2019年华二附中自招数学试卷

2019年华二附中自招数学试卷

1. 11()23

f x x x =

--a ，最小值为b ，求a b +.

2. 有理数a 、b 、c ，22212()a b c ab b a ++=++-，求a b c --.

3. a 是最大负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 的倒数是c ，求201720192018a b c ++.

4. 有一块正方形田地，中间有一圆池，池与田间间隙有13.75亩，方田四边到圆的最近距离都是20步，求边长和直径. （2402=步1亩，3π=）

5. 一个人输密码，输了4次，3406、1630、7364、6173，每个数中都对了两个数字，但位置不正确，求正确密码.

6. ,0()(),C x A f x C B x A x A

<≤⎧=⎨+->⎩（煤气收费标准），当使用34m 时，缴费4元，当使用3

25m 时，缴费14元，当使用335m 时，缴费19元. 问：当使用320m ，缴费多少元？

7. 半径为r 的圆在边长为a 的等边三角形中随意移动(23)a r ≥，求圆扫不到的面积.

8. 有一个数n ，若n 为偶数，则取2

n ，若n 为奇数，则取31n +，多次后得1，求8次后能得到1的数有几个？（1可重复出现）

9.

ABC 中，a 、b 、c 均为自然数且a b c ≥≥，22213a b c ab ac bc ++---=，求周长小于30的ABC 有多少个？

10. ,()1,,,,,,x x f x q q x p q p q q p p p ⎧⎪=+⎨=∈<⎪⎩

*N 若为无理数若且互质，求()f x 在78(,)89区间内最大值.

11. a 、b 、c 均为正整数，关于x 的方程20ax bx c ++=的两实根的绝对值都小于13，求a b c ++的最小值.

12. x y xy +=，x y z xyz ++=，求z 的范围.

13. 5422

x y z x y z ++=⎧⎨

+-=⎩，求441x z -+.

14. 锐角ABC 中，D 、E 是BC 上的点，ABC 、ABD 、ADC 外心为O 、P 、Q ， 求证：（1）APQ ∽ABC ；（2）若EO ⊥PQ ，则QO ⊥PE .

15. 函数4520x y +=与x 、y 轴相交于A 、B ，l 与AB 、OA 交于C 、D 且平分AOB S ，求 2CD 的最小值.

参考答案

1. 3a =6b =236a b ++=

2. 22(1)2a b c -+=，|1|2|a b c -+=

，1a b -=-，0c =，1a b c --=- 3. 1a =-，0b =，1c =±，答案为0或2-

4. 设直径为d ，2

2

3(40)13.75240204d d d +-=⨯⇒=，边长为60 5. 因为位置不正确，∴没有3和6，所以密码由0、1、4、7构成，结合“位置不正确”分析讨论可得，密码为0741或4017

6. 4,05()0.5 1.5,5

x f x x x <≤⎧=⎨+>⎩，(20)11.5f = 7. 2233r r π-

8. 逆推，有4、5、6、32、40、42、256共7个数

9. 222()()()26a b b c a c -+-+-=，a b c ≥≥，∴4a c -=，讨论可得有11个

10. 若为无理数，8()9f x <

，若为有理数，||p q -要最小，而77888899+<<+，∴17p =， 15q =，此时max 16()17

f x = 11. 由判别式、韦达定理得到限定条件，然后分析讨论，若两根可以相等，则最小值为 168125++=，若两根不等，则最小值为199129++= 12. 1x y x =-，代入x y z xyz ++=，∴221x z x x =-+，判别式法求值域，403

z ≤≤ 13. 1x z -=-，4413x z -+=-

14.（1）正弦定理可得::AB AP AC AQ =，得到相似，或者结合圆的相关知识（圆心角、圆周角、垂径定理、等弧对等角）得到APQ B ∠=∠，AQP C ∠=∠，从而相似

（2）略.

15. 面积公式可得2541AC AD ⋅=222554125CD AC AD ≥⋅-=