水静力学

水力学教案
第二章水静力学
【教学基本要求】
1、正确理解静水压强的两个重要的特性和等压面的性质。

2、掌握静水压强基本公式和物理意义，会用基本公式进行静水压强计算。

3、掌握静水压强的单位和三种表示方法；绝对压强、相对压强和真空度；理解位置水头、压强水头和测管水头的物理意义和几何意义。

4、掌握静水压强的测量方法和计算。

5、会画静水压强分布图，并熟练应用图解法和解析法计算作用在平面上的静水总压力。

6、正确绘制压力体，掌握曲面上静水总压力的计算。

【学　习　重　点】
1、静水压强的两个特性及有关基本概念。

2、重力作用下静水压强基本公式的物理意义和应用。

3、压强量度与量测。

4、静水压强分布图和平面上的静水总压力的计算。

5、压力体的构成和绘制以及曲面上静水总压力的计算。

【内容提要和教学重点】
水静力学的任务是研究液体的平衡规律及其工程应用。

2.1 静水压强及其特性
静止液体作用在每单位受压面积上的压力称为静水压强，单位为
（N/ m2），也称为帕斯卡（P a）。

某点的静水压强p可表示为：
（2—1）
静水压强有两个重要特性：（1）静水压强的方向垂直并且指向受压面；（2）静止液体内任一点沿各方向上静水压强的大小都相等，或者
说每一点的静水压强仅是该点坐标的函数，与受压面的方向无关，可表示为p = p (x，y，z)。

这两个特性是计算任意点静水压强、绘制静水压强分布图和计算平面与曲面上静水总压力的理论基础。

2.2 等压面
液体中由压强相等的各点所构成的面（可以是平面或曲面）称为等压面，静止液体的自由表面就是等压面。

对静止液体进行受力分析，导出液体平衡微分方程即欧拉平衡方程。

根据等压面定义，可得到等压面方程式：
X d x+Y d y+Z d z = 0 （2—2）
式中：X、Y、Z是作用在液体上的单位质量力在x、y、z坐标轴上的分量，并且
（2—3）
其中：U是力势函数。

等压面有两个特性：（1）等压面就是等势面；（2）等压面与质量力正交。

2.3重力作用下的静水压强基本公式
重力作用下的静水压强基本公式（水静力学基本公式）为
p = p0+γh（2—4）
式中：p0—液体自由表面上的压强，h—测压点在自由面以下的淹没深度，γ—液体的容重。

该式表明：静止液体内任一点的静水压强由两部分组成，一部分是液体表面压强p0，它将等值地传递到液体内每一点；另一部分是高度为h 的液柱产生的压强γh。

该式还表明，静水压强p沿水深呈线性分布。

对于连通器，水深相同的点组成的面是等压面；当自由表面是水平面时，等压面也是水平面。

2.4绝对压强、相对压强和真空度
由物理学可知，大气也有压强，它是地面以上高达二百多公里的大气层在单位面积上造成的压力，其值由托里拆利实验测定。

一个标准大气压1p atm＝101.293kN/m2=760mmHg柱=10.33m水柱。

像这种以设想的
没有大气压存在的绝对真空状态为零点计量得到的压强称为绝对压强，以p ab或p＇来表示。

由于大气压强随海拔高程而变化，地球上不同地点的大气压强值不同，故提出了当地大气压的概念。

但利用当地大气压强进行水力计算很不方便，为此，在水力学中又提出了工程大气压的概念，取一个工程大气压1p a=98kN/m2=736mmHg柱=10m水柱，显然略小于标准大气压。

以当地大气压作为零点计量的压强是相对压强p，若当地大气压强用绝对压强表示为p a，则相对压强与绝对压强的关系为：
p= p＇- p a（2—5）
当液面与大气相连通时，根据相对压强的定义，液面压强可表示
为p0 = 0 ，根据式（2—4），静止液体中某点的相对压强为： p=γh （2—6）
这是用相对压强表示的静水压强基本公式，该式也可表示为：
（2—7）
即用液柱的高度表示某点的压强，这是压强表示的另一种方法，也是用测压管量测某点压强的依据。

当液体中某点的绝对压强小于当地大气压强，该点的相对压强为负
值，则称该点存在真空。

负压的绝对值称为真空压强hυ，即
（2—8）
请注意：绝对压强永远是正值，相对压强可正也可负，真空压强（真空度）不能为负值。

最小的真空压强为零，这时相对压强也为0，而绝对压强p＇= 1工程大气压= 98kN /m2，用液柱高度表示绝对压强为
相当与10米水柱。

压强的计量单位有三种：（1）用应力单位表示：N /m2（P a）或kN /m2（kP a）；（2）用大气压的倍数表示：即p a=98kN /m2，用p a的倍数表示；（3）用液柱高度：米水柱高度（mH2O）或毫米水银柱高度
（mmHg）。

