第2章(上) 拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型
中级宏观经济学第章拉姆齐模型
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－效用最大化
B
et c
t 1 dt
0
1
k 0
eRtengt w t dt-
0
0
eRt
en
g
t
c
t
dt
（ 5-16）
在每个时点家庭选择c，这样就会形成无限多个c(t)。对每一单 个c(t)，其一阶条件是对于任意的t：
第一节 拉姆齐问题
厂商行为
厂商行为相对简单。在每个时点上，他们租用劳动与资本进行生
产，并按这些要素各自的边际产品支付报酬，并出售所生产的产出。
由于生产函数具有不变的规模报酬，经济是竞争性的，厂商因此获得
正常利润。我们知道，资本的边际产品F为K, AL =f ' k
K
。由于市场是
竞争性的，资本只能获得其边际产品。由于不存在折旧，资本的真实
C
t
Lt
H
dt
(可以是负值)；
eRsRt 则表明从t时刻到s时刻该储蓄值的变动状况。
式(5-9)表达式是 eRs 与式(5-8)的大括号中的表达式的乘
积，预算约束写成下式：
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－预算约束（续）
lim eRs K s 0（ 5-10）
报酬率等于其每单位时间的收入，因此，在t时刻，真实利率为：
r t f ' k t（ 5-3）
第一节 拉姆齐问题
厂商行为（续）
劳动的边际产品为 F K, AL ，它也等于 AF K, AL 。根据
L
AL
上述生产函数的紧凑形式，它可写成A f k kf ' k 。因此在c
2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.1基本假设 完全竞争市场结构； 长生不老的不断扩展 的家庭（有限寿命的 个人和基于利他主义 的代际转让）； 家庭和个人完全同质； 忽略资本的折旧。
租让资本，获取利息 提供劳动，赚取工资 购买产品，进行消费
家庭
相互拥有
厂商
销售产品，获得利润 雇佣劳动，支付工资 租用资本，支付利息
2.2.2 家庭的行为 家庭的行为是去选择各个时刻t的消费，以使家庭在服 从预算约束的条件下获得最大的终生效用，即 ：
L(t ) max : U e u[C (t )] dt t o H L(t ) K (0) L(t ) R (t ) R (t ) s.t.: e C (t ) dt e A(t ) w(t ) dt 0 0 H H H
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率和实际工 资率的运动路径 r（t）和 w（t）视为既定。家庭只能 接受它们，而无法影响它们，因为要素市场是完全竞 争的。 家庭的目标是实现终生效用最大化。在追求这一目标 的过程中，家庭的经济活动要受到预算约束的限制， 也就是说，家庭终生消费的现值不能超过家庭初始拥 有的财富与家庭终生劳动收入的现值之和。
t
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 求解此效用最大化问题，可得描述C(t)调整路径的 “欧拉方程” ：
C (t ) r (t ) C (t )
和每单位有效劳动消费的“欧拉方程” ：
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
自然资源_经济增长与创新三者的关系分析_张景华
2008年11月第30卷 第6期当代经济科学M odern E c ono m ic S cience N ov .02008Vo.l 30 No .6自然资源、经济增长与创新三者的关系分析张景华(国家税务总局党校,江苏扬州225007)摘要:自然资源是经济增长的过程中的一个要素,理论上这个要素能够扩大生产可能性边界,但是,现实生活中自然资源常常阻碍了经济增长的提高,而缺少自然资源的地区反而可能有更快的增长速度。
本文考察了自然资源禀赋、经济增长与创新之间的关系,作为/资源诅咒0的传导机制的重要部分,并发展了一个基于内生经济增长理论,变化的拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型来解释/资源诅咒0现象。
资源收入通过直接减少工作动力和间接导致较小的从事创新的劳动力比例两种方式阻碍经济增长。
关键词:自然资源;资源诅咒;创新;经济增长中图分类号:F061.2;F062.1 文献标识码:A 文章编号:1002-2848-2008(06)-0050-09一、引 言一国丰富的自然资源对经济的长期发展是福还是祸?初看起来,这个问题的答案应该是不言而喻的事。
经济增长是靠消耗自然资源为前提的,自然资源为经济增长提供物质资料来源。
20世纪90年代以来,自然资源对经济增长的影响引起了经济学家的激烈争论,有人将其视为/神赐天粮0,是来自自然的祝福;也有人将其斥为/魔鬼的粪便0,广大民众并没有从这些资源开采中受益,大多数人们仍然生活在贫困中,资源丰富反而陷入了贫困陷阱,给人们带来了难以摆脱的诅咒。
