2014--2015年朝阳区高三数学理科期末试题及答案
2014北京朝阳区高三期末数学(理)试题答案
3
18． 解：（Ⅰ）定义域 (0, ) ．
……………… 14 分
当 a 0 时， f ( x ) x ln x ， f ( x ) ln x 1 ．
令 f ( x ) 0 ，得 x 1 ． e
c
a
2c
b
1 (c)
0
，
ab
33
a3 b 3
所以 n D G ．又因为 D G 平面 P B C ，
所以 D G ∥平面 P B C ．
……………… 9 分
P
D
解法 2：
取 A B 中点 E ，连 O E ，则 O E 1 (O A O B ) . 2
由已知 O G 1（O A O B）可得 O G 2 O E ,
所以 0
lg t
1 ，1
lg t 2
2
，1
lg t 3
2 ．所以 1
lg t
2
1
，解得10 2
t
2
103
．
2
3
1
2
又因为10 2 3, 4 ，10 3 4, 5 ，所以此时 t 4 ．
（2）当 m 1 时，同理可得1 lg t 2 ， 2 lg t 2 3 ， 3 lg t 3 4 ．
8km
设M
( x1 ,
y1 ), N ( x2 ,
y2 ) ，线段 M N
中点为 Q ( x0 ,
y
0
)
，则
x1 x x1 x2
2
4k 2
4m2 4k 2
4 1
1
于是 x0
北京市朝阳区2014-2015学年度高三第一学期期末统一考试数学(文史类)试卷
北京市朝阳区2014-2015学年度高三第一学期期末统一考试数学（文史类）试卷2015.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =A. 1B. C. 2D. 2. 已知全集U =R ，若集合{}20A x x x =-<，则U A =ðA. {0x x ≤，或}1x ≥B. {0x x <，或}1x > C. }{01x x << D.{}1x x ≥ 3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4正视图 侧视图 俯视图4.执行如右图所示的程序框图,则输出的i 的值是A.3B.4C.5D.65.若,a b 是两个非零的平面向量，则 “a =b ”是“()()=0⋅a +b a b -”的A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，塔AB 底部为点B ，若,C D 两点相距为100m 并且与点B 在同一水平线上，现从,C D 两点测得塔顶A 的仰角分别为45o 和30o ，则塔AB 的高约为（精确到0.1m1.73≈1.41≈）A. 36.5B. 115.6C. 120.5D. 136.57.已知定义在R 上的函数(1)1,()221,x x x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若直线y a =与函数()f x 的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是A. ()0,2B.[)0,2C.(]0,2D. []1,28. 如图，在正方体中1111ABCD A B C D -，M 为BC 的中点，点N 在四边形11CDDC 及其内部运动．若11MN AC ⊥，则N 点的轨迹为A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D.双曲线的一部分第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9. 双曲线22:14x C y -=的离心率是 ；渐近线方程是 ． 10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表 如下:则这80户居民中, 家庭人均月收入在[)2800,3400元之间的有 户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 . ACD A 1B 1C 1D 1 M N .11. 已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是______.12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢， 则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人.13. 在平面直角坐标系中，若关于,x y 的不等式组0,,(1)y y x y k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是______.14. 设2212()cos (1)sin cos 3sin f x a x a x x x =+-+（22120a a +≠），若无论x 为何值，函数()f x 的图象总是一条直线，则12a a +的值是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率. 16. （本小题满分13分）已知平面向量a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --，x ∈R ，函数()()f x =⋅-a b c .（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin α的值. 17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：EF //平面PBC ； （Ⅱ）求证： CE BF ⊥；（Ⅲ）若2AB =，3PD =，当三棱锥P BCF -的体积等于43时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由.18.（本小题满分13分）已知公比为q 的等比数列{}n a ()n *∈N 中，22a =，前三项的和为7.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若01q <<，设数列{}n b 满足12...n n b a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ,求使01n b <<的n 的最小值.19. （本小题满分13分）已知函数()e ln x f x a x =-，a ∈R . （I ）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值： DAPCEFB（Ⅱ）当e a =时，求证：()e f x ≥.20. （本小题满分14分）已知离心率为的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类）2015.1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.则61 ()==305 P A.答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15. ………4分（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B 3，C ），记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D ，则D 中的结果共有12个，它们是：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，C ），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，C ），（B 1，C ），（B 2，C ），（B 3，C ），故所求概率为124()==155P D ． 答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45. ………………13分 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）因为a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --， 所以()()sin cos ,sin cos x x x x -=+-b c ，()()f x =⋅-a b c =sin (sin cos )cos (sin cos )x x x x x x ++-.则()f x =22sin 2sin cos cos x x x x +-=sin 2cos 2x x -)4x π=-.则当222242k x k ππ3ππ+≤-≤π+时，即88k x k 3π7ππ+≤≤π+时，函数()f x 为减函数，k ∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间是,88k k 3π7π⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，())4f x x π=-，又22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，)42απ-=，1sin()42απ-=.因为 22sin ()cos ()144ααππ-+-=，所以cos()4απ-=. sin sin ()44ααππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ππππsin()cos cos()sin 4444αα=-+-.所以当cos()42απ-=时，sin α=122224⨯+⨯=；当cos()42απ-=时，sin α=1(22224⨯+-⨯=. ………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PDB ∆中，因为点E 是BD 中点，点F 是PD 中点， 所以EF //PB ．又因为EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， 所以EF //平面PBC ．…………4分 （Ⅱ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ， 且CE ⊂平面ABCD ， 所以PD CE ⊥．又因为底面ABCD 是正方形，且点E 是BD 的中点， 所以CE BD ⊥． 因为BDPD D =，所以CE ⊥平面PBD ，而BF ⊂平面PBD ，所以CE BF ⊥． …………9分 （Ⅲ）点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点． 说明如下：由（Ⅱ）可知， CE ⊥平面PBF ．又因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥. 设PF x =． 由2AB =得BD =CE =，所以11123263P BCF C BPF V V PF BD CE x --==⨯⨯⋅⋅=⨯=． 由已知2433x =， 所以2x =． 因为3PD =，所以点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．…………14分18. （本小题满分13分） （Ⅰ）由已知得，212327a a a a =⎧⎨++=⎩，解得2q =，11a =或12q =，14a =．DAPCEF B则数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或31()2n n a -=，n *∈N ……………5分（Ⅱ）因为01q <<，所以31()2n n a -=，n *∈N .(5)210...(3)21211...()()22n n n n n b a a a ---+++-=⋅⋅⋅==，n *∈N . 由01n b <<，即(5)210()12n n -<<，即(5)02n n ->，即 即5n >.则使01n b <<的最小的n 的值为6． …………………13分19. （本小题满分13分）（I ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为()e xaf x x'=-, 又1x =是()f x 的极值点,所以(1)e 0f a '=-=，解得e a =. 经检验，1x =是()f x 的极值点， 所以a 的值为e . ………5分 （Ⅱ）证明： 方法1：当e a =时，()e eln x f x x =-.所以e e e()e x xx f x x x-'=-=. 若01x <<，则1<e e x <，所以e e x x <，所以e e<0x x -. 所以函数()f x 在(0,1)单调递减.若1x >，则e >e x ，所以e >e x x ，所以e e>0x x -. 所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增. 所以当1x =时，min ()(1)e f x f ==.(0x →时， e eln x x -→+∞;x →+∞时， e eln x x -→+∞.)所以()e f x ≥. ………13分方法2：当e a =时，()e eln x f x x =-， 所以e e e ()e x xx f x x x -'=-=. 设()e e x g x x =-，则()e (1)x g x x '=+，所以()g x 在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(0,1)单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞单调递增.（接下来表述同解法1相应内容）所以()e f x ≥. ………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2e =，则12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=> 由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，所以224114b b+=．解得22b =． 故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分 （Ⅱ）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0．因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立.即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-.因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+． 所以2288214A k k x k --=+． 当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切.由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--． 同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k----+-==+-+． 由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠， 且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++ 21614k k =+ 由于12k >，故 216161144k S k k k==++. 当12k >时，144k k +>，即110144k k <<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t =+在1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t-'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增.则当12t>时，()(4,)f t∈+∞，即S∈()0,4.)所以四边形APBQ面积S的取值范围是()0,4.………14分。
高考数学 2014-2015朝阳高三二模理答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷答案（理工类）2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ACDD中, 因为cos14CAD?，所以sin14CAD?,由正弦定理得，sin sinAC CDADC CAD=行,即2sinsin14CD ADCACCAD´仔===Ð……………………………………6分（Ⅱ）在ACDD中, 由余弦定理得，22422cos120AC AD AD=+-⨯⨯o，整理得22240AD AD+-=，解得4AD=(舍负).过点D作DE AB⊥于E,则DE为梯形ABCD的高.因为AB P CD，120ADC?o，所以60BAD?o.在直角ADED中，sin60DE AD==o即梯形ABCD的高为……………………………………………………13分（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可得：4分（Ⅱ）记事件M ：被抽取的,,A B C 三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能C 题答卷为优.依题意131()1355P M =⨯⨯=．………………………………………………8分 （Ⅲ）由题意可知，B 题答卷得优的概率是13．显然被抽取的B 题的答卷中得优的份数X的可能取值为0,1,2,3,4,5，且X :1(5,)3B ．00551232(0)()()33243P X C ===；11451280(1)()()33243P X C ===； 22351280(2)()()33243P X C ===；33251240(3)()()33243P X C ===；44151210(4)()()33243P X C ===；5505121(5)()()33243P X C ===． 随机变量X 的分布列为所以0123452432432432432432433EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………………………………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，所以FA AB ⊥，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF I 平面ABCD AB =，所以FA⊥平面ABCD ，由于BC ⊂平面ABCD ，所以FA BC ⊥．………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AD ⊥⊥， 由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）． 因为112AD DC AB ===， 则(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1)B C D E ，所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-u u u r u u u r，设平面BCE 的一个法向量为()x,y,z n =．所以0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n即0,0.x y y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 和平面BCE 所成角为θ，因为(1,2,0)BD =-u u u r，所以sin cos ,BD BD BDθ⋅=〈〉===⋅u u u r u u u r u u u r n n n .所以直线BD 和平面BCE 9分 (Ⅲ)在A 为原点的空间直角坐标系A xyz -中，AD HC BENM(0,0,0)A ,(1,0,0)D ,(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，H 1(,1,0)2.设()01DM k k DF =<?， 即DM k DF =uuu u r uuu r .(),0,DM k k =-uuu u r,则(1,0,)M k k -， 1(,1,)2MH k k =--uuu r ，(1,0,1)FD =-u u u r .若FD ^平面MNH ，则FD MH ^.即0FD MH ?uu u r uuu r. 102k k -+=,解得14k =. 则11(,1,)44MH =--uuu r,4MH =uuur .…………………………………………………14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2a =，b =，1c =． 故离心率为12，焦点坐标为(1,0),(1,0)-． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意，直线AB 斜率存在.可设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11y kx m =+，22y kx m =+．由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式2222=644(34)(412)k m k m D -+-=2248(43)0k m -+>. 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14， 所以12121224y y x x ⋅=--， 所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--．化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=， 所以22222412(8)(41)(42)4403434m km k km m k k---+++-=++，化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-.当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-．4m k =代入判别式大于零中，解得1122k -<<. 当2m k =-时，直线AB 方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意舍去．故直线AB 过定点(4,0)-．………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+．由2e (2)0x x x +=，解得0x =，2x =-. 当(,2)x ∈-∞-时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当(2,0)x ∈-时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当(0,)x ∈+∞时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-．