新北师大版本初中九年级的动点问题专题练习包括答案.docx

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北师版九年级数学上册第1章特殊平行四边形中的旋转、最值、动点问题专题训练 (含答案)

(2)∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝ AC＝，∴BD＝BE－DE＝－1
6.解：(1)根据图形的对称性，本来DF和BF相等，但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段DF与BF始终相等”不正确．例如，当点F旋转到AB上时，BF最短(小于AB)，而这时DF大于AD，即DF大于BF
(2)如图②，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与DG始终相等，并以图为例说明理由．
二、最值问题
7．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )
A．2 B．4
∴BD，EG互相平分，∴BO＝OD，
∴点O为正方形的角平分线的交点，
∴直线EG必过正方形角平分线的交点
20.解：(1)BG＝DE，BG⊥DE，证明如下：
延长BG交DE于点H，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？
24.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式是；
(2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

动点问题(框架)(二)(北师版)(含答案)

动点问题（框架）（二）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AC方向向点C运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA方向向点A运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止．连接PQ，设运动的时间为t秒，解答下列问题：（1）点P出发____秒到达C点．( )A.4B.C.2D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）线段AP，AQ的长可用含t的式子分别表示为( )A.2t；tB.2t；5-tC.4-2t；tD.4-2t；5-t答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.（上接第1，2题）（3）若某一时刻，AP=AQ，则此时t的值为( )A.1B.2C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=DC=4，AD=BC=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，设点P运动的时间为t秒，连接DP．解答下列问题：（1）线段PC的长可用含t的式子表示为( )A.6-tB.4-tC.2tD.t答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第4题）（2）若某一时刻，△DCP的面积为10，则此时t的值为( )A.5B.C. D.1答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第4，5题）（3）若某一时刻，△DCP≌△DCE，则此时t的值为( )A.1B.2C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.如图，在长方形ABCD中，AB=16cm，BC=4cm．动点P从B点出发，以3cm/s的速度沿BA 方向向点A运动，同时动点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD方向向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，连接PQ．解答下列问题：（1）P，Q两点运动的时间t的取值范围为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）线段DQ，AP的长可用含t的式子分别表示为( )cm．A.16-3t；16-tB.16-t；16-3tC.t；3tD.3t；t答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.（上接第7，8题）（3）当四边形DAPQ的面积是长方形ABCD面积的一半时，t的值为( )A.6B.8C.4D.2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题10.已知：如图，A，B，C三点在同一条直线上，线段AB=10厘米，BC=20厘米．动点P自点A沿线段AC以4厘米/秒的速度向点C运动，同时动点Q自点B沿线段BC以2厘米/秒的速度向点C运动，当P运动到点C时，两点同时停止运动．线段PQ的长可用含t的式子表示为( )厘米．A.PQ=10-2tB.PQ=2t-10C.当0≦t≦5时，PQ=10-2t；当5<t≦10时，PQ=2t-10D.当0≦t≦5时，PQ=10-2t；当5<t≦时，PQ=2t-10答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。

一次函数之动点问题(一)(北师版)(含答案)

一次函数之动点问题(一)(北师版)(含答案)学生做题前请先回答以下问题：问题1：动点问题的特征是什么？主要考察运动的什么？问题2：一次函数背景下研究动点问题的思考方向是什么？①将函数信息转化为背景图形的信息；②分析运动过程，分段，找到起点和终点；③分析几何特征，表达，设计方案求解。

问题3：分析运动过程时，需要注意哪几个要素？一次函数之动点问题（一）（北师版）1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x 轴交于点C，与直线交于点P。

动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AP—PC向点C匀速运动（点M不与点A，C重合），设△OMC的面积为S，运动时间为t秒，则S与t之间的函数关系式为()。

答案：B解题思路：本题考察一次函数之动点问题。

根据题目，我们可以将函数信息转化为背景图形的信息，分析运动过程，找到起点和终点，分析几何特征，表达，设计方案求解。

具体来说，我们可以通过计算△___的面积来得到S与t之间的函数关系式，即S=1/2*t*(8-t)。

2.已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点。

动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿折线OA—AB运动。

设运动的时间为t秒，△OPD的面积为S，则S与t的函数关系式为()。

答案：C解题思路：本题同样考察一次函数之动点问题。

根据题目，我们可以将函数信息转化为背景图形的信息，分析运动过程，找到起点和终点，分析几何特征，表达，设计方案求解。

具体来说，我们可以通过计算△OPD的面积来得到S与t之间的函数关系式，即S=2t*(4-t)。

3.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，D是AB的中点。

动点P从点A出发沿折线AD-DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，同时动点Q从点D出发沿折线DO-OB以相同的速度运动。

动点问题(综合测试)(北师版)(含答案)

动点问题（综合测试）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知：如图，A，B，C三点在同一条直线上，线段AB=16厘米，BC=8厘米．动点P自点C 沿线段CA以2厘米/秒的速度向点A运动，同时动点Q自点B沿线段BA以1厘米/秒的速度向点A运动，当P运动到点A时，两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请回答下列问题：（1）点P和点Q运动的时间范围是( )A.0≤t≤4B.0≤t≤8C.0≤t≤12D.0≤t≤16答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）线段PQ的长可用含t的式子表示为( )A.PQ=8-tB.当0≦t≦8时，PQ=8-t；当8<t≦12时，PQ=t-8C.当0≦t≦8时，PQ=t-8；当8<t≦12时，PQ=8-tD.当0≦t≦8时，PQ=8-t；当8<t≦16时，PQ=t-8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.（上接第1，2题）（3）若某一时刻PQ=6厘米，则此时t的值为( )A.2B.14C.12D.2或14答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，动点P从点A出发沿AB-BC方向以每秒1个单位的速度运动，运动到点C时停止运动．连接AP，CP．设点P运动时间为t秒．请回答下列问题：（1）当点P在线段BC上运动时，对应的t的取值范围为( )A.0≤t≤6B.6≤t≤12C.0≤t≤12D.0≤t≤18答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第4题）（2）当点P运动到线段BC上时，线段BP，PC的长可用含t的式子分别表示为( )A.t-6；12-tB.t；6-tC.t；t-6D.12-t；t-6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第4，5题）（3）若某一时刻△ACP的面积是△ABC面积的，则此时t的值为( )A.2B.4或8C.2或10D.4或14答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=18，BC=12，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点以每秒a个单位的速度匀速运动，连接DP，QP．设点P的运动时间为t秒，解答下列问题：（1）根据点P的运动，对应的t的取值范围为( )A.0≤t≤4B.0≤t≤6C.0≤t≤12D.0≤t≤18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）根据点P的运动，线段BP，PC的长可用含t的式子分别表示为( )A.at；3tB.3t；atC.12-3t；3tD.3t；12-3t答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.（上接第7，8题）（3）若某一时刻△BPD与△CQP全等，则t的值与相应的CQ的长为( )A.t=2，CQ=9B.t=1，CQ=3或t=2，CQ=9C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6D.t=1，CQ=3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题10.（上接第7，8，9题）（4）若某一时刻△BPD≌△CPQ，则a=( )A. B.2C.3D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。

北师大版九年级下册第四章相似三角形动点问题解答题专题(含解析)

2019-2020相似三角形动点问题解答题专题（含解析）一、解答题1．（2018·江苏初三月考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）当t 为何值时，△CPQ 与△ABC 相似？（3）是否存在某一时刻，使得PQ 分△ACD 的面积为2：3？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．2．如图1，已知在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，4AC cm =，3BC cm =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1/cm s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2/cm s ；连结PQ .若设运动的时间为()()02t s t <<，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ BC ？（2）设AQP ∆的面积为()2y cm ，求y 与t 之间的函数关系式.（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB ∆的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由.（4）如图2，连结PC ，并把PQC ∆沿QC 翻折，得到四边形'PQP C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形'PQP C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.3．（2018·江苏初三期末）如图，直线AB 分别与两坐标轴交于点A （6，0），B （0，12），点C 的坐标为（3，0）（1）求直线AB 的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P ．①过点P 分别作x ，y 轴的垂线，垂足分别为点E ，F ，若矩形OEPF 的面积为16，求点P 的坐标． ②连结CP ，是否存在点P ，使△ACP 与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2018·江西初二期末）如图，在平面直角坐标系可中，直线y＝x+1与y＝﹣34x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．(1)求点A，B，C的坐标；(2)在直线AB上是否存在点E使得四边形EODA为平行四边形？存在的话直接写出BEAE的值，不存在请说明理由；(3)当△CBD为等腰三角形时直接写出D坐标．5．（2018·山东初三期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=12cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度均为1cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤6）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，▱AQPD 为矩形．（2）当t 为何值时，▱AQPD 为菱形．（3）是否存在某一时刻t ，使四边形AQPD 的面积等于四边形PQCB 的面积，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由．6．（2019·广东初三期末）如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P 从点A 出发在线段AO 上以每秒2cm 的速度向原点O 运动，动直线EF 从x 轴开始以每秒lcm 的速度向上平行移动（即EF ∥x 轴），分别与y 轴、线段AB 交于点E 、F ，连接EP 、FP ，设动点P 与动直线EF 同时出发，运动时间为t 秒．（1）求t=9时，△PEF 的面积；（2）直线EF 、点P 在运动过程中，是否存在这样的t 使得△PEF 的面积等于40cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，△EOP 与△BOA 相似．7．（2018·全国初三期中）如图，已知在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点A 、D ），连接PC ，过点P 作PE PC ⊥交AB 于E ．()1在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC QE ⊥？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；()2当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．8．（2019·福建初三期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：142y x =-+ 与x 轴.y 轴交于B ，A 两点，点D ，C 分别为线段AB ，OB 的中点，连结CD ，如图，将△DCB 绕点B 按顺时针方向旋转角α，如图．(1)连结OC ，AD ，求证OBC V ∽ABD △；(2)当0°<α<180°时，若△DCB 旋转至A ，C ，D 三点共线时，求线段OD 的长；(3)试探索：180°<α<360°时，是否还有可能存在A ，C ，D 三点共线的情况，若存在，求出此直线的表达式；若不存在，请说明理由．9．（2019·四川初三月考）如图，在ABC ∆中，20BA BC cm ==，30AC cm =，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 秒．（1）当x 为何值时，//PQ BC ；（2）是否存在某一时刻，使APQ CQB ∆∆？若存在，求出此时AP 的长；若不存在，请说理由；（3）当10CQ =时，求APQABQ S S ∆∆的值．10．（2018·浙江初三期中）如图，在△ABC 中，BA =BC =20cm ，AC =30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 秒．（1）当CQ =10时，求 △△ 的值．（2）当x 为何值时，PQ ∥BC ；（3）是否存在某一时刻，使△APQ ∽△CQB ？若存在，求出此时AP 的长，若不存在，请说明理由．11．（2018·河南初三期末）如图，已知矩形OABC ，以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A （2，0），C （0，3），点P 以每秒1个单位的速度从点C 出发在射线CO 上运动，连接BP ，作BE ⊥PB 交x 轴于点E ，连接PE 交AB 于点F ，设运动时间为t 秒．（1）当t=2时，求点E 的坐标；（2）若AB 平分∠EBP 时，求t 的值.（3）在运动的过程中，是否存在以P 、O 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019·四川初三期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，点A 、C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），34BC AC =．（1）求过点A 、B 的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P 、Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP=DQ=m ，问是否存在这样的m 使得以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．13．如图，在矩形ABCD 中，4AB CD cm ==，6AD BC cm ==，3AE DE cm ==，点P 从点E 出发，沿EB 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为2cm/s ，连接PQ ，设运动时间为t （s ）（02t <<），解答下列问题：PQ BC？（1）当t为何值时，//（2）设四边形PBCQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使四边形PBCQ的面积是四边形PQDE的面积的4倍？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.（4）连接BD，点O是BD的中点，是否存在某一时刻t，使P，O，Q在同一直线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.14．（2019·河南初二期末）如图，正方形ABCD 的边长为8，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF⊥AE 于F．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．15．（2018·江苏初三期末）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C 是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右作正方形CDEF，连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD＝t．（1）求FEOE的值；（2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；（3）是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OEF相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14．则在DB上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与P、B、A为顶点的三角形相似，如果存在求出DP的长，如果不存在，说明理由．17．（2018·重庆初三期末）如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）x为何值时，PQ∥BC；（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；18．（2019·陕西省宝鸡市第一中学初三期中）如图：已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；（3）试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．19．（2018·山东初三期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=8cm，BC=6cm．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s．过点P作PM⊥AD于点M，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t为何值时，点Q在线段AC的中垂线上；（2）写出四边形PQAM的面积为S（cm2）与时间t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQAM：S矩形ABCD=9：50？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）当t为何值时，△APQ与△ADC相似．20．（2019·西安交通大学附属中学初三月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC （1）求过点A ，B 的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P ，Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP ＝DQ ＝m ，问是否存在这样的m ，使得△APQ 与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．21．（2019·重庆初三期末）已知，把Rt ABC 和Rt DEF 按图1摆放，点C 与E 点重合，点B 、C 、E 、F 始终在同一条直线上，ACB EDF 90∠∠==，DEF 45∠=，AC 8=，BC 6=，EF 10=，如图2，DEF 从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB 方向匀速移动，同时，点P 从A 出发，沿AB 以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC 与DEF 的直角边相交于Q ，当P 到达终点B 时，DEF 同时停止运动连接PQ ，设移动的时间为()s 解答下列问题：()1DEF 在平移的过程中，当点D 在Rt ABC 的AC 边上时，求AB 和t 的值；()2在移动的过程中，是否存在APQ 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．22．（2019·山东中考模拟）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝4cm ，AD ＝3cm ，动点M 、N 分别从D 、B 同时出发，都以1cm/秒的速度运动，点M 沿DA 向点终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于点P ，连接MP ，已知运动的时间为t 秒（0＜t ＜3）．（1）当t ＝1秒时，求出PN 的长；（2）若四边形CDMP 的面积为s ，试求s 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t 使四边形CDMP 的面积与四边形ABCD 的面积比为3：8，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）在点M 、N 运动过程中，△MPA 能否成为一个等腰三角形？若能，试求出所有t 的可能值；若不能，试说明理由．23．（2018·山东初三期中）如图，已知Rt ABC 中，C 90∠=，AB 10cm =，AC 8cm =．如果点P 由B 出发沿BA 方向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ．连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）(0t 4)<≤．解答下列问题：()1当t为何值时PQ平行于BC；()2当t为何值时，APQ与ABC相似？()3是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的周长平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．()4是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．24．（2019·江苏初三期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2 cm/s的速度沿折线C→A→B向点B运动，同时点E从点B出发，以1 cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t（单位：s）（0＜t＜8）.(1) 当△BDE是直角三角形时，求t的值；(2)若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.25．（2019·山东中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，BD＝8cm，动点P从点B开始沿BC 边匀速运动，动点Q从点D开始沿对角线DB匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s，过点Q作QE⊥CD，与CD交于点E，连接PQ，点P和点Q同时出发，设运动时间为t（s），0＜t≤5．（1）当PQ ∥CD 时，求t 的值；（2）设四边形PQEC 的面积为S （cm 2），求S 与t 之间的函数关系式；（3）当P ，Q 两点运动到使∠PQE ＝60°时，求四边形PQEC 的面积；（4）是否存在某一时刻t ，使PQ +QE 的值最小？若存在，请求t 的值，并求出此时PQ +QE 的值；若不存在，请说明理由．26．（2019·昆山市第二中学初二期末）如图，已知Rt ABC ∆中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从B 向A 方向运动，Q 到达A 点后，P 点也停止运动，设点,P Q 运动的时间为t 秒. (1)求P 点停止运动时，BP 的长;(2) ,P Q 两点在运动过程中，点E 是Q 点关于直线AC 的对称点，是否存在时间t ，使四边形PQCE 为菱形?若存在，求出此时t 的值;若不存在，请说明理由.(3) ,P Q 两点在运动过程中，求使APQ ∆与ABC ∆相似的时间t 的值.27．（2018·福建初三期中）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=33cm，点P 由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为3cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题：(1)如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；(2)如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；(3)如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．28．（2018·榆树市第四小学校初三期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15．(1)如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝____．(2)如图2，折叠△ABC 使点A 落在BC 边上的点M 处，折痕交AC 、AB 分别于E 、F ．若FM ∥AC ，求证：四边形AEMF 是菱形；(3)在(1)(2)的条件下，线段CQ 上是否存在点P ，使得△CMP 和△HQP 相似？若存在，求出PQ 的长；若不存在，请说明理由．29．（2018·全国初三期中）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=，2AB AC ==，点D 为BC 边上的动点（D 不与B 、C 重合），AD ∠45E =，DE 交AC 于点E ．（1）BAD ∠与CDE ∠的大小关系为________．请证明你的结论；（2）设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当ADE 是等腰三角形时，求AE 的长；（4）是否存在x ，使DCE 的面积是ABD 面积的2倍？若存在，求出x 的值，若不存在，请说明理由．30．（2018·山东初三期中）如图，菱形ABCD 的边长为5 厘米，对角线BD 长8厘米．点P 从点A 出发沿AB 方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q 从点D 出发沿DB 方向匀速运动，速度为2 厘米/秒：P、Q 同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的3 10？（3）连接AQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理虫：（4）直线PQ 交线段BC于点M，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BM：CM=2：3？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．31．（2019·广东初三期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：（1）①BQ＝，BP＝；（用含t的代数式表示）②设△PBQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由．32．（2018·四川初三期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、点D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），BE＝5，OB=43 OA．(1)求点A、点C的坐标；(2)求直线CD的解析式；(3)在x轴上是否存在点P，使点C、点E、点P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由．33．（2018·四川初三期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P 从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ．若设运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求直线AB的解析式；（2）设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQP′O，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′O为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）CD＝245；（2）t为3秒或95秒时，△CPQ与△ABC相似；（3）不存在，见解析.【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AB＝10，进利用面积法求出CD；（2）先表示出CP，再判断出∠ACD＝∠B，进而分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论；（3）先判断出△CEQ∽△CDA，得出QE CQAD AC=，进而表示出QE＝45t，再分当S△CPQ＝25S△ACD时，和当S△CPD＝35S△ACD时，利用面积建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB ＝22AC BC+＝2286+＝10，∵S△ABC＝12AC•BC＝12AB•CD，∴CD＝AC BCAB⋅＝8610⨯＝245，（2）由（1）知，CD＝245，由运动知，CQ＝t，DP＝t，∴CP＝CD﹣DP＝245﹣t，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，1∴∠ACD＝∠B，∵△CPQ与△ABC相似，∴①△CPQ∽△BCA，∴CP CQ BC AB=，∴245610t t-=，∴t＝3②△CPQ∽△BAC，∴CP CQ AB BC=，∴245106t t-=∴t＝95，即：t为3秒或95秒时，△CPQ与△ABC相似；（3）假设存在，如图，在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD ＝22AC CD-＝222485⎛⎫- ⎪⎝⎭＝325，过点Q作CE⊥CD于E，∴QE∥AD，∴△CEQ∽△CDA，∴QE CQ AD AC=，∴3258QEt ， ∴QE ＝45t ， ∵S △CPQ ＝12CP•QE ＝12（245﹣t ）•45t ，∴S △ACD ＝12AD•CD ＝12×325×245， ∵PQ 分△ACD 的面积为2：3，∴①当S △CPQ ＝25S △ACD 时， ∴12（245﹣t ）•45t ＝25×12×325×245，∴25t 2﹣120t+384＝0，而△＝1202﹣4×25×384＝14400﹣38400＜0，此方程无解，即：此种情况不存在，②当S △CPD ＝35S △ACD 时，12（245﹣t ）•45t ＝35×12×325×245， ∴25t 2﹣120t+576＝0，而△＝1202﹣4×25×576＝14400﹣57600＜0，此方程无解，即：此种情况不存在，即：不存在某时刻，使得PQ 分△ACD 的面积为2：3．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．2．（1）107t =；（2）2335y t t =-+；（3）不存在，见解析；（4）存在，边长为5059. 【解析】【分析】（1）当PQ ∥BC 时，我们可得出三角形APQ 和三角形ABC 相似，那么可得出关于AP ，AB ，AQ ，AC 的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC ，根据P ，Q 的速度，可以用时间t 表示出AQ ，BP 的长，而AB 可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP ，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t 的值．（2）求三角形APQ 的面积就要先确定底边和高的值，底边AQ 可以根据Q 的速度和时间t 表示出来．关键是高，可以用AP 和∠A 的正弦值来求．AP 的长可以用AB-BP 求得，而sinA 就是BC ：AB 的值，因此表示出AQ 和AQ 边上的高后，就可以得出y 与t 的函数关系式．（3）如果将三角形ABC 的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ ，那么可以用t 表示出CQ ，AQ ，AP ，BP 的长，那么可以求出此时t 的值，我们可将t 的值代入（2）的面积与t 的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC 面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．（4）我们可通过构建相似三角形来求解．过点P 作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥BC 于N ，那么PNCM 就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN 和三角形ABC 相似，得出关于BP ，PN ，AB ，AC 的比例关系，即可用t 表示出PN 的长，也就表示出了MC 的长，要想使四边形PQP′C 是菱形，PQ=PC ，根据等腰三角形三线合一的特点，QM=MC ，这样有用t 表示出的AQ ，QM ，MC 三条线段和AC 的长，就可以根据AC=AQ+QM+MC 来求出t 的值．求出了t 就可以得出QM ，CM 和PM 的长，也就能求出菱形的边长了．【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，先求得5AB =.由题意知：5AP t =-，2AQ t =，若PQBC ，则APQ ABC ∆∆，由AQ AP AC AB =，可求得107t =.（2）如图3，过点P 作PH AC ⊥于H ，由APH ABC ∆∆，得PH AP BC AB =，可求得335PH t =-， ∴11323225y AQ PH t t ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯- ⎪⎝⎭2335t t =-+.（3）若PQ 把ABC ∆的周长平分，则AP AQ BP BC CQ +=++.∴()()52342t t t t -+=++-，解得：1t =.若PQ 把ABC ∆的面积平分，则12APQ ABC S S ∆∆=，即23335t t -+=.把1t =代入上面的方程不成立，∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt ACB ∆的周长和面积同时平分.（4）如图4，过点P 作PM AC ⊥于M ，PN BC ⊥于N ，若四边形'PQP C 是菱形，则PQ PC =. ∵PM AC ⊥于M ， ∴QM CM =.∵PN BC ⊥于N ，易知PBN ABC ∆∆.∴PN BPAC AB=， ∴45PN t=， ∴45tPN =， ∴45t QM CM ==， ∴442455t t t ++=，解得：109t =. ∴当109t =时，四边形'PQP C 是菱形.此时37353PM t =-=，4859CM t ==，在Rt PMC ∆中，2249645059819PC PM CM =+=+=， ∴菱形'PQP C 的边长为5059.【点睛】本题考查相似形，解题关键在于熟练掌握计算法则.3．（1）y=﹣2x+12；（2）①点P （2，8）或（4，4）；②存在，点P 的坐标为（3，6）或点P （275，65）【解析】试题分析：（1）由于A （6，0），B （0，12），利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）①可以设动点P （x ，﹣2x +12），由此得到PE =x ，PF =﹣2x +12，再利用矩形OEPF 的面积为16即可求出点P 的坐标；②存在，分两种情况：第一种由CP ∥OB 得△ACP ∽△AOB ，由此即可求出P 的坐标；第二种CP ⊥AB ，根据已知条件可以证明APC ∽△AOB ，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出P A ，再过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，由此得到PH ∥OB ，进一步得到△APH ∽△ABO ，然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P 的坐标．解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b ，如图1：依题意，，∴，∴y=﹣2x+12；（2）①设动点P （x，﹣2x+12），则PE=x，PF=﹣2x+12，∴S▭OEPF=PE•PF=x（﹣2x+12）=16，∴x1=2，x2=4；经检验x1=2，x2=4都符合题意，∴点P（2，8）或（4，4）；②存在，分两种情况∵A（6，0），B（0，12），∴OA=6，OB=12，AB=6第一种：CP∥OB，∴△ACP∽△AOB，而点C的坐标为（3，0），∴点P（3，6）；第二种CP⊥AB，∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，∴△APC∽△AOB，∴，∴，∴AP=，如图2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，∴PH∥OB，∴△APH∽△ABO，∴，∴，∴PH=，AH=，∴OH=OA﹣AH=6﹣=，∴点P（，）．∴点P的坐标为（3，6）或点P（，）．点睛：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，熟练运用相似三角形的性质与判定以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．4．(1)A(87，157)，B(﹣1，0)，C(4，0)；(2)存在，BEAE=14；(3)点D的坐标为(﹣125，245)或(8，﹣3)或(0，3)或(32，158)．【解析】【分析】(1)将y＝x+1与y＝﹣34x+3联立求得方程组的解可得到点A的坐标，然后将y＝0代入函数解析式求得对应的x的值可得到点B、C的横坐标；(2)当OE∥AD时，存在四边形EODA为平行四边形，然后依据平行线分线段成比例定理可得到BE AE=OB OC；(3)当DB＝DC时，点D在BC的垂直平分线上可先求得点D的横坐标；即AC与y轴的交点为F，可求得CF＝BC＝F，当点D与点F重合或点D与点F关于点C对称时，三角形BCD为等腰三角形，当BD＝BC时，设点D的坐标为(x，﹣34x+3)，依据两点间的距离公式可知：(x+1)2+(﹣34x+3)2＝25，从而可求得点D的横坐标．【详解】(1)将y＝x+1与y＝﹣34x+3联立得：1334y xy x=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：x＝87，y＝157，∴A(87，157)．把y＝0代入y＝x+1得：x+1＝0，解得x＝﹣1，∴B(﹣1，0)．把y＝0代入y＝﹣34x+3得：﹣34x+3＝0，解得：x＝4，∴C(4，0)．(2)如图，存在点E使EODA为平行四边形．∵EO∥AC，∴BEAE=OBOC=14．(3)当点BD＝DC时，点D在BC的垂直平分线上，则点D的横坐标为32，将x＝32代入直线AC的解析式得：y＝158，∴此时点D的坐标为(32，158)．如图所示：FC＝22OF OC＝5，∴BC＝CF，∴当点D与点F重合时，△BCD为等腰三角形，∴此时点D的坐标为(0，3)；当点D与点F关于点C对称时，CD＝CB，∴此时点D的坐标为(8，﹣3)，当BD＝DC时，设点D的坐标为(x，﹣34x+3)，依据两点间的距离公式可知：(x+1)2+(﹣34x+3)2＝25，解得x＝4(舍去)或x＝﹣125，将x＝﹣125代入y＝﹣34x+3得y＝245，∴此时点D的坐标为(﹣125，245)．综上所述点D的坐标为(﹣125，245)或(8，﹣3)或(0，3)或(32，158)．【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，利用平行线分线段成比例定理求解是解答问题(2)的关键；分类讨论是解答问题(3)的关键．5．(1) 当t=时，▱AQPD是矩形；(2) 当t=时，□AQPD是菱形；(3)【解析】【分析】（1）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；（2）利用菱形的对角线相互垂直平分解答；（3）过点P作PM⊥AC于M．先表示出△APQ的面积和S四边形PQCB=S△ABC﹣S△APQ，进而建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图2，当▱AQPD是矩形时，PQ⊥AC，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC∴=，由运动知，QA=t，BP=t，∴AP=AB﹣BP=12﹣t，=,即，t-t解之t=，∴当t=时，▱AQPD是矩形；（2）当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，AE=AP则cos∠BAC==，由运动知，QA=t，BP=t，∴AP=AB﹣BP=12﹣t，AE=6﹣t，∴t=t解之t=，所以当t=时，□AQPD是菱形；（3）存在时间t，使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积．在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC=4，如图3，过点P作PM⊥AC于M．则=，=，即t故PM=（12﹣t）．∴S△APQ=AQ×PM=×t×（12﹣t），∴S=S△ABC﹣S△APQ=×4×8﹣×t×（12﹣t），四边形PQCB∵四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，∴2××t×（12﹣t）=×4×8﹣×t×（12﹣t），∴t=（舍）或t=.【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．6．（1）36cm2；（2）不存在；（3）t=6或t=80 11.【解析】【分析】（1）由于EF∥x轴，则S△PEF=•EF•OE．t=9时，OE=9，关键是求EF．易证△BEF∽△BOA，则EF OA =BEBO，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm2，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．【详解】解：（1）∵EF∥OA，∴∠BEF=∠BOA又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BOA，∴EFOA=BEBO，当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，∴EF=20615=8，∴S△PEF=12EF•OE=12×8×9=36（cm2）；（2）∵△BEF∽△BOA，∴EF=BE OABO⋅=()15t2015-⋅=43（15-t），∴12×43（15-t）×t=40，整理，得t2-15t+60=0，∵△=152-4×1×60＜0，∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值；（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴OPOA=OEOB，即202t20-=t15，解得t=6；当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴OPOB=OEOA，即202t15-=t20，解得t=80 11．∴当t=6或t=8011时，△EOP与△BOA相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．7．（1）当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在．当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件，此时3AP AQ +=；（2）BE 的取值范围是728BE ≤<．【解析】【分析】（1）假设存在符合条件的Q 点，由于PE ⊥PC ，且四边形ABCD 是矩形，易证得△APE ∽△DCP ，可得AP•PD=AE•CD ，同理可通过△AQE ∽△DCQ 得到AQ•QD=AE•DC ，则AP•PD=AQ•QD ，分别用PD 、QD 表示出AP 、AQ ，将所得等式进行适当变形即可求得AP 、AQ 的数量关系．（2）由于BE 的最大值为AB 的长即2，因此只需求得BE 的最小值即可；设AP=x ，AE=y ，在（1）题中已经证得AP•PD=AE•CD ，用x 、y 表示出其中的线段，即可得到关于x 、y 的函数关系式，根据函数的性质即可求得y 的最大值，由此可求得BE 的最小值，即可得到BE 的取值范围．【详解】()1假设存在这样的点Q ；∵PE PC ⊥，∴90APE DPC ∠+∠=，∵90D ∠=，∴90DPC DCP ∠+∠=， ∴APE DCP ∠=∠，又∵90A D ∠=∠=， ∴APE DCP ∽， ∴AP AEDC DP=， ∴AP DP AE DC ⋅=⋅；同理可得AQ DQ AE DC ⋅=⋅；∴AQ DQ AP DP ⋅=⋅，即()()33AQ AQ AP AP ⋅-=⋅-，∴2233AQ AQ AP AP -=-，∴2233AP AQ AP AQ -=-，∴()()()3AP AQ AP AQ AP AQ +-=-；∵AP AQ ≠，∴3AP AQ +=∵AP AQ ≠，∴32AP ≠，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在．当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件，此时3AP AQ +=．()2设AP x =，AE y =，由AP DP AE DC ⋅=⋅可得()32x x y -=，∴()221131393()222228y x x x x x =-=-+=--+， ∴当32x =（在03x <<范围内）时，98y =最大值；而此时BE 最小为78，又∵E在AB上运动，且2AB=，∴BE的取值范围是72 8BE≤<．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数最值的应用；（1）题中，通过两步相似得到与所求相关的乘积式，并能正确地进行化简变形是解决此题的关键．8．（1）详见解析；（2）229.（3）存在，44.3y x=-+【解析】【分析】（1）先确定出点A，B坐标，进而求出BC，CD，即可判断出△OBC∽△ABD；（2）先确定出△ACB≌△BOA，进而判断出平行四边形AOBC是矩形，利用勾股定理即可得出结论；（3）先求出1255OC=，进而利用勾股定理求出点C的坐标（245，125-），最后用待定系数法即可得出结论．【详解】解：(1)由142y x=-+得A(0，4),B(8，0)，则OA=4，OB=8，∵AD=BD,OC=BC∴122CD OA==，BC=4，1.2BD AB=∵∠ABO=∠DBC,∴∠ABO+∠ABC=∠DBC+∠ABC. ∴∠OBC=∠ABD，。

