切割立体投影
3立体的投影
3.1 投影实例 3.2 平面立体、曲面立 体的投影 3.3 平面截割立体 3.4 立体的相贯线
3.2.1 平面立体
平面立体简称平面体； 平面立体的特点：
各个表面都是平面图形，各平面图形均由棱线围成， 棱线又由其端点确定。 因此，平面立体的投影是由围成它的各平面图形的 投影表示的，其实质是作各棱线与端点的投影。
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆柱最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的投 影与回转轴的投影重合。
侧面投影的左、右边 线分别是圆柱最前、最后 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为左、 右两半，他们在V面上的投 影与回转轴的投影重合。
回转轴 母线
回转曲面的有关概念
O
素线：母线在曲面上
的任意位置都称为素
纬 圆 线。
纬圆：母线上任意点 的运动轨迹都是一个 垂直于回转轴且中心 在回转轴上的圆，这 轮廓素线 种圆就称为纬圆。 O1
3.2.3.1 圆柱及其表面点
OO’ AA’
圆柱的形成： 圆柱面是由两条相互平行的 直线，其中一条直线AA’ （称为直母线）绕另一条直 线OO’（称为轴线）旋转一 周而形成。圆柱体由两个相 互平行的底平面和圆柱面围 成。圆柱面上的与OO’平行 的直线，称为柱面上的素线， 每根素线都与轴线平行且等 距,而且任两根素线都互相平 行，当用一垂直于轴线的平 面截断圆柱面时，每个截断 面都是等直径的圆。
m'
纬圆法
m
§3-3 切割体的投影
一、切割体及截交线的概念
• 切割体——基本体被平面截切后的部分 • 截平面——截切立体的平面 • 截断面——立体被截切后的断面 • 截交线——截平面与立体表面的交线
9基本曲面体及其切割体投影
［例8-221］求圆锥切割体的投影
投影规律：长对正、高平齐、宽相等
3D动画
［例8-222］求圆锥切割体的投影
作图: 投影规律：长对正、高平齐、宽相等
Pv—正垂面 正面投影积聚成一条直线 取特殊点：
3’(4’) 5’(6’) ° 7’(8’) ° 1′ ° Pv
° ° 2′
极限点、转向点 特征点
取一般点 依次光滑连接
•截交线在截平面所平行的投影面上的投
影为圆(反映实形),其它两投影为线段.
截平面为投影面垂直面:
截交线在截平面所垂直的投影面
上的投影积聚成一直线,其它两投影为椭圆.
［例8-24］求圆球切割体的投影
作图:
投影规律：长对正、高平齐、宽相等
2′ 3’(4’) ° 5’(6’) °
°
Pv—正垂面
正面投影是一条直线 有积聚性（定位） 取特殊点：极限点、 转向点 特征点 取一般点 依次光滑连接 侧面投影是椭圆
3D动画
8-7 完成曲面切割体第三面投影。 （ 1）
8-7 完成曲面切割体第三面投影。
（ 2）
8-7 完成曲面切割体第三面投影。
（ 3）
8-7 完成曲面切割体第三面投影。
（ 4）
8-7 完成曲面切割体第三面投影。
（ 5）
45°
8-7 完成曲面切割体第三面投影。
（ 6）
8-8 完成曲面立体截切后三面投影。 （ 1）
取特殊点： 极限点、转向点、
1′
°
1″
°
3’(4’)°
4″
6″
°
° °
3″
Pv 5’(6’)
2′
° °
5″ ° 2″
特征点、 结合点 取一般点
浅谈机械制图中切割体类型“投影”原理
浅谈机械制图中切割体类型“投影”原理摘要：组合体“三视图”绘制是机械制图中重要的内容，切割体类型占据组合体的比例较大，其三视图绘制显得更为重要。
本文从“投影面积叠加原理”方法，简单阐述该类图形的绘制原理。
关键词：机械制图教学投影面积叠加原理物体在光线照射下，在地面或墙壁上会产生影子。
正确理解投影原理，对绘制“三视图”有很大的帮助。
组合体“三视图”绘制是机械制图中重要的内容，切割体类型占据组合体的比例较大，其三视图绘制显得更为重要。
笔者从“投影面积叠加原理”方法，简单阐述该类图形的绘制原理。
一、切割体外观形状的效果图例图1所示一个长方形面积有几个不同形状面积相加得到相等形状、相等面积的图形。
无论8个图形在垂直位置升降到不同高度，其共同向下垂直投影面积相加后仍然等于其原来所在的长方形面积。
形状1、2、3、4等各图形尽管处于不同高度，但都与长方形图形平行，其各自投影面积分别反映对应空间图形的真实形状。
需要强调一点：长方形中分割的图形1、2、3、4等可以是不同数量与不同形状的图形，其实，切割体外观形状就是其上的长方形切割成不同形状后的效果。
但制图课不同于素描，不画阴影，不上色，只画阴影的封闭外轮廓线。
二、切割体三视图绘制的“投影”原理举一个典型的切割体三视图的绘制来阐述“投影”原理的具体运用，如图2所示。
