人教版数学高二-课时作业第2课时条件结构
人教版数学高二选修2-2课时作业2.2直接证明与间接证明(2)
(限时：10分钟)1．欲证2－3＜6－7，只需证明( )A．(2－3)2＜(6－7)2B．(2－6)2＜(3－7)2C．(2＋7)2＜(6＋3)2D．(2－3－6)2＜(－7)2解析：由分析法知欲证2－3＜6－7，只需证2＋7＜3＋6，即证(2＋7)2＜(3＋6)2.答案：C2．要证明a＋a＋7＜a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A．综合法B．类比法C．分析法 D．归纳法解析：直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．答案：C3．函数f(x)＝ax＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是__________．解析：要使f(x)＝ax＋b在R上是减函数，只需f′(x)≤0在R上恒成立．因为f′(x)＝a，所以a≤0.又因为a＝0时f(x)＝b为常函数，故a＜0.答案：(－∞，0)4．若x∈[1,2]，x2＋a≥0恒成立，则a的取值范围是__________．解析：要使x2＋a≥0在x∈[1,2]上恒成立，只需a≥－x2在[1,2]上恒成立．令f(x)＝－x2，x∈[1,2]，所以－4≤f(x)≤－1，故a≥－1.答案：[－1，＋∞)5．当a≥2时，求证a＋1－a＜a－1－a－2.证明：要证a＋1－a＜a－1－a－2，只需证a＋1＋a－2＜a＋a－1，只需证(a＋1＋a－2)2＜(a＋a－1)2，只需证a＋1a－2＜a a－1，只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)，只需证－2＜0，而－2＜0显然成立，所以a＋1－a＜a－1－a－2成立．(限时：30分钟)1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了( ) A．分析法 B．综合法C．综合法、分析法综合使用 D．间接证法解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．答案：B2．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，那么P，Q，R的大小关系是( )A．P＞Q＞R B．P＞R＞QC．Q＞P＞R D．Q＞R＞P解析：先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(3＋6)．又(7＋2)2－(3＋6)2＝214－218＜0，∴Q＜R，由排除法可知，选B.答案：B3．要证3a－3b＜3a－b成立，a，b应满足的条件是( )A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0有a＜bD．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b解析：要证3a－3b＜3a－b，只需证(3a－3b)3＜(3a－b)3，即证a－b－33a2b＋33ab2＜a－b，即证3ab2＜3a2b，只需证ab2＜a2b，即证ab(b－a)＜0.只需ab＞0且b－a＜0或ab＜0，且b－a＞0.故选D.答案：D4．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，则P与Q的大小关系是( )A．P＞Q B．P≥QC．P＜Q D．P≤Q解析：要比较P，Q的大小，只需比较P－Q与0的关系．因为P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a ＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2，又a，b，c不全相等，所以P－Q＞0，即P＞Q.答案：A5．下列不等式不成立的是( )A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.a＋b＞a＋b(a＞0，b＞0)C.a－a－1＜a－2－a－3(a≥3)D.2＋10＞2 6解析：对A，因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对B，因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，所以a＋b＞a＋b；对C，要证a－a－1＜a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3＜a－2＋a－1，两边平方得2a－3＋2a a－3＜2a－3＋2a－2a－1，即证a a－3＜a－2a－1，两边平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)＜0，所以2＋10＜26，故D错误．答案：D6．如果a a＋b b＞a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是__________．解析：a a＋b b＞a b＋b a⇔a a－a b＞b a－b b⇔a(a－b)＞b(a－b)⇔(a －b)(a－b)＞0⇔(a＋b)(a－b)2＞0，只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≠b且a≥0，b≥07．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为__________．解析：根据条件可知，欲求1a ＋1b ＋1c的最小值．只需求(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 的最小值，因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a ＝b＝c 时取“＝”)．答案：98．如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足__________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C . 因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ， 即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C . 答案：AC ⊥BD (答案不唯一)9．若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(a ·b ·c )，即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc .因为a ，b ，c 为不全相等的正数， 所以a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，c ＋a2≥ac ＞0，且上述三式中等号不能同时成立， 所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立，所以lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c 成立．10．求证：2cos(α－β)－sin2α－βsin α＝sin βsin α.证明：要证原等式，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，① 因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α] ＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β.所以①成立，所以原等式成立．11．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.证明：要证12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，只需证12(tan x 1＋tan x 2)＞tan x 1＋x 22，只需证12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2＞sin x 1＋x 21＋cos x 1＋x 2(“化切为弦”)， 只需证sin x 1＋x 22cos x 1cos x 2＞sin x 1＋x 21＋cos x 1＋x 2，只需证sin x 1＋x 2cosx 1＋x 2＋cos x 1－x 2＞sin x 1＋x 21＋cos x 1＋x 2，只需证明0＜cos(x 1－x 2)＜1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且x 1≠x 2可知0＜cos(x 1－x 2)＜1成立． 所以12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.。
人教版数学高二-课时作业 2-1第2课时 数列的通项公式与递推公式
第2章 2.1 第2课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝12nC ．a n ＝12n －1D ．a n ＝1n2解析： a 1＝1，a 2＝12，a 3＝14，a 4＝18，观察得a n ＝12n －1.答案： C2．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝nn ＋1a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 解析： 由a 1>0，且a n ＋1＝nn ＋1a n ， 则a n >0，又a n ＋1a n ＝nn ＋1<1，∴a n ＋1<a n .因此数列{a n }为递减数列． 答案： B3．由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，可知数列{a n }的第34项是( )A.34103 B ．100 C.1100D.1104解析： 由a 1＝1，及a 2＝a 13a 1＋1＝14，可得a 3＝17，a 4＝110，…，a n ＝13n －2，因此a 34＝13×34－2＝1100.答案： C4．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n >2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.6116 B.259 C.2519D.3115解析： ∵a 1·a 2·…·a n ＝n 2， ∴a 1·a 2·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＝94，a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝6116.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________；a 2 014＝________.解析： 依题意得a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.故分别填1,0. 答案： 1 06．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．解析： 若a 5为奇数，则3a 5＋1＝1，a 5＝0(舍去)． 若a 5为偶数，则a 52＝1，a 5＝2.若a 4为奇数，则3a 4＋1＝2，a 4＝13(舍去)．若a 4为偶数，则a 42＝2，a 4＝4.若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1，则a 2＝2，a 1＝4. 若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8.若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去)．若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5. 若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32.故填4,5,32. 【答案】 4,5,32三、解答题(每小题10分，共20分)7．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0. (1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式；(3)实数199是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？解析： (1)由已知可得a 1＝1，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19.(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1,3,5,7,9，…，所以它的一个通项公式为a n ＝12n －1.(3)令199＝12n －1，可解得n ＝50.故199是这个数列的第50项． 8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1(n ≥2)，记n ！＝1×2×3×…×n ，求数列{a n }的通项公式．解析： 由已知得：a n ＝a 1＋2a 2＋…＋(n －2)a n －2＋(n －1)·a n －1(n ≥2)， a n －1＝a 1＋2a 2＋…＋(n －2)a n －2(n ≥3)． 以上两式相减得：a n －a n －1＝(n －1)a n －1(n ≥3)， ∴a n ＝n ·a n －1，即a na n －1＝n (n ≥3)，∴a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝3×4×5×…×(n －1)·n ， ∴a n a 2＝n ！2(n ≥3)． 又∵a 1＝1，a 2＝a 1＝1，∴a n ＝n ！2(n ≥2)． ∴a n＝⎩⎨⎧1 (n ＝1)n ！2 (n ≥2).尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n >2)．通过公式b n ＝a n ＋1a n构造一个新数列{b n }，试写出数列{b n }的前5项，你能说出这个数列的特点吗？解析： 数列{b n }是由数列{a n }构造生成的，由a 1，a 2的值和递推公式先算出数列{a n }的前6项，再根据公式b n ＝a n ＋1a n算出数列{b n }的前5项．∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n >2)，∴a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝8， a 6＝a 5＋a 4＝13，即数列{a n }的前6项是1,2,3,5,8,13， 又b n ＝a n ＋1a n，∴数列{b n }的前5项是2，32，53，85，138.数列{b n }的特点是：数列{b n }的前n 项的乘积是a n ＋1. 这是因为b 1·b 2·b 3·…·b n ＝a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1·a n ＋1a n＝a n ＋1.也可以是：前项的分子是后项的分母，前项分子与分母之和是后项的分子.。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.1.2演绎推理 Word版含解析
2.1.2 演绎推理明目标、知重点1．理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．1．演绎推理含义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理2.三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P情境导学]小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中．由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财．但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？探究点一演绎推理与三段论思考1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B ＝180°.答问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．思考2 演绎推理有什么特点？答演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．思考3 演绎推理的结论一定正确吗？答在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．思考4 演绎推理一般是怎样的模式？答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．解(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提∠A＝∠B. 结论(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式：(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；(3)y＝sin x(x∈R)是周期函数．解(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，小前提△ABC 是直角三角形． 结论 (2)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线， 大前提 函数y ＝2x ＋5是一次函数， 小前提 函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线． 结论 (3)三角函数是周期函数，大前提 y ＝sin x (x ∈R )是三角函数， 小前提 y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．结论探究点二 三段论推理中的易错点例2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)整数是自然数， 大前提 －3是整数， 小前提 －3是自然数．结论 (2)常函数的导函数为0， 大前提 函数f (x )的导函数为0，小前提 f (x )为常函数．结论 (3)无限不循环小数是无理数， 大前提 13(0.333 33…)是无限不循环小数， 小前提 13是无理数．结论解 (1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误.13(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数．反思与感悟 演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确． 跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提 北京大学是中国的大学，小前提 所以北京大学分布在中国各地．结论(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提 所以菱形是正多边形．结论解 (1)推理形式错误．大前提中的M 是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M 虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形． 探究点三 三段论的应用例3 如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到点D ，E 的距离相等．证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°， 小前提 所以△ABD 是直角三角形．结论同理，△AEB 也是直角三角形．(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 大前提 因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线， 小前提 所以DM ＝12AB .结论同理EM ＝12AB .所以DM ＝EM .反思与感悟 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如图所示，求证：EF ∥平面BCD .证明 三角形的中位线平行于底边，大前提 点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，小前提 所以EF ∥BD .结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提 EF ∥平面BCD .结论1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式答案 A解析 A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y＝log 13x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误 答案 A解析 y ＝log a x 是增函数错误．故大前提错．3．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________； 小前提：____________； 结论：____________.答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y ＝x 2＋x ＋1是二次函数 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线4.如图，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >BCD .证明：在△ABC 中， 因为CD ⊥AB ，AC >BC ， ① 所以AD >BD, ② 于是∠ACD >∠BCD .③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)答案③解析由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．呈重点、现规律]1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.一、基础过关1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤答案 D解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．2．下列说法不正确的是( )A．演绎推理是由一般到特殊的推理B．赋值法是演绎推理C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D．归纳推理的结论都不可靠答案 D3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( ) A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B解析利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形；小前提：四边形ABCD是矩形；结论：四边形ABCD的对角线相等．5．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)则直线b∥直线a.(结论)那么这个推理是( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案 A6．