(完整word版)初三数学几何的动点问题专题练习及答案

动点问题专题训练1、如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？2、直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC 所夹锐角的正切值．AQCDBPxAO QPBy5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．α7如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.A CB Q ED图16 OEC D Al O C A（备用图）A DC B N AD EB FC 图4（备用） ADE BF C 图5（备用） A D E B F C 图1 图2 A D E B F C P N M图3 A DE BF C P NM （第8题）9如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD 的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF∠=o，且EF交正方形外角DCG∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF△≌△，所以AE EF=．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．11已知一个直角三角形纸片OAB，其中9024AOB OA OB∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B'，设OB x'=，OC y=，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B'，且使B D OB'∥，求此时点C的坐标．A DFC G B图1 A DFC GB图2A DFC GB图3yBO AyBO AyBO A12问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN 的值等于．（用含m n ，的式子表示）参考答案1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△． ·····················（4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒．··················（7分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯，解得803x =秒． ∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ········· （12分） 2.解（1）A （8，0）B （0，6） · 1分（2）86OA OB ==Q ， 10AB ∴=Q 点Q 由O 到A 的时间是881=（秒）∴点P 的速度是61028+=（单位/秒）1分当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，方法指导：为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（2） AB C D EF M 图（1） A B C DE F M N当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， ······· 1分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+···················· 1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ·························· 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ·············· 3分3.解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8）， ∴OA =4，OB =8. 由题意，OP =－k ， ∴PB =PA =8+k .在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P 在线段OB 上时,作PE⊥CD 于E .∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32，PD =3， ∴PE =33. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ， ∴△AOB ∽△PEB ， ∴332,=45AO PE AB PB PB =即， ∴315,PB =∴3158PO BO PB =-=-， ∴315(0,8)P -， ∴3158k =-. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,－315－8)， ∴k =－315－8， ∴当k =315－8或k =－315－8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.4.5.解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-．由△AQF ∽△ABC，4BC =，得45QF t =．∴45QF t =．∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP =90°．由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=，即335t t -=．解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°．由△AQP∽△ABC ，得 AQ APAB AC=，即353t t -=．解得158t =．（4）52t =或4514t =． ①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6.解（1）①30，1；②60，1.5；分（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,∴∠A =300.∴AB =4,AC . ∴AO =12AC ……………………8分在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC .又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形 ∴3KH AD ==． ·······················1分在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==g． cos 454BK AB =︒==g ················2分在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++= ··············3分（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD ==∴1037GC =-= ·····················4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△ ∴CN CMCD CG = ·······················5分即10257t t -= P图4图5（图①） A D C B K H （图②） A D C B G M N解得，5017t =······················· 6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =-∴103t = ························· 7分②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=-在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t = ························ 8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△ ∴NC EC DC HC = 即553t t -= ∴258t = ························· 8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025t FC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MCHC DC =即1102235tt -= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 ··9分8.解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ··· 1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ·· 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC ········· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·······················4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠． ∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=g ．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ··········6分②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． ·······················7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ·········8分A DC B M N （图③）（图④） AD C B M NH E （图⑤）A D CB H N MF 图1A DE BF C G图2ADEBF CPNMG H当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=g ．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形． ·· 10分 9解：（1）Q （1，0） ······················· 1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度． ················ 2分（2）过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB中，10AB == 3分过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ．∴6,8BH AF CH BF ====．∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ．∴AP AM MP AB AF BF ==． 1068t AM MP∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位） ∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10）············ 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． ·····6分此时P 的坐标为（9415，5310）． ··················7分（4）当 53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． ············9分10.解：（1）正确． ··········· （1分）证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．（2分）BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF Q 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°．AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=Q °，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）． ···················（5分） AE EF ∴=． ·························（6分）（2）正确． ············· （7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ． ········ （8分） BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．Q 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． ·················· （10分） AE EF ∴=．（11分）11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合，则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =. 图3A D E BFCPN M 图4A D EBF CPM N 图5A DEBF （P ） CMN GGRGA D F C GB M A D FC GB N∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，. ······················ 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，，则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ ·························· 6分由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴ Q 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤. ··················7分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠Q ，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OC OA OB''=，得2OC OB ''=. ·················· 9分在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C的坐标为()016. ················· 10分12解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ········ 1分∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． ·········· 3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+． ················· 5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =． ·················· 6分∴15AM BN =．······················· 7分方法二：同方法一，54BN =． ················ 3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形．∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°． 90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠Q ，°，．在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ······ ５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 ·············· 6分AEF M N 图（1-2）A B C DE FM G∴15AM BN =．······················ 7分类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+ ················· 10分联系拓广2222211n m n n m -++ ························ 12分。

北师大版中考数学复习：中点问题常考热点专项练习题汇编(Word版,含答案)

