圆锥曲线的方程与性质
专题训练五——圆锥曲线的标准方程与几何性质
类型一、椭圆的标准方程与几何性质
例1.(1) 椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍,焦距为4,则椭圆的标准方程为________________.
(2)已知焦点在x 轴上,中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6,若该椭圆的离心率为13
,则椭圆的方程是( ) A. 2
214
x y += B. 22198x y += C. 22143x y += D. 22189x y +=
练习:1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴是短轴的3倍且经过点()3,0A ;
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为3;
例2、(1)P 为椭圆19
252
2=+y x 上一点,21,F F 为左右焦点,若 6021=∠PF F ,则21PF F ?的面积为 .
(2)已知F 1、F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9,则b =________.
例3、(1)错误!未找到引用源。在椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)上,是椭圆的两个焦点,,且的三条边,,成等差数列,则此椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.
(2)已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是
,弦的中点坐标是,则
椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.
(3)如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上, 1212,,,A A B B 为椭圆的
顶点, 2F 为右焦点,延长12B F 与12A B 交于点P ,若12B PB ∠为钝角,则
该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. ?????
B. ? ??
C. ? ??
D. ?????
类型二、双曲线的标准方程与几何性质
例1.(1)已知双曲线两个焦点分别为F 1(-5,0),F 2(5,0),双曲线上一点P 到F 1,F 2的距离的差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为__________________.
(2)双曲线的渐近线方程为y =±3x ,虚轴长为23,则双曲线的方程为________________________.
(3)已知双曲线C :﹣=1的焦距为10,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为_______.
(4)已知F 1,F 2为双曲线x 25-y 24
=1的左、右焦点,P (3,1)为双曲线内一点,点A 在双曲线上,则|AP |+|AF 2|的最小值为_______.
例2、(1)双曲线
的渐近线方程为( ) A. B. C. D.
(2)已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2-y 2b 2=1,C 1与C 2的离心率之积为32
,则C 2的渐近线方程为( )
A .x ±2y =0 B.2x ±y =0 C .x ±2y =0 D .2x ±y =0
例3、(1)已知双曲线的左、右焦点为F 1(﹣c ,0),F 2(c ,0),若直线y=2x 与双曲线的一个交点的横坐标为c ,则双曲线的离心率为 .
(2)已知12,F F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点,过点1F 且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于,A B 两点,若坐标原点O 恰为2ABF ?的垂心(三角形三条高的交点),则双曲线的离心率为( )
A. 3 D. 3
类型三、抛物线的标准方程与几何性质
例1、(1)已知P 是抛物线2y x =上任意一点,则当P 点到直线20x y ++=的距离最小时,P 点与该抛物线的准线的距离是( )
A .2
B .1
C .
21 D .4
1
(2)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴的正半轴上,若抛物线的准线与双曲线5x 2-y 2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于54,则抛物线的方程为( )
A .y 2=4x
B .y 2=8x
C .x 2=4y
D .x 2=8y
(3)已知过抛物线C : 22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ,交其准线于点C ,若
2BC BF =(其中点B 位于A 、 C 之间),且4AF =,则此抛物线的方程为( ). A. 22y x = B. 26y x = C. 24y x = D. 2
8y x =
例2、(1)已已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点(点A 在第一象限),若3AF FB =,则直线l 的斜率为( )
A. 3
B.
2 C. 12 D. 2
(2)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A .16
B .14
C .12
D .10
(3)已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB ,则AB 的中点到x 轴的最短距离为
________.
圆锥曲线的标准方程与几何性质限时训练
1、已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切,则p 的值为 ( ).
A .