下列几种推理过程是演绎推理的是( )A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图答案 A7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.证明因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．二、能力提升8．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是__________________．答案 y ＝log 2x －2的定义域是4，＋∞) 解析 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4.9．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；②若l ⊥α，m ⊥β且l ∥m ，则α∥β； ③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α. 其中正确的命题个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与n 相交时才成立，③错误；④正确．故选B.10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是______(写出所有凸集相应图形的序号)． 答案 ②③11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．证明 大前提：若函数y ＝f (x )对于定义域内的任意一个x 值满足f (x ＋T )＝f (x )(T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期．小前提：f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝f (x )． 结论：函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．设a >0，f (x )＝e xa ＋ae x 是R 上的偶函数，求a 的值．解 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴(a －1a )(e x－1e x )＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a＝0，即a 2＝1.又a >0， ∴a ＝1. 三、探究与拓展13．设f (x )＝a x ＋a －x2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0且a ≠1)．(1)5＝2＋3请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． 解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32×a 2－a －22＋a 3－a －32×a 2＋a －22＝a 5－a －52又g (5)＝a 5－a －52，因此，g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)， 即g (2＋3)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)， 于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )． 证明：因为f (x )＝a x ＋a －x2，g (x )＝a x －a －x2，(大前提)所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2，g (y )＝a y －a －y2，f (y )＝a y ＋a －y2，(小前提及结论)所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2×a y －a －y 2＋a x －a －x 2×a y ＋a －y2＝a x ＋y －a －x ＋y2＝g (x ＋y ).。
人教版高中数学高二选修2-2课时作业2-2直接证明与间接证明
课时作业8 直接证明与间接证明一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．等价条件由分析法定义知选A . 故应选A. A2．若f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，n ∈N *，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系为( )A ．f (n )＜g (n )＜φ(n )B ．f (n )＜φ(n )＜g (n )C ．g (n )＜φ(n )＜f (n )D ．g (n )＜f (n )＜φ(n )方法一：f (n )，g (n )可用分子有理化进行变形，然后与φ(n )进行比较．f (n )＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝1n ＋n 2－1>12n，∴f (n )<φ(n )<g (n )．方法二：特殊值法．取n ＝1，则f (1)＝2－1，g (1)＝1， φ(1)＝12.故应选B. B3．已知|x |<1，|y |<1，下列各式成立的是( )A ．|x ＋y |＋|x －y |≥2B ．x ＝yC ．xy ＋1>x ＋yD ．|x |＝|y |令x ＝y ＝12知A 错，令x ＝12，y ＝13知B 错，D 错．对C ：xy＋1－x －y ＝x (y －1)＋(1－y )＝(x －1)(y －1)，∵|x |<1，|y |<1，∴x <1，y <1，∴x －1<0，y －1<0，∴(x －1)(y －1)>0， ∴xy ＋1>x ＋y . 故应选C. C4．已知f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )<g (x )D ．f (x )，g (x )的大小关系不确定f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， ∴f (x )>g (x )． 故应选A. A5．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°“至少有一个不”的否定是“都”．故应选B.B6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．故应选C.C7．已知α∩β＝l，a⊆α，b⊆β，若a，b为异面直线，则() A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交逐一从假设选择项成立入手分析，易得B是正确选项．故应选B.B8．若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集是()A．{x|－3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜－3或0＜x＜3}C．{x|x＜－3或x＞3}D．{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}画一个符合题意的函数的草图，如图，知选D.故应选D.D二、填空题9．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________．“至多一个”的否定是“至少两个”，∴否定为：三角形中至少有两个内角是直角．三角形中至少有两个内角是直角10．设a＝2，b＝7－3，c＝6－ 2.则a，b，c的大小关系是________．若比较b与c的大小，只需比较7＋2与3＋6的大小，只需比较(7＋2)2与(3＋6)2的大小，即比较14与18的大小，显然14<18，从而7－3<6－2，即b <c ，类似可得a >c ，∴a >c >b . a >b >c11．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．由空间中的垂直关系知：对角线互相垂直． BD ⊥AC12．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确的序号是________． 当x 1＝1，x 2＝10时，f (x 1＋x 2)＝lg(x 1＋x 2)＝lg11>1.f (x 1)·f (x 2)＝lg x 1·lg x 2＝lg1·lg10＝0.所以f (x 1＋x 2)≠f (x 1)·f (x 2)，故①错误；根据对数运算法则，lg(x 1·x 2)＝lg x 1＋lg x 2，即f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，故②正确；因为f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上单调递增，所以x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)；x 1>x 2时，f (x 1)>f (x 2)．所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同正负，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，故③正确；令x 1＝1，x 2＝10，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22＝lg 112，而f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1＋lg x 22＝12， 又因为lg 112>lg 10＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2，故④错误． ②③ 三、解答题13．如果3sin β＝sin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝2tan α. ∵3sin β＝sin(2α＋β)，∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，∴3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，两边同除以cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝2tan α. 14．已知a ，b ，c ∈R *，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋c b －1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋c c －1 ＝b ＋c a · a ＋c b · a ＋b c ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．15．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a ＞1)．用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证法一：假设存在x 0＜0(x 0≠－1)， 满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0＜ax 0＜1，∴0＜－x 0－2x 0＋1＜1，即12＜x 0＜2.与假设x 0＜0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．证法二：假设存在x 0＜0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0， (1)若－1＜x 0＜0，则x 0－2x 0＋1＜－2，ax 0＜1.∴f (x 0)＜－1，与f (x 0)＝0矛盾； (2)若x 0＜－1，则x 0－2x 0＋1＞0，ax 0＞0，∴f (x 0)＞0，与f (x 0)＝0矛盾． 故方程f (x )＝0没有负数根．16．如图，已知P 是△ABC 所在平面外一点，PA ，PB ，PC 两两垂直，PH ⊥平面ABC 于H .求证：1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝1PH2.连结CH 并延长交AB 于D ，连结PD .∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，根据直线和平面垂直的判定定理有PC⊥平面PAB. 又∵AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB.又PH⊥平面ABC，∴PH⊥AB.∴AB⊥平面PCH，∴PD⊥AB.又∵PA⊥PB，根据三角形面积公式有PA·PB＝PD·AB.∴1 PD ＝AB PA·PB，∴1 PD2＝AB2 PA2·PB2.又∵AB2＝PA2＋PB2，∴1 PD2＝1PA2＋1PB2.同理1PH2＝1PC2＋1PD2.∴1 PA2＋1PB2＋1PC2＝1PH2.。
(人教版新课标)高中数学必修2所有课时练习(含答案可编辑)
第一章空间几何体课时作业（一）棱柱、棱锥、棱台的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是()A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥答案： B2．下列说法中正确的是()①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④解析：因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱，有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故选A.答案： A3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10解析：正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D.答案： D4.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．答案：三棱锥(也可答四面体)6．下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．解析：棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.答案：①②④⑤三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)如图所示的几何体是不是棱台？为什么？(2)如图所示的几何体是不是锥体？为什么？解析：(1)①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台；虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台．只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．(2)都不是．棱锥定义中要求各侧面有一个公共顶点．图①中侧面ABC与CDE没有公共顶点，故该几何体不是锥体；图②中侧面ABE与面CDF没有公共点，故该几何体不是锥体．8．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．解析：(1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确．五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．尖子生题库☆☆☆9．(10分)在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解析：如图，连接A1B，BC1，A1C，则三棱柱ABC－A1B1C1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.课时作业（二）圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列四种说法①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④解析：①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．故选D.答案： D2．下图是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析：该组合体上部是圆锥，下部是圆台，由旋转体定义知，上部由直角三角形的直角边为轴旋转形成，下部由直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成．故选A.答案： A3.如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是()A．梯形、正方形B．圆台、正方形C．圆台、圆柱D．梯形、圆柱解析：空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A、B、D.答案： C4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形解析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．有下列说法：①与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆面．其中正确说法的个数为________．解析：命题①②都对，命题③中一个平面与球相交，其截面是一个圆面，③对．答案： 36．下面几何体的截面一定是圆面的是________．(填正确序号)①圆柱②圆锥③球④圆台答案：③三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．解析：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：8．如图所示的几何体是否为台体？为什么？尖子生题库☆☆☆9．(10分)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解析：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底一半O1A＝2 cm，下底一半OB＝5 cm.又因为腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.课时作业（三） 中心投影与平行投影空间几何体的三视图姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列说法正确的是( ) A ．矩形的平行投影一定是矩形 B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的平行投影可能平行D ．若一条线段的平行投影是一条线段，则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点 解析： 对于A ，矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形，主要与矩形的放置及投影面的位置有关；同理，对于B ，梯形的平行投影可以是梯形或线段；对于C ，平行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线；D 正确。
高二数学 课时作业 新人教A版选修2_1
高二数学课时作业新人教A版选修2_1课时作业1命题课时作业2四种命题间的相互关系课时作业3充分条件与必要条件课时作业4且或非课时作业5全称量词存在量词含有一个量词的命题的否定课时作业6曲线与方程求曲线的方程课时作业7椭圆及其标准方程课时作业8椭圆的简单几何性质课时作业9直线与椭圆的位置关系课时作业10双曲线及其标准方程课时作业11双曲线的简单几何性质课时作业12抛物线及其标准方程课时作业13抛物线的简单几何性质课时作业14空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算课时作业15空间向量的数量积运算课时作业16空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业17空间向量运算的坐标表示课时作业18空间向量与平行垂直关系课时作业19利用空间向量求角和距离课时作业1 命 题|基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列语句不是命题的有( )①若a >b ,b >c ,则a >c ；②x >2；③3<4；④函数y ＝a x (a >0,且a ≠1)在R 上是增函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①③是可以判断真假的陈述句,是命题；②④不能判断真假,不是命题． 答案：C2．(陕西高考)设z 是复数,则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0,则z 是实数B ．若z 2<0,则z 是虚数C ．若z 是虚数,则z 2≥0D ．若z 是纯虚数,则z 2<0解析：实数可以比较大小,而虚数不能比较大小,设z ＝a ＋b i(a ,b ∈R ),则z 2＝a 2－b 2＋2ab i,由z 2≥0,得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a 2－b 2≥0，则b ＝0,故选项A 为真,同理选项B 为真；而选项C 为假,选项D 为真．答案：C3．已知a ,b 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则a ⊥α,b ⊥β, 则下列命题中,假命题是( )A ．若a ∥b ,则α∥βB ．若α⊥β,则a ⊥bC ．若a ,b 相交,则α,β相交D ．若α,β相交,则a ,b 相交解析：由已知a ⊥α,b ⊥β,若α,β相交,a ,b 有可能异面．答案：D4．命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是( )A ．这个四边形的对角线互相平分B ．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直D．这个四边形是平行四边形解析：把命题改写成“若p,则q”的形式后可知C正确．故选C.答案：C5．已知下列命题：(1)已知平面向量a,b,若a·b＝0,则a⊥b；(2)已知平面向量a,b,若a∥b,则a＝λb(λ∈R)；(3)若两个平面同时垂直于一条直线,则这两个平面平行；(4)若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同,则该几何体是正方体．其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：对于(1),当a,b中有一个为零向量时,a⊥b不成立,故(1)是假命题；对于(2),当b＝0,a≠0时,a＝λb不成立,故(2)是假命题；(3)为真命题；对于(4),几何体还可以是球,故(4)为假命题．故选A.答案：A二、填空题(每小题5分,共15分)6．下列语句中是命题的有________(写出序号),其中是真命题的有________(写出序号)．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ABC中,若∠A＝∠B,则sin A＝sin B；⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题；②是假命题,0既不是正数也不是负数；③是假命题,没有考虑在同一个三角形内；④是真命题；⑤祈使句,不是命题．答案：②③④④7．给出下面三个命题：①函数y＝tan x在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③若a>b>1,则0<log a b<1.其中是真命题的是________．(填序号)解析：①是假命题,反例：x＝2π＋π6和x＝π4,tan⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝33,tanπ4＝1,2π＋π6>π4,但tan⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6<tanπ4.