圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的性质解析
圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的性质解析圆锥曲线是在平面上绕着一个固定点旋转而生成的曲线。
它可以通过参数方程或极坐标方程来描述。
本文将重点分析圆锥曲线的参数方程和极坐标方程的性质，并对其进行解析。
一、参数方程的性质解析参数方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为一个参数的函数。
对于圆锥曲线而言，其参数方程形式为:x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
1. 参数方程的灵活性相比于其他方程形式，参数方程具有较高的灵活性。
它可以描述复杂的曲线形状，并能够轻易地对曲线进行调整和变换。
例如，通过改变参数的取值范围或参数方程的函数表达式，可以得到不同形状的圆锥曲线。
2. 参数方程的解析性质由于参数方程中的每个变量都是独立的，因此可以分别研究x和y与参数t的关系。
这使得我们能够更好地理解曲线的性质和特点。
例如，通过对参数t的逐渐增减，可以得到曲线上的点的轨迹，并进一步分析其变化规律。
3. 曲线的方程与参数方程的关系圆锥曲线的参数方程可以通过消除参数t来得到与之对应的方程。
具体而言，将参数方程中的t表示为与x和y有关的表达式后，将其代入另一个参数方程中，消去t即得到方程形式。
这种转换使得我们能够从方程的角度更加全面地理解曲线。
二、极坐标方程的性质解析极坐标方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为极坐标下的径向距离r和极角θ。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程形式为: r = f(θ)其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与极轴的夹角，f(θ)是关于θ的函数。
1. 极坐标方程的简洁性极坐标方程是用极坐标形式直接描述曲线的方程形式，相比于笛卡尔坐标系下的方程，更具有简洁性。
通过极坐标方程，我们可以直观地了解曲线在极坐标系下的性质和特点。
2. 极坐标方程的周期性对于某些特定的圆锥曲线，它们的极坐标方程具有周期性。
也就是说，当θ的取值范围在一定的区间内变化时，曲线的形状会在一定的规律下重复出现。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
2023年高考数学复习：圆锥曲线的方程与性质
3 考点三 抛物线的几何性质
PART THREE
核心提炼
抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则 (1)x1x2＝p42，y1y2＝－p2. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α . (3)|F1A|＋|F1B|＝2p. (4)以线段 AB 为直径的圆与准线 x＝－p2相切.
规律 方法
(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆
(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系. (2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关 于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求 ac 的值. (3)求双曲线渐近线方程的关键在于求ba或ab的值，也可将双曲线方程 中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
例 2 (1)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2， 短轴长为 2，O 为坐标原点，点 P 在 C 上且|OP|＝c(c 为椭圆 C 的半焦
距)，直线 PF2 与 C 交于另一个点 Q，若 tan∠F1QF2＝34，则椭圆 C 的长 轴长为
(2)(2021·全国乙卷)设 B 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的上顶点，若 C 上的
任意一点 P 都满足|PB|≤2b，则 C 的离心率的取值范围是
A.
22，1
B.12，1
√
C.0，
2
2
D.0，12
圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线是数学中研究的重要内容之一，它是由一个固定点（焦点）和到这个点的固定距离之比保持不变的点（动点）所生成的曲线。
根据固定点与动点之间的位置关系，圆锥曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
本文将介绍圆锥曲线的方程与性质。
一、椭圆椭圆是圆锥曲线中最基本的一种形式，它具有以下方程：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆具有以下性质：1. 椭圆是一个对称图形，其对称轴是x轴和y轴。
2. 椭圆的中心位于原点(0,0)。
3. 椭圆的焦点位于x轴上，距离中心的距离为c，满足$c^2 = a^2 -b^2$。
4. 椭圆上任意一点到焦点和到直线半长轴的距离之和是一个常数，满足Kepler定律。
二、双曲线双曲线是另一种常见的圆锥曲线，它具有以下方程：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别代表双曲线的长半轴和短半轴。
双曲线具有以下性质：1. 双曲线是一个对称图形，其对称轴是x轴和y轴。
2. 双曲线的中心位于原点(0,0)。
3. 双曲线的焦点位于x轴上，距离中心的距离为c，满足$c^2 = a^2 + b^2$。
4. 双曲线上任意一点到焦点和到直线半长轴的距离之差是一个常数。
三、抛物线抛物线是圆锥曲线中最特殊的一种形式，它具有以下方程：$$y^2 = 4ax$$其中，a代表抛物线的焦点到抛物线的距离。
抛物线具有以下性质：1. 抛物线是一个对称图形，其对称轴是y轴。
2. 抛物线的焦点位于焦点到抛物线的距离上方的点(a, 0)。
3. 抛物线的开口方向由系数a的正负决定，当a>0时开口向右，当a<0时开口向左。
4. 抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到直线准线的距离。
总结圆锥曲线是一类重要的数学曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都具有特殊的方程和性质，通过研究这些方程和性质，可以更加深入地理解曲线的形态和特性。
第1课时 圆锥曲线的定义、方程与性质
3 =2 3 .故选C. 2
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考点二 圆锥曲线的几何性质(高频考点)
命题点 1.求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围; 2.由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程;
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3.求双曲线的渐近线方程.
