分治算法的两种思路和形式_王海源
分治算法
一，分治算法在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。
字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。
例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。
n=2时，只要作一次比较即可排好序。
n=3时只要作3次比较即可，…。
而当n 较大时，问题就不那么容易处理了。
要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
分治算法
问题S1 问题
问题S 问题 2
……
问题S 问题 i 子问题求 解
……
问题Sn 问题
Sபைடு நூலகம்的解
S2的解
……
Si的解
……
Sn的解
子集解的合并
问题S S的解 的解 问题
分治思想
由分治法所得到的子问题与原问题具有相同的类型。 由分治法所得到的子问题与原问题具有相同的类型。如 果得到的子问题相对来说还太大， 果得到的子问题相对来说还太大，则可反复使用分治策 略将这些子问题分成更小的同类型子问题， 略将这些子问题分成更小的同类型子问题，直至产生出 不用进一步细分就可求解的子问题。 不用进一步细分就可求解的子问题。 分治求解可用一个递归过程来表示。 分治求解可用一个递归过程来表示。 要使分治算法效率高，关键在于如何分割？一般地， 要使分治算法效率高，关键在于如何分割？一般地，出 于一种平衡原则，总是把大问题分成K个规模尽可能相 于一种平衡原则，总是把大问题分成 个规模尽可能相 等的子问题，但也有例外， 等的子问题，但也有例外，如求表的最大最小元问题的 算法， 的子表L1和 算法，当n＝6时，等分定量成两个规模为 的子表 和 ＝ 时 等分定量成两个规模为3的子表 L2不是最佳分割。 不是最佳分割。 不是最佳分割
分治过程
比较过程
分析
从图例可以看出，当有 个金块的时候 方法1需 个金块的时候， 从图例可以看出，当有8个金块的时候，方法 需 要比较15~16次，方法 只需要比较 次,那么形成 只需要比较10次 那么形成 要比较 次 方法2只需要比较 比较次数差异的根本原因在哪里? 比较次数差异的根本原因在哪里 其原因在于方法2对金块实行了分组比较 对金块实行了分组比较。 其原因在于方法 对金块实行了分组比较。 对于N枚金块 我们可以推出比较次数的公式： 枚金块， 对于 枚金块，我们可以推出比较次数的公式： 假设n是 的次幂 的次幂， 为所需要的比较次数。 假设 是2的次幂，c(n)为所需要的比较次数。 为所需要的比较次数 方法1： 方法 ： c(n)=2n-1 方法2： 方法 ：c(n) = 2c(n/2 ) + 2。 。 使用迭代方法可知c(n) = 3n/2 - 2。在本 由c(2)=1, 使用迭代方法可知 。 例中，使用方法2比方法 少用了2 ％的比较次数。 比方法1少用了 例中，使用方法 比方法 少用了 5％的比较次数。
分治算法的技巧
分治算法的技巧分治算法是一种常用的问题求解方法，它将复杂的问题分解成多个相同或相似的子问题，然后分别求解这些子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。
在实际应用中，分治算法有一些常用的技巧可以优化解决问题的效率。
一、合并排序合并排序是分治算法的典型应用之一，它的核心思想是将待排序的数组分成两个大致相等的子数组，分别对这两个子数组进行排序，然后再将排序后的子数组合并成一个有序的数组。
在合并的过程中，有一种非常高效的方法，即“双指针法”。
该方法的基本思想是设置两个指针，分别指向待合并的两个有序数组的起始位置，然后比较两个指针所指的元素大小，将较小的元素放入新数组中，同时对应指针向后移动一位。
重复这个过程，直到其中一个指针越界，然后将另一个有序数组中剩余的元素全部放到新数组的末尾。
这种“双指针法”可以在O(n)的时间复杂度内完成合并排序的操作，因此在实际应用中非常高效。
二、快速排序快速排序是另一个典型的分治算法应用，它的基本思想是选择一个元素作为基准，将数组中比基准小的元素放在基准的左边，比基准大的元素放在基准的右边，然后对基准的左右两个子数组进行递归排序。
在快速排序的实现过程中，有一种重要的技巧叫做“分区操作”。
