内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心1、内心(1)定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

(2)三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s= (r是内切圆半径)2④在Rt△ ABC中，/ C=90 , r=(a+b-c)/2 .⑤/BOC = 90 +Z A/2 / BOA = 90+/C/2 / AOC = 90+/B/22、外心(1)定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。

(2)三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤/ B0C=2 BAC / AOB=Z ACB / C0A=2 CBA⑥S A ABC二abc/4R 3、重心(1)三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

(2)三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

②重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。

③重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) ；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：( Z1+Z2+Z3) /3 ⑤重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、垂心(1)定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

(2)三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心0关于三边的对称点，均在△ ABC的外接圆上④厶ABC中,有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形，且AO- OD=BOOE=COOF⑤H A B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组）。

三角形的内心,外心,重心,垂心,旁心及性质分别是指什么？

三角形的内心，外心，重心，垂心，旁心及性质分别是指什么？1.垂心：〈1〉定义：是三角形三条高的交点。

〈2〉性质：[性质1]锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

[性质2]三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

[性质3]垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

[性质4]△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，。

[性质5]O、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为--垂心组)。

[性质6]△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

[性质7]三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

[性质8]设O、H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA.[性质9]锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍，即AH+BH+CH=2（r+R）。

[性质10]锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

[性质11]设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA,AB.上的射影，H1,H2，H3分别为△AEF,△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.[性质12]三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

2.内心〈1〉定义：是三角形三条内角平分线的交点即内接圆的圆心。

交于点O，点O即为△ABC的内心。

〈2〉性质：[性质1]三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r. [性质2]∠BOC=90°+∠BAC/2。

[性质3]在Rt△ABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BDxCD3.重心：〈1〉重心的定义：重心是三角形三条中线的交点。

三角形“四心”定义与性质

三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC的重心一般用字母O表示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OA OB OC。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD BC,OE AC,OF AB.3. A 1BOC,B1AOC,C1AOB。

2 2 2二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝1三角形的周长内切圆的半径．23. AEAF,BF BD,CD CE；AE BF CD三角形的周长的一半。

4. BIC1A,CIA1B，AIB1C。

90 90 902 2 2三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC的重心一般用字母H表示。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC,BHAC,CH AB。

2.△ABH的垂心为C，△BHC的垂心为A，△ACH的垂心为B。

四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC 的重心一般用字母G 表示。

性质：1. 顶点与重心G 的连线必平分对边。

2. 重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GA2GD,GB2GE,GC2GF3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即x G x A x B xC,y Gy A y B yC .334.向量性质：（1）GAGB GC0 ；（2）PG 1(PAPB PC)，31S5.S BGC SCGASAGBABC 。

3五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为 ABC 所在的平面内一点，满足OAOB OBOC OCOA ，则点O 为 ABC 的垂心。

内心外心重心垂心中心

内心外心重心垂心中心1、重心：三角形的三条中线交点。

2、外心：三角形的三边的垂直平分线交点。

3、垂心：三角形的三条高交于一点。

4、内心：三角形的三内角平分线交于一点。

5、中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。

三角形的五心特点：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。

2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

5、旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

旁心到三角形三边的距离相等。

三角形有三个旁切圆，三个旁心。

旁心一定在三角形外。

直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。

扩展资料:任何三角形都有五心，分别是重心、垂心、外心、内心、旁心。

重心：三角形三边中线的交点，为三角形的重心；在三角形的内部；重心定理：重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。

垂心：三角形三边高线的交点，为三角形的垂心；锐角三角形垂心在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部。

外心：三角形三边垂直平分线的交点，为三角形的外心；锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部；此点为△外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，这个距离叫外接圆半径R.内心：三角形三内角平分线的交点，为三角形的内心；在三角形的内部，此点为三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等，此距离为内切圆半径r.参考资料：。