1 2 3 2
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方法归纳 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准 方程.
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(2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法
确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设为mx2+ny2=1(m>0, n>0,且m≠n),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0).
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x2 y 2 1.(2017辽宁沈阳质量检测(二))已知双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、 a b 高考导航
右焦点分别为F1,F2,点M与双曲线C的焦点不重合,点M关于F1,F2的对称 点分别为A,B,线段MN的中点在双曲线的右支上,若|AN|-|BN|=12,则a=
(3)抛物线的标准方程为x2=±2py,y2=±2px,其中p>0.
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典型例题
x2 y 2 (1)(2017河南郑州质量预测(三))椭圆 5 + 4 =1的左焦点为F,直线x=
a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是 ( )
圆锥曲线的性质与方程
圆锥曲线的性质与方程圆锥曲线是平面几何中重要的一类曲线，包括抛物线、椭圆和双曲线。
它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将介绍圆锥曲线的性质以及它们的方程。
一、抛物线的性质与方程抛物线是最简单的圆锥曲线，其性质和方程如下：1. 对称性：抛物线具有关于焦点对称的性质，即从焦点到抛物线上任意一点的距离与该点在水平直线上的投影之间的距离相等。
2. 焦点与准线：抛物线上的每个点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。
焦点和准线都是抛物线的重要几何特征。
3. 方程形式：一般来说，抛物线的标准方程为y^2=4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，x和y分别表示坐标轴上的点。
二、椭圆的性质与方程椭圆是圆锥曲线中的另一种形式，其性质和方程如下：1. 对称性：椭圆具有关于两个焦点和两条主轴的对称性。
每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。
2. 长轴与短轴：两焦点之间的距离等于椭圆的长轴长度，长轴的中点称为椭圆的中心。
3. 方程形式：一般来说，椭圆的标准方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。
三、双曲线的性质与方程双曲线是另一种重要的圆锥曲线，其性质和方程如下：1. 对称性：双曲线有两个焦点，对于每个点到两个焦点的距离之差是一个常数。
2. 极限性质：双曲线的曲线趋向于两条互相平行的渐近线，与渐近线的距离越远，曲线越陡峭。
双曲线上的点的坐标差的绝对值等于常数。
3. 方程形式：一般来说，双曲线的标准方程为(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是双曲线的焦点到准线距离的一半。
综上所述，圆锥曲线是平面几何中重要且有趣的一类曲线。
抛物线、椭圆和双曲线分别具有自己独特的性质和方程形式。
它们的研究和应用不仅在数学领域有着重要作用，还在物理、工程等领域得到广泛的应用。
对于理解和运用圆锥曲线，掌握其性质与方程是非常关键的。
圆锥曲线定义
答案： D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把 无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个 元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻， 那么不同的排法种数是（ ） A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种
（2）若双曲线方程为
若渐近线方程为 y
x2 y2 x2 y2 若双曲线与 2 2 1 有公共渐近线，可设为 2 2 a b a b
（ 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴上） （3）特别地当 a b时 离心率 e
2 两渐近线互相垂直，分别为 y= x ，此
m
(K) k k k
Tr+1= Cn a
r n－r
b
r
An =n(n－1)(n－2)(n－3)„(n－m+1)=
n! (n m)!
An =n!
n
Cn =
m
m
n(n 1)(n 2)(n m 1) n! m! (n m)!m!
n－m
Cn = Cn
Cn ＋Cn
2 2 2 2
m
A 的右边（ A, B 可以不相邻）那么不同的排法有（
）
A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种 解析： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以 题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半， 即
1 5 A5 60 2
种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把 某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继 续下去，依次即可完成. 例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四 个方格里， 每格填一个数， 则每个方格的标号与所填数字 均不相同的填法有（ ） A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二 步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格， 又有三种 方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3 ×3×1=9 种填法，选 B . 5. 有序分配问题逐分法 : 有序分配问题指把元素分成若 干组，可用逐步下量分组法. 例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各 需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同 的选法种数是（ A、1260 种 ） B、2025 种 C、2520 种 D、5040
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是代数几何中重要的一部分，它由平面和一个定点的两条曲线组成。
在数学的发展历史中，圆锥曲线的研究经历了漫长的时期，涉及到众多的数学家和学者的努力。
本文将对圆锥曲线的基本概念、性质、分类以及应用等知识点进行总结。
一、圆锥曲线的基本概念1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由平面与一个定点和这个定点到平面上任意一点的连线组成的图形。
2. 圆锥曲线的基本元素圆锥曲线由定点称为焦点和一条固定的直线称为准线组成。
3. 圆锥曲线的标准方程圆锥曲线可以用一般的二次方程表示，即 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数。
4. 圆锥曲线的焦点和准线焦点是定点到平面上各点的距离与准线到这些点距离之比的极限值。
准线是过焦点且垂直于对称轴的直线。
二、圆锥曲线的性质1. 直线和圆的特例直线是当离心率为1的圆锥曲线，圆是离心率为0的圆锥曲线。
2. 焦准属性圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比始终为常数，这就是焦准属性。
3. 长轴和短轴圆锥曲线的焦点和准线确定了两条互相垂直的轴线，这两条轴线分别称为长轴和短轴。
4. 离心率圆锥曲线的离心率是一个反映离心程度的量，离心率为0时曲线为圆，离心率为1时曲线为直线。
5. 对称性圆锥曲线具有平移和对称性，即曲线在对称轴两侧具有相同的形状。
三、圆锥曲线的分类1. 椭圆圆锥曲线的离心率小于1，且大于0，形状近似于椭圆的曲线称为椭圆。
2. 抛物线圆锥曲线的离心率等于1，形状类似于抛物线的曲线称为抛物线。
3. 双曲线圆锥曲线的离心率大于1，形状类似于双曲线的曲线称为双曲线。
四、圆锥曲线的应用1. 天文学圆锥曲线在天文学中有广泛的应用，例如行星和彗星的轨道可以用圆锥曲线描述。
2. 工程学在工程学中，圆锥曲线被用于设计天桥、隧道、公路弯道等工程项目。