1.主视图的“抄画”图形我们对照一下“三视图”和“轴测图”不难看出，“主视图”中①、②、③图形是“轴测图”从前边向后边投影（正投影）后各平面图形的真实形状，面积相加等于长方体正投影的长方形面积。
根据这一特点，在画“主视图”时，先画一个长方形，再在里边按照①、②、③真实形状“抄画”出各图形的真实形状，“抄画”图形符合学生的心里特点，比较实际，相对有趣味。
2.俯视图的“抄画”图形对于“俯视图”同样可以在对应长方形里边“抄画”出④、⑥、⑦各图形真实形状即可完成俯视图。
为什么不抄画⑤的形状呢？因为图形⑤是一个“正垂面”，它与水平“投影面”相交，其“投影”是相似形状，所以不能“抄画”，相似形状图形尺寸失真，不易画出。
机械制图 第五讲 形体切割后的投影
2≡3≡6≡7 1≡8 8
7
3 1 2
4
截交线的投影 检查截交 分析棱线的 截交线的形状？ 求截交线 特性？ 投影 线的投影
颜克春系列教学课件
工业设计制图
industrial design drawing
第五讲
颜克春系列教学课件
工业设计制图
industrial design drawing
分 析： 该立体是在圆柱筒的上部 开出一个方槽后形成的。构 成方槽的平面为垂直于轴线 的水平P和两个平行于轴线 的侧平面Q 。它们与圆柱体 和孔的表面都有交线，平面 P与圆柱的交线为圆弧，平 面Q与圆柱的交线为直线， 平面Ｐ和Q彼此相交于直线 段。
第五讲
平面与圆柱相交
颜克春系列教学课件
工业设计制图
第五讲
三、 回转截切体的投影
求平面与回转体的截交线的一般步骤 ⒈ 空间及投影分析 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置， 以便确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特 性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，予见未 知投影。 ⒉ 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
第五讲
我们采用的是 棱线法！ 哪种解题方 法？
颜克春系列教学课件
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
工业设计制图
industrial design drawing
第五讲
1(2)
2
●
1
●
2 1
注意： 三面共点： 要逐个截平面分析和 Ⅰ、Ⅱ两点分别 绘制截交线。当平面体只 有局部被截切时，先假想 同时位于三个面 为整体被截切，求出截交 上。
第3章立体的投影
第3章立体的投影电子教案：3.1 基本立体的投影基本立体可分为平面立体和曲面立体。
表面均为平面的基本立体称为平面立体。
常见的有棱柱、棱锥，如图3-1所示。
表面由曲面和平面或完全由曲面组成的基本立体称为曲面立体。
最常见的曲面立体是回转体，包括圆柱、圆锥、球、圆环等，如图3-2所示。
将基本体放在三投影面体系中进行投射时，为了画图、读图的方便，通常将其“放平，摆正”。
放平——就是让基本体的底面处于平行面位置。
摆正——是在放平的基础上，让其余各面尽可能处于平行面或垂直面位置。
在以后画组合体视图或零件图时也要遵循这个原则。
图3-1 平面立体图3-2曲面立体3.1.1 平面立体的投影及其表面取点在投影图上表示平面立体就是把组成立体的平面和棱线表示出来，然后判别其可见性，把看得见的棱线投影画成实线，看不见的棱线投影画成虚线。
1．棱柱(1) 棱柱的投影常见的棱柱有正四棱柱和正六棱柱，图3-3（a）所示一正六棱柱，由六个相同的矩形棱面和上下底面（正六边形）所围成。
将其放平摆正后，上、下底面为水平面，其水平投影反映实形，另外两面投影积聚为直线。
正六棱柱的六个棱面中，前后两个面是正平面，正面投影反映实形；其余四个棱面均为铅垂面。
如图3-3（b）所示，作图过程如图3-4所示。
（a）（b）图3-3正六棱柱的投影及表面取点图3-4 正六棱柱的画图方法和步骤棱柱的投影特性是：在与棱线垂直的投影面上的投影为一多边形，它反映棱柱上、下底面的实形；另两个投影都是由粗实线或虚线组成的矩形线框，它反映棱面的实形或类似形。
(2) 在棱柱表面上取点在棱柱表面上取点，其原理和方法与在平面内取点相同。
该例中正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在其表面上取点均可利用平面投影积聚性的原理作图，并判别其可见性，如图3-3（b）所示。
2．棱锥(1) 投影分析和画法常见的棱锥有正三棱锥和正四棱锥，图3-5（a）所示为一正三棱锥，锥顶为S，其底面为等边△ABC，是水平面。
机械制图教案3平面体及其切割的投影作图
作图
1)求特殊点2)求中间点3)依次光滑连接
