初中数学动点问题及练习题附参考答案
初中数学数轴动点问题含答案
初中数学数轴动点问题含答案一．选择题（共10小题）1．如图，点A，P，Q，B在一条不完整的数轴上，点A表示数﹣3，点B表示数3．若动点P从点A出发以每秒1个单位长度向终点B匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度向终点A匀速运动，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当BP ＝3AQ时，点P在数轴上表示的数是（）A．2.4B．﹣1.8C．0.6D．﹣0.62．在数轴上，点A对应的数是﹣6，点B对应的数是﹣2，点O对应的数是0．动点P、Q 分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（）A．PB B．OP C．OQ D．QB3．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）．经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？（）A．2秒B．10秒C．2秒或10秒D．以上答案都不对4．如图，点A在数轴上表示的数是﹣16，点B在数轴上表示的数是8．若点A以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当AB＝8时，运动时间为多少秒？（）A．2秒B．4秒C．2秒或4秒D．2秒或6秒5．如图，点A在数轴上表示的数是﹣8，点B在数轴上表示的数是16．若点A以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当AB＝8时，运动时间为多少秒？（）A．2秒B．13.4秒C．2秒或4秒D．2秒或6秒6．在数轴上有一个动点从原点出发，每次向正方向或负方向移1个单位长度，经过5次移动后，动点落在表示数3的点上，则动点的不同运动方案共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种7．分别表示数a和数b的点在数轴上的位置如图所示，下面4个结论中正确的个数为（）①|a﹣b|＝|a|+|b|②a向右运动时，|a﹣b|的值增大③当a向右运动时，|a﹣b|的值减小．④当a向右运动时，|a﹣b|的值先减小后增大．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，数轴上点A，B表示的数分别为﹣40，50．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当AQ＝3PQ时，运动的时间为（）A．15秒B．20秒C．15秒或25秒D．15秒或20秒9．如图，数轴上有一个质点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，质点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种10．现有一只机器狗从数轴的原点出发，沿数轴正方向运动，这只机器狗每前进6步后，将倒退2步，设该机器狗每秒前进或后退2步，并且每步的距离是1个单位长度，x n表示第n秒时机器狗在数轴上的位置所对应的数，下列结论：①x4＝4；②x7＝10；③x108＜x107；④x2014＜x2013，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）11．已知，如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为﹣5，点B表示的数为7，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速度的，当运动时间为4秒时，点M和点P之间的距离是6个单位长度，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为______．12．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，点B表示的数为30，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过______秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．13．动点A，B分别从数轴上表示10和﹣2的两点同时出发，以7个单位长度/秒和4个单位长度/秒的速度沿数轴向负方向匀速运动，______秒后，点A，B间的距离为3个单位长度．14．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过______秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度．15．数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a+2|+（b﹣8）2020＝0．点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为ME、ON 的中点．思考，在运动过程中，的值______．16．如图，已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，则t的值为______．17．已知M，N为数轴上从原点O出发的两个动点，点M每秒1个单位，点N的速度为点M的2倍，则当运动时间为4秒时，OM和ON两条线段的中点相距______个单位．18．在数轴上，点A，O，B分别表示﹣15，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t 秒．在运动过程中，若点P，Q，O三点其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个三等分点，则运动时间为______秒．19．如图，将直径为1个单位长度的圆从原点处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，使圆上的点A从原点运动至数轴上的点B，则点B表示的数是______．20．数轴上有A、B两点，点A表示5的相反数，点B表示绝对值最小的数，一动点P从点B出发，沿数轴以1单位长度/秒的速度运动，3秒后，点P到点A的距离为______单位长度．三．解答题（共10小题）21．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离______．数轴上表示﹣12和﹣6的两点之间的距离是______．（2）数轴上表示x和﹣4的两点之间的距离表示为______．（3）|x﹣2|+|x+4|的最小值为______时，能使|x﹣2|+|x+4|取最小值的所有整数x的和是______．（4）若数轴上两点A、B对应的数分别是﹣1、3，现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？22．已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣2|，且a、b、c分别是点A、B、C 在数轴上对应的数．（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？（3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于12，请求出所有点M对应的数．23．已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝______；（2）当x＝______时，点P到点A、点B的距离之和是6；（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是______；（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动______秒时，点P到点E，点F的距离相等．24．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝______；（2）当x＝______时，点P到点A，点B的距离之和是6；（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是______；（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动秒时，点P到点E，点F的距离相等．25．一个动点M从一水平数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动2s，到达A后立即返回，向左运动7s到达点B，若动点M的运动速度为2.5个单位长度，求此时点B在数轴上所表示的数的相反数．26．数轴上点A对应的数是﹣1，B点对应的数是1，一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行至C点，再立即返回到A点，共用了4秒钟．（1）求点C对应的数；（2）若小虫甲返回到A点后再作如下运动：第1次向右爬行2个单位，第2次向左爬行4个单位，第3次向右爬行6个单位，第4次向左爬行8个单位，…依次规律爬下去，求它第10次爬行所停下的点所对应的数；（3）若小虫甲返回到A后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从点C出发沿着数轴的负方向以每秒7个单位的速度爬行，设甲小虫对应的点为E点，乙小虫对应的点为F点，设点A、E、F、B所对应的数分别是x A、x E、x F、x B，当运动时间t不超过1秒时．求|x A﹣x E|﹣|x E﹣x F|+|x F﹣x B|的值．27．已知数轴有A、B两点，分别表示的数为a、b，且|a+12|+|b﹣18|＝0．（1）a＝______，b＝______，点A和点B之间的距离为______；（2）如图1，动点P沿线段AB自点A向点B以2个单位长度/秒的速度运动，同时动点Q沿线段BA自点B向点A以4个单位/秒的速度运动，经过______秒，动点P，Q两点能相遇；（3）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2个单位/秒的速度运动，点P出发3秒后，点Q沿线段BA自点B向A以4个单位/秒的速度运动，问再经过几秒P，Q两点相距6个单位长度；（4）如图2，AO＝4厘米，PO＝2厘米，∠POB＝60°，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自点B向点A运动，假若点P，Q两点能相遇，直接写出点Q运动的速度．28．“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点；已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足|m+20|+（n﹣40）2＝0，点O对应的数为k，k的相反数等于本身．（1）直接写出m、n、k的值；（2）设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得PO+PN＝50？（3）已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值．29．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足|a+12|+（b﹣6）2＝0．（1）求A、B两点之间的距离；（2）点C、D在线段AB上，AC为14个单位长度，BD为8个单位长度，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，动点P以3个单位长度/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点Q以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q 到点C的距离相等．30．已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数为80．（1）请直接写出AB的中点M对应的数．（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题：①试求出点C在数轴上所对应的数；②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？初中数学数轴动点问题含答案参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：设运动的时间为t秒，则点Q所表示的数为3﹣2t，点P所表示的数为﹣3+t，∴BP＝3﹣（﹣3+t）＝6﹣t，AQ＝3﹣2t﹣（﹣3）＝6﹣2t，∵BP＝3AQ，∴6﹣t＝3（6﹣2t），解得，t＝2.4，∴点P所表示的数为﹣3+2.4＝﹣0.6，故选：D．2．解：设运动的时间为t秒，则运动后点P所表示的数为﹣6+3t，点Q表示的数为﹣2+t，PQ＝|﹣6+3t﹣（﹣2+t）|＝2|t﹣2|；OQ＝|﹣2+t﹣0|＝|t﹣2|，故选：C．3．解：∵点A表示的数为﹣10，OB＝3OA，∴OB＝3OA＝30．则B对应的数是30，设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，①点M、点N在点O两侧，则10﹣3x＝2x，解得x＝2；②点M、点N重合，则3x﹣10＝2x，解得x＝10．所以经过2秒或10秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．故选：C．4．解：设当AB＝8时，运动时间为t秒，由题意得6t+2t+8＝8﹣（﹣16）或6t+2t＝8﹣（﹣16）+8，解得：t＝2或t＝4．故选：C．5．解：设当AB＝8时，运动时间为t秒，由题意得，6t+2t+8＝16﹣（﹣8）或6t+2t＝16﹣（﹣8）+8，解得：t＝2或t＝4，故选：C．6．解：∵数轴上有一个动点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，动点落在表示数3的点上，∴动点的不同运动方案为：方案一：0→﹣1→0→1→2→3；方案二：0→1→0→1→2→3；方案三：0→1→2→1→2→3；方案四：0→1→2→3→2→3；方案五：0→1→2→3→4→3．故选：D．7．解：由数a和数b在数轴上的位置可知：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，|a﹣b|表示a与b两点之间的距离，由于a＜0，b＞0，因此|a﹣b|＝|a|+|b|，故①正确，根据①的结论，当a在b的左侧向右运动时，|a﹣b|的值逐渐减小，当a在b的右侧向右运动时，|a﹣b|逐渐增大，因此②③均不正确，而④则正确，故选：B．8．解：设运动的时间为t秒，P、Q相遇前，依题意有50﹣（﹣40）﹣3t＝3[50﹣（﹣40）﹣2t﹣3t]，解得t＝15；P、Q相遇后，依题意有50﹣（﹣40）﹣3t＝3[2t+3t﹣50+（﹣40）]，解得t＝20．故运动的时间为15秒或20秒．故选：D．9．解：∵数轴上有一个质点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，质点落在表示数3的点上（允许重复过此点），∴质点的不同运动方案为：方案一：0→﹣1→0→1→2→3；方案二：0→1→0→1→2→3；方案三：0→1→2→1→2→3；方案四：0→1→2→3→2→3；方案五：0→1→2→3→4→3．故选项A错误，选项B错误，选项C错误，选项D正确．故选：D．10．解：根据题意得：x1＝2，x2＝4，x3＝6，x4＝4，x5＝6，x6＝8，x7＝10，x8＝8，根据此规律可推导出，x108＝7×15+3＝108，x107＝7×15+5＝110，2014＝7×287+5，故x2014＝287×4+6＝1154．x2013＝287×4+4＝1152故①x4＝4，②x7＝10；③正确，④错误．故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：由题意得，点M的速度是点Q速度的，设点Q的速度为x，则点M的速度为，∵运动时间为4秒时，点M和点P之间的距离是6个单位长度，∴，解得，x＝2，即Q点的速度是每秒2个单位长度，又A、B两点间的距离为：7﹣（﹣5）＝12，12÷4＝3（秒），故点P从点B到点A需要3秒，点Q运动的距离为：2×3＝6，∴点Q表示的数为：7﹣6＝1，故答案为：1．12．解：设经过t秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，则点M所表示的数为（﹣10+3t），点N所表示的数为2t，①当点O是MN的中点时，有2t＝0﹣（﹣10+3t），解得，t＝2，②当点M与点N重合时，有2t＝﹣10+3t，解得，t＝10，因此，t＝2或t＝10，故答案为：2或10．13．解：设运动的时间为t秒，则运动后A所表示的数为（10﹣7t），B所表示的数为（﹣2﹣4t），由题意得，|10﹣7t﹣（﹣2﹣4t）|＝3，解得，t＝3或t＝5．故答案为：3或5．14．解：分两种情况，①当点N沿着数轴向右移动，则点M表示的数为（﹣2+5t），点N表示的数为（4+4t），由MN＝12得，|（﹣2+5t）﹣（4+4t）|＝12，解得，t＝﹣6（舍去），或t＝18；②当点N沿着数轴向左移动，则点M表示的数为（﹣2+5t），点N表示的数为（4﹣4t），由MN＝12得，|（﹣2+5t）﹣（4﹣4t）|＝12，解得，t＝﹣（舍去），或t＝2；故答案为：2或18．15．解：∵|a+2|+（b﹣8）2020＝0∴a＝﹣2，b＝8，∴A表示﹣2，B表示8；设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是﹣2﹣7t，点N对应的数是8+10t．∵P是ME的中点，∴P点对应的数是＝﹣1﹣3t，又∵Q是ON的中点，∴Q点对应的数是＝4+5t，∴MN＝（8+10t）﹣（﹣2﹣7t）＝10+17t，OE＝t，PQ＝（4+5t）﹣（﹣1﹣3t）＝5+8t，∴＝＝2（定值）．故答案为：2．16．解：设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM＝PN．点P对应的数是﹣t，点M对应的数是﹣1﹣2t，点N对应的数是3﹣3t．①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，所以﹣1﹣2t＝3﹣3t，解得t＝4，符合题意．②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧），故PM＝﹣t﹣（﹣1﹣2t）＝t+1．PN＝（3﹣3t）﹣（﹣t）＝3﹣2t．所以t+1＝3﹣2t，解得t＝，符合题意．综上所述，t的值为或4．故答案为：或4．17．解：设线段OM的中点为G，线段ON的中点为H，分两种情况：①M，N同向时，如图1，H与M重合，当t＝4时，ON＝8，OM＝4，∵H是ON的中点，G是OM的中点，∴OH＝4，OG＝2，∴GH＝OH﹣OG＝4﹣2＝2；②M，N反向时，如图2，当t＝4时，ON＝8，OM＝4，∵H是ON的中点，G是OM的中点，∴OH＝4，OG＝2，∴GH＝OH+OG＝4+2＝6；综上，当运动时间为4秒时，OM和ON两条线段的中点相距2或6个单位．故答案为：2或6．18．解：当点O在PQ之间，则3（15﹣3t）＝9+t﹣（﹣15+3t）解得：t＝3当P在OB之间，则3（3t﹣15）＝9+t解得：t＝或3t﹣15＝（9+t）解得：t＝9当Q在OP之间，则（3t﹣15）＝9+t，方程无解或（3t﹣15）＝9+t解得：t＝19故答案为：3或9或或19秒19．解：∵将直径为1个单位长度的圆从原点处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，∴圆滚动的距离为：π，∵点A从原点运动至数轴上的点B，∴点B表示的数是：﹣π．故答案为：﹣π．20．解：∵点A表示5的相反数，点B表示绝对值最小的数，∴点A表示的数是﹣5，点B表示的数是0，点P移动的距离为1×3＝3（单位长度），①若点P从点B向右移动，则点P所表示的数为3，此时P A＝|﹣5﹣3|＝8，②若点P从点B向左移动，则点P所表示的数为﹣3，此时P A＝|﹣5+3|＝2，故答案为：2或8．三．解答题（共10小题）21．解：（1）1和3两点之间的距离3﹣1＝2，数轴上表示﹣12和﹣6的两点之间的距离是﹣6﹣（﹣12）＝6；故答案为：2，6；（2）x与﹣4之间的距离表示为|x﹣（﹣4）|＝|x+4|；故答案为：|x+4|；（3）当x≥2，原式＝x﹣2+x+4＝2x+2；最小值为2×2+2＝6；当﹣4＜x＜2，原式＝2﹣x+x+4＝6；当x≤﹣4，原式＝2﹣x﹣x﹣4＝﹣2x﹣2，最小值为﹣2×（﹣4）﹣2＝6；∴|x﹣2|+|x+4|最小值为6；∵要使代数式|x﹣2|+|x+4|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣4≤x≤2，∴能使|x﹣2|+|x+4|取最小值的所有整数x的值为：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，它们的和为：﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2＝﹣7；故答案为：6，﹣7；（4）点A在点B的左边，（4﹣3）÷（2﹣0.5）×2+（﹣1）＝．点A所对应的数是点A在点B的右边，（4+3）÷（2﹣0.5）×2+（﹣1）＝8．点A所对应的数是8．故点A所对应的数是或8．22．解：（1）a是最大的负整数，即a＝﹣1；b是﹣5的相反数，即b＝5，c＝﹣|﹣2|＝﹣2，所以点A、B、C在数轴上位置如图所示：（2）设运动t秒后，点P可以追上点Q，则点P表示数﹣1+3t，点Q表示5+t，依题意得：﹣1+3t＝5+t，解得：t＝3．答：运动3秒后，点P可以追上点Q；（3）存在点M，使M到A、B、C三点的距离之和等于12，当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣3；当M在AB之间，则M对应的数是4．故使点M到A、B、C三点的距离之和等于12，点M对应的数是﹣3或4．23．解：（1）由题意得，|x﹣（﹣3）|＝|x﹣1|，解得x＝﹣1；（2）∵AB＝|1﹣（﹣3）|＝4，点P到点A，点B的距离之和是6，∴点P在点A的左边时，﹣3﹣x+1﹣x＝6，解得x＝﹣4，点P在点B的右边时，x﹣1+x﹣（﹣3）＝6，解得x＝2，综上所述，x＝﹣4或2；（3）由两点之间线段最短可知，点P在AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小，所以x的取值范围是﹣3≤x≤1；（4）设运动时间为t，点P表示的数为﹣3t，点E表示的数为﹣3﹣t，点F表示的数为1﹣4t，∵点P到点E，点F的距离相等，∴|﹣3t﹣（﹣3﹣t）|＝|﹣3t﹣（1﹣4t）|，∴﹣2t+3＝t﹣1或﹣2t+3＝1﹣t，解得t＝或t＝2．故答案为：（1）﹣1；（2）﹣4或2；（3）﹣3≤x≤1；（4）或2．24．解：（1）由题意得，|x﹣（﹣3）|＝|x﹣1|，解得x＝﹣1；（2）∵AB＝|1﹣（﹣3）|＝4，点P到点A，点B的距离之和是6，∴点P在点A的左边时，﹣3﹣x+1﹣x＝6，解得x＝﹣4，点P在点B的右边时，x﹣1+x﹣（﹣3）＝6，解得x＝2，综上所述，x＝﹣4或2；（3）由两点之间线段最短可知，点P在AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小，所以x的取值范围是﹣3≤x≤1；（4）设运动时间为t，点P表示的数为﹣3t，点E表示的数为﹣3﹣t，点F表示的数为1﹣4t，∵点P到点E，点F的距离相等，∴|﹣3t﹣（﹣3﹣t）|＝|﹣3t﹣（1﹣4t）|，∴﹣2t+3＝t﹣1或﹣2t+3＝1﹣t，解得t＝或t＝2．故答案为：（1）﹣1；（2）﹣4或2；（3）﹣3≤x≤1；（4）或2．25．解：①点M距原点4个单位长度，且位于原点的右侧，∴M＝4，∴B＝4+2.5×2﹣2.5×7＝﹣8.5，∴此时点B在数轴上所表示的数的相反数是8.5，②点M距原点4个单位长度，且位于原点的左侧，∴M＝﹣4，∴B＝﹣4+2.5×2﹣2.5×7＝﹣16.5，∴此时点B在数轴上所表示的数的相反数是16.5．26．解：（1）设C点表示的数为x，根据题意得x﹣1+x+1＝4×4，解得x＝8，所以C点表示的数为8；（2）﹣1+2﹣4+6﹣8+10﹣12+14﹣16+18﹣20＝﹣11，所以它第10次爬行所停下的点所对应的数为﹣9；（3）因为t＜1，所以点E在A点左侧，F点在A、B之间，所以|x A﹣x E|﹣|x E﹣x F|+|x F﹣x B|＝x A﹣x E﹣x E﹣x F+x F﹣x B＝x A﹣x B＝﹣1﹣1＝﹣2．27．解：（1）∵|a+12|+|b﹣18|＝0，∴a+12＝0，b﹣18＝0，解得，a＝﹣12，b＝18，∴AB＝|﹣12﹣18|＝30，故答案为：﹣12，18，30；（2）30÷（2+4）＝5（秒），故答案为：5；（3）设再经过x秒后点P、点Q相距6个单位长度，当P点在Q点左边时，2（x+3）+4x+6＝30，解得，x＝3；当点P在点Q右边时，2（x+3）+4x﹣6＝30，解得，x＝5；所以，再经过3或5秒后，点P、Q两点相距6个单位长度；（4）设点Q的运动速度为xcm，当P、Q两点在点O左边相遇时，120÷60x＝30﹣6，解得，x＝14；当P、Q两点在点O右边相遇时，240÷60x＝30﹣2，解得，x＝6；所以，点P，Q两点能相遇，则点Q的运动速度为每秒14cm或6cm．28．解：（1）∵|m+20|+（n﹣40）2＝0，且|m+20|≥0，（n﹣40）2≥0，∴|m+20|＝0，（n﹣40）2＝0，∴m＝﹣20，n＝40．∵k的相反数等于本身，∴k＝0．∴m＝﹣20，n＝40，k＝0；（2）∵点P在数轴上对应的数为x，点N对应的数为40，∴PO＝|x|，PN＝40﹣x，∴PO+PN＝|x|+40﹣x＝50，解得：x＝﹣5；（3）设动点P到达点N所用的时间为t1，∵点P的起始点位于数轴上的﹣20处，点N位于数轴上的40处，∴PN＝60，∴t1＝＝＝20（秒），∵动点P、Q从M点同时出发向N点运动，∴在t1＝20（秒）时，Q运动的距离为20×2＝40个单位长度，4秒后，点P运动的距离为3×4＝12个单位长度，点Q运动的距离为4a个单位长度，∴点P共运动了60+12＝72个单位长度，点Q共运动了（40+4a）个单位长度，∵P、Q两点相距2个单位长度，∴PQ＝|72﹣（40+4a）|＝2，解得：a＝或a＝．29．解：（1）∵|a+12|+（b﹣6）2＝0．∴a+12＝0，b﹣6＝0，即：a＝﹣12，b＝6；∴AB＝6﹣（﹣12）＝18；（2）点C、D在线段AB上，∵AB＝18，AC＝14，BD＝8，∴BC＝18﹣14＝4，CD＝BD﹣BC＝8﹣4＝4；（3）设经过t秒，点P、Q到点C的距离相等，AD＝AB﹣BD＝18﹣8＝10，AP＝3t，DQ＝2t，①当点P、Q重合时，AP﹣DQ＝AD，即：3t﹣2t＝10，解得，t＝10，②当点C是PQ的中点时，有CP＝CQ，即，AC﹣AP＝DQ﹣DC，14﹣3t＝2t﹣4，解得，t＝，答：经过或10秒，点P、点Q到点C的距离相等．30．解：（1）AB的中点M所对应的数为＝30（2）①如图1，设点C所表示的数为x，则AC＝x+20，BC＝80﹣x，由题意得，＝，解得，x＝40，答：点C在数轴上所表示的数为40；②分两种情况进行解答，设运动的时间为t秒Ⅰ）如图2，相遇前相距15个单位长度，则3t+2t＝80﹣（﹣20）﹣15，解得，t＝17（秒），Ⅱ）如图3，相遇后相距15个单位长度则3t+2t＝80﹣（﹣20）+15，解得，t＝23（秒）答：当两只蚂蚁运动17秒或23秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度．。