三角形四心”定义与性质

三角形四心”定义与性质
一、什么是三角形四心
三角形四心是指三角形的一类特殊的内部点，可以用来证明三角形形状的一些特性。

三角形四心包括内心（Incenter）、外心（Circumcenter）、垂心（Orthocenter）和重心（Centroid）。

二、各心的定义
1、内心（Incenter）
是指经过三条边的交点，是三条边的中线的交点。

内心一定在三角形内，而且和三角形各边中点垂直。

3、垂心（Orthocenter）
是三面垂直（三角形的外角均为90度）时才存在的第四心，它是三个顶点的垂线的交点，也是高的垂线的交点。

垂心的位置可能在三角形内，也可能在三角形外。

三、各心的性质
1、内心的性质
（1）设a，b，c为三角形的边长，I为三角形的内心，则三角形的内接圆半径为：rI＝a×b×c/4S，其中S是三角形的面积。

（2）如果满足外角和的三倍等于内角和，则三角形的内心就与重心等同。

（3）如果三角形的三边呈等腰三角形（即有一条边等于另外两条边的1/2），则三角形的内心会在一条内角垂线上，且离该条边的长度等于另外两条边的1/3。

2、外心的性质
（1）如果三角形满足外角和的三倍等于内角和，则它的外心与重心也会相等。

（2）外心到三角形三边的距离相等，等于三角形外接圆半径，该半径可以用以下公式计算：rO＝a×b×c/4R，其中R是三角形外接圆的半径。

三角形的四心定义及其性质总结

三角形的四心定义及其性质总结
三角形是几何图形中最常见的形状，许多几何中的问题都与它有关。

三角形的形态也极其复杂，可以根据它的内部特征和外部特征来分类。

其中，四心定义及其性质决定了三角形的结构特征，在几何图形学中非常重要，下面就四心定义及其性质进行总结。

四心定义是指重心、内心、外心和垂心四种中心，它们对三角形的特征有着重要的影响，如重心是三角形内任何两点连线的重点，内心是三角形内角平分线交点；外心是三角形外接圆的圆心；垂心是三角形内角垂线的交点。

四心定义的性质也极其复杂，其中最重要的性质有：
1、重心的性质：重心是三角形内任何两点连线的重点，同时也
是三角形三条边的重点，所有三角形的重心都在三角形内部，而且重心到三角形内角的距离都相等，构成了三角形的等腰三角形。

2、内心的性质：内心是三角形内角平分线的交点，由内心和三
角形的三个顶点构成的三条线段相等，所以又称之为等边三角形；内心到三角形三个顶点的距离都相等，也构成了三角形的等腰三角形。

3、外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，同时也是三角形
三条外边中点的重点，所有三角形的外心都在三角形外部。

4、垂心的性质：垂心是三角形内角垂线的交点， three medians of a triangle are concurrent at the orthocenter，以又称之为
正切点，垂心到三角形三个顶点的距离都不相等。

总之，四心定义及其性质是了解三角形结构特征不可或缺的知识，
在几何图形学中发挥着重要作用。

例如它可以帮助我们判断一个三角形是等腰三角形还是等边三角形，也可以用来求取一个三角形的边长、面积等其他参数。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心1、内心（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

（2）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s=错误！未找到引用源。

(r是内切圆半径)④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90错误！未找到引用源。

+∠C/2 ∠AOC = 90错误！未找到引用源。

+∠B/22、外心（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

（2）三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑥S△ABC=abc/4R3、重心（1）三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

（2）三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、垂心（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结[借鉴]

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结[借鉴]内心、外心、重心、垂心是几何学中与三角形相关的四个重要概念。

以下是它们的定义及性质总结：1.内心（Incenter）定义：内心是三角形内切圆的圆心。

性质：o内心到三角形三个顶点的距离相等。

o内心与三角形各边之间的距离等于三角形半周长与内切圆半径之差的一半。

o在内心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的负值。

2.外心（Excenter）定义：外心是三角形外接圆的圆心。

性质：o外心到三角形三个顶点的距离相等。

o外心与三角形各顶点连线所成的角等于三角形内角和的一半。

o在外心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的值。

3.重心（Centroid）定义：重心是三角形三条中线的交点。

性质：o重心到三角形三个顶点的距离与到三条中线的距离相等。

o重心与三角形各边之间的距离等于三角形半周长与外接圆半径之差的一半。

o在重心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的值。

4.垂心（Hypotenuse）定义：垂心是三角形各边上的高线的交点。

性质：o垂心到三角形三个顶点的距离与到三条高的距离相等。

o垂心与三角形各顶点连线所成的角等于三角形内角和的一半。

o在垂心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的负值。

总结：内心、外心、重心和垂心在几何学中具有特殊的性质和重要性。

这些概念之间的关系可以用于证明定理和解决问题。

对于内心和外心，它们分别与三角形的内切圆和外接圆相关，而重心和垂心则分别与三角形的中线和高的交点相关。

这些概念及其性质在几何学中具有广泛的应用，例如在解决几何问题、绘制图形和证明定理等方面都有重要的应用价值。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心定义及性质总
结
内心、外心、重心、垂心，听起来是不是有点抽象？其实它们就像是几颗星星，各自闪烁却又紧密相连。

