154 第1课时 角平分线的尺规作图
尺规作图角平分线
尺规作图角平分线尺规作图是古代数学中一种重要的作图方法。
它的原理基于几何学的基本公理和尺规作图的限制条件，通过使用尺和可调规来完成各种几何图形的作图问题。
其中，角平分线也是一类常见的作图问题之一。
角平分线是指将给定角分成两个相等的角的直线。
在几何学中，角平分线的作图问题被广泛应用于各个领域，包括建筑、城规、工程、地理等，因其在实际应用中的重要性而备受关注。
尺规作图的步骤一般分为：给定条件、画出所需图形的辅助线、使用尺规进行作图、绘制出所需的图形。
下面我们来具体讨论如何使用尺规作图来构造角平分线的过程。
首先，假设我们的目标是作出一个角的平分线。
我们有一个给定角A，我们的任务是找到一个直线BC，使得角ABC和角CBD相等。
角平分线的构造方法如下：步骤1：以点A为中心，画一个任意半径的圆（圆心为O），该圆将与角A相交于两个点D和E。
步骤2：以点D和E为中心，分别画两个半径等于AO的圆。
步骤3：连接点O和点F，其中F是这两个圆的交点之一。
步骤4：连接点A和点F，我们得到的线段AF即为角A的平分线。
通过以上的步骤，我们可以很容易地构造出给定角的平分线。
这个方法是尺规作图中常用的角平分线的构造方法。
需要注意的是，这个方法仅适用于使用尺规作图的工具和条件下。
尺规作图角平分线的方法所依赖的原理是，由于圆弧上的任意两个点到圆心的距离是相等的，所以通过相应的操作，我们可以得到使用圆弧相交构建角平分线的方法。
尺规作图角平分线的应用十分广泛。
在数学教学中，角平分线作图是几何学中的重要内容之一。
通过学习角平分线的构造方法，学生们可以深入理解几何学中关于角的概念和性质，并通过实际操作提高他们的几何图形构造能力。
此外，角平分线的应用还可以延伸到建筑、城规和工程领域，例如在设计建筑物或城市规划时，利用角平分线可以确保建筑物或街道的对称性和平衡性。
总结起来，尺规作图角平分线是一种重要的数学作图方法，它基于几何学的基本原理和尺规作图的限制条件，通过使用尺和可调规来构造给定角的平分线。
尺规作图角平分线
目 录
• 引言 • 尺规作图基础知识 • 角平分线的尺规作图方法 • 角平分线在实际问题中的应用 • 角平分线与其他几何概念的联系 • 总结与展望
01 引言
目的和背景
尺规作图角平分线的目的
通过尺规作图的方式，将一个角平分为两个相等的角，以便在几何图形中构造特定的角度或解决与角度相关的问 题。
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对角平分线尺规作图的总结
尺规作图角平分线的基本原理
利用尺规作图的基本操作，通过构造等腰三角形或利用圆的性质，将给定角平分为两个相 等的小角。
尺规作图角平分线的步骤
首先，在角的两边上分别截取相等的线段；然后，分别以这两个点为圆心，以大于截取线 段长度为半径画弧，两弧交于一点；最后，连接角的顶点和交点，所得射线即为角的平分 线。
内部画弧，两弧交于一点。
连接角的顶点和这个交点，所得 的射线就是这个角的平分线。
方法二：利用三角板和直尺作图
利用三角板上的45°角或30°角， 通过角的和或差的方式，画出 所需角。
通过移动三角板，使得三角板 的一边与角的一边重合，另一 边落在角的内部。
沿着三角板的另一边画射线， 这条射线就是角的平分线。
角平分线的性质
角平分线将原角平分为两个相等的角。
角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线是角的对称轴，即角的两边 关于角平分线对称。
在三角形中，角的平分线与对边相交，将对边 分为两段，这两段与角的两边对应成比例。
02 尺规作图基础知识
尺规作图的基本工具
直尺
用于画直线段、连接两点或延长 线段。
圆规
角平分线的定义
角平分线是从一个角的顶点出发，将该角平分为两个相等的 小角的射线。
八年级数学《尺规作图-角平分线、垂线和中垂线》课件
3、任意画一个三角形，画出三个内角的角 平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
4、已知：角∠α，线段m。 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
2、经过一点作已知直线的垂线
1、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的 垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论， 应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？
2题的作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交
于A、B两点； （3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1 AB
长为半径画弧，两弧相交于D点； 2 （4）过C、D两点作直线CD。
所以，直线CD就是所求作的。
练习
1、如图，过点P画∠O 两边的垂线.