12 B .1 C .2 D .4
2、抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,过焦点F 倾斜角为3
π的直线与抛物线相交于两点,A B 两点,若8AB =,则抛物线的方程为 ( )
A. 23y x =
B. 24y x =
C. 26y x =
D. 2
8y x = 3、已知椭圆: 22
2
1(02)4x y b b +=<<,左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点,若22BF AF +的最大值为5,则b 的值是 ( )
32 4、已知椭圆22
221x y a b
+=的左、右焦点分别为12,F F ,且122F F c =,点A 在椭圆上, 1120AF F F ?=, 212AF AF c ?=,则椭圆的离心率e = ( )
A. 3
B. 12
C. 12
D. 2
5、已知△ABC 的顶点B ,C 在椭圆x 24+y 2
12
=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是________.
6、设P 是椭圆22
1255
x y +=上一点,12,F F 是椭圆的两个焦点,120,PF PF ?=12F PF ?则面积是________.
7、与双曲线-=22
1916
x y 有共同的渐近线,并且过点A(6,82)的双曲线的标准方程为__________.
8、双曲线的焦点为()()60,6,0-,且经过点()6,5-A ,则其标准方程为_______.
9、设F 1,F 2是双曲线x 2-y 224
=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且3|PF 1|=4|PF 2|,则△PF 1F 2的面积等于_______.
10、曲线2
2
:13y C x -=的渐近线方程为__________;若双曲线C 的右焦点恰是抛物2:2(0)N y px p =>的焦点,则抛物线N 的准线方程为____________.
11、已知F 是抛物线y 2
=4x 的焦点,A ,B 是抛物线上两点,若△AFB 是正三角形,则△AFB 的边长为________. 12、双曲线22
21(0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 作倾斜角为030的直线与y 轴和双曲线右支分别交于,A B 两点,若点A 平分1F B ,则该双曲线的离心率是________.
13、设F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使∠F 1AF 2=90°且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为________.
14、设双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的右焦点是F ,左、右顶点分别是A 1,A 2,过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B, C 两点.若A 1B ⊥A 2C ,则该双曲线的渐近线的斜率为________.
15、已知l 是双曲线C :x 22-y 24
=1的一条渐近线,P 是l 上的一点,F 1,F 2分别是C 的左、右焦点,若1PF ·2PF =0,则点P 到x 轴的距离为________.
高考圆锥曲线基本性质综合复习
第一节焦点三角形 一、焦点三角形的周长 知识点:(1)已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点,P 是椭圆上的动点,则21F PF ?的周长恒为c a 22+; (2)已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点,l 过焦点1F 且与椭圆交于B A ,两点,则2ABF ?的周长恒为. 4a 例1,已知21,F F 分别为椭圆1:22 22=+b y a x E 的左、右焦点,过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于B A ,两点,且22,,BF AB AF 成等差数列,求E 的离心率.变式1,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点21,F F 在x 轴上,离心率为2 2,过点1F 的直线l 交C 于B A ,两点,且2ABF ?的周长为16,求椭圆的方程.二、焦点三角形的面积 知识点:(1)已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点,M 是椭圆上的动点,则21F MF ?的面积为)(2 tan 212MF F b y c S M ∠===θθ;(2)已知21,F F 分别为双曲线1-22 22=b y a x 的左、右焦点,M 是双曲线上的动点,则21F MF ?的面积为).(2 tan 212MF F b y c S M ∠===θθ
例2,已知双曲线122 2 =-y x 的焦点为21,F F ,点M 在双曲线上且021=?MF MF ,则点M 到x 轴的距离为_______. 变式2,已知双曲线1:22=-y x C 的焦点为21,F F ,点P 在C 上,02160=∠PF F ,则21PF PF ?=___________. 三、焦点三角形的角平分线 知识点:(1)在ABC ?中,AD 为ABC ?的角平分线,则CD BD AC AB =;(2)已知点P 是椭圆122 22=+b y a x 上的动点,21,F F 为椭圆的两个焦点,21F PF ?的内切圆的半径为r ,则). (21c a r S F PF +=?例3,已知21,F F 为椭圆112 162 2=+y x 的左右焦点,点)3,2(A 在椭圆上,求21AF F ∠的角平分线所在直线的方程. 变式3,已知21,F F 分别为双曲线127 9:2 2=-y x C 的左右焦点,A 为C 上一点,点M 的坐标为)0,2(-,AM 为21AF F ∠的角平分线,则._____2=AF
圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义: ⑴第一定义:平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义:动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
圆锥曲线经典性质总结材料及证明
圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.(椭圆的光学性质) 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点.(中位线) 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆切.(第二定义) 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.(求 导) 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.(结合4) 6. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.(余弦定理+面积公式+ 半角公式) 7. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).(第二定义) 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF
9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上,下面证明他在准线上 根据第8条,证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即0 20 2y a x b K AB -=。(点差法)
圆锥曲线的定义性质与结论(解析版)