(完整word版)初中数学动点问题专题复习及答案
初中数学动点问题练习题1、佇夏回族自治区）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B 时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒.1、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t .求四边形MNQP的面C积S随运动时间t变化的函数关系式，并写岀自变量t的取值范围.QPAM N B2、如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AD 3，DC 5，AB 4. 2，Z B 45 .动点M 从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动•设运动的时间为t秒.（1）求BC的长.（2）当MN // AB时，求t的值.（3）试探究：t为何值时，△ MNC为等腰三角形.3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA// BC,点A的坐标为（6，0），点B 的坐标为（4，3），点C在y轴的正半轴上.动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点.两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）.（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN // OC?⑵设△ CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式, 并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？x(3)连接AC,那么是否存在这样的 t ，使MN 与AC 互相垂直? 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由.4、(河北卷)如图，在 Rt A ABC 中，/ C = 90°, AC = 12, BC = 16，动点P 从点A 出发沿 AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动.P, Q 分别从点A , C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之 停止运动.在运动过程中，△ PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△ PDQ.设运动时间为t (秒). (1 )设四边形PCQD 的面积为y ,求y 与t 的函数关系式； (2) t 为何值时，四边形 PQBA 是梯形？(3) 是否存在时刻t ，使得PD // AB ?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； (4) 通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD 丄AB ?若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内( O W t < 1 ； 1 v t w 2 ； 2v t w 3； 3 v t < 4)；若不存在，请简要说明理由.5、(山东济宁)如图， A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。
初中数学几何的动点问题专题练习附答案版(供参考)
动点问题专题训练一、如图，已知ABC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．AB AC△中，10（1）若是点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等，通过1秒后，BPD△与CQP△是不是全等，请说明理由；②假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与△全等？CQP（2）假设点Q以②中的运动速度从点C动身，点P以原先的运动速度从点B同时动身，都逆时针沿ABC△三边运动，求通过量长时刻点P与点Q第一次在ABC△的哪条边Array上相遇？P二、直线364y x =-+与坐标轴别离交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点动身，同时抵达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿线路O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时刻为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为极点的平行四边形的第四个极点M 的坐标．3、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，现在AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，现在AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判定四边形EDBC 是不是为菱形，并说明理由．xAO QPBy O E CDA α lOCA（备用图）4、如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8别离与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结P A，假设P A=PB，试判定⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为极点的三角形是正三角形？五、如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点动身沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点动身沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时刻为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探讨：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．六、如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标别离为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点PC在正方形 ABCD 的边上，从点A 动身沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点抵达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时刻为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时刻t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及极点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求现在P 点的坐标；(4)若是点P 、Q 维持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 可否相等，假设能，写出所有符合条件的t 的值；假设不能，请说明理由．7、数学课上，张教师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．通过试探，小明展现了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，那么AM =EC ，易证AME ECF △≌△，因此AE EF =．在此基础上，同窗们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，若是把“点E 是边BC 的中点”改成“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你以为小颖的观点正确吗？若是正确，写出证明进程；若是不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你以为小华的观点正确吗？若是正确，写出证明进程；若是不正确，请说明理由．八、已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）假设折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；ADFC GE B图1ADF C GE B 图2 ADFGB图3（Ⅱ）假设折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确信y 的取值范围；（Ⅲ）假设折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求现在点C 的坐标．1.解：（1）①∵1t =秒，∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米，∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，那么45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时刻433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t ===厘米/秒． ·································································· （7分） （2）设通过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得1532104x x =+⨯， 解得803x =秒． ∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴通过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ········································· （12分） 2.解（1）A （8，0）B （0，6） ·············· 1分 （2）86OA OB ==， 10AB ∴=点Q 由O 到A 的时刻是881=（秒） ∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） ·· 1分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = ········································································································· 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， ····························· 1分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ······································································ 1分（自变量取值范围写对给1分，不然不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ···························································································· 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ···················································· 3分3.解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8）， ∴OA =4，OB =8. 由题意，OP =－k ， ∴PB =P A =8+k .在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32，PD =3， ∴PE 33. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ， ∴△AOB ∽△PEB ，∴332,45AO PE AB PB PB =即， ∴315PB =∴3158PO BO PB =-= ∴3158)P -， ∴3158k =. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,315－8)， ∴k =315－8，∴当k=315－8或k=－315－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为极点的三角形是正三角形.4.5.解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC，4BC =， 得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅， 即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 现在∠AQP =90°． 由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP AC AB=， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．现在∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =． ①点P 由C 向A 运动，DE 通过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 通过点C ，如图7． 22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6.解（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,∴∠A =300.∴AB =4,AC ∴AO =12AC ……………………8分P图4图5在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC .又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7.解：（1）如图①，过A 、D 别离作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，那么四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． ················································································ 1分 在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==．2cos 454242BK AB =︒== ·························································· 2分 在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++= ················································· 3分（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，那么四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= ············································································· 4分 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG = ··················································································· 5分 即10257t t -= 解得，5017t = ···················································································· 6分（3）分三种情形讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t =·························································································· 7分 （图①） A D C B K H （图②） A D C B G MNADNAD N②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t = ······················································································· 8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC =即553t t -= ∴258t = ·························································································· 8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方式同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MCHC DC = 即1102235tt -= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 ··············· 9分（图⑤）A DCBH N MF8.解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ··················· 1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ··········· 2分∴112BG BE EG ====， 即点E 到BC····································· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ················································································· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································ 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，那么MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==．··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．现在，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分当MP MN=时，如图4，这时MC MN MP ===现在，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图1A D E BF CG图2A D EBF CPNMG H则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．现在，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分 9解：（1）Q （1，0） ····················································································· 1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度． ································································ 2分 （2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，那么BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB中，10AB == 3分 过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MP AB AF BF ==． 1068t AM MP∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） ················································ 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． ························· 6分 现在P 的坐标为（9415，5310） ． ····································································· 7分 （4） 当 53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． ················································ 9分10.解：（1）正确． ················································ （1分） 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． （2分） BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外角平分线， 45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．A DF CGEBM90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）． ··································································· （5分） AE EF ∴=． ························································································· （6分） （2）正确． ····················································· （7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ． 使AN CE =，连接NE ． ·································· （8分） BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． ·································································· （10分） AE EF ∴=． （11分）11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+， 即()22242m m -=+，解得32m =. ∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，. ·················································································· 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ ···························································································· 6分 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴ 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，A D F GB Ny ∴的取值范围为322y ≤≤. ····································································· 7分 （Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OC OA OB''=，得2OC OB ''=. ·································································· 9分 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，那么02OC x =. 由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C 的坐标为()016. ···································································· 10分。
(完整word版)初中数学几何的动点问题专题练习-附答案版