②是假命题,反例：y＝1x是奇函数,但其图象不过原点．③是真命题,由对数函数的图象及单调性可知是真命题．答案：③8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________．解析：∵ax2－2ax－3>0不成立,∴ax2－2ax－3≤0恒成立．当a＝0时,－3≤0恒成立；当a≠0时,则有⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a<0.综上,－3≤a≤0.答案：[－3,0]三、解答题(每小题10分,共20分)9．判断下列语句是否为命题,并说明理由．(1)若平面四边形的边都相等,则它是菱形；(2)任何集合都是它自己的子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解析：(1)是陈述句,能判断真假,是命题．(2)是陈述句,能判断真假,是命题．(3)不是陈述句,不是命题．(4)是陈述句,但不能判断真假,不是命题．10．判断下列命题的真假：(1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N,则x3>x2成立；(3)若m>1,则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．解析：(1)假命题．反例：1≠4,5≠2,而1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x＝0时,x3>x2不成立．(3)真命题．因为m>1⇒Δ＝4－4m<0,所以方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆,即任何三角形都有外接圆． |能力提升|(20分钟,40分)11．给出下列三个命题①若a ≥b >－1,则a 1＋a ≥b 1＋b； ②若正整数m 和n 满足m ≤n ,则 m (n －m )≤n 2； ③设P 1(x 1,y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点,圆O 2以Q (a ,b )为圆心且半径为1,当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时,圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①因为a ≥b >－1,所以a ＋1≥b ＋1>0. 所以a 1＋a －b 1＋b ＝a －b (1＋a )(1＋b )≥0, 所以a 1＋a ≥b 1＋b.故①为真命题． ②因为正整数m ,n 满足m ≤n ,有m >0,n －m ≥0, 所以m (n －m )≤m ＋(n －m )2＝n 2. 故②为真命题．③的实质是点P 1(x 1,y 1)在⊙O 1上,又P 1(x 1,y 1)也在⊙O 2上,但两圆相交于点P 1并不能保证两圆相切．故③为假命题．答案：B12．命题“若x ∈R ,则x 2＋(a －1)x ＋1≥0恒成立”是真命题,则实数a 的取值范围为________．解析：要使x 2＋(a －1)x ＋1≥0恒成立,则有Δ＝(a －1)2－4≤0,解得－1≤a ≤3.答案：[－1,3]13．判断下列命题的真假,并说明理由：(1)函数y ＝a x 是指数函数；(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2有唯一解．解析：(1)当a>0且a≠1时,函数y＝a x是指数函数,所以是假命题．(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2即(a－1)x＝1,当a＝1时,方程无解；当a≠1时,方程有唯一解,所以是假命题．14．将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假．(1)6是12和18的公约数；(2)当a>－1时,方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x,y为非零自然数,当y－x＝2时,y＝4,x＝2.解析：(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题．(2)若a>－1,则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根,是假命题．(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题．(4)已知x,y为非零自然数,若y－x＝2,则y＝4,x＝2,是假命题．课时作业2 四种命题四种命题间的相互关系|基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．命题“若p,则綈q”的逆命题是( )A．若綈q,则p B．若綈p,则綈qC．若綈q,则綈p D．若p,则綈q解析：命题“若p,则綈q”中,p是条件,綈q是结论,将原命题的条件和结论互换即得逆命题“若綈q,则p”．答案：A2．命题“若|a|＝|b|,则a＝b”及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．4解析：原命题是假命题,则逆否命题也是假命题．逆命题：若a＝b,则|a|＝|b|,是真命题．因此否命题也是真命题．所以四个命题中真命题的个数为2.答案：C3．与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是( )A．能被3整除的整数,一定能被6整除B．不能被3整除的整数,一定不能被6整除C．不能被6整除的整数,一定不能被3整除D．不能被6整除的整数,能被3整除解析：即写命题“若一个整数能被6整除,则一定能被3整除”的逆否命题．答案：B4．若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是( )A．互逆命题 B．互否命题C．互为逆否命题 D．以上都不正确解析：设p为“若A,则B”,那么q为“若綈A,则綈B”,r为“若綈B,则綈A”．故q 与r为互逆命题．答案：A5．原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|＝|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A．真,假,真 B．假,假,真C．真,真,假 D．假,假,假解析：因为原命题为真,所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|,当z1＝1,z2＝－1时,这两个复数不是共轭复数,所以原命题的逆命题是假的,故否命题也是假的．故选B.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形；②若一个四边形对角互补,则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”,再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：②和④,③和⑥①和⑥,②和⑤①和③,④和⑤7．给出以下命题：①“正多边形都相似”的逆命题；②“若m >0,则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．解析：①逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边形”,是假命题． ②因为Δ＝1＋4m ,若m >0,则Δ>0,所以x 2＋x －m ＝0有实根,即原命题为真命题,所以逆否命题也为真命题．答案：②8．已知命题“若m －1<x <m ＋1,则1<x <2”的逆命题为真命题,则m 的取值范围是________．解析：由已知得,若1<x <2成立,则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.答案：[1,2]三、解答题(每小题10分,共20分)9．写出命题“末位数字是偶数的整数能被2整除”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假．解析：因为原命题是：“若一个整数的末位数字是偶数,则它能被2整除”．所以逆命题：若一个整数能被2整除,则它的末位数字是偶数,真命题．否命题：若一个整数的末位数字不是偶数,则它不能被2整除,真命题．逆否命题：若一个整数不能被2整除,则它的末位数字不是偶数,真命题．10．写出命题：“若x －2＋(y ＋1)2＝0,则x ＝2且y ＝－1”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假．解析：逆命题：若x ＝2且y ＝－1,则x －2＋(y ＋1)2＝0,真命题； 否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0,则x ≠2或y ≠－1,因为逆命题为真,所以否命题为真；逆否命题：若x ≠2或y ≠－1, 则x －2＋(y ＋1)2≠0,显然原命题为真命题,所以逆否命题为真命题． |能力提升|(20分钟,40分)11．命题“设a ,b ,c ∈R ,若a >b ,则ac 2>bc 2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有( )A ．0个B ．1个C．2个 D．4个解析：若c＝0,则ac2>bc2不成立,故原命题为假命题．由等价命题同真同假,知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”为真命题,由等价命题同真同假,知原命题的否命题也为真命题,所以共有2个真命题,故选C.答案：C12．在原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A∩B≠A,则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B,则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A,则A∪B＝B”；全为真命题．答案：413．设M是一个命题,它的结论是q：x1,x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根,M的逆否命题的结论是綈p：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.(1)写出M；(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题．解析：(1)设命题M表述为：若p,则q,那么由题意知其中的结论q为：x1,x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．而条件p的否定形式綈p为：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3,故綈p的否定形式即p为：x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.所以命题M为：若x1＋x2＝－2且x1x2＝－3,则x1,x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．(2)M的逆命题为：若x1,x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根,则x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.逆否命题为：若x1,x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根,则x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.否命题为：若x1＋x2≠－2或x1x2≠－3,则x1,x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根．14．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0,则a≠2b＋1.证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0,则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1,则a2－4b2－2a＋1＝0”．因为a＝2b＋1,所以a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0, 所以命题“若a＝2b＋1,则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确．课时作业3 充分条件与必要条件充要条件|基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．设φ∈R,则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时,函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数,而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时,φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．答案：A2．设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )A．丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙D⇒/丙,如图．综上,有丙⇒甲,但甲D⇒/丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件．答案：A3．已知：p：1x－2≥1.q：|x－a|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )A．(2,3] B．[2,3]C．(2,3) D．(－∞,3]解析：p ：1x －2≥1⇔2<x ≤3, q ：|x －a |<1⇔a －1<x <a ＋1,因为p 是q 的充分不必要条件,所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤2，a ＋1>3，解得2<a ≤3.故选A.答案：A4．已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若直线a ,b 相交,设交点为P ,则P ∈α,P ∈b . 又a ⊂α,b ⊂β,所以P ∈α,P ∈β,故α,β相交．反之,若α,β相交,则a ,b 可能相交,也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．答案：A5．设a ,b 都是非零向量,下列四个条件中,使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：对于A,当a ＝－b 时,a |a |≠b |b |；对于B,注意当a ∥b 时,a |a |与b|b |可能不相等；对于C ,当a ＝2b 时,a |a |＝2b |2b |＝b |b |；对于D,当a ∥b ,且|a |＝|b |时,可能有a ＝－b ,此时a |a |≠b |b |.综上所述,使a |a |＝b|b |成立的充分条件是a ＝2b . 答案：C二、填空题(每小题5分,共15分)6．下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件；②b 2－4ac <0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0解集为R 的充要条件；③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件；④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为____________．解析：①x >2且y >3时,x ＋y >5成立,反之不一定,如x ＝0,y ＝6. 所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件；②不等式解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0,故②为假命题； ③当a ＝2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则a 1＝21,∴a ＝2.因此,“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0,∴xy ＝1且x >0,y >0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立,xy ＝1必成立,反之不然．因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．综上可知,真命题是④.答案：④7．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件,s 是r 的必要条件,q 是r 的充分条件,q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件 ②p 是q 的充分条件而不是必要条件 ③r 是q 的必要条件而不是充分条件 ④r 是s 的充分条件而不是必要条件则正确命题序号是________．解析：由p 是r 的充分条件而不是必要条件,可得p ⇒r ,由s 是r 的必要条件可得r ⇒s ,由q 是r 的充分条件得q ⇒r ,由q 是s 的必要条件可得s ⇒q ,故可得推出关系如图所示：据此可判断命题①②正确．答案：①②8．条件p ：1－x <0,条件q ：x >a ,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________． 解析：p ：x >1,若p 是q 的充分不必要条件,则p ⇒q ,但q D ⇒/p ,也就是说,p 对应集合是q 对应集合的真子集,所以a <1.答案：(－∞,1)三、解答题(每小题10分,共20分)9．下列各题中,判断p 是q 的什么条件．(1)p ：|x |＝|y |,q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形,q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分,q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.解析：(1)因为|x |＝|y |D x ＝y ,但x ＝y ⇒|x |＝|y |,所以p 是q 的必要条件,但不是充分条件．(2)因为△ABC 是直角三角形D⇒△ABC 是等腰三角形,△ABC 是等腰三角形D ⇒△ABC 是直角三角形, 所以p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件． (3)因为四边形的对角线互相平分D⇒四边形是矩形, 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分,所以p 是q 的必要条件,但不是充分条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ,即r ＝|c |a 2＋b 2, 所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来,若c 2＝(a 2＋b 2)r 2,则|c |a 2＋b 2＝r 成立, 说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ,即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,故p 是q 的充要条件．10．已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0),q ：实数x 满足x 2－6x ＋8>0,若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围．解析：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0,a >0}＝{x |a <x <3a ,a >0}, B ＝{x |x 2－6x ＋8>0}＝{x |x >4或x <2}．∵p 是q 的充分不必要条件,∴AB . 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥4，a >0或⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≤2，a >0，解得a ≥4或0<a ≤23. 故实数a 的取值范围是{a |a ≥4或0<a ≤23}． |能力提升|(20分钟,40分)11．不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要而不充分条件是( )A ．a <1B ．a <0C ．0<a <1D ．a ≤1解析：要使不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空,当a ＝0时,不等式为－2x ＋1<0,其解集为x >12；当a >0时,Δ＝4－4a >0,即0<a <1；当a <0时,满足不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空．所以不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的充要条件为a <1.所以不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要而不充分条件应该比a <1的范围大． 故选D.答案：D12．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1,则a 的取值范围是________．解析：根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系,应有(－2,－1){x |(a ＋x )(1＋x )<0},故有a >2.答案：(2,＋∞)13．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0,且a ≠1)有意义,q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真,求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围．解析：(1)因为命题p 为真,则对数的真数－2t 2＋7t －5>0,解得1<t <52. 所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为命题p 是q的充分条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪ 1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2,所以只需a ＋2≥52,解得a ≥12. 则实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 14．设x ,y ∈R ,求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明：充分性：如果xy ≥0,则有xy ＝0和xy >0两种情况,当xy ＝0时,不妨设x ＝0,得|x ＋y |＝|y |,|x |＋|y |＝|y |,所以等式成立．当xy >0,即x >0,y >0或x <0,y <0.又当x >0,y >0时,|x ＋y |＝x ＋y ,|x |＋|y |＝x ＋y ,所以等式成立．