3. 经济学圆锥曲线在经济学中有重要的应用，例如需求曲线和供给曲线可以用圆锥曲线表示。
高一数学圆锥曲线的标准方程与几何性质
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圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线
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圆锥曲线的标准方程包括x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（椭圆）、 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（双曲线）和y = ax^2 + bx + c（抛 物线）
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椭圆的性质：对 称性、旋转性、 中心对称性、焦 点对称性
椭圆的应用：光 学、天体物理、 工程等领域
双曲线的标准方程
双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点 的轨迹
双曲线的标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a>0,b>0）
双曲线的焦点：F1(c,0), F2(-c,0)
利用几何性质和代 数关系，求解标准 方程
验证求解结果是否 满足圆锥曲线的定 义和性质
圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的焦点与准线
焦点：圆锥曲线上的一个特殊 点，决定了曲线的形状和性质
准线：与焦点相对应的直线， 决定了曲线的性质和位置
椭圆的焦点与准线：椭圆的焦 点在椭圆的中心，准线是垂直 于椭圆中心的直线
圆锥曲线在工程中 的应用：如建筑设 计、机械制造等
圆锥曲线在数学中 的应用：如解析几 何、微积分等
圆锥曲线在计算机 科学中的应用：如 图形学、计算机视 觉等
解析几何问题中的应用
圆锥曲线在物理中的应用：如天体运动、电磁场等 圆锥曲线在工程中的应用：如建筑设计、机械制造等 圆锥曲线在计算机图形学中的应用：如三维建模、图像处理等 圆锥曲线在数学竞赛中的应用：如奥林匹克数学竞赛、国际数学竞赛等
圆锥曲线在实际问题中 的应用
圆锥曲线性质一览表
圆锥曲线性质一览表圆锥曲线性质一览表：椭圆：定义：点P到两个焦点的距离之和等于常数2a。
简图：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ （a>b>0）范围：$|x|\leq a。
|y|\leq b$性质：对称轴：x轴、y轴中心对称：原点（0,0）焦点：F1(-c,0)、F2(c,0) （c=\sqrt{a^2-b^2}）顶点：A1(-a,0)、A2(a,0)焦半径：p=\frac{b^2}{a}准线：y=\pm\frac{b}{a}x焦参数：e=\frac{c}{a}离心率：e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}渐近线：y=\pm\frac{b}{a}x通径：长度为2b的线段，连接椭圆上相对的两点切线：斜率为$\frac{-b^2x}{a^2y}$的直线弦长：$2\sqrt{a^2-y^2}$双曲线：定义：点P到两个焦点距离之差的绝对值等于常数2a。
简图：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （a>0，b>0）范围：$|y|<\frac{b}{a}|x|$性质：对称轴：x轴、y轴中心对称：原点（0,0）焦点：F1(-c,0)、F2(c,0) （c=\sqrt{a^2+b^2}）顶点：无焦半径：p=\frac{b^2}{a}准线：y=\pm\frac{a}{b}x焦参数：e=\frac{c}{a}离心率：e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}渐近线：y=\pm\frac{b}{a}x通径：长度为2b的线段，连接双曲线上相对的两点切线：斜率为$\frac{b^2x}{a^2y}$的直线弦长：$2\sqrt{a^2+y^2}$抛物线：定义：点P到定点F和定直线d的距离相等。
简图：标准方程：$y^2=2px$ （p>0）范围：$y\geq 0$性质：对称轴：x轴中心对称：焦点F焦点：F(p,0)顶点：A(0,0)焦半径：p准线：y=0焦参数：e=1离心率：e=1渐近线：无切线：斜率为$\frac{y}{2p}$的直线弦长：$2\sqrt{2py}$总结：以上三种圆锥曲线的性质有很多相似之处，但也有一些不同。
圆锥曲线的方程和性质
圆锥曲线的方程和性质1）椭圆(ellipse)标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线(hyperbola)标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数 )直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴）y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）3）抛物线(parabola)参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
焦点到准线的距离等于ex±a（到最近的准线的距离等于ex-a）圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）焦半径圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：椭圆|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex双曲线P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+exP在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-eyP在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey抛物线|PF|=x+p/2圆锥曲线的切线方程圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)焦准距圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是平面上的一类重要的几何曲线，由易知，它们具有各种各样的性质和特点，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
下面将对圆锥曲线的基本概念、方程及其性质进行简要总结。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和圆锥交于一条封闭曲线形成的曲线。
根据圆锥和平面的位置关系，可以分为椭圆、抛物线和双曲线三类。
（一）椭圆当切割平面与圆锥的两部分相交时，形成椭圆。
椭圆有两个焦点，与这两个焦点的距离之和是常数。
椭圆的方程常用标准方程表示为：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴长度。
（二）抛物线当切割平面与圆锥的一部分相交时，形成抛物线。
抛物线是一条对称曲线，其开口方向由切割平面的位置决定。
抛物线的方程常用标准方程表示为：y = ax²，其中a为常数。
（三）双曲线当切割平面与圆锥的两部分不相交时，形成双曲线。
双曲线有两个焦点，与这两个焦点的距离之差是常数。
双曲线的方程常用标准方程表示为：(x/a)² - (y/b)² = 1，其中a和b分别表示双曲线的长轴和短轴长度。
二、圆锥曲线的方程（一）椭圆的一般方程椭圆的一般方程为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数。
（二）抛物线的一般方程抛物线的一般方程为：Ay² + Bx + C = 0，其中A、B和C为常数。
（三）双曲线的一般方程双曲线的一般方程为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，且B² - 4AC > 0。
三、圆锥曲线的性质（一）椭圆的性质1. 椭圆是一个闭合曲线，对称于x轴和y轴。
2. 椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行。
3. 椭圆有两个焦点，对称于椭圆的长轴上。
圆锥曲线的方程圆锥曲线的标准方程与性质
圆锥曲线的方程圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的方程：圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个到该点距离与到一个固定直线（称为准线）距离成比例的点（称为动点）构成的曲线。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式，每种形式都有其特定的方程和性质。
