圆锥曲线(椭圆)推论及证明

圆锥曲线（椭圆）推论及证明

引言

圆锥曲线作为一类特殊图形由于它的灵活性而成为热门考题。而在江苏的试题中它往往与函数相伴而行成为解析几何的题型。这些题目的形式大多是两问或三问，前面的问题以特殊情况来求出一种结论，最后一问将这个结论推广到给定条件下的任意情况，而这类题目中曲线又多是椭圆。这次我们就来总结椭圆的一些特性。 1

我们都学过在圆上过圆心的直线AB 交圆的两点A 、B 及圆上另一与A 、B 不重合的点C 形成的三角形为直角三角形，其中∠ACB=90°（图1）。 放在坐标系中则得 BC AC k k ⋅=-1。

那么是否在椭圆中过椭圆中心的直线AB 与椭圆交于A 、B 两点（图2）， 其中 BC AC k k ⋅为定值？

由投影变换（图3）我们可以预测这种关系。 下面我们来证明其正确性： 证：

设A （x,y ）,B （-x,-y ）,C （m,n ） BC AC k k ⋅

2

22222

22222

22222

22222

2

22)

()(b a x m b m a b x a x m b x a a b m a a x m y n x m y

n x m y n -=--=

----=

--=++⋅

--=

证毕

小结：

这个结论需要牢记，因为在很多问题中我们会用到这个结论 例如右图所示，图中AC 与AB 斜率积为定值，CD 与AB 斜率

积也为定值，那么AC 与CD 斜率的商就可以求出是定值 2

而若AB 是椭圆22

221x y a b

+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB

的中点，则2

2OM AB b k k a ⋅=-，即0

202y a x b K AB -=。

证：

设A ()11,y x ，B ()22,y x ，则M 为⎪⎭

⎫

⎝⎛++2,22121y y x x

设AB 为n kn y +=，椭圆方程为122

22=+b

y a x

两式联立得012122

22222=-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b n x b kn x b k a

根据韦达定理得

22222222222222211222k a b kn a b a k a b b kn

b k a b kn x x +-=+-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-

=+

所以

()2

222222222121222k a b n b k a b n k a n x x k n y y +=+-=++=+ k a b x x y y k OM

22212

12

2-=++=

22

22a

b k k a b k k AB

OM -=⋅-=⋅

证毕 小结：

这个问题曾在题目中出现过，主要就是抓住直线与椭圆的方程联立，运用韦达定理求出21x x +并通过完全平方公式的互化求解

B

C

3

椭圆上点P 处的切线PT 平分21PF F ∠在点P

证：

设椭圆122

22=+b

y a x ,F 1(-c,0),F 2(c,0),P ()00,y x ，

PF 1斜率为1k ，PT 斜率为2k ，PF 2斜率为3k 由题即证PT 平分PF 1、PF 2 即证

3

223211

211k k k k k k k k +-=+-

PT 为

12020=+b

y

y a x x ()()

()(

)

(

)

(

)()

(

)

(

)

c

y b

a cx c y cx a

b a cx

c y cx b b a a cx c y cx b y a x b a cx c y y a x c x b x c a c a x c x c y y a x b x c a b x c a a x x c y y a x b y a x b x c y x c y y a x b k k k

k c

x y k x c y k y a x b y b a x k 02

20002

2

2

000222200022

020220020200202202000202022022000020202

020********

11200

300102020220211,,-

=+--=

+--=

+-+-=+-+-=+++--=

+-++--=⋅+-+--=+-∴-=

+=-=⋅-=∴

同理：

()(

)

c

y b

cx a c y a cx b k k k k 02

0202

02

32131-

=--=+-

3

22

3211

23223211

211111k k k k k k k k k k k k k k k k +-=+-∴

=+-+-∴

证毕