当x <0,y <0时,|x ＋y |＝－(x ＋y ),|x |＋|y |＝－x －y ＝－(x ＋y ),所以等式成立,总之,当xy ≥0时,|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ,y ∈R ,得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2,即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |,所以|xy |＝xy ,所以xy ≥0.综上可知,“xy ≥0”是“等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立”的充要条件． 课时作业4 且(and) 或(or) 非(not)|基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．若命题“p 且q ”为假,且綈p 为假,则( )A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．p 假解析：綈p 为假,则p 为真,而p ∧q 为假,得q 为假．答案：B2．已知p ：|x －1|≥2,q ：x ∈Z ,若p ∧q ,綈q 同时为假命题,则满足条件的x 的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3,x ∉Z }B ．{x |－1≤x ≤3,x ∉Z }C ．{x |x <－1或x ∈Z }D ．{x |－1<x <3,x ∈Z }解析：由p ∧q ,綈q 同时为假,可知p 假,q 真,由|x －1|≥2可得x ≥3或x ≤－1,而p为假q 为真,所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <3，x ∈Z ，即{x |－1<x <3,x ∈Z }．故选D .答案：D3．设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p ：若a ·b ＝0,b ·c ＝0,则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：对于命题p ：因为a ·b ＝0,b ·c ＝0,所以a ,b 与b ,c 的夹角都为90°,但a ,c 的夹角可以为0°或180°,故a ·c ≠0,所以命题p 是假命题；对于命题q ：a ∥b ,b ∥c 说明a ,b 与b ,c 都共线,可以得到a ,c 的方向相同或相反,故a ∥c ,所以命题q 是真命题．则p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,綈p 是真命题,綈q 是假命题,所以(綈p )∧(綈q )是假命题,p ∨(綈q )是假命题,故选A.答案：A4．在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲没降落在指定范围”或“乙没降落在指定范围”,应表示为(綈p )∨(綈q )．故选A.答案：A5．已知p ：函数y ＝sin 12x 的最小正周期是π,q ：函数y ＝tan x 的图象关于直线x ＝π2对称,则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：很明显p 和q 均是假命题,所以綈q 为真,p ∧q 为假,p ∨q 为假,故选C.答案：C二、填空题(每小题5分,共15分)6．命题“若a <b ,则2a <2b ”的否命题是________,命题的否定是________．解析：命题“若p ,则q ”的否命题是“若綈p ,则綈q ”,命题的否定是“若p ,则綈q ”． 答案：若a ≥b ,则2a ≥2b 若a <b ,则2a ≥2b .7．已知命题p ：x ＝π是y ＝|sin x |的一条对称轴,q ：2π是y ＝|sin x |的最小正周期．下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的序号是________．解析：因为y ＝|sin x |的周期为T ＝π,且对称轴为x ＝k π2(k ∈Z ),所以x＝π是y＝|sin x|的一条对称轴,故p真q假．所以p∨q为真,綈q为真,p∧q为假,綈p为假,故①④为真命题．答案：①④8．已知条件p：(x＋1)2>4,条件q：x>a,且綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围是________．解析：由綈p是綈q的充分不必要条件,可知綈p⇒綈q,但綈qD⇒/綈p. 由一个命题与它的逆否命题等价,可知q⇒p但pD⇒/q. 又p：x>1或x<－3,可知{x|x>a}{x|x<－3或x>1},所以a≥1.答案：[1,＋∞)三、解答题(每小题10分,共20分)9．指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题,若是含逻辑联结词的命题,写出构成它的简单命题．(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)若x∈{x|x<1或x>2},则x是不等式(x－1)·(x－2)>0的解．解析：(1)“p且q”形式的命题,其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形,q：两个角是45°的三角形是直角三角形．(2)“p或q”形式的命题,其中p：若x∈{x|x<1},则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解,q：若x∈{x|x>2},则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解．10．写出下列命题的p∨q,p∧q,綈p的形式,并判断其真假：(1)p：2是有理数；q：2是实数；(2)p：5不是15的约数；q：5是15的倍数；(3)p：空集是任何集合的子集；q：空集是任何集合的真子集．解析：(1)p∨q：2是有理数或2是实数,真命题；p∧q：2是有理数且2是实数,假命题；綈p：2不是有理数,真命题．(2)p∨q：5不是15的约数或5是15的倍数,假命题；p∧q：5不是15的约数且5是15的倍数,假命题；綈p：5是15的约数,真命题．(3)p∨q：空集是任何集合的子集或空集是任何集合的真子集,真命题；p∧q：空集是任何集合的子集且空集是任何集合的真子集,假命题；綈p：空集不是任何集合的子集；假命题．|能力提升|(20分钟,40分)11．已知p：x＋1>2,q：5x－6>x2,则綈p是綈q的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设集合A ＝{x |x ＋1≤2}＝{x |x ≤1},B ＝{x |5x －6≤x 2}＝{x |x ≤2或x ≥3},由于A B ,所以綈p 是綈q 的充分不必要条件,故选A.答案：A12．已知命题p ：“任意x ∈[1,2],x 2－a ≥0”,命题q ：“存在x ∈R ,x 2＋(a －1)x ＋1<0”．若“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,则实数a 的取值范围为________．解析：由已知得p 为真时,a ≤1,q 为真时,a <－1或a >3,因为p 或q 为真,p 且q 为假,所以p 与q 中一真一假,若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，－1≤a ≤3，可得－1≤a ≤1；若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a <－1或a >3，可得a >3,综上可知,a ∈[－1,1]∪(3,＋∞)．答案：[－1,1]∪(3,＋∞)13．分别指出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”及“綈p ”形式,并判断真假．(1)p ：2n －1(n ∈Z )是奇数,q ：2n －1(n ∈Z )是偶数；(2)p ：a 2＋b 2<0(a ∈R ,b ∈R ),q ：a 2＋b 2≥0；(3)p ：集合中的元素是确定的,q ：集合中的元素是无序的．解析：(1)p ∨q ：2n －1(n ∈Z )是奇数或是偶数；(真) p ∧q ：2n －1(n ∈Z )既是奇数又是偶数；(假)綈p ：2n －1(n ∈Z )不是奇数．(假)(2)p ∨q ：a 2＋b 2<0(a ∈R ,b ∈R ),或a 2＋b 2≥0；(真) p ∧q ：a 2＋b 2<0(a ∈R ,b ∈R ),且a 2＋b 2≥0；(假)綈p ：a 2＋b 2≥0(a ∈R ,b ∈R )．(真)(3)p ∨q ：集合中的元素是确定的或是无序的；(真) p ∧q ：集合中的元素是确定的且是无序的；(真)綈p ：集合中的元素是不确定的．(假)14．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立,q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数,若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围．解析：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4,由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立,所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点,故Δ＝4a 2－16<0,所以－2<a <2.又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数,所以3－2a >1,所以a <1.又由于p 或q 为真,p 且q 为假,可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，所以1≤a <2.(2)若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，所以a ≤－2.综上可知,所求实数a 的取值范围为(－∞,－2]∪[1,2)．课时作业5 全称量词 存在量词 含有一个量词的命题的否定 |基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．命题“∃x 0∈R ,x 30－2x 0＋1＝0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ,x 30－2x 0＋1≠0B ．不存在x ∈R ,x 3－2x ＋1≠0C ．∀x ∈R ,x 3－2x ＋1＝0D ．∀x ∈R ,x 3－2x ＋1≠0解析：特称命题的否定是全称命题,故排除A ；由命题的否定要否定结论,故排除C ；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”,故排除B.答案：D2．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1,－1,0},2x ＋1>0；③∃x 0∈N ,使x 20≤x 0；④∃x 0∈N *,使x 0为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于①,这是全称命题,由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0,所以2x 2－3x ＋4>0恒成立,故①为真命题；对于②,这是全称命题,由于当x ＝－1时,2x ＋1>0不成立,故②为假命题；对于③,这是特称命题,当x 0＝0或x 0＝1时,有x 20≤x 0成立,故③为真命题；对于④,这是特称命题,当x 0＝1时,x 0为29的约数成立,所以④为真命题．答案：C3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ,使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ,使1x>2 解析：A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时,x 2＝0,所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0,所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ,都有1x<0,所以D 是假命题． 答案：B4．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0,命题q ：∃x 0∈R ,sin x 0－cos x 0＝2,则下列判断中正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．綈p 是假命题D ．綈q 是假命题解析：因为2x 2＋2x ＋12＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0,所以p 是假命题． 又sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4≤2,故q 是真命题． 所以选D.答案：D5．若命题“∀x ∈(1,＋∞),x 2－(2＋a )x ＋2＋a ≥0”为真命题,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－2]B ．(－∞,2]C ．[－2,2]∪(1,＋∞)D ．(－∞,－2]∪[2,＋∞)解析：抛物线y ＝x 2－(2＋a )x ＋2＋a 开口向上,对称轴为x ＝2＋a 2,且Δ＝[－(2＋a )]2－4(2＋a )＝a 2－4.根据题意得Δ＝a 2－4≤0或 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4>0，2＋a2<1，解得－2≤a ≤2或a <－2, 所以a ≤2.故选B. 答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．四个命题：①∀x ∈R ,x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ,x 2＝2；③∃x ∈R ,x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．解析：①当x ＝1时,x 2－3x ＋2＝0,故①为假命题；②因为x ＝±2时,x 2＝2,而±2为无理数,故②为假命题；③因为x 2＋1>0(x ∈R )恒成立,故③为假命题；④原不等式可化为x 2－2x ＋1>0,即(x －1)2>0,当x ＝1时(x －1)2＝0,故④为假命题．答案：07．命题“∀x ∈R,3x 2－2x ＋1>0”的否定是________． 解析：“∀x ∈M ,p (x )”的否定为“∃x 0∈M ,綈p (x 0)”． ∴其否定为∃x 0∈R,3x 20－2x 0＋1≤0. 答案：∃x 0∈R,3x 20－2x 0＋1≤08．设命题p ：∀x ∈R ,x 2＋ax ＋2<0,若綈p 为真,则实数a 的取值范围是________． 解析：綈p ：∃x 0∈R ,x 20＋ax 0＋2≥0,因为綈p 为真,所对应抛物线开口向上,所以a ∈R . 答案：R三、解答题(每小题10分,共20分)9．判断下列语句是全称命题,还是特称命题． (1)0不能作除数；(2)有一个实数a ,a 不能取对数； (3)任何数的0次方都等于1吗？解析：(1)是命题,但既不是全称命题,也不是特称命题． (2)含有存在量词“有一个”,因此是特称命题．(3)不是命题．10．用“∀”“∃”写出下列命题的否定,并判断真假． (1)二次函数的图象是抛物线；(2)在直角坐标系中,直线是一次函数的图象； (3)有些四边形存在外接圆； (4)∃a ,b ∈R ,方程ax ＋b ＝0无解．解析：(1)∃f (x )∈{二次函数},f (x )的图象不是抛物线．它是假命题． (2)在直角坐标系中,∃l ∈{直线},l 不是一次函数的图象．它是真命题． (3)∀x ∈{四边形},x 不存在外接圆．它是假命题． (4)∀a ,b ∈R ,方程ax ＋b ＝0至少有一解．它是假命题．|能力提升|(20分钟,40分)11．(宁夏银川一中月考)命题p ：∀x ∈R ,ax 2＋ax ＋1≥0,若綈p 是真命题,则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞,0]∪[4,＋∞) D．(－∞,0)∪(4,＋∞)解析：当a ＝0时,不等式恒成立；当a ≠0时,要使不等式恒成立,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4. 综上,0≤a ≤4,则命题p ：0≤a ≤4,则綈p ：a <0或a >4.答案：D12．已知函数f (x )为定义在(－∞,3]上的减函数,若f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )对任意x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是________．解析：由函数的单调性得3≥a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x 对任意x ∈R 均成立,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3＋sin x ，a 2－a ≥sin x ＋cos 2x ＋1对任意x ∈R 均成立,然后转化为函数的最值问题,⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤(3＋sin x )min ，a 2－a ≥(sin x ＋cos 2x ＋1)max ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，a 2－a ≥94，。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.3数学归纳法 Word版含解析
【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法课时作业新人教版选修2-2明目标、知重点1．了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2 对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，猜想a n ＝1n(n ∈N *)．以下为证明过程：(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11，所以结论成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1k，则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k1＋a k(已知)＝1k1＋1k(代入假设) ＝1kk ＋1k(变形)＝1k ＋1(目标) 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n成立．思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？答 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P (n )，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法．思考4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n ∈N *等式都成立．答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二 用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明 12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立． 假设n ＝k (k ∈N *)时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k成立． 那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12(k ＋1)] ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n ∈N *，等式都成立． 探究点三 用数学归纳法证明数列问题例2 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明． 解 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310； S 4＝310＋110×13＝413. 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1. 于是可以猜想S n ＝n3n ＋1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1， 那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1] ＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明． 解 由a 1＝2－a 1， 得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2， 得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3， 得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4， 得a 4＝158.猜想a n ＝2n－12n －1.下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当n ＝k 时猜想成立， 则有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝122(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12(2k －2k－12k －1)＝2k ＋1－12(k ＋1)－1， 所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n－12n －1对任意正整数n 都成立．1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析 将n ＝1代入a2n ＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立， 证n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式， 而未用上假设条件， 这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立． 呈重点、现规律]在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础过关1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立 答案 B2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( ) A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 取值无关 D ．以上答案都不对 答案 B解析 由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 C解析 因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( )A ．1 B.13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确答案 C5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( ) A.24n －3 B.26n －5 C.24n ＋3D.22n－1答案 B解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B.7．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即 (1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)·(1－1k ＋3)＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋2， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立． 二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1)＋(k －1)]·(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________. 答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋110．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________． 答案 缺少步骤归纳奠基11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立． 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k(k ＋1)2＝(－1)k·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k·(k ＋1)(k ＋2)2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2， (n ≥2，n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理 ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立， 即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2. ＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1. 故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5 (n ＝1)5×2n －2 (n ≥2，n ∈N *).三、探究与拓展13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120. (2)猜想：a n ＝1n (n ＋1). 下面用数学归纳法证明①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1k (k ＋1). 那么，当n ＝k ＋1时S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1. 又S k ＝1－ka k ＝k k ＋1， 所以kk ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋1)[(k ＋1)＋1]. 即n ＝k ＋1时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明章末复习课 Word版含解析