北师大版中考数学复习：中点问题常考热点专项练习题汇编一．选择题1．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（）①AP＝FP，②AE＝AO，③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，④CE•EF＝EQ•DE．A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H．①△ABP∽△HCB；②AH的最小值为﹣；③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积；④在运动过程中，点H的运动路径的长为π，其中正确的有个（）个．A．1B．2C．3D．43．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：①AG：GE＝2：1；②BG：GH：HD＝1：1：1；③S1+S2+S3＝S；④S2：S4：S6＝1：2：4．正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）①AE⊥BF；②S△BCF＝5S△BGE；③QB＝QF；④tan∠BQP＝．A．1B．2C．3D．46．正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE 沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE＝．下列结论：①AD垂直平分EE′，②tan∠ADE＝﹣1，③C△ADE﹣C△ODE＝2﹣1，④S四边形AEFB＝，其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABC＝2S△ABF．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC 的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO BG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF＝9﹣4：4；④EM：MG ＝1：（1+），其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB＝AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG2＝4CF•CD；③AD＝DE；④CF＝2DF．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题10．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝2，CD＝1．下列结论：①∠AED ＝∠ADC，②＝，③BF＝2AC，④BE＝DE．其中结论正确的个数有．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为．12．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB，F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P，则EP：PF＝．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为．14．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC 的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO BG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．其中正确的结论有．15．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN＝DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC＝，则BF＝2；正确的结论有．16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC与BD交于点H，AE⊥BC于点E，AE交BD于点G，点F是BD的中点，连接EF，若HG＝10，GB＝6，tan∠ACB＝1，则下列结论：①∠DAC＝∠CBD；②DH+GB＝HG；③4AH＝5HC；④EC﹣EB＝EF；其中正确结论序号是．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝．18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP 翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BP A；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4﹣4．三．解答题19．在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝16cm，EF分别是AB、BD的中点，连接EF，点P 从点E出发沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s．同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（0＜t＜8）s．解答下列问题：（1）如图①，求证：△BEF∽△DCB；（2）如图②，过点Q作QG⊥AB，垂足为G，若四边形EPQG为矩形，t＝；（3）当△PQF为等腰三角形时，请直接写出t的值．20．如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，延长CA至点E，作DE⊥CE交BA 的延长线于点D，连接CD，点F为CD的中点，连接EF，BF．（1）直接写出线段EF和BF之间的数量关系为；（2）将△ADE绕点A顺时针旋转到图②的位置，猜想EF和BF之间的关系，并加以证明；（3）若AC＝3，AE＝2，将△ADE绕点A顺时针旋转，当A，E，B共线时，请直接写出EF的长．参考答案一．选择题1．解：连接AF．∵PF⊥AE，∴∠APF＝∠ABF＝90°，∴A，P，B，F四点共圆，∴∠AFP＝∠ABP＝45°，∴∠P AF＝∠PF A＝45°，∴AP＝FP，故①正确，设BE＝EC＝a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，∴，即AE＝AO，故②正确，根据对称性可知，△OPE≌△OQE，∴S△OEQ＝S四边形OPEQ＝2，∵OB＝OD，BE＝EC，∴CD＝2OE，OE∥CD，∴，△OEQ∽△CDQ，∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，∴S△CDO＝12，∴S正方形ABCD＝48，故③错误，∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，∴△EPF∽△ECD，∴，∵EQ＝PE，∴CE•EF＝EQ•DE，故④正确，故选：B．2．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°，AD∥BC，∴∠APB＝∠HBC．∵CH⊥BP，∴∠BHC＝90°．∴∠BAP＝∠CHB＝90°．∴△ABP∽△HCB．∴①的结论正确；②如下图，点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，设BC的中点为O，∵AH+HO≥AO，∴当A，H，O在一条直线上时，AH最小．∵BC＝2，∴OB＝BC＝．∴AO＝＝，∴AH的最小值＝AO﹣OB＝﹣，∴②的结论正确；③BP扫过的面积＝．∵点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，∴CH扫过的面积为S扇形OBH+S△OHC．∵CD＝2，BC＝2，∴tan∠DBC＝，∴∠DBC＝30°，∴∠HOC＝2∠DBC＝60°，∴∠BOH＝120°．∴CH扫过的面积为S扇形OBH+S△OHC＝+××＝π+，∴③的结论错误；④∵点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，∴点H的运动路径的长为：＝．∴④的结论错误；综上，正确的结论有：①②，故选：B．3．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E是BC的中点，∴BE＝BC，∵AD∥BE，∴＝＝2，即AG：GE＝2：1；故①正确；②∵AD∥BE，∴，∴BG＝BD，同理得：DH＝BD，∴BG＝GH＝HD，∴BG：GH：HD＝1：1：1；故②正确；③∵AD∥BE，∴△BEG∽△DAG，∴＝，∵BG＝GH＝HD，∴S5＝S3＝S4，设S1＝x，则S5＝S3＝S4＝2x，∴S＝12x，同理可得：S2＝x，∴S1+S2+S3＝x+x+2x＝4x＝S；故③正确；④由③知：S6＝6x﹣x﹣x＝4x，∴S2：S4：S6＝1：2：4，故④正确；所以本题的4个结论都正确；故选：D．4．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．5．解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故①正确；∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝BC，BF＝BC，∴BE：BF＝1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，∴S△BCF＝5S△BGE，故②正确．根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，故③正确；∵QF＝QB，PF＝1，则PB＝2，在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣1）2+4，∴x＝，∴QB＝，PQ＝＝＝，∴tan∠BQP＝＝，故④错误；故选：C．6．解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝OB＝OD＝OC，∠DAC＝∠CAB＝∠DAE′＝45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE＝DE′，AE＝AE′，∴AD垂直平分EE′，故①正确，∴EN＝NE′，∵∠NAE＝∠NEA＝∠MAE＝∠MEA＝45°，AE＝，∴AM＝EM＝EN＝AN＝1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN＝EO＝1，AO＝DO＝+1，∴tan∠ADE＝tan∠ODE＝＝﹣1，故②正确，∴AB＝AD＝AO＝2+，∴C△ADE﹣C△ODE＝AD+AE﹣DO﹣EO＝，故③错误，∴S△AEB＝S△AED＝×1×（2+）＝1+，S△BDE＝S△ADB﹣2S△AEB＝1+，∵DF＝EF，∴S△EFB＝，∴S四边形AEFB＝S△AEB+S△BEF＝，故④错误，故选：C．7．解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∴∠EAC＝∠ACB，∵BE⊥AC于点F，∴∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DN垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；∵CF＝2AF，∴S△ABC＝3S△ABF．∴④不正确；其中正确的结论有3个，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°，同理可得CE＝CG，∠DCG＝90°，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠DGC，∵∠EDH＝∠CDG，∠DGC+∠CDG＝90°，∴∠EDH+∠BEC＝90°，∴∠EHD＝90°，即HG⊥BE，故①正确；在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH（ASA），∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO＝BG，且HO∥BG，故②正确；设EC和OH相交于点N．设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴＝，即＝，即a2+2ab﹣b2＝0，解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），则＝﹣1；则S正方形ABCD：S正方形ECGF＝（﹣1）2＝3﹣2，故③错误；∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴＝＝，∴＝，＝，∴＝＝＝，故④正确．故选：C．9．解：①如图：正方形ABCD中BA＝BC，∠ABP＝∠CBP，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，那么∠1＝∠2，在直角三角形ABG中∠1与∠G互余，∠PCE＝90°，那么∠2与∠5互余，∴∠5＝∠G，∴EC＝EG．在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5＝∠G，∴∠3＝∠4，∴EC＝EF，从而得出EG＝EF，即E为FG的中点．∴①正确．③∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠1＝∠DF A，∵AB＝BP，∴∠1＝∠BP A，∵∠DPF＝∠APB，∵EF＝CE，∴∠3＝∠4，∴∠4＝∠DPE，∴D、P、C、E四点共圆，∴∠DEA＝∠DCP，∵∠1+∠DAP＝90°，∠2+∠DCP＝90°，∴∠DAP＝∠DCP＝∠DEA，∴AD＝DE，∴③正确，②∵∠3＝∠4，AD＝DE（③已求证），∴△CEF∽△CDE，∴＝，即CE2＝CF•CD，∵∠3＝∠4，∴CE＝EF，∵E为FG的中点．∴FG＝2CE，即CE＝FG，∴＝CF•CD，即FG2＝4CF•CD，∴②正确．④∵四边形ABCD是正方形，∴△PDF∽△PBA，∴＝＝，∴＝，∴＝，即CF＝DF，∴④错误，综上所述，正确的由①②③．故选：C．二．填空题（共9小题）10．解：①∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC，∵AD平分∠CAB，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠AED＝∠ADC，故①正确；②∵∠EAD＝∠DAC，∠ADE＝∠ACD＝90°，∴△ADE∽△ACD，∴，∵AC的值未知，故②不一定正确；③连接DM，∵MD为斜边AE的中线，∴DM＝MA，∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC，∴DM∥BF∥AC，∴，∴，∴BF＝2AC，故③正确；④由③知，，∵，∴DM∥AC，DM⊥BC，∴∠MDA＝DAC＝DAM，∵∠ADE＝90°，∴DM＝MA＝ME，∵BM＝2AM，∴BE＝EM，∴ED＝BE，故④正确，故答案为：3个．11．解：①如图1中，当∠AFB′＝90°时．在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝2AC＝8，∵BD＝CD，∴BD＝CD＝BC＝2，由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，∴∠BDF＝60°，∴∠EDB＝∠EDF＝30°，∴∠B＝∠EDB＝30°，∴BE＝DE＝B'E，∵∠C＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠ABC＝90°，∴△BDF∽△BAC，∴，即＝，解得：BF＝3，设BE＝DE＝x，在Rt△EDF中，DE＝2EF，∴x＝2（3﹣x），解得：x＝2，∴AE＝8﹣2＝6．②如图2中，当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE＝x．∵AD＝AD，CD＝DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC＝AB′＝4，∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，∴[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2，解得：x＝，综上所述，满足条件的AE的值为6或．故答案为：6或．12．解：∵BE＝AB，CF＝AC，∴则＝，＝，分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．则EE1∥FF1，∴△EE1P∽△FF1P，＝，＝＝，＝＝，又BD＝CD，∴＝，∴＝＝，故答案为：．13．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．解：①如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠BGH，∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，∴∠BEC+∠HDE＝90°，∴GH⊥BE，故①正确；②∵GH是∠EGC的平分线，∴∠BGH＝∠EGH，在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH（ASA），∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO是△EBG的中位线，∴OH∥BG，HO＝BG，故②正确；③由①得△EHG是直角三角形，∵O为EG的中点，∴OH＝OG＝OE，∴点H在正方形CGFE的外接圆上，故③错误；④如图2，连接CF，由③可得点H在正方形CGFE的外接圆上，∴∠HFC＝∠CGH，∵∠HFC+∠FMG＝90°，∠CGH+∠GBE＝90°，∴∠FMG＝∠GBE，又∵∠EGB＝∠FGM＝45°，∴△GBE∽△GMF，故④正确；故答案为：①②④．15．解：正方形ABCD中，AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF＝∠CDE，DE＝DF，∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DGN＝45°+∠FDG，∠DNG＝45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，∴∠DGN≠∠DNG，∴DN≠DH，判断出①错误；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD＝∠DEF＝45°，∠BGF＝∠EGD（对顶角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE＝∠DEF＝45°，∠BDE＝∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；连接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA＝∠EDC，DF＝DE，∴∠FDE＝∠ADC＝90°，∵M是EF的中点，∴MD＝EF，∵BM＝EF，∴MD＝MB，在△DCM与△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM＝∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，∴MC垂直平分BD；故③正确；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，∵MC＝，∴MH＝×＝1，∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位线，∴BF＝2MH＝2，故④正确；综上所述，正确的结论有②③④．故答案是：②③④．16．解：①以BD中点F为圆心，BD为直径可以作出△ABC的外接圆，∵tan∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠DAC＝∠CBD，故①正确；②∵△ABH∽△GDA，∴AB2＝BH•DG，即AB2＝16×（10+DH），叉∵BD＝AB，即16+DH＝AB，解得DH＝8，∵DH+GB＝8+6＝14≠10，∴DG+GB≠HG，故②错误；③∵△AHG∽△BHA，∴AH2＝BH•HG＝160，∴AH＝4，根据相交弦定理：AH•HC＝BH•DH，∴HC＝，∴4AH＝5HC，故③正确；④∵BD＝BH+DH＝24，△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝12，∵AC＝AH+HC＝，且△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝，根据勾股定理可得，BE＝，∴CE﹣BE＝，由△ABH∽△DCH，得CD＝，而FN＝CD＝，BF＝12，由勾股定理可得，BN＝，BE＝，∴EN＝BN﹣BE＝，EF＝，∴CE﹣EB＝EF，故④正确．综上，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．17．解：在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，∵∠ACB＝90°，CH⊥BD，∵AC＝BC＝3，CD＝1，∴BD＝，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH＝，∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，∴∠OCH+∠DCH＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，∵∠DCH＝∠CBD，∴∠OCH＝∠ABD，在△CHO与△BEO中，，∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH＝90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH＝BD﹣DH﹣CH＝﹣﹣＝，∴OH＝EH×＝，故答案为：．18．解：∵∠APB＝∠APE，∠MPC＝∠MPN，∵∠CPN+∠NPB＝180°，∴2∠NPM+2∠APE＝180°，∴∠MPN+∠APE＝90°，∴∠APM＝90°，∵∠CPM+∠APB＝90°，∠APB+∠P AB＝90°，∴∠CPM＝∠P AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝DC＝AD＝4，∠C＝∠B＝90°，∴△CMP∽△BP A．故①正确，设PB＝x，则CP＝4﹣x，∵△CMP∽△BP A，∴＝，∴CM＝x（4﹣x），∴S四边形AMCB＝[4+x（4﹣x）]×4＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣2）2+10，∴x＝2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，当PB＝PC＝PE＝2时，由折叠知，AE＝AB＝AD，∠AEP＝∠B＝90°，∴∠AEN＝90°＝∠D，∵AN＝AN，∴Rt△ADN≌Rt△AEN（HL），∴DN＝EN，设ND＝NE＝y，在Rt△PCN中，（y+2）2＝（4﹣y）2+22解得y＝，∴NE≠EP，故③错误，作MG⊥AB于G，∴MG＝AD＝4，根据勾股定理得：AM＝＝，∴AG最小时AM最小，∵AG＝AB﹣BG＝AB﹣CM＝4﹣x（4﹣x）＝（x﹣2）2+3，∴x＝2时，AG最小值＝3，∴AM最小值＝＝5，故④错误．∵△ABP≌△ADN时，∴△ABP≌△ADN≌△AEN≌△AEP，∴∠P AB＝∠DAN＝22.5°，在AB上取一点K使得AK＝PK，设PB＝z，∴∠KP A＝∠KAP＝22.5°∵∠PKB＝∠KP A+∠KAP＝45°，∴∠BPK＝∠BKP＝45°，∴PB＝BK＝z，AK＝PK＝z，∴z+z＝4，∴z＝4﹣4，∴PB＝4﹣4，故⑤正确．故答案为①②⑤．三．解答题（共22小题）19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠EBF＝＝∠CDB，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∴EF∥BC，∴∠EFB＝∠CBD，∴△BEF∽△DCB；（2）当四边形EPQG为矩形时，如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝16cm，∴BD＝20cm，AD＝BC＝16cm，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴BF＝DF＝10cm，EF＝AD＝×16＝8m，∴QF＝（2t﹣10）cm，PF＝（8﹣t）cm，∵四边形EPQG是矩形，∴PQ∥BE，∴△QPF∽△BEF，∴，∴，解得：t＝，∴当t＝时，四边形EPQG为矩形，故答案为；（3）当点Q在DF上，PF＝QF，如图所示，∵PF＝（8﹣t）cm，QF＝（10﹣2t）cm，∴8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2，当点Q在BF上，PF＝QF，如图所示，∵PF＝（8﹣t）cm，QF＝（2t﹣10）cm，∴8﹣t＝2t﹣10，∴t＝6，当点Q在BF上，PQ＝QF，如图所示，过点Q作QG⊥EF于点G，则GQ∥BE，∴△QGF∽△BEF，∴，∵PQ＝QF，∴GF＝PF＝（8﹣t），∴，∴t＝，当点Q在BF上，PQ＝PF，如图所示，过点P作PM⊥BF于点M，则∠PMF＝∠BEF＝90°，∵∠PFM＝∠BFE，∴△PFM∽△BFE，∴，∵PQ＝PF，∴MF＝QF＝（2t﹣10），∴，∴t＝，综上所述，t＝2或6或或时，△PQF是等腰三角形．20．解：（1）如图①中，结论：EF＝BF．理由：∵DE⊥CE，∴∠CED＝90°，∵∠CBD＝90°，CF＝DF，∴BF＝CD，EF＝CD，∴EF＝BF．故答案为：EF＝BF．（2）如图②中，结论：EF＝BF，EF⊥BF．理由：过点C作CT∥DE交EF的延长线于点T，连接BT，ET，延长DE交BC于点J，设AB交DJ于点K．∵CT∥DE，∴∠CTF＝∠DEF，∵∠CFT＝∠DFE，CF＝DF，∴△CFT≌△DFE（AAS），∴FT＝EF，CT＝DE，∵CT∥DJ，∴∠TCB＝∠DJB，∵∠AEK＝∠JBK＝90°，∠AKE＝∠JKB，∴∠EAK＝∠BJK，∴∠BCT＝∠BAE，∵AE＝DE，CT＝DE，∴CT＝AE，∵CB＝AB，∴△BCT≌△BAE（SAS），∴BT＝BE，∠CBT＝∠ABE，∴∠TBE＝ABC＝90°，∴△EBT是等腰直角三角形，∵FT＝EF，∴BF⊥EF，BF＝EF．（3）如图③﹣1中，当点E在BA的延长线上时，∵AB＝BC，AC＝3，∠ABC＝90°，∴AB＝AC＝3，∵AE＝2，∴BE＝5，∵△BFE是等腰直角三角形，∴EF＝AE＝如图③﹣2中，当点E在线段AB上时，同法可得EF＝，综上所述，满足条件的EF的长为或．。

动点问题(表达)(二)(北师版)(含答案)

动点问题（表达）（二）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知：如图，A，B，C三点在同一条直线上，线段AB=12厘米，AC=4厘米．动点P自点A 沿线段AB以2厘米/秒的速度向点B运动，同时动点Q自点C沿线段CB以1厘米/秒的速度向点B运动，当P运动到点B时，两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请回答下列问题：（1）线段BP和CQ的长可用含t的式子分别表示为( )厘米．A.8-2t；tB.12-2t；tC.4-t；2tD.4-2t；8-t答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）当4≤t≤6时，线段PQ长可用含t的式子表示为( )厘米．A.12-3tB.t+4C.t-4D.4-t答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.如图，在长方形ABCD中，BC=8米，AC=10米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC方向向点C运动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P，Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ．设点P的运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）线段CP，CQ的长可用含t的式子分别表示为( )米．A.2t；tB.t；2tC.10-2t；tD.t；10-2t答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）当t为( )时，△PQC是以PQ为底的等腰三角形．A.5B.C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.已知：如图，等边三角形ABC的边长为9，动点P从点A出发沿AB-BC-CA方向以每秒3个单位的速度运动，再次回到点A时停止运动．设点P运动时间为t秒．当3≤t≤6时，线段BP的长可用含t的式子表示为( )A.3t-9B.9-3tC.18-3tD.3t-18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.已知：如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点B出发沿BC-CD-DA方向以每秒2个单位的速度运动，到达点A时停止运动．连接AP，BP．设点P运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）当点P在线段CD上运动时，线段CP的长可用含t的式子表示为( )A.8-2tB.2t-8C.18-2tD.16-2t答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.（上接第6题）（2）当8≤t≤12时，线段AP的长可用含t的式子表示为( )A.2tB.24-2tC.16-2tD.2t-16答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第6，7题）（3）若△ABP的面积为16，则t的值为( )A.1B.2C.2或10D.2或6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.已知：如图，在梯形ABCD中，AB=DC=12cm，BC=15cm，∠B=∠C，点E为边AB上一点，且AE=5cm．点P在线段BC上由点C向点B运动，同时点Q在线段CD上以每秒2cm的速度由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）线段CQ，DQ的长可用含t的式子表示为( )cm．A.t；15-tB.12-2t；2tC.2t；12-2tD.2t；15-2t答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题10.（上接第9题）（2）若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值和线段BP的长，下列解题思路正确的是( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。

北师大版九年级数学上专训2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题.docx

初中数学试卷桑水出品专训2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一．．．．．般的思想．．．．，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．(第1题)菱形中的动点问题2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第2题)矩形中的动点问题3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.(1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A →F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG ＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)答案1．解：AE＝CF，AE∥CF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.2．证明：(1)连接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC＝CD，∴∠BCD＝180°－∠B＝120°，△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.(2)连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．3．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AF＝5 cm.(第3题)(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC＝QA.∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.∴5t ＝12－4t ，解得t ＝43. ∴以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t ＝43.(第4题)4．(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠ADC ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD.∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴BE ＝CF ＝DG ＝AH.∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG.∴EH ＝EF ＝FG ＝GH ，∠1＝∠2.∴四边形EFGH 为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF ＝90°.∵四边形EFGH 为菱形，∴四边形EFGH 是正方形．(2)解：直线EG 经过一个定点．理由如下：如图，连接BD ，DE ，BG.设EG 与BD 交于O 点． ∵BE DG ，∴四边形BGDE 为平行四边形．∴BD ，EG 互相平分．∴BO ＝OD.∴点O 为正方形的中心．∴直线EG 必过正方形的中心．。

专题09 线段上动点问题的两种考法(解析版)(北师大版)

（3）分 N 在线段 AB 上和点 N 在线段 AB 的延长线上两种情况，分别求解．
【详解】（1）解：∵ CM 2 1 2 ， BD 23 6 ，
又∵点 A 表示 3 ，点 B 表示 7，
∴ AM 3 ， BM 7
∴ MD BM BD 7 6 1
∴ CD CM MD 2 1 3 ．
①当点 E 是线段 BC 的中点时，求 AD 的长；
②当点 C 是线段 DE 的三等分点时，求 AD 的长；
(2)若
AB
2DE
，点
E
在线段
AB
上移动，且满足关系式
AD EC BE
3 2
，则
CD AB
（直接写
出结果）．
【答案】(1)①4，② 32 ；(2) 17
3
42
【分析】（1）根据已知条件得到 BC 8，AC = 16 ，①由线段中点的定义得到 CE 4 ，求得
∴ AD AC CD 16 12 4 ；
②∵点 C 是线段 DE 的三等分点，DE＝16，
∴ CE 1 DE 16 或 CE 2 DE 32 8 BC （不合题意，舍去），
3
3
3
3
∴ CD DE CE 16 32 16 ， 33
∴ AD AC CD 16 16 32 ； 33
4
AB
【答案】(1) CD 3
(2)当
t
6 5
时点
D
是线段
BC
的中点
(3) MN 1 或 1 AB 2
【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出 C、D 运行的路程，进而求出 MD 的值，根据
CD CM MD 可求；
（2）先表示出 BD 和 CD，再根据点 D 是线段 BC 的中点，列方程求解；

专题2.3 几何动点问题(压轴题专项讲练)(北师大版)(解析版)