【案例2】 求作带切口圆柱的侧面投影，如图3-14a所示
作图
1)由p′向右引投影连线，再从俯视图上量取宽度定出b″、d″，如图3-14b所示。
2)由b″、d″分别向上作竖线与顶面交于a″、c″，即得由截平面Q所产生的截交线AB、CD的侧面投影a″b″、c″d″，如图3-14c所示。
总结
布置作业
3.四棱锥体表面上点的投影
如图3-5所示，已知四棱锥棱面SBC上的点M的正面投影m′，求作m和m″。作图方法是：在SBC棱面上，由锥顶S过点M作辅助线SE，因为点M在直线SE上，则点M的投影必在直线SE的同面投影(同一个投影面上的投影)上。所以只要作出SE的水平投影se，即可作出M点的水平投影m。
任何物体都可以看成由若干基本体组合而成。基本体有平面体和曲面体两类。平面体的每个表面都是平面，如棱柱、棱锥等；曲面体至少有一个表面是曲面。如圆柱、圆锥、圆球等。
§3-1平面体及其切割的投影作图
二、棱锥
棱锥的棱线交于一点。常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
1.投影分析（如图3-4a所示）
2.作图步骤
充、删节
内容
课外作业
习题册P21
教学后记
授课主要内容或板书设计
板1
§3-1 平面体及其切割的投影作图
表面由平面围成的立体称为平面体。
常见的平面体主要有棱柱和棱锥。
一、棱柱
棱柱的棱线互相平行。常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱等。
1、投影分析
2.作图步骤
3.棱柱体表面上的点的投影
（作图）
建筑制图与识图3立体的投影
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
（2）棱面法——面面交线法
将平面立体上参与相交的各棱面， 与截平面求交线，这些交线即围成所 求的平面立体截交线。
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
作图步骤：
1）空间分析及投影分析 a、截平面与立体的相对位置——确定截交线的形状 b、截平面，立体表面与投影面的相对位置——确定截交线的投影特性
PV2
6′ (7′) 7 ′′
例3-8：求作被截五棱柱的三面投影图
4′ (5′) 2′ ( 3′)
PV1
1′
5′′ 3 ′′
6′′
4′′ 2′′ 1′′
3 7(5)
1
2
6(4)
3.3 切割体的投影
3.3.2 曲面切割体的投影
截交线：一般为封闭的平面曲线，特殊情况为直线。 其形状取决于曲面立体的几何特征，以及截平面与曲面立体的相对位置。
c’ （2）绘出圆柱的顶面和底面。
（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。
Z
a1’ c1’(d1’) d(d1)
a(a1) c(c1)
d1’
b1’
a1”(b1”) c1’’
c’d’ b’
V a’
D
A
d” B
a”b”
c”W
C
b(b1)
圆柱的投影
正面转向轮廓线 a1’
X
c1’d1’ A1 d(d1)
da11””(b1)”c1” C1b(b1)
曲面上可见与不可见的分界线称为回转面对该投影面的转向轮 廓线，在其他投影面不应画出。
圆柱体的投影
圆柱表面由圆柱面和上下两底面所组成。圆柱面是由一直母线绕与之 平行的轴线回转而成。圆柱上任意一条平行于轴线的直母线称之为素线。
立体几何中的投影与切割
立体几何中的投影与切割一、投影的概念与分类1.投影的定义：在立体几何中，将一个物体在某一平面上的影子称为投影。
a)正投影：物体垂直于投影平面的投影称为正投影。
b)斜投影：物体不垂直于投影平面的投影称为斜投影。
c)中心投影：以物体为中心，将物体在各个方向上的投影称为中心投影。
二、投影的基本性质与规律1.平行性：在同一投影面上的投影，平行线在投影后仍然是平行线。
2.相似性：在同一投影面上的投影，物体与其投影之间具有相似关系。
3.积聚性：在同一投影面上的投影，物体的面积与投影面积成比例。
4.相互性：在同一投影面上的两个物体的投影，相互之间存在一定的关系。
三、切割的概念与分类1.切割的定义：在立体几何中，将一个物体沿某一平面分割成两部分的过程称为切割。
a)水平切割：切割平面与物体的水平面平行。
b)垂直切割：切割平面与物体的垂直面平行。
c)斜切割：切割平面与物体的水平面和垂直面都不平行。
四、切割的基本性质与规律1.切割线与物体表面的关系：切割线与物体表面相交，且切割线两侧的物体表面具有相似性。
2.切割面的性质：切割面与物体表面相交，形成的交线称为切割线。
3.切割体积：切割过程中，物体体积的变化与切割平面和切割线的关系有关。
五、投影与切割在立体几何中的应用1.计算物体体积：通过投影与切割，可以将立体几何物体转化为平面几何问题，从而简化计算。
