高中数学课件第6单元 数列不等式、推理与证明 第34讲 一元二次不等式及其解法
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第34讲一元二次不等式的解法精品PPT课件
有两个相异的
实根x1，x2 x1<x2
有两个相等实根 x1=x2
ax2+bx+c>0
的解集
{x|x>x2或x<x1}
{x|x≠
b 2a}
ax2+bx+c<0 的解集
{x|x1<x<x2}
没有实根 R
a<0如何画出上图相类似的结构图？
1定 .求义函 x域 y数 R 值 x2y 4域 x5 ， 9 的 定义 . 如为果+域 3值呢域？呢？改
学习数学先认识自己，再发现就是初中如何学习一元二次方
程、函数、不等式的自己，而这个自己是不好的，于是突破自 己，成为那个就是要达到像高中一样的学习一元二次方程、函 数、不等式的自己，自动化化做这个最好的自己。
课件下载后可自由编辑，使用上如有不理 解之处可根据本节内容进行提问
Thank you for coming and listening,you can ask questions according to this section and this courseware can be downloaded and edited freely
一、请同学们自学教材，教材给人什么感觉？ 答：其实不是教材编的不好，但给人感觉是乱。
二、因为文理相通： 你们在学习《》的时候，老师会告诉你一条线索就是 以贾宝玉、林黛玉的爱情为线索，以贾宝玉与薛宝钗的爱情为 线索。长篇小说是很长的，没有线索就会显的很乱。线索就是把许 多洒落在地下的珍珠，用一条线把它们串起来，形成一条美丽的珍 珠项链。那好，在《一元二次不等式及其解法》这一节中线索是什 么？
cx2 bxa0的解集.
2.设 aR,解 关 于 x的 不 等 式 x2ax40.
高考数学一轮复习 第6单元 不等式、推理与证明 第34讲 一元二次不等式及其解法课件 理
一元二次方程 ax +bx+c=0
2
有两相异实根
有两相等实根
b
没有实数根
(a>0)的根
x1,x2(x1<x2)
x1=x2=-2a
ax +bx+c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠x1}
R
{x|x1<x<x2}
⌀
⌀
12/11/2021
2
2
ax +bx+c<0 (a>0)的解集
课前双基巩固
主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围, 谁就是参数.
12/11/2021
课堂考点探究
强化演练
1.【考向 1】[2017·南充检测] 关于 x 的不等式
课前双基巩固
2.[教材改编] 已知一元二次方程
[答案]
(-∞,1)∪(6,+∞)
[解析]
由题意,得
2
x +2ax+(7a-6)=0(a∈R)有两个不等的实数根,则实
12/11/2021
数 a 的取值范围是
.
2
2
Δ=4a -4×(7a-6)>0,即 a -7a+6>0,
解得 a>6 或 a<1.
课前双基巩固
A∩B=(
12/11/2021
3
A. -3,-2
3
C. 1,
2
[答案]
D
3
[解析] 集合 A=(1,3),B= ,+∞ ,所以
)
2
3
B. -3,2
3
2
有两相异实根
有两相等实根
b
没有实数根
(a>0)的根
x1,x2(x1<x2)
x1=x2=-2a
ax +bx+c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠x1}
R
{x|x1<x<x2}
⌀
⌀
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2
2
ax +bx+c<0 (a>0)的解集
课前双基巩固
主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围, 谁就是参数.
12/11/2021
课堂考点探究
强化演练
1.【考向 1】[2017·南充检测] 关于 x 的不等式
课前双基巩固
2.[教材改编] 已知一元二次方程
[答案]
(-∞,1)∪(6,+∞)
[解析]
由题意,得
2
x +2ax+(7a-6)=0(a∈R)有两个不等的实数根,则实
12/11/2021
数 a 的取值范围是
.
2
2
Δ=4a -4×(7a-6)>0,即 a -7a+6>0,
解得 a>6 或 a<1.