1. 椭圆的方程与性质：椭圆是焦点到准线的距离比常数小于1的点构成的曲线。
其标准方程为：[(x - h)^2 / a^2] + [(y - k)^2 / b^2] = 1其中(h, k)为椭圆中心的坐标，a和b为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
椭圆的性质包括：- 对称性：椭圆关于中心轴和副中心轴对称。
- 焦点与准线：椭圆有两个焦点，位于椭圆的中心轴上，并且焦点到准线的距离之比为e，其中e为椭圆的离心率，0 < e < 1。
- 离心率：离心率e定义为焦点到准线的距离之比，e = c / a，其中c为焦点到中心轴的距离。
- 焦距：焦点到准线的距离称为椭圆的焦距。
- 根据离心率大小，椭圆可分为圆形（e = 0）、长椭圆（0 < e < 1）和扁椭圆（e > 1）三种情况。
2. 双曲线的方程与性质：双曲线是焦点到准线的距离比常数大于1的点构成的曲线。
其标准方程为：[(x - h)^2 / a^2] - [(y - k)^2 / b^2] = 1或[(y - k)^2 / b^2] - [(x - h)^2 / a^2] = 1其中(h, k)为双曲线中心的坐标，a和b为双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
双曲线的性质包括：- 对称性：双曲线关于中心轴和副中心轴对称。
- 焦点与准线：双曲线有两个焦点，位于双曲线的中心轴上，并且焦点到准线的距离之比为e，其中e为双曲线的离心率，e > 1。
- 离心率：离心率e定义为焦点到准线的距离之比，e = c / a，其中c为焦点到中心轴的距离。
- 焦距：焦点到准线的距离称为双曲线的焦距。
- 根据离心率大小，双曲线可分为关于x轴对称的双叶双曲线和关于y轴对称的单叶双曲线两种情况。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中的重要内容，由平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到。
在高中数学课程中，学习圆锥曲线是必不可少的。
本文将对圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用进行总结。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线就是平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到的曲线，在平面上的图像可以呈现出不同的形状。
二、圆锥曲线的基本方程1. 双曲线：双曲线的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
2. 椭圆：椭圆的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
3. 抛物线：抛物线的基本方程为：$y^2=2px$。
其中，p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质1. 双曲线的性质：双曲线的两个分支镜像对称于原点，焦点到曲线的距离之差为常数。
双曲线还具有渐近线，即曲线趋近于两根直线。
2. 椭圆的性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且焦点到任意点的距离之和为常数。
此外，椭圆也具有主轴、短轴和焦距等重要概念。
3. 抛物线的性质：抛物线的焦点位于抛物线的顶点上，且焦点到抛物线上任意点的距离等于焦点到该点的法线距离。
四、圆锥曲线的应用1. 双曲线的应用：双曲线在电磁学中有广泛的应用，例如电磁波的传播、天线的辐射以及电磁场分布等方面。
2. 椭圆的应用：椭圆在力学、天文学和导航等领域有着重要的应用。
例如椭圆轨道运动的物体、天体运动规律的研究以及导航系统中的卫星轨道等。
3. 抛物线的应用：抛物线在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如自由落体运动、射击运动以及卫星的发射轨道等。
综上所述，圆锥曲线是解析几何中的重要内容，通过本文的总结，我们了解了圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用。
在学习过程中，我们需要深入理解每个曲线的特点和应用领域，为解决实际问题提供有力的数学工具。
希望本文对你对圆锥曲线的学习有所帮助。
圆锥曲线的极坐标方程与像性质
圆锥曲线的极坐标方程与像性质圆锥曲线是平面解析几何中的一个重要概念，用于描述平面上某一点到定点和定直线的距离比例关系。
其中，圆、椭圆、双曲线和抛物线都属于圆锥曲线的特殊情况。
在本文中，我们将重点讨论圆锥曲线的极坐标方程以及它们的像性质。
一、圆锥曲线的极坐标方程在极坐标系中，我们可以利用极径和极角来描述一个点的位置。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程可以通过将笛卡尔坐标系下的方程进行换元得到。
下面分别介绍圆、椭圆、双曲线和抛物线的极坐标方程。
1. 圆的极坐标方程圆的极坐标方程可以表示为 r = a，其中 a 为圆的半径。
由于圆的每个点与圆心的距离都是相等的，因此圆的极坐标方程非常简单。
无论极角θ 是多少，极径 r 都等于 a。
2. 椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程可以表示为 r = a(1 - ε^2) / (1 - εcosθ)，其中 a 是长轴的一半，ε 是离心率。
椭圆是一个与两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。
在极坐标系中，焦点是极角为 0 的点与极角为π 的点。
通过使用离心率ε 可以调节椭圆的形状，当ε = 0 时，椭圆退化为一个圆。
3. 双曲线的极坐标方程双曲线的极坐标方程可以表示为r = a(1 + εcosθ)，其中 a 是双曲线的半径，ε 是离心率。
双曲线是一个与两个焦点的距离之差等于常数的点的集合。
与椭圆不同的是，双曲线在焦点之间是开放的，而且离心率ε 的取值可以小于 1。
4. 抛物线的极坐标方程抛物线的极坐标方程可以表示为r = a(1 + cosθ)，其中 a 是抛物线的焦半距。
抛物线是一个与焦点到直线的垂直距离相等的点的集合。
抛物线具有对称性，其极径与焦点的位置有关。
二、圆锥曲线的像性质每种圆锥曲线都有其独特的像性质，我们将逐一介绍它们。
1. 圆的像性质圆是一种具有高度对称性的圆锥曲线，因此它的像性质也与对称性有关。
无论通过圆的哪个点，所有的光线都会在同心圆上汇聚。
2. 椭圆的像性质椭圆也具有很强的对称性，因此它的像性质也与对称性有关。
圆锥曲线重点知识点总结
圆锥曲线重点知识点总结圆锥曲线是高中数学中一个重要的内容，是解析几何的重点之一。
在学习圆锥曲线时，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将对圆锥曲线的基本概念、方程与性质进行总结。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由切割一个锥体的过程中所得到的曲线。
根据切割方式的不同，圆锥曲线可分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆：通过一点F（焦点）到平面上任意一点P的距离之和恒定的点集所构成的曲线称为椭圆。
这个常数称为椭圆的焦距，用c表示。
椭圆还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
2. 双曲线：通过一点F到平面上任意一点P的距离之差恒定的点集所构成的曲线称为双曲线。
这个常数称为双曲线的离心率，用e表示。
双曲线还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
3. 抛物线：通过平面上任意一点P到一个定点F的距离等于点P到一条直线l的距离的点集所构成的曲线称为抛物线。
二、圆锥曲线的方程在解析几何中，我们常常使用方程描述曲线。
圆锥曲线的方程可以用多种形式表示，例如标准方程、一般方程和参数方程等。
1. 椭圆的方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 （a > b > 0），其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
2. 双曲线的方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （a > 0，b > 0），其中a和b分别代表双曲线的距离焦点的距离和离心率。
3. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为y^2 = 2px，其中p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质掌握圆锥曲线的性质对于解析几何的问题求解非常重要。
1. 椭圆的性质：a) 椭圆的离心率满足0<e<1，离心率越小，椭圆越圆。
b) 长半轴和短半轴的长度之间的关系是a>b。
c) 椭圆的离心率e满足等于c/a（其中c代表焦距）。
2. 双曲线的性质：a) 双曲线的离心率满足e>1，离心率越大，双曲线越开口。
理解圆锥曲线的基本性质和方程形式