2.求解物体表面积：利用投影与切割，可以将复杂立体几何物体的表面积分解为简单图形的面积之和。
3.几何作图：在立体几何作图中，投影与切割可以帮助我们更好地理解物体形状和结构。
六、注意事项1.在学习立体几何中的投影与切割时，要注重理论知识与实际操作相结合。
2.熟练掌握投影与切割的基本性质和规律，提高解题能力。
3.培养空间想象能力，更好地理解和应用投影与切割在立体几何中的作用。
习题及方法：1.习题：一个长方体沿着其长度方向进行切割，切割平面与长方体的底面平行。
求证切割后的两部分体积之比为1:1。
机械制图——平面体及其切割的投影作图
课后小作业
请根据棱柱体表面上点M和点N的三面投影判断一 下两点在空间当中的方位关系？
讲授完毕 感谢聆听
Ν
Μ
4、平面切割六棱柱 绘制正六棱柱被正垂面切割后的三视图
P
分析 六棱柱被正垂面切割，截平 面P与六棱柱的六条棱线都相交， 所以截交线是一个六边形。六 边形的顶点为各棱线与P平面的 交点。截交线的正面投影积聚 在p′上，由于六棱柱的六条棱 线在俯视图上的投影具有积聚 性，所以截交线的水平投影为 已知的正六边形，根据截交线 的正面和水平面投影可作出侧 面投影。
棱柱
1、投影分析
俯视图 俯视图为正六边形，是顶边和底边的重合投影， 反映实形；六条边是六个棱面的积聚投影。
主视图 主视图为三个矩形线框，中间的矩形是前、后 棱面的重合投影，反映实形；左、右两个矩形是其余四 个棱面的重合投影，为缩小的类似形；顶面和底面为水 平面，其正投影积聚为上、下两条水平线。
左视图 左视图为两个相同的矩形线框，是左右四个棱 面的重合投影，均为缩小的类似形；顶面和底面仍为两 条水平线。
2、作图步骤
1）作正六棱柱的对称 中心线和底面基线，先 画出具有轮廓特征的俯 视图----正六边形。 2）按长对正的投影关 系，并量取正六棱柱的 高度画出主视图，再按 高平齐、宽相等的投影 画出左视图。
3、棱柱体表面上的点的投影
已知正六棱柱侧棱面上点 M的正面投影m′,求作m 和m″; 已知正六棱柱顶面上点N的 水平投影n,求作n′和n″。
平面体及其切割的投影作图
基本体
分两类：
1、平面体 每个表面都是平面，如棱柱、为回转体，
如圆柱、圆锥、圆球等。
截切 • 用平面与立体相交，截去立体的一部分——截切。
• 用以截切立体的平面——截平面。 • 截平面与立体表面的交线——截交线。
机械制图讲义之第二章_立体的投影
第2章立体的投影2.1 立体及其表面上的点与线立体由其表面所围成，可分为两类：表面都是平面的平面立体和表面是曲面或曲面与平面的曲面立体。
一、平面立体平面立体由若干多边形所围成，因此，绘制平面立体的投影，可归结为绘制它的所有多边形表面的投影，也就是绘制这些多边形的边和顶点的投影。
多边形的边是平面立体的轮廓线，分别是平面立体的每两个多边形表面的交线。
当轮廓线的投影为可见时，画粗实线；不可见时，画虚线；当粗实线与虚线相重合时，应画粗实线。
常见的平面立体有棱柱和棱锥。
1、棱柱2、棱锥平面立体的投影的外围轮廓总是可见的，应画粗实线；而在投影的外围轮廓内部的图线，则应根据线、面的投影分析，按前遮后、上遮下、左遮右直接判断投影的可见性，决定画粗实线或虚线，必要时还可利用交叉两直线的重影点的可见性进行判断。
二、曲面立体曲面立体由曲面或曲面与平面所围成。
有的曲面立体有轮廓线，即表面之间的交线，如圆柱；有的曲面立体有尖点，如圆锥；有的曲面立体全部由光滑的曲面所围成，如圆球。
在画曲面立体的投影时，除了画出轮廓线和尖点外，还要画出曲面投影的转向轮廓线。
曲面立体的转向轮廓线是切于曲面的诸投射线与投影面的交点的集合，也就是这些投射线所组成的平面或柱面与曲面的切线的投影，常常是曲面的可见投影和不可见投影的分界线。
曲面立体的投影就是它的所有曲面表面或曲面表面与平面表面的投影，也就是曲面立体的轮廓线、尖点的投影和曲面投影的转向轮廓线。
常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球，圆环。
1、圆柱圆柱由圆柱面、顶面和底面所围成。
圆柱面由直线绕与它平行的轴线旋转而成。
因此，画圆柱的投影就是画顶面和底面及轮廓线、圆柱面投影的转向轮廓线、轴线。
当圆柱的轴线与投影面垂直时，圆柱面在轴线垂直的投影面上的投影具有积聚性。
因此，作圆柱表面2、 圆锥圆锥由圆锥面和底面所围成。
圆锥面由直线绕与它相交的轴线旋转而成。
因此，画圆锥的投影就是画尖点（即锥顶）、底面及轮廓线、圆锥面投影的转向轮廓线、轴线。
06平面立体及其截切体的投影
如图所示 , 四棱柱中间的切槽是由两个侧平面和 一个水平面切割而成。 一个水平面切割而成。 平面Ⅰ为侧平面 它与四棱 平面Ⅰ为侧平面,它与四棱 柱侧面的交线为两条铅垂线 AA1,BB1。 。 平面Ⅱ为一水平面,它与 平面Ⅱ为一水平面 它与 四棱柱侧面和侧平面的交线共 同围成一六边形。 同围成一六边形。 作图时 , 先作反映切口特 征且具有积聚性的正面投影 , 然后补画其它两面投影。 然后补画其它两面投影。