课前双基巩固
A∩B=(
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3
A. -3,-2
3
C. 1,
2
[答案]
D
3
[解析] 集合 A=(1,3),B= ,+∞ ,所以
)
2
3
B. -3,2
3
一元二次不等式及其解法 课件
研一研·问题探究、课堂更高效
S 甲＝0.1x＋0.01x2，S 乙＝0.05x＋0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？ 一元二次不等式在实际生活实践中有着广泛的应用．这节课 我们将研究一元二次不等式的实际应用．
探究点一 一元二次不等式恒成立问题
问题 解决不等式恒成立问题的关键是转化思想的应用，一
解析 当 a＝0 时，－2≥0 解集为 ∅ ；
当 a≠0 时，a 满足条件：aΔ<＝04a2＋4aa＋2<0 ，
解得－1<a<0.
综上可知，－1<a≤0.
例 2 关于 x 的一元二次方程 kx2＋(k－1)x＋k＝0 有两个正 实数根，求实数 k 的取值范围．
解 方法一 设 f(x)＝kx2＋(k－1)x＋k，由题意，
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
3．不等式xx－＋23>0 的解集是 A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
(C )
4．若不等式 x2＋mx＋1≥0 的解集为 R，则实数 m 的取值范
围是
(D )
A．m≥2
B．m≤－2
跟踪训练 3 某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x 件 与单价 P 元之间的关系为 P＝160－2x，生产 x 件所需成本 为 C＝500＋30x 元，该厂日产量多大时，每天获利不少于 1 300 元？ 解 由题意得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300， 化简得 x2－65x＋900≤0
解得 0<k≤31.
小结 解一元二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二
次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等
高中数学 一元二次不等式及解法 PPT课件 图文
y<0
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b
x1=x2= 2 a
{x|x<x1,或 x>x2}
b {x|x≠ 2 a }
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
函数 、方程、不等式的关系
a<0时如何求解呢？
自主练习
1．下列是关于x的一元二次不等式化为(x＋2a)(x－a)＜0 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a， (1)当a＞－2a，即a＞0时，－2a＜x＜a， (2)当a＝－2a，即a = 0时，原不等式化为x^2＜0，无解, (3)当a＜－2a, 即a＜0时, a＜x＜－2a. 综上所述，原不等式的解集为： 当a＞0时，{x|－2a＜x＜a} 当a＝0时， ∅ 当a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：不等式的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故
选C. 答案： C
课堂 讲 义
求解一元二次不等式
例一 求下列一元二次不等式的解集:
(1)－x2＋5x＜－6
解：原不等式可化为 x2－5x－6>0
集。
变式训练
求下列不等式的解集:
(1)－2x2＋3x＋2 ≤ 0；
{ x|x2或 x 2 }
y x1 O x2 x
变式训练
(2)4x2＋4x＋1>0
{x
|x
1} 2
y
O x1
x
变式训练
不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt
最大/最小值问题
一元二次不等式可以用于解决概率统计问题，如计算一个随机变量的期望值和方差。
概率统计问题
03
组合数学
组合数学中经常出现与一元二次不等式相关的问题，如利用不等式进行计数、排序等。
在数学竞赛中的应用
01
代数竞赛
一元二次不等式是代数竞赛中常见的考点之一，常常与方程、函数等知识结合考查。
02
2023
《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》
CATALOGUE
