13 一元三次方程根与系数的关系
一元三次方程求根公式
一元三次方程求根公式目录盛金公式三次方程新解法——盛金公式解题法三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式（Shengjin's Formulas）一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，总判别式：Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)；X2，X3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±31/2((Y1)1/3)－(Y2)1/3)i/(6a)，其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A1/2cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1<T<1)。
盛金判别法盛金判别法（Shengjin's Distinguishing Means）① 当A=B=0时，方程有一个三重实根；② 当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③ 当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
江苏省泰兴市新市初级中学九年级数学上册 11 一元三次方程校本教材 苏科版
一元三次方程一元三次方程023=+++d cx bx ax 的解法先把三次方程023=+++d cx bx ax 化为03=++q px x 的形式： 令a b y x 3-=，则原式变成 0)3()3()3(23=+-+-+-d a b y c a b y b a b y a ， 0)3()932()273(222332223=+-++-+-+-d a b y c a b a by y b a b a y b a by y a ， 03932273232223223=+-++-+-+-d a bc cy a b y a b by a b y a b by ay ， 0)3272()3(2323=-++-+a bc a b d y a b c ay ， 0)3272()3(233223=-++-+a bc a b a d y a b a c y ． 如此一来二次项就不见了，化成03=++q py y ，其中223a b a c p -=，2333272abc a b a d q -+=. 对方程03=++q py y 直接利用卡尔丹诺公式： 3323321)3()2(2)3()2(2p q q p q q y +--+++-=， 33223322)3()2(2)3()2(2p q q p q q y +--⋅+++-⋅=ωω， 33233223)3()2(2)3()2(2p q q p q q y +--⋅+++-⋅=ωω． 其中i 31+-=ω.32)3()2(p q +=∆是根的判别式：Δ＞0时，有一个实根两个虚根；Δ＝0时，有三个实根，且其中至少有两个根相等；Δ＜0时，有三个不等实根．一元三次方程根与系数的关系设方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0（a ≠0）的三个根分别为x 1、x 2、x 3． 原方程化为320b c d x x x a a a +++=． ∵ x 1、x 2、x 3是方程的三个根，∴32123()()()b c d x x x x x x x x x a a a+++=---． 整理，得3232123121323123()()b c d x x x x x x x x x x x x x x x x x x a a a+++=-+++++-， 比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：123121323123,,b c d x x x x x x x x x x x x a a a++=-++==- ．。
韦达定理的推广：一元多次方程的根与系数的关系
x1 x2 x3 x4 ...xn-2 xn-1 xn - 1 S0
n
• 这个关系就称为韦达定理。 • 韦达定理的逆定理：若根与系数满足上列关系，则可列出 原方程。
• 标准形式：ax+b=0(a≠0). • 求根公式： x b
a
• • • • •
根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设x1是方程x+b=0的根. 则x-x1=0. 故 x1=-b.
一元二次方程中根与系数的关系
• 标准形式：ax2+bx+c=0(a≠0). • 求根公式： b b 2 4ac
x 2a
• • • • • •
根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,x2是方程x2+bx+c=0的根. 则(x-x1)(x-x2)=0. 即x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 故 x1+x2=-b , x1x2=c.
一元三次方程中根与系数的关系
• 标准形式：ax3+bx2+cx+d=0(a≠0).
• • • • • •
根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设x1,x2,x3是方程x3+bx2+cx+d=0的根. 则(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0. 即x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3=0. 故 x1+x2+x3=-b , x1x2+x1x3+x2x3=c , x1x2x3=-d.