动点问题专题训练1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？2、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．5、在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ； A C BQED图16OE CDAα lOCA （备用图）②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．7如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中C点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． （Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；ADFCGB图1ADF C GB 图2ADFC GE B图3（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．12如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD=时，求AM BN的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AMBN的值等于 ；方法指导：为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（1）ABCD EFMN若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）12..如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A ＝90°，AB ＝12，BC ＝21，AD=16。
完整版)七年级上期末动点问题专题(附答案)
完整版)七年级上期末动点问题专题(附答案)1.已知数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且满足|2b-6|+(a+1)^2=0，定义AB的长度为|a-b|。
1) 求线段AB的长度。
解：由定义可得，AB的长度为|a-b|。
2) 设点P在数轴上的坐标为x，且满足PA-PB=2，求x的值。
解：由题意得，PA-PB=|a-x|-|b-x|=2，分成两种情况讨论：当a>b时，有a-x-b+x=2，即a-b=2，解得x=a-1.当a<b时，有b-x-a+x=2，即b-a=2，解得x=b-1.综上所述，x的取值为a-1或b-1.3) 设M、N分别为PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM-PN|的值不变。
解：由题意得，M、N的坐标分别为[(a+x)/2,0]和[(b+x)/2,0]，则① PM÷PN的值不变时，有|a-x|/|b-x|=|a-x0|/|b-x0|，其中x0是PM÷PN的值不变时的一个定值，化简得(a-x0)(b-x)=(b-x0)(a-x)，即ax0-bx0=ax-bx0，解得x=(ax0-bx0+bx0)/2=a/2+b/2-x0/2.② |PM-PN|的值不变时，有[(a-x)/2-(b-x)/2]^2=K，其中K 是|PM-PN|的值不变时的一个定值，化简得(x-a+b)^2=4K，解得x=(a+b±2√K)/2.综上所述，当①成立时，x的取值为a/2+b/2-x0/2；当②成立时，x的取值为(a+b±2√K)/2.2.如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上的动点，其对应的数为x。
1) PA=|x-(-1)|=|x+1|，PB=|x-3|。
2) 若PA+PB=5，则有|x+1|+|x-3|=5，分成四种情况讨论：当x≤-1时，有-(x+1)-(x-3)=5，解得x=-2.当-1<x<3时，有-(x+1)+(x-3)=5，无解。
初一数学动点问题20题及答案
初一数学动点问题20题及答案数轴上动点问题1．已知：如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为2，点C表示的数为﹣8，动点P从点A出发，沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．点M为线段BC中点，点N为线段BP中点．设运动时间为t秒．（1）线段AC的长为__________个单位长度；点M表示的数为；（2）当t=5时，求线段MN的长度；（3）在整个运动过程中，求线段MN的长度．（用含t的式子表示）．2．已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是x，﹣6，4．（1）线段BC的长为_________，线段BC的中点D所表示的数是；（2）若AC=8，求x的值；（3）在数轴上有两个动点P，Q，P的速度为1个单位长度/秒，Q的速度为2个单位/秒，点P，Q分别从点B，C同时出发，在数轴上运动，则经过多少时间后P，Q两点相距4个单位？3．动点A、B同时从数轴上的原点出发向相反的方向运动，且A、B的速度之比是1：4（速度单位：长度单位/秒），3秒后，A、B两点相距15个单位长度．（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置．（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间？4．如图A、B两点在数轴上分别表示﹣10和20，动点P从点A出发以10个单位每秒的速度向右运动，动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度出向右运动．设运动时间为t．（1）当点P运动到B点时，求出t的值；（2）当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出此时P点对应的数？（3）在此运动过程中，若P、Q相距10个单位，直接写出运动时间t？5．已知a，b满足（a+2）2+|b﹣1|=0，请回答下列问题：（1）a=_______，b=_______；（2）a，b在数轴上对应的点分别为A，B，在所给的数轴上标出点A，点B；（3）若甲、乙两个动点分别从A，B两点同时出发沿x轴正方向运动，已知甲的速度为每秒2个单位长度，乙的速度为每秒1个单位长度，更多好题请进入：437600809，请问经过多少秒甲追上乙？6．在数轴上有A、B两动点，点A起始位置表示数为﹣3，点B起始位置表示数为12，点A的速度为1单位长度/秒，点B的运动速度是点A速度的二倍．（1）若点A、B同时沿数轴向左运动，多少秒后，点B与点A相距6单位长度？（2）若点A、点B同时沿数轴向左运动，是否有一个时刻，表示数﹣3的点是线段AB 的中点？如果有，求出运动时间；如果没有，说明理由．7．如图，已知数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；（2）动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、H 同时出发，问点P运动多少秒时追上点H？8．如图，数轴上的点A，B对应的数分别为﹣10，5．动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．（1）求线段AB的长；（2）直接用含t的式子分别表示数轴上的点P，Q对应的数；（3）当PQ=AB时，求t的值．9．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是你数轴上一点，且AB=10，动点P从点O 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B所表示的数______；当t=3时，OP=_______．（2）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R 同时出发，问点R运动多少秒时追上点P？10．如图．点A、点C是数轴上的两点，0是原点，0A=6，5AO=3CO．（1）写出数轴上点A、点C表示的数；（2）点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，问运动多少秒后，这两个动点到原点O的距离存在2倍关系？11．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，P为数轴上的动点，其对应的数为x．（1）数轴上是否存在点P，使P到点A、点B的之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（2）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动．问，它们同时出发几分钟时点P到点A、点B的距离相等？12．A、B两个动点在数轴上做匀速运动，它们的运动时间以及位置记录如下．（1）根据题意，填写下列表格；（2）A、B两点能否相遇？如果相遇，求相遇时的时刻及在数轴上的位置；如果不能相遇，请说明理由；（3）A、B两点能否相距18个单位长度？如果能，求相距18个单位长度的时刻；如不能，请说明理由．13．如图1，点A，B是在数轴上对应的数字分别为﹣12和4，动点P和Q分别从A，B 两点同时出发向右运动，点P的速度是5个单位/秒，点Q的速度是2个单位/秒，设运动时间为t秒．（1）AB=．（2）当点P在线段BQ上时（如图2）：①BP=______________（用含t的代数式表示）；②当P点为BQ中点时，求t的值．。
(中考数学)动点问题专题训练(含答案)
中考专题训练 动点问题例1. 如图， 在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =． 点P 从点B 出发， 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发， 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移， 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时， 点P 与直线m 同时停止运动， 设运动时间为t 秒(0)t >．（1） 当2t =时， 连接DE 、DF ，求证： 四边形AEDF 为菱形；（2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF ∆的面积存在最大值， 当PEF ∆的面积最大时， 求线段BP 的长；（3） 是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t 的值；若不存在， 请说明理由 ．【解答】（1） 证明： 当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点， 如答图 1 所示 ． 又EF AD ⊥ ，EF ∴为AD 的垂直平分线，AE DE ∴=，AF DF =．AB AC = ，AD BC ⊥于点D ，AD BC ∴⊥，B C ∠=∠．//EF BC ∴，AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=，AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形 ．（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽， ∴EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5102EF t =-． 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<< ， ∴当2t =秒时，PEF S ∆存在最大值， 最大值为210cm ，此时36BP t cm ==．（3） 解： 存在 ． 理由如下：①若点E 为直角顶点， 如答图 3①所示，此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =．//PE AD ，∴PE BP AD BD =，即2385t t =，此比例式不成立， 故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示，此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-．//PF AD ，∴PF CP AD CD =，即210385t t -=，解得4017t =；③若点P 为直角顶点，如答图③所示 ．过点E 作EM BC ⊥于点M ，过点F 作FN BC ⊥于点N ，则2EM FN DH t ===，////EM FN AD ．//EM AD ，∴EM BM AD BD =，即285t BM =，解得54BM t =， 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=． 在Rt EMP ∆中， 由勾股定理得：2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=． //FN AD ，∴FN CN AD CD =，即285t CN =，解得54CN t =， 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-． 在Rt FNP ∆中， 由勾股定理得：22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+． 在Rt PEF ∆中， 由勾股定理得：222EF PE PF =+， 即：2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得：21833508t t -=， 解得：280183t =或0t =（舍 去） 280183t ∴=． 综上所述， 当4017t =秒或280183t =秒时，PEF ∆为直角三角形 ．例2. 如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板Rt ABC ∆和Rt ADC ∆拼在一起，使斜边AC 完全重合， 且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，90ABC ADC ∠=∠=︒，30CAD ∠=︒，4AB BC cm ==（1） 填空：AD = )cm ，DC = ()cm（2） 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发， 且分别在AD ，CB 上沿A D →，C B →方向运动， 当N 点运动到B 点时，M 、N 两点同时停止运动， 连接MN ，求当M 、N 点运动了x 秒时， 点N 到AD 的距离 （用 含x 的式子表示）（3） 在 （2） 的条件下， 取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设PMN ∆的面积为2()y cm ，在整个运动过程中，PMN ∆的面积y 存在最大值， 请求出y 的最大值 ．（参考数据sin 75︒=sin15︒=【解答】解： （1）90ABC ∠=︒ ，4AB BC cm ==，AC ∴===，90ADC ∠=︒ ，30CAD ∠=︒，12DC AC ∴==，AD ∴==；故答案为：，；（2） 过点N 作NE AD ⊥于E ，作NF DC ⊥，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE DF =，90ABC ADC ∠=∠=︒ ，AB BC =，30CAD ∠=︒，45ACB ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，180456075NCF ∴∠=︒-︒-︒=︒，15FNC ∠=︒，sinFC FNCNC ∠=，NC x=，FC x∴=，NE DF x∴==+，∴点N到ADx+；（3）sinFN NCFNC ∠=，FN x∴=，P为DC的中点，PD CP∴==PF x∴=PMN∴∆的面积y=梯形MDFN的面积PMD-∆的面积PNF-∆的面积111)) 222x x x x=+-+--+2x x=+，即y是x的二次函数，0<，y∴有最大值，当x==时，y=．例3. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，2BC =，边BC 在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO BD ⊥，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1） 请直接写出线段BC 在平移过程中， 四边形APQD 是什么四边形？（2） 请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；（3） 在平移变换过程中， 设OPB y S ∆=，(02)BP x x =……，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值 ．【解答】（1） 四边形APQD 为平行四边形；（2）OA OP =，OA OP ⊥，理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC PQ ∴==，45ABO OBQ ∠=∠=︒，OQ BD ⊥ ，45PQO ∴∠=︒，45ABO OBQ PQO ∴∠=∠=∠=︒，OB OQ ∴=，在AOB ∆和OPQ ∆中，AB PQABO PQO BO QO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB POQ SAS ∴∆≅∆，OA OP ∴=，AOB POQ ∠=∠，90AOP BOQ ∴∠=∠=︒，OA OP ∴⊥；（3） 如图， 过O 作OE BC ⊥于E ．①如图 1 ，当P 点在B 点右侧时，则2BQ x =+，22x OE +=， 1222x y x +∴=⨯，即211(1)44y x =+-， 又02x ……，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ；②如图 2 ，当P 点在B 点左侧时，则2BQ x =-，22x OE -=， 1222x y x -∴=⨯ ，即211(1)44y x =--+， 又02x ……，∴当1x =时，y 有最大值为14； 综上所述，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ．例4. 如图， 在平面直角坐标系中，O 为原点， 四边形ABCO 是矩形， 点A ，C 的坐标分别是(0,2)A 和C ，0)，点D 是对角线AC 上一动点 （不 与A ，C 重合） ，连结BD ，作DE DB ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1） 填空： 点B 的坐标为 ；（2） 是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在， 请求出AD 的长度；若不存在， 请说明理由；（3）①求证：DE DB =； ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式 （可 利用①的结论） ，并求出y 的最小值 ．【解答】解： （1） 四边形AOCB 是矩形，2BC OA ∴==，OC AB ==90BCO BAO ∠=∠=︒，B ∴2)．故答案为2)．（2） 存在 ． 理由如下：2OA = ，OC =，tan AO ACO OC ∠== ， 30ACO ∴∠=︒，60ACB ∠=︒①如图 1 中， 当E 在线段CO 上时，DEC ∆是等腰三角形， 观察图象可知， 只有ED EC =，30DCE EDC ∴∠=∠=︒，60DBC BCD ∴∠=∠=︒，DBC ∴∆是等边三角形，2DC BC ∴==，在Rt AOC ∆中，30ACO ∠=︒ ，2OA =，24AC AO ∴==，422AD AC CD ∴=-=-=．∴当2AD =时，DEC ∆是等腰三角形 ．②如图 2 中， 当E 在OC 的延长线上时，DCE ∆是等腰三角形， 只有CD CE =，15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒，75ABD ADB ∴∠=∠=︒，AB AD ∴==，综上所述， 满足条件的AD 的值为 2 或（3）①如图 1 ，过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ，交OC 于N ，(0,2)A 和C ，0)，∴直线AC 的解析式为2y x =+，设(,2)D a +，2DN ∴=+，BM a =90BDE ∠=︒ ，90BDM NDE ∴∠+∠=︒，90BDM DBM ∠+∠=︒，DBM EDN ∴∠=∠，90BMD DNE ∠=∠=︒ ，BMD DNE ∴∆∆∽，∴DE DN BD BM ===②如图 2 中， 作DH AB ⊥于H ．在Rt ADH ∆中，AD x = ，30DAH ACO ∠=∠=︒，1122DH AD x ∴==，AH x ==，BH x ∴=， 在Rt BDH ∆中，BD ==，DE ∴==， ∴矩形BDEF的面积为22612)y x x ==-+，即2y x =-+，23)y x ∴=-+，0>，3x ∴=时，y ．例5. 已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图 1 ，连接BC ．（1） 填空：OBC ∠= 60 ︒；（2） 如图 1 ，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3） 如图 2 ，点M ，N 同时从点O 出发， 在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点M 的运动速度为 1.5 单位/秒， 点N 的运动速度为 1 单位/秒， 设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【解答】解： （1） 由旋转性质可知：OB OC =，60BOC ∠=︒，OBC ∴∆是等边三角形，60OBC ∴∠=︒．故答案为 60 ．（2） 如图 1 中，4OB = ，30ABO ∠=︒，122OA OB ∴==，AB ==11222AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=BOC ∆ 是等边三角形，60OBC ∴∠=︒，90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，AC ∴==2AOC S OP AC ∆∴===．（3）①当803x <…时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则sin 60NE ON x =︒= ，11 1.522OMN S OM NE x x ∆∴==⨯ ，2y x ∴=．83x ∴=时，y 有最大值， 最大值=． ②当843x <…时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动 ．作MH OB ⊥于H ． 则8 1.5BM x =-，sin 60 1.5)MH BM x =︒=- ，212y ON MH x ∴=⨯⨯=+．当83x =时，y 取最大值，y < ③当4 4.8x <…时，M 、N 都在BC 上运动， 作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==，12y MN OG ∴== ，当4x =时，y 有最大值， 最大值=，综上所述，y 有最大值， ．。
(完整版)初二动点问题(含答案)
动态问题一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想类型：1。
利用图形想到三角形全等，相似及三角函数2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程,速度(动点怎么动)3.结合图形和题目,得出已知或能间接求出的数据4。
分情况讨论,把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6。
动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示,就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论二、例题：1、如图1,梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时,四边形是平行四边形；当t= 时,四边形是等腰梯形.2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1，N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为．的长为 ；的长为 ;4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；（2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD—BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、数学课上，张老师出示了问题:如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BCEFCF于点F，求证：AE=EF．AB的中点M,连接ME,则AM=EC在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点"改为“点E是边BC上(除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由;（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确,请说明理由．ACBAED图1NMA BCDEMN图2ACBEDNM图36、如图， 射线MB上，MB=9，A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；(2)△ PAB为直角三角形的t值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °,其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向CCA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时，能（2）若点Q以②中的运动速度从点C来的运动速度从点B边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次哪条边上相遇?A DFC GEB图1A DFC GEB图3A DFC GEB图2。
初一数学动点问题答案与解析