目录
不等式的基本概念一元二次不等式的概念一元二次不等式的解法典型例题解析解题技巧与注意事项一元二次不等式的应用
不等式的基本概念
01
不等式的定义
用不等号连接两Байду номын сангаас代数式，表示它们之间的关系。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法单调性、乘法单调性等性质。
详细描述
带有绝对值的不等式
总结词
与一元二次方程相关的不等式通常形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。解这类不等式的方法是先求解一元二次方程，再根据方程的根求解不等式。
详细描述
对于与一元二次方程相关的不等式，首先需要求解一元二次方程。根据一元二次方程的求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出两个根 x1 和 x2。然后，根据不等式的形式和根的大小关系，判断不等式的解集。例如，不等式 x^2 - 2x - 3 > 0 的解集为 (-inf, -1) U (3, inf)。
定义与性质
只含有一个未知数的不等式。
一元二次不等式可以用于解决概率统计问题，如计算一个随机变量的期望值和方差。
概率统计问题
03
组合数学
组合数学中经常出现与一元二次不等式相关的问题，如利用不等式进行计数、排序等。
在数学竞赛中的应用
01
代数竞赛
一元二次不等式是代数竞赛中常见的考点之一，常常与方程、函数等知识结合考查。
02
2023
《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》
CATALOGUE
目录
不等式的基本概念一元二次不等式的概念一元二次不等式的解法典型例题解析解题技巧与注意事项一元二次不等式的应用
不等式的基本概念
01
不等式的定义
用不等号连接两Байду номын сангаас代数式，表示它们之间的关系。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法单调性、乘法单调性等性质。
详细描述
带有绝对值的不等式
总结词
与一元二次方程相关的不等式通常形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。解这类不等式的方法是先求解一元二次方程，再根据方程的根求解不等式。
详细描述
对于与一元二次方程相关的不等式，首先需要求解一元二次方程。根据一元二次方程的求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出两个根 x1 和 x2。然后，根据不等式的形式和根的大小关系，判断不等式的解集。例如，不等式 x^2 - 2x - 3 > 0 的解集为 (-inf, -1) U (3, inf)。
定义与性质
只含有一个未知数的不等式。
一元二次不等式及其解法ppt课件
∵f(x)图象的对称轴为直线 x=2,∴f(x) 在(0,1)上单调递减，
∴当x=1 时 ，f(x)取到最小值，为一3,∴实数m 的取值范围
是[一0, — 3],故选A.
答案： A
2.若不等式 x²+mx—1<0对于任意x∈[m,m+1] 都成立，则 实数m 的取值范围是 解析：由题意，得函数f(x)=x²+mx—1在[m,m+1] 上的 最大值小于0,又抛物线f(x)=x²+mx—1开口向上，
(3)若a 可以为0,需要分类讨论， 一般优先考虑a=0 的 情形.
三、典型例题分析 考点一一元二次不等式的解法
考法(一)不含参数的一元二次不等式
[典例] 解下列不等式：(1)—3x²—2x+8≥0;
(2)0<x²—x—2≤4; [解]( 1)原不等式可化为3x²+2x—8≤0,
即(3x—4)(x+2)≤0, 解 得
考法(二)含参数的一元二次不等式 [典例] 解不等式ax²—(a+1)x+1<0(a>0). [解] 原不等式变为(ax—1)(x—1)<0,
因 为a>0, 所 以
所以当a>1,
时，解
当 a=1 时，解集为o; 当 0<a<1, 艮 时，解为
综上，当0<a<1 时，不等式的解集 当a=1 时，不等式的解集为o; 当a>1 时，不等式的解集为
[解题技法] 1. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0,小于 0 , 还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式△与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要 讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.
