2.2 函数的单调性与最值

§2.2 函数的单调性与最值

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

1．(2010·北京)给定函数①y ＝1

2

x ，②y ＝12

log (x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋

1，其中在区间

(0,1)单调递减的函数的序号是 ( ) A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

a x

(x >1)⎝⎛⎭

⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1) 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为

( )

A ．(1，＋∞)

B ．[4,8)

C ．(4,8)

D ．(1,8)

3．若函数y ＝ax 与y ＝－b

x

在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )

A ．增函数

B ．减函数

C ．先增后减

D ．先减后增

4．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确 的是

( )

A ．f (4)>f (－6)

B ．f (－4)

C ．f (－4)>f (－6)

D ．f (4)

( )

A.⎝

⎛⎦⎤－∞，32 B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎝

⎛⎦⎤－1，32

D.⎣⎡⎭⎫

32，4

二、填空题(每小题6分，共24分)

6．函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为________．

7．设x 1，x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：

①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0； ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0； ③

f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2

>0；

④

f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2

<0.

其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为_____________________________________． 8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是 __________． 9．若函数f (x )＝

4x

x 2

＋1

在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m 的取值范围是__________． 三、解答题(共41分)

10．(13分)已知函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，试比较f ⎝⎛⎭⎫34与f (a 2

－a ＋1)的大小． 11.(14分)已知f (x )＝x x －a

(x ≠a )．

(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．

12．(14分)已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，解不等式 f (1－x )＋f (1－x 2)<0. 答案

1．B 2．B 3．B 4．C 5．D

6．[3，＋∞) 7．①③ 8.⎣⎡⎦⎤－1

4，0 9．(－1,0] 10．解 ∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥3

4

>0， 又∵y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数， ∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫

34. 11．(1)证明 任设x 1

则f (x 1)－f (x 2)＝

x 1x 1＋2－x 2

x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)

. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)

∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1

x 1x 1－a －x 2

x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )

. ∵a >0，x 2－x 1>0，

∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， ∴a ≤1.

综上所述知0

12．解 ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，

∴由f (1－x )＋f (1－x 2)<0 得f (1－x )<－f (1－x 2)．

∴f (1－x )

－1<1－x <1，－1<1－x 2

<1，1－x >x 2－1.

解得0

∴原不等式的解集为(0,1)．