…………4分 （Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()xf x x a =-在()1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a =-，(2)8g a =-.因为函数()g x 在()1,2上为增函数，当(1)30(2)80g a g a ì=-<ïïíï=->ïî，即当38a <<时，函数()g x 在()1,2上有且只有一个零点，设为0x .当0(1,)x x Î时，()0g x <，即()0f x ¢<，()f x 为减函数； 当0(,2)x x Î时，()0g x >，即()0f x ¢>，()f x 为增函数，满足在()1,2上不为单调函数.当3a £时，(1)0g ³，(2)0g >，所以在()1,2上()g x 0>成立（因()g x 在()1,2上为增函数），所以在()1,2上()0f x '>成立，即()f x 在()1,2上为增函数，不合题意. 同理8a ³时，可判断()f x 在()1,2上为减函数，不合题意.综上38a <<. …………………………………………………………9分(Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x ¢有两个不同的零点，即方程220x x a +-=的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=- 此时122x x +=-，12x x a =-. 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1x 是函数()f x 的极大值点，2x 是函数()f x 的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()xxf x f x x a x a =-⨯-因为1a >-，所以224e4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．……………………………………………………………… 14分（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5；与2，4，1，3，5．…… 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知数列5A ：2，4，1，3，5满足55=a ，把其各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为65||2a a -=，所得数列10A 显然满足12--=k k a a 或3，{}2,3,,10k ∈L ，即得H 数列10A ：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中10,5105==a a ．如此下去，即可得一个满足)403,,2,1(55Λ==k k a k 的H 数列2015A 为{}121222222121222221212122222=e [()]=e [()2]=e [(42]=4e .x x x x x x a x x a x x a x x x x a a a a a a ）++---++-+-+-++-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=--=+-=+=kn n k n n k n n k n n k n n a n 5,15,125,235,245,1，（其中)403,,3,2,1Λ=k （写出此通项也可以：2,541,531,522,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧-=-⎪⎪=+=-⎨-=-⎪=⎪⎩（其中)403,,3,2,1Λ=k ）…… 8分（Ⅲ）不妨设0d >．(1)若6d ≥，则20154031402140262413a b b d ==+≥+⨯=，与20152015≤a 矛盾．(2)若14d ≤≤．（i ）若1001≤b ，则1(1)10040241708k b b k d =+-≤+⨯=，403.,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设052015l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈. 于是000000555515(1)5||||||312.l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|2015|12l a -≤，可得2003005≥=l l a b ，与17080≤l b 矛盾． （ii ）若1011≥b ，则1011≥≥b b k ，403,,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设051l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈． 于是000000555515(1)5||||||312l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|1|12l a -≤，可得13005≤=l l a b ，与1010≥l b 矛盾．因为d 为整数，所以综上可得5d =.由（Ⅱ）可知存在使55k k b a k ==（其中403,,2,1⋅⋅⋅=k ）的H 数列2015A ． 把上述H 数列2015A 倒序排列，即有5d =-．所以5d =或5-. …… 13分。
北京市理科朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试
北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2016．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|11M x x =-<<M N = A ．{}|01x x ≤< B ．{|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)-3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．6第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～km/h ）频率120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A ．30辆 B ．300辆 C ．170辆 D ．1700辆第4题图5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6． 已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是A ．12B ．1C ． 2D ． 3 7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A ．27B ．30C ．32D ．36第7题图8．设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a< D ．20a <第二部分（非选择题 共110分）侧视图俯视图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是 ，最小值是 ．10．若x ，y 满足约束条件2211x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≥，≤，则z x y =+的最大值为 ．11．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是 ． 12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ．13．已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点（C 为圆心），且满足||CA CB +=，则=AB ．14．已知点O 在ABC ∆的内部，且有xOA yOB zOC ++=0，记,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积分别为AOB BOC AOC S S S ∆∆∆，，．若1x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ；若2,3,4x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 16．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-． （Ⅰ）求sin C ∠的值；（Ⅱ）若5,BD =求ABD ∆的面积．17．（本小题满分13分）ADBC如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范 围；（Ⅱ）当e a =-时，（ⅰ）证明：()20f x +≤；19．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.20．（本小题满分13分）已知有穷数列：*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N 的各项均为正数，且满足条件： ①1k a a =；②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=- ． （Ⅰ）若13,2k a ==，求出这个数列； （Ⅱ）若4k =，求1a 的所有取值的集合； （Ⅲ）若k 是偶数，求1a 的最大值（用k 表示）．北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则03373107(0)24C C P X C ⋅===； 123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 30373101(3)120C C P X C ⋅===． 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45=+=．………………………7分 （Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCACC AD ∠=∠sin sin，得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=． …………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AB ∥CD ． 又因为AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，所以AB ∥面PCD ． 又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =， 所以AB ∥EF ． ………………………5分 （Ⅱ）取AD 中点G ，连接,PG GB ．因为PA PD =，所以PG AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD 平面ABCD AD =，所以PG ⊥平面ABCD ．所以PG GB ⊥． 在菱形ABCD 中，因为AB AD =， 60DAB ∠=︒，G 是AD 中点， 所以AD GB ⊥．如图，建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===， 则(0,0,0),(,0,0)G A a ，,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P --．又因为AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点．所以(E a -，(,0,)22a F -．所以3()22a AF =-，(,,0)22a EF =- ．设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以,.z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =，则平面AFE的一个法向量为=n ．因为BG ⊥平面PAD，所以,0)GB =是平面PAF 的一个法向量．因为cos ,GB <GB >GB⋅===⋅n n n所以平面PAF 与平面AFE． ……………………13分 18．（本小题满分14分）解：函数()f x 定义域),0(+∞∈x ，1()f x a x'=+．（Ⅰ）因为()f x 在区间[1,2]上为增函数，所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立， 即1()0f x a x '=+≥，1a x≥-在[1,2]x ∈上恒成立， 则1.2a ≥- ………………………………………………………4分（Ⅱ）当e a =-时，() e ln f x x x =-+,e 1()x f x x-+'=． （ⅰ）令0)(='x f ，得1ex =．令()0f x '>,得1(0,)e x ∈，所以函数)(x f 在1(0,)e 单调递增．令()0f x '<,得1(,)e x ∈+∞，所以函数)(x f 在1(,)e +∞单调递减．所以，max 111()()e ln 2e e ef x f ==-⋅+=-．所以()20f x +≤成立． …………………………………………………9分 （ⅱ）由（ⅰ）知， max ()2f x =-， 所以2|)(|≥x f ． 设ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(xx x g -='． 令0)(='x g ，得e x =．令()0g x '>,得(0,e)x ∈，所以函数)(x g 在(0,e)单调递增， 令()0g x '<,得(e,)x ∈+∞，所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减；所以，max lne 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<， 即2)(<x g ． 所以)(|)(|x g x f > ，即>|)(|x f ln 32x x +． 所以，方程=|)(|x f ln 32x x +没有实数解． ……………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以c e a ==．所以椭圆C…………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥．同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=+． 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+ 2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高， 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB ====== 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时，等号成立）．所以AB ≤．此时, max (S )OAB ∆=.综上所述，当且仅当3k =±时，OAB ∆面积的最大值为3．…………………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为13,2k a ==，由①知32a =； 由②知，21211223a a a a +=+=，整理得，2222310a a -+=．解得，21a =或212a =．当21a =时，不满足2323212a a a a +=+，舍去； 所以，这个数列为12,,22． …………………………………………………3分（Ⅱ）若4k =，由①知4a =1a ． 因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=，所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=． 所以112n n a a +=或11(1,2,3)n na n a +==． 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=，显然不满足条件； 所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n na a +=，共有下面4种情况： （1）若211a a =，3212a a =，4312a a =，则41114a a a ==，解得112a =；（2）若2112a a =，321a a =，4312a a =，则4111a a a ==，解得11a =；（3）若2112a a =，3212a a =，431a a =，则4114a a a ==，解得12a =；（4）若211a a =，321a a =，431a a =，则4111a a a ==，解得11a =； 综上，1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2． ………………………………………………8分 （Ⅲ）依题意，设*2,,m 2k m m =∈≥N．由（II ）知，112n n a a +=或11(1,2,3,21)n na n m a +==- ． 假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n na a +=，用了21m i --次递推关系112n n a a +=，则有(1)211()2itm a a -=⋅，其中21,t m i t ≤--∈Z ．当i 是偶数时，0t ≠，2111()2tm a a a =⋅=无正数解，不满足条件；当i 是奇数时，由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤，所以112m a -≤．11 又当1i =时，若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---==== ， 有222111()2m m a a --=⋅，222112m m a a a -==，即112m a -=． 所以，1a 的最大值是12m -．即1212k a -=．…………………………………13分。
北京市朝阳区2014-2015学年高二下学期期末统一考试数学(理)试题(WORD精校版)
北京市朝阳区2014-2015学年第二学期期末考试高二数学 （理科） 2015.7（考试时间100分钟 满分120分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 设i 是虚数单位，在复平面内，复数2i(1i)z =+所对应的点落在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知函数()cos sin f x x x =-，()f x '为函数()f x 的导函数,那么π()6f '等于 A． B．CD3．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=的位置关系是A. 相离B. 相切C. 相交但不过圆心D.相交且过圆心 4.某人射击一次击中目标的概率为0.6，此人射击3次恰有两次击中目标的概率为 A.12554B.12536 C. 12527D. 18255.观察下列各式：0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++= 照此规律，当n *∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= A. 14n + B. 4nC. 14n - D. 24n -6．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 A ．36 B ．48 C ．52 D ．547.函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函 数,下列数值排序正确的是A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<8. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x '=-（()f x '为函数()f x 的导函数）在[],a b 上有且只有两个不同的零点，则称()f x 是()g x 在[],a b 上的“关联函数”．若323()432x x f x x =-+是()2g x x m =+在[]0,3上的“关联函数”，则实数m 的取值范围是A ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．[]1,0-C ．(],2-∞-D ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 9.21(21)d x x -=⎰．则实数a 等于 .11.6)1(x +的展开式中含3x 项的系数为 ;该展开式的二项式系数和是 .(用数字作答)12. 若过点(0,2),(1,3)P Q 的直线的参数方程为,(12x t a t by t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数，,a b 为常数)，则a = ；b = ．13. 若函数32()g x ax ax x =++在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是____． 14. 已知函数()e ln x f x a x =-的定义域是(0,)+∞，关于函数()f x 给出下列命题：①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 存在最小值；②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 是(0,)+∞上的减函数；③存在(,0)a ∈-∞，使得对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()0f x >成立； ④存在(0,)a ∈+∞，使得函数()f x 有两个零点． 其中正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足12a =，211n nn a na a ++=+,n *∈N .（Ⅰ）求2a ,3a ,4a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.16. （本小题满分13分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加信息联赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛. （Ⅰ）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）设X 表示A 中学参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望；（III ）已知3名男生的比赛成绩分别为76,80,84，3名女生的比赛成绩分别为77,a（a *∈N ）,81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出a 的取值范围（不要求过程）.17. （本小题满分13分）已知函数()af x x x=+，()ln g x x x =-，其中a ∈R 且0a ≠. (Ⅰ) 求曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程； （II ）当1a =时，求函数()()()h x f x g x =+的单调区间； （III ）设函数(),()(),()(),()().f x f xg x u x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩若()()u x f x =对任意[1,e]x ∈均成立，求a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知M 是由所有满足下述条件的函数)(x f 构成的集合：①方程0)(=-x x f 有实数根；②设函数)(x f 的导函数)(x f '，且对)(x f 定义域内任意的x ，都有1)(>'x f . （Ⅰ）判断函数x x x f sin 2)(+=是否是集合M 中的元素，并说明理由； （Ⅱ）若函数()ln g x x ax =+是集合M 中的元素，求实数a 的取值范围.。