动点问题答案与解析一、单点移动问题1.【解答】（1）-21（2）14.5秒（3）37-2t（4）BC：2t-29当A在C的左边：AC：52-2t当A在C的右边：AC：2t-522.【解答】解：（1）点P表示的有理数为﹣4+2×2=0；（2）6﹣（﹣4）=10，10÷2=5，5÷2=2.5，（10+5）÷2=7.5．故点P是AB的中点时t=2.5 或7.5；（3）在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为2t；（4）在点P由点B到点A的返回过程中，点P表示的有理数是6﹣2（t﹣5）=16﹣2t．3.【解答】解：（1）①点P在点B的左边时∵PB=2，4﹣2=2，∴点P表示的是2．②点P在点B的右边时，∵PB=2，4+2=6，∴点P表示的是6．综上，可得点P表示的是2或6；（2）∵4﹣（﹣2）=6，∴线段AB的长度是6．①AP=AB=2时，点P表示的是﹣2+2=0．②BP=AB=2时，点P表示的是4﹣2=2．综上，可得点P表示的是0或2；（3）①点P在点B的左边时，∵AP=6﹣2=4，4÷2=2，∴线段AM的长是2．②点P在点B的右边时，∵AP=6+2=8，8÷2=4，∴线段AM的长是4．综上，可得线段AM的长是2或4．（4）根据图示，可得当点P在A、B两点之间时，PA+PB的值最小，此时，PA+PB=AB=6，所以PA+PB 的最小值是6．二、两点移动问题4.【解答】解：（1）①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8﹣12=﹣4，∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P表示的数是8﹣3×1=5．②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB﹣3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15解得：x=3．∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．（2）2MN+PQ=12或2MN﹣PQ=12；理由如下：P在Q右侧时有：MN=MQ+NP﹣PQ=AQ+BP﹣PQ=（AQ+BP﹣PQ）﹣PQ= AB﹣PQ=（12﹣PQ），即2MN+PQ=12．同理P在Q左侧时有：2MN﹣PQ=12．5.【解答】解：（1）点B表示的数是﹣4；（2）﹣4+2×2=﹣4+4=0．故2秒后点B表示的数是0，（3）由题意可知：①O为BA的中点，（﹣4+2t）+（2+2t）=0，解得t=；②B为OA的中点，2+2t=2（﹣4+2t），解得t=5．故答案为：﹣4；0．6.【解答】解：（1）设A点运动速度为x单位长度/秒，则B点运动速度为4x单位长度/秒．由题意得：3x+3×4x=15解得：x=1∴A点的运动速度是1单位长度/秒，B点的速度是4单位长度/秒；（2）设y秒后，原点恰好处在A、B的正中间．由题意得：y+3=12﹣4y解得：答：经过秒后，原点恰处在A、B的正中间；（3）设B追上A需时间z秒，则：4×z﹣1×z=2×（+3）解得：，=64．答：C点行驶的路程是64长度单位．7.【解答】解：（1）∵1﹣（﹣1）=2，2的绝对值是2，1﹣3=﹣2，﹣2的绝对值是2，∴点P对应的数是1．（2）当P在AB之间，PA+PB=4（不可能有）当P在A的左侧，PA+PB=﹣1﹣x+3﹣x=6，得x=﹣2当P在B的右侧，PA+PB=x﹣（﹣1）+x﹣3=6，得x=4故点P对应的数为﹣2或4；（3）解：设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：2x=4+x，解得x=4．∴6x=24．答：点P所经过的总路程是24个单位长度．8.【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA=6，则OB=AB﹣OA=4，点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为﹣4；点P运动t秒的长度为6t，∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6﹣6t；（2）①点P运动t秒时追上点R，根据题意得6t=10+4t，解得t=5，答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，当P不超过Q，则10+4a﹣6a=8，解得a=1；当P超过Q，则10+4a+8=6a，解得a=9；答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．9.【解答】解：（1）①当P在线段AB上时，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=40，OP=60，故点P运动时间为60秒．若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q的运动速度为50÷60=（cm/s）；若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q的运动速度为30÷60=（cm/s）．②点P在线段AB延长线上时，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=120，OP=140，故点P运动时间为140秒．若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q的运动速度为50÷140=（cm/s）；若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q的运动速度为30÷140=（cm/s）．（2）设运动时间为t秒，则t+3t=90±70，t=5或40，∵点Q运动到O点时停止运动，∴点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ=OP=30cm，之后点P继续运动40秒，则PQ=OP=70cm，此时t=70秒，故经过5秒或70秒两点相距70cm；（3）如图1，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP=80﹣（x﹣20）=100﹣x，EF=OF﹣OE=（OA+AB）﹣OE=（20+30）﹣=50﹣，∴==2．如图2，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP=80﹣（x﹣20）=100﹣x，EF=OF﹣OE=（OA+AB）﹣OE=（20+30）﹣=50﹣，∴==2．三、多点移动问题10.【解答】解：（1）A表示的数是﹣6，点A先沿着数轴向右移动8个单位长度，再向左移动5个单位长度后所对应的数字是：﹣6+8﹣5=﹣3，故答案为：﹣3；（2）∵A，B对应的数分别为﹣6，2，点C到点A，点B的距离相等，∴AB=8，x的值是﹣2．故答案为：﹣2；（3）根据题意得：|x﹣（﹣6）|+|x﹣2|=10，解得：x=﹣7或3；故答案为：﹣7或3；（4）当点A、B重合时，﹣6+4t=2﹣2t，解得t=；当点C为A、B中点且点C在点A的右侧时，﹣t﹣（﹣6+4t）=（2﹣2t）﹣（﹣t），解得t=1；当点C为A、B中点且点C在点A的左侧时，（﹣6﹣4t）﹣（﹣t）=（﹣t）﹣（2﹣2t）m解得t=1（舍去）．综上所述，当t=或1，点C到点A、B 的距离相等．11.【解答】解：（1）设B点的运动速度为x，A、B两点同时出发相向而行，则他们的时间相等，有：=，解得x=1，所以B点的运动速度为1；（2）设经过时间为t．则B在A的前方，B点经过的路程﹣A点经过的路程=6，则2t﹣t=6，解得t=6．A在B的前方，A点经过的路程﹣B点经过的路程=6，则2t﹣t=12+6，解得t=18．（3）设点C的速度为y，始终有CB：CA=1：2，即：=，解得y=，当C停留在﹣10处，所用时间为：=秒，B的位置为=﹣．12.【解答】解：（1）∵BC=300，AB=，所以AC=600，C点对应200，∴A点对应的数为：200﹣600=﹣400；（2）设x秒时，Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，∴MR=（10+2）×，RN=[600﹣（5+2）x]，∴MR=4RN，∴（10+2）×=4×[600﹣（5+2）x]，解得：x=60；∴60秒时恰好满足MR=4RN；（3）QC﹣AM的值不发生变化．理由如下：设经过的时间为y，则PE=10y，QD=5y，于是PQ点为[0﹣（﹣800）]+10y﹣5y=800+5y，一半则是，所以AM点为：+5y﹣400=y，又QC=200+5y，所以﹣AM=﹣y=300为定值．四、线段移动问题13.【解答】解：（1）由题意得：11﹣（b+3）=b，解得：b=4．答：线段AC=OB，此时b的值是4．（2）由题意得：①11﹣（b+3）﹣b=（11﹣b），解得：b=．②11﹣（b+3）+b=（11﹣b），解得：b=﹣5．答：若AC﹣0B=AB，满足条件的b值是或﹣5．14.【解答】解：（1）∵点A、M、N对应的数字分别为﹣1、0、2，线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒，∴移动后M表示的数为t，N表示的数为t+2，∴AM=t﹣（﹣1）=t+1．故答案为：t+1．（2）由（1）可知：BN=|11﹣（t+2）|=|9﹣t|，∵AM+BN=11，∴t+1+|9﹣t|=11，解得：t=．故答案为：．（3）假设能相等，则点A表示的数为2t﹣1，M表示的数为t，N表示的数为t+2，B表示的数为11﹣t，∴AM=|2t﹣1﹣t|=|t﹣1|，BN=|t+2﹣（11﹣t）|=|2t﹣9|，∵AM=BN，∴|t﹣1|=|2t﹣9|，解得：t1=，t2=8．故在运动的过程中AM和BN能相等，此时运动的时间为秒和8秒．15.【解答】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5=15，则此木棒长为：15÷3=5，故答案为：5．（2）如图，点A表示美羊羊现在的年龄，点B表示村长爷爷现在的年龄，木棒MN的两端分别落在点A、B．由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数为﹣40，当点M移动到点B时，点N所对应的数为116．可求MN=52．所以点A所对应的数为12，点B所对应的数为64．即美羊羊今年12岁，村长爷爷今年64岁．五、图形动点问题16.【解答】【考点】8A：一元一次方程的应用．【专题】25 ：动点型；2A ：规律型．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，设出正方形的边长，乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，甲行的路程为2a×=，乙行的路程为2a×=，在AB边相遇；②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在CB边相遇；③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在DC边相遇；④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在AB边相遇；⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在AD边相遇；…因为2008=502×4，所以它们第2008次相遇在边AB上．故答案为：AB．【点评】本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．。
初中数学动点题百题训练专题练习(含答案解析)
初中数学动点题百题训练专题练习1.如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线m//n；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的大小.其中会随点P的移动而变化的是()A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④2.直线AB上有一点O，OM⊥AB于O，另有直角∠COD在平角∠AOB内绕O点左右摆动(OC与OA、OD与OB不重合)，在摆动时，始终与∠MOD保持相等的角是()A. ∠BODB. ∠AOCC. ∠COMD. 没有3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(2,0)，正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，每旋转60∘为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时，点F的坐标是()A. (2017,0)B. (201712,√32) C. (2018,√3) D. (2018,0)4.如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(−1,0)运动到点(0,1)，第2次运动到点(1,0)，第3次运动到点(2,−2)，……，按这样的运动规律，动点P第2018次运动到点()A. (2018,0)B. (2017,0)C. (2018,1)D. (2017,−2)5.如图，等腰ΔABC中，AB=AC，MN是边BC上一条运动的线段(点M不与点B重合，点N不与点C重合)，且MN=12BC，MD⊥BC交AB于点D，NE⊥BC交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，ΔBMD和ΔCNE的面积之和A. 保持不变B. 先变小后变大C. 先变大后变小D. 一直变大6.如图，矩形ABCD中，点R沿CD边从点C向点D运动，点M在BC边上运动，E、F分别是AM、MR的中点，则EF的长度随着点M、点R的运动()A. 变短B. 变长C. 不变D. 无法确定7.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A. 6B. 8C. 9D. 108.如图，已知，，，点是线段上的一个动点，连接，动点始终与点关于直线对称，当点由点位置向右运动至点位置时，相应的点所经过的路程为()A.B.C.D.9.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为()A. √5B. √6C. 1+√2D. 310.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，并且∠DAC=60∘，∠ADB=15∘.点E是AD边上一动点，延长EO交BC于点F.当点E从D点向A点移动过程中(点E与点D，A不重合)，则四边形AFCE的变化是()A. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形C. 平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D. 平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形11.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别为AB，BC边上的中点，则MP+NP的最小值是()A. 2B. 1C.D.12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动.则运动过程中所构成的△CPO的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是()A. B. C. D.13.如图，在△ABC中，∠B=90∘，tan∠C=34，AB=6cm.动点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是()A. 18cm2B. 12cm2C. 9cm2D. 3cm214.抛物线y=x2−2x−15，y=4x−23，交于A、B点(A在B的左侧)，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B.若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为( )A. 10√5B. 7√10C. 5√21D. 8√1015.如图，抛物线y=x2−12x−32与直线y=x−2交于A、B两点(点A在点B的左侧)，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为()A. √292B. √293C. 52D. 5316.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为()A. 19cm2B. 16cm2C. 15cm2D. 12cm217.如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A，B两点，过点B的直线与抛物线在第二象限交于点C，且tan∠CBA=43，点D为线段BC上一点(不含端点).现有一动点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度运动到D点，再沿线段DC以每秒54个单位长度的速度运动到C点，则动点P运动到C点的最短时间需()秒．A. 7B. 649C. 10 D. 75818.如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过()秒，四边形APQC的面积最小．A. 1B. 2C. 3D. 419.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是()A. 4或4.8B. 3或4.8C. 2或4D. 1或620.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点P为BC边上一动点，AP交BD于点Q.点P从B点出发沿BC边以每秒1个单位长度的速度向C点移动，移动时间为x秒.设S△AQD+S△PQB=y，写出y与x之间的函数关系式，并探究P点运动到第几秒与第几秒之间时，y取得最小值.()A. 3到4B. 4到5C. 5到6D. 6到721.在矩形ABCD中，BC=10cm、DC=6cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动，设运动时间为t秒.若∠AFD=∠AED，则t的值为()A. √2−1B. 0.5C. 23D. 122.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60∘，BC=4√3，当点P在B^C上由B点运动到C点时，弦AP的中点E运动的路径长为()A. 4√33πB. 43πC. 83πD. 2√323.如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为(12,1)，(3,1)，(3,0)，点A 为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动.设点B的坐标为(0,b)，则b的取值范围是()A. −14≤b≤1 B. −54≤b≤1 C. −94≤b≤12D. −94≤b≤124.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，BC=1.P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动.在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是()A. 一直不变B. 一直减小C. 一直增大D. 先减小后增大25.如图，在反比例函数y=32x的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=kx的图象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为()A. −3B. −6C. −9D. −1226.如图，在点O处测得远处动点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得∠AOB=90∘，∠BOC=30∘，则tan∠OAB=()A. 32B. √32C. 2√33D. 2327.如图，四边形ABCD和四边形BEFG均为正方形，且A、B、E三点共线，正方形ABCD的边长为4，则S△ACF的面积为______ ．28.20.如图，矩形ABCD中，点M是CD的中点，点P是AB上的一动点，若AD=1，AB=2，则PA+PB+PM的最小值是．29.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…按这样的运动规律，经过第2017次运动后，动点P的坐标是______，经过第2018次运动后，动点P的坐标是______．30.15.如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y与x的关系图象如图2所示，则AB的长为_______，梯形ABCD的面积为__________．31.18、正方形中，为上一动点，连接交于，过点作交于，。
初中数学相交与平行-动点问题含答案
相交与平行-动点问题一．解答题（共20小题）1．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．2．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ ∥EC交射线CD于点Q，连结CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．（1）若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ 的度数；若不存在，请说明理由．3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝______°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．4．如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD（1）求证：∠EMF＝90°．（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．5．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．6．已知：∠MON＝48°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°（1）如图1，若AB∥ON，则：①∠ABO的度数是______°；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝______°；③当∠BAD＝∠BDA时，x＝______°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．7．如图，两条射线AM∥BN，线段CD的两个端点C、D分别在射线BN、AM上，且∠A ＝∠BCD＝108°．E是线段AD上一点（不与点A、D重合），且BD平分∠EBC．（1）求∠ABC的度数．（2）请在图中找出与∠ABC相等的角，并说明理由．（3）若平行移动CD，且AD＞CD，则∠ADB与∠AEB的度数之比是否随着CD位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．8．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．9．已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）．（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：∠CPD＝∠PCA+∠PDB，请说明理由；（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？10．如图①，已知直线l1、l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线l3上有动点P（点P与点C、D不重合），点A在直线l1上，点B在直线l2上．（1）问题发现：如果点P在C、D之间运动时，且满足∠1+∠3＝∠2，请写出l1与l2之间的位置关系______；（2）拓展探究：如图②如果l1∥l2，点P在直线l1的上方运动时，试猜想∠1+∠2与∠3之间关系并给予证明；（3）问题解决：如果l1∥l2，点P在直线l2的下方运动时，请直接写出∠P AC、∠PBD、∠APB之间的关系．11．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝______．（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD＝∠AOE时，求∠BOD的度数．（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．12．如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，像图①②那样放置．（1）若∠BOC＝60°，如图①，猜想∠AOD的度数；（2）若∠BOC＝70°，如图②，猜想∠AOD的度数；（3）猜想∠AOD和∠BOC的关系，并写出理由．13．如图，是我们生活中经常接触的小刀，由刀片和刀柄组成，在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由14．已知直线a∥b，点A在直线a上，点B、C直线b上，点D在线段BC上．（1）如图，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，DE⊥AC于E，求证：∠1＝∠2；（2）若点F为线段AB上不与A、B重合的一动点，点H在AC上，FQ平分∠AFD交AC于Q，设∠HFQ＝x°，（此时点D为线段BC上不与点B、C重合的任一点），问当α、β，x之间满足怎样的等量关系时，FH∥a？并以此为条件证明FH∥a．15．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON＝5∠DOM 时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度数（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行．（4）将如图①位置的两块三角板同时绕点O逆时针旋转，速度分别每秒20°和每秒10°，当其中一个三角板回到初始位置时，两块三角板同时停止转动．经过______秒后边OC与边ON互相垂直．（直接写出答案）16．将一副三角板如图所示位置摆放．（1）直接写出∠AOC与∠BOD的大小关系，不需证明；（2）图1中的三角板AOB不动，将三角板COD绕点O旋转至CO∥AB（如图2），判断DO与AB的位置关系，并证明．（3）在（2）的条件下，三角板COD绕点O旋转的过程中，能否使CD⊥AB？若能，求出此时∠AOC的度数；若不能，请说明理由．17．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______．