内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心

1、内心

（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

（2）三角形的内心的性质

①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心

②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

③s=(r是内切圆半径)

④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/2

2、外心

（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

（2）三角形的外心的性质

①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合

④OA=OB=OC=R

⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA

⑥S△ABC=abc/4R

3、重心

（1）三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。（2）三角形的重心的性质

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、垂心

（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

（2）三角形的垂心的性质

①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外

②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心

③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上

④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF

⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

⑥△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

⑦在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC

⑧三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

⑨设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

⑩锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半

径之和的2倍。

11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。