朝阳区2015-2016学年第一学期期末高三数学(理)试题答案
π ， 1
4
4 2
4
（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分） 三、解答题： （满分 80 分） 15． （本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）设“选出的 3 名同学来自不同班级”为事件 A，则
1 3 C3 C72 C30 C7 49 P( A) . 3 C10 60
所以选出的 3 名同学来自班级的概率为
49 ． 60
……………………………5 分
（Ⅱ）随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，3，则
P ( X 0)
3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ30 C7 7 ； 3 C10 24
P ( X 1)
1 C3 C72 21 ； 3 C10 40
1 C32 C7 7 ； P ( X 2) 3 C10 40
DAB 60 ， G 是 AD 中点，
所以 AD GB ． 如图，建立空间直角坐标系 G xyz ．设 PA PD AD 2a ，
·2·
则 G (0, 0, 0), A( a , 0, 0) ，
B (0, 3a , 0), C ( 2 a , 3a , 0), D ( a , 0, 0), P (0, 0, 3a ) ．
…………13 分
17． （本小题满分 13 分） （Ⅰ）证明：因为底面 ABCD 是菱形，所以 AB ∥ CD ． 又因为 AB 面 PCD ， CD 面 PCD ，所以 AB ∥面 PCD ． 又因为 A, B , E , F 四点共面，且平面 ABEF 平面 PCD EF ， 所以 AB ∥ EF ． ………………………5 分 （Ⅱ）取 AD 中点 G ，连接 PG , GB ． 因为 PA PD ，所以 PG AD ． 又因为平面 PAD 平面 ABCD ， 且平面 PAD 平面 ABCD AD ， 所以 PG 平面 ABCD ．所以 PG GB ． 在菱形 ABCD 中，因为 AB AD ，
北京市朝阳区2014届高三上学期期末考试数学理试题含答案
北京市旭日区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末一致考试数学试卷（理工类）2014.1（考试时间120 分钟满分150 分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1．函数f ( x)1x 的定义域为x1A．[0,)B．(1,)C．[0,1)(1,)D．[0,1)2．假如点P 2, y0在以点 F 为焦点的抛物线y24x 上，则PFA ．1B．2C．3D．43．命题p：x R, x2ax a20 ；命题q：x R ，sin x cos x 2 ，则以下命题中为真命题的是A ．p q B．p q开始C．( p) q D．( p) ( q)4．在△ABC中，A30 ，AB3，BC 1 ，i0则△ ABC 的面积等于a a0A ．3B．3i i1 24C． 3 或3D． 3 或3a 2 a1224是a<2013?5．履行以下图的程序框图，输出结果是4．若 a01,2,3，则 a0全部可能的取值为否．． 1输出 iA1,2,3BC．2D．1,2结束6．已知正方形的四个极点分别为O (0,0) ， A(1,0) ， B(1,1)，C (0,1) ，点 D , E 分别在线段 OC , AB 上运动，且 OD BE ，设 AD 与 OE 交于点 G ，则点 G 的轨迹方程是A ．y x(1x) (0x1)B．x y(1y) (0 y1)C．y x2(0 x 1)D．y 1 x2(0 x 1)7．已知平面向量 a ，b的夹角为120，且 a b 1 ，则 | a b |的最小值为A ．6B．3C．2D． 18．已知数列a n知足 a n n k n (n N ,0 k 1) 下边说法正确的选项是①当k 1时，数列 a n为递减数列；2②当1k1时，数列a n不必定有最大项；21③当 0k a为递减数列；时，数列2n④当k为正整数时，数列a n必有两项相等的最大项 .1kA. ①②B. ②④C. ③④D. ②③第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分 . 把答案填在答题卡上．9．某校为认识高一学生寒假时期的阅读状况，频次 /组距抽查并统计了100 名同学的某一周阅读时间，绘制了频次散布直方图（以下图），那么这1000.150.14名学生中阅读时间在 [4,8) 小时内的人数为0.12_____．0.050.042468 10 12小时10．在各项均为正数的等比数列a n中，若 log 2 a2 log2 a81，则 a3 a7．11．直线y kx与圆( x 2)2y 24订交于O,A两点，若OA =2 3 ，则实数k的值是 _____．12．一个三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥的体积是；表面积是．2 633正视图俯视图x y 3, 13．实数x, y知足y 若 y k( x 2)2x0,恒成立，则实数k 的最大值是．14．全部真约数（除自己以外的正约数）的和等于它自己的正整数叫做完整数．2 33侧视图如： 6=123；28=124714 ；496=1248163162124248 ．已经证明：若2n1是质数，则2n1(2n1) 是完整数，n N .请写出一个四位完整数；又6 23 ，所以 6 的全部正约数之和可表示为(1 2)(13)；28227 ，所以 28的全部正约数之和可表示为(1222) (1 7)；按此规律，496 的全部正约数之和可表示为．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分 . 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（此题满分13 分）已知函数 f (x)cos2 x sin x 1 ．（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小值；（Ⅱ）若 f ( )5的值．，求 cos 21616．（此题满分13 分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在同样测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）以下表：第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你以为选派谁参赛更好？说明原因（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行剖析，设抽到的两个成绩中，90 分以上的个数为 X ，求随机变量X 的散布列和希望 EX ．17．（此题满分 14 分）如图，在三棱锥P- ABC 中， PA平面 ABC，AB AC.（Ⅰ）求证： AC PB ；（Ⅱ）设 O, D 分别为 AC, AP 的中点，点 G 为△ OAB 内一点，且知足 OG 1OB），（OA3P求证： DG ∥面 PBC ；（Ⅲ）若 AB = AC = 2， PA= 4，D 求二面角 A PB C 的余弦值．C OAGB18．（此题满分13 分）已知函数 f (x) (x a)ln x ， a R ．（Ⅰ）当 a 0 时，求函数 f ( x) 的极小值；（Ⅱ）若函数 f ( x) 在 (0,) 上为增函数，求 a 的取值范围．19.已知椭圆C两焦点坐标分别为F1(3,0) , F21 ( 3,0) ，且经过点P( 3, )．2（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）已知点A(0, 1) ，直线 l 与椭圆 C 交于两点 M , N ．若△ AMN 是以 A 为直角极点的等腰直角三角形，试求直线l 的方程．20．（此题满分 13 分）已知 a, b, c 是正数，a1lg a ， a2 lg b ， a3 lg c ．（Ⅰ）若 a,b,c 成等差数列，比较a1 a2与 a2 a3的大小；（Ⅱ）若 a1a2a2 a3a3a1，则a,b,c三个数中，哪个数最大，请说明原因；（Ⅲ）若 a t ，b t2， c t 3（ t N），且a1，a2，a3的整数部分分别是 m, m21, 2m2 1, 求全部 t 的值．北京市旭日区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末一致考试数学答案（理工类）2014.1一、号 1 2 3 4 5 6 7 8答案CCBDBAAC二、填空91 1112114号 03答542 3 18 236 32 (1 2 222324) (1 31)8128案33三、解答15．解：（Ⅰ）因f (x)cos 2 xsin x 1sin 2 xsin x(sin x 1 )2 1 ，2 4又 sin x1,1 ，所以当 sin x 1f ( x) 的最小1 6 分 ，函数.⋯⋯2 4（Ⅱ）由（Ⅰ）得(sin1 )2 1 5 ，24 16所以 (sin1 )2 9 ．2 16于是 sin51（舍）或 sin．44又 cos21 2sin21 2(1)27 ．4816．解：（Ⅰ）茎叶 如右 所示，由 可知，乙的平 大于甲的均匀成 ，且乙的方差小于甲的方差，所以参 更好．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）随机 量 X 的全部可能取 0,1,2 ．P( XC 41C 41 16 ，0)25C 51C 51P( X 2C 418，1)25C 51C 51⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分均 成甲乙 派 乙585656 78 8 2 75295P( X11，2)25C51C51随机量 X 的散布列是：X012P 1681 252525EX01618212．⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分252525517．明：（Ⅰ）因PA平面 ABC ， AC平面 ABC ，所以 PA AC ．又因 AB AC ，且 PA AB= A，所以 AC平面 PAB ．又因 PB平面 PAB ，所以 AC PB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ）解法 1: 因PA平面ABC，所以PA AB ， PA AC ．又因 AB AC ，所以成立如所示的空直角坐系 A xyz ．AC = 2a ， AB = b ， PA = 2c ，A(0,0,0) ， B(0, b,0) ， C (2 a,0,0) ，P(0,0,2 c), D (0,0, c) ， O( a,0,0) ．1又因 OG（OA OB），3a b所以 G( , ,0)．z PD于是 DG( a,b, c) ，x 33BC (2 a,b,0) ， PB(0, b, 2c) ．平面 PBC 的一个法向量n BC0,n( x0, y0 , z0 ) ，有C O AGB即n PB0．2ax0by00,by02cz00.y不如 z0 1 ，有y02c, x0c，所以 n b a因 n DG (c,2c,1)(a,b,c)c aa b33a3所以 n DG ．又因DG平面 PBC ，(c,2c,1) ．a b2c b 1 ( c) 0 ，b3所以 DG ∥平面 PBC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分P解法 2：取 AB 中点 E ， OE ， OE1(OA OB) .122D由已知 OG（OA OB ）可得 OG OE ,33点 G 在OE 上.AG 并延 交 CB 于F ， PF .O因 O, E 分 AC , AB 的中点，CAG所以 OE ∥BC ,即G AF 的中点.E又因 D 段 PA 的中点，F所以 DG ∥PF .又 DG平面 PBC , PF平面 PBC ,B所以 DG ∥平面 PBC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面PBC 的一个法向量 n( c ,2c,1)(2, 2,1) ．a b又因 AC 面 PAB ，所以面 PAB 的一个法向量是 AC(2,0,0) ．又 cos n , ACn AC 4 2 ，n AC 3 23由 可知，二面角 A PBC 角，所以二面角 A PBC 的余弦2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分318． 解：（Ⅰ）定 域 (0,) ．当 a0 ， f (x) xln x ， f ( x)ln x 1 ．令 f (x)0 ，得 x1．(0, 1) ， fe当 x( x) 0 ， f ( x) 减函数；e当 x( 1, ) ， f ( x)0 ， f ( x) 增函数 .e所以函数f (x) 的极小 是 f ( 1)1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分ee（Ⅱ）由已知得f ( x)ln x xa x ．因 函数 f ( x) 在 (0,) 是增函数，所以f (x) 0 ， x(0, ) 恒成立．由 f( x) 0 得 ln x a0 ，即 x ln xx a x(0,) 恒成立．xxg( x) x ln x x ，要使“ x ln xxa x (0,) 恒成立”，只需 ag( x)min ．因 g ( x)ln x 2 ，令 g ( x) 0得 x12．12 ) ， g ( x)e当 x(0,0 ， g( x) 减函数；e当 x(12 ,) ， g ( x) 0 ， g ( x) 增函数 .e11所以 g (x) 在 0,上的最小 是g()2 2．ee故函数 f ( x) 在 (0,) 是增函数 ， 数 a 的取 范 是( ,12 ]⋯⋯13 分e19．解：（Ⅰ） 准方程x 2 y 2 1( ab 0) ．依 意a2b 22aPF 1PF 212 1 1 4，所以 a 2 ．44又 c3 ，所以 b 2 a 2 c 2 1 ．于是 C 的 准方程x 2y 2 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分4（Ⅱ）依 意， 然直l 斜率存在 . 直 l 的方程 y kxm ，x 2 y 21(4k 21)x 28kmx 4m 24 0 ．由 4得y kx m因64k 2 m 2 4(4k 2 1)(4m 2 4) 0 ,得 4k 2 m 2 1 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ①x 1 x 28km4k 21M ( x 1 , y 1), N ( x 2 , y 2 ) ， 段 MN 中点 Q(x 0 , y 0 ) ，4m24x 1 x 24k21于是 x 04km , y 0kx 0mm ．4k 2 14k 2 1因 AM AN ， 段 MN 中点 Q ，所以 AQ MN ．（ 1）当 x0 ，即 k0且 m 0 ，y 01k1，整理得 3m 4k21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯②x0因 AM AN，AM(x1, y11), AN( x2 , y21) ，所以AM AN x1 x2( y11)( y2 1) (1 k2 )x1x2k( m 1)( x1x2 ) m22m 1(1k24m24k(m1)(8km)22m 1 0，)214k2m4k1整理得 5m22m30 ，解得 m3或 m1．当 m1，由②不合意舍去.5由①②知，m 35．， k55（ 2）当x00，（ⅰ）若 k0 ，直 l 的方程 y m ，代入方程中得x 2 1 m2.M (21m2 , m) ， N (2 1 m2 , m) ,依意，若△AMN 等腰直角三角形，AQ QN.即2 1m21m ，解得 m1或 m3. m1不合意舍去，35即此直 l 的方程y.5（ⅱ）若k0 且 m0 ，即直 l 原点.依的称性有Q (0, 0), 依意不可以有AQ MN ,即此不足△AMN 等腰直角三角形.上，直 l的方程y 35x 5 y30或5x 5 y30.⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分或5a3 ) =lgalgblgac20．解：（Ⅰ）由已知得(a1a2 )( a2．a cb c b2因 a,b,c 成等差数列，所以b2，(a1a2 ) ( a2a3 ) lg4ac，(a c) 2因 a2c22ac ，所以(a c)24ac，即4ac1，(a c) 2(a1a2 )( a2a3 ) 0 ，即 a1a2a2a3，当且当a b c 等号成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）解法 1：令m a a ， n a a ， p a a ，122331依意， m n p 且 m n p0 ，所以 m0p ．故 a1a20 ，即lg a lg b ；且a1a30 ，即lg a lg c．所以 a b 且a c ．故 a, b, c 三个数中，a最大．解法 2：依意lg algblgc，即ab c ．b c a b c a因 a0, b0, c0 ，所以 ac b2， a2bc ， ab c2．于是，abc b3， a3abc ， abc c3，所以 a3b3， a3c3．因 y x3在R上增函数，所以a b 且a c ．故 a,b,c 三个数中，a最大．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（Ⅲ）依意，lg t ，lg t2，lg t3的整数部分分是m, m21, 2m21，m lg t m 1，所以 2m2lg t2m2．又 lg t 22lg t ， lg t2的整数部分是2m或 2m 1 ．当 m2 1 2m ， m 1；当 m2 1 2m 1 ， m 0,2 ．（ 1）当m0 ， lg t ，lg t2，lg t3的整数部分分是 0,1,1 ，1 ，1 lg t2lg t 31212所以 0 lg t 2 ，1 2 ．所以lg t，解得 102t 10 3．2312又因 10 23,4 ， 1034,5，所以此 t 4 ．（ 2）当m1，同理可得 1lg t 2 ，2lg t 2 3 ， 3lg t3 4 ．444所以 1lg t t10 3．又10321,22，此 t 10,11,12,...20,21 ．，解得 103（ 3）当m 2，同理可得 2 lg t3，5 lg t2 6 ， 9lg t 310 ，同足条件的 t 不存在．上所述 t4,10,11,12,...20,21 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分。
2015年北京市朝阳区高三第一学期期末数学(理)试题及答案