它们之间的关系为：
1p a = 98kN /m2， mH2O， mmHg
2.5水头和单位势能
重力作用下静水压强基本公式可表示为：
p = p0+γ(z0- z)或z+ = c (2—9)
式中：z0和z分别是液面和液体内某点相对于某个基准面的位置高
程，常数c= z0 + 。

该式表示：重力作用下静止液体内任一点的（）都相等。

z和都是长度量，而且都具有能量的含义，z是单位重量液体所具有的位能，是单位重量液体具有的压能。

水力学中习惯用“水
头”来称呼这些具有能量意义的长度量，即z称为位置水头（即单位重量液体具有的位置势能），称为压强水头（单位重量液体具有的压强势能），而（）称为测压管水头（表示单位重量液体具有的总势能）。

因此，水静力学基本方程也可表述为：静止液体中各点的测压管水头维持同一常数。

该方程实质上反映了静止液体中的能量守恒规律。

应用时需要注意公式中各物理量的正负号：
位置水头z的正负与基准面有关，点的位置在基准面以上，z为正，点的位置在基准面以下，z为负。

压强水头的正负与基准面无关，与测压管液面（大气压强作用面或相对压强为零的面）有关，点的位置在测压管液面以上，为负，点的位置在测压管液面以下，为正。

称为测压管水头，其值的正负既与基准面有关，又与测压管液面有关。

测压管液面在基准面以上，为正；测压管液面在基准面以下，为
负。

表示静止液体中各点对同一基准面所具有的测压管水头维持同一常数。

基准面不同，常数值不同。

大家注意，重力作用下静水压强的两个基本公式中并未对压强p做什么明确的说明，但这里要强调，公式中的压强可用绝对压强，也可用相对压强，只要两者用同一起算基准，即p0为绝对压强，求得的p也必为绝对压强。

但公式中的压强p只能用相对压强，因为代表测压管水头，即测压管中液柱上升的高度，实际上液柱只能上升相对压强所代表的水头高度。

若用绝对压强表示，则与实际情况不符。

2.6压强的测量和计算
测量液体的压强，可以用压力表（机械式压强量测仪表）、压力传感器（电测方法）等量测仪器，也可以用水静力学原理设计的测压管、比压计、U型水银测压计等量测仪器和方法。

静水压强的量测和计算的理论依据是水静力学基本公式和连通器中等压面关系。

2.7静水压强分布图
静水压强分布图可以形象地反映受压面平上的压强分布情况，并能据此计算矩形平面上的静水总压力。

用比例线段表示压强的大小，根据静水压强特性，用垂直受压面的箭头表示静水压强的方向，根据静水压强沿水深是线性分布的规律，绘出平面上两点的静水压强并把其端线相连，即可确定平面上静水压强分布图。

绘制静水压强分布图时，一般按相对压强绘制，因为大气压强无处不在。

需要指出的是：当受压面两侧均有液体作用时，可以用受压面两侧静水压强分布图进行合成，箭头代表合压强的方向。

在相对压强分布图中，当外侧是大气压强时且表示压强方向的箭头背向受压面时，说明受压面上的相对压强是负压或存在真空。

2.8作用在平面上静水总压力
（1）对于矩形平面，应用静水压强分布图可以求出作用在平面上静水总压力的大小为
P=Ωb （2—10）
式中：是静水压强分布图的面积，b和L分别是矩形平面的宽度
和长度，h1和h2分别是矩形平面上边和底边处的水深。

静水总压力是平行力系的合成，根据静水压强的特性，静水总压力的方向垂直指向该平面。

静水总压力的作用点D（又称压力中心）位于纵向对称轴上，D到底边的距离e为
（2—11）
这样作用在平面上静水总压力的三个要素——大小、方向、作用点都可以确定了。

在应用式（2—11）进行计算时需要注意h1和h2的含义。

（2）用解析法求作用在任意形状平面上的静水总压力
作用在任意形状平面上静水总压力的大小等于该平面面积与其形心处点的静水压强的乘积，即
P=p c A=γh c A（2—12）
总压力的作用点（压力中心）D点的坐标为
（2—13）
或者（2—14）
式中：p c是平面形心处的静水压强；h c是平面形心C在液面下的淹没深度；y D是压力中心D距ox轴的距离；y c为形心距ox轴的距离；I c为面积A 对过形心C的水平轴的惯性矩，矩形平面的I C=bh3/12 ，圆形断面的
I C=πd4/64；e1为偏心矩，即压力中心D到形心C的距离。

2.9作用在曲面上的静水总压力
求作用在曲面上的静水总压力P，可先求出其水平分力P x和铅垂分力P z，然后合成为总压力P。

（1）静水总压力的水平分力P x等于作用在该曲面的铅垂投影面A x上的静水总压力，即 P x = p c A x = γh c A x（2—15）
式中h c是投影面A x的形心点水深。

