(完整版)第10章静电学思考题及习题解答

第十章 思 考 题10-1 在空间有一非均匀电场，其电力线分布如图所示。

在电场中作一半径为R 的闭合球面S ，已知通过球面上某一面元ΔS 的电场强度通量为ΔΦe ，则通过该球面其余部分的电场强度通量为(A)-ΔΦe ；(B)e ΦSR πΔΔ42；(C)e ΦSS R πΔΔΔ42 ；(D)0。

答：(A )10-2 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： (A)如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷。

(B)如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零。

(C)如果高斯面上E 处处不为零,则高斯面内必有电荷。

(D)如果高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零。

(E)高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。

答：(D )10-3 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点，则M 点的电势为(A)a πεq 04； (B)aπεq 08；思考题10-1+qP思考题10-3(C)a πεq 04-； (D)aπεq08-。

答：(D )10-4 如图所示，直线MN 长为2l ，弧OCD 是以N 点为中心、l 为半径的半圆弧，N 点有正电荷+q ，M 点有负电荷-q 。

今将一试验电荷+q 0从O 点出发沿路径OCDP 移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功(A)A <0且为有限常量； (B)A >0且为有限常量； (C)A =∞； (D)A =0。

答：(D )10-5 关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，哪一种是正确的? (A)在电场中，场强为零的点，电势必为零。

(B)在电场中，电势为零的点，电场强度必为零。

(C)在电势不变的空间，场强处处为零。

(D)在场强不变的空间，电势处处相等。

答：(C )10-6 在真空中半径分别为R 和2R 的两个同心球面，其上分别均匀地带有电量+q 和-3q 。

今将一电量为+Q 的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为MN O思考题10-4(A)R πεQq 04； (B)RπεQq02； (C)R πεQq 08； (D)RπεQq083。

答：(C )10-7 图示为一个均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为r 1，r 2的金属球壳，设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为(A)rπεQU r πεQ E 0204,4==； (B)104,0r πεQU E ==；(C)rπεQU E 04,0==； (D)204,0r πεQU E ==。

答：(D )10-8 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示，已知A 上的电荷面密度为+σ，则在导体板B 的两个表面1和2上的感应电荷面密度分别为(A)σσσσ+=-=21，；思考题10-7+σA思考题10-8(B)σσσσ212121+=-=，； (C)σσσσ212121-=-=，； (D)021=-=σσσ，。

答：(B )10-9 一导体球外充满相对介电常数为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为(A)ε0E ； (B)ε0εr E ； (C)εr E ； (D)(ε0εr -ε0)E 。

答：(B )11-10 C 1和C 2两空气电容器串联以后接电源充电，在电源保持连接的情况下，在C 2中插入一电介质板，则 (A)C 1极板上电量增加，C 2极板上电量增加。

(B)C 1极板上电量减少，C 2极板上电量增加。

(C)C 1极板上电量增加，C 2极板上电量减少。

(D)C 1极板上电量减少，C 2极板上电量减少。

答：(A )10-11 金属球A 与同心球壳B 组成电容器，球A 上带电荷q ，壳B 上带电荷Q ，测得球与壳间电势差U AB ，可知该电容器的电容值为(A)q /U AB ； (B)Q /U AB ； (C)(q +Q )/U AB ； (D)(q -Q )/(2U AB )。

答：(A)ε思考题10-1010-12 一平行板电容器充电后，与电源断开，然后再充满相对介电常数为εr 的各向同性均匀电介质，则其电容C 、两极板间的电势差U 12及电场能量W e 与充介质前比较将发生如下变化：(A)C ↑ U 12↓ W e ↑; (B)C ↑ U 12↓ W e ↓; (C)C ↑ U 12↑ W e ↓; (D)C ↓ U 12↓ W e ↓。

答：(B )习 题10-1 一个电偶极子的电矩为p =q l ，证明此电偶极子轴线上距其中心为r (r >>l )处的一点场强为3042r πεpE =。

证 电偶极子+q 的-q 和两个电荷在轴线上距中心为r 处的合场强为22202020)4(42)2(4)2(4l r πεprlr πεql r πεqE E E -=+--=-=-+由于r >>l ，并考虑到方向可得3042r πεpE =10-2 在真空中一长为l =10cm 的细杆,杆上均匀分布着电荷,其电荷线密度λ=1.0×10-5C/m,在杆的延长线上，距杆的一端距离d =10cm 的一点上，有一电量为q 0=2.0×10-5C 的点电荷，如图所示，试求该点电荷所受的电场力。

解 选杆的左端为坐标原点，x 轴沿杆的方向。

在x 处取一线段元d x ，其电量为λd x ，它在q 0处产生的场强大小为()204d d x d πεxλE +=方向沿x 轴负向，整个杆上电荷在该点的场强为()()l d d πεlλx d x πελE l+=+=⎰00204d 4 方向沿x 轴负向。