资源丰裕国的经济表现往往不及资源缺乏国,自然资源在经济增长中的角色仿佛由/天使0变成了/魔鬼0,/资源的诅咒0也由此而来。
/资源的诅咒0是发展经济学中的一个著名命题,其涵义是指自然资源对经济增长产生了限制作用,资源丰裕经济体的增长速度往往慢于资源贫乏的经济体。
那就是那些自然资源丰富的国家其经济表现远不如自然资源贫乏的国家。
类似情形在非洲和拉美表现得极为突出。
2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 这样家庭的预算约束可以写作：
0
e
R (t )
L(t ) K (0) C(t ) dt H H
0
e R(t ) A(t )w(t )
L(t ) dt H
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
n (1 ) g 0
f ' (k gold ) < f ' (k * (t ))
因此 k * k gold
。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.3 经济的动态学
2.3.4 初始值与经济运行路径
c
0 c
A
0 k
B
C
F D
O
k (0)
k*
k
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.3 经济的动态学
2.3.5 鞍点路径
c
0 c
k 0
如果我们引入消费 者预算约束和资本 存量为正的条件， 鞍点路径是一个经 济唯一可能运行的 路径。
O
k*
k
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.4 平衡增长路径
变量 绝 对 量 K L A AL Y C 相 对 量 k K/L y Y/L c C/L K/Y s 资本存量 含义 平衡增长速度 n+g n g n+g n+g n+g 0 g 0 g 0 g 0 0 c=c* y=f(k)=Y/AL F(cK,cAL)=cF(K,AL) C=ALc k=k* k=K/AL 备注证明
高2.3.2 k的动态学
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
拉姆齐-卡斯-库
1、假定
厂商的生产函数为Y=F(K,AL)，满足于索洛模型相同
的假定。 家庭 家庭规模以n速增长 家庭效用函数为
L (t ) U e u (C (t )) dt 0 H C (t )为t时期每一家庭成员的消 费，u ()为
t
即期效用函数， (t )为经济的总人口， L H为家庭数，L (t ) / H为家庭成员数，
当k大于k 时，f (k )小于 g (边际报酬递减规律，因而c 为 )
负。当k小于k 时，f (k )大于 g，因而c 为正。
c
c0
c0
c0
k*
k
c的动态学
k的动态学
k的增长等于实际投资减去持平投资，不
考虑折旧，则持平投资为（n+g）k，实 际投资为产量减去消费，f(k)-c。因此，
上述结论的含义在于，在最优消费增长
模型中，无效率的过度储蓄不会出现， 这一点与索洛模型不同，原因在于典型 的无限存续家庭一旦储蓄过度，马上会 意识到这不是它的最优消费路径。寻求 最优消费路径的家庭储蓄总是不足以使 资本达到黄金分割率水平，这种缺乏耐 性的消费行为反映了有效贴现率ρ+θg 的影响，减少当前消费以实现最大化的 消费路径，即实现黄金分割率的消费水 平是不值得的。
c
c0
A
鞍点路径
E
k 0
B C F D K(0)
k* c的不同初始值下c和k的变动
k
假定k(0)小于k*，上页图中给出了c的初
始值c(0)处于不同位置时，c和k的轨迹。
如果c(0)高于 k 0曲线，如图形中的 点，那么 A c 是正的，而k 为负，因此经济持续向 上向左移动。 如果c(0)处于B点，此时k 最初为0，经济开始时 在(k , c)空间中向上直移，随后 出现 c 为正，为负，因而 k 经济又是向上向左移动 。如果经济开始时稍微 低于 k 0线，比如在C点，那么初始时的k 为正但较小 且 c 仍为正，因此经济开始 时向上、稍偏右的方向 移动，
拉姆齐模型第一部分
5拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型几个重要关系：● 收入由生产函数决定：(),Y F K AL = ● 收入＝消费＋储蓄：YC S =+● 在均衡中，储蓄＝投资：SI =● 在没有折旧、人口增长和技术进步时，资本存量的增长＝投资：K I ∆=●()()0ntL t L e =，人口，资本，效用等都以指数形式增长。
Ramsey模型的基本思想：国民收入()Y F K AL=。
所以经济增长决定于资本存量K、人,口L和劳动有效性A的增长。
在Solow和Ramsey增长模型中，人口L和劳动有效性A的增长率外生给定。
因此，必须研究经济增长与资本存量增长之间的关系。
资本存量的变化源于投资，投资形成于储蓄，所以，储蓄率影响资本存量的变化并进而影响经济增长。
在Solow模型中，储蓄率为外生变量。
但是在Ramsey模型中为内生变量，我们必须分析决定储蓄率的机制。
国民产出（收入）分为消费和储蓄两部分。
所以，分析储蓄必须分析消费。
家庭的消费行为是在生命周期收入约束下使其效用最大。