韦达定理
韦达定理
• 法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的 识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条 定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种 关系，人们把这个关系称为韦达定理。 • 同时，又有韦达定理的逆定理。根据根与系数的关系，可 列出原方程。
根与系数的关系公式8个
根与系数的关系公式8个根与系数之间存在以下8个关系公式：1.二次方程的根与系数的关系公式：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，它的两个根可以通过以下公式表示：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2.一元三次方程的根与系数的关系公式：对于一元三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0，它的根可以通过三角恒等式表示：x = (√3 R cos(θ/3) - b)/(3a), (√3 R cos((θ+2π)/3) -b)/(3a), (√3 R cos((θ+4π)/3) - b)/(3a)其中 R = ∛(q + √(q^2 + p^3)), q = (3ac - b^2)/(9a^2), p = (9abc - 27a^2d - 2b^3)/(54a^3)3.一元四次方程的根与系数的关系公式：对于一元四次方程 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a ≠ 0，它的根可以用四舍五入的方法获得。
但在实际情况中，它的根通常是通过数值方法，如牛顿迭代法等获得。
4.一元五次方程的根与系数的关系公式：一般情况下，一元五次方程的根没有可以用代数方式表示的公式。
5.一元二次方程的系数与根的关系公式：如果一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根为 p 和 q，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q)c = pq6.一元三次方程的系数与根的关系公式：如果一元三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的根为 p，q 和 r，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q+r)c = pq + qr + rpd = -(pqr)7.一元四次方程的系数与根的关系公式：如果一元四次方程 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 的根为 p，q，r 和 s，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q+r+s)c = pq + qr + rs + spd = -(pqr + qrs + rsp + spq)e = (pqr)s8.一元五次方程的系数与根的关系公式：一般情况下，一元五次方程的根没有可以用代数方式表示的公式。
初中数学重点梳理：待定系数法
待定系数法知识定位待定系数法是一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
知识梳理知识梳理1：待定系数法在多项式除法中的应用多项式除多项式时，其结果的形式我们往往是可以判断出的，在这种情况下，我们可以先假设出最后的结果（当然也是含未知数的），转化为等式再进行计算。
知识梳理2：待定系数法在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．知识梳理3：待定系数法在解方程中的应用在解一些复杂方程时，如果能够判断出方程的部分根，或者有方程根的一些限制条件；在这种情况下，采用待定系数的方法去解方程，往往可以有意想不到的效果。
知识梳理3：待定系数法在代数式恒等变形中的应用 知识梳理4：待定系数法在求函数解析式中的应用例题精讲【试题来源】【题目】已知多项式56423+-+x x x ，除式为12+x ，求它们相除所得到的商式和余式。
【答案】【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知r qx px x x ++++464234能被39323+++x x x 整除，求p,q,r 之值.【答案】【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】把多项式x 3－x 2+2x+2表示为关于x －1的降幂排列形式. 【答案】x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4. 【解析】用待定系数法：设x 3－x 2+2x+2=a(x －1)3+b(x －1)2+c(x －1)+d 把右边展开，合并同类项（把同类项对齐）， 得 x 3－x 2+2x+2=ax 3－3ax 2+3ax －a +bx 2－2bx+b +cx －c +d 用恒等式的性质，比较同类项系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+--=+-=2223131d c b a c b a b a a 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4321d c b a∴x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4. 本题也可用换元法： 设x －1=y, 那么x=y+1.把左边关于x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y 换成x －1.【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：4310252323-+-++-x x x cbx x ax 的值是恒为常数求：a, b, c 的值.【答案】a = 1 b = 1.5 c = -2 【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：.310434422-+---y x y xy x【答案】【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】m为何值时，6522-++-ymxyx能够分解因式，并分解之.【答案】【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：4x 4+ax 3+13x 2+bx+1是完全平方式.求： a 和b 的值.