圆锥曲线的基本定义性质与结论 考点一 圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 2.椭圆的标准方程: ①x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0),焦点是()()0,0,21 c F c F ,-,且c 2=a 2?b 2. ② y 2a 2+ x 2b 2 =1(a >b >0),焦点是()()0,0,21c F c F ,-,且c 2=a 2?b 2. 3.椭圆的几何性质(用标准方程x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)研究): 1)范围:?a ≤x ≤a ,?b ≤y ≤b ; 2)对称性:以x 轴、y 轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心; 3)椭圆的顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,如图中的2121,,,B B A A ; 4)长轴与短轴:焦点所在的对称轴上,两个顶点间的线段称为椭圆的长轴,如图中线段的A 1A 2;另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴,如图中的线段B 1B 2. 5)椭圆的离心率:e =c a ,焦距与长轴长之比,0
圆锥曲线知识点总结版
圆锥 曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a (大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为: 22 221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)或 122 22=+b x a y (0a b >>)(焦点在y 轴上)。 注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中222b a c =-; ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位 置,只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n +=(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±,y b =±所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以y -代替y 方程不变,所以若点(,)x y 在曲线上时,点(,)x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称,同理,以x -代替x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原
点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令0x =,得y b =±,则1(0,)B b -,2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±,即1(,0)A a -,2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ;在22Rt OB F ?中, 2||OB b =,2||OF c =,22||B F a =,且2222222||||||OF B F OB =-,即222c a b =-; ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比c e a =叫椭圆的离心率。∵0a c >>,∴ 01e <<,且e 越接近1,c 就越接近a ,从而b 就越小,对应的椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近于0,从而b 越接近于a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时,0c =,两焦点重合,图形变为圆,方程为222x y a +=。 2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(12||||||2PF PF a -=)。 注意:①式中是差的绝对值,在1202||a F F <<条件下;12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支; 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支(含1F 的一支);②当122||a F F =时,12||||||2PF PF a -=表示两条射线; ③当122||a F F >时,12||||||2PF PF a -=不表示任何图形;④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点,12||F F 叫做焦距。 (2)双曲线的性质
高考数学圆锥曲线的经典性质50条
For pers onal use only in study and research; not for commercial use 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 . For pers onal use only in study and research; not for commercial use 椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭圆 点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的外角. PT平分△ PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 F0(X 若 P0(X0 2 x ,y0)在椭圆一亍 a 2 、x ,y0)在椭圆一2 a 2 2 2 2 y - b y - b =1上,则过P0的椭圆的切线方程是一0厂?辔=1. a b =1外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦 2 x 椭圆 一2 a 2 x 椭圆一 2 a 2 2 2 2 y b y - b =1 (a>b> 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点一RPF2 - =1 ( a > b> 0)的焦半径公式: P1P2的直线方程是°2 - =1. a b 戈,则椭圆的焦点角形的面积为S A:1PF2 = b2 tan—
|MF i |=a ex o ,|MF 2p a-( Fj-c,0) , F 2(c,0) M (心 y °)). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点,贝U MF 丄NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A i 、A 2为椭圆长轴上的顶点, A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A i Q 交于点N ,则MF 丄NF. 2 2 2 2 -2 y ^ = 1内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是一2 y^ - ―02 - a b a b a b 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 2 2 5. 若F 0(x 0, y 0)在双曲线 令-占=1( a > 0,b > 0)上,则过F 0的双曲线的切线方程是 彎一呼 =1. a b a b 2 2 6. 若i =0(x 0, y 0)在双曲线—~2 ^2 -1(a >0,b >0)外,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦 P 1P 2的直线方程是■X 0,__y°y = 11. AB 是椭圆 即 K AB 2 2 a 2 b 2 b 2X 0 —2 。 a y ° =1的不平行于对称轴的弦, M (x 0, y 0)为AB 的中点,_则k OM k AB = b 2 ~2 , a 12. F 0(X o , y o )在椭圆 2 2 7占=1内,则被Po 所平分的中点弦的方程是翠晋色 止 a 2 b 2 13. F 0(x 0,y °)在椭圆
高考数学圆锥曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是002 21x x y y a b +=. 6. 若000 (,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为12 2 tan 2F PF S b γ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2 OM AB b k k a ?=-, 即0 20 2y a x b K AB -=。
圆锥曲线经典性质总结及证明!!!