该操作的基本思想是通过一个游标将数组划分为两个区域，左侧的区域元素都小于等于基准，右侧的区域元素都大于等于基准。
具体实现时，可以选择数组中的第一个元素作为基准，然后设置两个指针，一个指向数组的起始位置，一个指向数组的末尾位置。
然后不断移动指针，直到左右指针相遇，将当前的元素与基准进行比较，如果小于基准，则将该元素与左侧区域的下一个位置进行交换，同时左指针向后移动一位；如果大于基准，则将该元素与右侧区域的前一个位置进行交换，同时右指针向前移动一位。
重复这个过程，直到左右指针相遇，将基准元素与指针所指的元素进行交换，这样基准就找到了最终的位置。
分区操作是快速排序算法的核心，通过合理的设计和实现可以提高算法的效率。
分治算法知识点总结
分治算法知识点总结一、基本概念分治算法是一种递归的算法，其基本思想就是将原问题分解成多个相互独立的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。
分治算法的核心思想可以用一句话概括：分而治之，分即是将原问题分解成若干个规模较小的子问题，治即是解决这些子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治算法通常包括三个步骤：（1）分解：将原问题分解成若干个规模较小的子问题；（2）解决：递归地解决这些子问题；（3）合并：将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治算法的典型特征包括递归和合并。
递归指的是将原问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题；合并指的是将子问题的解合并得到原问题的解。
通常来说，分治算法的递归实现方式很容易编写，但有时可能会面临大量的重复计算，因此需要合并操作来避免这种情况。
二、原理分治算法的原理可以通过一个简单的例子来说明。
我们以计算数组中的最大值为例，具体的步骤如下：（1）分解：将数组分解成两个规模相等的子数组；（2）解决：递归地在这两个子数组中分别找到最大值；（3）合并：比较这两个子数组的最大值，得到原数组的最大值。
从这个例子可以看出，分治算法将原问题分解成两个子问题：分别在左边子数组和右边子数组中找到最大值，然后将这两个子问题的解合并起来得到原数组的最大值。
这种将问题分解成若干个规模较小的子问题，然后合并子问题的解得到原问题的解的方法正是分治算法的核心原理。
分治算法的优势在于它可以将原问题分解成多个规模较小的子问题，然后并行地解决这些子问题，最后合并子问题的解得到原问题的解。
这种并行的设计思路使得分治算法非常适合于并行计算，能够有效地提高计算效率。
三、应用分治算法在计算机科学领域有着广泛的应用，包括排序、搜索、图论、动态规划等多个方面。
下面我们将以排序算法和搜索算法为例，来介绍分治算法在实际应用中的具体情况。
1. 排序算法排序算法是计算机科学领域中一个重要的问题，分治算法在排序算法中有着广泛的应用。
分治法
技术教研组
谷方明
问题 I
求方程 x3 – x2 – x = 0 的实根
东北师大附中
x3 – x2 – x = x (x2 – x -1) = 0
原问题 两个子问题（次数降低，相同）
东北师大附中
将一个难以直接解决的大问题，分割 成一些规模较小的相同问题，以便各 个击破，分而治之。这就是分治法的 设计思想。
有N个数存放于数组A中，将其按照从 小到大的顺序重新排列。
东北师大附中
设计分治法的关键是将原问题分成n个 规模较小而结构与原问题相似的子问 题。 原问题应该分割为多少个子问题比较 适宜？大量实践发现：在用分治法设 计算法时，最好是子问题的规模大致 相同。通常可以采取二分法，因为这 么划分既简单又均匀。
东北师大附中
例1 查找
在一个已经排好序的数组中查找某一 个数 key。有则返回这个数在数组中 出现的第一个位置，没有则返回0。
东北师大附中
例2 钢板分割问题
设有一块正方形的钢板，现需将它分成n个 小正方形。例如，当： n=2 不可能有解。 n=3 不可能有解。 n=4 可分成4个小正方形钢板。 n=5 不可能有解。 n=6 即一个大的加五个小的。 n=7 即三个较大的加四个小的。 n=8 即一个大的加七个小的。 问题为任给n，求出分成n个小正方形的方法。
东北师大附中