【答案】解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==172174 172174612612b a b a b a b a －或或或.【解析】设4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝（2x 2+mx±1）2（设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝4x 4+4mx 3+(m 2±4)x 2±2mx+1. 比较左右两边同类项系数，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=m b m m a 213442； 或⎪⎩⎪⎨⎧-==-=m b m ma 213442.解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==172174 172174612612b a b a b a b a －或或或.【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】推导一元三次方程根与系数的关系. 【答案】见解析【解析】设方程ax 3+bx 2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x 1, x 2, x 3.原方程化为x 3+02=++adx a c x a b . ∵x 1, x 2, x 3是方程的三个根. ∴x 3+=++adx a c x a b 2(x －x 1) (x －x 2) (x －x 3). 把右边展开，合并同类项，得 x 3+=++adx a c x a b 2=x 3－( x 1+x 2+x 3)x 2+(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)x －x 1x 2x 3. 比较左右同类项的系数，得 一元三次方程根与系数的关系是： x 1+x 2+x 3=－a b ， x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝a c ， x 1x 2x 3＝－ad.【知识点】待定系数法 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：x 3+px+q 能被（x －a ）2整除.求证：4p 3+27q 2=0. 【答案】见解析 【解析】证明：设x 3+px+q ＝（x －a ）2（x+b ）. x 3+px+q=x 3+(b －2a)x 2+(a 2－2ab)x+a 2b.⎪⎩⎪⎨⎧==-=-③②①q b a p ab a a b 22202 由①得b=2a ， 代入②和③得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=3223aq ap∴4p 3+27q 2＝4（－3a 2）3+27(2a 3)2=4×（－27a 6）+27×（4a 6）=0. （证毕）.【知识点】待定系数法 【适用场合】课后一个月练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：f (x)=x 2+bx+c 是g (x)=x 4 +6x 2＋25的因式，也是q (x)=3x 4+4x 2+28x+5的因式.求：f (1)的值. 【答案】f (1)=4【解析】∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.为了消去四次项，设3g (x)－q (x)＝kf (x), (k 为正整数). 即14x 2－28x+70＝k (x 2+bx+c) 14（x 2－2x+5）＝k (x 2+bx+c) ∴k=14, b=－2, c=5. 即f (x)=x 2－2x+5. ∴f (1)=4 . 【知识点】待定系数法 【适用场合】阶段测验 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知：23)2)(3(22++-+=+-+-x Cx B x A x x x x x ， 求：A ，B ，C 的值.【答案】A ＝－31. B ＝158. C ＝54. 【解析】去分母，得x 2－x+2=A(x －3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x －3).根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A ，B ，C 的值），当x=0时， 2＝－6A. ∴A ＝－31. 当x=3时， 8＝15B. ∴B ＝158.当x=－2时， 8＝10C. ∴C ＝54.【知识点】待定系数法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3．【答案】原式=(x+2y+3)(x+y+1)．【解析】由于(x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和x ＋y ＋n 的形式，应用待定系数法即可求出m 和n ，使问题得到解决． 设x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)=x 2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ， 比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．【答案】原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)【解析】分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．【知识点】待定系数法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知方程0412924=-+-x x x 有两根为1和2，解这个方程【答案】x 1 = 1 x 2 = 2【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知方程012823=+--x x x 有两个根相等，解这个方程. 【答案】【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】要使多项式))(2(2q x px x -++不含关于x 的二次项，则p 与q 的关系是（）A 相等B 互为相反数C 互为倒数D 乘积等于1【答案】A【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知多项式43261312x x x x m -+-+是一个完全平方式，试求常数m 的值。
三次方程的根与系数关系公式