Gandongle 椭圆双曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.(椭圆的光学性质) 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点.(中位线) 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.(第二定义) 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.(求导) 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.(结合4) 6. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.(余弦定理+面积公式+ 半角公式) 7. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).(第二定义) 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF
最新圆锥曲线的概念及性质
圆锥曲线的概念及性 质
第二讲 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1.(2010·安徽)双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为 ( ) A.?? ??22,0 B.????52,0 C.??? ?62,0 D .(3,0) 解析:∵原方程可化为x 21-y 2 1 2=1,a 2=1, b 2=12, c 2=a 2+b 2=32, ∴右焦点为??? ? 62,0. 答案:C 2.(2010·天津)已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一 个 焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为 ( ) A.x 236-y 2108=1 B.x 29-y 2 27=1 C.x 2108-y 236=1 D.x 227-y 2 9 =1 解析:∵渐近线方程是y =3x ,∴ b a = 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2=24x 的准线上, ∴c =6.② 又c 2=a 2+b 2,③ 由①②③知,a 2=9,b 2=27, 此双曲线方程为x 29-y 2 27=1. 答案:B
4.(2010·辽宁)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,P A⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|= () A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 解析:解法一:AF直线方程为: y=-3(x-2), 当x=-2时,y=43,∴A(-2,43). 当y=43时代入y2=8x中,x=6, ∴P(6,43), ∴|PF|=|P A|=6-(-2)=8.故选B. 解法二:∵P A⊥l,∴P A∥x轴. 又∵∠AFO=60°,∴∠F AP=60°, 又由抛物线定义知P A=PF, ∴△P AF为等边三角形. 又在Rt△AFF′中,FF′=4,
圆锥曲线定义、标准方程及性质(精)
圆锥曲线定义、标准方程及性质 一.椭圆 定义Ⅰ:若F 1,F 2是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ (a 为常数)则P 点的轨迹是椭圆。 定义Ⅱ:若F 1为定点,l 为定直线,动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e (0
圆锥曲线性质
圆锥曲线的性质 、基础知识 (一)椭圆: 1定义和标准方程: (1)平面上到两个定点F U F2的距离和为定值(定值大于F1F2)的点的轨迹称为椭圆,其中F1, F2称为椭圆的焦点,F1F2称为椭圆的焦距 (2)标准方程: ①焦点在x轴上的椭圆:设椭圆上一点P x,y ,F1 -c,0 , F2C,0,设距离和 2 2 PF i PF2 = 2a,则椭圆的标准方程为:-y2 =1,其中a b 0,b2二a2 - c2 a b ②焦点在y轴上的椭圆:设椭圆上一点P x,y ,F10^C ,F20,C,设距离和 2 2 PFi +|PF2;=2a,则椭圆的标准方程为:专+令二丨,其中(a Ab>0,b2=a2—c2) a b 焦点在哪个轴上,则标准方程中哪个字母的分母更大 2 2 2、椭圆的性质:以焦点在x轴的椭圆为例:笃?爲=1 a b 0 a b (1)a:与长轴的顶点有关:A - a,0 ,A a,0 ,A A =2a称为长轴长 b :与短轴的顶点有关: BdO,-b),B2(0,b ),IB1B2 =2b称为短轴长 C :与焦点有关:斤(—c,O )F? (c,O ), F1F2 =2c称为焦距 (2)对称性:椭圆关于x轴,y轴对称,且关于原点中心对称 (3)椭圆上点的坐标范围:设P x O,y O,则-a乞x O空a,-b乞y O乞b (4)通径:焦点弦长的最小值 ①焦点弦:椭圆中过焦点的弦 2b2 ②过焦点且与长轴垂直的弦,PQ|=—— a 说明:假设PQ过F r;_c,O ,且与长轴垂直,则P:L c, y O ,Q1. —c, - y O,所以