专题2.3 几何动点问题【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A出发，沿AB向点B以1cm /s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC向点C以2cm s的速度移动．（1）经过多少秒后，△PBQ的面积为8cm2？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由．（3）若点P从点A出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线CB方向以2cm s 的速度移动，经过多少秒后△PBQ的面积为1cm2？（1）根据三角形面积公式列出方程，解方程即可；（2）根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答；（3）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB 上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案．（1）解：设经过x秒后，△PBQ的面积为8cm2．根据题意得：AP=x cm,BQ=2x cm，∴BP=(6−x)cm，∴1(6−x)⋅2x=8，解得x1=2，x2=4，2故经过2秒或4秒后，△PBQ的面积为8cm2；（2）解∶设经过t秒后，线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分．×6×8=24，∵S△ABC=12∴S △PBQ =12(6−t )⋅2t =12×24，即t 2−6t +12=0．∵Δ=b 2−4ac =(−6)2−4×12=−12<0，∴此方程无实数根，∴线段PQ 不能将△ABC 分成面积相等的两部分．（3）解：设y 秒后，△PBQ 的面积为1cm 2；分三种情况：①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上(0<t <4)，如图所示，依题意得：12(6−y )(8−2y )=1 ，即y 2−10y +23=0，解得y 1=5+y 2=经检验，y 1=5不符合题意，舍去，∴y = ②点P 在线段AB 上，点Q 在射线CB 上(4<t <6)，如图所示，依题意得：12(6−y )(2y−8)=1，即y 2−10y +25=0，解得y 1=y 2=5，经检验，y =5符合题意；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上(t>6)，如图所示，依题意得：1(y−6)(2y−8)=1，2即y2−10y+23=0，解得y1=5+y2=经检验，y2=∴y=5综上所述，经过(秒或5秒或(5+秒后，△PBQ的面积等于1cm2．1．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm2．【思路点拨】过点Q作QE⊥PB于点E，设时间t，根据面积列方程即可求出答案．【解题过程】解：如图，过点Q作QE⊥PB于点E，则∠QEB=90°，∵∠ABC =30°，∴2QE =QB ，设经过t 秒后ΔPBQ 的面积等于4cm 2，则AP =t cm ，QB =2t(cm)，QE =t(cm)，当点P 在线段AB 上运动时，BP =(6−t)cm(0<t <6)，根据题意：12×(6−t)⋅t =4，∴t 1=2，t 2=4，当点P 在AB 的延长线上运动时，BP =(6−t)cm (t >6)，根据题意：12×(t−6)⋅t =4，∴t 1=3+t 2=)，故经过2秒或4秒或3+ΔPBQ 的面积等于4cm 2．故答案为：2秒或4秒或32．（2022秋·山东临沂·九年级校考阶段练习）在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =6厘米，BC =3厘米，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，则经过______秒后，P ，Q 两点间距离为【思路点拨】设经过t 秒后，P ，Q 两点间距离为t 的取值范围，再分0<t <32、32≤t <6和t =6三种情况，然后分别在Rt △BPQ 中，利用勾股定理建立关于t 的一元二次方程，解方程即可得出答案．【解题过程】解：设经过t 秒后，P ，Q 两点间距离为由题意得：点P 从点A 开始沿AB 边运动到点B 所需时间为AB 1=6秒，点Q 从点B 开始沿BC 边运动到点C 所需时间为BC 2=32秒，因此，分以下三种情况：（1）当点Q 到达点C 之前，即0<t <32时，则AP =t 厘米，BQ =2t 厘米，∵ AB =6厘米，∴BP =AB−AP =(6−t )厘米，则在Rt △BPQ 中，BP 2+BQ 2=PQ 2，即(6−t )2+(2t )2=2，整理得：5t 2−12t +4=0，解得t =25或t =2>32（不符题设，舍去）；（2）当点Q 到达点C ，点P 继续向点B 移动，即32≤t <6时，则BQ =BC =3厘米，由BP 2+BQ 2=PQ 2得：(6−t )2+32=2，整理得：t 2−12t +13=0，解得t =66或t =<32（均不符题设，舍去）；（3）当点Q 到达点C ，点P 到达点B ，即t =6时，则PQ =BC =3厘米，不符题意；综上，经过25秒后，P ，Q 两点间距离为故答案为：25．3．（2022春·浙江杭州·九年级专题练习）如图，长方形ABCD 中，AB =6cm ，AD =2cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以2厘米/秒的速度向终点B 移动，点Q 以1厘米/秒的速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t 秒，当t =________时，以点P 、Q 、D 为顶点的三角形是等腰三角形．【思路点拨】分情况讨论，如图1，当PQ ＝DQ 时，如图2，当PD ＝PQ 时，如图3，当PD ＝QD 时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【解题过程】解：如图1，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t如图2，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，DQ，∠PED＝90°．∴DE＝QE＝12∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm．∵DQ＝6﹣t，．∴DE＝6−t2∴2t＝6−t，2；解得：t＝65如图3，当PD＝QD时，∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，解得t1t2，综上所述：t，65，，654．（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm s的速度运动，P，Q 两点同时出发，运动时间为t(s)．（1）若△PCQ 的面积是△ABC 面积的14，求t 的值？（2）△PCQ 的面积能否为△ABC 面积的一半？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC 面积为：12×4×8=16，△PCQ 的面积为12t (8−2t )，由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系S △PCQ =12S △ABC 列方程求出t 的值，但方程无解．【解题过程】解：（1）∵ S △PCQ =12t (8−2t )，S △ABC =12×4×8=16，∴ 12t (8−2t )=14×16，∴ t 2−4t +4=0，解得：t =2．答：当t =2s 时，△PCQ 的面积为△ABC 面积的14．（2）△PCQ 的面积不可能是△ABC 面积的一半．理由如下：当S △PCQ =12S △ABC 时，12t (8−2t )=12×16，整理得：t 2−4t +8=0，∵ Δ=b 2−4ac =(−4)2−4×1×8=−16<0，∴此方程没有实数根，∴ △PCQ 的面积不可能是△ABC 面积的一半．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止．（1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过2秒钟后，S △QPC ＝ cm 2；（2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，问点Q 移动几秒钟后S △QPC ＝4cm 2？（3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ ＝BQ ？【思路点拨】本题可设P 出发xs 后，S ΔQPC 符合已知条件：在（1）中，AP =xm ，PC =(6−x)m ，QC =2xm ，得出S ΔQPC =12(6−x)·2x ，即可求出经过2秒钟后的面积；在（2）中，AP =xm ，PC =(6−x)m ，QC =2(x−2)m ，进而可列出方程，求出答案；在（3）中，PC =(6−x)m ，QC =2xm ，BQ =8−2x ，利用勾股定理和PQ =BQ 列出方程，求出答案．【解题过程】解：（1）P 、Q 同时出发，经过x 秒钟，S ΔQPC =12(6−x)·2x ，当x =2，S ΔQPC =12(6−x)·2x =12×4×4=8，故答案是：8．（2）设P 出发ts 时S ΔQPC =4cm 2，则Q 运动的时间为(x−2)秒，由题意得：12(6−x)·2(x−2)=4，∴x 2−8x +16=0，解得：x 1=x 2=4因此经4秒点P 离A 点1×4=4cm ，点Q 离C 点2×(4−2)=4cm ，符合题意．答：P 先出发2s ，Q 再从C 出发2s 后，S ΔQPC =4cm 2．（3）设经过x 秒钟后PQ =BQ ，则PC =(6−x)m ，QC =2xm ，BQ =8−2x ，(6−x)2+(2x)2=(8−2x)2，解得x 1=−10+x 2=答：经过−10+PQ =BQ ．6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．【思路点拨】（1）根据△PQB的面积等于9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=−11<0，可得所列方程没有实数根，进而得出△PQB的面积不等等于9cm2；（2）根据四边形APQC的面积等于16cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，结合当t=4时，C，Q点重合，即可得出结论．【解题过程】（1）解：△PQB的面积不能等于9cm2，理由如下：∵5÷1=5s，8÷2=4s，∴运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，根据题意可得：AP=t cm，BP=(5−t)cm，BQ=2t cm，假设△PQB的面积等于9cm2，则1(5−t)×2t=9，2整理得：t2−5t+9=0，∵Δ=(−5)2−4×1×9=−11<0，∴所列方程没有实数根，∴△PQB的面积不能等于9cm2；（2）解：由（1）得：AP=t cm，BP=(5−t)cm，BQ=2t cm，运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，∵四边形APQC的面积等于16cm2，∴12×5×8−12(5−t)×2t=16，整理得：t2−5t+4=0，解得t1=1，t2=4，当当t=4时，C，Q点重合，不符合题意，舍去，∴t=1，答：1s后，四边形APQC的面积等于16cm2．7．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为t秒．当点Q运动到点B时，两点停止运动．（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离为______cm．（用含t的代数式表示）（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的16．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）利用勾股定理求出AC=6cm，然后根据AP=2t即可得出答案；（2）分两种情况：①当点P在线段AC上，即0≤t≤3时，②当点P在线段AC的延长线上，即3<t≤8时，分别根据△PQC的面积是△ABC面积的16列方程求解即可．【解题过程】（1）解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC=6cm，∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，∴AP=2t，∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离为(6−2t)cm，故答案为：(6−2t)；（2）解：S △ABC =12×6×8=24cm 2，①当点P 在线段AC 上，即0≤t ≤3时，∵PC =6−2t ，QC =t ，∴S △PQC =12PC ⋅QC =12(6−2t )⋅t =16×24，整理得：t 2−3t +4=0，∵Δ=b 2−4ac =9−16=−7<0，∴该一元二次方程无实数根，∴此情况不存在；②当点P 在线段AC 的延长线上，即3<t ≤8时，∵PC =2t−6，QC =t ，∴S △PQC =12PC ⋅QC =12(2t−6)⋅t =16×24，整理得：t 2−3t−4=0，解得：t =4或−1（舍去），综上所述，存在，当t =4时，△PQC 的面积是△ABC 面积的16．8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm ，BC=16 cm ．点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动．如果 P 、 Q 分别从 A 、B 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 t 秒．（1）当 t 为何值时，△PBQ 的面积等于 35cm2？（2）当 t 为何值时，PQ 的长度等？（3）若点 P ，Q 的速度保持不变，点 P 在到达点 B 后返回点 A ，点 Q 在到达点 C 后返回点 B ，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当 t 为何值时，△PCQ 的面积等于 32cm 2？【思路点拨】（1）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用面积公式列方程求解即可．（2）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用勾股定理列方程求解即可．（3）分段要清楚，0≺t≤8，P，Q都没有返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，8≺t≤12，P 不返回，Q返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，12≺t≤16，两点都返回，表示好PB，CQ 的长，用面积公式列方程即可得到答案．【解题过程】解：（1）BP=AB−AP=12−t,BQ=2t，.PB•BQ=35，根据三角形的面积公式，得12(12−t)•2t=35，即12整理，得t2−12t+35=0，解得t1=5,t2=7，.故当t为5或7时，ΔPBQ的面积等于35cm2．.（2）根据勾股定理，得PQ2=BP2+BQ2=(12−t)2+(2t)2=2，整理，得5t2−24t+16=0，,t2=4解得t1=45或4时，PQ的长度等于．故当t为45（3）①当0≺t≤8时，PB=12−t,CQ=16−2t，(16−2t)(12−t)=32，由题意，得12解得：t1=4,t2=16（舍去）.②当8≺t≤12时，PB=12−t,CQ=2t−16，(2t−16)(12−t)=32，此时方程无解.由题意，得12③当12≺t≤16时，PB=t−12,CQ=2t−16，(2t−16)(t−12)=32，由题意，得12解得：t1=16,t2=4（舍去），.综上所述，当t为4或16时，ΔPCQ的面积等于32cm2．9．（2022秋·广东东莞·九年级统考阶段练习）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．（1）如果P，Q两点同时出发，当某个点先到达终点时，运动终止．问：几秒钟后△PCQ的面积等于8 cm2（2）如果P，Q两点同时出发，且点Q到达点C后立即返回，速度保持不变，直到点P到达点C后同时停止运动，那么在整个移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于1cm2？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设t(0<t<4)s后△PCQ的面积等于8cm2，根据题意设CP=(6−t)cm，CQ=(8−2t)cm，利用三角形面积公式可得1(6−t)(8−2t)=8，解出t的值即可；2（2）根据题意分类讨论：当运动时间为t(0<t<4)s时，CP=(6−t)cm，CQ=(8−2t)cm，利用三角形面积公式可得1(6−t)(8−2t)=1，解出t的值即可；当运动时间为t(4≤t<6)s时，CP=(6−t)cm，CQ=2(6−t)(2t−8)=1，解出t的值即可．(2t−8)cm，利用三角形面积公式可得12【解题过程】（1）解：6÷1=6(s)，8÷2=4(s)，设t(0<t<4)s后△PCQ的面积等于8cm2，则CP=(6−t)cm，CQ=(8−2t)cm，∴根据题意，得1(6−t)(8−2t)=8，2∴整理，得t2−10t+16=0，解得t1=2，t2=8（不合题意，舍去），∴2s后△PCQ的面积为8cm2．（2）解：存在．当运动时间为t(0<t<4)s时，CP=(6−t)cm，CQ=(8−2t)cm，∴根据题意，得1(6−t)(8−2t)=1，2∴整理，得t2−10t+23=0，解得t1=t2=5当运动时间为t(4≤t<6)s时，CP=(6−t)cm，CQ=(2t−8)cm，∴根据题意，得1(6−t)(2t−8)=1，2∴整理，得t2−10t+25=0，解得t3=t4=5，∴当运动时间为(s或5s时，△PCQ的面积等于1cm2．10．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛实验初级中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s 的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，根据勾股定理可得PD2=4PQ2，然后再代入相应数据可得方程82+(2t)2=4[(10−2t)2+t2]，再解即可；（2）设x秒后ΔDPQ的面积是24cm2，利用矩形面积−ΔDPQ的面积=周围三个三角形面积和列方程即可．【解题过程】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，∴PD=2PQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴PD2=AP2+AD2，PQ2=BP2+BQ2，∵PD2=4PQ2，①0<t≤5时，∴82+(2t)2=4(10−2t)2+t2，解得：t1=3，t2=7；∵t=7时10−2t<0，∴t=3，②5<t≤8时，PD=∵PD=2PQ，∴PQ=∵点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，∴t答：3P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）不存在，理由如下：设x秒后ΔDPQ的面积是22cm2，∵SΔDPQ=S四边形ABCD−SΔADP−SΔBQP−SΔDCQ．∴12×8×2x+12(10−2x)⋅x+12(8−x)×10=80−22，整理得x2−8x+18=0，∵该方程无解，∴不存在时间t使得ΔDPQ的面积是22cm2．11．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P 从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．（1）当t＝4时，求△APQ的面积．（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．【思路点拨】（1）根据点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，AP=4cm，AQ=4cm，利用面积公式求解；（2）设经过t秒ΔAPQ的面积是ΔABC面积的一半，则BP=2t cm，CQ=2t cm，进而表示出AP=(12−2t)cm，AQ=(8−t)cm，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．【解题过程】解：（1）∵点P 的速度是4cm/s ，点Q 的速度是2cm/s ，当t ＝4时，BP ＝2t ＝8cm ，CQ ＝t ＝4cm ，∴AP ＝4cm ，AQ ＝4cm ，∴S △APQ =12×4×4＝8．（2）设经过t 秒△APQ 的面积是△ABC 面积的一半．根据题意得：12S △ABC =12×12×12×8＝24cm 2，当0＜t ＜6 时如图1：S △APQ =12（12﹣2t ）（8﹣t ）＝24，整理得t 2﹣14t+24＝0，解得t ＝12（舍去）或t ＝2．当6＜t ＜8时如图2：S △APQ =12（2t ﹣12）（8﹣t ）＝24，整理得t 2﹣14x+72＝0，△＜0，无解．当t ＞8时如图3：S△APQ=1（2t﹣12）（t﹣8）＝24，2整理得t2﹣14x+24＝0，解得t＝12或t＝2（舍去）．综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．12．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【思路点拨】（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上时；③当点P在CD边上时，分别求解即可．【解题过程】解：（1）过点P 作PE ⊥CD 于E ．则根据题意，得EQ =16-2×3-2×2=6（cm ），PE =AD =6cm ；在Rt △PEQ 中，根据勾股定理，得PE 2+EQ 2=PQ 2，即36+36=PQ 2，∴PQ ；∴经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是；（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．（16-2x -3x ）2+62=102，即（16-5x ）2=64，∴16-5x =±8，∴x 1=85，x 2=245；∴经过85s 或245s P 、Q 两点之间的距离是10cm ；（3）连接BQ ．设经过y s 后△PBQ 的面积为12cm 2．①当点P 在AB 上时， 0≤y ≤163，则PB =16-3y ，∴12PB •BC =12，即12×（16-3y ）×6=12，解得y =4；②当点P 在BC 边上时，163＜y ≤223，则BP =3y -AB =3y -16，QC =2y ，∴12BP •CQ =12（3y -16）×2y =12，解得y 1=6，y 2=-23（舍去）；③当点P 在CD 边上时，223＜y ≤8，则QP =CQ -PQ =22-y ，∴12QP •CB =12（22-y ）×6=12，解得y =18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．13．（2023春·八年级单元测试）如图，平行四边形ABCO 位于直角坐标系中，O 为坐标原点，点A(−8,0)，点C (3,4)BC 交y 轴于点D. 动点E 从点D 出发，沿DB 方向以每秒1个单位长度的速度终点B 运动，同时动点F 从点O 出发，沿射线OA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E 运动到点B 时，点F 随之停止运动，运动时间为 t （秒）．（1）用t 的代数式表示： BE = ________， OF = ________（2）若以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．（3）当△BEF 恰好是等腰三角形时，求t 的值．【思路点拨】（1）根据题意，可得点B 的坐标为(−5，4)，即可求得BE =5−t ，OF =2t ；（2）分两种情况讨论：①当F 在A 点右侧，四边形ABEF 为平行四边形，BE =AF ；②当F 在A 点左侧，四边形BEAF 为平行四边形，BE =AF ，列方程求解即可；（3）分三种情况讨论：①当BF =EF 时；②当EB =FB 时；③当BE =FE 时，分别列方程求解即可．【解题过程】解：（1）如图根据题意，可得点B 的坐标为(−5，4)，点A(−8,0)，C(3,4)∴BD=BC-CD=8-3=5，BE=BD-DE=5－t；OF＝2t故答案为BE=5-t，OF=2t．（2）解：①当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，BE=AF，即8−2t=5−t，解得t=3，②当F在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，BE=AF，即5−t=2t−8，；解得t=133（3）解：当△BEF恰好是等腰三角形时，过点B作BJ⊥x轴于J，过点E作EK⊥x轴于K，BE=5-t，EFBF 有以下三种情况：①当BF =EF 5−2t =t ，解得t =53；②当EB =FB 时，有(5−t)2=16+(5−2t)2，△=100-4×3×16=-92＜0，故方程无解；③当BE =FE 时，有(5−t)2=16+t 2，解得t =910；所以，当t =53或t =910时，△BEF 恰好是等腰三角形．14．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动（到达点B 即停止运动），点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动（到达点C 即停止运动）．（1）如果P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一？（2）如果P 、Q 两点分别从A 、B 两点同时出发，而且动点P 从A 点出发，沿AB 移动（到达点B 即停止运动），动点Q 从B 出发，沿BC 移动（到达点C 即停止运动），几秒钟后，P 、Q 相距6厘米？（3）如果P 、Q 两点分别从A 、C 两点同时出发，而且动点P 从A 点出发，沿AB 移动（到达点B 即停止运动），动点Q 从C 出发，沿CB 移动（到达点B 即停止运动），是否存在一个时刻，PQ 同时平分△ABC 的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．【思路点拨】（1）设经过t 秒钟，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一，根据题意得：AP=t ，BP=6-t ，BQ=2t ，由，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一列式可得求出t 的值；（2）在Rt △PQB 中，根据勾股定理列方程即可；（3）分两种情况：①当PQ 平分△ABC 面积时，计算出这时的PQ 所截△ABC 的周长是否平分；②当PQ 平分△ABC 周长时，计算出这时的t=23，此时△PBQ 的面积是否为12S △ABC ，计算即可．也可以直接计算平分面积的时间，平分周长的时间，看这两个时间是否一样，若两个时间一样则存在，若不一样则不存在．【解题过程】解：（1）设经过t 秒钟，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一，由题意得：AP=t ，BP=6﹣t ，BQ=2t ，12×2t×（6﹣t ）=13×12×6×8，解得：t=2或4，∵0≤t≤4，∴t=2或4符合题意，答：经过2或4秒钟，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一．（2）在Rt △PQB 中，PQ 2=BQ 2+PB 2，∴62=（2t ）2+（6﹣t ）2，解得：t 1=0（舍），t 2=125，答：125秒钟后，P 、Q 相距6厘米．（3）由题意得：PB=6﹣t ，BQ=8﹣2t ，分两种情况：①当PQ 平分△ABC 面积时，S △PBQ =12S △ABC ，12（6﹣t ）（8﹣2t ）=12×12×8×6，解得：t 1t 2=5∵Q 从C 到B ，一共需要8÷2=4秒，4，∴t 1当t 2=5AP=5BP=6﹣（5BQ=8﹣2（52，CQ=2（5=10﹣PQ 将△ABC 的周长分为两部分：一部分为：AC+AP+CQ=10+5﹣﹣另一部分：1，25﹣1，②当PQ 平分△ABC 周长时，AP+AC+CQ=PB+BQ ，10+2t+t=6﹣t+8﹣2t ，t=23，当t=23时，PB=6﹣23=163，BQ=8﹣2×23=203，∴S △PBQ =12×163×203=1603≠12，综上所述，不存在这样一个时刻，PQ 同时平分△ABC 的周长与面积．15．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，矩形ABCD ，AB =6cm ，AD =2cm ，点P 以2cm/s 的速度从顶点A 出发沿折线A －B －C 向点C 运动，同时点Q 以lcm/s 的速度从顶点C 出发向点D 运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49；（2）问两动点经过多长时间使得点P 与点Q 请说明理由．【思路点拨】（1）要使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49，此时点P 应在AB 上，才是四边形．根据路程=速度×时间，分别用t 表示BP 、CQ 的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况讨论．【解题过程】（1）解：设两动点运动t 秒，使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49CQ =t ，PB =AB−AP =6−2t ，S 四边形PBCQ =12(CQ +PB)⋅BC =12(t +6−2t)×2=12×49，解得：t =23∴两动点运动23秒，使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49．（2）设两动点经过t 秒运动后，使点P 与点Q ①当0＜t ≤3时，当点P 在点Q 上方时，则6−2t ＞t ，即0＜t ＜2，过Q 点作QE ⊥AB 于点E ，则AP =2t ，PB =6−2t ，CQ =t ，∴PE =6−3t ，在Rt △PEQ 中，∵PE =6−3t ，EQ =2，PQ =∴PE 2+EQ 2=PQ 2，∴(6−3t)2+4=5，解得t 1=73（舍），t 2=53．当点P 在点Q 下方时，则6−2t ＜t ，即2＜t ＜3，过P 点作PF ⊥CD 于点F ，则AP =2t ，PB =6−2t ，CQ =t ，∴FQ =3t−6，在Rt △PFQ 中，∵FQ =3t−6，PF =2，PQ ∴PF 2+FQ 2=PQ 2，∴(3t−6)2+4=5，解得t 3=73，t 4=53（舍）．②当3＜t ≤4时，则∵AB =6，AB +BP =2t ，∴BP =2t−6，∴CP =2−(2t−6)=8−2t ，在Rt △PCQ 中，∵CP =2−(2t−6)=8−2t ，CQ =t ，PQ =∴PC 2+CQ 2=PQ 2有(8−2t)2+t 2=5，得方程：5t 2−32t +59=0，Δ=322−4×5×59=−156＜0，此方程无实根．综上所述，当点P 运动73s 或53s 时，点P 与点Q 16．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝16cm ，AB ＝12cm ，BC ＝21cm ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2cm 的速度运动到C 点返回，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1cm 的速度向点D 运动，点P ，Q 分别从点B ，A 同时出发，当点Q 运动到点D 时，点P 随之停止运动，设运动的时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，四边形PQDC 是平行四边形；（2）当t 为何值时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的四边形面积等于60cm 2？（3）当0<t <10.5时，是否存在点P ，使△PQD 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t 的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，利用时间＝路程÷速度，即可求出时间；（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD＋PC）×AB÷2＝60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t；（3）当0<t<10.5时，点P向点C运动，使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ＝PD、PQ＝QD、QD＝PD；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．【解题过程】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，当P从C运动到B时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣21，∴16﹣t＝2t﹣21，，解得：t＝373秒时，四边形PQDC是平行四边形；∴当t＝5或373（2）若点P 、Q 分别沿AD 、BC 运动时，12（DQ ＋CP ）•AB ＝60，即12（16﹣t ＋21﹣2t ）×12＝60，解得：t ＝9（秒），若点P 返回时，CP ＝2t ﹣2，则12（16﹣t ＋2t ﹣21））×12＝60，解得：t ＝15（秒）．故当t ＝9或15秒时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的梯形面积等60cm 2；（3）当PQ ＝PD 时，作PH ⊥AD 于H ，则HQ ＝HD ，∵QH ＝HD ＝12QD ＝12（16﹣t ），∵AH ＝BP ，∴2t ＝12（16﹣t ）＋t ，∴t ＝163秒；当PQ ＝QD 时，QH ＝AH ﹣AQ ＝BP ﹣AQ ＝2t ﹣t ＝t ，QD ＝16﹣t ，∵QD 2＝PQ 2＝t 2＋122，∴（16﹣t ）2＝122＋t 2，解得t ＝72（秒）；当QD ＝PD 时，DH ＝AD ﹣AH ＝AD ﹣BP ＝16﹣2t ，∵QD 2＝PD 2＝PH 2＋HD 2＝122＋（16﹣2t ）2，∴（16﹣t ）2＝122＋（16﹣2t ）2，即3t 2﹣32t ＋144＝0，∵△<0，∴方程无实根，综上可知，当t ＝163秒或72秒时，△PQD 是等腰三角形．17．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝，∠ABC ＝30°．点P 从点B 出发，沿B →A →C 以每秒3cm 的速度向终点C 运动，同时点Q 从点B 的速度向终点C 运动，其中一点到达终点即停止．设点P 的运动时间为t ．（1）当t ＝2秒时，求△BPQ 的面积；（2）PQ 能否与△ABC 的一条边平行，如果能，求出此时t 的值；如不能，说明理由；（3）△BPQ 的面积能否为△ABC 面积的三分之一？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由．【思路点拨】（1）过点P 作PE ⊥BC 于E ，由含30度角的直角三角形的性质可求PE 的长，即可求解；（2）分三种情况讨论，由平行线的判定可求解；（3）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．【解题过程】（1）解：如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，当t ＝2秒时，PB ＝6cm ，BQ ＝，∵∠ABC ＝30°，PE ⊥BC ，∴PE =12PB ＝3cm ，∴S △BPQ =12×BQ ×PE =12×3＝cm 2）；（2）PQ 不与△ABC 的一条边平行，理由如下：∵点Q 始终在BC 上运动，∴PQ 与BC 不平行，当PQ ∥AC 时，∴∠PQB ＝∠ACB ＝90°，∵∠B ＝30°，∴PQ =12PB =32t （cm ），BQ =（cm ），又∵点Q 从点B 的速度向终点C 运动，∴QB （cm ），∴PQ 与AC 不平行，当PQ ∥AB 时，则点P 在AC 上，∵∠C ＝90°，BC ＝，∠ABC ＝30°．∴AC ＝4cm ，AB ＝8cm ，∵PQ ∥AB ，∴∠ABC ＝∠PQC ＝30°，∴CQ =，∴＝12﹣3t ，∴t ＝4，当t ＝4时，BQ ＝12，即点Q 与点C 重合，∴PQ 与AB 不平行，综上所述：PQ 不与△ABC 的一条边平行；（3）△BPQ 的面积能为△ABC 面积的三分之一，理由如下：当点P 在AB 上时，过点P 作PE ⊥BC 于E ，∵S △PBQ =12×BQ ×PE =13×12×AC ×BC ，×32t =13×∴t 当点P 在AC 上时，∵S △PBQ =12×BQ ×PC =13×12×AC ×BC ，×（12﹣3t ）=13×∵t ＞83，∴t综上所述：当t =△BPQ 的面积为△ABC 面积的三分之一．18．（2022秋·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 及点A (0,2)、C (6,0)作矩形OABC ，∠AOC 的平分线交AB 于点D ．点P 从点O 沿射线OD 方向移动；同时点Q 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向移动．设移动时间为t 秒．（1）填空：OP =_______，OQ =_______（用含t 的代数式表示）（2）设△OPQ 的面积为S 1，△BQC 的面积为S 2，当t 为何值时，S 1+S 2的值为30．（3）求当t 为何值时，△PQB 为直角三角形．【思路点拨】（1）根据路程等于速度乘以时间，即可表达OP ，OQ ；（2）连接PQ ，过点P 作PM⊥OQ 于点M ，根据∠POQ =45°，得PM =OM ，又根据OQ =2t ，则MQ =t ，根据勾股定理得PQ ，推出△OPQ 是等腰直角三角形，得S 1=t 2；△BCQ 是直角三角形，当Q 在C 左侧时CQ =CO−OQ =6−2t ，根据三角形面积公式得：S 2=6−2t ；当Q 在C 右侧时CQ =OQ−CO =2t−6，面积为：S 2=2t−6，分类讨论S 1+S 2，即可求出S 1+S 2=30时t 的值；（3）当△PQB为直角三角形时，∠PQB=90°或∠PBQ=90°或∠QPB=90°，根据△OPQ是等腰直角三角形，则∠QPB+∠BPD=90°；根据勾股定理，即可求出t的值．【解题过程】解：（1）∵点P从点O OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动∴OP；OQ=2t．（2）连接PQ，过点P作PM⊥OQ于点M∵四边形OABC是矩形，点A(0,2)，点C(6,0)∴OA=BC=2，AB=OC=6∵∠POQ=45°∴PM=OM∴在直角三角形△PMO中，OM2+PM2=OP2∴PM=OM=t∵OQ=2t∴MQ=t∴在直角三角形△PMQ中，PM2+MQ2=PQ2∴PQ∴△OPQ是等腰直角三角形×OP×PQ t2∴S△OPQ=S1=12∵①当Q在C左侧时，即t≤3时，CQ=CO−OQ=6−2t×CQ×BC=6−2t∴S△BQC=S2=12∴S1+S2=t2+6−2t∴当t2+6−2t=30时∴解得t1=6，t2=−4（舍）不满足t≤3；②Q在C右侧时，t>3时，CQ=OQ−CO=2t−6×CQ×BC=2t−6∴S△BQC=S2=12∴S1+S2=t2+2t−6∴当t2+2t−6=30时，解得t1，t2=（舍）∴当t1，S1+S2=30．（3）连接PB，PQ，BQ由（2）得PQ，QC=6−2t∵△BQC是直角三角形，QC2+BC2=BQ2∴BQ2=4+(6−2t)2∵OM=PM=t∴PH=2−t，BH=6−t∴在△PDB，PH2+BH2=BP2∴BP2=(2−t)2+(6−t)2∵△PQB为直角三角形时∴∠PQB=90°或∠PBQ=90°或∠QPB=90°∵△OPQ是等腰直角三角形，则∠QPB+∠BPD=90°∴∠PQB=90°或∠PBQ=90°①∠PQB=90°时，PQ2+BQ2=PB2∴)2+4+(6−2t)2=(2−t)2+(6−t)2整理得：4t2−8t=0解得：t1=0（舍），t2=2∴t=2②∠PBQ=90°时，PB2+BQ2=PQ2∴(2−t)2+(6−t)2+4+(6−2t)2)2解得：t1t2=∴t t=∴综上所述，当t=2或t=t△PQB为直角三角形时．。