经过分析就可以得出： （1）按n=4的方法将1个小正方形分成4个， 则增加了3个正方形。 （2）以n=6为基础，由（1）可以得出n=9， 12，15，。 （3）以n=7为基础，由（1）可以得出n=10， 13，16，。 （4）以n=8为基础，由（1）可以得出n=11， 14，17，。 由此可以得出如下的递归算法：
9算法策略之分治法
9算法策略之分治法分治算法1．算法设计思想分治法求解问题的过程是，将整个问题分解成若⼲个⼩问题后分⽽治之。
如果分解得到的⼦问题相对来说还太⼤，则可反复使⽤分治策略将这些⼦问题分成更⼩的同类型⼦问题，直⾄产⽣出⽅便求解的⼦问题，必要时逐步合并这些⼦问题的解，从⽽得到问题的解。
分治法的基本步骤在每⼀层递归上都有三个步骤：1）分解：将原问题分解为若⼲个规模较⼩，相互独⽴，与原问题形式相同的⼦问题；2）解决：若⼦问题规模较⼩⽽容易被解决则直接解，否则再继续分解为更⼩的⼦问题，直到容易解决；3）合并：将已求解的各个⼦问题的解，逐步合并为原问题的解。
有时问题分解后，不必求解所有的⼦问题，也就不必作第三步的操作。
⽐如折半查找，在判别出问题的解在某⼀个⼦问题中后，其它的⼦问题就不必求解了，问题的解就是最后（最⼩）的⼦问题的解。
分治法的这类应⽤，⼜称为“减治法”。
多数问题需要所有⼦问题的解，并由⼦问题的解，使⽤恰当的⽅法合并成为整个问题的解，⽐如合并排序，就是不断将⼦问题中已排好序的解合并成较⼤规模的有序⼦集。
2．适合⽤分治法策略的问题当求解⼀个输⼊规模为n且取值⼜相当⼤的问题时，⽤蛮⼒策略效率⼀般得不到保证。
若问题能满⾜以下⼏个条件，就能⽤分治法来提⾼解决问题的效率。
1）能将这n个数据分解成k个不同⼦集合，且得到k个⼦集合是可以独⽴求解的⼦问题，其中1＜k≤n；2）分解所得到的⼦问题与原问题具有相似的结构，便于利⽤递归或循环机制；在求出这些⼦问题的解之后，就可以推解出原问题的解；两个熟悉的例⼦⼆分检索算法2.1 BinarySearch(T, l, r, x)输⼊：数组T，下标从l 到r；数x输出：j // 如果x 在T 中，j为下标；否则为01. l<-1; r<-n2. while l<= r do3. m<-[(l+r)/2]4. if T[m]=x then return m // x恰好等于中位元素5. else if T[m]>m then r<-m-16. else <-m+17. return 0时间复杂度分析分治算法的⼀般性描述分治法的⼀般的算法设计模式如下：Divide-and-Conquer(int n) /n为问题规模/{ if （n≤n0） /n0 为可解⼦问题的规模/{ 解⼦问题；return(⼦问题的解)；}for （i=1 ;i<=k;i++） /分解为较⼩⼦问题p1,p2,……pk/yi=Divide-and-Conquer(|Pi|); /递归解决Pi/T =MERGE(y1,y2,...,yk); /合并⼦问题/return(T); }其中|P|表⽰问题P的规模；n0为⼀阈值，表⽰当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。
【分治算法】木材加工,解读
【分治算法】木材加工，解读
【实用版】
目录
1.分治算法简介
2.木材加工问题的提出
3.分治算法在木材加工问题中的应用
4.结论
正文
【分治算法】
分治算法是一种将复杂问题分解为多个简单问题来求解的算法思想。
这种算法通过将大问题拆分成多个小问题，然后逐个解决这些小问题，最后将这些小问题的解合并，从而得到原大问题的解。
分治算法广泛应用于各种领域的问题中，例如木材加工问题。
【木材加工问题的提出】
在木材加工业中，有一个经典问题：如何将一根圆木加工成若干段长度相等的木条，同时要求加工次数最少？这个问题可以通过分治算法来解决。
【分治算法在木材加工问题中的应用】
假设圆木的长度为 L，我们需要将其加工成 n 段长度相等的木条。
我们可以将这个问题分解为两个子问题：将圆木加工成 n/2 段长度相等的木条，以及将圆木加工成 n/2+1 段长度相等的木条。
然后，我们再将这两个子问题继续分解，直到子问题的规模足够小，可以用简单的方法求解。
当子问题的规模足够小时，我们可以直接计算出每段木条的长度。
然后，通过将这些长度依次排列，我们可以得到原问题的解。
对于较大的子
问题，我们可以通过递归的方式调用分治算法来求解。