首先，内心指的是一个三角形内部的重心，能够很好地代表这个三角形的“平均位置”。

想象一下，就像在一块蛋糕的中心，哪里最甜，在哪里就是内心。

再说外心，顾名思义，它就是三角形外部的一个点，能与三角形的三个顶点连成等边三角形，真是个神奇的概念。

外心的存在就像一位默默无闻的英雄，虽然不在三角形的内部，但却和三角形息息相关。

它总是与角度相关，能够让我们更好地理解三角形的对称性。

接着我们来聊聊重心。

重心是三角形的一个重要概念，大家知道吗？重心就像那颗能量源泉，位于三角形三个顶点连线的交点。

这个位置就是三角形的“心脏”，它的特性在于重心的存在让三角形在任何方向上的稳定性都达到了极致。

换句话说，重心让三角形不管怎样摆放都能保持平衡，简直是个天生的调和者。

最后，我们来看看垂心。

垂心是个有趣的角色，它是三角形各边延长线与对顶角的交点。

想象一下，如果三角形是个舞台，垂心就是那颗最闪亮的
明星。

它的作用在于能够通过高度来实现与三角形的某种关系，真的是个不可或缺的元素。

每当我们把这四个概念结合在一起，便能更深入地了解三角形的奥秘。

总结起来，内心、外心、重心、垂心，这四个概念就像一场精彩的表演，彼此辉映。

它们不仅仅是几何中的抽象符号，更是我们理解空间和形状的钥匙。

无论是学习数学，还是在日常生活中，掌握这些概念都能让我们更加从容自信。

就像一首动听的旋律，每一个音符都不可或缺，让我们一起在这片数学的天地中畅游吧！。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心1、内心（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

（2）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s=(r是内切圆半径)④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/22、外心（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

（2）三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑥S△ABC=abc/4R3、重心（1）三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

（2）三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、垂心（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

（2）三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心1、内心（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

（2）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s=(r是内切圆半径)④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/22、外心（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

（2）三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑥S△ABC=abc/4R3、重心（1）三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

（2）三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、垂心（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

（2）三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

三角形外心内心重心垂心与向量性质

三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心;当三角形是正三角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中心;一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心,即外接圆圆心;ABC ∆的重心一般用字母O 表示;性质：1.外心到三顶点等距,即OC OB OA ==;2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(,则点O 为ABC ∆的外心;二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心;ABC ∆的内心一般用字母I 表示,它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角;2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ,则向量||||(AC AB AP =λ,则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心;三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心;ABC ∆的重心一般用字母H 表示;性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边,即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,;2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 为ABC ∆的垂心;结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点,满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+, 则点O 为ABC ∆的垂心; 四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心;ABC ∆的重心一般用字母G 表示;性质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边;2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍;即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：10=++GC GB GA ； 2)(31PC PB PA PG ++=;。

三角形“四心”定义与性质

三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

三角形重心，垂心，外心，内心性质（可编辑）

三角形重心，垂心，外心，内心性质重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心; 垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心; 外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心; 内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心; 中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。

旁心三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。

旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。

如图，点M就是△ABC的一个旁心。

三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。

一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

若设O为△ABC的旁心,用向量表示则有aOA=bOB+cOC 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

三角形“五心歌”三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清. 内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆．“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系――横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形三心定义及性质

三角形三心定义及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心这五心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

重心的性质：1、战略重点至顶点的距离与战略重点至对边中点的距离之比是2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、战略重点至三角形3个顶点距离的平方和最轻。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(x1+x2+x3)/3，（y1+y2+y3)/3。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若o就是△abc的外心，则∠boc=2∠a（∠a为锐角或直角）或∠boc=°-2∠a （∠a为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、排序外心的座标应先排序以下临时变量：d1，d2，d3分别就是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘坐。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等正三角形的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心o、战略重点g和正三角形h三点共线，且og∶gh=1∶2。

（此直线称作三角形的欧拉线（euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、正三角形分后每条高线的两部分乘积成正比。

内心的性质：1、三角形的三条内角平分线缴于一点。

该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

3、p为δabc所在平面上任一一点，点i就是δabc内心的充要条件就是：向量pi=(a×向量pa+b×向量pb+c×向量pc)/(a+b+c).4、o为三角形的内心，a、b、c分别为三角形的三个顶点，延长ao交bc边于n，则有ao:on=ab:bn=ac:cn=(ab+ac):bc旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结内心、外心、重心、垂心定义及性质总结1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3重心：
（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4垂心：三条高所在直线的交点。

5重心:三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．6垂心:三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，仔细分析可找清.7内心:三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；8外心
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”XXX定义理固然．
三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形xx的圆心。