理解圆锥曲线的基本性质和方程形式圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它可以描述许多自然界中存在的曲线形状。
理解圆锥曲线的基本性质和方程形式对于深入研究这些曲线的特性以及解决相关问题至关重要。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线三种形式。
它们的方程形式分别为标准方程、焦点方程和参数方程。
一、椭圆椭圆是圆锥曲线中最简单的形式之一，它的基本性质和方程形式如下：1. 基本性质：（1）椭圆是一个闭合的曲线，其形状类似于拉长的圆形。
（2）椭圆有两个焦点，它们与曲线上的任意一点的距离之和是一个常数。
（3）椭圆的长轴和短轴分别是焦点之间的距离和曲线的最大宽度。
2. 方程形式：标准方程：[(x-h)²/a²] + [(y-k)²/b²] = 1其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a是长轴的长度的一半，b是短轴的长度的一半。
二、抛物线抛物线是另一种常见的圆锥曲线形式，它具有以下的基本性质和方程形式：1. 基本性质：（1）抛物线是一个开放的曲线，其形状类似于对称的弧线。
（2）抛物线有一个焦点和一个直线作为其准直线。
（3）抛物线的焦点到曲线上任意一点的距离与直线到该点的垂直距离相等。
2. 方程形式：焦点方程：y² = 4ax其中，焦点位于原点上方的抛物线的方程为：x² = 4ay。
三、双曲线双曲线是圆锥曲线中最复杂的一种形式，它的基本性质和方程形式如下：1. 基本性质：（1）双曲线是一个开放的曲线，其形状类似于两个相交的直线。
（2）双曲线有两个焦点，它们与曲线上的任意一点的距离之差是一个常数。
（3）双曲线的两支称为分支，分别朝向两个焦点。
2. 方程形式：参数方程：x = asecθ, y = btanθ其中，a和b分别控制了双曲线的形状。
综上所述，理解圆锥曲线的基本性质和方程形式可以帮助我们更好地研究和应用这些曲线。
通过掌握它们的特点，我们可以解决各种与圆锥曲线相关的问题，如求解焦点坐标、判断曲线类型、计算曲线长度等。
高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2， 且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1， 解析 联立ax22＋by22＝1， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2， 则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32， 综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.
最新高考数学必考要点必考要点分类汇编圆锥曲线的方程与性质(完整版)
圆锥曲线的方程与性质1． (2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.2． (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .故选C.3． (2013·山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( )A.316B.38C.233D.433 答案 D解析 抛物线C 1的标准方程为：x 2＝2py ，其焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为：y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.4． (2013·福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ________． 答案3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， 所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2， 所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝ca＝3－1.5． (2013·浙江)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________． 答案 ±1解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝4x .化简得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝4k .∴x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k.由(x 0－1)2＋(y 0－0)2＝2得：⎝⎛⎭⎫2－2k 2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝4. ∴k ＝±1.题型一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为 __________．(2)已知P 为椭圆x 24＋y 2＝1和双曲线x 2－y 22＝1的一个交点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，那么∠F 1PF 2的余弦值为________．审题破题 (1)根据椭圆定义，△ABF 2的周长＝4a ，又e ＝22可求方程；(2)在焦点△F 1PF 2中使用余弦定理．答案 (1)x 216＋y 28＝1 (2)－13解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12. 由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆和双曲线的方程可知，F 1，F 2为它们的公共焦点，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4|PF 1|－|PF 2|＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝23，由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝－13.反思归纳 圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||<|F 1F 2|.变式训练1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点F 1，F 2，M 为双曲线上一点，且满足∠F 1MF 2＝90°，点M 到x 轴的距离为72.若△F 1MF 2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为__________．答案 y ＝±7x解析 由题意得12·2c ·72＝14，所以c ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧||MF 1|－|MF 2||＝2a ，|MF 1|2＋|MF 2|2＝82，12·|MF 1|·|MF 2|＝14.所以a ＝2，b ＝14.所以渐近线方程为y ＝±7x .(2)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________． 答案 y 2＝±8x解析 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝ 2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a 2. ∴△OAF 的面积为12×⎪⎪⎪⎪a 4×⎪⎪⎪⎪－a 2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. ∴抛物线方程为y 2＝±8x . 题型二 圆锥曲线的性质例2 (1)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2B ．2 2C ．4D ．8(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32审题破题 (1)利用抛物线的几何性质结合方程组求解；(2)由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线，再由离心率的定义即可求解． 答案 (1)C (2)A解析 (1)设C ：x 2a 2－y 2a2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a 2＝1和x ＝－4得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)， ∴|AB |＝216－a 2＝43，∴a ＝2，∴2a ＝4.∴C 的实轴长为4.(2)当曲线C 为椭圆时，e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；当曲线C 为双曲线时，e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.