三次方程的根与系数关系公式嘿，朋友们！咱们今天来聊聊三次方程的根与系数关系公式，这可是数学里相当有趣的一部分哟！你想啊，一个三次方程就像是一个神秘的宝箱，而根与系数关系公式就是打开这个宝箱的神奇钥匙。
先来说说啥是三次方程。
简单讲，就是形如 ax³ + bx² + cx + d = 0 这样的式子，这里的 a、b、c、d 都是数，而且 a 还不能等于 0 。
这就好比是一场数学的冒险之旅，我们要找到能让这个等式成立的根。
那根与系数关系公式到底是啥呢？它就像是方程世界里的一条隐藏法则。
比如说，方程的三个根分别是 x₁、x₂、x₃，那它们和系数之间就有着奇妙的联系。
咱举个例子感受一下。
比如说有个三次方程 x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 ，通过一些方法咱算出它的三个根是 1、2、3 。
这时候你会发现，根的和 x₁ + x₂ + x₃就等于 6 ，恰好就是二次项系数 -6 的相反数；根的两两乘积之和 x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃就等于 11 ，正好就是一次项系数；而根的乘积 x₁x₂x₃就等于 6 ，这不就是常数项嘛！神奇不？这就好像是一场巧妙安排的游戏，每个数字都有它的使命和位置。
你想想，如果没有这个关系公式，咱们要找到这些规律得多费劲啊！有人可能会说，这有啥用啊？用处可大了去啦！比如说，知道了系数，咱能大概猜出根的范围；或者知道了根，能快速检验系数对不对。
这在解决很多数学问题的时候，那可真是如虎添翼。
而且，这种关系不仅仅存在于数学的课本里，它在实际生活中也有影子呢。
就像建筑师设计大楼，工程师计算桥梁的受力，都可能用到这样的原理。
所以啊，别小看这三次方程的根与系数关系公式，它就像是数学世界里的一座宝藏，等待着咱们去挖掘，去发现其中的奇妙之处。
总之，三次方程的根与系数关系公式是数学中非常重要且有趣的一部分，值得咱们好好去琢磨和掌握！。
一元3次方程根与系数的关系
一元3次方程根与系数的关系对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx + d=0（a≠0），设其三个根分别为x_{1}，x_{2}，x_{3}。
根与系数的关系如下：1. 韦达定理的第一个关系（x^2项系数与根的关系）- 我们有x_{1}+x_{2}+x_{3}=-(b)/(a)。
- 推导过程：- 对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx + d = 0，根据代数基本定理，它可以分解为a(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})=0。
- 将a(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})展开得a(x^3-(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^2+(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x - x_{1}x_{2}x_{3}) = 0。
- 对比ax^3+bx^2+cx + d = 0与ax^3-a(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^2+a(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x -ax_{1}x_{2}x_{3}=0中x^2项的系数，可得x_{1}+x_{2}+x_{3}=-(b)/(a)。
2. 韦达定理的第二个关系（x项系数与根的关系）- x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=(c)/(a)。
- 推导过程：- 由上面展开式a(x^3-(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^2+(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x - x_{1}x_{2}x_{3}) = 0对比ax^3+bx^2+cx + d = 0中x项的系数，可得x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=(c)/(a)。
3. 韦达定理的第三个关系（常数项与根的关系）- x_{1}x_{2}x_{3}=-(d)/(a)。
- 推导过程：- 同样根据a(x^3-(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^2+(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x - x_{1}x_{2}x_{3}) = 0对比ax^3+bx^2+cx + d = 0中的常数项，可得x_{1}x_{2}x_{3}=-(d)/(a)。
一元多项式方程的根与系数之间的关系
一元多项式方程的根与系数之间的关系近年来，数学领域一元多项式方程的根与系数之间的关系备受重视。
一元多项式方程是指仅含有一个未知数的多项式方程，其一般形式可表示为：\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\]其中，\(a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0\)为实数或复数，\(n\)为非负整数且\(a_n \ne 0\)。
研究一元多项式方程的根与系数之间的关系，不仅可以帮助我们更好地理解方程的性质和解的方式，而且对实际问题中的数学建模具有重要意义。
本文将从多个方面探讨一元多项式方程的根与系数之间的关系。
一、一元多项式方程的根的概念及性质1.1 根的定义一元多项式方程\(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\)中，如果\(x = \alpha\)满足该方程，则称\(x = \alpha\)为该方程的一个根。
1.2 根的性质对于一元多项式方程\(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\)，其根具有以下重要性质：1）方程的n个复数根上线性空间内独立；2）根与系数之间存在着多项式关系；3）根与系数之间的关系为特征根与特征值之间的关系。
二、一元多项式方程的根与系数之间的关系2.1 根与系数的关系定理根与系数之间的关系定理是指一元多项式方程的根与系数之间存在着特定的关系，并且可以通过根与系数之间的关系来推断根的性质。