（2）性质：到xx距离相等。

2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3 重心：
（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4 垂心：三条高所在直线的交点。

5 重心:三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．
6 垂心:三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.
7内心:三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至xx均等距，可作三角形xx，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
8外心:三角形有六元素，三个内角有xx．作xx的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆．“内心”“外心”xx混，“内切”“外接”是关键．
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内心外心重心垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心1、内心（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

（2）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s=(r是内切圆半径)④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/22、外心（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

（2）三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑥S△ABC=abc/4R3、重心（1）三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

（2）三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、垂心（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

（2）三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内⼼、外⼼、重⼼、垂⼼定义及性质总结内⼼、外⼼、重⼼、垂⼼1、内⼼（1）定义：三⾓形的内⼼是三⾓形三条⾓平分线的交点(或内切圆的圆⼼)。

（2）三⾓形的内⼼的性质①三⾓形的三条⾓平分线交于⼀点，该点即为三⾓形的内⼼②三⾓形的内⼼到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s=(r是内切圆半径)④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/22、外⼼（1）定义：三⾓形的外⼼是三⾓形三条垂直平分线的交点(或三⾓形外接圆的圆⼼) 。

（2）三⾓形的外⼼的性质①三⾓形三条边的垂直平分线的交于⼀点，该点即为三⾓形外接圆的圆⼼.②三⾓形的外接圆有且只有⼀个，即对于给定的三⾓形，其外⼼是唯⼀的，但⼀个圆的内接三⾓形却有⽆数个，这些三⾓形的外⼼重合。

③锐⾓三⾓形的外⼼在三⾓形内；钝⾓三⾓形的外⼼在三⾓形外；直⾓三⾓形的外⼼与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑥S△ABC=abc/4R3、重⼼（1）三⾓形的三条边的中线交于⼀点。

该点叫做三⾓形的重⼼。

（2）三⾓形的重⼼的性质①重⼼到顶点的距离与重⼼到对边中点的距离之⽐为2：1。

②重⼼和三⾓形3个顶点组成的3个三⾓形⾯积相等。

③重⼼到三⾓形3个顶点距离的平⽅和最⼩。

④在平⾯直⾓坐标系中，重⼼的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直⾓坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3⑤重⼼和三⾓形3个顶点的连线的任意⼀条连线将三⾓形⾯积平分。

⑥重⼼是三⾓形内到三边距离之积最⼤的点。

4、垂⼼（1）定义：三⾓形的垂⼼是三⾓形三边上的⾼的交点(通常⽤H表⽰)。

（2）三⾓形的垂⼼的性质①锐⾓三⾓形的垂⼼在三⾓形内；直⾓三⾓形的垂⼼在直⾓顶点上；钝⾓三⾓形的垂⼼在三⾓形外②三⾓形的垂⼼是它垂⾜三⾓形的内⼼；或者说，三⾓形的内⼼是它旁⼼三⾓形的垂⼼③垂⼼O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

垂心、重心、内心、外心、旁心的定义和性质

垂心、重心、内心、外心、旁心的定义和性质1.定义垂心：三角形三条高的交点重心：三角形三条中线的交点内心：三角形三条内角平分线的交点即内接圆的圆心外心：三角形三条边的垂直平分线的交点即外接圆的圆心旁心：三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点注意：正三角形中重心、垂心、外心、内心重合，这个点叫中心。

2.性质垂心：1、锐角三角形垂心在三角形内部，直角三角形垂心在三角形直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外部。

阒釕纖聶燒韌蘋違攬殮韋莹緄羟緡顱華妈馆奐齑貢帳獪貢鍾琏衅鶼頊剐僨赇紕苈晖覿盧缍艷謅窑詵萨孿辫辂綈絷师唤骊遜紲潆恼襠廈阚莳。

2、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

3、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

4、从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

（西姆松线）闫蚀鲽漸诌纾罚鎖裊重心：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

4、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

5、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3譙縟諗螄綿虜码肿鮒沟闊闸蟬討餘鈽覓緬内心：1、到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。

2、内心都在三角形的内部。

3、设三角形的三个顶点坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)，其对边长分别为a,b,c，则内心坐标I((ax_1+bx_2+cx_3)/(a+b+c),(ay_1+by_2+cy_3)/(a+b+c))队硗矯螢桩砚来锟濃职颃涣夾脛錟锷诗贲挚颧饴顴湾鹦巯緡馈魴摜外心：1、到三角形三顶点的距离相等，都等于外接圆半径R。