（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝______．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F 满足怎样的数量关系？（直接写出结果）18．如图，已知OM⊥ON，垂足为O，点A、B分别是射线OM、ON上的一点（O点除外）．（1）如图①，射线AC平分∠OAB，是否存在点C，使得BC所在的直线也平分以B为顶点的某一个角α（0°＜α＜180°），若存在，求∠ACB的度数；若不存在，请说明理由；（2）如图②，P为平面上一点（O点除外），∠APB＝90°，且OA≠AP，分别画∠OAP、∠OBP的平分线AD、BE，交BP、OA于点D、E，试简要说明AD∥BE的理由；（3）在（2）的条件下，随着P点在平面内运动，AD、BE的位置关系是否发生变化？请利用图③画图探究，如果不变，直接回答；如果变化，画出图形并直接写出AD、BE 位置关系．19．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当x＝19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数．（2）当x＝60°，射线OE、OF分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF重合时至少需要多少时间？（3）当x＝60°，射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF＝90°时，求射线OE转动的时间．20．已知直线AB和CD交于O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当x＝20°时，则∠EOC＝______度；∠FOD＝______度．（2）当x＝60°时，射线OE′从OE开始以10°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求至少经过多少秒射线OE′与射线OF′重合？（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间．相交与平行-动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．解：（1）如图1，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵MG⊥NG，∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝30°，∴∠MGK＝∠BMG＝30°，∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP＝∠BMG＝30°，∴∠BMP＝60°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，∴∠AME＝2x，∵GK∥AB，∴∠MGK＝∠BMG＝x，∵ET∥AB，∴∠TEM＝∠EMA＝2x，∵CD∥AB∥KG，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝y，∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，∵ET∥AB∥CD，∴ET∥CD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，∵2∠MEN+∠G＝105°，∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，∴x＝25°，∴∠AME＝2x＝50°．2．解：（1）①∵∠CEB＝100°，AB∥CD，∴∠ECQ＝80°，∵∠PCF＝∠PCQ，CG平分∠ECF，∴＝∠ECQ＝40°；②∵AB∥CD∴∠QCG＝∠EGC，∠QCG+∠ECG＝∠ECQ＝80°，∴∠EGC+∠ECG＝80°又∵∠EGC﹣∠ECG＝40°，∴∠EGC＝60°，∠ECG＝20°∴∠ECG＝∠GCF＝20°，∠PCF＝∠PCQ＝（80°﹣40°）＝20°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ＝∠ECP＝60°；（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，①当点G、F在点E的右侧时，则∠ECG＝∠PCF＝∠PCD＝x，∵∠ECD＝80°，∴4x＝80°，解得x＝20°，∴∠CPQ＝3x＝60°；②当点G、F在点E的左侧时，则∠ECG＝∠GCF＝x，∵∠CGF＝180°﹣3x，∠GCQ＝80°+x，∴180°﹣3x＝80°+x，解得x＝25°，∴∠FCQ＝∠ECF+∠ECQ＝50°+80°＝130°，∴，∴∠CPQ＝∠ECP＝65°﹣50°＝15°．3．解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠CBP＝t，又∵∠ACB＝120°∴∠ACB＝∠CAN+∠CBP＝120°＝180°﹣2t+t，解得：t＝60，此时AC与BC共线，不符合题意，或120＝2t﹣180+t，解得t＝100，如图4中，当∠ACB＝120°时，∵∠ACB＝∠MAC+∠QBC，∴120°＝360°﹣2t+180°﹣t，∴t＝140，综上所述，满足条件的t的值为140或100．故答案为：140或100．4．解：（1）如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，∴∠FEM＝∠BEF，∠EFM＝∠DFE，∴∠FEM+∠EFM＝×180°＝90°，∴∠EMF＝90°．（2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x，∴∠EFM＝90°﹣4x，∴NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°，∵∠MFE＝∠MFD，∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°），∴x＝15°，∴∠MFN＝15°，∴∠N＝90°﹣15°＝75°（3）如图3，∵GQ⊥FM，∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）．∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ．∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝（∠HFE+∠EFD）＝∠HFD，∴∠HFD＝2∠GFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD＝180°，∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ，即无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ．5．解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，∴∠A+∠B＝90°，又∵∠A+∠1＝90°，∴∠B＝∠1，∴AB∥DE．（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．6．解：（1）如图1，①∵∠MON＝48°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝24°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝24°；②当∠BAD＝∠ABD时，∠BAD＝24°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝180°﹣24°×3＝108°；当∠BAD＝∠BDA时，∵∠ABO＝24°，∴∠BAD＝78°，∠AOB＝24°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝180°﹣24°﹣24°﹣78°＝54°，故答案为：①24°；②108，54；（2）如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角．∵AB⊥OM，∠MON＝48°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝24°，∠ABO＝66°，①当AC在AB左侧时：若∠BAD＝∠ABD＝66°，则∠OAC＝90°﹣66°＝24°；若∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣66°）＝57°，则∠OAC＝90°﹣57°＝33°；若∠ADB＝∠ABD＝66°，则∠BAD＝48°，故∠OAC＝90°﹣48°＝42°；②当AC在AB右侧时：∵∠ABE＝114°，且三角形的内角和为180°，∴只有∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣114°）＝33°，则∠OAC＝90°+33°＝123°．综上所述，当x＝24、33、42、123时，△ADB中有两个相等的角．7．解：（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABC＝180°．∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣108°＝72°．（2）与∠ABC相等的角是∠ADC、∠DCN．∵AM∥BN，∴∠ADC＝∠DCN，∠ADC+∠BCD＝180°．∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°．∴∠DCN＝72°．∴∠ADC＝∠DCN＝∠ABC．（3）不发生变化．∵AM∥BN，∴∠AEB＝∠EBC，∠ADB＝∠DBC．∵BD平分∠EBC，∴∠DBC＝∠EBC，∴∠ADB＝∠AEB，∴＝．8．解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°，又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝（∠ABP+∠PBN）＝∠ABN＝60°．（2）不变．理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠ADB＝∠DBN＝∠PBN＝∠APB，即∠APB：∠ADB＝2：1．（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，又∵∠ACB＝∠ABD，∴∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝∠CBN﹣∠CBD＝∠DBN，∴∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN，∴∠ABC＝∠ABN＝30°．9．解：（1）证明：如图1，过点P作PE∥a，则∠1＝∠CPE．∵a∥b，PE∥a，∴PE∥b，∴∠2＝∠DPE，∴∠3＝∠1+∠2，即∠CPD＝∠PCA+∠PDB；（2）∠CPD＝∠PCA﹣∠PDB．理由：如图2，过点P作PE∥b，则∠2＝∠EPD，∵直线a∥b，∴a∥PE，∴∠1＝∠EPC，∵∠3＝∠EPC﹣∠EPD，∴∠3＝∠1﹣∠2，即∠CPD＝∠PCA﹣∠PDB；（3）∠CPD＝∠PDB﹣∠PCA．证明：如图3，设直线AC与DP交于点F，∵∠PF A是△PCF的外角，∴∠PF A＝∠1+∠3，∵a∥b，∴∠2＝∠PF A，∴∠2＝∠1+∠3，∴∠3＝∠2﹣∠1，即∠CPD＝∠PDB﹣∠PCA．10．证明：（1）如图①，延长BP交AC于E，∵∠2＝∠1+∠3，∠2＝∠1+∠AEP，∴∠3＝∠AEP，∴l1∥l2，故答案为：l1∥l2；（2）如图②所示，当点P在线段DC的延长线上时，∠1+∠2＝∠3，理由是：∵l1∥l2，∴∠CEP＝∠3∵∠CEP＝∠1+∠2，∴∠1+∠2＝∠3；（3）如图③所示，当点P在直线l2的下方运动时，∠APB+∠PBD＝∠P AC．理由：过点P作PF∥l1，∠FP A＝∠1．∵l1∥l2，∴PF∥l2，∴∠FPB＝∠3，∴∠FP A＝∠2+∠FPB＝∠2+∠3；即∠APB+∠PBD＝∠P AC．11．解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，又∵∠BOC＝50°，∴∠COE＝40°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOE＝∠COA，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝4x°，∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，∴5x＝40，∴x＝8，即∠COD＝8°∴∠BOD＝58°．（4）如图，分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，5t＝140，t＝28；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，5t＝320，t＝64．所以当t＝28秒或64秒时，OE与直线OC重合．综上所述，t的值为28或64．故答案为：40°．12．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．又∵∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝30°+90°＝120°．（2）∵∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD＝360°，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠BOC＝70°，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°．（3）猜想：∠AOD+∠BOC＝180°．理由：如图①∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝∠AOC+90°，∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝180°．13．解：∠1与∠2的度数和是一个定值，∠1+∠2＝90°．如图，过点B作BP∥EF，则∠1＝∠ABP．∵EF∥GH，∴BP∥GH，∴∠2＝∠PBC，∵∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠1+∠2＝90°．14．（1）证明：∵a∥b，∴∠2＝∠ABD．∵AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，∴∠BAC＝90°．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴AB∥DE，∴∠ABD＝∠1，∴∠2＝∠1；（2）解：当β﹣α＝4x时，FH∥a．理由：∵a∥b，∴∠α＝∠ABD．∵∠AFD是△BDF的外角，∴∠ABD+∠β＝∠AFD，即α+β＝∠AFD．∵FQ平分∠AFD交AC于Q，∴∠AFQ＝∠DFQ＝（α+β）．∵∠AFQ＝∠AFH+x＝∠DFH﹣x，∴∠DFQ﹣∠AFH＝2x．∵β﹣α＝4x，∴α+β﹣∠AFH＝β﹣α，∴∠AFH＝α，∴FH∥a．15．解：（1）在△CEN中，∠CEN＝180°﹣30°﹣45°＝105°；（2）如图②，∵∠CON＝5∠DOM∴180°﹣∠DOM＝5∠DOM，∴∠DOM＝30°∵∠OMN＝60°，∴MN⊥OD，∴MN∥BC，∴∠CEN＝180°﹣∠DCO＝180°﹣45°＝135°；（3）如图③，MN∥CD时，旋转角为90°﹣（60°﹣45°）＝75°，或270°﹣（60°﹣45°）＝255°，所以，t＝75°÷5°＝15秒，或t＝255°÷5°＝51秒；所以，在旋转的过程中，三角板MON运动15秒或51秒后直线MN恰好与直线CD平行．（4）MN⊥CD时，旋转角的角度差上90°，所以90°÷（20°﹣10°）＝9秒，故答案为：9．16．（1）解：如图1，∠AOC＝∠BOD，理由是：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，∴∠DOC﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD；（2）如图2，DO⊥AB，证明：∵CO∥AB，∠COD＝90°，∴∠NMD＝∠COD＝90°，∴DO⊥AB；（3）如图3，解：能使CD⊥AB，理由是：∵CD⊥AB，∴∠ANQ＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AQN＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠CQO＝∠AQN＝60°，∵∠C＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠CQO﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．17．解：（1）如图1，过点P作PH∥AB，则∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，故答案为：∠EPF＝∠AEP+∠PFC；同理可得：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①∠EPF＝60°，则∠EQF＝150°，由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠P＝60°，而∠PFC+2β＝180°，∠PEA+2α＝180°，故α+β＝150°＝∠EQF，故答案为150°；②如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），∠Q＝α+β，即：∠EPF+2∠EQF＝360°；③同理可得：∠Q1＝（α+β），∠Q2＝（α+β），∠Q2018＝（）2018（α+β），故：∠EPF+22019•∠EQ2018F＝360°．18．解：（1）存在，有两种情况：①当BC平分∠ABO时，如图1，∵∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵AC平分∠BAO，BC平分∠ABO，∴∠BAC＝，∠ABC＝∠ABO，∴∠BAC+∠ABC＝（∠BAO+∠ABO）＝45°，∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；②如下图，当CB平分∠ABN时，∵∠ABN＝90°+∠BAO，∵AC平分∠BAO，∴2∠ABE＝90°+2∠CAB，∴∠ABE＝45°+∠CAB，∴∠ACB＝∠ABE﹣∠CAB＝45°，综上，∠ACB的度数为45°或135°；（2）如图②，∵∠AOB＝∠P＝90°，∴∠OAP+∠OBP＝180°，∴∠OAP+∠OBP＝90°，∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP，∴∠OAD＝∠OAP＝90°﹣，∠OBE＝∠OBP，∵∠OBE+∠OEB＝90°，∴∠OEB＝90°﹣∠OBE＝90°﹣∠OBP，∴∠OAD＝∠OEB，∴AD∥BE；（3）∵∠AOB＝∠APB＝90°，∴点P一直在以AB为直径的圆上，当P在直径AB的上方时，如图2，有AD∥BE，当P在直径AB的下方时，如图3，有AD⊥BE，理由是：∵∠OAP＝∠OBP，∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP，∴∠P AD＝∠OAP，∠DBE＝∠OBP，∴∠P AD＝∠DBE，∵∠ADP＝∠BDG，∴∠APB＝∠AGB，∴AD⊥BE．19．解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＝x＝19°48′，∴∠EOC＝90°﹣19°48′＝89°60°﹣19°48′＝70°12′，∠AOD＝180°﹣19°48′＝160°12′，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD＝∠AOD＝×160°12′＝80°6′；（2）当x＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°设当射线OE与射线OF重合时至少需要t秒，10t﹣4t＝360﹣150，t＝35，答：当射线OE与射线OF重合时至少需要35秒；（3）设射线OE转动的时间为t秒，由题意得：10t+90+4t＝360﹣150或10t﹣（360﹣150）+4t＝90或360﹣10t＝4t﹣120，t＝或或．答：射线OE转动的时间为t＝秒或秒或秒．20．解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＝x＝20°，∴∠EOC＝90°﹣20°＝70°，∠AOD＝180°﹣20°＝160°，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD＝∠AOD＝＝80°；故答案为：70，80；（2）当x＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°设当射线OE'与射线OF'重合时至少需要t秒，10t+8t＝150，t＝，答：当射线OE'与射线OF'重合时至少需要秒；（3）设射线OE'转动的时间为t秒，由题意得：10t+90+8t＝150或10t+8t＝150+90或360﹣10t＝8t﹣150+90或360﹣10t+360﹣8t+90＝360﹣150，t＝或或或．答：射线OE'转动的时间为秒或秒或秒或秒．。
动点综合问题(共32题)(解析版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题动点综合问题(32题)1(2023·四川遂宁·统考中考真题)如图，在△ABC 中，AB =10，BC =6，AC =8，点P 为线段AB 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM ⊥AC 于点M 、作PN ⊥BC 于点N ，连接MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t (秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为()A.5，5B.6,245C.325,245D.325,5【答案】C【分析】如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，连接CP ，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，即∠C =90°，进而利用等面积法求出CD =245，则可利用勾股定理求出AD =325；再证明四边形CMPN 是矩形，得到MN =CP ，故当点P 与点D 重合时，CP 最小，即MN 最小，此时MN 最小值为245，AP =325，则点E 的坐标为325,245．【详解】解：如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，连接CP ，∵在△ABC 中，AB =10，BC =6，AC =8，∴AC 2+BC 2=62+82=100=102=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，即∠C =90°，∴S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CD ，∴CD =AC ⋅BC AB=245，∴AD =AC 2-CD 2=325；∵PM ⊥AC ，PN ⊥BC ，∠C =90°，∴四边形CMPN 是矩形，∴MN =CP ，∴当MN 最小时，即CP 最小，∴当点P 与点D 重合时，CP 最小，即MN 最小，此时MN 最小值为245，AP =AD =325，∴点E 的坐标为325,245，故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．2(2023·广东深圳·统考中考真题)如图1，在Rt △ABC 中，动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止，速度为2单位/s ，其中BP 长与运动时间t (单位：s )的关系如图2，则AC 的长为()B.427C.17D.53A.1552【答案】C【分析】根据图象可知t=0时，点P与点A重合，得到AB=15，进而求出点P从点A运动到点B所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．【详解】解：由图象可知：t=0时，点P与点A重合，∴AB=15，∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2=7.5s；∴点P从点B运动到点C的时间为11.5-7.5=4s，∴BC=2×4=8；在Rt△ABC中：AC=AB2+BC2=17；故选：C．【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB,BC的长，是解题的关键．3(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点M，N同时从A 点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是()A. B.C. D.【答案】A【分析】连接BD ，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，根据已知条件得出△ABD 是等边三角形，进而证明△AMN ∽ABE 得出∠ANM =∠AEB =90°，当0<t <4时，M 在AB 上，当4≤t <8时，M 在BC 上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接BD ，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，当0<t <4时，M 在AB 上，菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =4，∴AB =AD ，则△ABD 是等边三角形，∴AE =ED =12AD =2，BE =3AE =23∵AM =2x ,AN =x ，∴AM AN =AB AE =2，又∠A =∠A ∴△AMN ∽ABE∴∠ANM =∠AEB =90°∴MN =AM 2-AN 2=3x ，∴y =12x ×3x =32x2当4≤t <8时，M 在BC 上，∴y =12AN ×BE =12x ×23=3x ，综上所述，0<t <4时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当4≤t <8时，函数图象是直线的一部分，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．