最优储蓄规模＝投资经济增长分析步骤：1、确定家庭的效用函数2、确定家庭的预算约束 3、 确定最优消费数量 4、 确定最优投资 5、 6、5.1假定1、消费者的行为：在预算约束下（支出小于禀赋）最大化效用函数：()max ..u s t y≤x px离散时间下消费者的效用函数：消费者生存n 个时期，n →∞，在时期t ，消费t C ，获得效用()()u C t ，该效用贴现值为()()t e uC t ρ-。
ρ为贴现率，总效用为()()ntt eu C t ρ-=∑或()()tt eu C t ρ∞-=∑ 连续时间下消费者的效用函数：()()0te u C t dt ρ∞-⎰teρ-：()()u C t ：()C t ：个人在时点t消费的数量人口数量：()0L ()L t ：()()0ntLt e L =家庭数量：()()0H H t H ==（有人口出生但是没有新的婚姻） 家庭的人口数量：()0L H()L t H ()()0ntL t L e H H=家庭效用函数：()()()()()()()()()()()()()00000,ttn t t e u C t dt e u C t dt L e u C t dt H L e u C t dt n H ρρρρρρ∞-∞-∞--∞'-=='==-⎰⎰⎰⎰nt L t H L 0e H瞬时效用函数的形式：()()()1,01C t u C t θθθ-=>-)1(>---g n θρ相对风险厌恶系数为()()u C Cu C ''-' 这里，相对风险厌恶系数固定为θ，因此称为“相对风险厌恶系数固定”的效用函数。
《高级宏观经济学》习题和答案3
✧ 2.1考虑N 个厂商，每一厂商均有规模报酬不变的生产函数(),Y F K AL =，或采用密集形式()Y ALf k =。
假定()()0,0f f '''>< 。
假定所有厂商均可以工资wA 雇佣劳动，以成本r 租用资本，且所有厂商均有相同的A 值。
a) 考虑一厂商试图以最小成本生产Y 单位产品的问题。
证明成本最小化时的k 值为唯一的且与Y 无关，并证明所有厂商因此均选择相同的k 值。
b) 证明：这N 个成本最小化厂商的总产量，等于一个具有相同生产函数、雇佣这N 家厂商所雇佣的全部劳动和资本的单个厂商的产量。
答：a) 本问题为如下的最优化问题：min wAL rK +st()Y ALf k =易知其FOC 条件为：()()()()()*******1/f k f k r w k w rf k k f k f k ''=⇒=+'- 所以可见成本最小化时的k 值（如果有解）必然和Y 无关。
b) 证明：对任意厂商来说，()**,k kw r =，故()()**i i Y AL f k ALf k ==∑∑()()**,1i Y ALf k ALF k ⇒==∑因为生产函数为规模报酬不变的，所以有()()()**,1,,iiiY ALF k F ALk AL F K A L Y ====∑∑∑该厂商利用N 个厂商拥有的全部资本与劳动的产出为N 个厂商产量之和。
✧ 2.2不变相对风险回避系数效用函数的替代弹性。
考虑一个人，他只存活两期，且其效用函数由（2.46）给出。
令12,P P 代表消费品在这两期的价格，W 代表他一生收入的价值；因此他的预算约束为1122PC P C W +=。
a) 若12,P P 和W 给定，则使他效用最大化的1C 和2C 是多少？b) 两期消费之间的替代弹性为()()1212ln //ln /C C P P -∂∂。
罗默《高级宏观经济学》章节题库(无限期模型与世代交叠模型)【圣才出品】
n g 2
f k 1 k 2 代入方程（6）中，可得：
s g
ng
k
k
k
1
k
k
1
k 2
k k 1 k 2
简化为：
s n g k (1 ) (1 )k k1
f k* k* / g ，从而求出 k / g 为：
k* / g / f k* 0
（5）
将方程（5）代入（4）中，可得：
s g
n
g
f
k k f k f f k 2 f k
不过，此处无法确定新的均衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定 每单位有效劳动的消费 c 是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如果新的均衡增长路径恰 好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费 c 甚至可能保持不变。因此，c 和 k 逐步移动到新的均衡增长路径，此时的值高于原先的均衡增长路径值。
核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。
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在均衡增长路径上，要求 c 0 ，即 f k g ，在 g 永久性地下降时，为保持 c 0 ， f k 必须下降。由于 f k 0 ，因而 f k 下降必然导致 k 上升。因此，c 0
必须上升，在图形上表现为 c 0 向右移动，如图 2-1 所示。
（c）在 g 永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因 而不会发生不连续的变化。它仍然保持在均衡增长路径 k*处。