最后，将各个子问题的解合并，即可得到原问题的解。
【结论】
分治算法在木材加工问题中的应用，展示了分治算法在解决实际问题中的强大功能。
分治算法
由此得出算法：
输入方程中各项的系数a，b，c，d ；
for x←-100 to 100 do
//枚举每一个可能的根
begin
x1←x；x2←x+1；
//确定根的可能区间
if f(x1)=0 then write(x1:0:2，’ ’)
【例2】用递归算法实现二分查找即：有10个已经从小到大排序好的数据，输入 一个数X，用二分查找算法，判断它是否在这10个数中。
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
18 low=1
20
3
15
19 Mid=5
12
46
55
19 high=10
18
20
3
15
19
12 Low=6
46
55 Mid=8
16
19 high=10
Int low,high,mid; Low=1; High=n; While(low<=high) {
Mid=(low+high)/2; If(k==r[mid])
Return mid; Else
If(k<r[mid]) High=mid-1;
Else low=mid+1;
} }
【例3】一元三次方程求解
有形如：ax3+bx2+cx+d＝0这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的
系数（a,b,c,d均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在-100至
分治法的递归实现方法
分治法的递归实现方法
分治法是一种采用递归策略的解决问题的算法，它将问题分解成若干子问题，逐个求解，从而达到原问题的解决。
它可以简化复杂的问题，较难的问题可以通过分解，分解成若干更容易的子问题，进而实现解决。
分治法的基本思想是将一个规模较大的问题，逐步分解为一系列规模较小的子问题，直至可以轻松解决的程度，然后再将这些子问题的解写成空间层次结构，最终相互连接，将规模较大的问题进行解决。
例如，若要计算一个向量中所有元素的和，则可以将该向量分成两个数量相等的子向量，依次计算两个子向量的和；然后，将这两个子向量的和相加，就可以得出原始向量的和。
这样，把计算数百个元素和的大问题，变成了计算50个元素和和50个元素和的小问题，再将它们的和相加，就可以解决大问题。
此外，分治法还可以用于求解最优解。
例如，用来寻找最大子数组。
利用分治法，先将数组分为两个子数组，然后将子数组及其公共子数组合并，构成最大子数组。
通过这样的类推，最终就可以求出最大子数组。
分治法采用递归的方法，将复杂的问题不断地分解，直至变得足够简单可以解决为止，它是一种高效、可靠、通用的算法，用途广泛，可以很好地解决许多计算机科学中的各种复杂问题，从而节省时间和精力。
总结分治法的基本思想
总结分治法的基本思想分治法是一种非常重要的算法设计的思想和方法。
它的基本思想是将一个大问题划分成若干个相互独立的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
在该过程中，分治法可递归地将原问题划分成更小规模的子问题，直到问题的规模足够小，可以将其直接解决。
分治法的基本步骤包括：分解、解决和合并。
首先，分解过程将原问题划分成若干个规模较小且相互独立的子问题。
这一步骤通常通过递归的方式实现。
通过递归，可以将原问题不断地分解成规模更小、更为简单的子问题。
分解得到的子问题可以独立地解决，这是分治法的关键之一。
其次，解决过程将规模较小的子问题逐一求解。
对于子问题的求解可以采用相同的分治法策略，即递归地继续分解成更小的子问题，直到问题足够简单被直接求解。
在这一步骤中，每个子问题的解是相互独立的，可以并行地被求解。
这也是分治法的另一个优势，可以提高问题求解的效率。
最后，合并过程将子问题的解合并成原问题的解。
合并操作将独立求解出来的子问题的解融合在一起，得到原始问题的解。
在这一步骤中，分治法通常会利用子问题的解法，将其组合起来得到原问题的解。
这一步骤是分治法求解问题的最后一步，也是最重要的一步。
通过上述三个步骤，分治法能够有效地解决问题。