北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2015．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设i 为虚数单位，则复数1iiz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为 A ．6 B ．9 C ．12 D ．无法确定 3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到 D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A ．4+ B ．8 C ．4+ D．5.αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的 A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是 AB ．34 CD7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A.72 B. 3 C.52D.28.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ） A.204 B. 207 C. 208 D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ．11.设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ,在区域D 内随机取一点P ,则点P 落在圆221x y +=内的概率为 .12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间． 13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．14．已知函数1sin π()()ππx xxf x x -=∈+R ．下列命题：①函数()f x 既有最大值又有最小值；②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点；④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ；（Ⅱ）求证：AE PF ⊥；F 在边BC 上的位置，并说明理由.17．（本小题满分13分）若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分）设函数2e (),1ax f x a x =∈+R ．（Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]e x ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由． 20．（本小题满分13分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<．（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值；（Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 2015．1一、选择题（满分40分）二、填空题（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为： 250.1350.2450.3550.2650.1750.148⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）….…..4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为15.所以从该城市20~80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为15.依题意，X 的可能取值为0,1,2,3.00331464(0)()()55125P X C ===,1231448(1)()()55125P X C ===,2231412(2)()()55125P X C ===,3303141(3)()()55125P X C ===D P C B FA E 0.02因此，随机变量X 的数学期望64481213()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.……………..13分 16. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为点E 是PB 中点，点F 是BC 中点，所以EF //PC ．又因为EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以EF //平面PAC ．……………..4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以BC AB ⊥．又因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB 平面ABCD =AB ， 且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PAB ．由于AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥．由已知PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为=PBBC B ，所以AE ⊥平面PBC .因为PF ⊂平面PBC ，所以AE PF ⊥．………..9分（Ⅲ）点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．因为PA AB =，PB =，所以PA AB ⊥．由（Ⅱ）可知，BC ⊥平面PAB .又BC //AD ,所以AD ⊥平面PAB ，即A D P A ⊥，AD AB ⊥ .所以AD ，AB ，AP 两两垂直．分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴,建立空间直角坐标系（如图）.不妨设2AB =，BF m =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(,2,0)F m .于是(0,1,1)AE =，(,2,0)AF m =.设平面AEF 的一个法向量为(,,)p q r =n ，由0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 20.q r mp q +=⎧⎨+=⎩ 取2p =，则q m =-，r m =，得 (2,,)m m =-n ．由于AP AB ⊥，AP AD ⊥,AB AD A =,所以AP ⊥平面ABCD .即平面ABF 的一个法向量为(0,0,2)AP =． 根据题意，11||||4AP AP ⋅==⋅n n ，解得23m =．由于2BC AB ==，所以13BF BC =.即点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．……………..14分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）依题意，131,b =142b =，…，1212251322b b =⋅=.则121252b b ==，112242b b ==，...，12142b b ==.则()12121212121()22 (121112)S b b b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++++=⨯+-1423=- ……………..6分 （Ⅱ）依题意，502624249c c =+⨯=，因为}{n c 是50项的“对称数列”，所以15049,c c ==24947,c c ==…， 2526 1.c c == 所以当125n ≤≤时，250n S n n =-+；当2650n ≤≤时，251(25)(25)(26)22n S S n n n =+-+⨯--⨯，n S =1250502+-n n .综上，22501255012502650,.n n n n n S n n n n **⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ，， ……………..13分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：当35a =时，32522e (3103)()5(1)xx x f x x -+'=+．由()0f x '>得231030x x -+>，解得13x <或3x >；由()0f x '<得231030x x -+<，解得133x <<．所以函数)(x f 的单调增区间为1(,)3-∞,(3,)+∞，单调减区间为1(,3)3．…………..5分（Ⅱ）因为222e (2)()()(1)ax ax x a g x f x x -+'==+，又因为函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，所以()()f x g x >，即2222e e (2)1(1)ax ax ax x a x x -+>++在1[,2e]e x ∈恒成立．又因为2e 01axx >+，所以22(1)2(1)a x x x +-<+，所以2(1)(1)2a x x -+<．又210x +>，所以2211x a x -<+．设22()1x h x x =+，则mi n 1()a h x -< 1([,2e])ex ∈即可．又2222(1)()(1)x h x x -'=+．由2222(1)()0(1)x h x x -'=>+，注意到1[,2e]e x ∈，解得11e x ≤<；由2222(1)()0(1)x h x x -'=<+，注意到1[,2e]e x ∈，解得12e x <≤．所以()h x 在区间1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在区间(]1,2e 单调递减．所以()h x 的最小值为1()e h 或(2e)h ．因为212e ()e e 1h =+，24e (2e)4e 1h =+，作差可知224e 2e 4e 1e 1<++，所以24e14e 1a -<+． 所以a 的取值范围是224e 4e+1(,)4e 1+-∞+． ……………..13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得2241a b ⎧=⎨=⎩.所以椭圆的标准方程为2214x y +=.………..4分 （Ⅱ）直线MN 过定点(0,0)D .说明如下：由（Ⅰ）可知椭圆右顶点(2,0)A ．由题意可知，直线AM 和直线AN 的斜率存在且不为0．设直线AM 的方程为(2)y k x =-．由2244(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(14)161640k x k x k +-+-=．42225616(14)(41)160k k k ∆=-+-=>成立，所以22164214M k x k -⋅=+．所以228214M k x k -=+． 所以222824(2)(2)1414M M k k y k x k k k --=-=-=++．于是，点222824(,)1414k kM k k--++．因为直线AM 和直线AN 的斜率乘积为14-，故可设直线AN 的方程为1(2)4y x k =--．同理，易得222218()228411414()4N k k x k k---==++-．所以点222284(,)1414k k N k k -++． 所以,当M N x x ≠时,即12k ≠±时,2214MN k k k =-.直线MN 的方程为22224228()141414k k k y x k k k --=-+-+.整理得2214k y x k =-. 显然直线MN 过定点(0,0)D ．（点,M N 关于原点对称）当M N x x =,即12k =±时，直线MN 显然过定点(0,0)D ．综上所述，直线MN 过定点(0,0)D ． ……………..14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--.当(1)(2)x x x mx --=时，即()2320x x x m -+-=.依题意，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，包括两种情况：（1）若0x =是一元二次方程2320x x m -+-=的一个实数根，则2m =时，方程()2320x x x m -+-=可化为2(3)0x x -=，恰存在两个相等的实数根0(另一根为3）.（2）若一元二次方程2320x x m -+-=有两个相等的实数根，则方程2320x x m -+-=的根的判别式94(2)0m ∆=--=，解得14m =-.此时方程()f x mx =恰存在 两个相等的实数根32(另一根为0).所以当14m =-或2m =时，方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根.………4分（Ⅱ）证明：由123()()()()f x x x x x x x =---，可得，()()32123121323123()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=.此一元二次方程的判别式21231213234)12()x x x x x x x x x ∆=++-++（，则()()()2221223312x x x x x x ⎡⎤∆=-+-+-⎣⎦.由123x x x <<可得，0∆>恒成立.所以方程()0f x '=有两个不等的实数根. ………8分 （Ⅲ）122x x αβ+<<.说明如下：由()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=，得 12()2x x f +'=()()212123123()+4x x x x x x x +-+++121323x x x x x x ++()()22121212=044x x x x x x +--=-<.即12()2x x f +'=12123()()022x x x x αβ++--<,由αβ<，得122x xαβ+<<． ………13分。
2016-2017年北京市朝阳区数学期末考试题理科(含答案)
2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x≤2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（）A．y=cosx B．y=﹣x2C．D．y=|sinx|4．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（）A．6 B．8 C．10 D．126．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．47．（5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ（λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，||的值为（）A．B．3 C．D．8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，则b等于．10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=，S10=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．12．（5分）在△ABC中，已知，则∠C=．13．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M⊆R），f：M→M是从集合到集合的一个函数，①如果都有f（x+y）=f（x）+f（y），就称是保加法的；②如果∀x，y∈M都有f（xy）=f（x）•f（y），就称f是保乘法的；③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．在上述定义下，集合封闭的（填“是”或“否”）；若函数f（x）在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f（x）=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）若二面角D﹣AB﹣E为直二面角，（i）求直线AC与平面CDE所成角的大小；（ii）棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．19．（14分）设函数f（x）=ln（x﹣1）+ax2+x+1，g（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有两个零点，试求a的取值范围；（Ⅲ）证明f（x）≤g（x）20．（13分）设m，n（3≤m≤n）是正整数，数列A m：a1，a2，…，a m，其中a i （1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若数列A m满足：只要存在i，j（1≤i＜j≤m）使a i+a j≤n，总存在k（1≤k≤m）有a i+a j=a k，则称数列A m是“好数列”．（Ⅰ）当m=6，n=100时，（ⅰ）若数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列A6：11，78，a，b，c，d是“好数列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列A m是“好数列”，且m是偶数，证明：．2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x≤2}【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∁U A={x|x≥0}，则（∁U A）∩B={x|0≤x＜2}，故选：B．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（）A．y=cosx B．y=﹣x2C．D．y=|sinx|【解答】解：A．y=cosx是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．C.是偶函数，当x≥0时=（）x在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．D．y=|sinx|是偶函数，在区间[0，1]上单调递增，满足条件．故选：D．4．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数y=a x在R上是减函数，则0＜a＜1，此时2﹣a＞0，则函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数成立，即充分性成立，若函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，即0＜a＜2，则函数y=a x在R上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由题意，末尾是0，2，4末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3个，所以共有4+3+3=10个故选：C．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．4【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的高为，底面是边长为2，矩形，∴几何体的体积V==．故选：B．7．（5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ（λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，||的值为（）A．B．3 C．D．【解答】解：将三角形放入坐标系中，则C（0，4），B（3，0），∵=λ+μ（λ＞0，μ＞0），∴λ+μ=1，则1=λ+μ≥2，即λμ≤，当且仅当λ=μ=时取等号，此时=λ+μ=+=（3，0）+（0，4）=（，2）则||==，故选：C．8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为26﹣x，则26﹣x+23+3=32，得x=20，即这两项成绩均合格的人数是20人，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，则b等于3．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，∴=，解得b=3，故答案为：310．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=4，S10=110．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S2=a3，∴2a1+d=a1+2d，即2=d，∴a2=2+2=4．S10=10××2=110．故答案为：4，110．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．12．（5分）在△ABC中，已知，则∠C=105°．【解答】解：由题意：已知，即b=a由正弦定理=，则有sinA=，∵0°＜A＜135°∴A=30°则C=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°13．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是[﹣，0] ．【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域：当直线2x+y=t过点A时，2x+y取得最大值，由，可得A（，）时，z最大是2×=，由约束条件x﹣y≤0，可知≤0，令z=，可得z2==1﹣，令t=，由可行域可得∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．求解的最小值，就是解z2的最大值，即1﹣的最大值，可知∈（﹣∞，﹣1]，显然=﹣1时，z2取得最大值2．所以z，的取值范围是[﹣，0]．故答案为：．[﹣，0]．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M⊆R），f：M→M是从集合到集合的一个函数，①如果都有f（x+y）=f（x）+f（y），就称是保加法的；②如果∀x，y∈M都有f（xy）=f（x）•f（y），就称f是保乘法的；③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．在上述定义下，集合是封闭的（填“是”或“否”）；若函数f （x）在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f（x）=f（x）=x，x∈Q．【解答】解：设x=m+n，y=a+b，m，n，a，b∈Q，∴x+y=m+n+a+b=（m+a）+（n+b），m+a，n+b∈Q，即f（x+y）=f（x）+f（y），∴xy=（m+n）（a+b）=3ma+（mb+an）+bn=（mb+an）+（bn+3ma），mb，an，bn，3ma∈Q，∴f（xy）=f（x）•f（y），∴上述定义下，集合是封闭的，当f（x）=x，x∈Q满足条件，设m，n∈Q，∴f（m+n）=m+n=f（m）+f（n），f（mn）=mn=f（m）•f（n），故答案为：是，f（x）=x，x∈Q三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）∴T=．（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]∴﹣1≤2sin（2x+）≤2∴函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣1，最大值为2．16．（13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：，，（88﹣85）2+（93﹣85）2+（95﹣85）2]=35.5，（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=41．因为=，，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得8（5分）以上（含85分）的频率为，乙获得8（5分）以上（含85分）的频率为．因为f2＞f1，所以派乙参赛比较合适．（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8（0分）”为事件A，．随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且．∴，k=0，1，2，3．所以变量ξ的分布列为：ξ0123P．（或．）17．