2、如图，画 △ABC 边 BC 上的(第高1 题.)
第19章 全等三角形 19.3 尺规作图
基本作图
❖在几何里,把限定用直尺和圆规来画 图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺 规作图,通常称基本作图.
❖ 其中,直尺是没有刻度的;
❖ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就 是一种基本作图.
❖ 下面介绍几种基本作图:
（第 2 题）
❖什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的 直线）
❖线段垂直平分线有哪些特征？
（线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等；反过来，到线 段两端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上）
❖已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
1、平分已知角
尺规作图角平分线
B
O
A
①当∠AOB的两边成一条直线时，D 即 ∠AOB=180°，你会作这个角的平分线吗？ ②通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它 反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什 么关系？ ③结论：作平角的平分线不仅能平分平角， 也得到了过直线上一点作这条直线的垂线 的方法。
小试牛刀
已知：直线AB及一点C， 求作：直线AB的垂线，使它经过点C。 解：分两类情况作图 1.当点C在直线AB上时 作平角ACB的平分线CF， 直线CF就是所求的垂线。 F 经过已知直线上一点 作这条直线的垂线。 A D C E
B
小试牛刀
2.当C在直线AB外时。 作法：1)以点C为圆心，足够长为半径作弧，
交AB于点D和E;
2)分别以点D、E为圆心，大于
1 3)作直线CF. A B 经过已知直线外一点 则直线CF就是所求作的垂线。 作这条直线的垂线。
尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）. 已知: △ABC , 求作：BC边上的高AD.
大显身手
任作两条长度不等的线段a，b（b>a）， 你能用尺规作图的方法作出以a为直角边， 以b为斜边的直角三角形吗？ a
C
b
G b
E
A
Fa
B
思考与实践： 在下面尺规作图中，了解作图道理， 保留作图痕迹，不要求写作法。
已知底边及底边上的高作等腰三角形。
八年级数学《尺规作图(2)角平分线、垂线和中垂线》课件
❖什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的 直线）
❖线段垂直平分线有哪些特征？
（线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等；反过来，到线 段两端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上）
❖已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
2、试把一个钝角四等分。
3、任意画一个三角形，画出三个内角的角 平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
4、已知：角∠α，线段m。 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
2、经过一点作已知直线的垂线
1、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的 垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论， 应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？
挑战自我
1、已知：角∠α，线段m。 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
2、AB、AC分别是菱形ABCD的一条边和对 角线，请你用尺规把这个菱形补充完整。
C
A
B
3、A、B是两个村庄，要从灌溉总渠引两 条水渠便于灌溉，请你选择最佳方案。
B A
灌溉总渠
4、如图，已知线段a，h， 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高为h
第19章 全等三角形 19.3 尺规作图
基本作图
❖在几何里,把限定用直尺和圆规来画 图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺 规作图,通常称基本作图.
❖ 其中,直尺是没有刻度的;
❖ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就 是一种基本作图.