若一元多项式方程\(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\)有n个复数根\(x_1, x_2, ..., x_n\)，则有以下关系成立：\[a_n = 1\]\[a_{n-1} = -(x_1 + x_2 + ... + x_n)\]\[a_{n-2} = x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n\]\[\vdots\]\[a_0 = (-1)^n x_1x_2...x_n\]其中，\(a_n, a_{n-1}, ..., a_0\)为一元多项式方程的系数。
一元三次方程求根公式
一元三次方程求根公式一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
卡尔丹公式的推导第一步：ax^3+bx^2+cx+d=0 为了方便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0 令x=y-k/3 ，代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=(-k^2/3)+m，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
第二步：方程x^3+px+q=0的三个根为：x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。
×推导过程：1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+b x+c=0的形式。
再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①，如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。
根与系数的关系公式是什么
根与系数的关系公式是什么
根与系数的关系一般指的是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根x1,x2与系数的关系。
即x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a，这个公式通常称为韦达定理。
根与系数的关系简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数。
它一般用字母r表示。
它是用来度量定量变量间的线性相关关系。
复相关系数:又叫多重相关系数复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。
例如，某种商品的需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关系。
根与系数的关系，又称韦达定理。
所谓的韦达定理是指一元二次方程根和系数之间的关系。
一个一元二次方程的根可由求根公式求出，公式是含各项系数的代数式。
因此一元二次方程的的根与各项系数之间一定存在着某种数量上的关系。
一元三次方程求根公式
一元三次方程求根公式目录盛金公式三次方程新解法——盛金公式解题法三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式（Shengjin's Formulas）一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，总判别式：Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)；X2，X3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±31/2((Y1)1/3)－(Y2)1/3)i/(6a)，其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A1/2cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1<T<1)。
盛金判别法盛金判别法（Shengjin's Distinguishing Means）① 当A=B=0时，方程有一个三重实根；② 当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③ 当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
三次函数的根与系数的关系
三次函数的根与系数的关系三次函数的根与系数的关系1. 引言三次函数是数学中常见的一类函数，其特点是具有三次方的变量。
在解析几何、代数学和数学分析等学科中，三次函数有着重要的应用和研究价值。
本文将通过探讨三次函数的根与系数的关系，帮助读者深入理解这一主题。
2. 三次函数的定义与一般形式三次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d为实数，a ≠ 0。
函数的定义域为实数集合，值域也为实数集合。
3. 根的概念与性质一个函数的根是指使函数取零值的自变量值。
对于三次函数来说，根可能有一个、两个或三个。
根的性质包括：- 根与函数图像的交点：三次函数的根对应于函数图像与x轴的交点，即在该点函数取零值。
- 根的个数与函数的性质：三次函数可以有一个、两个或三个根，具体个数取决于函数的系数和形态。
当函数的首项系数a>0时，函数图像呈现“上凹”的形态，可能有一个或两个实根，或者没有实根。
- 复数根：三次函数可能还存在复数根，这些根不能在实数集合中找到对应的值，在复数域中有对应的意义和解释。
4. 系数与根的关系三次函数的系数对于根有着重要的影响，下面将具体探讨系数与根的关系。
4.1 一次项系数c对于根的影响三次函数的一次项系数c对于根的影响是非常直观的。
当c=0时，函数的一次项消失，此时函数只有两次项和常数项，等同于一个二次函数。
此时三次函数的根将与二次函数相同，具有相同的性质和关系。
4.2 二次项系数b对于根的影响二次项系数b的大小和正负决定了三次函数图像的开口方向和形态。
当b>0时，函数图像呈现“上凹”的形态，可能存在一个或两个实根，或者没有实根。
当b<0时，函数图像呈现“下凹”的形态，可能存在一个实根和两个共轭复数根，或者没有实根。
4.3 三次项系数a对于根的影响三次项系数a决定了三次函数图像的整体缩放程度和形态。
当a>0时，函数图像在x轴的两侧呈现“上凹”的形态，可能存在一个或两个实根，或者没有实根。
一元三次方程的解法
如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
它的解是：
其中
根与系数的关系为
判别式为
当时，有一个实根和两个复根；时，有三个实根，当时，有一个三重零根，时，三个实根中有两个相等；时，有三个不等实根。
三个根的三角函数表达式（仅当时）为
其中
一般的一元三次方程可写成
的形式。
上式除以，并设，则可化为如下形式：
其中，.