（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）若二面角D﹣AB﹣E为直二面角，（i）求直线AC与平面CDE所成角的大小；（ii）棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连结BD，设AC∩BD=O，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．设G为DE的中点，连结OG，FG，则OG∥BE，且．由已知AF∥BE，且，所以AF∥OG，OG=AF．所以四边形AOGF为平行四边形．所以AO∥FG，即AC∥FG．因为AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF．…（5分）解：（Ⅱ）（i）由已知，AF∥BE，AB⊥BE，所以AF⊥AB．因为二面角D﹣AB﹣E为直二面角，所以平面ABCD⊥平面ABEF．所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AD，AF⊥AB．四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD．所以AD，AB，AF两两垂直．以A为原点，AD，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图）．因为AB=BE=2AF=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，2，2），F（0，0，1），所以．设平面CDE的一个法向量为n=（x，y，z），由得即取x=1，得n=（1，0，1）．设直线AC与平面CDE所成角为θ，则，因为0≤θ≤90°，所以θ=30°．即直线AC与平面CDE所成角的大小为30°．…（9分）（ii）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，则．设P（x，y，z），则，因为，所以（x﹣2，y，z）=λ（﹣2，2，2）．所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为（2﹣2λ，2λ，2λ）．因为B（0，2，0），所以．又，所以，解得．因为，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．（另解）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，则．设P（x，y，z），则，因为，所以（x﹣2，y，z）=λ（﹣2，2，2）．所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为（2﹣2λ，2λ，2λ）．因为B（0，2，0），所以．设平面DEF的一个法向量为=（x0，y0，z0），则，由，得取x0=1，得=（1，﹣1，2）．由，即（2﹣2λ，2λ﹣2，2λ）=μ（1，﹣1，2），可得解得．因为，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．…（14分）18．（13分）已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：设P（x0，y0），则．所以直线PA与PB的斜率乘积为．…（4分）（Ⅱ）依题直线OM，ON的斜率乘积为．①当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN的面积为．②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程是y=kx+m，由得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣6=0．因为M，N在椭圆C上，所以△=36k2m2﹣4（3k2+2）（3m2﹣6）＞0，解得3k2﹣m2+2＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得3k2+2=2m2…②由①②，得．综上所述，．…（13分）19．（14分）设函数f（x）=ln（x﹣1）+ax2+x+1，g（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有两个零点，试求a的取值范围；（Ⅲ）证明f（x）≤g（x）【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（1，+∞），．当a=1时，f'（2）=4a+2=6，f（2）=4a+3=7．所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣7=6（x﹣2）．即y=6x﹣5．…（4分）（Ⅱ）函数g（x）的定义域为R，由已知得g'（x）=x（e x+2a）．①当a=0时，函数g（x）=（x﹣1）e x只有一个零点；②当a＞0，因为e x+2a＞0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．所以函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=﹣1，g（1）=a，因为x＜0，所以x﹣1＜0，e x＜1，所以e x（x﹣1）＞x﹣1，所以g（x）＞ax2+x ﹣1取，显然x 0＜0且g （x 0）＞0所以g （0）g （1）＜0，g （x 0）g （0）＜0．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a ＜0时，由g'（x ）=x （e x +2a ）=0，得x=0，或x=ln （﹣2a ）． ⅰ） 当，则ln （﹣2a ）＞0．当x 变化时，g'（x ），g （x ）变化情况如下表：x（﹣∞，0）（0，ln （﹣2a ））ln （﹣2a ） （ln （﹣2a ），+∞） g'（x ） + 0 ﹣ 0+ g （x ）↗﹣1↘↗注意到g （0）=﹣1，所以函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意． ⅱ） 当，则ln （﹣2a ）=0，g （x ）在（﹣∞，+∞）单调递增，函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意． 若，则ln （﹣2a ）≤0．当x 变化时，g'（x ），g （x ）变化情况如下表：x（﹣∞，ln （﹣2a ））ln （﹣2a ） （ln （﹣2a ），0） 0 （0，+∞）g'（x ） + 0﹣ 0 + g （x ）↗↘﹣1↗注意到当x ＜0，a ＜0时，g （x ）=（x ﹣1）e x +ax 2＜0，g （0）=﹣1，所以函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意． 综上，a 的取值范围是（0，+∞）．…（9分）（Ⅲ）证明：g （x ）﹣f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣ln （x ﹣1）﹣x ﹣1．设h （x ）=（x ﹣1）e x ﹣ln （x ﹣1）﹣x ﹣1，其定义域为（1，+∞），则证明h （x ）≥0即可． 因为，取，则，且h'（2）＞0．又因为，所以函数h'（x）在（1，+∞）上单增．所以h'（x）=0有唯一的实根x0∈（1，2），且．当1＜x＜x0时，h'（x）＜0；当x＞x0时，h'（x）＞0．所以函数h（x）的最小值为h（x0）．所以=1+x0﹣x0﹣1=0．所以f（x）≤g（x）．…（14分）20．（13分）设m，n（3≤m≤n）是正整数，数列A m：a1，a2，…，a m，其中a i （1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若数列A m满足：只要存在i，j（1≤i＜j≤m）使a i+a j≤n，总存在k（1≤k≤m）有a i+a j=a k，则称数列A m是“好数列”．（Ⅰ）当m=6，n=100时，（ⅰ）若数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列A6：11，78，a，b，c，d是“好数列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列A m是“好数列”，且m是偶数，证明：．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）（ⅰ）∵m=6，n=100，数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，∴x=89，y=100，或x=100，y=89，数列：11，78，90，x，97，y也是一个“好数列”．…（3分）（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89，100两项，若剩下两项从90，91，…，99中任取，则都符合条件，有种；若剩下两项从79，80，…，88中任取一个，则另一项必对应90，91，…，99中的一个，有10种；若取68≤a≤77，则79≤11+a≤88，90≤22+a≤99，“好数列”必超过6项，不符合；若取a=67，则11+a=78∈A6，另一项可从90，91，…，99中任取一个，有10种；若取56＜a＜67，则67＜11+a＜78，78＜22+a＜89，“好数列”必超过6项，不符合；若取a=56，则b=67，符合条件，若取a ＜56，则易知“好数列”必超过6项，不符合； 综上，a ，b ，c ，d 共有66种不同的取值． …（7分）证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”． 又“好数列”a 1，a 2，…，a m 各项互不相同，所以，不妨设a 1＜a 2＜…＜a m ． 把数列配对：，只要证明每一对和数都不小于n +1即可． 用反证法，假设存在，使a j +a m +1﹣j ≤n ，因为数列单调递增，所以a m ﹣j +1＜a 1+a m ﹣j +1＜a 2+a m ﹣j +1＜…＜a j +a m ﹣j +1≤n ， 又因为“好数列”，故存在1≤k ≤m ，使得a i +a m +1﹣j =a k （1≤i ≤j ），显然a k ＞a m +1﹣j ，故k ＞m +1﹣j ，所以a k 只有j ﹣1个不同取值，而a i +a m +1﹣j 有j 个不同取值，矛盾． 所以，每一对和数都不小于n +1，故，即．…（13分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域Rxa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
朝阳区2013-2015数学期末考试+一模+二模试题及答案
朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)试题朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)试题朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)试题朝阳区2013届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）试题（18）（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C过点(1,2,离心率为2，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求EM FN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围.（20）（本小题满分13分）设1210(,,,)x x x τ=L 是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值；（Ⅱ）求()S τ的最大值；（Ⅲ）求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.朝阳区2014届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）试题a CC朝阳区2015届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）试题18．（本小题满分13分） 已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ） 当1a =-时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ） 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.19.（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．过焦点的直线与椭圆交于两点，线段中点为，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求四边形面积的最大值．20.（本小题满分13分）若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()m ∈*N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数．设2()f m m =．（Ⅰ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，，求； （Ⅱ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，求； (Ⅲ)若2(1,2,3)n a n n ==L ，是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++（其中常数,,p q r ∈Z ）？使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列？若存在，求出；若不存在，说明理由. 朝阳区2013届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）试题2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,0)F 3F l C ,A B AB D ,M N C AMBN m b 11=b 1a ,11b a =1a )(ng朝阳区2014届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）试题朝阳区2015届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）试题朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)答案朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)答案朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)答案朝阳区2013届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）答案（18）（本小题满分1 3分）解：函数定义域为， 且…………2分 ①当0a ≤，即02a ≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)， 令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞. ②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02a x <<或1x >， 函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a ，(1,)+∞. 令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a . ③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分 (Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增. 所以()f x 在上的最小值为(1)1f a =+， 由于22422221121()2(1)10e e e e e ea a f =--+=--+>， 要使()f x 在上有且只有一个零点， 需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得或. ②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知，（ⅰ）当时，函数()f x 在(0,2]上单调递增； 且48414(e )20,(2)22ln 20e ef f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. （ⅱ）当时，函数()f x 在(,1)2a 上单调递减，在(1,2]上单调递增； 又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2a x ∈时，总有()0f x >. 因为， 所以.所以在区间内必有零点.又因为()f x 在内单调递增，从而当时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点.综上所述，或或时，()f x 在上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）{}0x x >(2)(1)()2(2).a x a x f x x a x x --'=-++=(]0,2(]0,21a =-2ln 2a <-2a =02a <<22e 12a aa +-<<+22222222(e )e [e (2)](ln e 22)0a a a a a a a a f a a a ++++----=-++++<(0,)2a (0,)2a02a <≤02a <≤2ln 2a <-1a =-(]0,2解：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,1314a b c c aa b ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆的方程为2214x y +=. ………………………………………………4分 （Ⅱ）显然点(2,0)A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,(1,22E F -，(3,(3,22M N -，所以1EM FN ⋅=u u u u r u u u r . …………………………………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意. 由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++. 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y y M N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--u u u u r ，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--u u u r . ……………………10分 所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅--u u u u r u u u r 121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+-- 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅-- 2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++ C222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++22221653()(1)414k k k k+-=⋅++ 22216511164164k k k +==+++. ……………………………………………12分 因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈u u u u r u u u r .综上所述，EM FN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是5[1,)4. ……………………………………14分（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑. ……3分（Ⅱ）数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤. 对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分朝阳区2014届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）答案朝阳区2015届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）试题 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->()0x >解得1x >；由(1)(1)0x x x+-<()0x >解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增. 所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分 （Ⅱ）(1)()()x x a f x x--'=,0x >. （1）当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. （ⅰ）当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x =，2x =，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；（ⅱ）当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；（ⅲ）当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.（ⅳ）当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点. (2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值.21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞， 所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.