作图: 作图
1
a) 直观图
b) 投影图
(2) 棱柱表面上点的投影
由于棱柱的表面都是平面， 由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在 表面都是平面 平面上取点的方法相同 的方法相同。 平面上取点的方法相同。
A M D
B
C
a) 直观图 图 正六棱柱表面取点
已知六棱柱表面上点M的正面投影 的正面投影m'，求其另两面投影， 例1 已知六棱柱表面上点 的正面投影 ，求其另两面投影， 并判别可见性。 并判别可见性。
采用什么 方法？ 方法？ 平面上作辅助线
作图方法1 作图方法
n″ N a' n′
s' m″ a" (c")
s"
n′
(m′) ′ b' c'
n″ b"
a n
m s n b
c
a) 直观图
b) 投影图 图 三棱锥表面取点
作图方法2: 作图方法
s' n′ n′ n″ N a' b' c' a" (c") n″ b" s"
四棱锥被正垂面切割， 四棱锥被正垂面切割， 截交线也应是平面多边 形，其正面投影积聚为 一条线， 一条线，水平投影侧面 投影小于实形的类似形 四棱锥被水平面切割， 四棱锥被水平面切割，截 交线应是平面多边形， 交线应是平面多边形，其 水平投影反映实形。 水平投影反映实形。侧面 投影是一条线。 投影是一条线。
机械制图与计算机绘图3-2截切立体的投影
概述 3.2.1 截切平面立体的投影 3.2.2 截切回转体的投影 3.2.3 截切复合回转体的投影
1
机械制图与计算机绘图
3.2 截切立体的投影
概述
平面与立体相交，称为立体被 平面截切，该平面称为截平面，截 切以后的立体称为截切立体。截平 面与立体表面的交线称为截交线。 画截切立体的投影时，为了清楚地 表达该立体的形状，既要画出截切 立体表面上截交线的投影，又要画 出立体轮廓线的投影。
机械制图与计算机绘图
3.2 截切立体的投影
回转体截交线投影小结
1.掌握回转体截交线的性质及求截交线的步骤：
（1）.根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质。 （2）.根据截平面位置和曲面立体所处位置，决定采用什么方法求共有点。 （3）.求出截交线上的特殊点（见下页解释）。 （4）.根据需要求出若干个一般点。 （5）.光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。 （6）.最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦出被切 割掉的轮廓线或转向轮廓素线。
3.2 截切立体的投影
1'
2'
2"
3'
3"
1
2
3
[例题2] 求圆球截交线。
22
解题步骤 1．分析 截平面为两 个侧平面和一个水平 面，截交线为圆弧和 直线的组合；截交线 的水平投影和侧面投 影均为圆弧和直线的 组合； 2．求出截交线上的 特殊点Ⅰ、 Ⅱ； 3．求出各段圆弧； 4．判别可见性，整 理轮廓线。
3．顺次地连接各点， 作出截交线并判别可见 性；
4．整理轮廓线。
[例题3] 求圆柱截交线。
1(3)
12
3.3 切割体的投影
图3-23 平面与球面交线的基本作图
3.3 切割体的投影
【例3-7】 画出图3-24（a）所示立体的投影。 【解】 （1）空间分析 该立体是在半个球的上部开出一个方槽后形成的。 左右对称的两个侧平面P和水平面Q与球面的交线都是圆弧，P和Q彼此相交于直线 段。
图3-24 球上开槽的画法
3.3 切割体的投影
3.3 切割体的投影
教学目的：
1.熟悉截交线的性质，熟练掌握平面与常见平面立体和 回转体的截交线的画法。 2.掌握常见平面立体和回转体切口的分析方法和画法； 3.截切体的尺寸标注方法。
教学重点：
1.截平面截切平面立体和回转体时截交线的求法。 2.切割体的尺寸标注。
教学难点：
截交线的绘制方法。
3.3 切割体的投影
3.3 切割体的投影