反思归纳 (1)求椭圆或双曲线的离心率的方法：①直接求出a 和c ，代入e ＝ca；②建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，然后把b 用a ，c 代换．通过解关于ca 的方程或不等式求得离心率的值或范围．(2)研究圆锥曲线的几何性质，实质是求参数a 、b 、c 或者建立a 、b 、c 的关系式(等式或不等式)，然后根据概念讨论相应的几何性质．变式训练2 (1)已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3C. 2D. 3答案 C解析 如图，设OF 的中点为T ，由(AO →＋AF →)·OF →＝0可知 AT ⊥OF ，又A 在以OF 为直径的圆上，∴A ⎝⎛⎭⎫c 2，c 2， 又A 在直线y ＝bax 上，∴a ＝b ，∴e ＝ 2.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5答案 B解析 由⎩⎨⎧y ＝b ax x ＝－p2，解得⎩⎨⎧y ＝－bp 2ax ＝－p2，由题意得⎩⎨⎧－bp2a ＝－1－p2＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12p ＝4，又知p2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，∴焦距2c ＝2 5.题型三 直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22. (1)求a 、b 的值；(2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．审题破题 (1)由直线l 的斜率为1过焦点F ，原点O 到l 的距离为22可求解；(2)需分直线l 的斜率存在或不存在两种情况讨论．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由条件OP →＝OA →＋OB →可得P 点坐标，结合A 、B 、P 在椭圆上列等式消元求解．解 (1)设F (c,0)，当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0，O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c 2，故c 2＝22，c ＝1. 由e ＝c a ＝33，得a ＝3，b ＝a 2－c 2＝ 2.(2)C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立． 由(1)知C 的方程为2x 2＋3y 2＝6.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(ⅰ)当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝k (x －1)．C 上的点P 使OP →＝OA →＋OB →成立的充要条件是P 点坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，且2(x 1＋x 2)2＋3(y 1＋y 2)2＝6，整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4x 1x 2＋6y 1y 2＝6， 又A 、B 在椭圆C 上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6，故2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0.①将y ＝k (x －1)代入2x 2＋3y 2＝6，并化简得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，于是x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1·x 2＝3k 2－62＋3k 2，y 1·y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝－4k 22＋3k 2.代入①解得k 2＝2，此时x 1＋x 2＝32.于是y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－k2，即P ⎝⎛⎭⎫32，－k 2. 因此，当k ＝－2时，P ⎝⎛⎭⎫32，22，l 的方程为2x ＋y －2＝0；当k ＝2时，P ⎝⎛⎭⎫32，－22，l 的方程为2x －y －2＝0.(ⅱ)当l 垂直于x 轴时，由OA →＋OB →＝(2,0)知，C 上不存在点P 使OP →＝OA →＋OB →成立．综上，C 上存在点P ⎝⎛⎭⎫32，±22使OP →＝OA →＋OB →成立，此时l 的方程为2x ±y －2＝0.反思归纳 解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤： (1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．变式训练3 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313， 当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.典例 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 规范解答解 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，所以c ＝1.将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.[4分](2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由 ⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①[7分]由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ， 消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.②[10分]综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.[12分]评分细则 (1)得到b ＝1给2分；(2)两个判别式应用中，得到化简后的方程均给1分，判别式等于0没化简不扣分；(3)k 、m 的值不全扣2分．阅卷老师提醒 (1)对于直线和圆锥曲线相切的问题，除曲线为y 2＝ax 形式的，一般都利用判别式．(2)直线和圆锥曲线是高考热点，判别式、弦长公式、设而不求思想是常用工具．1． (2013·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y＝0，∴所求距离为|3±0|(3)2＋(±1)2＝32.选B. 2． (2013·湖北)已知0＜θ<π4 ，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等答案 D解析 双曲线C 1：e ＝sin 2θ＋cos 2θcos 2＝1cos 2， 双曲线C 2：e ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ， ∴C 1，C 2离心率相等．3． 已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝⎛⎭⎫12，1答案 C解析 由题意可得，2k －1>2－k >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C. 4． (2013·江西)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________. 答案 6解析 因为△ABF 为等边三角形，所以由题意知B ⎝⎛⎭⎫p 3，－p2，代入方程x 23－y23＝1得p ＝6.5． (2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为______． 答案3解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|， 则|PF1|－|PF 2|＝2a ，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴|F 1F 2|＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a2a ＝ 3.6． (2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e＝________.答案 57解析 如图，在△ABF 中，|AB |＝10，|AF |＝6，且cos ∠ABF ＝45，设|BF |＝m ， 由余弦定理，得 62＝102＋m 2－20m ·45，∴m 2－16m ＋64＝0，∴m ＝8.