【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明章末复习课新人教版选修2-2题型一合情推理与演绎推理1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b2 2.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？(1)答案f(n)＝n3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2. ②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________． ①A 、B 为定点，若动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则点P 的轨迹是椭圆； ②由a 1＝1，a n ＋1＝3a n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的通项a n 和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆的面积S ＝πab ； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ② ③④(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n, 则T 4，______，______，T 16T 12成等比数列． 答案T 8T 4 T 12T 8解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 题型二 综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程． 例2 用综合法和分析法证明． 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.证明 (分析法)要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立．只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0. 只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)． ∵1－cos α>0， ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号．∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立．∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．(综合法) ∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4，(1－cos α>0，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号)∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.∴2sin 2α≤sin α1－cos α.跟踪训练2 求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.题型三 反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则綈q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则綈q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的．例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋y x<2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ， 所以x ＋y ≤2.这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2与1＋yx<2至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 题型四 数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．例4 用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)·(n ＋2)．证明 (1)当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立．(2)假设n ＝k 时结论成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －2)·3＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)．当n ＝k ＋1时，则1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋(k －1)·3＋k ·2＋(k ＋1)·1 ＝1·k ＋2·(k －1)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)] ＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n ∈N *都成立． 跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4. (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74. a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)证明 方法一 猜想a n ＝2n－12n －1.下面用数学归纳法证明，(1)当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；(2)假设当n ＝k 时a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k －12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k满足上式， 即当n ＝k ＋1时猜想也成立，由(1)(2)可知，对于n ∈N *都有a n ＝2n－12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)，设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·qn －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n－12n －1.呈重点、现规律]1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n ＝n 0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n ＝k 时，结论成立，推得n ＝k ＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.3数学归纳法习题课 Word版含解析
习题课 数学归纳法明目标、知重点1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步递推归纳时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．题型一 用数学归纳法证明不等式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论． 例1 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1都成立． 证明 由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n， 所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n. 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1成立． (1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时不等式成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1成立．则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时， 不等式也成立． 由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练1 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2 ＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2 ＝1－1k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立． 题型二 利用数学归纳法证明整除问题 例2 求证：an ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.证明 (1)当n ＝1时，a1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝aa k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝aak ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除， 故n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *， 命题成立．反思与感悟 证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n ＝k 时的情形，再利用归纳假设使问题获证． 跟踪训练2 证明x2n －1＋y2n －1(n ∈N *)能被x ＋y 整除．证明 (1)当n ＝1时，x2n －1＋y 2n －1＝x ＋y ，能被x ＋y 整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立， 即x2k －1＋y2k －1能被x ＋y 整除．那么当n ＝k ＋1时，x 2(k ＋1)－1＋y 2(k ＋1)－1＝x2k ＋1＋y2k ＋1＝x2k －1＋2＋y2k －1＋2＝x 2·x 2k －1＋y 2·y2k －1＋x 2·y2k －1－x 2·y2k －1＝x 2(x 2k －1＋y 2k －1)＋y2k －1(y 2－x 2)．∵x2k －1＋y2k －1能被x ＋y 整除，y 2－x 2＝(y ＋x )(y －x )也能被x ＋y 整除，∴当n ＝k ＋1时，x2(k ＋1)－1＋y2(k ＋1)－1能被x ＋y 整除．由(1)，(2)可知原命题成立． 题型三 利用数学归纳法证明几何问题思考 用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例3 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f (n )＝n (n －1)2.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个， 又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立． (2)假设n ＝k (k >2)时，命题成立， 即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点， 即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k＝12k (k －1＋2) ＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练3 有n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分． 证明 (1)n ＝1时，分为2块，f (1)＝2，命题成立； (2)假设n ＝k (k ∈N *)时， 被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分； 那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k 个区域． ∴f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2，即n ＝k ＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立． 呈重点、现规律]1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n 0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n 0.3．从n ＝k 到n ＝k ＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2 (n ∈N *)，验证n ＝1时，左边应取的项是( ) A ．1 B ．1＋2 C ．1＋2＋3 D ．1＋2＋3＋4答案 D解析 等式左边的数是从1加到n ＋3.当n ＝1时，n ＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n>n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6答案 C解析 当n 取1、2、3、4时2n>n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是( ) A ．2k －1项 B ．2k ＋1项C ．2k项 D ．以上都不对答案 C解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k)多了2k项．4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k＋1时，下列说法正确的是( ) A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1答案 C解析 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， 当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故选C. 5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( ) A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除， 即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________． 答案 S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1. 7．已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n，用数学归纳法证明：a n ＝n－n －1.证明 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12(a 1＋1a 1)，∴a 21＝1(a n >0)，∴a1＝1，又1－0＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即a k＝k－k－1. 当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12(a k＋1＋1a k＋1)－12(a k＋1a k)＝12(a k＋1＋1a k＋1)－12(k－k－1＋1k－k－1)＝12(a k＋1＋1a k＋1)－k.∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，解得a k＋1＝k＋1－k(a n>0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有a n＝n－n－1.二、能力提升8．对于不等式n2＋n≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案 D解析从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________________．答案122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k －1＋1)－35.∵62k －1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立． 11．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝56， 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n ＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56， 由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)． 用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立， 即S k ＝－k ＋1k ＋2成立， 那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立． 三、探究与拓展13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m2n ＋1，当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．下面用数学归纳法证明：证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2，只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立． 所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.2.1习题课 Word版含解析