【例3-2】 试求四棱锥被二平面截切后的投影（图3-18）。 【解】 （1）空间及投影分析 四棱锥被二平面截切。截平面P为正垂面，其与四棱锥的四个棱面的交线与 前例相似。截平面Q为水平面，与四棱锥底面平行，所以其与四棱锥的四个棱面 的交线，同底面四边形的对应边相互平行，利用平行线的投影特性很容易求得。 此外，还应注意两平面P、Q相交亦会有交线，所以平面P和平面Q截出的截交线均 为五边形。 平面P为正垂面，其截交线投影特性同前例分析;平面Q为水平面，其截交线 正面投影和侧面投影皆具有积聚性，水平投影则反映截交线的实形。 （2）作图 画出完整四棱锥的三个投影 先求平面Q截四棱锥后的截交线。可由正投影1′在俯视图上求1，由1作四边 形与底面四边形对应边平行可得1、2、5点，平面Q与平面P 的交线Ⅲ、Ⅳ可由正 投影3′、4′在俯视图上求得3、4。所求1、2、3、4、5即为截交线在水平投影 面上的投影。其正面投影 和侧 面投影分别为1′、2′、3′、4′、5′和1″、 2″、3″、4″、5″。再求平面P截四棱锥后的截交线，可按前例方法求出6′、 7′、8′和6″、7″、8″及6、7、8。将Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ各点同面投影连接 起来，即得截交线在三投影面上的投影。
第3章.工程制图--立体的投影
面，另两个侧棱面为一
般位置平面。
b
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3.1.2 曲面立体的投影及表面上的点O
1.圆柱体
⑴ 圆柱体的组成
A
由圆柱面和两个底面组成。
圆柱面是由直线AA1绕与 它平行的轴线OO1旋转而成。
直线AA1称为母线。 圆柱面上与轴线平行的任 一直线称为圆柱面的素线。
1′ 3′ a
O1 A1 1″ 3″ a
P
P 轴线 = 交线为抛物线
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P 轴线 0 < 交线为双曲线
19
平面P与圆锥面的交线
P
P过锥顶 交线为直线
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归纳
P轴线 交线为圆 P 轴线 > 交线为椭圆 P 轴线 = 交线为抛物线
P 轴线 0< 交线为双曲线 P过锥顶 交线为直线
20
例 求截交线 P
椭是圆什短么轴点的？投影 P
【学习目标】学习基本体的投影；截交线和相 贯线。 【能力目标】通过本章的学习，要掌握基本体 的投影特性、投影图的画法以及表面上点的画 法；掌握求作截交线和相贯线的基本方法。
本章内容
3.1 基本立体的投影 3.2 切割体的投影 3.3 相贯体的投影 本章小结
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3.1 基本体的投影
常见的基本几何体
4、圆环
圆环是由圆环面围成的立体。圆环面是由一圆母线绕 着与其共面，却不经过圆心的轴线旋转一周而形成的。 由圆母线外半圆回转形成的曲面称为外环面；由圆母 线内半圆回转形成的曲面称为内环面。
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3.2 切割体的投影
在工程上经常看到一些不完整、带有缺口的基本 立体，这些立体都是被平面截切而形成的。
截交线分析 截截交交线线投为影椭分圆析 截检交查线外投形影轮仍廓为线椭投圆影
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第五章 平面与立体相交顶尖球阀芯三通管南京大学环境学院盖1第五章 平面与立体相交§1 截交线 §2 平面和曲面相交2南京大学环境学院第一节 截交线截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
• 截平面 —— 用以截切物体的平面。
• 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。
• 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
3南京大学环境学院平面立体的截交线一、平面截切的基本形式截断面 截交线截平面截交线与截断面4南京大学环境学院截交线的性质：• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面立体的形状及截平面相对平面立体 的截切位置。
•平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。
截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。
求截交线的实质是求两平面的交线 • 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
5南京大学环境学院二、求截交线的方法与步骤关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析☆ 截平面与体的相对位置确定截交 线的形状☆ 截平面与投影面的相对位置★ 画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交 线，并连接成多边形。
