一维弹性杆件旋转问题的加权残值法和伽辽金法

+
2
=
0
1
7
61
∫
0
������∆(���̃���) ������������
=
12 ������1
+
5
������2
+
3
=
0
(11 − 1) (11 − 2)
4
110
������1 = − 137, ������2 = − 417
方案 2：
分别取������(������) = ������2和������(������) = ������3代入(10)得
1
∫ ������(������)∆(���̃���) ������������ = 0
(10)
0
方案 1：
分别取������(������) = 1和������(������) = ������代入(10)得
解得
1
471
∫
0
∆(���̃���)
������������
=
3
������1
+
4 ������2
21
������1 = − 176, ������2 = − 88
方案 3：
分别取������(������) = ������������和������(������) = ln ������代入(10)得
解得
1
∫ ������������∆(���̃���) ������������ = (−6 + 3������)������1 + (9 − 2������)������2 + 1 = 0
=
0
428 ������0 = 493 ,
105 ������1 = − 1972 ,
方案 3
依次取������(������) = ������3, ������(������) = ������4, ������(������) = ������5代入(16)达式得：
126 ������2 = − 493
������������ ������������
+
������(������
+
������)������2
=
0
(3)
将(3)式代入(1)式，就可以得到位移函数满足的微分方程：
������
������2������ ������������2
+
������(������
+
������)������2
三种方案与解析解的对比结果如图：
二、伽辽金法
为了让近似函数精确满足第二类边界条件，可以增加权函数。定义残差：
1
���̅��� = ∫ ������(������′′ + ������ + ������)������������ + ���̅���������′(1)
(14)
0
若对于任意������(������), ���̅���有���̅��� = 0，则
���̅���1
=
−
4 4
������0
−
4 3
������1
−
58 35
������2
+
1 5
=
0
���̅���2
=
−
5 6
������0
−
51 35
������1
−
15 8
������2
+
1 6
=
0
解得
���̅���1
=
−
6 7
������0
−
37 24
������1
−
128 63
������2
������′′ + ������ + ������ = 0
������′(1) = 0
即方程和第 2 类边界条件已被满足，只要构造近似函数时满足第 1 类边界条件，就可以得到原问题的
近似解。
1
1
1
1
���̅��� = ∫ ������(������′′ + ������ + ������)������������ + ���̅���������′(1) = ∫ ������������������′ + ∫ ������������������������ + ∫ ������������������������ + ���̅���������′(1)
(1)
由胡克定律，得到应力-应变关系为：
������������
������ = ������������ = ������ ������������
(2)
对单元进行受力分析，微元两端的杆内力差提供圆周运动的向心力（定义沿杆背离选中中心的方向为
正），即：
[������(������ + ������������) − ������(������)]������ = −������(������������������)(������ + ������)������2 约去������, ������������可整理得得：
对如下左图所示问题，取杆上������处一微元，长为������������，如下右图所示
则
������(������ + ������������) − ������(������) ������������
������ = ������ + ������������ − ������ = ������������
+
1 7
=
0
1879 ������0 = 2132 , 三种方案的比较结果图如下：
420 ������1 = − 5863 ,
1449 ������2 = − 5863
−
17 15
������1
−
4 3
������2
+
1 4
=
0
解得
���̅���1
=
−
4 5
������0
−
4 3
������1
−
58 35
������2
+
1 5
=
0
1523 ������0 = 1777 ,
60 ������1 = − 1777 ,
945 ������2 = − 3554
方案 2 依次取������(������) = ������2, ������(������) = ������3, ������(������) = ������4代入(16)达式得：
0
0
0
0
1
= ������′(1)������(1) − ������′(0)������(0) + ∫ (−������′������′ + ������������ + ������������)������������ + ���̅���������′(1)
(15)
0
若取������(0) = 0, ���̅��� = −������′(1)则
1
���̅��� = ∫ (−������′������′ + ������������ + ������������)������������
0
第 2 类边界条件自动得到满足，如前方法构造近似函数：
(16)
ห้องสมุดไป่ตู้
方案 1：
���̃���(������) = ������(������0 + ������1������ + ������2������2)
���̅���1
=
−
3 4
������0
−
17 15
������1
−
4 3
������2
+
1 4
=
0
���̅���2
=
−
4 5
������0
−
4 3
������1
−
58 35
������2
+
1 5
=
0
解得
���̅���1
=
−
5 6
������0
−
51 35
������1
−
15 8
������2
+
1 6
依次取������(������) = ������, ������(������) = ������2, ������(������) = ������3代入(16)达式得：
���̅���1
=
−
2 3
������0
−
3 4
������1
−
4 5
������2
+
1 3
=
0
���̅���2
=
−
3 4
������0
(5) (6)
将(7)代入(5)得：
������0 = −(2������1 + 3������2)
(7)
定义残差
���̃���(������) = ������(−2������1 − 3������2 + ������1������ + ������2������2)
(8)
∆(���̃���) = ���̃���′′(������) + ���̃���(������) + ������ = ������2������3 + 3������2������ + ������ + ������1(������2 − 2������ + 2) (9) 为使���̃���(������)为������(������)的近似解，可以要求
=
0
(4)
归一化方程为：
������′′ + ������ + ������ = 0
解析解：
������(0) = 0 ������′(1) = 0
一、加权残值法
������(������)
=
sin ������ cos 1
−
������
若设
则���̃���(0) = 0已被满足，而要使 则：
���̃���(������) = ������(������0 + ������1������ + ������2������2) ���̃���′(1) = ������0 + 2������1 + 3������2 = 0
0
1
29 13 1
∫
0
ln ������
∆(���̃���) ������������
=
− 18
������1
−
16 ������2
−
4
=
0
(13 − 1) (13 − 2)
72������ + 207
108������ − 448
������1 = − 830������ − 2790, ������2 = − 830������ − 2790
解得
1
∫ ������2∆(���̃���)
0
������������
=
11 30
������1
+
11 12
������2
+
1 4
=
0
1
∫ ������3∆(���̃���)
0
������������
=
4 15
������1
+
26 35
������2
+
1 5
=
0
(12 − 1) (12 − 2)
15