它的核心思想是通过逐步分解问题，将原问题转化成更小、更为简单的子问题，然后依次求解子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治法的思想具有普适性和可拓展性，可以应用于各种类型的问题求解。
分治法广泛应用于算法设计和问题求解中。
例如，在排序算法中，归并排序和快速排序都是基于分治法的思想。
归并排序将一个无序的序列划分成两个规模相等的子序列，然后分别对子序列进行排序，最后将两个有序的子序列合并得到一个有序的序列。
快速排序则通过选取一个主元素将序列分为两个部分，然后递归地对两个子序列进行排序。
除了排序问题，分治法还可以应用于图的搜索、最优化问题、数值计算等领域。
高级算法：解决复杂计算问题的常用方法
高级算法：解决复杂计算问题的常用方法随着科技的发展，我们生活中的计算问题日益复杂，对算法的要求也越来越高。
为了解决这些复杂的计算问题，人们提出了许多高级算法。
高级算法是指在解决计算问题时使用的一些比较复杂和智能的算法。
它们通常能够有效地解决一些复杂的问题，提高计算的效率和精度。
本文将对几种常用的高级算法进行介绍，以及它们在实际问题中的应用。
一、分治算法分治算法是一种将问题分解成若干个小问题，然后分别解决的算法。
通常情况下，分治算法会将原问题划分成几个规模较小的子问题，然后递归地解决每个子问题，最后将各个子问题的解合并起来得到原问题的解。
这种算法在解决一些复杂的计算问题时表现出了很高的效率。
1.1应用案例分治算法的应用非常广泛，比如在计算机视觉中，图像分割问题可以使用分治算法进行处理。
由于图像分割需要对图像进行分区，并找出图像中各个区域的边界，因此问题的规模较大。
采用分治算法可以将图像分割问题划分成若干个小的图像区域，然后递归地对每个小区域进行处理，最后将每个小区域的处理结果合并起来，从而得到整个图像的分割结果。
1.2算法流程分治算法的流程一般包括三个步骤：分解、解决和合并。
在分解步骤中，原问题被划分成若干个规模较小的子问题；在解决步骤中，递归地解决每个子问题；在合并步骤中，将各个子问题的解合并起来，得到原问题的解。
分治算法的成功与否主要取决于解决步骤的效率和合并步骤的正确性。
二、动态规划算法动态规划算法是一种通过把原问题分解成相互重叠的子问题，然后利用子问题的解来解决原问题的算法。
它通常用于优化计算问题的解，提高算法的效率和精度。
动态规划算法的优势在于能够避免重复的计算，从而提高计算的效率。
2.1应用案例动态规划算法在资源调度领域有着广泛的应用。
比如在生产调度中，需要对生产资源进行合理的调度，以最大程度地提高生产效率。
动态规划算法可以对生产资源的使用情况进行分析，然后利用子问题的解来优化资源调度，从而达到提高生产效率的目的。
分治算法
分治法
分治法解题的一般步骤：
（1）分解，将要解决的问题划分成若干规模较小
的同类问题； （2）求解，当子问题划分得足够小时，用较简单
的方法解决； （3）合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层 合并构成原问题的解。
分治法
分治算法设计过程
问题S 问题的分解
子问题S1 子问题S2
……
子问题S1
子问题S2
分治法
归并排序实现过程
归并排序中，划分问题和递归求解是很容易完成的， 关键在于合并问题，如何把两个有序表合成一个。每 次只需要把两个序列的最小元素加以比较，删除其中 的较小元素并加入合并后的新表即可。
例如：对10、4、6、3、8、2、5、7进行排序，已处理 完划分和递归后。 10 4 10 i i 3 4 i i 6 10 i i 2 3 4 5 6 4 6 3 6 j j 3 8 2 i 8 i 2 j 7 8 10 5 j 7 j 2 5 5 7 j 8 j j 7
// 第二步：递归求解
Max=max(maxsum(A,x,m),maxsum(A,m,y));
分治法
//第三步：合并（1）---从分界点开始往左的最大连续和L v=0;L=A[m-1]; for(i=m-1;i>=x;i--) { L=max(L,v+=A[i]); } //第三步：合并（2）---从分界点开始往右的最大连续和R v=0;R=A[m]; for(i=m;i<y;i++) { R=max(R,v+=A[i]); } return max(Max,(L+R)); //把子问题的解与L与R的和比较 }
zoj 1188 DNA Sorting