北师大版九年级上相似三角形动点问题(解析版)

相似三角形动点问题（解析版）【知识点睛】相似三角形动点问题解题步骤1.化动为静2.未知数表示线段长度3.确定未知数取值范围4.找相等角5.分类讨论，写相似关系6.写比例式7.求解，检验一、单选题1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，P为AB边上一动点．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有()A.1个B.2个C.3个D.4个2．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C 点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（）A．3秒或4．8秒B．3秒C．4．5秒D．4．5秒或4．8秒3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC 沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（）A．B．2 C．2D．3二、填空题4．已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，点D从A出发以每秒5个单位的速度向点B 运动，同时点E从点B出发以每秒4个单位的速度向点C运动，在DE的右侧作∠DEF＝∠B，交直线AC于点F，设运动的时间为t秒，则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，t的值为_____．5．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C 点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是_____．三、解答题6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q 从点B出发沿BA向点A运动，到达A点时停止运动．点P也同时停止．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，连接PQ，设运动时间为t(t＞0)秒．(1)当点Q从B点向A点运动时(未到达A点)，①当t＝_____时PQ∥BC②求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；(2)伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求此时的t的值和AE的长；②当l经过点B时，求t的值．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ．若设运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求直线AB的解析式；（2）设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQP′O，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′O为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．8．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒43个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF．设矩形PEQF与△ABC 重叠部分图形的面积为S．直接写出点P在运动过程中S与t之间的函数关系式和自变量的取值范围．9．如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？10．如图,已知四边形ABCD中,AB//DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC =10cm,(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点P从点B 出发,在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动,运动时间为t秒(0≤t＜2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm ,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C 止.设点P运动了t 秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB 向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线BC﹣CD向点D运动，动点E 比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒．（1）点F在边BC上．①如图1，连接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；②如图2，连结EF，DF，当t为何值时，△EBF与△DCF相似？（2）如图3，若点G是边AD的中点，BG，EF相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？13．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）连接EF，若运动时间t=时，EF⊥AC；（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm2时，求t的值；（3）若△EQP∽△ADC，求t的值．14．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，点P从点C出发沿线段CA以每秒2cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）填空：AB ＝ cm ；（2）t 为何值时，△PCQ 与△ACB 相似；（3）如图2，以PQ 为斜边在异于点C 的一侧作Rt △PEQ ，且34PE QE =，连结CE ，求CE ．（用t 的代数式表示）．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，∠BAC=60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒 cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（0≤t≤5），连接MN ．（1）若BM=BN ，求t 的值；（2）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；（3）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．16．如图所示，点B 坐标为()6,0，点A 坐标为()6,12，动点P 从点O 开始沿OB 以每秒1个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动．如果P、Q分别从O、B同时出发，用t（秒）表示移动的时间(06)t<≤，那么：()1当t为何值时，四边形OPQA是梯形，此时梯形OPQA的面积是多少？()2当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与AOB相似？()3若设四边形OPQA的面积为y，试写出y与t的函数关系式，并求出t取何值时，四边形OPQA 的面积最小？()4在y轴上是否存在点E，使点P、Q在移动过程中，以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积是一个常数？若存在请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，一次函数y＝﹣34x+6的图象分别交y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿射线BA以每秒1个单位的速度出发，设点P的运动时间为t秒．（1）点P在运动过程中，若某一时刻，△OPA的面积为6，求此时P的坐标；（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？（只需写出t的值，无需解答过程）18．如图，已知Rt ABC ∆中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从B 向A 方向运动，Q 到达A 点后，P 点也停止运动，设点,P Q 运动的时间为t 秒.(1)求P 点停止运动时，BP 的长;(2) ,P Q 两点在运动过程中，点E 是Q 点关于直线AC 的对称点，是否存在时间t ，使四边形PQCE 为菱形?若存在，求出此时t 的值;若不存在，请说明理由.(3) ,P Q 两点在运动过程中，求使APQ ∆与ABC ∆相似的时间t 的值.19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=10cm ，BC=15cm ，点P 从A 出发沿AC 向C 点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q 从C 出发沿CB 向B 点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P 、Q 分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t 秒当t = 4时，求线段PQ 的长度(2)当t 为何值时，△PCQ 是等腰三角形？（3）当t 为何值时，△PCQ 的面积等于16cm 2？（4）当t 为何值时，△PCQ ∽△ACB20．如图，将△ABC 放在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(6,0)A ，点(0,8)B 动点P 从点A 开始沿边AO 向点O 以1个单位长度的速度运动，同一时间，动点Q 从点O 开始沿边OB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.过点P 作PD BO ∥，交AB 于点D ，连接PQ ，设运动时间为t 秒(t 0 ）.（Ⅰ）用含t的代数式表示PD；（Ⅱ）①是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；②是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.（Ⅲ）在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长.（直接写出结果即可）.21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C 运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．(1)当t为何值时，PQ∥BC？(2)设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；(3)四边形PQCB面积能否是△ABC面积的35？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；(4)当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在边BC上，且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点运动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为ts（0＜t＜4）．（1）连接DP，当t＞1时，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值，总有PQ与AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形？23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q 的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts．求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？24．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（１）用含t的代数式表示下列线段长度：①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm.(2)当△PBQ的面积等于3时，求t的值.(3) (如图2)，若E为边CD中点，连结EQ、AQ.当以A、B、Q为顶点的三角形与△EQC相似时，直接写出满足条件的t的所有值.25．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣43x+403与x轴、y轴分别交于点B、A，与直线y=34x相交于点C．动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度，向O匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．（1）直接写出点C坐标及OC、BC长；（2）连接PQ，若△OPQ与△OBC相似，求t的值；（3）连接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接写出点P坐标．26．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．27．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动．（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？参考答案1．C【解析】分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P 点的个数．详解：∵AB⊥BC，∴∠B=90°．∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得：x=247；②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得：x=2或x=6，∴满足条件的点P的个数是3个．故选C．点睛：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．2．A【解析】试题分析：设运动的时间为x秒，则AD=xcm，AE=（12－2x）cm，根据△ADE和△ABC相似可得：或，则或，解得：x=3或x=4．8考点：动点问题、三角形相似．3．B【解析】试题分析：首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．试题解析：连接PP′交BC于O，∵若四边形QPCP′为菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ=90°，∵∠ACB=90°，∴PO∥AC，∴∵设点Q运动的时间为t秒，∴AP=t，QB=t，∴QC=6-t，∴CO=3-，∵AC=CB=6，∠ACB=90°，∴AB=6，∴解得：t=2，故选B．考点：1.平行线分线段成比例；2.等腰直角三角形；3.菱形的性质． 4．521【解析】【分析】当△ADF 是一个以AD 为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD ＝AF ，由题意DF ＝4t ，BE ＝4t ，DF ∥BE ，推出四边形BEFD 是平行四边形，由△ABC ∽△BED ，可得=BD BE BC AB，延长构建方程即可解决问题；【详解】如图1，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵AB ＝AC ＝5，∴BG ＝CG ＝2，由勾股定理得：AG ＝22(5)2 ＝1，由图形可知：∠BAC 是钝角，∴当△ADF 是一个以AD 为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD ＝AF ，由题意DF ＝4t ，BE ＝4t ，DF ∥BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形， ∴∴DEF ＝∠BDE ＝∠B ， ∴△ABC ∽△BED ，∴=BD BEBC AB， ∴554=45t t-， ∴t ＝521，故答案为：521．【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 5．3秒或4.8秒【解析】设运动xs 时，△AED ∽△ABC ，则AE AD AB AC =，即122612x x -=，解得245x =，即运动245s 时，△AED ∽△ABC ．6．(1)①154秒；②S △APQ ＝﹣225t +125t(0＜t≤6)；(2)①t ＝3，AE ＝6；②t ＝5．【解析】【分析】(1)①因为PQ ∥BC ，利用平行线分线段成比例，可得AQ APAB AC=，找到关于t 的方程，求解即可；②过P 作PE ⊥AB 于E ，利用∠BAC 的正弦，可以求出PE 的长，最后找到S 与t 的函数关系式；(2)①因为l为PQ的垂直平分线且过点A，所以AP=AQ，由此可以求出t的值，延长QP交CD于M，容易得到△APQ和△CPM相似，找到相似比可求出AE的长；②当l经过B时，可得BQ=BP=AP，过P作PG⊥AB于G，利用三线合一可得AG=BG，利用PG∥BC，可转化出P也为AC的中点，进而可求出AP的值，最后可找到t的值.【详解】解：(1)①由题意得：BQ＝AP＝t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，AQ＝6﹣t，∵PQ∥BC，∴AQ AP AB AC=，∴6610t t-=，t＝154，则当t＝154秒时，PQ∥BC，故答案为：154秒；②如图1，过P作PE⊥AB于E，sin∠BAC＝PE BC AP AC=，∴810PEt=，PE＝45t，∴S△APQ＝12AQ•PE＝12(6﹣t)45t＝﹣225t+125t(0＜t≤6)；(2)①如图2，延长CD交QP于M，∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A，∴AQ＝AP，即6﹣t＝t，∴t＝3，∴AQ＝AP＝3，CP＝10﹣3＝7，∵AQ∥CD，∴△AQP∽△CMP，∴AP AQ PC CM=，∴37=3CM，CM＝7，∴DM＝7﹣6＝1，∵AQ∥DM，∴△AQE∽△DME，∴AQ AEDM ED＝31，∵AE+DE＝8，∴AE＝6；②如图3，连接PB，过P作PG⊥AB于G，则PG∥BC，∵线段PQ的垂直平分线l经过点B，∴PB＝BQ＝t＝AP，∴AG＝BG，∴AP＝PC＝12AC＝5，∴t＝5．【点睛】本题主要考察几何问题中的动点问题，合理分析与图形的正确构造是解题的关键.7．（1）y＝﹣34x+3；（2）y＝﹣35t2+3t；（3）不存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分，理由见解析；（4）存在某一时刻t，使四边形PQP'O为菱形，点Q的坐标是(16,0 9),菱形PQP′O的边长为5059．【解析】【分析】（1）已知了A、B两点的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式．（2）三角形APQ中，底边AQ的长易知，关键是求P点纵坐标的值；过P作PM⊥OA于M，通过构建的相似三角形得出的成比例线段，可求出PM的长．进而可根据三角形的面积公式求出y，t的函数关系式．（3）可用分析法求解．先假设存在这样的t值，由于此时PQ将三角形ABO的周长平分，因此BP+BO+OQ=AP+AQ，据此可求出t的值，然后将t的值，代入（2）的函数关系式中，看此时三角形APQ的面积是否等于三角形AOB的面积的一半即可．（4）如果四边形OPQP′是菱形，那么需要满足的条件是OP=PQ，那么PM垂直平分OQ，此时QM=OQ，可借助OA的长来求t的值．过P作PN⊥OB于N，那么三角形BNP和三角形BOA相似，可求得PN的表达式，也就求出了QM，MO的表达式，可根据OA=OM+QM+AQ来求出此时t的值．进而可求出菱形的边长．【详解】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴403 k bb+=⎧⎨=⎩解得343kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式是334y x=-+．（2）在Rt △AOB 中，AB ＝22BO AO +＝5，依题意，得BP ＝t ，AP ＝5﹣t ，AQ ＝2t ，过点P 作PM ⊥AO 于M ， ∵△APM ∽△ABO ，∴PM APBO AB =， ∴535PM t-=，∴PM ＝3﹣35t ， ∴y ＝12AQ•PM ＝12•2t•（3﹣35t ）＝﹣35t 2+3t ．（3）不存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把△AOB 的周长和面积同时平分，若PQ 把△AOB 周长平分，则AP+AQ ＝BP+BO+OQ ， ∴（5﹣t ）+2t ＝t+3+（4﹣2t ），解得t ＝1．若PQ 把△AOB 面积平分，则S △APQ ＝12S △AOB ， ∴﹣35t 2+3t ＝3， ∵t ＝1代入上面方程不成立，∴不存在某一时刻t ，使线段PQ 把△AOB 的周长和面积同时平分．（4）存在某一时刻t ，使四边形PQP'O 为菱形，过点P 作PN ⊥BO 于N ，若四边形PQP′O 是菱形，则有PQ ＝PO ，∵PM ⊥AO 于M ， ∴QM ＝OM ，∵PN ⊥BO 于N ，可得△PBN ∽△ABO ，∴PN PBAO AB=， ∴45PN t=， ∴PN ＝45t ， ∴QM ＝OM ＝45t ， ∴45t+45t+2t ＝4， ∴t ＝109， ∴当t ＝109时，四边形PQP′O 是菱形， ∴OQ ＝4﹣2t ＝169， ∴点Q 的坐标是（169，0）． ∵PM ＝3﹣35t ＝73，OM ＝45t ＝89，在Rt △PMO 中，PO ＝22PM OM +＝4964981+＝5059， ∴菱形PQP′O 的边长为5059．【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定、图形面积的求法、相似三角形的应用、菱形的判定和性质等知识．综合性强，难度较大．8．（1）483t -；（2）当t=1.5或t=3时，PQ 与△ABC 的一边平行；（3）当0≤t≤1.5时，S ＝－162t ＋24t ；当1.5<t≤2时，S ＝2168243t t -＋；当2<t≤3时，S ＝22032243t t --＋；当3<t≤4时，S ＝－42t ＋16t. 【解析】分析：(1)用勾股定理求AC ，则AQ ＝AC －CQ ；(2)用平行线分线段成比例定理列方程求t 的值，要分两种情况，①当当PQ ∥BC 时，②当PQ ∥AB 时；(3)分四种情况，①当0≤t≤1.5时，②当1.5<t ≤2时，③当2<t≤3时，④当3<t≤4时，根据图形得到s 与t 的函数关系式.详解：(1)∵∠C ＝90°，∴AC ＝2222106AB BC ＝--＝8.∴AQ ＝AC －CQ ＝483t -. (2)①当PQ ∥BC 时，AP AQ AB AC＝， ∴4853108tt ＝-，t ＝1.5. ②当PQ ∥AB 时，CP CQCA CB＝， ∴()4632368tt --＝，t ＝3.∴当t ＝1.5或t ＝3时，PQ 与△ABC 的一边平行. (3)如图1，当0≤t≤1.5时，S ＝－162t ＋24t ；如图2，当1.5<t≤2时，S ＝2168243t t -＋；如图3，当2<t≤3时，S ＝22032243t t --＋；如图4，当3<t≤4时，S＝－42t＋16t.点睛：几何问题中的分类讨论，需要根据题意，画出每一类的图形，找到图形变化的临界点，确定分类的依据，结合图形求解.9．(1)当t为秒时，S最大值为cm2;当四边形PQP′C为菱形时，t的值是s；当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．【解析】试题分析：（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出=，从而求出AB，再根据=，得出PH=3﹣t，则△AQP的面积为：AQ•PH=t（3﹣t），最后进行整理即可得出答案；（2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，=，求出AE=﹣t+4，再根据QE=AE﹣AQ，QE=QC得出﹣t+4=﹣t+2，再求t即可；（3）由（1）知，PD=﹣t+3，与（2）同理得：QD=﹣t+4，从而求出PQ=，在△APQ中，分三种情况讨论：①当AQ=AP，即t=5﹣t，②当PQ=AQ，即=t，③当PQ=AP，即=5﹣t，再分别计算即可试题解析：解：（1）如图甲，过点P作PH⊥AC于H，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴PH∥BC，∴△APH∽△ABC，∴=，∵AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，∴=，∴PH=3﹣t，∴△AQP的面积为：S=×AQ×PH=×t×（3﹣t）=﹣（t﹣）2+，∴当t为秒时，S最大值为cm2．（2）如图乙，连接PP′，PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，∴△APE∽△ABC，∴=，∴AE===﹣t+4QE=AE﹣AQ═﹣t+4﹣t=﹣t+4，QE=QC=（4﹣t）=﹣t+2，∴﹣t+4=﹣t+2，解得：t=，∵0＜＜4，∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是s；（3）由（1）知，PD=﹣t+3，与（2）同理得：QD=AD﹣AQ=﹣t+4在△APQ中，①当AQ=AP，即t=5﹣t时，解得：t1=；②当PQ=AQ，即=t时，解得：t2=，t3=5；③当PQ=AP，即=5﹣t时，解得：t4=0，t5=；∵0＜t＜4，∴t3=5，t4=0不合题意，舍去，∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．考点：相似形综合题.10．（1）见解析；（2）78t=；（3）t=4秒或1.6秒或5.5秒.【解析】试题分析：（1）先根据一对对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明∠B＝90°，得出四边形ABCD是矩形；（2）先过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，判定△ABP∽△BMQ，得出AB BP BM MQ=，即64843tt t=-，求得t的值即可；（3）分为三种情况讨论：当CQ＝CP＝4cm时，当PQ＝CQ＝4cm时，当QP＝CP时，分别根据等腰三角形的性质，求得BP的长，进而得到t的值．试题解析：证明：（1）∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，∴AB2＋BC2＝100，AC2＝100，∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，则CQ＝5t，QM＝3t，CM＝4t，MB＝8－4t，∵∠NAB＋∠ABN＝90°，∠ABN＋∠NBP＝90°，∴∠NAB＝∠NBP，且∠ABP＝∠BMQ＝90°，∴△ABP∽△BMQ，∴AB BP BM MQ=，即64 843tt t=-，解得t＝78；（3）分为三种情况：①如图1，当CQ＝CP＝4cm时，BP＝8－4＝4cm，即t＝4秒；②如图2，当PQ＝CQ＝4cm时，过Q作QM⊥BC于M，则AB∥QM，∴CE CM AC BC＝，∴4108CM＝，∴CM＝3.2（cm），∵PQ＝CQ，QM⊥CP，∴PC＝2CM＝6.4cm，∴BP＝8cm－6.4cm＝1.6cm，∴t＝1.6s；③如图3，当QP＝CP时，过P作PN⊥AC于N，则CN＝12CQ＝2，∠CNP＝∠B＝90°，∵∠PCN＝∠BCA，∴△PCN∽△ACB，∴CN CP CB AC＝，∴2810CP ＝，∴CP＝2.5cm，∴BP＝8cm－2.5cm＝5.5cm，t＝5.5s，即从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒时，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形，即t ＝4秒或1.6秒或5.5秒.点睛：本题以动点问题为背景，主要考查了四边形的综合应用，解决问题时需要运用矩形的判定、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，解题时注意分类思想的运用．11．(1) ①t=1；②．（2），.【解析】试题分析：（1）①利用正方形的性质及条件，得出△ABF≌△DAE，由AE=BF列式计算．②利用△EBF∽△DCF，得出，列出方程求解．（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，先求出EF所在的直线和BG所在的直线函数关系式是，再利用勾股定理求出BG，运用，求出点O的坐标把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求解．②当t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y 轴建立坐标系，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，先求出EF所在的直线和BG所在的直线函数关系式是，再利用勾股定理求出BG，运用，求出点O的坐标把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求解．试题解析：（1）①如图1∵DE⊥AF，∴∠AOE=90°，∴∠BAF+∠AEO=90°，∵∠ADE+∠AEO=90°，∴∠BAE=∠ADE，又∵四边形ABCD是正方形，∴AE=AD，∠ABF=∠DAE=90°，在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（ASA）∴AE=BF，∴1+t=2t，解得t=1．②如图2∵△EBF∽△DCF∴，∵BF=2t，AE=1+t，∴FC=4﹣2t，BE=4﹣1﹣t=3﹣t，∴，解得：，（舍去），故．（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（2t，0），E的坐标（0，3﹣t）EF所在的直线函数关系式是：y=x+3﹣t，BG所在的直线函数关系式是：y=2x，∵∵，∴BO=，OG=，设O的坐标为（a，b），解得∴O的坐标为（，）把O的坐标为（，）代入y=x+3﹣t，得=×+3﹣t，解得，t=（舍去），t=，②当3≥t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（4，2t﹣4），E的坐标（0，3﹣t）EF所在的直线函数关系式是：y=x+3﹣t，BG所在的直线函数关系式是：y=2x，∵∵，∴BO=，OG=，设O的坐标为（a，b），解得∴O的坐标为（，）把O的坐标为（，）代入y=x+3﹣t，得=×+3﹣t，解得：t=．综上所述，存在t=或t=，使得．【考点】四边形综合题．12．（1）10cm ；（2）2204S t t =-；（3）3或401113．（1）76秒；（2）2秒；（3）2秒. 【解析】【分析】（1）先确定出AC=10，进而得出∠ACB 的余弦值，利用三角函数得出CP ，CG ，即可得出PG ，再判断出△PFG ∽△EFQ ，建立方程即可得出结论，（2）利用三角形的面积建立方程即可得出结论；（3）先判断出EQ=CQ ，进而得出CE=2CQ ，建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，根据勾股定理得，AC=10， ∵∠B=∠D=∠BCD=90°，FQ ⊥BC 于Q ， ∴四边形CDFQ 是矩形， ∴CQ=DF ，由运动知，BE=2t ，DF=t ，∴CQ=t ，CE=BC ﹣BE=8﹣2t ，AF=8﹣t ， ∴EQ=CE ﹣CQ=8﹣3t ，在Rt △ABC 中，cos ∠ACB=45BC AC =，在Rt△CPQ中，cos∠ACB=45 CQ tCP CP==,∴CP=54t，∵EF⊥AC，∴∠CGE=90°=∠ABC，∴∠ACB+∠FEQ=90°，∵∠ACB+∠BAC=90°，∴∠FEQ=∠BAC，∴△ABC∽△EQF．∴AB BC EQ FQ=∴686 EQ=，∴EQ=92，∴8﹣3t=92，t=76秒；故答案是：76秒；（2）由（1）知，CE=8﹣2t，CQ=t，在Rt△ABC中，tan∠ACB=34 ABBC=，在Rt△CPQ中，tan∠ACB=34 PQ PQCQ t==，∴PQ=34t，∵△EPC的面积为3cm2，∴S△EPC=12CE×PQ=12×（8﹣2t）×34t=3，∴t=2秒，即：t的值为2秒；（3）四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∵△EQP∽△ADC，∴∠CAD=∠QEP，∴∠ACB=∠QEP，∴EQ=CQ，∴CE=2CQ，由（1）知，CQ=t，CE=8﹣2t，∴8﹣2t=2t，∴t=2秒．即：t的值为2秒．【点睛】相似形综合题，主要考查了矩形的性质和判定，三角函数，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．14．（1）55cm ；（2）当t=1或52秒时，△PCQ 与△ACB 相似；（3）CE=3+t ；【解析】【分析】(1)利用勾股定理可求得AB. (2)分CQ PC CA BC =和CQ PCCB AC=两种情况讨论. (3) 过点E 作HE CE ⊥交AC 于H ,先说明△PEH ∽△QEC ，得到34HE PH PE CE QC QE ＝＝＝，用含t 的代数式表示HE 、CH,最后用勾股定理求出CE. 【详解】（1）AB=55cm ；（2）由题意可知：2PC t =,QB t =,QC=5-t ∵∠PCQ=∠ACB∴当CQ PC CA BC =或CQ PCCB AC=时，△PCQ 与△ACB 相似当CQ PC CA BC =时，52105t t-=，解得t=1; 当CQ PC CB AC =时，52510t t -=，解得t=52，当t=1或52秒时，△PCQ 与△ACB 相似；（3）如图，过点E 作HE CE ⊥交AC 于H ，则=90HEP PEC ︒∠+∠90QEP ∠=︒即C C=90QE PE ︒∠+∠∴QEC PEH ∠∠＝∵090EHP ECP QCE ECP ∠+∠∠+∠＝＝∴EHP ECQ ∠∠＝△PEH ∽△QEC∴34HE PH PE CE QC QE ＝＝＝ ∴34HE CE ＝，()33544PH QC t -＝＝∴()315552444CH t t t -+=+＝在Rt HEC ∆中，222EC EH HC +=,即22234CE CE HC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ ∴54CE HC = ∴3CE t +＝故答案为：（1）55cm ；（2）当t=1或52秒时，△PCQ 与△ACB 相似；（3）CE=3+t. 【点睛】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.15．（1）10-15；（2）t=或t=；（3）t=2.5；最小值为【解析】试题分析：（1）根据Rt △ABC 的性质得出AB 和BC 的长度，然后根据BM=BN 得出t 的值；（2）分△MBN ∽△ABC 和△NBM ∽△ABC 两种情况分别求出t 的值；（3）根据四边形的面积等于△ABC 的面积减去△BMN 的面积得出函数解析式，从而求出最值.试题解析：（1）∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴，由题意知，，，由BM=BN 得解得：（2）①当△MBN ∽△ABC 时， ∴，即，解得：②当△NBM ∽△ABC 时， ∴，即，解得：．∴当或时，△MBN与△ABC相似．（3）过M作MD⊥BC于点D，可得：设四边形ACNM的面积为，∴．∴根据二次函数的性质可知，当时，的值最小．此时，考点：（1）三角形的面积；（2）三角形相似的性质；（3）二次函数的图象及其性质16．（1）t=3,27；（2）当65t=秒或3秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与AOB相似；（3）存在，当3t=秒时，四边形OPQA的面积最小；（4）存在，点E的坐标为(0,12)，理由见解析【解析】【分析】（1）当PQ∥OA，四边形OPQA是梯形，根据平行线分线段成比例得到BP：BO=BQ：BA，即（6﹣t）：6=2t：12，即可得到t，利用梯形OPQA的面积=△OAB的面积﹣△PBQ的面积求面积；（2）讨论：当∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，由（1）得t=3；当∠BPQ=∠A，则Rt△BPQ∽Rt△BAO，BP：BA=BQ：BO，即（6﹣t）：12=2t：6，即可得到t；（3）利用y=S△OAB﹣S△BPQ=12×6×12﹣12×2t×（6﹣t），然后配成顶点式即可得到答案；（4）利用以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积=梯形BQEO的面积﹣△OPE的面积，用t与m表示出来为12×6×（m+2t）﹣12×m×t，变形得到（6﹣12m）t+3m，当t的系数为0时即可得到m的值．【详解】OP=t，PB=6﹣t，BQ=2t．（1）当PQ∥OA，四边形OPQA是梯形，∴BP：BO=BQ：BA，即（6﹣t）：6=2t：12，∴t=3，∴PB=3，BQ=6，∴梯形OPQA的面积=△OAB的面积﹣△PBQ的面积=12×6×12﹣12×3×6=27，所以当t=3时，四边形OPQA是梯形，此时梯形OPQA的面积为27；（2）当∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，Rt△BPQ∽Rt△BOA，由（1）得t=3，当∠BPQ=∠A，则Rt△BPQ∽Rt△BAO，∴BP：BA=BQ：BO，即（6﹣t）：12=2t：6，∴t=65，所以当t=65秒或3秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB相似；（3）存在．y=S△OAB﹣S△BPQ=12×6×12﹣12×2t×（6﹣t）=t2﹣6t+36=（t﹣3）2+27．∵a=1＞0，∴t=3时，y有最小值27，所以当t=3秒时，四边形OPQA的面积最小；（4）存在．当E在y轴的负半轴上时，以B、Q、E、P为顶点不能形成四边形，则点E在y轴的正半轴上时，设E（0，m），所以以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积=梯形BQEO的面积﹣△OPE的面积=1 2×6×（m+2t）﹣12×m×t=（6﹣12m）t+3m当以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积是一个常数，则6﹣12m=0，解得：m=12，所以点E的坐标为（0，12）．【点睛】。