【把握高考】高三数学最新专题课件 第六章 6.3《一元二次不等式及其解法》人教版必修
x|x＞13或x＜－1，则 a·b 的值为
A．－6
B．－5
a＜0， 解析：由题意知13－1＝－ba，
13×－1＝1a，
C．6
() D．5
所以ba＝＝－－23.， 故 a·b＝6. 答案 C
第六章 不等式、推理与证明
4．若a>0，则不等式x2－2ax－3a2<0的解集为______ ______________________________________________ __． 解析：因为x2－2ax－3a2＝(x－3a)(x＋a)<0，又 a>0，故－a<x<3a. 答案：{x|－a<x<3a}
下方，当 m＝0 时，－2x－2<0，显然对任意 x 不能恒成立；
当 m≠0 时 ， 由 二 次 函 数 的 图 象 可 知 有
m<0， Δ＝4－4mm－2<0，
解得 m<1－
2，
第六章 不等式、推理与证明
综上可知 m 的取值范围是(－∞，1－ 2)． (2)设 g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以 m 为自变量 的一次函数，由 x2＋1>0 知 g(m)在[－2,2]上为增函数， 则由题意只需 g(2)<0 即可， 即 2x2＋2－2x－2<0，解得 0<x<1.即 x 的取值范围是 (0,1)．
则－－1313＋×1212＝＝a－c，2a， 所以 a＝－12，c＝2. 所以－cx2＋2x－a＜0 等价于 2x2－2x－12＞0， 所以其解集为{x|x＞3 或 x＜－2}．
第六章 不等式、推理与证明
【即时巩固1】 求下列不等式的解集： (1)(x＋4)(1－x)＞0； (2)4x2－4x＋1＞0； (3)2x3－x2－15x>0. 解：(1)原不等式可化为(x＋4)(x－1)＜0， 所以不等式的解集为{x|－4＜x＜1}． (2)原不等式可化为(2x－1)2＞0， 所以不等式的解集为{x|x≠12}．
高考数学总复习 第六章 第二节一元二次不等式及其解法课件 理
第三页，共38页。
二、二次函数(hánshù)、一元二次方程与一元二次不等式的关
Δ＝b2－4ac
Δ>0
函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的根
有两相异实根x1,2＝
b 2a
一元二 次
不等式 的
解集
ax2＋bx＋c>0 (a>0)
ax2＋bx＋c<0 (a>0)
点评：主元转换是解不等式的一种方法(fāngfǎ)，当不等 式中的参数给出已知范围时，通常将不等式转化为以参数为主 元的不等式，结合函数的单调性和参数的范围，求得原不等式 的解集．
第二十八页，共38页。
变式探究 (tànjiū)
5．(2012·青岛市模拟)若对任意(rènyì)a∈[－1,1]，不等式x2 ＋(a－3)x－3a>0恒成立，则x的取值范围是( )
第二十七页，共38页。
解析：将f(x)<－m＋5变为m(x2－x＋1)－6<0，则命题(mìng tí)等 价于m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＞0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增， ∴只要g(2)＝m(x2－x＋1)－6<0， 即x2－x－2<0，解得－1<x<2.
第十六页，共38页。
(2) 由 2sin2πx － 5sin πx ＋ 2>0 得 (sin πx － 2)sin πx－12>0，
∵sin πx－2<0，∴sin πx－12<0，即 sin πx<12.又－ 1≤x<13，∴－π≤πx<π3.∴由 sin πx<12得－π≤πx<π6，解 得－1≤x<16，即原不等式的解集为－1，16.
二、二次函数(hánshù)、一元二次方程与一元二次不等式的关
Δ＝b2－4ac
Δ>0
函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的根
有两相异实根x1,2＝
b 2a
一元二 次
不等式 的
解集
ax2＋bx＋c>0 (a>0)
ax2＋bx＋c<0 (a>0)
点评：主元转换是解不等式的一种方法(fāngfǎ)，当不等 式中的参数给出已知范围时，通常将不等式转化为以参数为主 元的不等式，结合函数的单调性和参数的范围，求得原不等式 的解集．
第二十八页，共38页。
变式探究 (tànjiū)
5．(2012·青岛市模拟)若对任意(rènyì)a∈[－1,1]，不等式x2 ＋(a－3)x－3a>0恒成立，则x的取值范围是( )
第二十七页，共38页。
解析：将f(x)<－m＋5变为m(x2－x＋1)－6<0，则命题(mìng tí)等 价于m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＞0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增， ∴只要g(2)＝m(x2－x＋1)－6<0， 即x2－x－2<0，解得－1<x<2.
第十六页，共38页。
(2) 由 2sin2πx － 5sin πx ＋ 2>0 得 (sin πx － 2)sin πx－12>0，
∵sin πx－2<0，∴sin πx－12<0，即 sin πx<12.又－ 1≤x<13，∴－π≤πx<π3.∴由 sin πx<12得－π≤πx<π6，解 得－1≤x<16，即原不等式的解集为－1，16.