且0x →（从右侧趋近0）时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得a =b ， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN = 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+，所以||AB==． 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=， 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=+==== 当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为． …………………………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）若，因为数列单调递增，所以，又是自然数，所以或1. ………2分 （Ⅱ）因为数列的每项都是自然数，若，则，与矛盾；若，则因单调递增，故不存在，即，也与矛盾. 当11=a 时，因单调递增，故2≥n 时，1>n a ，所以，符合条件， 所以，. ………6分 （Ⅲ）若，则数列{}n a 单调递增，显然数列{}m b 也单调递增，由，即，得，所以，为不超过的最大整数，当21m k =-()k *ÎN时，因为，所以；当2m k =()k *ÎN时，，所以，.综上，2222,21(2,2(m k k m k k b k m k k **ìï-=-?ï=íï=?ïîN )N )， 即当0m >且m 为奇数时，212m m b -=；当0m >且m 为偶数时，22m mb =. 若数列是数列的生成数列，且生成的控制函数为， 则中不超过的项数恰为，即中不超过的项数恰为，11b ={}n a 211a ≤1a 10a ={}n a 2101a =≤11b ≥11a b =12a ≥{}n a 21n a ≤10b =11a b ={}n a 11b =11a =2(1,2,)n a n n ==L 2n a m ≤22n m ≤212n m ≤m b 212m 222211222222122kk m k k k k -<=-+<-+222m b k k =-22122m k =22m b k ={}n a {}m b {}m b {}n a ()g n m b ()g n n a m b ()g n 2n所以，即对一切正整数都成立， 即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立，故得2p =，且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立，故02q ≤≤，q Z ∈.又常数r Z ∈，当0q =时，02(1)r n n ≤<≥，所以0r =，或1r =； 当1q =时，(1)n r n n -≤<≥，所以0r =，或1r =-； 当2q =时，20(1)n r n -≤<≥，所以2r =-，或1r =-；所以，或，或，或，或，或(n *ÎN ). ………13分朝阳区2013届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）答案221()n n b g n b +≤<222222n pn qn r n n ≤++<+n 2()2g n n =221n +221n n +-22n n +2222n n +-2221n n +-朝阳区2014届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）答案朝阳区2015届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）答案。
北京市朝阳区2014届高三第二次综合练习-理科数学-Word版包含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则AB =（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b>（C ）11a b< （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=（A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3（5）已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C） （D)+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P 的轨迹长度是 （A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____． （10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延BA长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____． （12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．（13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为 ．（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数．下列函数 ①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()xf x x=； ④()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC． （Ⅰ）求边a 的长； （Ⅱ）求cos2B 的值．A （第11题图）22俯视图侧视图正视图（第12题图）（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参 加社区服务时间不少于90小时的概率； （Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数21()e1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．服务时间/小时FABCDP E（19）（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ； （Ⅱ）求证：543T mT tT =--；（Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5二、填空题（满分30分）三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 23ABC S c ∆2π=⨯⨯=． 所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=， 所以7a =． ……………7分（Ⅱ）由sin sin a bA B=3sin B =，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人）， 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=； 3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=． 随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以355E ξ=⨯=． ……………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形， 所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ． ……………4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ， 且面PAD面=ABCD AD ，E P DCBAF所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥． 又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 因为2PA PD AD ===，所以OP =，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P，1(2E ，(0,1,0)F ． 于是(0,2,0)AB =，3(,0,22DE =，(1,1,0)DF =． 因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量． 设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n． 由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A …10分 （Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，则111=(,1,)FG x y z -． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ． 因为GF ⊥面EDF ，所以=FG λn ．于是，111,1,xy z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=． 又因为点G 在棱PC 上，所以GC 与PC 共线．因为(1,2,PC =-，111(+1,2,)CG x y z =-， 所以111212x y +--==．所以1112λλ+---==，无解． 故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得21()2ex f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直， 所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． ……………3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2ex f x a +'=-． （1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞； 令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． ……………8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=． 令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数；令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤． 又因为a 32e <， 所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． ……………13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时， 可得11ln 0222a -≤． 由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， 所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立． （3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<． 由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a aa -+≥， 解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=． 解得1c =，2a =． 所以2223b a c =-=． 所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． ……………4分 （Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=． 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k+=-+，212241234m x x k -=+． 若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=． 1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m km k km m k k -+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+． 将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->， 解得，234m >． 又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． ……………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．因为120n n r r n r T xx -==∑，所以11112120r r r T x x x x m -===+=-∑． 222222************()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． …………3分 （Ⅱ）由120k k r r k r T x x -==∑，得 545455512112214200r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑． 即55142T x T x =+，同理，44132T x T x =+．所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数． 由120k k r r k r T xx -==∑，得111112112200k kk r r k r r k k r r T x x x x x x ++--++====+∑∑． 即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T x T x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-． 即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数．即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，120n n r r r x x -=∑的值都是整数． ………13分。
北京市朝阳区2015年高三年级第二次综合练习数学(理)试卷及解析讲解
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷（理工类）（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}2|1A x x =>，集合(){}|20B x x x =-<，则A B =A ．{}|12x x <<B ．{}|2x x >C ．{}|02x x <<D ．{}|12x x x ，或≤≥2．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值是A ．7B ．10C ．66D ．1663．设i 为虚数单位，m ∈R ，“复数()1i m m -+是纯虚数”是“1m =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A B C ，，，满足6810AB AC BC ===，，，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=A ．48B ．48-C ．100D ．100-5．已知函数()ππ2sin 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤，则12||x x -的最小值是A ．2B ．4C ．πD ．2π6．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若5||2PF =，则双曲线的渐近线方程为A ．12y x =±B ．2y x =±C．y =D．y =7．已知函数()e e 2x x f x --=，x ∈R ，若对任意π02θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，都有()()sin 10f m f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是A ．()01，B ．()02，C ．()1-∞，D ．(]1-∞，8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD 折叠，使得点B 始终落在边AD 上，则折起部分面积的最小值为A ．14B ．38C ．25D ．12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．4113x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含3x -项的系数是＿＿＿＿＿＿.10．已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，且圆C 与两条直线0x y +=和120x y +-=都相切则圆C 的标准方程是＿＿＿＿＿＿.1(C )B (B )D11．如图，已知圆B 的半径为5，直线AMN 与直线ADC 为圆B 的两条割线，且割线AMN过圆心B .若2AM =，60CBD ∠=︒，则AD =＿＿＿＿.12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为 ．13．已知点()()()()*112212n n A a A a A a n n ∈N ，，，，，，都在函数13log y x =的图象上．则数列{}n a 的通项公式为；设O 为坐标原点，点()()*0n n M a n ∈N ，，则11OA M △，22OA M △，…，n n OA M △中，面积的最大值是．14．设集合(){}{}123|202123i A m m m m i =∈-=，，，，，，，，集合A 中所有元素的个数为；集合A 中满足条件“12325m m m ++≤≤”的元素个数为．NBCD MA俯视图正视图侧视图三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2120CD ADC ==︒，∠，cos CAD =∠．⑴求AC 的长；⑵求梯形ABCD 的高．16．（本小题满分13分）某学科测试中要求考生从A B C ，，三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A B C ，，三题答卷数如下表：题A B C 答卷数180 300120⑴某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A 题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B C ，题作答的答卷中各抽出多少份？⑵若在⑴问中被抽出的答卷中，A B C ，，三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A B C ，，三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷恰有1份得优的概率；⑶测试后的统计数据显示，B 题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在⑴问中被抽出的选择B 题作答的答卷中，记其中得优的份数为X ，求X 的分布列及其数学期望EX ．BA CD如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===.直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD . （1）求证：FA BC ⊥；（2）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值；（3）设H 为BD 的中点，M N ，分别为线段FD AD ，上的点（都不与点D 重合）.若直线FD ⊥平面MNH ，求MH 的长.18．（本小题分13分）已知点M 为椭圆22:3412C x y +=的右顶点，点A B ，是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），且满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14. （1）求椭圆C 的离心率及焦点坐标；（2）试判断直线AB 是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由.已知函数()()2e x f x x a a =-∈R ，.（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若在区间()12，上存在不相等的实数m n ，，使()()f m f n =成立，求a 的取值 范围；（3）若函数()f x 有两个不同的极值点12x x ，，求证：()()2124e f x f x -<.20．（本小题满分13分）已知数列()*12:2n n A a a a n n ∈N ，，，，≥是正整数123n ，，，， 的一个全排列.若对每个{}23k n ∈，，， 都有1||2k k a a --=或3，则称n A 为H 数列. （1）写出满足55a =的所有H 数列5A ；（2）写出一个满足()5512403k a k k ==，，， 的H 数列2015A 的通项公式；（3）在H 数列2015A 中，记()512403k k b a k ==，，， .若数列{}k b 是公差为d 的等差数列，求证：5d =或5-.朝阳区高三年级第二学期期末练习数学（理）答案及评分参考2015.5一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A【解析】由题意可得集合{|1A x x =<-或1}x >，集合{|02}B x x =<<所以{|12}A B x x =<< ，选A. （2）B【解析】有程序图得2222147S n =++++ ，当7n =时，22214766100S =++=<继续循环，当10n =时，显然有210100S >=，输出10n =. 所以选B. （3）B【解析】设命题q ：复数(1)i m m -+为虚数可得0m =或1m =，不一定有命题p ：1m =，故q 不是p 的充分条件；而当1m = 时，(1)i m m -+为虚数成立，所以q 是p 必要条件，选B. （4）C【解析】根据题意A ，B ，C 可以构成三角形ABC ∆，且ABC ∆是直角三角形，AB AC ⊥，所以 2()0100AB BC BC CA CA AB BC AB CA BC ⋅+⋅+⋅=++=-=- ，所以选C （5）A【解析】易题意，1x x =时，函数取到最小值；2x x =时，函数取到最大值.()f x 为正弦型函数，因此12x x -的最小值即为()f x 的半个周期，2π4π2T ==，所以最小值为2 （6）C【解析】易知焦点坐标()1,0F ，221a b ∴+=， 根据抛物线性质可知P 点的横坐标为32，229614a b∴-=， 综上，可求得2213,44a b ==，所以渐近线方程为y =（7）D【解析】易知()f x 为R 上的单调递增函数，且为奇函数，因此()()()()sin 10sin 1sin 1f m f m f m f m m m θθθ+->⇔>-⇔>- 11sin m θ⇔<-，π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ，所以()11,1sin θ∈+∞-，(],1m ∴∈-∞、（8）B【解析】如图所示，设1AB x =，根据勾股定理易求得1BB =，根据翻折的性质1B O =，易证1BAB BOE ∆ △，可求得：212x BE +=，过E 作EG BC ∥，易证1BAB EGF ≅△△，1AB x GF ∴==，2212x x CF BE FG -+∴=-=，()2122224x x S BE CF BC -+∴=+⋅=∴当12x =时，，面积最小，为38.C 1 (C )B 1(B )ECC二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