可用特殊情况的公式解出，则原方程的三个根为标准型方程中卡尔丹公式的一个实根
三个根与系数的关系为。
一元三次方程
盛金公式三次方程新解法——盛金公式解题法。
盛金公式Shengjin's Formulas一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，X3=(－2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))i/(6a)，其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。
盛金判别法盛金判别法Shengjin's Distinguishing Means①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
盛金定理盛金定理当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。
基于教材,追根溯源——三次方程根与系数的关系及其应用
教材点击２０２４年３月上半月㊀㊀㊀基于教材,追根溯源三次方程根与系数的关系及其应用◉安徽省临泉第一中学㊀潘宏俊㊀㊀高中数学试题中,经常会碰到一些 三次 问题(主要涉及三次方程或三次函数等)．涉及此类的 三次 问题,设置的思维方式就是利用 降次 ,将 三次问题巧妙转化为 二次 问题,借助数学思维的转化,往往导致解题过程比较繁琐,运算量比较大,给问题的分析与解决造成困难．有时利用相应的三次方程根与系数的关系来分析与解决此类 三次 问题,处理起来更加直接有效,简化数学运算,因此,基于高中数学教材中的 阅读与思考 栏目,充分挖掘其应用显得尤为必要．１追根溯源一些高考试题㊁竞赛试题的命题背景㊁知识应用等,都是源于教材,来自教材中的例(习)题,或基于教材的 思考 阅读与思考 等栏目,通过合理创设,进一步加以转化㊁深入㊁变形㊁拓展与提升,实现问题的应用．人民教育出版社２０１９年人教A版«数学(必修第二册)»第七章 复数 第８１页阅读与思考 代数基本定理 设实系数一元三次方程a３x３＋a２x２＋a１x＋a０＝０(a３ʂ０)在复数集C内的根为x１,x２,x３,可以得到x１＋x２＋x３＝－a２a３,x１x２＋x１x３＋x２x３＝a１a３,x１x２x３＝－a０a３．ìîíïïïïïïï以上对应的三次方程根与系数的关系,就是三次方程的韦达定理,是二次方程的韦达定理的深入与拓展,为高考命题与竞赛命题提供了更多的场景与应用．２应用例析三次方程根与系数的关系,即韦达定理,在解决一些 三次 问题中有奇效,可以很好地优化解题过程,提升解题效益．２．１代数式的求值问题例１㊀(２０２１年全国高中数学联赛福建赛区预赛)若x１＝１,x２＝１－i,x３＝１＋i(i为虚数单位)为方程x３＋a x２＋b x＋c＝０的三个解,则a＋b－c＝．分析:根据题设条件,结合三次方程根与系数的关系,正确建立三次方程对应系数的方程组,进而求解对应系数的值,为相应代数式的求值提供条件．解析:依题意,利用三次方程根与系数的关系,可得１＋１－i＋１＋i＝－a,１ˑ(１－i)＋１ˑ(１＋i)＋(１－i)(１＋i)＝b,１ˑ(１－i)(１＋i)＝－c．{解得a＝－３,b＝４,c＝－２．所以a＋b－c＝－３＋４＋２＝３．故填:３．点评:在已知三次方程的三个根或三次函数零点的基础上,经常可以直接利用三次方程根与系数的关系,建立对应系数与三个根或零点之间的关系式,对于确定系数值㊁代数式的值以及与之相关问题的应用等,都可以起到很好的作用．２．