2022-2023学年北师大版九年级数学上学期基础知识讲练1-13 特殊平行四边形动点问题

专题1.13 特殊平行四边形动点问题（专项练习）一、单选题类型一、菱形动点问题1．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB 于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为()A．4B．245C．6D．4852．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（）A．1B．1.5C．2D．33．如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，⊥A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形4．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，动点P从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长PO交CD于点Q，则四边形APCQ形状的变化依次为（）A．平行四边形—矩形—平行四边形—矩形B．平行四边形—菱形—平行四边形—矩形C．平行四边形—矩形—菱形—矩形D．平行四边形—菱形—平行四边形类型二、矩形动点问题5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为CB上一动点（不与点C重合），将⊥CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C'恰好落在AE上，则CE的长是（）A．2B．1C．2D．36．如图，矩形ABCD中，P为AB边上一动点（含端点），E为CD中点，F为CP中点，当点P由B向A运动时，下面对EF变化情况描述正确的是（）A．由小变大B．由大变小C．先变大后边小D．先变小后变大7．如图，四边形ABCO是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则BAD DOCADO∠+∠∠的值为（）A．1B．12C．2D．无法确定8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将⊥DCE沿DE所在直线折叠得到⊥DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（）A．52或2B．52C．32或2D．32类型三、正方形动点问题9．如图，正方形ABCD的面积为225cm，点E为BC边上一动点，点F为CD边上一动点，连接AE、AF，点E和点F在运动的过程中始终保持45EAF∠=︒，则CEF∆的周长（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm10．如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP 于点E．连接EC，若CE CD=，则⊥CDE的面积是（）A．18B．413C．63D．14.411．如图，在边长为6的正方形ABCD中，P是边AD的中点，E是边AB上的一个动点（不与A重合），以线段AE为边在正方形内作等边⊥AEF，M是边EF的中点，连接PM，则在点E运动过程中，PM的最小值是（）A．332B．532C．7D．312．如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG 的延长线于点H ，连接BH ，那么BHAE 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．2二、填空题类型一、菱形动点问题13．如图（1）是一张菱形纸片，其中135A ∠=︒，1AB =，点E 为BC 边上一动点．如图（2），将纸片沿AE 翻折，点B 的对应点为B '；如图（3），将纸片再沿AB '折叠，点E 的对应点为E '．当AE '与菱形的边垂直时，BE 的长为______．14．如图，在菱形ABCD 中，⊥ABC ＝120°，对角线AC 、BD 交于点O ，BD ＝4，点E 为OD 的中点，点F 为AB 上一点，且AF ＝3BF ，点P 为AC 上一动点，连接PE 、PF ，则PF ﹣PE 的最大值为 ___．15．如图，已知等边三角形ABC 绕点B 顺时针旋转60︒得到CBD ，E ，F 分别为线段AC 和线段CD 上的动点，且AE CF =，有以下结论：⊥四边形ABDC 为菱形；⊥≅ABE CBF ；⊥BEF 为等边三角形；⊥CFB CGE ∠=∠．其中正确结论有__________．（填序号）16．如图，点E 是菱形ABCD 边AB 的中点，点F 为边AD上一动点，连接EF ，将⊥AEF 沿直线EF 折叠得到⊥A 'EF ，连接A 'D ，A 'C ．已知 BC ＝4，⊥B ＝120°，当⊥A 'CD 为直角三角形时，线段AF 的长为______．类型二、矩形动点问题17．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5．点E 是BC 边上一动点，连接AE ．将⊥ABE沿AE 翻折得到⊥AEF ，连接DF ．当⊥ADF 的面积为52时，线段BE 的长为______．18．已知矩形ABCD 中，AB ＝6．点E 为AD 上一个动点，连接CE ，将CDE △沿CE 折叠，点D 落在点F 处，当点F 为线段AB 的三等分点时，AE 的长为______．19．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AD 、CB 向终点D 、B 移动，当点E 到达点D 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BP ，垂足为点P ，连接CP ，则CP 长的最小值为________．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是CB 上的一个动点，把△DCE 沿DE 折叠，若点C 的对应点C ′刚好落在线段AB 的垂直平分线上，则CE 的长度为_____．类型三、正方形动点问题21．如图，在正方形ABCD 中，点P ，Q 分别是AB ，AD 的中点，点E 是CD 边上一个动点，连接PE ，将四边形PBCE 沿PE 折叠，得到四边形PEFH ．（1）若P ，H ，Q 三点在同一条直线上，则BPE ∠的大小为______°；（2）若2AB =，则F ，Q 两点的连线段的最小值为______．22．如图，正方形ABCD 的边长为3，点G 在边AD 上，GD ＝1，GH ⊥BC 于点H ，点E 是边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），EF ⊥CD 于点F ，交GH 于点Q ，点O 、P 分别是EH 和GQ 的中点，连接OP ，则线段OP 的长度为__________．23．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、DC 上的动点，且EF ＝4，Q 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则PQ +PB 的最小值是_____．24．如图，正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，点P 为边AB上一个动点，连接PE ，以PE 为对称轴折叠PBE △得到PFE △，点B 的对应点为点F ，若2AB =，当射线EF 经过正方形ABCD 边的中点（不包括点E ）时，BP 的长为_____________．三、解答题25．如图，将正方形AOBC 放在平面直角坐标系中，点O 是坐标系原点，A 点坐标为（-1，3）．(1)求出点B 、C 的坐标：(2)在x 轴上有一动点Q ，过点Q 作PQ ⊥x 轴，交BC 于点P ，连接AP ，将四边形AOBP 沿AP 翻折，当点O 刚好落在y 轴上点E 处时，求点P 、D 的坐标．26．如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，动点P从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 移动，同时，点Q 从点C 出发，以lcm/s 的速度沿CD 向点D 移动（点P 到达点B 停止时，点Q 也随之停止运动），设点P 运动时间为t 秒．（1）试求当t 为何值时四边形APQD 为矩形；（2）P 、Q 两点出发多长时间，线段PQ 的长度为5cm ．27．已知矩形ABCD 中，E 是AD边上的一个动点，点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点．（1）求证：BGF FHC ≌；（2）当E 是AD 的中点时，四边形EHFG 是什么样的特殊四边形？请证明你的结论．28．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，⊥DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：⊥当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；⊥当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．参考答案1．B【分析】连接BP，通过菱形ABCD的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出PE PF的值．解：连接BP，如图，⊥菱形ABCD的周长为20，⊥AB=BC=20÷4=5，又⊥菱形ABCD的面积为24，⊥SABC=24÷2=12，又SABC= SABP+SCBP⊥SABP+SCBP=12，⊥111222AB PF BC PE += ， ⊥AB =BC ，⊥()1122AB PE PF += ⊥AB =5，⊥PE +PF =12×25=245．故选：B ．【点拨】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF +PE 的值．2．B【分析】利用三角形中位线性质求解即可.解：⊥M 、N 分别是线段AE 、AF 的中点，⊥12MN EF =， ⊥点E 在BC 边上从点B 向点C 移动，⊥当点E 运动到点C 的位置时，EF 最小，此时，EF =4-1=3，⊥线段MN 的最小值为1.5.故选：B【点拨】此题考查三角形的中位线的性质，知道当点E 运动到点C 的位置时EF 最小是解答此题的关键.3．D【分析】由▱ABCD ，得EB ∥FD ，再证⊥BOE ⊥△DOF （AAS ），得BE =DF ，即可得出四边形BEDF 是平行四边形，可以判定A ；当t =4时，则AE =2t =8，证⊥ADE 是等边三角形，DE =AE =8，再因四边形DEBF 是平行四边形，所以四边形DEBF 是菱形，可判定B ；当t =2时，则AE =2t =4，同理可得四边形DEBF 是菱形，可判定C ；当t ＝6时，则AE =2t =12，在AE 上截取AG =AD =8，连接DG ，证⊥BED >120°≠90°，所以四边形DEBF 不可能是正方形，可判定D ．解：A 、⊥▱ABCD ，⊥AB ∥CD ，即EB ∥FD ，⊥⊥BEO =⊥DFO ，⊥EBO =⊥FDO ，⊥OB=OD，⊥⊥BOE⊥△DOF（AAS），⊥BE=DF，⊥四边形BEDF是平行四边形，故此选项正确，不符合题意；B、当t=4时，则AE=2t=8，⊥AD⊥BD，⊥⊥ADB=90°，在Rt△ABD中，⊥ADB=90°，⊥A=60°，⊥⊥ABC=30°，⊥AD=12AB=8，⊥AD=AE，⊥⊥ADE是等边三角形，⊥DE=AE=8，⊥四边形DEBF是平行四边形，⊥四边形DEBF是菱形；故此选项正确，不符合题意；C、当t=2时，则AE=2t=4，⊥4182AEAD==，81162ADAB==，AE ADAD AB=，⊥⊥A=⊥A，⊥⊥ADE⊥⊥ABD，⊥⊥AED=⊥ADB=90°，⊥⊥BED=90°，⊥四边形DEBF是平行四边形，⊥四边形DEBF是矩形；故此选项正确，不符合题意；D、当t＝6时，则AE=2t=12，在AE上截取AG=AD=8，连接DG，如图，⊥⊥A=60°，⊥⊥ADG是等边三角形，⊥⊥AGD=60°，⊥⊥AED<60°，⊥⊥BED>120°≠90°，⊥四边形DEBF不可能是正方形；故此选错误，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定是解题的关键．4．B【分析】根据对称中心的定义，矩形的性质，可得四边形APCQ的形状变化情况，这个四边形首先是平行四边形，当对角线互相垂直时，是菱形，然后又是平行四边形，最后点A、B重合时是矩形．解：观察图形可知，四边形APCQ形状的变化一次为：平行四边形—菱形—平行四边形—矩形故选：B．【点拨】本题考查中心对称、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．5．B【分析】由矩形的性质得出⊥B=⊥C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得C'D=CD=3，C'E=CE，由勾股定理得出AC'，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：⊥四边形ABCD是矩形，⊥⊥B=⊥C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得：C'D=CD=3，C'E=CE，⊥DC'E=⊥C=90°，⊥⊥AC'D=90°，⊥AC，设CE=C'E=x，在Rt△ABE中，BE=5-x，AE=x+4，由勾股定理得：（5-x）2+32=（x+4）2，解得：x=1，故选：B．【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．6．B【分析】连接DP，则EF为⊥CDP的中位线，当点P由B向A运动时，DP由大变小，利用中位线的性质即可得到结论．解：连接DP，⊥E为CD中点，F为CP中点，⊥EF为⊥CDP的中位线，DP，⊥EF＝12在Rt⊥DAP中，由勾股定理得，DP当点P由B向A运动时，AP的长度逐渐减小，⊥DP减小，⊥EF由大变小，故选：B．【点拨】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接DP，构造三角形中位线．7．A【分析】过点D 作//DE AB 交AO 于点E ，由平行的性质可知,BAD ADE DOC ODE ∠=∠∠=∠，等量代换可得BAD DOC ADO∠+∠∠的值. 解：如图，过点D 作//DE AB 交AO 于点E ，四边形ABCO 是矩形//AB OC∴//DE AB //,//AB DE DE OC ∴,BAD ADE DOC ODE ∴∠=∠∠=∠1BAD DOC BAD DOC BAD DOC ADO ADE ODE BAD DOC∠+∠∠+∠∠+∠∴===∠∠+∠∠+∠故选：A. 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.8．B【分析】由矩形的性质得到CD ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝6，⊥A =90°，根据已知条件推出四边形MNCD的矩形，得到⊥DMN ＝⊥MNC ＝90°，MN ＝CD ＝5，根据折叠的性质得到C ′D ＝CD ＝5，C′E=CE ，根据勾股定理得到MC ′3，再由勾股定理即可得到结论．解：设CE ＝x ，则C ′E ＝x ，⊥矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，⊥CD ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝6，AD ⊥BC ，⊥点M ，N 分别在AD ，BC 上，且3AM ＝AD ，BN ＝AM ，⊥DM ＝CN ＝4，⊥四边形CDMN 为平行四边形，⊥⊥NCD ＝90°，⊥四边形MNCD 是矩形，⊥⊥DMN ＝⊥MNC ＝90°，MN ＝CD ＝5由折叠知，C ′D ＝CD ＝5，⊥MC ′3，⊥C ′N ＝5﹣3＝2，⊥EN ＝CN ﹣CE ＝4﹣x ，⊥C ′E 2﹣NE 2＝C ′N 2，⊥x 2﹣（4﹣x ）2＝22，解得，x ＝52，即CE ＝52．故选：B ．【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．9．A【分析】先根据正方形的性质得AB =AD =5cm ，⊥BAD =⊥B =90°，把⊥ADF 绕点A 顺时针旋转90°可得到⊥ABG ，接着利用“SAS ”证明 EAG EAF ≌，得到EG =EF =BE +DF ，然后利用三角形周长的定义得到△CEF 的周长=CE +CF +BE +DF =CB +CD ，由此即可解决问题．解：⊥四边形ABCD 为正方形，⊥AB =AD ，⊥BAD =⊥B =90°，又正方形ABCD 的面积为225cm ，⊥5cm AB BC CD DA ====⊥把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°可得到△ABG ，如图，⊥AG =AF ，BG =DF ，⊥GAF =90°，⊥ABG =⊥B =90°，⊥点G 在CB 的延长线上，⊥⊥EAF =45°，⊥⊥EAG =⊥GAF -⊥EAF =45°，⊥⊥EAG =⊥EAF ，在△EAG 和△EAF 中，AE AE EAG EAF AG AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥ EAG EAF ≌（SAS ），⊥EG =EF ，而EG =BE +BG =BE +DF ，⊥EF =BE +DF ，⊥CEF △的周长=CE +CF +BE +DF =CB +CD =5+5=10cm ．故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题．10．D【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到△ADE 和△DCF 全等，然后即可得到CF 和DE 的关系，根据等腰三角形的性质可以得到DF 和DE 的关系，再根据勾股定理可以得到DF 2的值，然后即可计算出△CDE 的面积．解：作CF ⊥ED 于点F ，如图所示，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD ＝DC ，⊥CDA ＝90°，⊥⊥ADE +⊥FDC ＝90°，⊥CF ⊥DE ，CD ＝CE ，⊥EF ＝DF ＝12DE ，⊥CFD ＝90°，⊥⊥FDC +⊥DCF ＝90°，⊥⊥ADE ＝⊥DCF ，在△ADE 和△DCF 中，AED DFC ADE DCF AD DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，⊥⊥ADE⊥⊥DCF（AAS），⊥DE＝CF，⊥DF＝12CF，⊥⊥CFD＝90°，CD＝6，⊥DF2+CF2＝CD2，即DF2+（2DF）2＝62，解得DF2＝7.2，⊥S△CDE＝2222DE CF DF DF⋅⋅=＝2DF2＝2×7.2＝14.4，故选：D．【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出DF2的值．11．A【分析】连接PF，由已知，M在⊥F AE的平分线上，当PM⊥AM时，PM最小，于是得到当P，F，M三点共线时，PM的值最小，连接AM，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，⊥EAM=30°，求得⊥P AM=60°，根据三角函数的定义即可得到结论．