一分耕耘一分收获，越努力越幸运！ 希望大家能在ACM的路上越走越远，发现ACM 更多的精彩和魅力！ 燃烧起来吧，少年！
基础算法5-分治法
program fangcheng; var a,b,c,d,x,p,q:real; anx:array[1..3]of real; i,t:integer; function f(x:real):real; {计算f(x)的值} begin f:=((a*x+b)*x+c)*x+d; end; function findx(i:real):real; {用分治法在已知有根的区间[i,i+1]里找 到一个解} begin p:=i; {从i开始找起} q:=p+0.99999; {在误差范围内，q近似等于i+1} if abs(f(p))<0.00001 then findx:=p {当f(x)的值误差小于小数点后4位则得到一个解p} else begin while(p+0.0001<q)and(f((p+q)/2)<>0) do {p小于q且中间 值计算结果不为0} if f(p)*f((p+q)/2)<0 {如果解在[p,(p+q)/2]区间内} then q:=(p+q)/2 {开始在[p,(p+q)/2]区间内找解} else p:=(p+q)/2; {否则在[(p+q)/2,q]区间内找解}
maxx:=x[r1]; minn:=x[r2]; end end else begin d:=(r1+r2) div 2; {找到中间位置} pd(r1,d,max1,min1); {比较第一段的值} pd(d+1,r2,max2,min2); {比较第二段的值} if max1>max2 then maxx:=max1 {求出最大值} else maxx:=max2; if min1<min2 then minn:=min1 {求出最小值} else minn:=min2; end; end; begin write('input n:'); {输入数值个数} readln(n); for i:=1 to n do read(x[i]); {输入n个数} pd(1,n,max,min); {开始比较} write('max=',max,',min=',min);{输出结果} end.
分治算法的基本步骤
分治算法的基本步骤
分治算法的基本步骤
分治算法是一种高效的算法，它将一个大问题分成若干个小问题，通过解决小问题来解决大问题。
分治算法通常用递归的方式实现，可以有效地降低时间复杂度。
下面将介绍分治算法的基本步骤。
一、将原问题划分为若干个子问题
分治算法的第一步是将原问题划分为若干个子问题。
这些子问题应该是相互独立的，并且与原问题具有相同的结构。
划分子问题的方法可以根据不同的情况进行选择，例如二分、三分、四分等。
二、递归地解决子问题
在将原问题划分为若干个子问题后，接下来需要递归地解决这些子问题。
对于每个子问题，都要采用同样的方法进行处理。
如果一个子问题不能再进一步划分，则称之为基本情况。
三、合并各个子问题的解
当所有子问题都得到了解决后，需要将它们合并起来得到原始问题的解。
这一步通常称为“合并”或“归并”。
在合并时，需要考虑如何
将不同子问题得到的结果组合起来得到最终结果。
四、确定递归的终止条件
分治算法是通过递归实现的，因此需要确定递归的终止条件。
在每一
次递归时，都需要判断是否已经达到了终止条件。
如果已经达到了终
止条件，则不再进行递归，而是直接返回结果。
五、分析算法的复杂度
最后一步是分析算法的复杂度。
分治算法通常具有较好的时间复杂度，但也需要考虑空间复杂度和其他因素。
总结
以上就是分治算法的基本步骤。
在实际应用中，可以根据具体问题进
行调整和优化。
例如，在划分子问题时可以采用贪心策略或动态规划
等方法，以提高算法效率。
算法分析——分治法
算法分析——分治法
算法分析，分治法
第一章绪论
1.1分治法
分治法是一种自下而上的设计思想，它通过将基本问题分解为规模较小的子问题，逐步将原问题解决掉的方法，它可以使用递归来实现。
分治法可以将很多问题变成跟合并有关的问题，从而让原问题变得更容易去解决。
分治法有四个步骤：
第一步：将原问题分解成数目较少的若干个子问题；
第二步：若子问题规模足够小，则直接求解；
反之，若子问题仍然很大，则继续将其分解；
第三步：解决子问题，并合并其结果；