北京市朝阳区高三数学上学期期末联考试题 理
开始m =1, i =1m =m (2-i )+1 i = i +1 m =0?结束 输出i 是 否北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2016．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|11M x x =-<<，|01x N x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则M N =IA ．{}|01x x ≤<B ．{}|01x x <<C ．{}|0x x ≥D ．{}|10x x -<≤2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)-3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．6第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试km/h ）频率估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1700辆第4题图5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6． 已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是A ．12B ．1C ． 2D ． 3 7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A ．27B ．30C ．32D ．36第7题图8．设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a < D ．20a <第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．侧视图俯视图9．函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是 ，最小值是 ．10．若x ，y 满足约束条件2211x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≥，≤，则z x y =+的最大值为 ．11．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是 ． 12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ．13．已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点（C 为圆心），且满足||CA CB +=u u u r u u u r=AB ．14．已知点O 在ABC ∆的内部，且有xOA yOB zOC ++=0u u u r u u u r u u u r，记,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积分别为AOB BOC AOC S S S ∆∆∆，，．若1x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ；若2,3,4x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．16．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-．（Ⅰ）求sin C ∠的值；（Ⅱ）若5,BD =求ABD ∆的面积．ADBC17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范 围；（Ⅱ）当e a =-时，（ⅰ）证明：()20f x +≤；19．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.20．（本小题满分13分）已知有穷数列：*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N L 的各项均为正数，且满足条件：①1k a a =；②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=-L ． （Ⅰ）若13,2k a ==，求出这个数列； （Ⅱ）若4k =，求1a 的所有取值的集合； （Ⅲ）若k 是偶数，求1a 的最大值（用k 表示）．北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．1一、选择题：（满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADBDACAB二、填空题：（满分30分） 题号 91011121314答案π，1-4 42 124 1:1:14:2:3（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则03373107(0)24C C P X C ⋅===； 123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 30373101(3)120C C P X C ⋅===． 所以随机变量X 的分布列是X 0 1 2 3P724 2140 740 1120随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为2cos 10ADB ∠=-，所以2sin 10ADB ∠=． 又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅7222245=⋅+⋅=． ………………………7分 （Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin ，得74sin 2522sin 72AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠． 所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=． …………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AB ∥CD ． 又因为AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，所以AB ∥面PCD ． 又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF I 平面PCD EF =， 所以AB ∥EF ． ………………………5分 （Ⅱ）取AD 中点G ，连接,PG GB ．因为PA PD =，所以PG AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD I 平面ABCD AD =，所以PG ⊥平面ABCD ．所以PG GB ⊥． 在菱形ABCD 中，因为AB AD =， 60DAB ∠=︒，G 是AD 中点， 所以AD GB ⊥．如图，建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===， 则(0,0,0),(,0,0)G A a ，3,0),(23,0),(,0,0),3)B a C a a D a P a --．又因为AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点．所以33(,,)22a aE a -，3(2a aF -．所以33(2a a AF =-u u u r ，3(,2a aEF =u u u r ．zyG AEP CDBF设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r 所以3,3.3z x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =，则平面AFE 的一个法向量为(3,3,33)=n ．因为BG ⊥平面PAD ，所以(0,3,0)GB a =u u u r是平面PAF 的一个法向量．因为13cos ,13393GB <GB >a GB⋅===⋅⋅n n n u u u ru u u r u u u r ， 所以平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值为13． ……………………13分 18．（本小题满分14分）解：函数()f x 定义域),0(+∞∈x ，1()f x a x'=+．（Ⅰ）因为()f x 在区间[1,2]上为增函数，所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立， 即1()0f x a x '=+≥，1a x≥-在[1,2]x ∈上恒成立， 则1.2a ≥- ………………………………………………………4分（Ⅱ）当e a =-时，() e ln f x x x =-+,e 1()x f x x-+'=． （ⅰ）令0)(='x f ，得1ex =． 令()0f x '>,得1(0,)e x ∈，所以函数)(x f 在1(0,)e 单调递增．令()0f x '<,得1(,)e x ∈+∞，所以函数)(x f 在1(,)e +∞单调递减．所以，max 111()()e ln 2e e ef x f ==-⋅+=-．所以()20f x +≤成立． …………………………………………………9分 （ⅱ）由（ⅰ）知， max ()2f x =-， 所以2|)(|≥x f ． 设ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(xx x g -='． 令0)(='x g ，得e x =．令()0g x '>,得(0,e)x ∈，所以函数)(x g 在(0,e)单调递增， 令()0g x '<,得(e,)x ∈+∞，所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减；所以，max lne 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<， 即2)(<x g ． 所以)(|)(|x g x f > ，即>|)(|x f ln 32x x +． 所以，方程=|)(|x f ln 32x x +没有实数解． ……………………………14分 19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=． 所以6c e a ==．所以椭圆C 6…………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=u u u r u u u r．所以OA OB ⊥．同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+211m k =+，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631kmx x k +=-+，21223431m x x k -=+．所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+ 22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高， 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB ==231k =+223131k k ==++=． 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时，等号成立）．所以3AB ≤．此时, max (S )3OAB ∆=.综上所述，当且仅当3k =±时，OAB ∆面积的最大值为3．…………………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为13,2k a ==，由①知32a =； 由②知，21211223a a a a +=+=，整理得，2222310a a -+=．解得，21a =或212a =． 当21a =时，不满足2323212a a a a +=+，舍去； 所以，这个数列为12,,22． …………………………………………………3分（Ⅱ）若4k =，由①知4a =1a ． 因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=，所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=． 所以112n n a a +=或11(1,2,3)n n a n a +==． 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=，显然不满足条件； 所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n n a a +=，共有下面4种情况： （1）若211a a =，3212a a =，4312a a =，则41114a a a ==，解得112a =； （2）若2112a a =，321a a =，4312a a =，则4111a a a ==，解得11a =； （3）若2112a a =，3212a a =，431a a =，则4114a a a ==，解得12a =； （4）若211a a =，321a a =，431a a =，则4111a a a ==，解得11a =； 综上，1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2． ………………………………………………8分 （Ⅲ）依题意，设*2,,m 2k m m =∈≥N ．由（II ）知，112n n a a +=或11(1,2,3,21)n n a n m a +==-L ． 假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n n a a +=，用了21m i --次递推关系112n n a a +=， 则有(1)211()2i t m a a -=⋅，其中21,t m i t ≤--∈Z ． 当i 是偶数时，0t ≠，2111()2t m a a a =⋅=无正数解，不满足条件； 当i 是奇数时，由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤，所以112m a -≤． 又当1i =时，若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---====L ，有222111()2m m a a --=⋅，222112m m a a a -==，即112m a -=． 所以，1a 的最大值是12m -．即1212k a -=．…………………………………13分。
2014北京市朝阳区高考数学(理)二模试题(附答案)
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5 （考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ （2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b> （C ）11a b < （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5（B ）{}1,2,3,4,5,6（C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=（A ）π6-（B ）6π（C ）π3-（D ）π3（5）已知命题p ：复数1ii z +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C） （D）)+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．若生产甲、乙两种产品可使用120吨，电不超的煤不超过过60千度，则可获得的最大纯利润和是（A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元 （8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P 的轨迹长度是（A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____．（10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____．（12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．2侧视图正视图BA（13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ； 数列2{log }n a 的前n 项和为 ．（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M≤，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数．下列函数①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()xf x x =； ④()sin f x x x =，其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC的面积为． （Ⅰ）求边a 的长；（Ⅱ）求cos 2B 的值． （16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ． （17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧服务时间/小时CDP E面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===． （Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由． （18）（本小题满分13分）已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．（19）（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB+=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设 120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ；（Ⅱ）求证：543T mT tT =--；（Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5 一、选择题（满分40分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 23ABC Sc ∆2π=⨯⨯=． 所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a =． ……………7分（Ⅱ）由sin sin a b A B =得，3sin B=，所以sin 14B =．所以271cos 212sin 98B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意， 参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人）， 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=； 3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以26355E ξ=⨯=． ……………13分 17．（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分． 因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点． 在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ． ……………4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =，所以PO AD ⊥．E P DCBAF因为面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD面=ABCD AD ，所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD ，,所以PO OF ⊥． 又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．因为2PA PD AD ===，所以OP =(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P，1(2E ，(0,1,0)F ． 于是(0,2,0)AB =，3(2DE =，(1,1,0)DF =． 因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量． 