因此|BF |＝8，AF ⊥BF ，c ＝|OF |＝12|AB |＝5.设椭圆右焦点为F ′，连接BF ′，AF ′， 由对称性，|BF ′|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14.∴a ＝7，因此离心率e ＝c a ＝57.专题限时规范训练一、选择题1． (2013·广东)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y25＝1 B.x 24－y25＝1 C.x 22－y25＝1D.x 22－y 25＝1 答案 B解析 由题意知：c ＝3，e ＝c a ＝32，∴a ＝2；b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，故所求双曲线方程为x 24－y 25＝1. 2． 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5答案 B解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2＝8，∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.3． 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C ．2D ．3答案 A解析 取双曲线的渐近线y ＝b a x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－ab(x －c )，可解得点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得(a 2＋c 2)24a 2c 2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝c a＝2，故应选A. 4． 设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于 ( )A.10 B ．210 C. 5D ．2 5答案 B解析 如图，由PF 1→·PF 2→＝0，可得PF 1→⊥PF 2→，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF 1→＋PF 2→|＝|PQ →|＝2c ＝210， 所以选B.5． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是 ( )A ．2±3B ．2＋ 3 C.3±1D.3－1答案 A解析 依题意得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，∴y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝⎛⎭⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3，故选A.6． (2013·浙江)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 |F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2，∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.故选D.7． 已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 答案 A解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3ba 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.8． (2012·安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2答案 C解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)， 又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3， ∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8， 由图知点A 的纵坐标y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝⎛⎭⎫12，－2，∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝32 2.故选C. 二、填空题9． 已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________. 答案 8解析 如图所示，由椭圆定义得 |AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝20， 又|AF 2|＋|BF 2|＝12，所以|AF 1|＋|BF 1|＝8，即|AB |＝8.10．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析 与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1(λ≠0)．由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.11．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________． 答案 15解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋(6－3)2＋42＝15.12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE交双曲线的右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 答案 102解析 设双曲线的右焦点为F ′，由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2×a2＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102.三、解答题13．(2012·安徽)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)方法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为 y ＝－3(x －c )，将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |·sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.方法二 设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝40 3知，a ＝10，b ＝5 3.14．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 21a 2＋y 21b2＝1 ① x 22a 2＋y 22b2＝1②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，所以a 2＝6，所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0， 所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33， 所以可得|AB |＝463；将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD |＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863.。
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专题训练五——圆锥曲线的标准方程与几何性质
类型一、椭圆的标准方程与几何性质
例1．（1） 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，焦距为4，则椭圆的标准方程为________________．
（2）已知焦点在x 轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为13
，则椭圆的方程是（ ） A. 2
214
x y += B. 22198x y += C. 22143x y += D. 22189x y +=
练习：1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点()3,0A ；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；
例2、（1）P 为椭圆19
252
2=+y x 上一点，21,F F 为左右焦点，若 6021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积为 .