= (|PF i | +IPF 2I ) -2 PF 』PF 2 (1 +COSF 1PF2 ) .4c 2 =4a 2 -2 PF j|PF 2 1 cosFfF 2 PF 」|PF 2 = " _2c 1 +cosF 1PF 2 1 +cosF 1PF 2 比 2 .込各比出n 吐 1 COS RPF 2 2 F 1,F 2距离差为一个常数,则轨迹为双曲线的一支 2、标准方程: 厶 + 卑=1 二 y ; =3,可得 y 。-。则 PQ = a b a a 2b 2 (5) 离心率:e = c ,因为c a ,所以e - 0,1 a (6) 焦半径公式:称 P 到焦点的距离为椭圆的焦半径 ①设椭圆上一点 P(x 0,y 0 ),则 PR =a+ex), PF 2 ②焦半径的最值:由焦半径公式可得:焦半径的最大值为 (7)焦点三角形面积: S P FF 2二b 2 tan ;(其中n 1 证明:S PF ^- PF 1 - PF 2 sinRPF 2 2 + PF 且 F 1F 2 2 -2 PF 1H PF 2 cosRPF ? =a - e)(Q (可记为“左加右减”) a c ,最小值为a - c =PF 1F 2) 2b 2 1 〈PFf =2 PF 1 ' PF 2 1 sin F ]PF 2 : 2 1 cosPF F 2b 2 sin F |PF 2 1 因为 S PF/2 = 2 2c F 1PF 2 We%,所以2 =c y o ,由此得到的推论: ①.F 1PF 2的大小与 y 0之间可相互求出 ②? F 1 PF 2的最大值: F 1 PF 2 最大二 S PF 1 F 2 最大二 y o 最大=P 为短轴顶点 (二) 双曲线: 1、定义:平面上到两个定点 F 「F 2距离差的绝对值为一个常数(小于 F 1F 2)的点的轨迹 称为双曲线,其中 h,F 2称为椭圆的焦点, F 1F 2称为椭圆的焦距;如果只是到两个定点
江苏高考数学圆锥曲线性质总结
高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=.
8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线 于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N , 则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角.
圆锥曲线知识点整理
高二数学圆锥曲线知识整理 知识整理 解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:? ?? ???>=0e ,e d |PF ||P ,其中F 为定点,d 为P 到定直线的距离,F ?,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。 当0
解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质
4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1.(2010·安徽双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为 ( A. B. C. D.(,0 解析:∵原方程可化为-=1,a2=1, b2=,c2=a2+b2=, ∴右焦点为. 答案:C 2.(2010·天津已知双曲线-=1(a>0,b>0的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为 ( A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:∵渐近线方程是y=x,∴=.① ∵双曲线的一个焦点在y2=24x的准线上, ∴c=6.② 又c2=a2+b2,③ 由①②③知,a2=9,b2=27, 此双曲线方程为-=1. 答案:B
4.(2010·辽宁设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|= ( A.4 B.8 C.8 D.16 解析:解法一:AF直线方程为: y=-(x-2, 当x=-2时,y=4,4A(-2,4. 当y=4时代入y2=8x中,x=6, 4P(6,4, 4|PF|=|PA|=6-(-2=8.故选B. 解法二:5PA∞l,4PA%x轴.
