取值与f(x-1)相等，在[1,2]之外，f(x)的取值与f(x-2)相等，以此类推。
【高考数学】柯西函数方程
第十八讲 柯西函数方程（抽象函数）)(x f )()()(y f x f y x f +=+.1)1(=f(1)求)0(f 的值,并判断)(x f 的奇偶性;(2)解关于x 的不等式:.02)2()2(2<+++-x f x x f 解：（1）()()()f x y f x f y +=+，故令0x y ==，有(0)(0)(0)f f f =+(0)0f ∴= 又令0x y x y +==-，即，(0)()()0f f x f x =+-=()()0f x f x ∴+-=()f x ∴为奇函数。
（2）(1) 1.f =()()()()()()(11)112(21)213(31)314f f f f f f f f f ∴+=+=+=+=+=+=；()(1)(1)(1)1=-+=-+f x f n f f n 全部相加得：()()11=-+=f n n n ； 同理()⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+++=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭m n n n n n nf n f m f f f n f m m m m m m 个，故()R x x x f ∈=对恒成立。
故22222034041x x x x x x x -+++<⇒-->⇒><-或。
()y f x =是定义在R +的函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=()131f =1x >时，()0f x <．秒杀秘籍：柯西函数方程二元函数方程：R R f →:)()()(y f x f y x f +=+是一个非常重要的函数方程，这个方程最早由法国数学家柯西加以研究的，后来称之为柯西函数方程。
很多问题可以通过变化归结为柯西函数方程。
通常这类函数方程的解不是唯一的，为了使解是唯一，我们大多给予一些附加条件。
解这类函数方程的步骤是：依次求出独立变量取正整数值、整数值、有理数值，直至所有实数值，而得到函数方程的解。
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[例19]解函数方程
（79）
解由函数方程（79）容易推得（用数学归纳法）：
（80）
在（80）中如果令 ，就得到
再令 （m是正整数），又有
所以
记常数f(1)=c.于是对于任何正有理数x>0，都有
（81）
当自变量的值为零时，即令x=y=0，由函数方程（79），有
（99）
如果令 那末由（16）又得
所以
（100）
（98），（99），（100）表明，对于任何有理数r，满足函数方程（16）的是指数函数
对于自变量为无理数的情形，推证方法和例19，20类似，这里从略.
总之，函数方程（16）的解是指数函数
由此可见，放射性物质的衰变规律服从指数函数.进一步研究得知，1克的放射性物质经过时间x年后，剩余的放射性物质为
设 ，就有
这样就把原函数方程化成了柯西方程.柯西方程的解是正比例函数
∴
即
这里， .所得的结果和例21相同.
练习与解答
练习13用柯西方程解函数方程
解由原方程得
设 就有
这是柯西方程.
∴
这里， 所给函数方程的解是反比例函数.
练习14用柯西方程解例22中的方程
解因函数 的定义域是正实数.故可设 或 代入原函数方程得
此外，由（10）还知
所以
最后得
[例21]解例4中的函数方程
（10）
解由（16）容易推得（用数学归纳法）：
如果令 ，对于任何实数x和自然数n，就有
（97）
在（97）中，令 （m是自然数），便有
记f(1)=c.就得
（98）
令y=0.对于任何实数x，由（16）各
因为f(x)是单调的，所以f(x)不恒等于零.从而
[例23]用柯西方程解例20中的函数方程
解设f(0)=a.由所给的函数方程得
由此又有
∴ （111）
设 ，就有 代入（111），即得
（112）
这方程正是柯西函数方程.所以有
∴
这和我们在例20中所获得的结果是一致的，但解答过程却简短多了.
[例24]用柯西方程解例21中的函数方程
解我们首先证明 由所给的函数方程得知
4．函数方程的柯西解法
在函数方程的发展史上，许多函数方程的建立和解法都是由柯西首先提出的.本节我们就来研究函数方程的柯西解法.
在前几节讨论的函数方程中，所涉及的函数大多数是自然数的函数.而本节中的函数，它的定义域都是在某一区间上的实数.
柯西解法的步骤是：依次求出对于自变量的所有自然数值、整数值、有理数值，直至所有实数值的函数方程的解.
就是
但由（88）知
代入上式即得
因而
记 最后有
（89）
当x=0时，显然有
（90）
如果令 ，就有
所以
总之，由（89），（90），（91）得，对于任何有理数x=r，函数方程（9）的解是
现在，讨论自变量是无理数的情形：x=ξ（ξ是无理数）.设ξ的精确到小数点后第i位的不足近似值和过剩近似值是αi和βi.根据f(x)的单调性[不妨假定f(x)是单调增加的.单调减小情形的论证类似]推知，
（83）
因为 由
又得
由于 ， 是有理数，由（83）得
（84）
比较（83）和（84），看出 和 处于同一个区间套之内.根据区间套原理，只有一个点为所有区间套公有，得知
= .（85）
综合（82）和（85），即得：对于任何实数x，函数方程（79）的解是正比例函数
[例20]解例2中的函数方程
（9）
并求出由摄氏温度换算为华氏温度的关系式.