（2）已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.
例3、(1)错误！未找到引用源。
在椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D.
(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是
，弦的中点坐标是，则
椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D.
(3)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上， 1212,,,A A B B 为椭圆的
顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则
该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. ⎫⎪⎪⎝⎭
B. ⎛ ⎝⎭
C. ⎛ ⎝⎭
D. ⎫⎪⎪⎝⎭
类型二、双曲线的标准方程与几何性质
例1．（1）已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，双曲线上一点P 到F 1，F 2的距离的差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为__________________．
（2）双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，虚轴长为23，则双曲线的方程为________________________．
（3）已知双曲线C ：﹣=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为_______．
（4）已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24
＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为_______．
例2、（1）双曲线
的渐近线方程为（ ） A. B. C. D.
（2）已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32
，则C 2的渐近线方程为( )
A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0
例3、（1）已知双曲线的左、右焦点为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若直线y=2x 与双曲线的一个交点的横坐标为c ，则双曲线的离心率为 ．
（2）已知12,F F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于,A B 两点，若坐标原点O 恰为2ABF ∆的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（ ）
A. 3 D. 3
类型三、抛物线的标准方程与几何性质
例1、（1）已知P 是抛物线2y x =上任意一点，则当P 点到直线20x y ++=的距离最小时，P 点与该抛物线的准线的距离是( )
A ．2
B ．1
C ．
21 D ．4
1
（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于54，则抛物线的方程为( )
A ．y 2=4x
B ．y 2=8x
C ．x 2=4y
D ．x 2=8y
（3）已知过抛物线C ： 22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若
2BC BF =（其中点B 位于A 、 C 之间），且4AF =，则此抛物线的方程为（ ）． A. 22y x = B. 26y x = C. 24y x = D. 2
8y x =
例2、（1）已已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若3AF FB =，则直线l 的斜率为（ ）
A. 3
B.
2 C. 12 D. 2
（2）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
（3）已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为
________．
圆锥曲线的标准方程与几何性质限时训练
1、已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为 ( ).
A ．
12 B ．1 C ．2 D ．4
2、抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为3
π的直线与抛物线相交于两点,A B 两点，若8AB =，则抛物线的方程为 ( )
A. 23y x =
B. 24y x =
C. 26y x =
D. 2
8y x = 3、已知椭圆： 22
2
1(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是 （ ）
32 4、已知椭圆22
221x y a b
+=的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F c =，点A 在椭圆上， 1120AF F F ⋅=， 212AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率e = （ ）
A. 3
B. 12
C. 12
D. 2
5、已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 2
12
＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．
6、设P 是椭圆22
1255
x y +=上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，120,PF PF ⋅=12F PF ∆则面积是________．
7、与双曲线-=22
1916
x y 有共同的渐近线，并且过点A(6,82)的双曲线的标准方程为__________．
8、双曲线的焦点为()()60,6,0-,且经过点()6,5-A ,则其标准方程为_______．
9、设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224
＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于_______．
10、曲线2
2
:13y C x -=的渐近线方程为__________；若双曲线C 的右焦点恰是抛物2:2(0)N y px p =>的焦点，则抛物线N 的准线方程为____________.
11、已知F 是抛物线y 2
＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB 是正三角形，则△AFB 的边长为________． 12、双曲线22
21(0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与y 轴和双曲线右支分别交于,A B 两点，若点A 平分1F B ，则该双曲线的离心率是________．
13、设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为________．
14、设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B, C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________．
15、已知l 是双曲线C ：x 22－y 24
＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若1PF ·2PF ＝0，则点P 到x 轴的距离为________．。