又5 AFO=60°,4 FAP=60°, 又由抛物线定义知PA=PF, 4≥PAF为等边三角形. 又在Rt≥AFF′中,FF′=4, 4FA=8,4PA=8.故选B. 答案:B 5.高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上,且相距10 m,则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:如图1,假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆,P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点,由于∠BPA=∠DPC,则Rt△ABP∽Rt△CDP,=,从而 PC=2PA.在平面APC上,以AC为x轴,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2,则A(-5,0,C(5,0,设P(x,y,得=2 化简得x2+y2+x+25=0,显然,P点的轨迹为圆. 答案:A 二、填空题 解析:由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则c圆锥曲线的基本概念和性质汇总
圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性,都是考试的重点内容,要能够熟练运用;常用的解题技巧要熟记于心. 例1.已知P 是椭圆22x y 14 +=上的点,12F ,F 是椭圆的两个焦点,且12FPF 60∠=?,求12FPF ?的面积. 解答过程:依题意得:12PF PF 2a 4+==,在12 FPF ?中由余弦定理得 2221212PF PF 2PF PF cos60=+-?? =2 121212(PF PF )2PF PF 2PF PF cos60+-?-?? , 解之得:124PF PF 3?=,则12 FPF ?的面积为121PF PF sin 602??=小结:(1)圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重; (2)求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中,正、余弦定理非常重要. 考点3. 曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e =a c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁); (2) 双曲线的离心率e =a c ∈(1, +∞) (e 越大则双曲线开口越大). 考点 利用向量求曲线方程 利用向量给出题设条件,可以将复杂的题设简单化,便于理解和计算. 典型例题: 练习.已知两点M (-1,0),N (1,0)且点P 使???,,成公差小于零的等差数列, (Ⅰ)点P 的轨迹是什么曲线? (Ⅱ)若点P 坐标为),(00y x ,θ为PN PM 与的夹角,求tan θ. 解:(Ⅰ)记P (x,y ),由M (-1,0)N (1,0)得 (1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=, )0,2(=-= .
圆锥曲线的定义及几何性质
圆锥曲线的定义及几何性质 1. 椭圆 222 2 1x y a b + =和 222 2 x y k a b + =(0)k >一定具有( ) A .相同的离心率 B .相同的焦点 C .相同的顶点 D .相同的长轴长 2. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若2 ABF ?是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A . 2 B . 3 C 2 D 3 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120M F M F ?= 的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的 取值范围是( )A .(01), B .1(0]2 , C .(02 D .1)2 4. 过椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若 1260F PF ∠=°,则椭圆的离心率为( ) A . 2 B . 3 C .12 D .1 3 5. 已知椭圆 2222 1x y a b +=的左、 右焦点分别为1F 、2F ,且12||2F F c =,点A 在椭圆上,1120AF F F ?= ,2 12AF AF c ?= ,则椭圆的离心率e = ( ) A . 3 B . 2 C 2 D 2 6. 已知P 是以12F F ,为焦点的椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>上的一点,若 120 PF PF ?= , 121tan 2 PF F ∠= ,则此椭圆的的离心率为( ) A . 12 B . 23 C .1 3 D 3 7. 已知椭圆 2 2 15 x y m + = 的离心率e 5 =m 的值为( ) A .3 B . 253 或3 C . D 8. 椭圆的长轴为12A A ,B 为短轴的一个端点,若∠012120A BA =,则椭圆的离心率为( ) A . 12 B 3 C 3 D 2 9. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的四个顶点为A 、B 、C 、D ,若四边形ABC D 的内切圆恰好过椭 圆的焦点,则椭圆的离心率是( ) A . 2 B . 4 C 2 D 4 10. 设12F F ,分别是椭圆 222 2 1x y a b + =(0a b >>)的左、右焦点,若在直线2 :a l x c = 上存在P (其 中c =),使线段1PF 的中垂线过点2F ,则椭圆离心率的取值范围是( ) A .0, 2? ?? B .0, 3? ? ? C .,12????? D .,13? ???? 