第四步：根据子问题的解得到原问题的解。
1.2分治法的优缺点
分治法有着许多优点：
1.分治法可以将一个复杂的问题拆解为一系列比较简单的子问题，容易实现。
2.分治法的子问题可以独立进行计算，因此可以利用多核处理器进行并行计算。
3.分治法适用于多种类型的问题，并且简单易懂。
然而，分治法也有一些缺点：
1.分治法需要额外的空间来存储中间状态和结果，因而在空间复杂度方面可能会有所不足。
2.分治法有大量重复的子问题，如果没有对重复的子问题进行减枝，则性能表现会受到影响。
3.如果分治步骤出现问题，整个程序将无法正常运行。
分治
降低难度：找一个接近中项的元素作为基准元素！
• 思路： （1）把n个元素划分成n/5组，每组5个元素； （2）找到每组元素的中项，共有n/5个 （3）若（2）中所得元素已较少可直接确 定中项做基准元素；否则，递归调用自身， 寻找（2）中得到的n/5个元素的基准元素
• 例：在A中找第13小的元素，A中元素： 8,33,17,51,57,49,35,11,25,37,14,3,2,13,52,1 2,6,29,32,54, 5,16,22,23,7，9,34,18,53, 解：（1）分成6组： （8,33,17,51,57）,（49,35,11,25,37）, (14,3,2,13,52）,（12,6,29,32,54）, （5,16,22,23,7）, (9,34,18,53,58) (2)对每组升序排序 （8, 17, 33,51,57）,（11,25, 35,37,49）, (2, 3,13,14,52）,（6, 12,29,32,54）, （5,7,16,22,23）, (9, 18, 34,53,58)
• 设A=A1, （1）把元素分为3组： （8,17,11,25,14）,（3,2,13,12,6）,（5,16,22,23,7） （2）每组排序后找到新的中项集{14，6，16}， （3）再取其中项14做为新的mm, （4）将A划分为三个序列 A1={8,11,3,2,13,12,6,5,7} A2={14} j=10 A3={17,25,16,22,23} 因为13>10,丢弃A1 和A2，在A3中找第13-10大的元 素，算法返回22
C
7
13
49
65
76
80
21
i
0 1 2 3 4
A
13
49
理解分治算法的核心思想
理解分治算法的核心思想分治算法是一种常见且重要的算法设计思想，它将一个复杂的问题划分为若干个相互独立且相似的子问题，然后逐个解决这些子问题，并将它们的解合并起来得到原问题的解。
分治算法的核心思想是将问题分解为更小的子问题，通过解决子问题来解决原问题。
本文将深入探讨分治算法的核心思想及其应用。
一、分治算法的基本思想分治算法的基本思想可以概括为三个步骤：分解、解决和合并。
首先，将原问题分解为若干个规模更小、结构与原问题相似的子问题。
这一步骤通常通过递归实现，将问题不断分解直到达到一个可以直接解决的规模。
其次，解决子问题。
对于每个子问题，如果其规模足够小，可以直接求解；否则，继续进行递归调用，将其分解为更小的子问题。
最后，将子问题的解合并起来，得到原问题的解。
这一步骤通常需要花费一定的时间和空间，但是通过合并子问题的解，可以得到原问题的解。
二、分治算法的应用分治算法在许多领域都有广泛的应用，下面将分别介绍一些常见的应用场景。
1. 排序算法分治算法在排序算法中有着重要的应用。
例如，快速排序算法就是基于分治思想实现的。
快速排序的基本思想是选取一个基准元素，将数组划分为两个子数组，其中一个子数组的元素都小于基准元素，另一个子数组的元素都大于基准元素。
然后，对两个子数组分别进行快速排序，最后将两个子数组合并起来即可。
2. 查找算法分治算法在查找算法中也有着重要的应用。
例如，二分查找算法就是基于分治思想实现的。
二分查找算法的基本思想是将有序数组划分为两个子数组，然后根据目标值与基准元素的大小关系，确定目标值可能在哪个子数组中，然后继续在该子数组中进行查找，直到找到目标值或者确定目标值不存在。
3. 图算法分治算法在图算法中也有广泛的应用。
例如，最大子数组和问题可以通过分治算法解决。
最大子数组和问题的基本思想是将数组划分为两个子数组，然后分别求解左子数组和右子数组的最大子数组和，以及跨越中点的最大子数组和。
最后，将这三个结果中的最大值作为最终的结果。