P x的方向垂直于投影面A x，作用点位
于A x压力中心。

（2）静水总压力的铅垂分力P z等于曲面所托压力体的水重。

压力体是由三部分表面围成的体积V：即受压的曲面、通过曲面的边缘向液面或液面的延长面作的铅垂平面和自由液面或自由液面的延长面。

这时静水总压力的铅垂分力P z为
P z=γV（2—16）
铅垂分力P z的方向按如下原则确定：当压力体与液体在受压曲面的同侧，P z的方向向下；当压力体与液体在受压曲面的两侧，则P z的方向向上，并且P z的作用线通过压力体的形心。

（3）作用在曲面上的静水总压力P为
（2—17）
总压力与水平方向的夹角α为
（2—18）
请注意，在许多工程问题中，如重力坝的稳定分析，通常不需要计算总压力，而是直接用水平分力和铅垂分力来分析的。

对于三维曲面，除了有x方向水平分力P x，还有y方向水平分力P y，P y的计算方法同P x 。

根据作用在曲面上静水总压力的计算原理可以证明：浸没在水中的物体受到静水压力的合力F等于物体在水中所排开水体的重量，
即F=γV，V是物体的体积，而且合力的方向向上。

F也称为物体受到水的浮力，浮力的作用线通过物体所排开水体的形心，这就是著名的阿基米德定律。

根据物体受到的重力G和浮力F间大小的对比，可以确定物体是处在沉浮或随遇平衡状态。

【思考题】
2—1什么是静水压强？静水压强有什么特性？
2—2什么是等压面？等压面有什么性质？
2—3水静力学基本方程的形式和表示的物理意义是什么？
2—4静止液体中沿水平方向和垂直方向的静水压强是否变化？怎么
变化？
2—5在什么条件下“静止液体内任何一个水平面都是等压面”的说法是正确的？
2—6图示为复式比压计，请判断图中A—A、B—B、C—C、D—D、C—E中哪些是
思2—6图
等压面？为什么？
2—7请解释下列名词的物理意义：绝对压强，相对压强，真空和真空度，水头，位
置水头，压强水头和测压管水头，并说明水头与能量的关系。

2—8表示静水压强的单位有哪三种？写出它们之间的转换关系。

2—9什么是静水压强分布图？它绘制的原理和方法是什么？为什么在工程中通常只
需要计算相对压强和绘制相对压强分布图？
2—10请叙述并写出计算平面上静水总压力大小和作用点位置的方法和公式，并说
明其应用条件。

2—11如图所示，平板闸门AB倾斜放置在
水中，试分析当上下游水位都上升1米
思2—11图
图中虚线的位置）时，（a）、（b）两图中闸门AB上所受到的静水总压力的
大小及作用点的位置是否改变。

2—12压力中心D和受压平面形心C的位置之间有什么关系？什么情况下D点与C
点重合？
2—13请叙述压力体的构成和判断铅垂方向作用力P z方向的方法。

2—14如何确定作用在曲面上静水总压力水平分力与铅垂分力的大小、方向和作用
线的位置。

2—15如图所示为混凝土重力坝断面的两种设计方案，已知混凝土的比重为2.5，试
根据受力分析从抗滑移稳定和抗倾翻稳定两方面判断哪种设计方案更为合理。

思2—15图思2—16图
2—16如图所示，在盛满水的容器侧壁上放一个半径为a的均质圆柱，圆柱的左半
部完全浸没在水中。

根据阿基米德原理，左半个圆柱体始终受到一个向上的浮
力，并且浮力的大小等于它所排开水体的重量，浮力的作用线通过左半个圆柱
体的形心。

这个浮力将对圆柱体产生旋转力矩，使它绕O轴不停地旋转。

这
种说法是否正确？为什么？
【解题指导】
一、思考题答案
思2-5 解答：必须是相连通的静止液体，它的任何一个水平面都是等压面。

思2-6 解答：B－Ｂ，Ｃ—Ｅ是等压面。

思２-11解答：可以分别画出（a），（b）图上平板闸门AB两侧的静水压强图，合成后可以发现（b）图的合静水压强图图形不变，因此，（b）图闸门AB上静水总压力和作用点不变；而（a）图发生了改变。

思2-12 解答：作用于平面上的压力中心D一般都位于形心C点以下，当平面水平放置时，压力中心D与形心C重合。

思2-15 解答：无论从抗滑移和抗倾翻方面分析，（b）更安全。

因为（b）增加向下的水压力，既增加了抗滑移摩擦力，也增加了抗倾翻力矩。

思2-16 解答：这种说法不正确，因为半圆上各点的压力都垂直于曲面，即通过圆心，合力也必然通过圆心，对圆柱不产生旋转力矩。

二、例题
例题2-1 如图所示为一溢流坝上的弧形
门。

已知：R=10m,门宽b=8m,α=30ο,试求：
(1) 作用在弧形闸门上的静水总压力；
(2) 压力作用点位置。

解：
（1）静水总压力的水平分力
其中：
静水总压力的铅直分力
所以,静水总压力为2663KN；合力作用线与水平方向的夹角为16.91°，合力与闸门的交点到水面的距离6.91米。