垂直的性质定理

a
l

a
A
b
线线垂直
线面垂直
提出问题
问题 1. 在同一平面内，垂直于同一条
直线的两条直线互相平行。在空间中上述 结论还成立吗？
即：在空间中，垂直于同一条直线的两条
直线互相平行吗？
问题 2. 在空间中，垂直于同一平面的 两条直线平行吗？
D1 A1
C1 B1
a
D A
b
B
c
C
归纳猜想
如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。
理论迁移
练习:如图，已知 l , CA , 于点A，CB 于点B， a , a AB, 求证：a // l .
β B α l A a
C
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法 2、本题充分地体现了面面垂直与线面 垂直之间的相互转化关系。
√）
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直。
符号表示： 该命题正确吗？
b
b b

平面与平面垂直的性质定理
Ⅰ. 观察实验 ,则一个平 两个平面垂直 观察两垂直平面中,一 面内垂直于交线的直线 个平面内的直线与另 与另一个平面垂直 .
复习
1. 直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何 一条直线都垂直,则称这条直线和这个平 面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫 做直线的垂面.交点叫做垂足.
l
α A
2.直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 一相交两垂直
b a b A l la l b
P
A
C
B
练习：如图，已知SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC， 求证：AB⊥BC 证明：过点A作AD⊥SB于D， S ∵平面SAB⊥平面SBC， 平面SAB∩平面SBC=SB， ∴AD⊥平面SBC C A ∵BC 平面SBC
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC B ∴SA⊥BC “从已知想性质，从求证 ∵SA∩AD=A， 想判定”这是证明几何问 ∴BC⊥平面SAB 题的基本思维方法． ∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
例题讲解
例2 如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中， BD,BC′,DC′分别为三条面对角线，A′C为 一条体对角线。 求证：（1）A'C⊥BD;
A A'
D' B'
C'
D
B
C
Hale Waihona Puke Baidu
(2)A'C⊥平面DBC′
证明： (1)连接AC,在正方体ABCD-A'B'C'D'中
a b
α
总结提练
直线和平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。
a a / /b b
α
作用：证两条直线平行
a
b
性质定理的应用
判断下列命题的正误。 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行（
√
）
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（×） （3）平行于同一平面的两条直线互相平行（×） （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（
面面关系 面面平行 线面关系 线面平行 线线关系 线线平行
注意辅助线的作用
空间问题平面化
面面垂直
线面垂直 线线垂直
已知:平面α⊥平面β,α∩β＝l,则
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β （ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此 垂线必垂直于平面β（ ）
√
例1.如图，长方体ABCD A ' B ' C ' D '中，MN 在平面BCC ' B '内， MN BC于点M .判断MN 与AB的位置关系，并说明理由。
解： 平面BCC ' B ' 平面ABCD 平面BCC ' B ' 平面ABCD=BC
MN 平面BCC ' B '

MN BC
MN 平面ABCD
AB 平面ABCD

MN AB.
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
一个平面的有哪些位 符号表示： 置关系?


b
l
Ⅱ.概括结论
l bl
该命题正确吗？ b b b 简述为： b
面面垂直 线面垂直
垂直体系
线线垂直
判定 定义
线面垂直
判定
面面垂直
性质
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
AA'⊥平面ABCD,所以AA'⊥BD
又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD
又AA'∩AC=A,所以BD⊥平面A'AC,从而A'C⊥BD
(2)同理可证A'C ⊥DC',而BD∩DC'=D,
所以A'C⊥平面BDC'.
课堂小结
从已知想性质，从求证想判定 1、证题原则： 2、会利用“转化思想”解决垂直问题