南京大学环境学院确定截交线 的投影特性6例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。
截交线空间及投 截交线的正面投影 影分析:水平投影和侧面 投影是小于原形 的类似形截平面是正垂面， 截交线在正立面内 积聚为一线截平面截交线空间是三边形南京大学环境学院7s’ Pv 3’2’s”3” 2”具体步骤如下：(1) 求Pv与s’a’、s’b’、s’c’ 的交点1’、2’、3’为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、1’1”Ⅲ的正面投影。
a’b’c’ c” a”b”(2) 根据线上取点的方法， 求出1、2、3和1”、2”、3”。
3 1s2(3) 连接各点的同面投影 即等截交线的三个投影。
(4) 补全棱线的投影。
平面与三棱锥相交8南京大学环境学院例2 求做立体被截切后的投影1’ 2’3’(4’)1”4”3”4 2139南京大学环境学院例3：求四棱锥被截切后的水平和侧面投影1′ (4′)2′ 3′1″4″ 2″ ●●●● 3″★ 空间分析4 ●31●●2●★截投交平线影面的分与形体析状的？ ★ 求截几截交个交线棱线在面H相、交V ？ ★ 分析面棱上线的的形投状影？★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性10南京大学环境学院我们采用的是 哪种解题方法？棱线法！11南京大学环境学院例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1′(2′)2●″1●″注意：2要逐三个面截共平点面：分析和 绘制Ⅰ截、交Ⅱ线两。
点当分平面别体只1有局同部时被位截于切三时个，先面假想为整上体。
被截切，求出截交线后再取局部。
12南京大学环境学院13南京大学环境学院14南京大学环境学院例5 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影7' 6'（8'）1'（2'） 4' 5' （3'）空间分析：四棱锥被水平面切割， 截交线应是平面多边形 ，其水平投影反映实形 。
侧面投影是一条线。
空间分析：四棱锥被正垂面切割， 截交线也应是平面多边 形，其正面投影积聚为 一条线，水平投影侧面 投影小于实形的类似形 。
15南京大学环境学院例5 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影s's"作图步骤：7'7"四棱锥表面上取6'（8'）8"截交线的各顶点6"1. 找出有积聚性的投影2. 确定截平面的特点1' a'（2'） 4' 2"5' （3'） b'd 2 c' c"3" 4" 5"，数量。
1" a" (d " )3. 各棱线的交点b" 1,2,3,4,5,6,7,8。
3. 用线上取点的方法83a 1 7sc求得其余各投影。
4. 连接棱面上的交线并判断可见性。
64516b南京大学环境学院多线擦除完成作图:1.将各点连成线 2.检查漏线和多线 3.判断可见性注意不可见的线17南京大学环境学院例6 试求正四棱柱被两平面切割后的三面投影如图所示 , 四棱柱中间的切槽是由两个侧平面和 一个水平面切割而成。
平面Ⅰ为侧平面,它与四棱 柱侧面的交线为两条铅垂线 AA1,BB1。
ⅠA平面Ⅱ为一水平面,它与 四棱柱侧面和侧平面的交线共 同围成一六边形。
作图时 , 先作反映切口特 征且具有积聚性的正面投影 , 然后补画其它两面投影。
B ⅡA1B118南京大学环境学院南京大学环境学院ⅠAB ⅡA1B119例7 求四棱柱被截切截交线的投影。
侧平面6（' 7 ' ）7" 6"（5 ' ）4'5" 4"（3 ' ）2'3"分析：1. 平面立体形体表 面性质 的分析（积聚性）2. 截平面相对投影面的位置2" 3.（平行，垂直） 截交线的空间分析及投影分析（积聚性）侧平面1'1"3 5（7）作图：正垂面4. 求棱线的交点 连线或求棱面的交线 ( 线上取点或1棱面上取线）4（6）5. 检查漏线和多 线 ..26. 判断可见性.20南京大学环境学院例8:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影(1 )׳2 ׳(3) ׳4 ׳3״1 ״2״(5)׳ 6׳7׳5״ 7״4״作图方法:1 求棱线与截平面 的共有点6״2 连线3 根据可见性处理轮廓线5 763 12 421南京大学环境学院22南京大学环境学院例9 补全俯视图和左视图的投影1’ 2’(3’)4’(5’) 6’(7’)1”3”2”5”4”6”7”6 723南京大学环境学院例 10: 求正四棱台被两平面切割后的三面投影。
如图所示 , 四棱台中间的切槽是由两个侧平面和一个水平面切割而成。