２系数范围的确定问题例２㊀(２０２０届 超级全能生 浙江省高三３月模拟C卷)已知a,bɪR,函数f(x)＝a x３＋b x２＋x＋１(a＜０)恰有两个零点,则a＋b的取值范围是(㊀㊀)．A．(－ɕ,０)㊀㊀㊀㊀B．(－ɕ,－１)C．(－ɕ,－１４)D．(－ɕ,１４)分析:根据题设条件,设出三次函数的两个非零的零点,利用三次方程根与系数的关系,建立相应的关系式,通过消参把参数a,b均表示为关于x１的关系式,并确定x１的取值范围,进而通过构造函数,结合函数的单调性来确定相应函数的最值问题．解析:由于函数f(x)＝a x３＋b x２＋x＋１(a＜０)恰有两个零点,而f(０)＝１,因此可设函数f(x)的两个非零的零点分别为x１,x２(不失一般性,不妨设x１＜x２),a x３＋b x２＋x＋１＝a(x－x１)２(x－x２)＝０．利用三次方程根与系数的关系,可以得到２x１＋x２＝－b a,x２１＋２x１x２＝１a,x２１x２＝－１a．ìîíïïïïïïï４１２０２４年３月上半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀解得a ＝２x ３１＋１x ２１,b ＝－３x ２１－２x １．ìîíïïïï由x ２＝－x １x １＋２＞０,可得x １ɪ(－２,０),则a ＋b ＝２x ３１－２x ２１－２x １,x １ɪ(－２,０)．构造函数g (x )＝２x ３－２x ２－２x,x ɪ(－２,０),求导可得g ᶄ(x )＝２(x ＋３)(x －１)x ４＜０,所以函数g (x )在区间(－２,０)上单调递减,则有g (x )＜g (－２)＝１４,即a ＋b ＜１４．所以a ＋b 的取值范围是(－ɕ,１４)．故选择:D ．点评:在未知三次方程的三个根或三次函数的零点相关问题中,经常借助对应根或零点的设置,方便利用三次方程根与系数的关系,综合待定系数法㊁等量代换等思维方式,合理化归与转化,为相关参数(或参数式)的取值范围求解指明方向,思路直接流畅,方法简洁明了,操作简单快捷．２．３三次方程的应用问题例３㊀(２０２３年北京大学测试卷)方程组x ＋y ＋z ＝４,x ２＋y ２＋z ２＝６,x ３＋y ３＋z ３＝１０的解的个数为(㊀㊀)．A．０B ．３C ．６D．其他三个选项均不对分析:根据题设条件,直接求解三次方程组存在非常大的困难,而利用三次方程根与系数的关系,分别确定三个数的和㊁三个数两两乘积的和以及三个数的积,将问题转化为与三个数相对应的三次方程问题,利用三次方程的确定以及对应根的求解来转化与应用,转变视角,迂回解决．解析:依题意,由(x ＋y ＋z )２＝x ２＋y ２＋z ２＋２(x y ＋y z ＋z x )＝６＋２(x y ＋y z ＋z x )＝１６,可得x y ＋yz ＋z x ＝５．又由x ３＋y ３＋z ３－３x yz ＝(x ＋y ＋z )(x ２＋y ２＋z ２－x y －y z －z x )＝４ˑ(６－５)＝４,可得x yz ＝２．所以有x ＋y ＋z ＝４,x y ＋yz ＋z x ＝５,x yz ＝２,ìîíïïï利用三次方程根与系数的关系,可知x ,y ,z 是三次方程t ３－４t ２＋５t －２＝０的三个根．而t ３－４t ２＋５t －２＝(t －１)(t ２－３t ＋２)＝(t －１)２(t －２),结合根的排列位置,可知原方程组的解有(１,１,２),(１,２,１),(２,１,１)．故选择:B ．点评:高次方程(三次及以上)的综合应用问题,其基本解题思路就是化归与转化以及 除次 处理．而涉及三次方程的综合应用问题,可以直接利用三次方程根与系数的关系来达到目的,关键在于构建三次方程以及对应系数与根之间的关系,巧妙创设联系,构建对应的方程或关系式．