习题课综合法和分析法明目标、知重点加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．1．综合法综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)2．分析法分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐…⇐P n－2⇐P n－1⇐P n(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．题型一选择恰当的方法证明不等式例1 设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.证明I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝a2＋b2＋c2＋2S.欲证3S≤I2<4S，即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，只需证a<b＋c，且b<c＋a，且c<b＋a，由于a、b、c为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3S ≤I 2<4S .反思与感悟 本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰．证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： (1)a 2≥0(a ∈R )．(2)(a －b )2≥0(a 、b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，(a ＋b2)2≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b2≥ab ，特别地b a ＋a b≥2.(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．跟踪训练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≤4.证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b ≥21ab>0，∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4.方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 题型二 选择恰当的方法证明等式例2 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c＝3a ＋b ＋c.证明 要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 即证ca ＋b ＋ab ＋c ＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋b 2＋ac ＋bc＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ， ∴B ＝π3，∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪训练2 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .② 要证a x ＋c y＝2， 只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证． 题型三 立体几何中位置关系的证明例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD ⊥AE ； (2)证明：PD ⊥平面ABE . 证明 (1)在四棱锥P －ABCD 中， ∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ， ∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ， ∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°， 可得AC ＝PA ，∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC . 由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ， 所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ， ∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，又AB ∩AE ＝A ，综上得PD ⊥平面ABE .反思与感悟 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．跟踪训练3 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .证明 (1)如图，设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形． 所以AF ∥EG . 因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)连接FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，所以四边形CEFG 为菱形． 所以CF ⊥EG .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC .又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ， 所以BD ⊥平面ACEF . 所以CF ⊥BD .又BD ∩EG ＝G ， 所以CF ⊥平面BDE . 呈重点、现规律]1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知． 2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.一、基础过关1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤3答案 C解析 ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.2．已知a 、b 、c 、d ∈{正实数}，且a b <c d，则( ) A.a b <a ＋cb ＋d <cd B.a ＋cb ＋d <a b <cdC.a b <c d <a ＋cb ＋dD ．以上均可能答案 A解析 方法一 特值检验，∵a b <c d， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <cd.∴B、C 、D 不正确． 方法二 要证a b <a ＋cb ＋d，∵a 、b 、c 、d ∈{正实数}， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc .只需证a b <c d .而a b <c d成立， ∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <cd. 3．下面四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b≥2；④(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C解析 a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22≥ab ＋ac ＋bc ；a (1－a )≤(a ＋1－a2)2＝14；(a 2＋b 2)(c2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2；当ba <0时，b a ＋a b≥2不成立． 4．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．2ab C ．a 2＋b 2D ．a 答案 C解析 ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12，由a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大．5．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________． 答案 a >b >c 解析 a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6.∴a >b >c . 6．如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为______)，只需证______，只需证AE ⊥BC (因为________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为______)．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．答案 EF ⊥SC AE ⊥平面SBC AE ⊥SB AB ⊥BC解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC ⊥平面SAB ，可得AE ⊥BC ，进而AE ⊥平面SBC ，SC ⊥平面AEF ，问题得证．7．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a b ＋ba>a ＋b . 证明 方法一 用综合法a b ＋b a －a －b ＝a a ＋b b －a b －b aab＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab>0，∴a b ＋ba>a ＋b . 方法二 用分析法 要证a b ＋ba>a ＋b ， 只要证a 2b ＋b 2a＋2ab >a ＋b ＋2ab ，即要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )， 即需证a 2－ab ＋b 2>ab ， 只需证(a －b )2>0，因为a ≠b ，所以(a －b )2>0恒成立， 所以a b ＋ba>a ＋b 成立． 二、能力提升8．命题甲：(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列；命题乙：lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列可得：(2－x )2＝(14)x ·2x －4，解得x ＝4；由lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列得：2lg(x ＋2)＝lg x ＋lg(2x ＋1)，可解得x ＝4(x ＝－1舍去)，所以甲是乙的充要条件.9．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b2)，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q答案 B解析 a >b >1⇒lg a >0，lg b >0，Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ，R >lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ⇒R >Q >P .10．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________． 答案 ①③⇒②解析 ∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2.∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25. ∴|α＋β|>5. 11．已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，故只要证 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a2，即a 2＋1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．12．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)·(1c－1)≥8.证明 方法一 (分析法)要证(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8成立，只需证1－a a ·1－b b ·1－c c≥8成立．因为a ＋b ＋c ＝1，所以只需证(a ＋b ＋c )－a a ·(a ＋b ＋c )－b b ·(a ＋b ＋c )－c c≥8成立，即证b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋bc≥8成立． 而b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8成立． ∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8成立． 方法二 (综合法) (1a －1)(1b －1)(1c－1)＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋cc－1) ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，所以原不等式成立．13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1)解 2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)解 当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1) ＝1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝54＋12－1n ＝74－1n <74， 所以对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.三、探究与拓展14．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).(你能用几种方法证明？)证明 方法一 (用分析法) ①当ac ＋bd ≤0时，显然成立．②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立，只需证 (ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2. 即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2即证0≤(bc －ad )2. 因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立． 故原不等式成立，综合①②知，命题得证． 方法二 (用综合法)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2c 2＋2acbd ＋b 2d 2)＋(b 2c 2－2bcad ＋a 2d 2) ＝(ac ＋bd )2＋(bc －ad )2≥(ac ＋bd )2. ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd . 方法三 (用比较法)∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝(bc －ad )2≥0， ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd .方法四(用放缩法)为了避免讨论，由ac＋bd≤|ac＋bd|，可以试证(ac＋bd)2≤ (a2＋b2)(c2＋d2)．由方法一知上式成立，从而方法四可行．方法五(构造向量法)设m＝(a，b)，n＝(c，d)，∴m·n＝ac＋bd，|m|＝a2＋b2，|n|＝c2＋d2.∵m·n≤|m|·|n|＝a2＋b2·c2＋d2.故ac＋bd≤(a2＋b2)(c2＋d2).。
人教新课标版数学高二-A版选修2-2课时作业 2-1-1-1归纳推理
课时作业(十九)一、选择题1．关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是一般到一般的推理 B ．归纳推理是一般到个别的推理 C ．归纳推理的结论一定是正确的 D ．归纳推理的结论未必是正确的 答案 D2．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n 是( ) A ．2n －2－12B ．2n －2C ．2n －1＋1D ．2n ＋1－4答案 B3．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A ．■■B ．△ C. D ．○答案 A4．数列{a n }：2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33D ．127答案 B5．n个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2 010到2 012箭头的方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓答案 C6．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n等于()A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.2 2n－1答案 B7．(2010·山东卷)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案 D8．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113答案 B9．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30答案 B二、填空题10．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．答案133n＋111．(2012·陕西卷)观察下列不等式1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为________．答案1＋122＋132＋142＋152＋162<11612．下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n个图有________个原子，有________个化学键．答案4n＋25n＋113．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是________．答案n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)214．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．答案 S ＝4(n －1)(n ≥2) 三、解答题15．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2， 2cos π8＝2＋2， 2cos π16＝2＋2＋2， ……解析 2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋……16．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立； 在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立； 在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立； 猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？解析 在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式1A 1＋1A 2＋…＋1An≥n 2(n －2)π·(n ≥3) 17．设f (x )＝13x ＋3，先分别求出f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．解析当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝3 3.证明：f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝13x1＋3＋131－x1＋3＝13x1＋3＋3x13＋3·3x1＝13x1＋3＋3x13(3＋3x1)＝(3＋3x1) 3(3x1＋3)＝33.►重点班·选做题18．已知：①tan10°tan20＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.②tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.③tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°＝1成立，由此得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？解析α＋β＋γ＝90°，且α、β、γ都不为90°＋γ·180°(γ∈Z)，则tanαtanβ＋tanβ·tanγ＋tanα·tanγ＝1.证明(略)。
人教新课标版数学高二-A版选修2-3课时作业 2-2-1条件概率
课时作业(十六)1．下列选项正确的是( ) A ．P (A |B )＝P (B |A ) B ．P (A ∩B |A )＝P (B ) C.P (AB )P (B )＝P (B |A ) D ．P (A |B )＝n (AB )n (B )答案 D解析 正确理解好条件概率的公式P (A |B )＝P (AB )P (B )＝n (AB )n (B )是解决本题的关键．2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A.14 B.13 C.12 D ．1答案 B解析 因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是13.3．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72答案 D解析 设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗(发芽，又成长为幼苗)”为事件AB ，“这粒水稻种子能成长为幼苗”为事件B |A ，由P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率计算公式P (AB )＝P (B |A )P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.4．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是( )A.310 B.35 C.12 D.25答案 D解析 令第二次取得一等品为事件A ，第一次取得二等品为事件B ，则P (AB )＝C 12·C 14C 16·C 15＝415，P (A )＝C 14·C 13＋C 12·C 14C 16·C 15＝23. 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝415×32＝25. 5．把一枚硬币任意抛掷两次，事件B 为“第一次出现反面”，事件A 为“第二次出现正面”，则P (A |B )为( )A.14B.12C.13D.34答案 B解析 事件B 包含的基本事件数有1×C 12＝2个，BA 包含的基本事件数为1，由条件概率公式P (A |B )＝P (AB )P (B )＝n (AB )n (B )＝12.6．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，则P (A |B )和P (B |A )分别等于( )A.13，25 B.23，25 C.23，35 D.12，35答案 C 解析 P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝23， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.2＝35.7．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A.35B.110 C.59 D.25答案 C解析 A ＝{第一次取得新球}，B ＝{第二次取到新球}，则n (A )＝C 16C 19，n (AB )＝C 16C 15. ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 16C 15C 16C 19＝59.8．在一个口袋里装有大小相同的红色小球3个，蓝色小球5个，从中任取1球观察颜色，不放回，再任取一球，则(1)在第一次取到红球条件下，第二次取到红球的概率为________；(2)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为________；(3)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到蓝球的概率为________．答案 (1)27 (2)37 (3)479．6位同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学被排在第二跑道的概率是________．答案 15解析 甲排在第一跑道，其他同学共有A 55种排法，乙排在第二跑道共有A 44种排法，所以所求概率为A 44A 55＝15.10．一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球，则后两次也摸白球的概率为________．