《一元二次不等式及其解法》示范公开课教学PPT课件pptx
定义：含有一个未知数且未知数最高次数为2次的不等式叫做一元二次不等式。
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
添加标题
题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
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题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤
一元二次不等式课件
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
一元二次不等式的解法与技巧
(1)解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，当a＞0时，若相应一
元二次方程的判别式Δ＞0，则求两根或分解因式，根据“大于在两边，
小于夹中间”写出解；若Δ＝0或Δ＜0，这是特殊情形，利用相应一元二
次函数的图象写出不等式的解．
工具
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
【变式训练】 1.解下列不等式： (1)9x2－6x＋1≥0； (2)－x2＋2x－＞0. (3)12x2－ax＞a2(a∈R)． 解析： (1)9x2－6x＋1≥0⇔(3x－1)2≥0， ∵对任意的实数x不等式恒成立．
∴不等式的解集为R.
工具
第六章
不等式 推理与证明
第2课时
一元二次不等式
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
1．一元二次不等式的有关概念
(1)定义：形如ax2 ＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的不等式(其
中a≠0)，叫做一元二次不等式． (2)一元二次不等式的解：使某个一元二次不等式成立的x的值． (3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的所有解组成的集 合．
栏目导引
(2)两边都乘以－3 得 3x2－6x＋2＜0， ∵3＞0 且方程 3x2－6x＋2＝0 的解是 3 3 x1＝1－ 3 ，x2＝1＋ 3 .
3 3 x1－ ＜x＜1＋ . ∴原不等式的解集是 3 3
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
(3)由 12x2－ax－a2＞0⇔(4x＋a)(3x－a)＞0
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
一元二次不等式的解法与技巧
(1)解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，当a＞0时，若相应一
元二次方程的判别式Δ＞0，则求两根或分解因式，根据“大于在两边，
小于夹中间”写出解；若Δ＝0或Δ＜0，这是特殊情形，利用相应一元二
次函数的图象写出不等式的解．
工具
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
【变式训练】 1.解下列不等式： (1)9x2－6x＋1≥0； (2)－x2＋2x－＞0. (3)12x2－ax＞a2(a∈R)． 解析： (1)9x2－6x＋1≥0⇔(3x－1)2≥0， ∵对任意的实数x不等式恒成立．
∴不等式的解集为R.
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第六章
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第2课时
一元二次不等式
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不等式 推理与证明
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1．一元二次不等式的有关概念
(1)定义：形如ax2 ＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的不等式(其
中a≠0)，叫做一元二次不等式． (2)一元二次不等式的解：使某个一元二次不等式成立的x的值． (3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的所有解组成的集 合．
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(2)两边都乘以－3 得 3x2－6x＋2＜0， ∵3＞0 且方程 3x2－6x＋2＝0 的解是 3 3 x1＝1－ 3 ，x2＝1＋ 3 .
3 3 x1－ ＜x＜1＋ . ∴原不等式的解集是 3 3
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(3)由 12x2－ax－a2＞0⇔(4x＋a)(3x－a)＞0
《一元二次不等式》ppt课件
（2）对于a<0的一元二次不等式可转化为
a>0的情形求解.
（3）一元二次不等式的解法是今后学习其他
不等式的基础，要求大家熟练掌握解法，准
确运算结果.
的解集
0) x / x
x1或x
x2
x / x
b 2a
ax2 bx c 0(a 0)
的解集
x / x1 x x2
y
0
x
无实根
xR
二、重难点讲解
这张表是我们今后求解一元二次不等式的主
要工具，必须熟练掌握，其关键是抓住相应的二
次函数的图像。
1 2，
y
所以,原不等式的解集是
x
|
x
1
2
观察4x2－4x＋1 <0的解
o●
x
无解
三、例题讲解 例3 解不等式 －x2 ＋2x－3 > 0
解:∵ －x2 ＋2x－3 > 0 ∴x2 -2x+3 < 0
又∵△=-8<0， ∴原不等式无解.