设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n．由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A 的余弦值为．…10分（Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，则111=(,1,)FG x y z -． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ．因为GF ⊥面EDF ，所以=FG λn ． 于是，111,1,xy z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=．又因为点G 在棱PC 上，所以GC 与PC 共线．因为(1,2,PC =-，111(+1,2,)CG x y z =-，所以111212x y +--==．所以1112λλ+---==，无解． 故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得21()2e x f x a +'=-． 因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． ……………3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2e x f x a +'=-．（1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞； 令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． ……………8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ．“当(0,1]x ∈时，21()e 11x f x ax +=-+≥恒成立” 等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x +≤恒成立．”设21e ()x g x x +=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=． 令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数； 令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数． 所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤． 又因为a 32e <，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． ……………13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+． 所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时， 可得11ln 0222a -≤．由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞，所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立．（3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<．由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a aa -+≥，解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>，半焦距为c . 依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=. 所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． ……………4分（Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB+=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=． 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+． 若22OA OB OA OB+=-成立，即2222OA OB OA OB+=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m kmk km m k k -+⋅-⋅+=++,化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->，解得，234m >． 又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m≤所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． ……………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．因为120nn r rn r T xx-==∑，所以11112120r r r T x x x x m-===+=-∑．222222212112212120()r r r T x x x x x x x x x x m t-===++=+-=-∑． …………3分（Ⅱ）由12kk r rk r T xx-==∑，得5454555121122142r rr r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑．即55142T xT x =+，同理，44132T xT x =+．所以5241232x T x x T x =+． 所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分（Ⅲ）用数学归纳法证明． （1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数． 由120kk r rk r T xx-==∑，得1111121122k kk r rk r r k k r r T xx x x x x ++--++====+∑∑．即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T xT x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-．即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数．即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，12nn r rr xx-=∑的值都是整数． ………13分。
北京市朝阳区2014-2015学年度高三(上)期末数学试卷(理工类)
北京市朝阳区2014-2015学年度高三（上）期末数学试卷（理工类）2015．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i 为虚数单位，则复数1i iz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为A ．6B ．9C ．12D ．无法确定3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A ． 4+．8C ． 4+D ．5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin AC ⋅的最大值是A B ．34C D7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A ． 72B ． 3C ．52D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）A.204B. 207C. 208D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ． 11．设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．14．已知函数1sin π()()ππx xx f x x -=∈+R ．下列命题： ①函数()f x 既有最大值又有最小值；②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点；④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．1 6．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ；（Ⅱ）求证：AE PF ⊥；（Ⅲ）若PB =，二面角E AF B --F 在边BC 上的位置，并说明理由.D P C B F A E0.02若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分） 设函数2e (),1axf x a x =∈+R ． （Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]ex ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,2，离心率为2．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<． （Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值；（Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．。
高考数学 2014-2015朝阳高三二模数学理科试题
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2015．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知集合{}21A x x =>，集合{}(2)0B x x x =-<， 则A B =I A ．{}12x x << B. {}2x x > C ． {}02x x <<D ． {1x x ≤,或}2x ≥2. 执行如图所示的程序框图,则输出的n 的值是A ．7B ．10C ．66D ．1663. 设i 为虚数单位，m R ∈，“复数(1)+i m m -是纯虚数”是“1m =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4.已知平面上三点,,A B C 满足=6AB uu u r ，=8AC uuu r ，=10BC uu u r， 则++AB BC BC CA CA AB 鬃?uu u r uu u r uu u r uu r uu r uu u r= A. 48 B. 48- C.100 D. 100- 5.已知函数()2sin()25f x x ππ=+.若对任意的实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是A. 2B.4C. πD. 2π6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若52PF =，则双曲线的渐近线方程为 A. 12y x =±B. 2y x =±C. y =D.3y x =± 7.已知函数e e ()2x x f x --=，x ÎR ，若对任意π(0,]2q Î，都有(sin )(1)0f m f m q +->成立，则实数m 的取值范围是A. ()0,1B. ()0,2C. (),1-?D. (],1-? 8. 如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD 折叠，使得点B 始终落在边AD 上，则折起的部分的面积最小值为A. 14 B. 38 C. 25D.12ACBB 1(B )D C 1(C )第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 41(1)3x-展开式中含3x -项的系数是 . 10.已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，且和两条直线0x y +=和120x y +-=都相切，则圆C 的标准方程是 .11. 如图，已知圆B 的半径为5，AMN 与ADC 为圆B 的两条割线，且割线AMN 过圆心B .若2AM =，60CBD?o ，则AD = .12.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为______.13.已知点11(,1)A a ，22(,2)A a ，…，(,)n n A a n （n N *Î）都在函数13log y x =的图象上.则数列{}n a 的通项公式为 ；设O 为坐标原点，点(,0)n n M a （n N *Î），则11OA M D ，22OA M D ，…，n n OA M D 中，面积的最大值是 .14．设集合{}{}123(,,)2,0,2,1,2,3i A m m m m i =?=，集合A 中所有元素的个数为 ；集合A 中满足条件“12325m m m ?+?”的元素个数为 .NA正视图侧视图俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在梯形ABCD 中，AB P CD ，2CD =，120ADC?o,cos 14CAD?. （Ⅰ）求AC 的长； （Ⅱ）求梯形ABCD 的高. 16．（本小题满分13分）某学科测试中要求考生从,,A B C 三道题中任选一题作答,考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试.选择,,A B C 三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答卷中抽出若干份答卷，其中从选择A 题的答卷中抽出了3份，则应分别从选择,B C 题的答卷中抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，,,AB C 三题答卷得优的份数都是2.从被抽出的,,A B C 三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B 题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B 题作答的答卷中，记其中得优的份数为X ，求X 的分布列及其数学期望EX ．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ,90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：FA BC ⊥；（Ⅱ）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值；（Ⅲ）设H 为BD 的中点，M ，N 分别为线段,FD AD 上的点（都不与点D 重合）.若直线FD ^平面MNH ,求MH 的长.18．（本小题满分13分）已知点M 为椭圆22:3412C x y +=的右顶点，点,A B 是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB 是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19.（本小题满分14分）已知函数2()()e xf x x a =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若在区间()1,2上存在不相等的实数,m n ,使()()f m f n =成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，求证：212()()4e f x f x -<.A DHCBEFMN20.n ,,3,2,1Λ的一个全排列.若对每个k n A 为H 数列．（Ⅰ）写出满足55=a 的所有H 数列5A ；（Ⅱ）写出一个满足)403,,2,1(55Λ==k k a k 的H 数列2015A 的通项公式；（Ⅲ）在H 数列2015A 中，记5(1,2,,403)k k b a k ==L .若数列{}k b 是公差为d 的等差数列，求证：5d =或5-．。
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北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一
考试
数学试卷（理工类） 2015．1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项． 1．设i 为虚数单位，则复数1i
i
z +=
在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为
A ．6
B ．9
C ．12
D ．无法确定 3．设函数()sin(2)3
f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点(,0)6
π对称
C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3
π
个单位得到
D ．函数()f x 在区间(,)
2
ππ
-
12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是
A ． 4+
B ．8
C ． 4+
D ．
5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m α
β=，l α⊄，
l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的
A ．充分且不必要条件
B ．必要且不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 6．在ABC ∆中，π
4
B =
，则sin sin A C ⋅的最大值是 A
B ．34 C
D
7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是 A ．
72 B ． 3 C ．5
2
D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，
7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）
A.204
B. 207
C. 208
D.209
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则s
i n (π)α-的值是 ．
10．双曲线22
:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ．
11．设不等式组240,
0,0x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P
落在圆2
2
1x y +=内的概率为 ．
12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，
12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．
13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加
上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）． 14．已知函数1sin π()()ππ
x x
x
f x x -=
∈+R ．下列命题： ①函数()f x 既有最大值又有最小值； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；
③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点； ④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．
其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.
（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄； （Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80
年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
0.02
1 6．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动． （Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ； （Ⅱ）求证：AE PF ⊥；
（Ⅲ）若PB =
，二面角E AF B --
F 在边BC 上的位置，并说明理由.
17．（本小题满分13分）
若有穷数列1a ，2a ，3,
,m a a （m 是正整数）
满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，
则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”． （Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等
比数列．求}{n b 的所有项和S ；
（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等
差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *
≤≤∈N .
D
P
C
B
F
A
E
18．（本小题满分13分）
设函数2
e (),1
ax
f x a x =∈+R ． （Ⅰ）当3
5
a =
时,求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1
[,2e]e
x ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上
方，求a 的取值范围．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点A 的两条斜率乘积为1
4
-
的直线分别交椭圆C 于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<． （Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数
m 的值；
（Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ
()αβ<，试比较
12
2
x x +与,αβ的大小并说明理由．。