4(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =4，动点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿射线AB ，射线BC 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM ，MN ，ND ．设点M 运动的路程为x 0≤x ≤4 ，△DMN 的面积为S ，下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是()A. B.C. D.【答案】A【分析】先根据S =S 正方形ABCD -S △ADM -S △DCN -S △BMN ，求出S 与x 之间函数关系式，再判断即可得出结论．【详解】解：S =S 正方形ABCD -S △ADM -S △DCN -S △BMN ，=4×4-12×4x -12×4(4-x )-12x (4-x )，=12x 2-2x +8，=12(x -2)2+6，故S 与x 之间函数关系为二次函数，图像开口向上，x =2时，函数有最小值6，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式，再判断S 与x 之间函数类型．5(2023·河南·统考中考真题)如图1，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x ，PBPC=y ，图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为()A.6B.3C.43D.23【答案】A【分析】如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，PB =PC ，AO =23，易知∠BAO =∠CAO =30°，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为43，可知AO =OB =23，过点O 作OD ⊥AB ，解直角三角形可得AD =AO ⋅cos30°=3，进而可求得等边三角形ABC 的边长．【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，PBPC=1，∴PB =PC ，AO =23，又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°，AB =AC ，∴△APB ≌△APC SSS ，∴∠BAO =∠CAO ，∴∠BAO =∠CAO =30°，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为43，∴OB =23，即AO =OB =23，∴∠BAO =∠ABO =30°，过点O 作OD ⊥AB ，∴AD =BD ，则AD =AO ⋅cos30°=3，∴AB =AD +BD =6，即：等边三角形ABC 的边长为6，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．6(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =-x -2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，C 、D 是半径为1的⊙O 上两动点，且CD =2，P 为弦CD 的中点．当C 、D 两点在圆上运动时，△PAB 面积的最大值是()A.8B.6C.4D.3【答案】D【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出OA =OB =2，确定AB =22，再由题意得出当PO 的延长线恰好垂直AB 时，垂足为点E ，此时PE 即为三角形的最大高，连接DO ，利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵直线y =-x -2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴当x =0时，y =-2，当y =0时，x =-2，∴A -2,0 ,B 0,-2 ，∴OA =OB =2，∴AB =OA 2+OB 2=22，∵△PAB 的底边AB =22为定值，∴使得△PAB 底边上的高最大时，面积最大，点P 为CD 的中点，当PO 的延长线恰好垂直AB 时，垂足为点E ，此时PE 即为三角形的最大高，连接DO ，∵CD =2，⊙O 的半径为1，∴DP=22∴OP=OD2-DP2=22，∵OE⊥AB，∴OE=12AB=2，∴PE=OE+OP=322，∴S△PAB=12×22×322=3，故选：D．【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．7(2023·河北·统考中考真题)如图是一种轨道示意图，其中ADC和ABC均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM=CN．现有两个机器人(看成点)分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是()A. B.C. D.【答案】D【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为AM+CN+2R，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，当机器人分别沿C→N和A→M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．【详解】解：由题意可得：机器人(看成点)分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R，∴两个机器人最初的距离是AM+CN+2R，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A，C，∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，保持不变，当机器人分别沿C→N和A→M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，故选：D．【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．8(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为9,0，点C的坐标为0,3，以OA,OC为边作矩形OABC．动点E,F分别从点O,B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA,BC向终点A,C移动．当移动时间为4秒时，AC⋅EF的值为()A.10B.910C.15D.30【答案】D【分析】根据题意，得出E4,0，勾股定理求得EF=10，AC=310，即可求解．，F5,3【详解】解：连接AC、EF∵点A的坐标为9,0，以OA,OC为边作矩形OABC．，点C的坐标为0,3∴B9,3，AC=32+92=310则OA=9，BC=OA=9依题意，OE=4×1=4，BF=4×1=4∴AE=9-4=5，则E4,0，∴CF=BC-BF=9-4=5∴F5,3，∴EF=5-42+32=10，∵C0,3，∴AC⋅EF=310×10=30故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得E,F的坐标是解题的关键．9(2023·山东滨州·统考中考真题)已知点P 是等边△ABC 的边BC 上的一点，若∠APC =104°，则在以线段AP ,BP ,CP 为边的三角形中，最小内角的大小为()A.14°B.16°C.24°D.26°【答案】B【分析】将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACQ ，可得以线段AP ,BP ,CP 为边的三角形，即△PCQ ，最小的锐角为∠PQC ，根据邻补角以及旋转的性质得出∠AQC =∠APB =76°，进而即可求解．【详解】解：如图所示，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACQ ，∴AP =AQ ,∠PAQ =60°，BP =CQ ，∠AQC =∠APB ，∴△APQ 是等边三角形，∴PQ =AP ，∴以线段AP ,BP ,CP 为边的三角形，即△PCQ ，最小的锐角为∠PQC ，∵∠APC =104°，∴∠APB =76°∴∠AQC =∠APB =76°∴∠PQC =76°-60°=16°，故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．10(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边的中点．动点P 从点A 出发沿AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，线段PE 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则点M 的坐标为()A.4,23B.4,4C.4,25D.4,5【答案】C【分析】证明AB =BC =CD =AD =4，∠C =∠D =90°，CE =DE =2，则当P 与A ，B 重合时，PE 最长，此时PE =22+42=25，而运动路程为0或4，从而可得答案．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边的中点，∴AB =BC =CD =AD =4，∠C =∠D =90°，CE =DE =2，当P 与A ，B 重合时，PE 最长，此时PE =22+42=25，运动路程为0或4，结合函数图象可得M 4,25 ，故选：C .【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．11(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边BC 上的点(不与点B ,C 重合)．过点D作DE ∥AB 交AC 于点E ；过点D 作DF ∥AC 交AB 于点F ．N 是线段BF 上的点，BN =2NF ；M 是线段DE 上的点，DM =2ME ．若已知△CMN 的面积，则一定能求出()A.△AFE 的面积B.△BDF 的面积C.△BCN 的面积D.△DCE 的面积【答案】D【分析】如图所示，连接ND ，证明△FBD ∽△EDC ，得出FB ED =FD EC ，由已知得出NF ME =BF DE ，则FDEC=NFME，又∠NFD =∠MEC ，则△NFD ∽△MEC ，进而得出∠MCD =∠NDB ，可得MC ∥ND ，结合题意得出S △EMC =12S △DMC =12S △MNC ，即可求解．【详解】解：如图所示，连接ND ，∵DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴∠ECD =∠FDB ,∠FBD =∠EDC ，∠BFD =∠A ,∠A =DEC ．∴△FBD ∽△EDC ,∠NFD =∠MEC ．∴FB ED =FD EC ．∵DM =2ME ，BN =2NF ，∴NF =13BF ,ME =13DE ，∴NF ME =BF DE ．∴FD EC=NF ME ．又∵∠NFD =∠MEC ，∴△NFD ∽△MEC ．∴∠ECM =∠FDN ．∵∠FDB =∠ECD ∴∠MCD =∠NDB ．∴MC ∥ND ．∴S △MNC =S △MDC ．∵DM =2ME ，∴S △EMC =12S △DMC =12S △MNC ．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，证明MC ∥ND 是解题的关键．12(2023·安徽·统考中考真题)如图，E 是线段AB 上一点，△ADE 和△BCE 是位于直线AB 同侧的两个等边三角形，点P ,F 分别是CD ,AB 的中点．若AB =4，则下列结论错误的是()A.PA +PB 的最小值为33B.PE +PF 的最小值为23C.△CDE 周长的最小值为6D.四边形ABCD 面积的最小值为33【答案】A【分析】延长AD ,BC ，则△ABQ 是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E 点与F 重合时，则Q ,P ,F 三点共线，各项都取得最小值，得出B ，C ，D 选项正确，即可求解．【详解】解：如图所示，延长AD ,BC ，依题意∠QAD =∠QBA =60°∴△ABQ 是等边三角形，∵P 是CD 的中点，∴PD =PC ，∵∠DEA =∠CBA ，∴ED ∥CQ∴∠PQC =∠PED ,∠PCQ =∠PDE ，∴△PDE ≌△PCQ ∴PQ =PE ，∴四边形DECQ 是平行四边形，则P 为EQ 的中点如图所示，设AQ ,BQ 的中点分别为G ,H ，则GP =12AE ,PH =12EB∴当E 点在AB 上运动时，P 在GH 上运动，当E 点与F 重合时，即AE =EB ，则Q ,P ,F 三点共线，PF 取得最小值，此时AE =EB =12AE +EB =2，则△ADE ≌△ECB ，∴C ,D 到AB 的距离相等，则CD ∥AB ，此时PF =32AD =3此时△ADE 和△BCE 的边长都为2，则AP ,PB 最小，∴PF =32×2=3，∴PA =PB =22+3 2=7∴PA +PB =27，或者如图所示，作点B 关于GH 对称点B ，则PB =PB ，则当A ,P ,B 三点共线时，AP +PB =AB此时AB =AB 2+BB =42+23 2=27故A 选项错误，根据题意可得P ,Q ,F 三点共线时，PF 最小，此时PE =PF =3，则PE +PF =23，故B 选项正确；△CDE 周长等于CD +DE +CE =CD +AE +EB =CD +AB =CD +4，即当CD 最小时，△CDE 周长最小，如图所示，作平行四边形GDMH ，连接CM ，∵∠GHQ =60°,∠GHM =∠GDM =60°，则∠CHM =120°如图，延长DE ,HG ，交于点N ，则∠NGD =∠QGH =60°，∠NDG =∠ADE =60°∴△NGD 是等边三角形，∴ND =GD =HM ，在△NPD 与△HPC 中，∠NPD =∠HPC∠N =∠CHP =60°PD =PC∴△NPD ≌△HPC∴ND =CH∴CH =MH∴∠HCM =∠HMC =30°∴CM ∥QF ，则CM ⊥DM ，∴△DMC 是直角三角形，在△DCM 中，DC >DM∴当DC =DM 时，DC 最短，DC =GH =12AB =2∵CD =PC +2PC∴△CDE 周长的最小值为2+2+2=6，故C 选项正确；∵△NPD ≌△HPC∴四边形ABCD 面积等于S △ADE +S △EBC+S △DEC =S △ADE +S 平行四边NEBH∴当△BGD的面积为0时，取得最小值，此时，D,G重合，C，H重合∴四边形ABCD面积的最小值为3×34×22=33，故D选项正确，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当E点与F重合时得出最小值是解题的关键．二、填空题13(2023·四川达州·统考中考真题)在△ABC中，AB=43，∠C=60°，在边BC上有一点P，且BP= 12AC，连接AP，则AP的最小值为．【答案】213-2【分析】如图，作△ABC的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B作BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN PN为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得AM=BM=CM=4，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得∠AMC=∠PNB，从而易证△AMC∼△PNB可得CMPN=ACPB=21即PN=12CM=2勾股定理即可求得AN=213在△APN中由三角形三边关系AP≥AN-PN即可求解．【详解】解：如图，作△ABC的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B作BN ⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN PN为半径作圆；∵∠C=60°，M为△ABC的外接圆的圆心，∴∠AMB=120°，AM=BM，∴∠MAB=∠MBA=30°，∴MD=12AM，∵MD⊥AB，∴AD=12AB=23，在Rt△ADM中，∵AM2=MD2+AD2，∴AM2=12AM2+232，∴AM=4，即AM=BM=CM=4，由作图可知BN⊥AB，N在BP的垂直平分线上，∴∠PBN=∠BPN=90°-∠ABC，∴∠PNB=180°-∠PBN+∠BPN=2∠ABC，又∵M为△ABC的外接圆的圆心，∴∠AMC=2∠ABC，∴∠AMC=∠PNB，∵CM PN =AMBN，∴△AMC∼△PNB，∴CM PN =ACPB，∵BP=12AC，∴CM PN =ACPB=21，即PN=12CM=2，∴PN=BN=2，在Rt△ABN中，AN=AB2+BN2=432+22=213，在△APN中，AP≥AN-PN=213-2，即AP最小值为213-2，故答案为：213-2．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合△ABC的外接圆构造相似三角形．14(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连接AD，BE=3,BD=35．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为．【答案】230或6【分析】连接OD，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出CD的长，勾股定理求出AC和AD的长，分AP=AD和AP=PD两种情况进行求解即可．【详解】解：连接OD，∵以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，OA=OE=OD，∴∠ODB=90°设OA=OE=OD=r，则OB=OE+BE=3+r，在Rt△ODB中：OD2+BD2=OB2，即：r2+352=3+r2，解得：r=6，∴OA=OE=OD=6，∴OB=9，AB=15，AE=12，∵∠C=∠ODB=90°，∴OD∥AC，∴OB OA =DBDC=96=32，∵DB=35，∴CD=25，∴BC=DB+CD=55，∴AC=AB2-BC2=10，∴AD=AC2+CD2=230；∵△ADP为等腰三角形，当AD=AP时，AP=230，当PA=PD时，∵OA=OD，∴点P与点O重合，∴AP=OA=6，不存在PD=AD的情况；综上：AP的长为230或6．故答案为：230或6．【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点P的位置，是解题的关键．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．【答案】1+3【分析】如图所示，取AB的中点D，连接OD，CD，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出CD=3，再根据直角三角形的性质得到OD=12AB=1，再由OC≤OD+CD可得当O、C、D三点共线时，OC有最大值，最大值为1+3．【详解】解：如图所示，取AB的中点D，连接OD，CD，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴CD⊥AB，BC=AB=2，∴BD=AD=1，∴CD=BC2-BD2=3，∵OM⊥ON，即∠AOB=90°，∴OD =12AB =1，∵OC ≤OD +CD ，∴当O 、C 、D 三点共线时，OC 有最大值，最大值为1+3，故答案为：1+3．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当O 、C 、D 三点共线时，OC 有最大值是解题的关键．16(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AB 的三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PE +PF 取得最小值时，AP PC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP =27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．17(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A=90°，则BN=AB2+AN2=2，∴BN=ND=2∴AD=AN+ND=2+1，综上，AD的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．18(2023·湖南·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB P，连接CB ，则在点P的运动过程中，线段CB 的最小值为．【答案】11-2【分析】根据折叠的性质得出B 在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC上时，当P在AD上时，即可求解．【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，∴BC=AD=7，AC=BC2+AB2=7+4=11，如图所示，当点P在BC上时，∵AB =AB=2∴B 在A为圆心，2为半径的弧上运动，当A,B ,C三点共线时，CB 最短，此时CB =AC-AB =11-2，当点P在DC上时，如图所示，此时CB >11-2当P 在AD 上时，如图所示，此时CB >11-2综上所述，CB 的最小值为11-2，故答案为：11-2．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．19(2023·广西·统考中考真题)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的动点，M ，N 分别是EF ，AF 的中点，则MN 的最大值为．【答案】2【分析】首先证明出MN 是△AEF 的中位线，得到MN =12AE ，然后由正方形的性质和勾股定理得到AE =AB 2+BE 2=4+BE 2，证明出当BE 最大时，AE 最大，此时MN 最大，进而得到当点E 和点C 重合时，BE 最大，即BC 的长度，最后代入求解即可．【详解】如图所示，连接AE ，∵M ，N 分别是EF ，AF 的中点，∴MN 是△AEF 的中位线，∴MN =12AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =90°，∴AE =AB 2+BE 2=4+BE 2，∴当BE 最大时，AE 最大，此时MN 最大，∵点E 是BC 上的动点，∴当点E 和点C 重合时，BE 最大，即BC 的长度，∴此时AE =4+22=22，∴MN =12AE =2，∴MN 的最大值为2．故答案为：2．【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．20(2023·山东·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD <BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF的最小值为．【答案】29-2【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB，设OB与⊙O的交点为点F ，证明∠DFA=90°，可知点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O的交点F 时，线段BF有最小值，据此求解即可．【详解】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB，设OB与⊙O的交点为点F ，∵∠ABC=∠BAD=90°，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠ADF=∠BAE，∴∠DFA=∠ABE=90°，∴点F在以AD为直径的半圆上运动，∴当点F运动到OB与⊙O的交点F 时，线段BF有最小值，∵AD=4，AD=2，，∴AO=OF =12∴BO=52+22=29，BF的最小值为29-2，故答案为：29-2．【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．21(2023·四川内江·统考中考真题)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG=．【答案】6013【分析】连接OE ，根据矩形的性质得到BC =AD =12，AO =CO =BO =DO ，∠ABC =90°，根据勾股定理得到AC =AB 2+BC 2=13，求得OB =OC =132，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，BC =AD =12，AO =CO =BO =DO ，∵AB =5，BC =12，∴AC =AB 2+BC 2=13，∴OB =OC =132，∴S △BOC =S △BOE +S △COE =12×OB ⋅EG +12OC ⋅EF =12S △ABC =12×12×5×12=15，∴12×132EG +12×132EF =12×132(EG +EF )=15，∴EG +EF =6013，故答案为：6013．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．22(2023·山东烟台·统考中考真题)如图1，在△ABC 中，动点P 从点A 出发沿折线AB →BC →CA 匀速运动至点A 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE 的最低点，则△ABC 的高CG 的长为．【答案】732【分析】过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当AB +BQ =12时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，勾股定理求得AQ ，然后等面积法即可求解．【详解】如图过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当AB +BQ =12时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，∴BC =7，BQ =4,QC =3在Rt △ABQ 中，AB =8,BQ =4∴AQ =AB 2-BQ 2=82-42=43∵S △ABC =12AB ×CG =12AQ ×BC ，∴CG =BC ×AQ AB=7×438=732,故答案为：732．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．