三、例题讲解 例4 解不等式： -3x2+6xbx c(a 0)
图像
y
0
x1
x2 x
y 0 x1 = x2 x
一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
x1 b
b2 4ac 2a
的根
x2 b
b2 4ac 2a
有两个相等实根
x1
x2
b 2a
ax2
bx c 0(a
高考数学 第六章 第二节 一元二次不等式及其解法课件 文
第三页，共14页。
(2)由 x2－4ax－5a2＞0 知(x－5a)(x＋a)＞0.
由于 a≠0 故分 a＞0 与 a＜0 讨论．
当 a＜0 时，x＜5a 或 x＞－a；
当 a＞0 时，x＜－a 或 x＞5a.
综上，a＜0
时，解集为x|x＜
5a，或x＞－a；a＞0
时，解
集为x|x＞5a，或x＜－a.
当 a＝1 时，解集为∅；
当 0＜a＜1 时，解为 1＜x＜1a.
综上，当 0＜a＜1 时，不等式的解集为x1＜x＜1a
；
当 a＝1 时，不等式的解集为∅；
当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1
.
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[例 2] 解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的 对称轴为 x＝a. ①当 a∈(－∞，－1) 时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min ＝f(－1)＝2a＋3. 要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得－3≤a ＜－1； ②当 a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由 2－a2≥a， 解得－1 ≤a≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．
第十二页，共14页。
高分障障碍要破除 [针对训练 1] 选 C ∵x2＋ax＋1≥0，在 x∈0，12时恒 成立， ∴a≥－x－1x. 又－x－1x＝－x＋1x≤－52， ∴a≥－52，即 amin＝－52.
第十三页，共14页。
[针对训练 2] 选 C 函数图象恒在 x 轴上方，即不等式 (a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0 对于一切 x∈R 恒成立． ①当 a2＋4a－5＝0 时，有 a＝－5 或 a＝1.若 a＝－5，不等式 化为 24x＋3>0，不满足题意；若 a＝1，不等式化为 3>0，满 足题意． ②当 a2＋4a－5≠0 时，应有 a2＋4a－5>0， 16a－12－12a2＋4a－5<0. 解得 1<a<19. 综上可知，a 的取值范围是 1≤a<19.
(2)由 x2－4ax－5a2＞0 知(x－5a)(x＋a)＞0.
由于 a≠0 故分 a＞0 与 a＜0 讨论．
当 a＜0 时，x＜5a 或 x＞－a；
当 a＞0 时，x＜－a 或 x＞5a.
综上，a＜0
时，解集为x|x＜
5a，或x＞－a；a＞0
时，解
集为x|x＞5a，或x＜－a.
当 a＝1 时，解集为∅；
当 0＜a＜1 时，解为 1＜x＜1a.
综上，当 0＜a＜1 时，不等式的解集为x1＜x＜1a
；
当 a＝1 时，不等式的解集为∅；
当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1
.
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[例 2] 解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的 对称轴为 x＝a. ①当 a∈(－∞，－1) 时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min ＝f(－1)＝2a＋3. 要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得－3≤a ＜－1； ②当 a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由 2－a2≥a， 解得－1 ≤a≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．
第十二页，共14页。
高分障障碍要破除 [针对训练 1] 选 C ∵x2＋ax＋1≥0，在 x∈0，12时恒 成立， ∴a≥－x－1x. 又－x－1x＝－x＋1x≤－52， ∴a≥－52，即 amin＝－52.
第十三页，共14页。
[针对训练 2] 选 C 函数图象恒在 x 轴上方，即不等式 (a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0 对于一切 x∈R 恒成立． ①当 a2＋4a－5＝0 时，有 a＝－5 或 a＝1.若 a＝－5，不等式 化为 24x＋3>0，不满足题意；若 a＝1，不等式化为 3>0，满 足题意． ②当 a2＋4a－5≠0 时，应有 a2＋4a－5>0， 16a－12－12a2＋4a－5<0. 解得 1<a<19. 综上可知，a 的取值范围是 1≤a<19.