解：如图，连接AM，⊥P是边AD的中点，AD=6，⊥AP=3，连接PF，由已知，M在⊥F AE的平分线上，当PM⊥AM时，PM最小⊥此时P，F，M三点共线时连接AM，⊥⊥AEF是等边三角形，M是边EF的中点，⊥AM⊥EF，⊥EAM=30°，⊥⊥P AM=60°，⊥PM AP = 故选 A ．【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．12．B【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明⊥DAE ⊥⊥ENH ，得AE =HN ，AD =EN ，再说明⊥BNH 是等腰直角三角形，可得结论．解：如图，在线段AD 上截取AM ，使AM =AE ，，⊥AD =AB ，⊥DM =BE ，⊥点A 关于直线DE 的对称点为F ，⊥⊥ADE ⊥⊥FDE ，⊥DA =DF =DC ，⊥DFE =⊥A =90°，⊥1=⊥2，⊥⊥DFG =90°，在Rt ⊥DFG 和Rt ⊥DCG 中，⊥DF DC DG DG=⎧⎨=⎩， ⊥Rt ⊥DFG ⊥Rt ⊥DCG （HL ），⊥⊥3=⊥4，⊥⊥ADC =90°，⊥⊥1+⊥2+⊥3+⊥4=90°，⊥2⊥2+2⊥3=90°，⊥⊥2+⊥3=45°，即⊥EDG =45°，⊥EH ⊥DE ，⊥⊥DEH =90°，⊥DEH 是等腰直角三角形，⊥⊥AED +⊥BEH =⊥AED +⊥1=90°，DE =EH ，⊥⊥1=⊥BEH ，在⊥DME 和⊥EBH 中，⊥1DM BE BEHDE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DME ⊥⊥EBH （SAS ），⊥EM =BH ，Rt ⊥AEM 中，⊥A =90°，AM =AE ，⊥EM =，⊥BH ，即BHAE．故选：B ．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．13【分析】分AE BC '⊥和AE AB '⊥两种情况求解即可．解：⊥当AE BC '⊥时，如图1，⊥四边形ABCD 是菱形，⊥135C BAD ∠=∠=︒，180C B ∠+∠=︒，BC //AD ，⊥45B ∠=︒，90DAF ∠=︒，⊥1359045BAF ∠=︒-︒=︒，⊥45B BAF ∠=∠=︒，⊥AF =BF ，在Rt BAF ∆中，222,1AB AF BF AB =+=，⊥1)AF BF AB ==== 由折叠得，⊥114515,33BAE EAB B AE BAE ''''︒︒=∠=∠=∠=⨯= ⊥⊥151530EAE EAB B AE ︒︒︒''+'=∠+∠==，又tan ,EF EAF AF∠=⊥tan EF AF EAF =⋅∠=，⊥BE BF EF =-== ⊥当AE AB '⊥时，如图2，即⊥90BAE '︒=，⊥⊥''30B AE B AE BAE ︒∠'=∠=='，过点E 作EG AB ⊥于点G ，则,EG BG AG ==，又⊥AB BG AG =+，1EG =，⊥1EG =， ⊥BE ==综上，BE【点拨】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，用正切值求边长，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．14．1【分析】取OB 中点E '，连接PE '，作射线FE '交AC 于点P '．则PE ＝PE '，当P 与P '重合，P '、E '、F 三点在同一直线上时，PF ﹣PE '有最大值，即为FE '的长．解：如图，取OB 中点E '，连接PE '，作射线FE '交AC 于点P '．则PE ＝PE '，⊥PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，⊥在菱形ABCD中，⊥ABC＝120°，⊥⊥ABD＝60°，⊥DAB＝60°，⊥⊥ABD为等边三角形．⊥AB＝BD＝AD＝4．⊥OD＝OB＝2．⊥点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，⊥BF1AB＝1，4⊥⊥ABD＝60°，⊥⊥BE'F为等边三角形，⊥E'F＝FB＝1．故PF﹣PE的最大值为1．故答案为：1．【点拨】本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．15．⊥⊥⊥⊥【分析】⊥由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD即可判断；⊥利用SAS即可判定△ABE⊥⊥CBF；⊥由全等三角形的性质可知BE=BF，⊥ABE=⊥CBF，再结合⊥ABC=⊥ABE+EBC=60°，即可求出⊥EBF=60°，即证明△BEF为等边三角形；⊥由⊥CFB=⊥CFG+⊥BFG，⊥CGE=⊥CFG+FCG即可判断．解：由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABCD为菱形故⊥正确．⊥在△ABE和△CBF中，AB CB BAE BCF AE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥⊥ABE ⊥⊥CBF （SAS ），故⊥正确；⊥⊥ABE ⊥⊥CBF ，⊥BE =BF ，⊥ABE =⊥CBF ，⊥⊥ABC =⊥ABE +⊥EBC =60°，⊥⊥CBF +⊥EBC =60°，即⊥EBF =60°，⊥⊥BEF 为等边三角形，故⊥正确；⊥⊥CFB =⊥CFG +⊥BFG ，⊥CGE =⊥CFG +FCG ，⊥FCG =⊥BFG =60°，⊥⊥CFB =⊥CGE ，故⊥正确；综上，⊥⊥⊥⊥都正确，故答案为：⊥⊥⊥⊥．【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，熟练掌握这些知识并利用数形结合的思想解题的关键．16．2或2【分析】分当=90CA D '︒∠时和当=90A DC '︒∠时两种情况讨论求解即可．解：如图1所示，当=90CA D '︒∠时，取CD 中点H ，连接A H '， ⊥1=2A H CD DH '=， ⊥四边形ABCD 是菱形，E 为AB 中点， ⊥1122AE AB CD A H '===，⊥A =180°-⊥B =60°，AB CD ，由折叠的性质可知AE A E '=，AF A F '=，AEF A EF '∠=∠⊥A E A H AB AD ''+==，连接EH ，⊥=AE DH A H '=，AE DH ∥⊥四边形AEHD 是平行四边形，⊥=120AEH B =︒∠∠，AD EH =，⊥由三角形三边的关系可知，当点A '不在线段EH 上时，必有A E A H EH AD ''+>=，这与A H A E CD AD ''+==矛盾，⊥E 、A '、H 三点共线，⊥=60AEF A EF '=︒∠∠，⊥⊥AEF 为等边三角形， ⊥11222AF AE AB BC ====；如图2所示，当=90A DC '︒∠时，连接BD ，ED ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，⊥⊥ABC =120°，四边形ABCD 是菱形，⊥AB =AD ，⊥A =60°，⊥⊥ABD 是等边三角形，⊥E 是AB 中点，⊥DE ⊥AB ，⊥⊥ADE =30°，⊥⊥EDC =90°，⊥此时D A E '、、三点共线，由翻折的性质可得==45AEF A EF '︒∠∠，⊥FG ⊥AE ，⊥A =60°，⊥AEF =45°，⊥⊥AFG =30°，⊥GFE =45°，⊥AF =2AG ，EG =FG ，⊥FG AF ==， ⊥11222AE AG GE AB BC =+===，⊥122AF AF +=，⊥2AF =，故答案为：2或2．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形三边的关系，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．17．2【分析】过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，求出AM长，再根据勾股定理列出方程求解即可．解：过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，由翻折可知，AB=AF=3，BE=EF，⊥⊥ADF的面积为52，⊥15 22 AD FM=，⊥AD＝5，⊥1FM=，⊥AM==⊥⊥ABN=⊥BAN=⊥AMN=90°，⊥四边形AMNB是矩形，⊥AM BN==⊥BNM=90°，AB=MN=3，⊥FN=MN-FM=2，⊥222)2BE BE=+，解得，BE=【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据面积求出线段长，利用勾股定理列方程．18【分析】根据题意可求出123BF AB ==，243AF AB ==．再根据折叠的性质和矩形的性质可得出6CF CD AB ===，DE EF =，从而可利用勾股定理求出AD BC ==AE x =，则DE EF x ==．在Rt AEF 中，再次利用勾股定理即可列出关于x 的等式，解出x 即得出答案．解：⊥AB ＝6，点F 为线段AB 的三等分点， ⊥123BF AB ==，243AF AB ==，根据折叠和矩形的性质可得出6CF CD AB ===，DE EF =，⊥AD BC ===设AE x =，则DE EF x ==．⊥在Rt AEF 中，222AE AF EF +=，⊥2224)x x +=，解得：x = ⊥AE =【点拨】本题考查矩形与折叠，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 19．4【分析】因为EF 不论如何运动，EF 的中点始终在矩形的对角线的交点上，所以当EF ⊥BC 时，即，E 、F 分别是AD 、BC 的中点时，CP 取得最小值，此时P 与F 重合，即可求解．解：⊥动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AD 、CB 向终点D 、B 移动，⊥AE =CF⊥EF 不论如何运动，EF 的中点始终在矩形的对角线的交点上，⊥当EF ⊥BC 时，即，E 、F 分别是AD 、BC 的中点时，CP 取得最小值，此时P 与F 重合，⊥CP =142BC = 故答案为：4【点拨】本题考查了矩形的性质，弄清题意找到P 的位置是解题的关键．20．【分析】利用垂直平分线的性质得出CC '=DC '= DC ，则⊥D C 'C 是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案．解：如下图，连接，⊥点C '在AB 的垂直平分线上，⊥点C '在DC 的垂直平分线上，⊥CC '=DC '= DC ，则⊥D C 'C 是等边三角形，设CE = x ，易得DE = 2x ，由勾股定理得： (2x )2 -x 2= 62，解得： x =（负值舍去）故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是证明⊥DC C '是等边三角形．21． 67.5-【分析】（1）易得45APQ ∠=︒，利用翻折的性质得到67.5BPE HPE ∠∠==︒；（2）连接PQ ，PE ，PC ，易证PBC PHF △△≌，得到PF PC ==PQ =P ，Q ，F 在同一条直线上时，FQ 最小，计算可得．解：（1）如图1，易得45APQ ∠=︒，⊥67.5BPE HPE ∠∠==︒，故答案为：67.5；（2）如图2，连接PQ ，PE ，PC ，易证PBC PHF △△≌，⊥PF PC ==PQ =当P ，Q ，F 在同一条直线上时，FQ 最小，--【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握翻折的性质是解题的关键．22【分析】取QH 的中点M ，连接OM ，由正方形及矩形的性质得出AG ＝EQ ，GH ＝CD ＝3，⊥EQH ＝90°，求出QE ＝2，由三角形中位线定理得出OM ＝12QE ＝1，OM∥EQ ，求出PM 的长，根据勾股定理可得出答案．解：取QH 的中点M ，连接OM ， ⊥四边形ABCD 是正方形，⊥⊥A ＝⊥B ＝⊥C ＝⊥D ＝90°，⊥EF ⊥CD ，GH ⊥BC ，⊥四边形AEQG ，四边形GHCD 为矩形，⊥AG ＝EQ ，GH ＝CD ＝3，⊥EQH ＝90°，⊥DG＝1，⊥AG＝EQ＝2，⊥O，M分别为EH，QH的中点，⊥OM＝12QE＝1，OM∥EQ，⊥⊥OMP＝90°，⊥P为GQ的中点，M为QH的中点，⊥PQ＝12GQ，QM＝12QH，⊥PM＝PQ+QM＝1113 2222 QG QH GH+==，⊥OP．【点拨】本题主要考查了正方形和矩形的性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题得关键．23．2【分析】延长BA到B′，使B′A＝AB，PB+PQ＝PB′+PQ，当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝B′C﹣2，根据勾股定理即可得到结论．解：如图所示：要，延长BA到B′，使B′A＝AB，PB+PQ＝PB′+PQ，当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝CB′﹣2，⊥BC＝AB＝4，⊥BB′＝8，⊥B ′C B ′Q ＝B ′C ﹣2＝2，⊥PB ′+PQ 的值最小是2，即PQ +PB 的最小值是2，故答案为：2．【点拨】本题考查了正方形的性质、轴对称-最短路线问题，勾股定理，正确的找到P 点的位置是解题的关键．24．11【分析】分EF 经过正方形ABCD 另三边三种情况求解即可解：⊥EF 经过CD 边中点O 时，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AB=BC=CD=DA ，90C B ∠=∠=︒，⊥点O 是CD 边中点，点E 是BC 边中点， ⊥11,22OC CD EC BC ==． ⊥CE=CO =1，⊥45CEO ∠=︒，由折叠得11(180)((18045)67.522FEP BEP CEO ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， ⊥22.5FPE BPE ∠=∠=︒．⊥45FPB FPE BPE ∠=∠+∠=︒，作FG ⊥AB 于G ，作EH ⊥FG 于H ，如图，设FH=x ，则BG=EH=FH=x ，⊥45BPF ∠=︒，⊥PG ＝FG=x +1，⊥BP =2x +1，由勾股定理得1)PF x =+，由折叠得PB=PF ，⊥211)x x +=+，解得x =．⊥12BP =>，⊥点P 在AB 外，不符合题意；⊥EF 经过AD 边中点O '，如图，此时，190452FEP BEP ∠=∠=⨯︒=︒， ⊥BP=BE =1；⊥EF 经过AB 中点O ''，如图，⊥O ''B=BE ，⊥45EO B ''∠=︒．由折叠得90PFE B ∠=∠=︒，设PF=x ，则,O P PB x ''==，1x +=，⊥1，即1，综上，BP 的长为11，故答案为：11．【点拨】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．25．(1)B （3，1）、C （2，4） (2)D （3，5）、P （73，3）【分析】（1）分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H∥证明⊥AGO⊥⊥OHB，根据三角形全等的性质可得出结论；（2）根据对称性和全等的性质可得D（3，5），再求出BC的解析式y=-3x+10，从而可求出点P坐标．解：(1)分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H；⊥四边形AOBC是正方形⊥AO= BO，⊥AOB =90°⊥⊥AGO⊥⊥OHB⊥ AG= OH，OG= BH⊥A点坐标为（-1，3）⊥ AG =3，OG=1⊥ OH =3，BH=]⊥B（3，1）同理可得C（2，4）(2)⊥点O与点E关于AP成轴对称⊥AO=AE，AP⊥OE且平分OE⊥E（0，6）根据上面全等可以得到D（3，5）⊥点P的纵坐标是3⊥点P在直线BC上⊥设直线BC为y = kx + b，由条件可得20 30k bk b+=⎧⎨+=⎩，解之得-310k b =⎧⎨=⎩ ⊥y =-3x +10当y =3时，73x =⊥P （73，3）【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．26．（1）2；（2）当出发1s 或3s 时，线段PQ 的长度为5cm ．【分析】（1）由矩形的性质，得AP DQ =，继而列出关于t 的一元一次方程即可解题；（2）过点P 作PE CD ⊥于点E ，先证明四边形APED 是矩形，再根据矩形的性质解得EQ 的长，最后在Rt PQE △中，根据勾股定理解题即可．解：（1）四边形APQD 为矩形．AP DQ ∴=，26t t ∴=-，36t =，2t ∴=,∴当2t =时四边形APQD 为矩形;（2）过点P 作PE CD ⊥于点E ，90A D DEP ∠∠∠===︒，∴四边形APED 是矩形．2AP DE t ∴==，63EQ CD DE CQ t ∴=--=-，在Rt PQE △中，222PE EQ PQ +=，2(63)9t -=，1t =，3t =，答：当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．【点拨】本题考查矩形的判断与性质、勾股定理，涉及解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．27．（1）详见分析；（2）当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形，证明详见分析【分析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定解答即可；(2)根据菱形的判定解答即可．解：(1)⊥点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，⊥FH⊥BE，12FH BE=，BF＝FC，⊥⊥CFH＝⊥FBG，FH＝BG，⊥⊥BGF⊥⊥FHC；(2)当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形．当E是AD的中点时，AE＝ED，⊥四边形ABCD是矩形，⊥AB＝CD，⊥A＝⊥D=90︒，⊥⊥ABE⊥⊥DCE，⊥BE＝CE，⊥BE＝2FH，CE＝2FG，⊥FH＝FG =1122BE CE EG EH=＝＝，⊥EH＝HF＝FG＝GE，⊥四边形EGFH是菱形．【点拨】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是根据全等三角形的判定和菱形的判定解答．28．(1)见分析(2)⊥3；⊥6【分析】（1）利用AAS证△NDE⊥⊥MAE，得出NE＝ME，进而得出结论；（2）⊥当四边形AMDN是矩形时⊥AMD=90°，由菱形的性质得AD=6，进而求出AM的值；⊥当四边形AMDN是菱形时，AM=DM，由⊥DAB＝60°，得出△AMD为等边三角形，进而求出AM的值．解：(1)证明：⊥四边形ABCD是菱形⊥AB⊥CD⊥⊥DNE＝⊥AME，⊥NDE＝⊥MAE⊥点E是AD边的中点⊥AE＝DE⊥△NDE⊥⊥MAE（AAS）⊥NE＝ME⊥四边形AMDN是平行四边形(2)解：⊥当四边形AMDN是矩形时⊥AMD=90°在菱形ABCD中AD＝AB＝6⊥⊥DAB＝60°⊥⊥ADM=30°⊥AM=12AD=3故答案为：3．⊥当四边形AMDN是菱形时，AM=DM⊥⊥DAB＝60°⊥⊥AMD为等边三角形⊥AM=AD在菱形ABCD中AD＝AB＝6⊥AM=6故答案为：6．【点拨】本题考查平行四边形的判定，矩形和菱形的性质，等边三角形的性质，30°的直角三角形的性质，熟练地掌握平行四边的判定方法和矩形菱形的性质是解决问题的关键．。