２．４综合应用的判定问题例４㊀(２０２３届广东省深圳市高三第一次调研数学试题)(多选题)已知函数f (x )＝x (x －３)２,若满足f (a )＝f (b )＝f (c ),其中a ＜b ＜c ,则有(㊀㊀)．A．１＜a ＜２B ．a ＋b ＋c ＝６C ．a ＋b ＞２D．a b c 的取值范围是(０,４)分析:根据题设条件,利用导数求出函数的单调区间和极值,结合函数的大致图象确定f (x )－t ＝０的三个根的取值范围,利用三次方程根与系数的关系加以综合与应用,进而判定与之相应的综合应用问题．解析:由f (x )＝x (x －３)２＝x ３－６x ２＋９x ,借助求导处理,得f ᶄ(x )＝３x ２－１２x ＋９＝３(x －３)(x －１)．令f ᶄ(x )＝０,解得x ＝１或x ＝３,所以函数f (x )的图１单调递增区间为(－ɕ,１)和(３,＋ɕ),单调递减区间为(１,３)．又f (３)＝０,f (１)＝f (４)＝４,则对应f (x )的图象如图１所示．设f (a )＝f (b )＝f (c )＝t ,数形结合可知０＜t ＜４,０＜a ＜１＜b ＜３＜c ＜４,故选项A 错误．而f (x )－t ＝(x －a )(x －b )(x －c )＝x ３－６x ２＋９x －t ,利用三次方程根与系数的关系,可得a ＋b ＋c ＝６,a b c ＝t ɪ(０,４),故选项B ,D 正确．又３＜c ＜４,则３＜６－(a ＋b )＜４,解得２＜a ＋b ＜３,故选项C 正确．故选择答案:B C D ．点评:在解决一些涉及三次方程或函数的综合应用问题中,合理变形,巧妙转化,将对应问题巧妙化归为相应的三次方程或函数问题,进而利用三次方程根与系数的关系来综合应用．这是解决问题的关键所在,也是问题的重要切入点之一．３教学启示在新教材㊁新课程㊁新高考的 三新 背景下,基于数学教材的高考命题成为一个热点与基本点,数学教材也逐渐成为高考命题的一个重要依托与 源题库 ．因此,要合理回归教材,从教材中的基本知识点入手,深入挖掘教材的典型例(习)题以及一些相关栏目等,都可以为深度学习与复习备考提供有益的材料,在教与学的过程中要加以高度重视．Z５１。
一元三次方程与根的关系(一)
一元三次方程与根的关系(一)
一元三次方程与根的关系
一元三次方程的定义
•一元三次方程是指形如ax3+bx2+cx+d=0的方程，其中a≠0。
三次方程的根的数量
•一元三次方程的根可以有1个、2个或3个，即可能存在重根。
根与系数间的关系
判别式的计算公式
•一元三次方程的判别式可以通过以下公式计算：Δ=18abcd−4b3d+b2c2−4ac3−27a2d2
根与判别式的关系
•一元三次方程的根与判别式的关系如下：
–当Δ>0时，方程有三个不同实数根；
–当Δ=0时，方程有一个实数根和一个重根；
–当Δ<0时，方程有一个实数根和两个共轭复根。
根与系数的关系
•一元三次方程的根与系数的关系可以通过维达定理得出。
设方程的三个根为x1,x2,x3，则有以下关系：
；
–x1+x2+x3=−b
a
–x1x2+x1x3+x2x3=c
；
a。
–x1x2x3=−d
a
解释说明
•一元三次方程与根的关系是通过判别式和维达定理来确定方程的根的个数、类型以及与系数之间的关系。
•根据判别式的正负与零，可以推断方程的根的性质。
•维达定理则提供了方程根与系数之间的关系，通过系数求解方程的根时，可以利用这些关系简化计算过程。
以上是一元三次方程与根的关系的简要说明。
一元三次方程的解与其根的关系是解析几何和代数学中的重要内容，对于理解方程的根和系数之间的关系以及解方程具有重要意义。