【备战】高中数学 第34讲 一元二次不等式及其解法配套课件 理 新人教B版
四、分式不等式与一元二次不等式的关系 x－a (x－a)(x－b)>0 ， >0 等价于______________ x－b x－a <0 等价于(x－a)(x－b)<0， x－b （x－a）（x－b）≥0， x－a x－b≠0 ≥0 等价于 _____________________ ， x－b （x－a）（x－b）≤0， x－a ≤0 等价于 x－b x－b≠0.
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第34讲
一元二次不等式及其解法
双 [解析] (1)由题意得方程 ax2＋3x＋c＝0 的两根为 x1＝1， 向 固 x2＝2，由根与系数的关系可得 a＝－1，c＝－2. 基 a<0， 1 础 (2)由题意得 ⇒a≤－ .
Δ＝1＋4a≤0
4
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第34讲
一元二次不等式及其解法
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第34讲
一元二次不等式及其解法
双 向 固 基 础
—— 疑 难 辨 析 ——
1. 求解不等式 ax>b (1)a>0
b －∞， .( a b 时 ， 解 集 为 a，＋∞ ； a<0
时，解集为
) )
(2)a＝0 时，不等式的解集为∅.(
[答案] (1)√
(2)×
(2)×
(3)×
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第34讲
一元二次不等式及其解法
双 [解析] (1)不等式 ax2＋bx＋c≤0 未必是一元二次不等式， 向 固 在 a＝0，b＝0，c≤0 时，ax2＋bx＋c≤0 也在 R 上恒成立． 基 (2)函数 f(x)在其定义域 D 上未必有最小值，如果有最小 础
值， 则上述结论成立； 如果没有最小值， 函数 f(x)的值域为(m， n)，则 M≤f(x)的充要条件是 M≤m. (3)函数 f(x)在其定义域 D 上未必有最大值，如果有最大 值， 则上述结论成立； 如果没有最大值， 函数 f(x)的值域为(m， n)， 则 N>f(x)的充要条件是 N≥n(注意(2)(3)两个问题的区别)．
【完整】高中数学 一元二次不等式的概念及解集 新人教A版必修资料PPT
接
栏目链接
3．2 一元二次不等式及其解法 3．2 一元二次不等式及其解法
x＋1 3．2 一元二次不等式及其解法 (2)方法一 移项得 －2≤0， 栏目链接 x－2 高中数学 一元二次不等式的概念及解集课件 新人教A版必修
左边通分并化简有－x－x＋25≤0，即xx－－52≥0，
它的同解不等式为（x－x－2≠2）0，（x－5）≥0，
∴x＜2或x≥5，
∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．
方法二 原不等式可化为xx－－52≥0，
此不等式等价于xx－－52≥＞00，，①
栏 目 链 接
或xx－－52≤＜00，，②
解①得x≥5，解②得x＜2，
∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．
m≠0时，它含有两个元x，y；⑤不是，因为当a＝0时，它不符合一
元二次不等式的定义．
点评：紧扣一元二次不等式概念解题．符合不等式定义的就
是，不符合的就不是，特别注意二次项系数不等于0.
1．下面所给关于x的四个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1 ＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有
栏
目
∵Δ＝52－4×3×(－2)＝49＞0，
链 接
∴方程 3x2＋5x－2＝0 有两个不等实根 x1＝－2，x2＝13，由函数
y＝3x2＋5x－2 的图象，得原不等式的解集为
xx＜－2或x＞13. (2)原不等式整理得 x2－4x＋5＞0，
∵Δ＝42－4×1×5＝－4＜0，
∴由函数y＝x2－4x＋5的图象，得原不等式的解集为R.
()
栏
目
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
链 接
解析：①是一元一次不等式；③中当a＝0时是一元一次不等