Ⅰ平面Ⅰ为侧平面 , 它与前、Ⅱ后棱面的交线为等腰梯形的两腰。
平面Ⅱ为一水平面 , 它与 各棱面的交线成一矩形。
24南京大学环境学院ⅠⅡYHYW(1) 作基本体四棱台的三面投影 (2) 作切口的积聚性投影 (3) 补画切槽的侧面投影 (4) 补画切槽的水平投影 (5) 擦去被切割掉的轮廓线，判别可见性25南京大学环境学院例 11: 正四棱台被两平面切割，求三面投影。
a1`` b1``a`` b``a1b1Cc ba南京大学环境学院BA26例 12: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P′ 4′≡5′2′≡3′≡6′≡7′1′≡8′875 63 4125″ 7″8″6″ 3″4″ⅤⅣ2″ ⅦⅥ1″ ⅧⅢ ⅡⅠ截截特分投求检线交性交析影线截查 的？线棱的的交截投线形投线交影的状影？27南京大学环境学院28南京大学环境学院第二节 平面和曲面相交一、回转体截切的基本形式截交线截平面截平面截交线29南京大学环境学院截交线的性质：• 截交线是截平面与回转体表面的共有线。
• 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。
• 截交线都是封闭的平面图形。
30南京大学环境学院二、求平面与回转体的截交线的一般步骤⒈ 空间及投影分析☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。
找出 截交线的已知投影，预见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
31南京大学环境学院㈠ 平面与圆柱的交线矩形圆南京大学环境学院椭圆3220截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截 平面与圆柱轴线的相对位置PVPV PVP垂直 圆PP倾斜 椭圆南京大学环境学院平行 两平行直线33平面和圆柱截交的三视图截平面位置：垂直于轴线 截交线形状：圆第一类 PPP⊥轴线截交线为圆P⊥轴线34南京大学环境学院截平面位置：倾斜于轴线截交线形状：椭圆P第二类PP斜交轴线截交线为椭圆35南京大学环境学院截平面位置：平行于轴线 截交线形状：矩形P第三类PP //轴线截交线为矩形36南京大学环境学院圆柱截交线示例37南京大学环境学院求圆柱截交线上点的方法 表面取点法：在圆柱表面取若干素线，并求出这些素线与截 平面的交点；当圆柱的轴线处于特殊位置时， 可利用圆柱的积聚性投影直接求得截交线上点 的投影38南京大学环境学院例9、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另 外两个投影。
5’5”具体由步于骤平如面下与：圆柱的轴线4’ 6” 4”斜交，因此截交线为一椭圆。
截（（交2134）））线先再将 补的作作这全正出出些侧面截适点面投交当的投影线数投影重上量影中影的依为一3’7”(7)’3” 直的特次线一殊光转，般点滑向水点。
的轮平。
连廓投接线影起。
与来圆。
柱面的2’8” 2”投影重影为圆。
侧面投影可1’1”根据圆柱表面取点的方法求出。
786ⅥⅤ15ⅦⅣ243 平面与圆柱相交Ⅲ Ⅷ ⅠⅡ39南京大学环境学院比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
α﹥45°α﹤45° 平面与圆柱相交南京大学环境学院α=45°40例10：求左视图虚实分界点41南京大学环境学院42南京大学环境学院在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立 体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只 要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面 之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
43南京大学环境学院例题11 求圆柱截交线3' 4'5'3" 5"1'2'2"2 53解题步骤4"1．分析侧面投影为圆的一部分，截 交线的水平投影为椭圆的一部分；1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性；5 整理轮廓线。
414342南京大学环境学院例题12 求圆柱截交线1'2'2"3'4'4"241" 3"解题步骤1．分析 截交线的水平投 影为直线和部分圆，侧面 投影为矩形；2．求出截交线上的特殊点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．顺次地连接各点，作出 截交线并判别可见性；4．整理轮廓线。