答案 110解析 P ＝2×15×4＝110.11．如下图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (AB )＝________，P (A |B )＝________.答案 19 14解析 P (A )＝39＝13，P (B )＝49，P (AB )＝19，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1949＝14. 12．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6时，则两骰子点数之和大于8的概率为________．答案 512解析 令A ＝“抛掷出的红、蓝两颗骰子中蓝骰子的点数为3或6”，B ＝“两骰子点数之和大于8”，则A ＝{(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．AB ＝{(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}． ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝n (AB )n (A )＝512.13．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有一白球的概率为79，则白球的个数为________．现从中不放回地取球，每次1球，取两次，已知第2次取得白球，则第1次取得黑球的概率为________．答案 5 5914．某班级有学生40人，其中团员15人，全班分四个小组，第一小组10人，其中团员4人，如果要在班内任选一人当学生代表．(1)求这个代表恰好在第一小组内的概率；(2)现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率是多少？解析 设A ＝{在班内任选一个学生，该学生属于第一小组}，B ＝{在班内任选一个学生，该学生是团员}．(1)由古典概率知P (A )＝1040＝14. (2)方法一：由古典概型知P (A |B )＝415. 方法二：P (AB )＝440，P (B )＝1540， 由条件概率的公式，得P (A |B )＝415. 15．一个家庭中有两个小孩，求： (1)两个小孩中有一个是女孩的概率； (2)两个都是女孩的概率；(3)已知其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率．思路分析 “有一个是女孩”记为事件A ，“另一个是女孩”记为事件B ，则其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率就是在A 发生的条件下，B 发生的概率，利用条件概率解决．解析 设“家庭中有一个是女孩”为事件A ，“另一个也是女孩”为事件B ，则“两个都是女孩”为事件AB ，家庭中有两个小孩的情况有：男、男；男、女；女、男；女、女；共4种情况，因此n (Ω)＝4；其中有一个是女孩的情况有3种，因此n (A )＝3；其中两个都是女孩的情况有1种，因此n (AB )＝1.(1)由P (A )＝n (A )n (Ω)＝34，可得两个小孩中有一个是女孩的概率为34.(2)由P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝14，可得两个都是女孩的概率为14.(3)由条件概率公式，可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1434＝13或P (B |A )＝n (AB )n (A )＝13.因此，在已知其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率为13. ►重点班选做题16．如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i ＝1,2,3，j ＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a 22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33 解析 令事件A ＝{任取的三个数中有a 22}．令事件B ＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}．则B ＝{三个数互不同行且互不同列}．依题意可知n (A )＝C 28＝28，n (A B )＝2，故P (B |A )＝n (A B )n (A )＝228＝114，所以P (B |A )＝1－P (B |A )＝1－114＝1314.即已知取到a 22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为1314.17．盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？解析 设事件A ：“任取一球，是玻璃球”；事件B ：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：红球 蓝球 小计 玻璃球 2 4 6 木质球 3 7 10 小计51116由表知，P (B )＝1116，P (AB )＝416，故所求事件的概率为P (A |B )＝P (AB )P (B )＝4161116＝411.1．从一副扑克的52张(去掉大、小王)随机平均分给赵、钱、孙、李四家，A ＝{赵家得到6张梅花}，B ＝{孙家得到3张梅花}．(1)计算P (B |A )； (2)计算P (AB )．解析 (1)四家各有13张牌，已知A 发生后，A 的13张牌已固定，余下的39张牌中恰有7张梅花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张梅花的概率．于是P (B |A )＝C 37C 1039－7C 1339＝0.278.(2)在52张牌中任选13张C 1352种不同的等可能的结果．于是Ω中元素为C 1352，A 中元素数为C 613C 739，利用条件概率公式得到P (AB )＝P (A )P (B |A )＝C 613C 739C 1352×0.278≈0.012.。
数学人教A版选修2-1课时作业2 充分条件与必要条件
课时作业2充分条件与必要条件[基础巩固]一、选择题1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A．x<1 B．x>1C．x>3 D．x<44．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是()A．x≥0 B．x<0或x>2C．x∈{－1,3,5} D．x≤－12或x≥3二、填空题6．用符号“⇒”与“D⇒/”填空：(1)x2>1________x>1；(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．7．a>b是a2>b2的________条件．8．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．三、解答题9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|；q：x＝y.(2)p：△ABC是直角三角形；q：△ABC是等腰三角形．(3)p：四边形的对角线互相平分；q：四边形是矩形．10．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．[能力提升]11．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －b |<a }(a >0)．若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．－2≤b <0B ．0<b ≤2C ．－2<b <2D ．－2≤b ≤212．对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6，那么p 是q 的________条件．13．分别判断下列“若p ，则q ”命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：θ＝π，q ：tan θ＝0.(2)p ：a 是整数，q ：a 是自然数．(3)p ：a 是素数，q ：a 不是偶数．14．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围．课时作业2 充分条件与必要条件1．解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．答案：B2．解析：因为A ＝{1，a}，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ，所以a ＝3⇒A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆BD ⇒/a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B”的充分而不必要条件．答案：A3．解析：x>2⇒x>1，而x>1D⇒/x>2.答案：B4．解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a－2＝0，所以a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件．答案：C5．解析：由2x2－5x－3≥0，得x≥3或x≤－12，所以选项中只有x∈{－1,3,5}是使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件．答案：C6．解析：(1)命题“若x2>1，则x>1”是假命题，故x2>1D⇒/x>1.(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．答案：(1)D⇒/(2)⇒7．解析：令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即“a>b”不能推出“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b2”不能推出“a>b”，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要8．解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以a－4≤1，a＋4≥3，即a≤5，a≥－1，所以－1≤a≤5.答案：[－1,5]9．解析：(1)因为|x|＝|y|D x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC是直角三角形D △ABC是等腰三角形．△ABC是等腰三角形D △ABC是直角三角形．所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分D 四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．所以p是q的必要条件，但不是充分条件．10．解析：p：－2≤x≤10.q：x2－2x＋1－m2≤0⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)⇔1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有1－m≥－2，1＋m<10或1－m>－2，1＋m≤10解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．11．解析：因为A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|b－a<x<b＋a}．由于a＝1是A∩B≠∅的充分条件，所以－2<b<2.答案：C12．解析：利用逆否命题判断．“若x＋y≠8，则x≠2或y≠6”的逆否命题是“若x＝2且y＝6，则x＋y＝8”，显然是真命题．故x＋y≠8⇒x≠2或y≠6.但是x≠2或y≠6D x＋y≠8.故p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要13．解析：(1)由于p：θ＝π⇒q：tan θ＝0，p：θ＝πD⇐/q：tan θ＝0，所以p是q的充分条件，p不是q的必要条件．(2)由于p：a是整数D q：a是自然数，p：a是整数⇐q：a是自然数，所以p是q的必要条件，p不是q的充分条件．(3)由于p：a是素数D q：a不是偶数，而q：a不是偶数D⇒/p：a是素数，所以p不是q的充分条件，p不是q的必要条件．14．解析：由(x－a)2<1得x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，∴a－1<x<a＋1.又由x2－5x－24<0得－3<x<8.∵M是N的充分条件，∴M⊆N，∴a－1≥－3，a＋1≤8，解得－2≤a≤7.故a的取值范围是－2≤a≤7.由Ruize收集整理。
人教新课标版-数学-高二(人教B版)选修2-2课时作业 2.3.2 数学归纳法应用举例
2.3.2 数学归纳法应用举例1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3 2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．63．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是( ) A ．2k －1项 B ．2k ＋1项C ．2k 项D ．以上都不对 4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是( )A ．增加了一项12k ＋1B ．增加了两项12k ＋1和12k ＋1C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．6．k (k ≥3，k ∈N ＋)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)与f (k )的递推关系式为________．7．已知正数数列{a n }(n ∈N ＋)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1.8．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)39．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1 (n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下：①当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (n ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确10．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)时，在第二步证明从n ＝k 到n ＝k ＋1不等式成立时，左边增加的项数为________．11．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋)．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．参考答案1.答案 B解析 ∵n >1且n ∈N ＋，∴n 取的第一个值n 0＝2.∴第一步应验证：1＋12＋13<2，选B. 2.答案 C解析 当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.3.答案 C解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k. 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．4.答案 C解析 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故选C. 5.答案 S n ＝2n n ＋1 解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85， 猜想S n ＝2n n ＋1. 6.答案 f (k ＋1)＝f (k )＋k －1解析 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面；五棱柱有5个对角面；六棱柱有9个对角面；….猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．7.证明 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12(a 1＋1a 1)， ∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1，∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k －k －1.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(a k ＋1a k ) ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(k －k －1＋1k －k －1) ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－k . ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)，∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N ＋都有a n ＝n －n －1.8.答案 A解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．9.答案 D解析 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．10.答案 2k解析 左边增加的项数为2k ＋1－2k ＝2k .11.证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56， 不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N ＋均成立．12.解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2. ∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)． 则有：S 1＝a 1＝－23， S 2＝－1S 1＋2＝－34， S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56， 由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N ＋)． 用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立． (2)假设n ＝k (k ∈N ＋)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立， 那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2 ＝－k ＋2k ＋3＝－k ＋1＋1k ＋1＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立．。
人教新课标版数学高二-选修2-2课时作业 1.5.3定积分的概念
1.5.3 定积分的概念课时目标 1.了解定积分的概念.2.了解定积分的几何意义和性质.3.会用定义求定积分．1．如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )作和式________________，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的__________，记作______________，即________________，区间[a ，b ]叫做______________，函数f (x )叫做______________．2．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数f (x )________且____________，那么定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的________． 3．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝____________(k 为常数)． (2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝________________. (3)ʃb a f (x )d x ＝________________.一、选择题1．定积分ʃ10x d x 的值是( )A ．1 B.12 C.13D ．02．若函数f (x )的图象在[a ，b ]上是一条连续曲线，用n －1个等分点x i (i ＝1,2，…，n －1)把[a ，b ]分成n 个小区间，记x 0＝a ，x n ＝b ，每个小区间长度为Δx ，任取ξi ∈[x i －1，x i ]，则ʃb a f (x )d x 等于当n →＋∞时( ) A.∑i ＝1nf (x i )所趋近的某个值B.∑i ＝1n f (ξi )(b －a )所趋近的某个值C.∑i ＝1nf (ξi )Δx 所趋近的某个值D.∑i ＝1nf (x i )Δxn 所趋近的某个值3．定积分ʃb a f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)2x (x <0)，则ʃ1－1f (x )d x 可化为( )A ．ʃ1－1x 2d x B ．ʃ1－12x d x C ．ʃ0－1x 2d x ＋ʃ102x d x D ．ʃ0－12x d x ＋ʃ10x 2d x 5．定积分ʃ1－1x 3d x 的值为( )A.14B.12C.13 D ．06．li m n →∞ln n⎝⎛⎭⎫1＋1n 2⎝⎛⎭⎫1＋2n 2…⎝⎛⎭⎫1＋n n 2可化为( )A ．ʃ21ln 2x d xB ．2ʃ21ln x d xC ．2ʃ21ln(1＋x )d xD ．ʃ21ln 2(1＋x )d x 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．设变速直线运动物体的速度为v (t )，则在t 1到t 2这一时间段内，该物体经过的位移s ＝________.8．如图，阴影部分的面积分别以A 1，A 2，A 3表示，则定积分ʃb a f (x )d x ＝________.9．ʃ1－14－x 2d x ＝____________. 三、解答题10．利用定积分的几何意义求下列定积分．(1)ʃ101－x 2d x ；(2)ʃ2π0cos x d x .11．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b 所做的功．能力提升12．设a ＝ʃ10x 13d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c >a >b B ．a >b >c C ．a ＝b >c D ．a >c >b 13．利用定积分的几何意义，求ʃ2－2f (x )d x ＋22ππ-⎰sin x ·cos x d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≥0)3x －1 (x <0).1．利用定积分的定义求定积分，分四步：分割、近似代替、求和、取极限．2．利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．21t t ⎰答案知识梳理1.∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1n b －a n f (ξi ) 定积分 ʃba f (x )d x ʃb a f (x )d x ＝li m n →∞∑i ＝1n b －an f (ξi ) 积分区间 被积函数2．