这就是说，对于x的任何实数值，f(x)的值是非负数.我们进一步证明，对于x的任何实数值，f(x)不能是零.实际上，一旦存在某个x0，能使f(x0)=0.那末f(x)将恒等于零.这是因为
这样一来，就与我们在本节初对f(x)的单调性要求相矛盾了.总之，对于任何实数x，总有
在所给的函数方程两边同时取对数，即得令就有这是西方程.∴所以有
设 则
∴
所给函数方程的解是对数函数.
练习15利用函数方程
的解是指数函数 这一结果（例21，24），解定义在正实数上的函数方程
解设 代入原函数方程，得
令
就有
∴
令 就有
所给函数方程的解是幂函数.
在后面的讨论中，我们还要用到区间套原理.这个原理是这样的：
设有一个区间序列：
（78）
其中每个区间都包含着后一个区间：
（其中 是集的包含符号）形成一个“区间套”，而且区间长度可以任意地小（就是说，不论我们事先给定一个多么小的正数ε，序列（78）中总存在这样一个区间，从此以后所有的区间的长度都小于ε）.那末，必定存在着唯一的一个点ξ，被所有（无穷多）这些区间所包含.
因为f(x)是单调的，所以不能恒等于零.从而存在着值x=c，使得 .在（110）中，令 可得
记 = 那末有
于是
令 ，可得
.
这就是说，函数方程（101）的解是对数函数.
值得指出的是，例19所讨论的函数方程（79）
是一个很重要的方程.这方程是由柯西最早加以研究的，后来就叫做柯西函数方程.我们立即就会看到，柯西函数方程在解函数方程上的作用：有许多其它函数方程，都可以通过适当方法转化为柯西函数方程，从而获得解答.试看以下例子.
（93）
同样根据单调增加性，得知
所以由
可得
而由于 ， 是有理数，所以（93）又可写成
（94）
（93）和（94）表明 和 处于同一个区间套之内.根据区间套原理，就有
= .（95）
综合（92），（95），可知对于任何实数x，函数方程（9）的解是一次函数
（96）
现在来求由摄氏温度换算为华氏温度的关系式.
由（10）知
（105）
在函数方程（101）中，如果令 ，就得
∴
或者
（106）
仍设r是正有理数.于是由（106），（103）有
（107）
此外
（108）
综合（105），（107），（108）所得结果，证明了对于任何有理数r，都有
当指数为无理数α时，仿照例19，20那样，可以证明
（109）
因而有
（110）
其中y是任何实数.
就是说，指数的底 而 是一个与具体放射性物质有关的常数.
[例22]解函数方程
（101）
函数的定义域是正实数.
解在（101）中，如果令y=1，就有
∴f(1)=0.（102）
又由（101）容易推得
令 即得
（103）
在上式中，以 代x，又得
∴ （104）
设 是正有理数（p，q是正整数）.由（103），（104）就有
∴
这就是说，对于自变量的值为零的情形，函数方程（79）的解也是（81）.
对于自变量为负数的情形，如x为负有理数，可设 于是有
所以
总之，对于自变量的任何有理数值x=r，函数方程（79）的解都是（81）：
（82）
现在来讨论自变量是无理数的情形.x=ξ(ξ是无理数).设ξ的精确到小数点后第i位的不足近似值和过剩近似值是 .根据f(x)的单调性（为确定起见，不妨设f(x)是单调增加的），推知
解在函数方程（9）中，令y=0，就有
或者
（86）
用数学归纳法可以证明，
事实上，设n=k时，方程（87）成立，即设
于是有
根据（86），得
就是说，对于n=k+1，方程（87）仍然成立.又当n=2时，显然有
这就证明了由函数方程（9）可以推出函数方程（87）.
在（87）中，令 ，即得
（88）
又令 （m是正整数），则有
如所周知，一个函数方程的解往往并不是唯一的.也就是说，可能存在着不同的函数，满足同一个函数方程.为了保证函数方程的解的唯一性，通常需要给所求的函数附加一些条件，例如要求所求的函数必须是连续的，或者必须是单调的.在本节里，要求函数方程的解都必须是单调函数.
什么是单调函数呢？如果对于较大的自变量的值，函数值也较大；即当 时，有 ，就是说函数 单调增加.如果对于较大的自变量的值，函数值反而较小；即当 时，有 ，就说函数 单调减小.单调增加和单调减小的函数，统称单调函数.
特别是当ξ是无理数时，如果把 和 取作ξ的精确到10-n的不足近似值和过剩近似值.那末以ξ的不足近似值和过剩近似值为端点，将构成一个区间套.相应的区间的长度是10-n.例如，我们知道，圆周率π是一个无理数：
于是，可以构成区间套
区间的长度依次是3.2-3.1=10-1，3.15-3.14=10-2，3.142-3.141=10-3，….我们注意到，每个区间的端点 都是有理数，而只有唯一的一个无理数α=π被包含在所有这些区间之内.