❖ 下面介绍几种基本作图:
尺规作图角平分线
一、尺规作图1. 作一个角等于已知角的方法已知：∠AOB ，求作：∠A ′O ′B ′=∠AOB.作法：1.以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；2.画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；3.以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D ′；4.过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB.2. 先任意画出一个△ABC.再画一个△A ′B ′C ′，使A ′B ′=AB , B ′C ′=BC ，C ′A ′ =CA.作法：画一个△A ′B ′C ′ ，使A ′B ′=AB, A ′C ′=AC ，B ′C ′=BC ：（1）画B ′C ′=BC ；（2)分别以点B ′,C ′为圆心，线段AB ，AC 长为半径画弧，两弧相交于点A ′;(3)连接线段A ′B ′，A ′C ′.二、角的平分线导入：小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.问题1：怎样修建管道最短？问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看.角的平分线的画法O A B C D O′ A′B′ C′ D′图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就 是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？作已知角的平分线的方法.已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线.作法：（1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.(2)分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC 即为所求（如图).理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS ”．拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线．注意： “大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交．如图所示，已知∠AOB ，求作：∠AOM ＝ ∠AOB.角的平分线的性质 如图12.3-3，任意作一个角∠AOB ，作出 ∠AOB 的平分线OC.在OC 上任取一点P ，点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记垂足为D ，E ，测量 PD ，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取 几个点试一试.12121214通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．要点精析：(1)点一定要在角平分线上；(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；(3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等．2.书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E, ∴PD＝PE.例1、如图, ∠AOC=∠BOC，点 P 在OC 上，PD⊥OA, PE⊥QB，垂足分别为D，E.求证PD=PE.证明：∵PD⊥OA, PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,OP=OP,∴△PDO ≌△PEO(AAS).∴PD=PE.例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．1、如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB 的距离相等.2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( )A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm3、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于________．总结：角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE ⊥OB于E，DE交OC于点F.(1)角的相等关系：①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF；②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠DFP＝∠EFP ＝90°；③∠DPO＝∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.三、角平分线的判定角平分线的性质为：角的平分线上的点到角的两边距离相等.交换上述已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)【例1】如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.导引：要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成．证明角平分线的“两种方法”(1)定义法：应用角平分线的定义.(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.1、在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是( ) A．点M B．点N C．点P D．点Q2、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝ S△PCD，则满足此条件的点P( )A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的平分线D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)三角形的角平分线如图，△ABC的角平分线BM， CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC， CA的距离相等.三角形得角平分线的交点到三边的距离相等，这个交点叫作三角形的内心.1 到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．以上均不对2 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则 S △ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________________.3 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.角的平分线的性质与判定定理的关系：(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上．性质判定定理。
2022秋八年级数学上册 第1章 全等三角形1.4用尺规作图作角平分线、垂线课件(新版)苏科版
全等三角形
1.4 用尺规作图作角平分线、垂线
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温馨提示：，已知∠ABC，用尺规作它的平分线． 如图②，步骤如下， 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA、BC 于点D、E； 第二步：分别以D、E为圆心，以b为半径画弧，两弧在 ∠ABC内部交于点P； 第三步：画射线BP.射线BP即为所求．
下列正确的是( B ) A．a、b均无限制 B．a＞0，b＞DE的长 C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，b＜DE的长
2 如图，用尺规作图作已知角∠AOB的平分线OC，其根据 是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是( B ) A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
3 如图，在△ABC中，AB＝AC.在AB、AC上分别截取 AP、AQ，使AP＝AQ.再分别以点P、Q为圆心，以 大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R， 作 射 线 AR， 交 BC于点 D.若 BC＝6 ，则 BD的长为
试回答下列问题： (1)在作图①中OC为什么是直线AB的垂线？
解：连接CH，CM，易知OH＝OM， CH＝CM，又∵CO是公共边， ∴△CHO≌△CMO， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴OC⊥AB. 即OC是直线AB的垂线．
(2)在作图②中，求证：直线m⊥AB.
证明：连接CE，CF，DE，DF. 由作图过程可得CE＝CF，DE＝DF， 又∵CD是公共边， ∴△CDE≌△CDF， ∴∠ECD＝∠FCD，即直线m平分∠ECF， 易得△COE≌△COF， ∴∠EOC＝∠FOC＝90°，∴直线m⊥AB.