11. 椭圆上一点A 看两焦点的视角为直角,设1AF 的延长线交椭圆于B ,又2||||AB AF =,则椭圆的 离心率e =( ) A .2-+ B . C 1- D 12. 椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>的右焦点F ,其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上存在点满足线 段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆离心率的取值范围是( ) 13. A .02? ? ? B .102? ? ?? ?, C .)11 , D .112 ???? ??, 14. 已知椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>,A 是椭圆长轴的一个端点,B 是椭圆短轴的一个端点,F 为 椭圆的一个焦点. 若AB BF ⊥,则该椭圆的离心率为 ( ) 224416. 在ABC △中,A B B C =,7cos 18 B =- .若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离 心率e = . 17. 在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆 222 2 1(0) x y a b a b +=>>的焦距为2c ,以点O 为圆心,a 为 半径作圆M .若过点20a P c ?? ? ?? ,作圆M 的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率为 . 18. 直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ,该椭圆的离心率为_________. 19. 设12(0)(0)F c F c -,,,是椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的两个焦点,P 是以12F F 为直径的圆与椭 圆的一个交点,若12 21 2PF F PF F ∠=∠,则椭圆的离心率等于________. 20. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的半焦距为c ,若直线2y x =与椭圆一个交点的横坐标恰为c ,椭圆 的离心率为_________ 21. 已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B ,两点,若 2ABF △是正三角形,则这个椭圆的离心率是_________.
圆锥曲线的定义及性质专题详解
解析几何专题(圆锥曲线的定义和性质) 班级_______ 姓名_______ 一.基础知识梳理 (一)椭圆 121.2PF PF a +=椭圆的定义: 2.椭圆的几何性质 (二)双曲线 121.-2PF PF a =双曲线的定义: 2.双曲线的几何性质
:PF = 抛物线的定义抛物线的 二.练习 22 1.132516 x y P +=已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为,那么到另一个焦点的距离 等于 2.25),已知双曲线两个焦点的坐标分别为(0,-6),(0,6),并且经过点(,-则其标准方程为 3.已知抛物线y 2=4x 上一点M 到焦点的距离为3,则点M 到y 轴的距离为 . 4.已知双曲线C :12222=-b y a x 的离心率5 4 e =,且其右焦点()25,0F ,则双曲线C 的方程为( )
A .13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14 32 2=-y x 5.已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的焦距为52,且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直,则双曲线的方程为( ) (A ) 1422=-y x (B )1422 =-y x (C )15320322=-y x (D )12035322=-y x 6.已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛 物线y 2=47x 的准线上,则双曲线的方程为( ) A. x 221 -y 228=1 B.x 228-y 221=1 C.x 23-y 24=1 D.x 24-y 2 3 =1 7.焦点为(0,6)且与双曲线x 2 2-y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是( ) A.x 212-y 224=1 B.y 212-x 224=1 C.y 224-x 212=1 D.x 224-y 2 12=1 8.已知双曲线22x a -2 2y b =1(a ,b >0)的离心率等于2,它的焦点到渐近线的距离等于1,则该双曲 线的方程为 . 9.一个圆经过椭圆22 1164 x y + =的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 222210.1(0,b 0)111 (432) x y a C a b A y x B y x C y x D y x -=>>=±=±=±=±已知双曲线C:的渐近线方程为( ) 11.已知 0>>b a ,椭圆1C 的方程为12222=+b y a x ,双曲线2C 的方程22 221x y a b -=,1C 与2C 的离心率之积 为 2 3 ,则2C 的渐近线方程为( ) A.02=±y x B.02=±y x C.02=±y x D.02=±y x