23(2023·新疆·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =6，BC =8，∠ABC =120°，点E 是AD 上一动点，将△ABE 沿BE 折叠得到△A BE ，当点A 恰好落在EC 上时，DE 的长为．【答案】37-3【分析】过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，根据平行四边形的性质以及已知条件得出∠ADC=∠ABC=120°,∠HDC=60°，进而求得DH,HC，根据折叠的性质得出CB=CE，进而在Rt△ECH中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，∵在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=120°，∴∠ADC=∠ABC=120°,∠HDC=60°，CD=AB=6，AD=CB=8，DC=3，∴DH=DC×cos∠HDC=12在Rt△ECH中，HC=CD2-DH2=62-32=33∵将△ABE沿BE折叠得到△A BE，当点A 恰好落在EC上时，∴∠AEB=∠CEB又AD∥BC∴∠EBC=∠AEB∴∠EBC=∠CEB∴CE=BC=8设ED=x，∴EH=x+3在Rt△ECH中，EC2=EH2+HC2∴82=x+322+33解得：x=37-3(负整数)故答案为：37-3．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．24(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为【答案】M-8,6或M-8,2 3【分析】如图，由△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以AM为直径的圆H上，MN= AN，可得N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，符合题意，可得M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，证明△MNK≌△NAJ，设N x,-2x-6，可得MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB =8，则-2x-12-x=8，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴N在以AM为直径的圆H上，MN=AN，∴N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，∵B-8,6，则H-4,3，∴MH=AH=NH=4，符合题意，∴M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK= AB=8，∴∠NAJ+∠ANJ=90°，∵AN =MN ，∠ANM =90°，∴∠MNK +∠ANJ =90°，∴∠MNK =∠NAJ ，∴△MNK ≌△NAJ ，设N x ,-2x -6 ，∴MK =NJ =-x ，KN =AJ =-2x -6-6=-2x -12，而KJ =AB =8，∴-2x -12-x =8，解得：x =-203，则-2x -6=223，∴CM =CK -MK =223-203=23，∴M -8,23 ；综上：M -8,6 或M -8,23 ．故答案为：M -8,6 或M -8,23．【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．25(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点D 是线段AB 上一动点，点H 是直线y =-43x +2上的一动点，动点E m ，0 ，F m +3，0 ，连接BE ，DF ，HD ．当BE +DF 取最小值时，3BH +5DH 的最小值是．【答案】392【分析】作出点C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，此时BE +DF 的最小值为CD 的长，利用解直角三角形求得F 113，0 ，利用待定系数法求得直线CD 的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，此时3BH +5DH 的最小值是5DG 的长，据此求解即可．【详解】解：∵直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，∴B 0，2 ，A 6，0 ，作点B 关于x 轴的对称点B 0，-2 ，把点B 向右平移3个单位得到C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，过点B 作B E ∥CD 交x 轴于点E ，则四边形EFCB 是平行四边形，此时，BE =B E =CF ，∴BE +DF =CF +DF =CD 有最小值，作CP ⊥x 轴于点P ，则CP =2，OP =3，∵∠CFP =∠AFD ，∴∠FCP =∠FAD ，∴tan ∠FCP =tan ∠FAD ，∴PF PC =OB OA ，即PF 2=26，∴PF =23，则F 113，0 ，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则3k +b =-2113k +b =0，解得k =3b =-11 ，∴直线CD 的解析式为y =3x -11，联立，y =3x -11y =-13x +2 ，解得x =3910y =710，即D3910，710；过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，直线y =-43x +2与x 轴的交点为Q 32，0 ，则BQ =OQ 2+OB 2=52，∴sin ∠OBQ =OQ BQ =3252=35，∴HG =BH sin ∠GBH =35BH ，∴3BH +5DH =535BH +DH =5HG +DH =5DG ，即3BH +5DH 的最小值是5DG =5×3910=392，故答案为：392．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．三、解答题26(2023·重庆·统考中考真题)如图，△ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．【答案】(1)当0<t≤4时，y=t；当4<t≤6时，y=12-2t(2)图象见解析，当0<t≤4时，y随x的增大而增大(3)t的值为3或4.5【分析】(1)分两种情况：当0<t≤4时，根据等边三角形的性质解答；当4<t≤6时，利用周长减去2AE即可；(2)在直角坐标系中描点连线即可；(3)利用y=3分别求解即可．【详解】(1)解：当0<t≤4时，连接EF，由题意得AE=AF，∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴y=t；当4<t≤6时，y=12-2t；(2)函数图象如图：。
九年级中考数学动点问题压轴题专题训练(含答案)
九年级中考数学动点问题压轴题专题训练1.如图1, 在平面直角坐标系中, 四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0, 0), A(3, 3 ), B(9, 5 ), C(14, 0). 动点P与Q同时从O点出发, 运动时间为t秒, 点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动, 点Q沿折线OA－AB－BC运动, 在OA, AB, BC上运动的速度分别为3, , (单位长度/秒). 当P, Q中的一点到达C点时, 两点同时停止运动.(1)求AB所在直线的函数表达式.(2)如图2, 当点Q在AB上运动时, 求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.(3)在P, Q的运动过程中, 若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点, 求相应的t值．图1 图22.如图, 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A, B两点(A在B的左侧), 与y轴交于点N, 过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C, 与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D, 已知A(-1, 0), D(5, -6), P 点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A, D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时, 过P点作PE∥x轴交直线l于点E, 作PF ∥y轴交直线l于点F, 求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点, 探究是否存在点M, 使得以点N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形.若存在, 求出点M的坐标;若不存在, 请说明理由.3.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点.（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点, 求AM＋OM的最小值.4.设直线l1: y＝k1x＋b1与l2: y＝k2x＋b2, 若l1⊥l2, 垂足为H, 则称直线l1与l2是点H的直角线.（1）已知直线①；②；③；④和点C(0, 2), 则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图, 在平面直角坐标系中, 直角梯形OABC的顶点A(3, 0)、B(2, 7)、C(0, 7), P为线段OC上一点, 设过B、P两点的直线为l1, 过A、P两点的直线为l2, 若l1与l2是点P的直角线, 求直线l1与l2的解析式．5.如图①, 在平面直角坐标系xOy中, 已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A, B两点(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C(0, -4).(1)点A的坐标为, 点B的坐标为, 线段AC的长为, 抛物线的解析式为.(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q, 使得以点B, C, P, Q为顶点的四边形是平行四边形, 求点Q的坐标.①6.如图, 已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A.B（点A位于点B是左侧）, 与y轴的正半轴交于点C.（1）点B的坐标为______, 点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P, 使得四边形PCOB的面积等于2b, 且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在, 求出点P的坐标；如果不存在, 请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q, 使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在, 求出点Q的坐标；如果不存在, 请说明理由．7.如图, 已知A.B是线段MN上的两点, , , . 以A为中心顺时针旋转点M, 以B为中心逆时针旋转点N, 使M、N两点重合成一点C, 构成△ABC, 设.（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形, 求x的值；（3）探究: △ABC的最大面积？8.如图, 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴, 垂足为C, 在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N, 交抛物线于点M, 若四边形MNCB为平行四边形, 求点M的坐标.9.在平面直角坐标系中, 反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k).（1）当k＝－2时, 求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大, 求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q, 当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时, 求k的值．10.如图, 已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3, 抛物线与x轴相交于A, B两点, 与y轴相交于点C, 已知B点的坐标为(8, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点, 点N为线段BC上的一点, 若MN∥y 轴, 求MN的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q, 使△ACQ为等腰三角形？若存在, 求出符合条件的Q点坐标；若不存在, 请说明理由．11.如图, 直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点A(m, 8), 与x轴交于点B, 平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M, 交AB于点N, 连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象, 直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集；(3)直线y＝n沿y轴方向平移, 当n为何值时, △BMN的面积最大？最大值是多少？12.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B, AO＝BO＝2, ∠AOB＝120°.（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM, 求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上, 且△ABC与△AOM相似, 求点C的坐标．13.在直角梯形OABC中, CB//OA, ∠COA＝90°, CB＝3, OA＝6, BA＝. 分别以OA.OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求点B的坐标；（2）已知D.E分别为线段OC.OB上的点, OD＝5, OE＝2EB, 直线DE交x轴于点F. 求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点, 在x轴上方的平面内是否存在另一点N, 使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在, 请求出点N的坐标；若不存在, 请说明理由．14.如图, 已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数的图象交于点A, 且与x轴交于点B. （1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C, 过点B作直线l//y轴. 动点P从点O出发, 以每秒1个单位长的速度, 沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发, 以相同速度向左平移, 在平移过程中, 直线l交x轴于点R, 交线段BA或线段AO于点Q. 当点P到达点A时, 点P和直线l都停止运动. 在运动过程中, 设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时, 以A.P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在, 求t的值；若不存在, 请说明理由．15.如图, 二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数, 且a＞0, m＞0）的图像与x轴分别交于A.B（点A位于点B的左侧）, 与y轴交于点C(0,－3), 点D在二次函数的图像上, CD//AB, 联结AD. 过点A作射线AE交二次函数的图像于点E, AB平分∠DAE.（1）用含m的式子表示a；（2）求证: 为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G, 联结GF, 以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在, 只要找出一个满足要求的点G即可, 并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在, 请说明理由．16.如图, 二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D, 对称轴是直线l, 一次函数y= x+1的图象与x轴交于点A, 且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C, N是线段DC上一点(不与点D, C重合), 点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA, DB分别交于点P, Q, 使得△DPQ与△DAB 相似.①当n= 时, 求DP的长;②若对于每一个确定的n的值, 有且只有一个△DPQ与△DAB相似, 请直接写出n的取值范围.17.已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A, B, 抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A, B. （1）求该抛物线的表达式, 并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l, 点B关于直线l的对称点为C, 若点D在y 轴的正半轴上, 且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移, 平移后抛物线的顶点为P, 其对称轴与直线y＝3x－3交于点E, 若, 求四边形BDEP的面积.18.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝－x2＋2x＋8的图象与一次函数y＝－x＋b的图象交于A.B两点, 点A在x轴上, 点B的纵坐标为－7.点P是二次函数图象上A.B两点之间的一个动点(不与点A.B重合), 设点P的横坐标为m, 过点P作x轴的垂线交AB于点C, 作PD ⊥AB于点D.(1)求b及sin∠ACP的值；(2)用含m的代数式表示线段PD的长；(3)连接PB, 线段PC把△PDB分成两个三角形, 是否存在适合的m值, 使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在, 直接写出m的值；如果不存在, 请说明理由.19.如图, 抛物线与x轴交于A.B两点（点A在点B的左侧）, 与y轴交于点C.（1）求点A.B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点, 当△ACD的面积等于△ACB 的面积时, 求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0), M为直线l上的动点, 当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时, 求直线l的解析式．20.已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0), 抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A.B, 顶点为C, 点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时, 求m的取值范围；（3）若m＞, 当∠APB为直角时, 将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位, 点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′, 是否存在t, 使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在, 求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在, 请说明理由．2021中考数学压轴专题训练之动点问题-答案一、解答题（本大题共20道小题）1.【答案】【思维教练】(1)设一次函数解析式, 将已知点A、B的坐标值代入求解即可；(2)S △CPQ＝·CP·Qy, CP＝14－t, 点Q在AB上, Qy即为当x＝t时的y值, 代入化简得出S与t的函数关系式, 化为顶点式得出最值；(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论, 当Q在OA上时, 过点C；当Q在AB上时, 过点A；当Q在BC上时, 过点C和点B, 再列方程并求解．解图1解: (1)把A(3, 3 ), B(9, 5 )代入y＝kx＋b,得, 解得,∴y＝33x＋23；(3分)(2)在△PQC中, PC＝14－t,∵OA＝＝6且Q在OA上速度为3单位长度/s,AB＝＝4 且Q点在AB上的速度为单位长度/s,∴Q在OA上时的横坐标为t, Q在AB上时的横坐标为t,PC边上的高线长为33t＋2 3.(6分)所以S＝(14－t)( t＋2 )＝－t2＋t＋14 (2≤t≤6).当t＝5时, S有最大值为.(7分)解图2(3)①当0＜t ≤2时, 线段PQ 的中垂线经过点C(如解图1). 可得方程(332t )2＋(14－32t )2＝(14－t )2.解得t1＝ , t2＝0(舍去), 此时t ＝ .(8分)解图3②当2＜t ≤6时, 线段PQ 的中垂线经过点A(如解图2).可得方程(33)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2.解得t1＝ , ∵t2＝ (舍去), 此时t ＝ .③当6＜t ≤10时,(1)线段PQ 的中垂线经过点C(如解图3).可得方程14－t ＝25－ t, 解得t ＝ .(10分)解图4(2)线段PQ 的中垂线经过点B(如解图4).可得方程(53)2＋(t －9)2＝[52(t －6)]2.解得t1＝ , t2＝ (舍去).此时t＝38＋2027.(11分)综上所述, t的值为, , , .(12分)【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论, 在不同阶段列方程求解.2.【答案】[分析] (1)将点A, D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式, 即可求解;(2)设出P点坐标, 用参数表示PE, PF的长, 利用二次函数求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况, 分别求解即可.解:(1)将点A, D的坐标代入y=kx+n得:解得:故直线l的表达式为y=-x-1.将点A, D的坐标代入抛物线表达式,得解得故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)∵直线l的表达式为y=-x-1,∴C(0, -1), 则直线l与x轴的夹角为45°, 即∠OAC=45°,∵PE∥x轴, ∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF∥y轴, ∴∠EPF=90°, ∴∠EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x, -x2+3x+4),则点F(x, -x-1),∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18,∵-2<0, ∴当x=2时, PE+PF有最大值, 其最大值为18.(3)由题意知N(0, 4), C(0, -1), ∴NC=5,①当NC是平行四边形的一条边时, 有NC∥PM, NC=PM.设点P坐标为(x, -x2+3x+4), 则点M的坐标为(x, -x-1),∴|yM-yP|=5, 即|-x2+3x+4+x+1|=5,解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0),则点M坐标为(2+ , -3- )或(2- , -3+ )或(4, -5);②当NC是平行四边形的对角线时, 线段NC与PM互相平分.由题意, NC的中点坐标为0, ,设点P坐标为(m, -m2+3m+4),则点M(n', -n'-1),∴0= = ,解得:n'=0或-4(舍去n'=0), 故点M(-4, 3).综上所述, 存在点M, 使得以N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形, 点M的坐标分别为:(2+ , -3- ), (2- , -3+ ), (4, -5), (-4, 3).3.【答案】（1）。
初中八年级下册数学动点问题试题附答案
初中八年级下册数学动点问题试题附答案
本文档为初中八年级下册数学动点问题试题及其答案附录。
以下为试题内容：
试题一
1. 一辆汽车每小时行驶60千米。
已知一条道路上两个小车相距120千米，两车同时从两端开始开过。
在2小时后两车相遇，求另一辆小车时速是多少？
答案：另一辆小车的时速是40千米/小时。
试题二
2. 一架直升机从A地出发，向东飞行100千米后转向南飞行，飞行速度为60千米/小时。
飞行2小时后，在B地降落。
求直升机从A地到B地的飞行距离及飞行时间。
答案：直升机从A地到B地的飞行距离为140千米，飞行时间为3小时。
试题三
3. 一列火车以每小时80千米的速度从A地开往B地，一辆汽
车以每小时60千米的速度同时从B地向A地开。
若两车从相距
200千米的时候开始计时，火车到达B地后返回A地的时候，两车
相距250千米。
求两地的距离。
答案：A地和B地的距离为450千米。
试题四
4. 一条有笔直通道，两边都是田地。
东边的直边上有一棵高度
为2米的树，西边的直边上有一棵高度为3米的树。
直道的宽度为
4米，人从田地一头走到另一头的时间为2分钟。
求人的步行速度。
答案：人的步行速度为60米/分钟。
希望上述试题及答案能帮助到您。
如有其他问题或需要进一步帮助，请随时告知。
中考数学动点问题专题练习(含答案)