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法有以下几种：
1. 三等分法：直接使用尺规作图，以角的顶点为圆心，任意取一个半径作圆，然后分别画两个弧交于圆上的两点，连接这两个点与角的顶点，即可得到角的平分线。
2. 比例法：利用角的平分线将整个角分为两部分，然后再将其中一部分再次平分，直到得到所需的比例。
具体步骤如下：取一条尺寸大于一半角的任意直线段AD，以D为圆心作一个尺规圆，交BC于E和F。
再从E和F分别画直线段连接圆心D，与角的两边交于G和H。
直线GH即为所求的角平分线。
3. 三辅圆法：与三等分法类似，利用尺规作图画三个辅助圆，然后通过相交弧来求解角的平分线。
具体步骤如下：以角的两边分别为半径，在空白纸上画两个圆，分别与角的两边相切，并且两个圆心在同一直线上。
再以角的顶点为圆心，画一个辅助圆与两个已知圆相切。
连接辅助圆上两个切点与角的顶点，即可得到角的平分线。
4. 辅助线法：在需要画角平分线的角内引入辅助线，然后利用已知条件来求解。
具体步骤根据具体情况而定，可以使用角的内切圆、垂直线、平行线等辅助线来求解角的平分线。
八年级数学上册 15.4 第1课时 角平分线的尺规作图学案(新版)沪科版
八年级数学上册 15.4 第1课时角平分线的尺规作图学案(新版)沪科版15、4 角的平分线第1课时角平分线的尺规作图【学习目标】1、会画已知角的平分线2、能通过逻辑推理验证所作图形是角平分线【学习重点】掌握尺规作已知角的平分线的作法【学习难点】从作图过程中找到已知条件，通过逻辑推理验证所作图形为角平分线【教学流程】学习流程（教学流程）学法指导（个性修改）指导：边作图边口述作图步骤和作法。
指导：倒推法进行分析，由问题入手倒推到已知条件。
一、新课导入：师：同学们，请大家观察我手中的三角形，如果我要将其中一个角分成两个相等的角，你有哪些方法？生：用量角器量、翻折、用直尺和圆规师：①本节课我们就学习用没有刻度的直尺和圆规画已知角的平分线（出示课题），这节课我们要掌握哪些知识呢？让我们一起来了解一下学习目标。
②若学生说不出用尺规作图,则这样引导:前面我们学习了用尺规作图的方法可以画一条线段等于已知线段,画一个角等于已经角,那么用尺规作图的方法可否画这个角的平分线呢?这就是我们今天要学习的内容、二、展示目标：（大家齐读一遍，教师解读目标）1、掌握尺规的基本作图三：画已知角的平分线2、能通过逻辑推理验证所作图形是角平分线过渡：为了达成学习目标，同时培养大家的学习能力，今天，我们的课堂要改变传统的方式，今天的课堂由同学们作主，同学们就是小老师，现在就请各个小组的同学按照老师提前分给你们的任务，进行对学、群学和预展，为展示做好充分的准备。
（是否要规定时间）三、学习导引：1、引出角平分线作法。
过渡：刚才的这一环节每个组的同学都表现得非常好，所以老师要给每个组加上满分4分，现在就有请PK小组决出胜负。
下面掌声有请第一个展示小组为大家展示“利用尺规如何作一个角的角平分线。
”师：刚才这位老师已经为我们展示了整个作图的过程，那么，我们可以把这个过程分成几步呢？生：多媒体演示作图过程，学生口述作法师：在第二步时为什么要取大于线段BC长的一半为半径画弧呢？生：充分思考，讨论交流，抽学生上台演示小于一半不能产生交点。
沪科8年级数学上册第15章4 角的平分线
知3－练
例 3 如图15.4-7，∠AOB＝30°，OE平分∠AOB，EF∥ OB，EC⊥OB于点C. 若EC＝ 6，则OF的长是( ) A. 6 B. 9 C. 3 D. 12
知3－练
解题秘方：作垂线，紧扣角平分线的性质和含 30°角的直角三角形的性质求解.
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
知2－练
解题秘方：根据作图可知BD＝BC，BF⊥CD，再结 合等腰三角形的性质求角度即可.
解：∵ AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－40°)＝70°. 由作图可知BD＝BC，BF⊥CD， ∴∠DBE＝∠EBC，∠BCD＝∠BDC＝70°， ∴∠DBC＝40°，∴∠DBE＝∠EBC＝2 0°. 答案：A
(1)尺规作图：作△ABC的角平分线 CD，与AB交于点D；(不要求写 作法，保留作图痕迹) 解：如图，线段CD即为所求.
(2)求∠ACB和∠ADC的度数. 解：∵∠A＝60°，∠B＝40°， ∴∠ACB＝180°－60°－40°＝80°. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝40°， ∴∠ADC＝180°－60°－40°＝80°.
知2－讲
2. 过直线外一点作已知直线的垂线 已知：直线l与直线外一点A， 如图15.4 - 4 . 求作：直线AB，使AB⊥l于点B.
过直线外一点作已知直线的垂线，其作法类 似于线段垂直平分线的尺规作图法.
知2－讲
作法：① 任意取一点K，使K和A在直线l的两旁； ②以点A为圆心，AK长为半径画弧，交 直线l于点M，N；
知4－练
4-1. [期末·淮南] 如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角 ∠ACM的平分线相交于点D，连接AD. 求证：AD是 △ABC的外角∠CAN的平分线.