点电荷q 0所受的电场力为()N 90.0400=+=l d d πεlλq F沿x 轴负向。

10-3 一均匀带电的正方形细框，边长为l ，总电量为q ，求正方形轴线上离中心为x 处的场强。

解 如图所示，根据对称性，P 点的场强沿x 轴正向，其大小⎰-==2/2/cos 44l l AB dE E E α (1)dlλ q 0习题10-2dlλd xq 0 习题10-2 解图x式中，204)4/(r dzl q dE πε=(2)rx=αcos (3) 将式②、式②、式④代入式①得2/)4/(422220l x l x qxE ++=πε10-4 一带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为λ=λ0sinφ,式中λ0为一常数,φ为半径R 与x 轴所成的夹角,如图所示。

试求环心o 处的电场强度。

解 在φ处取一线段元d l ，其电量为 φφR λl λq d sin d d 0== 它在o 处产生的场强为RπεφφλR πεqE 00204d sin 4d d ==在x 、y 轴上的两个分量φE E φE E y x sin d d cos d d -=-=根据对称性可知0d ==⎰x x E E而RελφφRπελE E πy y 002008d sin 4d -=-==⎰⎰j j i E RελE E y x 008-=+=∴ 10-5 一“无限长”圆柱面,其电荷面密度由下式决定： σ=σ0cos φ式中，σ0为一常数，φ角为半径R 与x 轴之间所夹的角，试求圆柱轴线上一点的场强。

解 将圆柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为无限长均匀带电直线，其电荷线密度为φR φσλd cos 0=它在o 点产生的场强为x习题10-4y习题10-5x习题10-4 解图φφπεσR πελE d cos 22d 000==在x 、y 轴上的两个分量φφφπεσφE E φφπεσφE E y x d cos sin 2sin d d d cos 2cos d d 020-=-=-=-=积分0dsin sin 22d cos 2200020200=-=-=-=⎰⎰πy πx φφπεσE εσφφπεσEi i E 02εσE x -==∴ 10-6 图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为 E x =bx , E y =0, E z =0高斯面边长a =0.1m ，常数b =1000N/(C·m)。

试求该闭合曲面中包含的净电荷。

解 设闭合面内包含净电荷的电量为Q 。

因电场只有分量，故只有左右两侧的平面电通量不为零。

由高斯定理得()S S S εQ S E S E ===+-2102211则()()()Cba εa a b a εx x b a εE E S εQ 12302012201201085.82-⨯==-=-=-=10-7 (1)点电荷q 位于边长为a 的正立方体的中心，通过此立方体的每一面的电通量各是多少?(2)若点电荷移至正立方体的一个顶点上，那么通过每个面的电通量又各是多少?解 (1)点电荷q 位于正立方体的中心，正立方体的六个面对该电荷来说都是等同的。

因此通过每个面的电通量相等，且等于总电通量的1／6。

对正立方体的某一面，其电通量为⎰⎰⋅=⋅=ΦS SE dS E dS E 611 根据高斯定理，有εqdS E S=⋅⎰所以 01εqE =Φ(2)当点电荷移至正立方体的一个顶点上时，设想以此顶点为中心，作边长aaxyz习题10-6o为2a 并且与原边平行的大正方体，如图所示。

与(1)相同，这个大正方体的每个面上的电通量都相等，且均等于q/6ε0，对原正方体而言，只有交于A 点的三个面上有电场线穿过，每个面的面积是大正方体一个面的面积的1/4，则每个面的电通量也是大正方体一个面的电通量的1/4，即q/24ε0，原正方体的其他不与A 点相交的三个面上的电通量均为零。

10-8 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场,电场强度E 垂直于地面向下,大小约为100N/C ；在离地面1.5km 高的地方，E 也是垂直于地面向下的，大小约为25N/C 。

(1)试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；(2)假设地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度。

解 (1)设电荷的平均体密度为ρ，取圆柱形高斯面(侧面垂直底面，底面ΔS 平行地面)上下底面处的场强分别为E 1和E 2，则通过高斯面的电通量为(见图(a ))()S E ES E S E ΔΔΔd 1212-=-=⋅⎰S E包围的电荷ρS h qS iΔ)(=∑内由高斯定理得 ()012ΔΔερS h S E E =-(a )(b )习题10-8解图()313120m /C 1043.41-⨯=-=∴E E εhρ (2)设地面面电荷密度为。

由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取如图(b )所示高斯面由高斯定理∑⎰=⋅iqε01d S ES σεS E Δ1Δ0=- 2100m /C 109.8-÷-=-=∴E εσ10-9 一无限大均匀带电厚壁，壁厚为D ，体电荷密度为ρ，求其电场分布并画出E -d 曲线。