新北师大版九年级动点问题专题练习(含答案)

新北师大版九年级动点问题专题练习(含答案)案场各岗位服务流程销售大厅服务岗：1、销售大厅服务岗岗位职责：1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;2)保持销售区域台面整洁;3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;4)收集客户意见、建议及现场问题点；2、销售大厅服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。

班中工作程序服务流程行为规范迎接指引递阅资料上饮品（糕点）添加茶水工作要求1）眼神关注客人，当客人距3米距离时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后侯客迎询问客户送客户注意事项15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！”3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人；4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）；7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等待；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项饮料（糕点服务）1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用托盘；2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一下，请问您需要什么饮品”为起始；3）服务方向：从客人的右面服务；4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时，必须询问客人是否需要再添一杯，在二次服务中特别注意瓶口绝对不可以与客人使用的杯子接触；5）在客人再次需要饮料时必须更换杯子；下班程序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.3.3吧台服务岗1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责1）为来访的客人提供全程的休息及饮品服务；2）保持吧台区域的整洁；3)饮品使用的器皿必须消毒；4）及时补充吧台物资；5）收集客户意见、建议及问题点；1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。

动点专题(北师版)(含答案)

动点专题（北师版）试卷简介:考查学生辨识动点问题，利用动点套路解决问题，本套试卷尤其侧重对动点运动路程表达的考查。

一、单选题(共10道，每道10分)1.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=12,BC=24,动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位的速度运动,动点Q从点C出发沿CB向点B以每秒2个单位的速度运动,P,Q同时出发,当点P停止运动时,点Q也随之停止,连接PQ,DQ.设点P的运动时间为t秒,当t为( )秒时,△PDQ≌△CQD.A.6B.5C.4D.3答案：C解题思路：（1）考点：动点问题，全等三角形（2）解题过程：解：由题意得AP=t，CQ=2t∵AD=12∴DP=12-t要使△PDQ≌△CQD，则需DP=QC即12-t=2t，t=4∴当t=4时，△PDQ≌△CQD．故选C试题难度：三颗星知识点：动点问题2.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,点E为边AD上一点,且AE=7.动点P从点B出发,沿BC向点C以每秒2个单位的速度运动,连接AP,DP.设点P的运动时间为t秒.当t为( )秒时,△DCP≌△CDE.A.7B.3C. D.答案：C解题思路：（1）考点：动点问题，全等三角形（2）解题过程：解：如图，由题意得BP=2t∵BC=10∴CP=10-2t要使△DCP≌△CDE，则需CP=DE即10-2t=3，t=∴当t=时，△DCP≌△CDE．故选C试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知:如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.点P在线段BC上以每秒2cm 的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段CA上由点C向点A运动.设点P的运动时间为t 秒,当t为( )秒时,△BPD与△CQP全等.A. B.或2C.3D.3或4答案：B解题思路：（1）考点：动点问题，全等三角形（2）解题过程：解：由题意得BP=2t∵BC=8∴PC=8-2t∵AB=10，D为AB的中点∴BD=AB=5①要使△BDP≌△CPQ，则需CP=BD，CQ=BP即8-2t=5，t=∴当t=时，△BDP≌△CPQ．②要使△BDP≌△CQP，则需CP=BP，CQ=BD即8-2t=2t，CQ=5∴t=2∴当t=2时，△BDP≌△CQP．综上所述，当t=或t=2时，△BPD与△CQP全等．故选B试题难度：三颗星知识点：动点问题4.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=6cm,点E为AB的中点,如果点P在线段BC上以每秒1cm的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CD上由点C向点D运动.设点P的运动时间为t秒,若某一时刻△BPE与△CQP全等,则点Q的运动速度是( )A.cm/s或1cm/sB.3cm/s或4cm/sC.1cm/sD.4cm/s答案：A解题思路：（1）考点：动点问题，全等三角形（2）解题过程：解：由题意得BP=t∵BC=6∴PC=6-t①要使△BPE≌△CPQ，则需BP=CP，BE=CQ即t=6-t，t=3此时点Q的运动速度是∴当点Q的运动速度是cm/s，△BPE≌△CPQ.②要使△BPE≌△CQP，则需BE=CP，BP=CQ即2=6-t∴t=4此时点Q的运动速度是4÷4=1∴当点Q的运动速度是1cm/s时，△BPE≌△CQP．综上所述，当点Q的运动速度是cm/s或1cm/s时，△BPE与△CQP全等．故选A试题难度：三颗星知识点：动点问题5.已知:如图,在长方形ABCD中,AB=DC=4,AD=BC=5.延长BC到点E,使CE=2,连接DE.动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒.当t 为( )秒时,△ABP和△DEC全等.A.2B.2或12C.1D.1或6答案：D解题思路：（1）考点：动点问题，全等三角形（2）解题过程：解：①当P在BC上时，由题意得BP=2t要使△ABP≌△DCE，则需BP=CE∵CE=2∴2t=2，t=1即当t=1时，△ABP≌△DCE②当P在CD上时，不存在t使△ABP和△DCE全等③当P在AD上时，由题意得BC+CD+DP=2t∵BC=5，CD=4，AD=5∴AP=5+4+5-2t=14-2t要使△ABP≌△CDE，则需AP=CE即14-2t=2，t=6即当t=6时，△ABP≌△CDE．综上所述，当t=1或t=6时，△ABP和△DEC全等．故选D试题难度：三颗星知识点：动点问题6.如图,在长方形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,动点P以4cm/s的速度从B点出发,沿BA方向向点A移动,同时动点Q以1cm/s的速度,沿CD方向向点D移动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s),则当t为( )秒时,线段PQ恰好平分长方形ABCD的面积.A.3B.4C.5D.6答案：B解题思路：解：由题意可得，BP=4t，CQ=t，且0≦t≦5∵线段PQ恰好平分矩形ABCD的面积，∴∴即∴t=4（符合题意）故选B试题难度：三颗星知识点：动点问题7.已知:如图1,点G是BC的中点,点H在AF上,动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动,运动路径为:G—C—D—E—F—H,相应的△ABP的面积y(cm2)关于运动时间t(s)的图象如图2,若AB=6cm,则下列四个结论中正确的个数有( )①图1中的BC长是4cm;②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2;③图1中的CD长是4cm;④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2.A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：（1）考点：动点问题的函数图象（2）解题过程：解：根据函数图象可以知：从0到2，经过了2秒，P运动了4cm，因而CG=4cm，BC=8cm，故①错误P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知CD=4cm，面积，故②③正确图2中的N点表示第12秒时，点P到达H点，△ABP的面积是18cm2，故④正确，故选C．试题难度：三颗星知识点：动点问题的函数图象8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,DC=4,BC=6,动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒2个单位长度的速度向终点D运动,当其中一个动点到达终点时,另一动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为( )时,△MNC是以MN为底的等腰三角形.A.1B.2C.3D.答案：D解题思路：（1）考点：动点问题，等腰三角形（2）解题过程：解：由题意可得，BM=2t，CN=2t，且0≦t≦2又∵△MNC是以MN为底的等腰三角形，则CM和CN为腰，∴CM=CN，∵BC=6，∴CM=6-2t，CN=2t，即6-2t=2t∴t=（符合题意）故选D试题难度：三颗星知识点：动点问题9.如图,在长方形ABCD中,∠B=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以3m/s的速度从点A出发,沿AC方向向点C移动,同时动点Q以2m/s的速度从点C出发,沿CB方向向点B移动;当P,Q两点中其中一点到达终点时,则停止运动.设运动时间为t秒,则当t为( )秒时,△PQC是以PQ为底的等腰三角形.A.2B.5C. D.答案：A解题思路：解：由题意可得，AP=3t，CQ=2t，且0≦t≦，又∵△PQC是以PQ为底的等腰三角形，则CP和CQ为腰，∴CP=CQ，在Rt△ABC中，由勾股定理，得CP=10-3t，CQ=2t，即10-3t=2t∴t=2（符合题意）故选A试题难度：三颗星知识点：动点问题10.如图1,在长方形ABCD中,动点P从B点以2cm/s的速度出发,沿BC-CD-DA运动到A点停止,设点P的运动时间为x(s),△ABP的面积为y(cm2),y关于x的函数图象如图2所示,则长方形ABCD的面积是( )cm2.A.4B.8C.10D.16答案：D解题思路：（1）考点：动点问题的函数图象（2）解题过程：解：由图2可得：当点P运动1秒后，△ABP的面积变化发生转折，由点P的运动速度为2cm/s，可得BC=2cm；当点P从第1秒至第5秒时，△ABP的面积不变，可得CD=8cm；故矩形ABCD的面积为：2×8=16cm2．故选D．试题难度：三颗星知识点：动点问题的函数图象。