连续 恒有f (x )≥0 面积3．(1)k ʃb a f (x )d x (2)ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x (3)ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (a <c <b )作业设计1．B [即计算由直线y ＝x ，x ＝1及x 轴所围成的三角形的面积．]2．C [f (ξi )Δx 为第i 个小曲边梯形的面积，和式f (ξ1)Δx ＋f (ξ2)Δx ＋…＋f (ξn )Δx 表示x ＝a，x＝b，y＝0及函数f(x)的图象所围成图形的面积的近似值，当分割无限变细，即n趋向于＋∞时，∑i＝1nf(ξi)Δx所趋近的值就是曲边梯形的面积，即ʃb a f(x)d x，故选C.] 3．A4．D[ʃ1－1f(x)d x＝ʃ0－1f(x)d x＋ʃ10f(x)d x＝ʃ0－12x d x＋ʃ10x2d x.故选D.]5．D[画草图，f(x)＝x3的图象关于原点对称，在区间[－1,1]上，x轴上方f(x)所围面积与x轴下方f(x)所围面积相等，故由几何意义知ʃ1－1x3d x＝0.]6．B[li mn→∞lnn⎝⎛⎭⎫1＋1n2⎝⎛⎭⎫1＋2n2…⎝⎛⎭⎫1＋nn2＝li mn→∞1n∑i＝1nln⎝⎛⎭⎫1＋in2＝li mn→∞1n∑i＝1n2ln⎝⎛⎭⎫1＋in＝2ʃ21ln x d x.]7．21tt⎰v(t)d t8．A1＋A3－A2解析利用定积分的几何意义，在区间[a，b]上，用x轴上方f(x)所围面积减去x轴下方f(x)所围面积．9.2π3＋3解析由y＝4－x2可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．ʃ1－14－x2d x等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形＝12×π3×22－12×2×2sinπ3＝2π3－3，S矩形＝|AB|·|BC|＝23，∴ʃ1－14－x2d x＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.10．解(1)由y＝1－x2得x2＋y2＝1(y≥0)，其图象是以原点为圆心，半径为1的圆的14部分．∴ʃ101－x2d x＝14π·12＝14π.(2)由函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象的对称性(如图)知，ʃ2π0cos x d x＝0.11．解将物体用常力F沿着力的方向移动距离x，则所做的功为W＝Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数F(x)＝kx.将[0，b]n等分，记Δx＝bn，分点依次为：x0＝0，x1＝bn，x2＝2bn，…，x n－1＝(n－1)bn，x n＝b.当n很大时，在分段[x i，x i＋1]所用的力约为kx i，所做的功ΔW i≈kx i·Δx＝kx i bn.则从0到b所做的总功W近似地等于∑i＝0n－1ΔW i＝∑i＝0n－1kx i·Δx＝∑i＝0n－1k·ibn·bn＝kb2n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝kb2n2n(n－1)2＝kb22⎝⎛⎭⎫1－1n.于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为W＝li mn→∞∑i＝0n－1ΔW i＝li mn→∞kb22⎝⎛⎭⎫1－1n＝12kb2.12．B13．解 ʃ2－2f (x )d x ＋22ππ-⎰sin x cos x d x＝ʃ0－2(3x －1)d x ＋ʃ20(2x －1)d x ＋22ππ-⎰sin x cos x d x ，∵y ＝sin x cos x 为奇函数，∴22ππ-⎰sin x cos x d x ＝0.利用定积分的几何意义，如图，∴ʃ0－2(3x －1)d x ＝－7＋12×2＝－8. ʃ20(2x －1)d x ＝3＋12×1＝2. ∴ʃ2－2f (x )d x ＋22ππ-⎰sin x cos x d x＝2－8＋0＝－6.。
2020版高中数学课时作业2程序框图与算法的顺序结构条件结构新
[课时作业2] 程序框图与算法的顺序结构、条件结构[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．条件结构不同于顺序结构的特征是含有( ) A ．处理框 B ．判断框 C ．输入、输出框 D ．起止框解析：由于顺序结构中不含判断框，而条件结构中必须含有判断框，故选B. 答案：B2．给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的绝对值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a ，b ，c 中的最大数；④求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≤0，x 2＋1，x >0的函数值．其中需要用条件结构来描述算法的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：其中①③④都需要对条件作出判断，都需要用条件结构，②用顺序结构即可．故选C. 答案：C3．运行如图所示的程序框图，输出的结果为11，则输入的x 的值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：依题意，令2x －1＝11，解得x ＝6，即输入的x 的值为6. 答案：A4．已知M ＝ln 2，N ＝lg 10，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A．1 B．ln 10C．ln 5 D．ln 2解析：依题意，可得M<N，故输出的S＝M＝ln 2，故选D.答案：D5．某市的出租车收费办法如下：不超过2千米收7元(即起步价7元)，超过2千米的里程每千米收2.6元，另每车次超过2千米收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填( )A．y＝7＋2.6x B．y＝8＋2.6xC．y＝7＋2.6(x－2) D．y＝8＋2.6(x－2)解析：当x>2时，2千米内的收费为7元，2千米外的收费为(x－2)×2.6，另外燃油附加费为1元，所以y＝7＋2.6(x－2)＋1＝8＋2.6(x－2)．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，该程序框图的功能是________．解析：该程序框图表示的算法是先输入五个数，然后计算这五个数的和，再求这五个数的平均数，最后输出它们的和与平均数．答案：求五个数的和以及这五个数的平均数7．阅读如图所示的程序框图，若运行该程序框图后，输出y 的值为4，则输入的实数x 的值为________．解析：由程序框图，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)2，x ≥02x，x <0，若y ＝4，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0(x ＋2)2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x <02x＝4，解得x ＝0.答案：08．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥22－x ，x <2，如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图，则①②处分别应填写________．解析：程序框图中的①处就是分段函数解析式的判断条件，故填写“x <2？”，②处就是当x ≥2时的函数解析式，故填写“y ＝log 2x ”．答案：x <2？，y ＝log 2x三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知半径为r 的圆的周长公式为C ＝2πr ，当r ＝10时，写出计算圆的周长的一个算法，并画出程序框图．解析：算法如下： 第一步，令r ＝10. 第二步，计算C ＝2πr . 第三步，输出C . 程序框图如图所示：10．为了节约能源，培养市民节约用电的良好习惯，某省居民生活用电价格将实行三档累进递增的阶梯电价：第一档，月用电量不超过200千瓦时，每千瓦时0.498元；第二档，月用电量超过200千瓦时但不超过400千瓦时，超出的部分每千瓦时0.548元；第三档，月用电量超过400千瓦时，超出的部分每千瓦时0.798元．(1)写出电费y (元)关于月用电量z (千瓦时)的函数关系式； (2)请帮助该省政府设计一个计算电费的程序框图． 解析：(1)所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.498x ，0≤x ≤2000.498×200＋(x －200)×0.548，200<x ≤4000.498×200＋200×0.548＋(x －400)×0.798，x >400，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.498x ，0≤x ≤2000.548x －10，200<x ≤4000.798x －110，x >400.(2)程序框图为[能力提升](20分钟，40分)11．阅读如图程序框图，如果输出的值y 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．[－2,0]C ．(0,2]D ．[0,2]解析：由题意得：2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1且x ∈[－2,2]，解得x ∈[－2,0]．答案：B12．阅读如图所示的程序框图，写出它表示的函数是________．解析：由程序框图知，当x >3时，y ＝2x －8；当x ≤3时，y ＝x 2，故本题框图的功能是输入x 的值，求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －8(x >3)x 2(x ≤3)的函数值．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －8(x >3)x 2(x ≤3)13．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <0，x 2＋1，0≤x <1，x 3＋2x ，x ≥1，写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．解析：算法如下： 第一步，输入x .第二步，如果x <0，那么y ＝2x －1，然后执行第四步；否则，执行第三步． 第三步，如果x <1，那么y ＝x 2＋1；否则，y ＝x 3＋2x . 第四步，输出y . 程序框图如图所示．14．如图所示的程序框图，其作用是：输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，求这样的x 值有多少个？解析：由题可知算法的功能是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5的函数值，要满足题意，则需要⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x 2＝x(解得x ＝0或x ＝1)或⎩⎪⎨⎪⎧2<x ≤5，2x －3＝x(x ＝3)或⎩⎪⎨⎪⎧x >5，1x＝x ，(x ＝±1，舍去)∴满足条件的x 的值有3个．。
2021_2022学年高中数学课时分层作业2程序框图、顺序结构(含解析)新人教B版必修3
课时分层作业(二) 程序框图、顺序构造(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．以下关于流程线的说法，不正确的选项是( ) A ．流程线表示算法步骤执行的顺序，用来连接程序框 B ．流程线只要是上下方向就表示自上向下执行，可以不要箭头 C ．流程线无论什么方向，总要按箭头的指向执行 D ．流程线是带有箭头的线，它可以画成折线B [流程线必须带箭头，并按箭头方向执行，故B 错误，A 、C 、D 均正确．] 2．对顺序构造，以下说法正确的有( ) ①是最根本、最简单的算法构造； ②框与框之间是依次进展处理；③除输入、输出框之外，中间过程都是处理框； ④可以从一个框图跳到另一个框图执行． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 B [根据顺序构造的特征知①②③正确．] 3．如图程序框图的运行结果是( )A.52B.32 C ．－32D ．－1C [因为a ＝2，b ＝4，所以S ＝a b －b a ＝24－42＝－32，应选C.]4．程序框图符号“ 〞可用于( ) A ．输出a ＝10 B ．赋值a ＝10 C ．判断a ＝10D ．输入a ＝1B [图形符号“〞是处理框，它的功能是赋值、计算，不是输出、判断和输入的，应选B.]5．根据所给的程序框图，如下图，输出的结果是( )A．3 B．1C．2 D．0C[由X＝Y，得X＝2；由Y＝X，得Y＝2；由Z＝Y，得Z＝2.]二、填空题6．写出如下图程序框图的运行结果：S＝________.18 [S＝log24＋42＝18.]7．如下图的程序框图，假设输出的结果是2，那么输入的m＝________.100[根据程序框图知，lg m＝2，故m＝100.]8．阅读程序框图如下图，假设输入x＝3，那么输出y的值为________．34 [输入x ＝3，那么a ＝2×32－1＝17，b ＝a －15＝17－15＝2，y ＝a ×b ＝17×2＝34，那么输出y 的值为34.]三、解答题9．利用梯形的面积公式计算上底为2，下底为4，高为5的梯形面积，设计出该问题的算法及程序框图．[解] 算法如下：第一步，a ＝2，b ＝4，h ＝5. 第二步，S ＝12(a ＋b )h .第三步，输出S . 程序框图如图．10．函数y ＝2x ＋3，设计一个算法，假设给出函数图象上任一点的横坐标x (由键盘输入)，求该点到坐标原点的距离，并画出程序框图．[解] 算法如下： S1 输入横坐标的值x . S2 计算y ＝2x ＋3. S3 计算d ＝x 2＋y 2. S4 输出d . 程序框图如图：[等级过关练]1．以下程序框图中表示直角三角形两直角边a ，b ，求斜边c 的算法的是( )C [画程序框图时，应先输入a ，b ，再计算c ＝a 2＋b 2，最后输出c .] 2．如下图的是一个算法的程序框图，a 1＝3，输出的b ＝7，那么a 2等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12 C [由题意知该算法是计算a 1＋a 22的值，所以3＋a 22＝7，得a 2＝11.应选C.]3．给出如图程序框图：假设输出的结果为2，那么①处的处理框内应填入的是( )A ．x ＝2B ．b ＝2C ．x ＝1D ．a ＝5C [因结果是b ＝2，所以2＝a －3， 即a ＝5.当2x ＋3＝5时，得x ＝1. 应选C.]4．如下图的程序框图表示的算法意义是( )第4题图 第5题图A ．边长为3,4,5的直角三角形面积B ．边长为3,4,5的直角三角形内切圆面积C ．边长为3,4,5的直角三角形外接圆面积D ．以3,4,5为弦的圆面积 B [直角三角形内切圆的半径r ＝a ＋b －c2，故该框图的算法意义是求边长为3、4、5的直角三角形内切圆的面积．]5．阅读如下图的程序框图，答复下面的问题： (1)程序框①中x ＝4的含义是什么？(2)程序框②中y 1＝x 3＋2x ＋3的含义是什么？ (3)程序框④中y 2＝x 3＋2x ＋3的含义是什么？[解] (1)程序框①的含义是初始化变量，令x＝4.(2)程序框②中y1＝x3＋2x＋3的含义：该程序框是在执行①的前提下，即当x＝4时，计算x3＋2x＋3的值，并令y1等于这个值．(3)程序框④中y2＝x3＋2x＋3的含义：该程序框是在执行③的前提下，即当x＝－2时，计算x3＋2x＋3的值，并令y2等于这个值．。
人教新课标版数学高二A版选修1-2课时作业 4.2 结构图
一、基础过关1．根据下列结构图，总经理的直接下属是()A．总工程师和专家办公室B．开发部C．总工程师、专家办公室和开发部D．总工程师、专家办公室和七个部答案C解析由图可知，总经理直接领导总工程师、开发部和专家办公室．2．下面的框图是某个班级的()A．知识结构图B．组织结构图C．体系结构图D．关系结构图答案B3．把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中，顺序较为恰当的是()①平行 ②垂直 ③相交 ④斜交 A ．①②③④ B ．①④②③ C ．①③②④ D ．②①④③答案 C解析 平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．4．如图所示的框图中“幂函数的定义”“幂函数的图象与性质”与“幂函数”的关系是( )幂函数—⎪⎪⎪⎪→幂函数的定义→幂函数的图象与性质A ．并列关系B ．从属关系C ．包含关系D ．交叉关系答案 B解析 从知识结构图中可判断为从属关系．5．下面是三角形分类的结构图，其中不正确的是( )答案B解析显然选项B中对三角形的分类不完整，遗漏了不等边三角形．6．在如图的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析由于“下位”要素比“上位”要素更为具体，故可知“求简单函数的导数”的“上位”要素有3个．二、能力提升7．在工商管理学中，MRP(Material Requirement Planning)指的是物资需求计划，基本MRP 的体系结构如图所示．从图中可以看出，主生产计划受________和________的影响．答案用户订单需求预测8．下图是向量运算的知识结构图，如果要加入向量共线的“充要条件”，则应该是在________的下位．向量运算—⎪⎪⎪⎪⎪⎪—加减法—⎪⎪⎪⎪—三角形法则—平行四边形法则—数乘—数量积—⎪⎪⎪⎪—两点间距离—向量垂直的充要条件答案数乘解析向量共线的充要条件是两个向量能写成数乘的形式．9．如图所示的知识结构图中，①指______，②指______．空间几何体—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪→结构—⎪⎪⎪⎪→柱体→①→台体→球体→三视图和直观图—⎪⎪⎪⎪→②→直观图→表面积和体积—⎪⎪⎪⎪→表面积→体积答案锥体三视图解析只要对“空间几何体”这一章的内容足够熟悉，很容易得出答案．10．在工商管理学中，MRP(Material Requirement Planning)指的是物资需求计划，基本MRP 的体系结构如图所示．从图中可以看出，基本MRP直接受________、________和________的影响．答案主生产计划产品结构库存状态11．试画出《平面向量》一章的知识结构图．解知识结构图如图：三、探究与拓展12．某地行政服务中心办公分布结构如下．(1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督察投诉中心这三部门在一楼，其余局、委办理窗口分布在其他楼层；(2)二楼：公安局、民政局、财政局；(3)三楼：工商局、地税局、国税局、技监局、交通局；(4)四楼：城建局、人防办、计生办、规划局；(5)五楼：其余部门办理窗口．试绘制该中心结构图．解结构图如下：。
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1.1.2 第2课时条件结构
一、选择题
1．下列关于条件结构的说法正确的是( )
A ．条件结构的程序框图中有两个入口和一个出口
B ．无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一
C ．条件结构中的两条路径可以同时执行
D ．对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
4x ，0＜x ≤5，20，5＜x ≤9，
56－4x ，9＜x ＜14，在求f (a )(0＜a ＜14)的算法中，需要用到条件结
构，其中判断框的形式是( )
3．阅读下面的程序框图，若输入a ，b ，c 分别是21,32,75，则输出的值分别是( )
A ．96
B ．53
C ．107
D ．128
4．程序框图如图所示，若输出的y ＝0，那么输入的x 为( )
A ．－3、0
B ．－3、－5
C ．0、－5
D ．－3、0、－5
5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )
A ．f (x )＝x 2
B ．f (x )＝1
x
C ．f (x )＝ln x ＋2x －6
D ．f (x )＝x 3＋x 二、填空题
6．任给一个x 值计算y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1x ＜0，2x ＝0，
3x ＞0
中的y 值的算法的程序框图如图所示，其中图框
中的①②③分别为________，________，________.
7．如图是某种算法的程序框图，当输出的y 的值大于2时，则输入的x 的取值范围为________．
8．如图所示的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那
么在空白的判断框中，应该填入________．
三、解答题
9．如图所示的程序框图，其作用是：输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，求这样的x值有多少个？
10．在新华书店里，《三维设计》每本售价14.80元，书店为促销，规定：如果顾客购买5本或5本以上，10本以下则按九折(即13.32元)出售；如果顾客购买10本或10本以上，则按八折(即11.84元)出售．请设计一个完成计费工作的程序框图．
参考答案
1.【解析】选B条件结构只有一个入口，故A错；条件结构的两条路径只能由判断框内条
件选择其一执行，故C 错，判断框内条件可适当变化，只需其后步骤相应调整即可，故D 错． 【答案】B
2.【解析】选D 本题给定的分段函数有三个选择，所以要在条件结构内嵌套条件结构，符合这一条件的只有D. 【答案】D
3.【解析】选B ∵21＜32，∴m ＝21＋32＝53，即输出53. 【答案】B
4.【解析】选A 由框图知，当x ＝－3、0时，输出的y 值均为0. 【答案】A
5.【解析】选D 由框图可知，当输入的函数f (x )为奇函数且存在零点时，才可输出f (x )，由选项可知，仅f (x )＝x 3＋x 同时满足这两个条件，故选D. 【答案】D
6.【解析】由于第一个判断框“是”执行y ＝1，故①填“x ＜0？”，再由y ＝1，y ＝2知③填“y ＝3”，故②填“x ＞0？”． 【答案】x ＜0？ x ＞0？ y ＝3
7.【解析】由题知，此算法的程序框图是求分段函数f (x )＝⎩⎨⎧
3－x
－1， x ≤0，
x ， x ＞0
的值．
若f (x )＞2，
①当x ≤0时，3－
x －1＞2，即3－
x ＞3，所以－x ＞1，即x ＜－1； ②当x ＞0时，x ＞2，即x ＞4.
综上所述，x 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)． 【答案】(－∞，－1)∪(4，＋∞)
8.【解析】由框图知将a ，b ，c 中较大的用x 表示，先令x ＝a ，再比较x 与b 的大小，若b ＞x ，则令x ＝b ，否则判断x 与c 的大小，若x ＞c ，则输出x ，否则令x ＝c ，再输出x . 【答案】c ＞x ?
9.解：由题可知算法的功能是求分段函数y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2，
x ≤2，
2x －3，2＜x ≤5，
1x ，x ＞5
的函数值，要满
足题意，则需要⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2，x 2＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧
2＜x ≤5，
2x －3＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞5，
1
x
＝x
解得x ＝0或x ＝1或x ＝3，共3个值．
10.解：程序框图：。