动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧ＡB 上,有一个动点P,ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为G ．（1)当点Ｐ在弧AB 上运动时，线段ＧO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度．(２)设P Ｈx =,GP y =，求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)．(3）如果△PG Ｈ是等腰三角形,试求出线段PH 的长．二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ＡBC 中,ＡＢ=AC ＝1,点D,Ｅ在直线B Ｃ上运动.设BD=,x ＣＥ=y . (1)如果∠B ＡC=3０°,∠DA Ｅ=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(２)如果∠B ＡＣ的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α，β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(２0０4年·上海）如图,在△A ＢＣ中,∠BAC ＝９0°,AB=AC ＝22,⊙A 的半径为1.若点Ｏ在BC 边上运动(与点B 、C 不重合)，设ＢO=x ,△AOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域．(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆Ｏ，求当⊙O 与⊙Ａ相切时， △AO Ｃ的面积．一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．１.(09年徐汇区)如图，ABC ∆中，10==AC AB ,12=BC ，点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时，求AF 的长；（２)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长．AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二）线动问题2,在矩形A ＢＣD 中,AB ＝3,点O 在对角线A Ｃ上，直线ｌ过点O ，且与AC 垂直交ＡＤ于点E ．（1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A ＢＣＤ的对称中心A ＇重合，求BC 的长; （2)若直线l 与AB 相交于点F,且ＡＯ=41AC,设AD 的长为x ,五边形ＢＣDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在，请求出x 的值;若不存在,请说明理由．(三)面动问题３.如图，在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(１）试求ABC ∆的面积；(２)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、 特殊探路,一般推证例２:（２00４年广州市中考题第11题)如图,⊙O １和⊙Ｏ2内切于A,⊙O1的半径为３，⊙O2的半径为2，点Ｐ为⊙O1上的任一点（与点A 不重合)，直线ＰA 交⊙O2于点Ｃ,PB 切⊙O2于点B ，则PCBP的值为(A)2 (Ｂ）3 （C)23（Ｄ)26二、 动手实践,操作确认例４(２003年广州市中考试题）在⊙Ｏ中，C 为弧AB 的中点,D 为弧A Ｃ上任一点(与A 、C 不重合）,则(A)A Ｃ+CB=AD+ＤB (B) A Ｃ＋C Ｂ<AD+DB（Ｃ） AC+CB ＞A Ｄ＋D Ｂ （D) ＡＣ+C Ｂ与AD+ＤB 的大小关系不确定例５:如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和C Ｄ与大圆分别交于点B 、Ｅ，则下列结论中正确的是( ＊ ) （A)AB DE = (B ）AB DE >(Ｃ）AB DE <(D ）AB DE ,的大小不确定三、 建立联系，计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点Ｍ在边DC 上,且ＤM=１,Ｎ为对角线A Ｃ上任意一点,则ＤN ＋ＭN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC＝５，ＢC=12，∠ＡCＢ＝90°,P是ＡB边上的动点（与点A、B不重例1．在Rt ABC合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合),当PQ与ＡＣ不平行时，△CPＱ可能为直角三角形吗?若有可能，请求出线段CＱ的长的取值范围；若不可能,请说明理由。
初一数学动点问题答案与解析
动点问题答案与解析一、单点移动问题1.【解答】（1）-21（2）14.5秒（3）37-2t（4）BC：2t-29当A在C的左边：AC：52-2t当A在C的右边：AC：2t-522.【解答】解：（1）点P表示的有理数为﹣4+2×2=0；（2）6﹣（﹣4）=10，10÷2=5，5÷2=2.5，（10+5）÷2=7.5．故点P是AB的中点时t=2.5 或7.5；（3）在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为2t；（4）在点P由点B到点A的返回过程中，点P表示的有理数是6﹣2（t﹣5）=16﹣2t．3.【解答】解：（1）①点P在点B的左边时∵PB=2，4﹣2=2，∴点P表示的是2．②点P在点B的右边时，∵PB=2，4+2=6，∴点P表示的是6．综上，可得点P表示的是2或6；（2）∵4﹣（﹣2）=6，∴线段AB的长度是6．①AP=AB=2时，点P表示的是﹣2+2=0．②BP=AB=2时，点P表示的是4﹣2=2．综上，可得点P表示的是0或2；（3）①点P在点B的左边时，∵AP=6﹣2=4，4÷2=2，∴线段AM的长是2．②点P在点B的右边时，∵AP=6+2=8，8÷2=4，∴线段AM的长是4．综上，可得线段AM的长是2或4．（4）根据图示，可得当点P在A、B两点之间时，PA+PB的值最小，此时，PA+PB=AB=6，所以PA+PB 的最小值是6．二、两点移动问题4.【解答】解：（1）①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8﹣12=﹣4，∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P表示的数是8﹣3×1=5．②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB﹣3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15解得：x=3．∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．（2）2MN+PQ=12或2MN﹣PQ=12；理由如下：P在Q右侧时有：MN=MQ+NP﹣PQ=AQ+BP﹣PQ=（AQ+BP﹣PQ）﹣PQ= AB﹣PQ=（12﹣PQ），即2MN+PQ=12．同理P在Q左侧时有：2MN﹣PQ=12．5.【解答】解：（1）点B表示的数是﹣4；（2）﹣4+2×2=﹣4+4=0．故2秒后点B表示的数是0，（3）由题意可知：①O为BA的中点，（﹣4+2t）+（2+2t）=0，解得t=；②B为OA的中点，2+2t=2（﹣4+2t），解得t=5．故答案为：﹣4；0．6.【解答】解：（1）设A点运动速度为x单位长度/秒，则B点运动速度为4x单位长度/秒．由题意得：3x+3×4x=15解得：x=1∴A点的运动速度是1单位长度/秒，B点的速度是4单位长度/秒；（2）设y秒后，原点恰好处在A、B的正中间．由题意得：y+3=12﹣4y解得：答：经过秒后，原点恰处在A、B的正中间；（3）设B追上A需时间z秒，则：4×z﹣1×z=2×（+3）解得：，=64．答：C点行驶的路程是64长度单位．7.【解答】解：（1）∵1﹣（﹣1）=2，2的绝对值是2，1﹣3=﹣2，﹣2的绝对值是2，∴点P对应的数是1．（2）当P在AB之间，PA+PB=4（不可能有）当P在A的左侧，PA+PB=﹣1﹣x+3﹣x=6，得x=﹣2当P在B的右侧，PA+PB=x﹣（﹣1）+x﹣3=6，得x=4故点P对应的数为﹣2或4；（3）解：设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：2x=4+x，解得x=4．∴6x=24．答：点P所经过的总路程是24个单位长度．8.【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA=6，则OB=AB﹣OA=4，点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为﹣4；点P运动t秒的长度为6t，∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6﹣6t；（2）①点P运动t秒时追上点R，根据题意得6t=10+4t，解得t=5，答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，当P不超过Q，则10+4a﹣6a=8，解得a=1；当P超过Q，则10+4a+8=6a，解得a=9；答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．9.【解答】解：（1）①当P在线段AB上时，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=40，OP=60，故点P运动时间为60秒．若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q的运动速度为50÷60=（cm/s）；若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q的运动速度为30÷60=（cm/s）．②点P在线段AB延长线上时，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=120，OP=140，故点P运动时间为140秒．若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q的运动速度为50÷140=（cm/s）；若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q的运动速度为30÷140=（cm/s）．（2）设运动时间为t秒，则t+3t=90±70，t=5或40，∵点Q运动到O点时停止运动，∴点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ=OP=30cm，之后点P继续运动40秒，则PQ=OP=70cm，此时t=70秒，故经过5秒或70秒两点相距70cm；（3）如图1，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP=80﹣（x﹣20）=100﹣x，EF=OF﹣OE=（OA+AB）﹣OE=（20+30）﹣=50﹣，∴==2．如图2，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP=80﹣（x﹣20）=100﹣x，EF=OF﹣OE=（OA+AB）﹣OE=（20+30）﹣=50﹣，∴==2．三、多点移动问题10.【解答】解：（1）A表示的数是﹣6，点A先沿着数轴向右移动8个单位长度，再向左移动5个单位长度后所对应的数字是：﹣6+8﹣5=﹣3，故答案为：﹣3；（2）∵A，B对应的数分别为﹣6，2，点C到点A，点B的距离相等，∴AB=8，x的值是﹣2．故答案为：﹣2；（3）根据题意得：|x﹣（﹣6）|+|x﹣2|=10，解得：x=﹣7或3；故答案为：﹣7或3；（4）当点A、B重合时，﹣6+4t=2﹣2t，解得t=；当点C为A、B中点且点C在点A的右侧时，﹣t﹣（﹣6+4t）=（2﹣2t）﹣（﹣t），解得t=1；当点C为A、B中点且点C在点A的左侧时，（﹣6﹣4t）﹣（﹣t）=（﹣t）﹣（2﹣2t）m解得t=1（舍去）．综上所述，当t=或1，点C到点A、B 的距离相等．11.【解答】解：（1）设B点的运动速度为x，A、B两点同时出发相向而行，则他们的时间相等，有：=，解得x=1，所以B点的运动速度为1；（2）设经过时间为t．则B在A的前方，B点经过的路程﹣A点经过的路程=6，则2t﹣t=6，解得t=6．A在B的前方，A点经过的路程﹣B点经过的路程=6，则2t﹣t=12+6，解得t=18．（3）设点C的速度为y，始终有CB：CA=1：2，即：=，解得y=，当C停留在﹣10处，所用时间为：=秒，B的位置为=﹣．12.【解答】解：（1）∵BC=300，AB=，所以AC=600，C点对应200，∴A点对应的数为：200﹣600=﹣400；（2）设x秒时，Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，∴MR=（10+2）×，RN=[600﹣（5+2）x]，∴MR=4RN，∴（10+2）×=4×[600﹣（5+2）x]，解得：x=60；∴60秒时恰好满足MR=4RN；（3）QC﹣AM的值不发生变化．理由如下：设经过的时间为y，则PE=10y，QD=5y，于是PQ点为[0﹣（﹣800）]+10y﹣5y=800+5y，一半则是，所以AM点为：+5y﹣400=y，又QC=200+5y，所以﹣AM=﹣y=300为定值．四、线段移动问题13.【解答】解：（1）由题意得：11﹣（b+3）=b，解得：b=4．答：线段AC=OB，此时b的值是4．（2）由题意得：①11﹣（b+3）﹣b=（11﹣b），解得：b=．②11﹣（b+3）+b=（11﹣b），解得：b=﹣5．答：若AC﹣0B=AB，满足条件的b值是或﹣5．14.【解答】解：（1）∵点A、M、N对应的数字分别为﹣1、0、2，线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒，∴移动后M表示的数为t，N表示的数为t+2，∴AM=t﹣（﹣1）=t+1．故答案为：t+1．（2）由（1）可知：BN=|11﹣（t+2）|=|9﹣t|，∵AM+BN=11，∴t+1+|9﹣t|=11，解得：t=．故答案为：．（3）假设能相等，则点A表示的数为2t﹣1，M表示的数为t，N表示的数为t+2，B表示的数为11﹣t，∴AM=|2t﹣1﹣t|=|t﹣1|，BN=|t+2﹣（11﹣t）|=|2t﹣9|，∵AM=BN，∴|t﹣1|=|2t﹣9|，解得：t1=，t2=8．故在运动的过程中AM和BN能相等，此时运动的时间为秒和8秒．15.【解答】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5=15，则此木棒长为：15÷3=5，故答案为：5．（2）如图，点A表示美羊羊现在的年龄，点B表示村长爷爷现在的年龄，木棒MN的两端分别落在点A、B．由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数为﹣40，当点M移动到点B时，点N所对应的数为116．可求MN=52．所以点A所对应的数为12，点B所对应的数为64．即美羊羊今年12岁，村长爷爷今年64岁．五、图形动点问题16.【解答】【考点】8A：一元一次方程的应用．【专题】25 ：动点型；2A ：规律型．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，设出正方形的边长，乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，甲行的路程为2a×=，乙行的路程为2a×=，在AB边相遇；②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在CB边相遇；③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在DC边相遇；④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在AB边相遇；⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在AD边相遇；…因为2008=502×4，所以它们第2008次相遇在边AB上．故答案为：AB．【点评】本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．。
初三动点试题及答案
初三动点试题及答案
一、选择题
1. 在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒
2个单位的速度移动，经过5秒后，点P的坐标是（）。
A. (0, 0)
B. (10, 0)
C. (5, 0)
D. (0, 5)
答案：B
2. 动点Q从点(1, 2)出发，沿y轴正方向以每秒1个单位的速度移动，经过3秒后，点Q的坐标是（）。
A. (1, 5)
B. (1, 2)
C. (4, 5)
D. (4, 2)
答案：A
二、填空题
3. 动点R从点(-3, 4)出发，沿直线y=2x+1以每秒3个单位的速度移动，经过2秒后，点R的坐标是（）。
答案：(3, 11)
4. 动点S从点(2, -1)出发，沿直线y=-x+3以每秒2个单位的速度移动，经过4秒后，点S的坐标是（）。
答案：(-6, 7)
三、解答题
5. 动点T从点(0, 0)出发，沿直线y=x以每秒1个单位的速度移动，求点T在移动了6秒后的位置。
答案：点T在移动了6秒后的位置为(6, 6)。
6. 动点U从点(-2, 3)出发，沿直线y=-2x+7以每秒1.5个单位的速度移动，求点U在移动了8秒后的位置。
答案：点U在移动了8秒后的位置为(-10, 5)。
最新初中数学动点问题专题(含答案)
数解析式还成立?试说明理由.
A
D
E
B
C
图2
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
__________________________________________________
例 3(2005 年·上海)如图 3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点 O 是边 AC 上的一个动点,以
B
P
D
C
●
A
EO
3(1)
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
例 4（2004 年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC= 2 2 ,⊙A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上
运动(与点 B、C 不重合),设 BO= x ,△AOC 的面积为 y .
(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域.
物线上，任取一点 Q ，过点 Q 作直线 QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点，交直线 PC 于 B 点，直线 QA 与直
(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB 与 AD+DB 的大小关系不确定
E
D
例 5：如图，过两同心圆的小圆上任一点 C 分别作小圆的直径 CA 和
非直径的弦 CD，延长 CA 和 CD 与大圆分别交于点 B、E，则下列结论
中正确的是（ * ）
（A） DE AB （B） DE AB
C
O
Q
（1）当 t 为何值时，三角形 QAP 为等腰三角形？
（2）求四边形 QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
A
（3）当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1.如图，已知在矩形ABCD 中，AD =8，CD =4，点E 从点D 出发，沿线段DA 以每秒1
个单位长的速度向点A 方向移动，同时点F 从点C 出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动．设点E 移动的时间为t （秒）． （1）求当t 为何值时，两点同时停止运动；
（2）设四边形BCFE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）求当t 为何值时，以E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当t 为何值时，∠BEC =∠BFC ．
例2. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 当M 点在
BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．
例3.如图，在梯形ABCD
中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．
动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （09年济南中考） （1）求BC 的长。
（2）当MN AB ∥时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
例1. 解：（1）当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分） 由题意可知：ED =t ，BC =8，FD = 2t -4，FC = 2t ．
∵ED ∥BC ，∴△FED ∽△FBC ．∴
FD ED
FC BC
=． ∴
2428
t t
t -=．解得t =4．
A
B
C
D E F
O
C
D
M
A B
C
N
图2
A
B
C
D
E
F
∴当t =4时，两点同时停止运动；……（3分）
（2）∵ED=t ，CF=2t ， ∴S =S △BCE + S △BCF =
12×8×4+1
2
×2t ×t =16+ t 2． 即S =16+ t 2．（0 ≤t ≤4）；………………………………………………………（6分）
（3）①若EF=EC 时，则点F 只能在CD 的延长线上，
∵EF 2=2
2
2
(24)51616t t t t -+=-+，
EC 2=222416t t +=+，∴251616t t -+=2
16t +．∴t =4或t=0（舍去）； ②若EC=FC 时，∵EC 2=222416t t +=+，FC 2=4t 2，∴2
16t +=4t 2
．∴t =； ③若EF=FC 时，∵EF 2=2
2
2
(24)51616t t t t -+=-+，FC 2=4t 2，
∴2
51616t t -+=4t 2．∴t 1
=16+，t 2
=16-．
∴当t 的值为4
16-E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；………………………………………………………………………………（9分）
（4）在Rt △BCF 和Rt △CED 中，∵∠BCD =∠CDE =90°，
2BC CF
CD ED
==， ∴Rt △BCF ∽Rt △CED ．∴∠BFC =∠CED ．………………………………………（10分） ∵AD ∥BC ，∴∠BCE =∠CED ．若∠BEC =∠BFC ，则∠BEC =∠BCE ．即BE =BC ． ∵BE 2=2
1680t t -+，∴2
1680t t -+=64． ∴t 1
=16+，t 2
=16-．
∴当t
=16-BEC =∠BFC ．……………………………………………（12分）
例2. 解：（1）在正方形ABCD 中，
490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN Q ⊥， 90AMN ∴∠=°，
90CMN AMB ∴∠+∠=°，
在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°， CMN MAB ∴∠=∠，
Rt Rt ABM MCN ∴△∽△，
（2）Rt Rt ABM MCN Q △∽△， 44AB BM x MC CN x CN
∴=∴=-，， 244
x x CN -+∴=，
N
D
A
C
B
M
()22
2141144282102422ABCN
x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭
梯形·， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． （3）90B AMN ∠=∠=Q °，
∴要使ABM AMN △∽△，必须有
AM AB
MN BM
=
， 由（1）知
AM AB
MN MC
=
， BM MC ∴=，
∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．
例3.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形
∴3KH AD ==．
在Rt ABK △
中，sin 454AK AB =︒==g
cos 4542
BK AB =︒==g g
在Rt CDH △
中，由勾股定理得，3HC ==
∴43310BC BK KH HC =++=++=
（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-=
由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥
∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠
∴MNC GDC △∽△
（图①） A D C B K H （图②） A D C B G M
N
∴
CN CM
CD CG =
即10257
t t -= 解得，50
17
t =
（3）分三种情况讨论：
①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103
t =
②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E ∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△
∴
NC EC
DC HC =
即553t t -= ∴258
t =
③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122
FC NC t =
=
∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△
∴FC MC
HC DC
= 即1
102235t
t
-=
∴6017
t =
综上所述，当10
3
t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形
A D
C
B M N （图③） （图④） A D C
B M N
H E
（图⑤） A
D
C
B H N M
F。