拉姆齐模型(第一部分)
储蓄的价值 从t期到s期 如何变化
t期的储蓄 （它可能为负）
51
52
非蓬齐博弈：将任意时刻s的财富 贴现到当前，应为非负。
limeR(s) K(s) 0
s
H
K kAL kA(0)L(0)e(ng)t
lim lim eR(s) K(s) 0
eR(s)e(ng)tk(s) 0
s
H
s
53
储蓄
每个家庭在 0 时期有
L0 / H 个成员
每个家庭在 0 时期拥有
K 0 / H 的资本
作出储蓄—消费决策
当期收入
消费
每将 人全
提部
产品市场
（完全竞争）
购提 买供 产产 品品
供 资 要素市场
1 单
本 （完全竞争） 租
位给
劳厂 动商
付出工资，一个家庭获得：
Lt At f kt kt f kt
H
付资本报酬，一个家庭获得：
20
关于家庭效用函数的说明：
2.家庭无限期的效用
21
22
关于家庭效用函数的说明：
3.家庭无限期效用函数的现值
23
u(Ct )
24
(1)连续的复利计算和贴现 计算
由于时间 t被假定为连续的，利息 率也被假定
按照复利连续计算
25
lim (1 / n)nt
n
lim[11/(n / )](n/ )t et n
新古典生产函数：Y F(K, AL) 根据欧拉定理：Y Y K Y AL
K (AL)
31
二、模型中决策主体的行为（厂商）
资本的边际产品：FK, AL f (k)
K
有效劳动的边际产品：f k kf k
第八讲 拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型
但无法确定 s 的变动趋势，须从另一角度着手。由于：
( z − γz = f ′′(k )k
现在假定 s >
*
θ −1 ( z − θ −1) + f ′(k )γ z = f ′′(k )k ) + f ′(k ) z z θ θ
， 则对所有的 t 有 z <
1
θ
θ −1 ， 此时可能出现 γ z > 0 ， 也可能出现 γ z < 0 。 θ
3
吉林财经大学高级宏观经济学课件
对应的 c 则必须下跳为 0，这与一阶条件
f ′(k ) − ρ − θg c = 是矛盾的，因此这样的路径是 c θ
不可能的；如果低于 A 点，假设为 C 点，系统的动态将使得 k 不断增加，出现
r = f ′(k ) < n + g 。这与已知的横截条件（即非蓬齐对策条件）相矛盾。因此该系统呈现
出鞍点路径稳定性。 （2）修正的黄金律资本存量。在拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型中，资本高于黄金律水平 的平衡增长路径是不可能的。因为，根据索洛模型的分析结果有：
f ′(kGR ) = n + g + δ = n + g
这里用到了前面的折旧率为 0 的假设。而另一方面在稳态时有：
f ′(k * ) = ρ + θ g
*
z > 0 ，这也与稳态趋势是矛盾的。因此，如果 s > 但如果对某些 t 满足 γ z > 0 ，则有 γ
1
θ
，
(t ) = − z = − zγ z > 0 。对于 s < 必有 γ z < 0 ，则 s
*
1
θ
第2章(上) 拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型
Rt
或： e lim
s
k s 0
t 0
e
n g t
w t dt
(2.14)
B A 0
1
L 0 H
, n 1 g
一阶条件为…
第2章（上） 拉姆齐模型
• 家庭一生效用最大化问题的一阶条件
c t c t r t g
每单位有效劳动的真实工资：w t f k t k t f k t (2.5)
第2章（上） 拉姆齐模型
• 家庭的行为
1、预算约束：家庭一生消费的现值不能超过其初始 财富加上其一生劳动的现值。
t 0
e
Rt
C t
L t H
k k *时，c k k *时，c
第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
• k的动态学
k t f k t c t n g k t (2.23)
使得k t 0的 k , c 满足：c t f k t n g k t
第2章 (上) 拉姆齐－卡斯－库普曼斯模型
• 教学目的：理解和掌握拉姆齐模型的具体 内容及其含义。 • 主要内容：1、模型的假定
2、家庭与厂商的行为 3、经济的动态学 4、福利 5、平衡增长路径 6、贴现率下降的影响 7、政府购买的影响与“李嘉图等价”
第2章（上） 拉姆齐模型
1、模型的假定
（1）厂商 －大量相同的竞争性厂商，拥有“新古典生产函数”; －厂商将A视作给定，A的增长率为外生的g; －厂商为家庭所有，因此厂商所得利润归家庭所有。 （2）家庭 －存在大量数目固定（长生不死）的家庭； －家庭每一成员供给1单位劳动，人口增长率外生为n； －家庭的目标是最求“一生效用的最大化”； －家庭的效用函数为…第2章（上） 拉姆齐模型
高级宏观经济学教案
C/L
人均消费
g
K/Y资本产出比来自0y=f(k)=Y/AL c=(1-s)f(k)
结论：在索洛模型中，无论从任何一点 出发，经济向平衡增长路径收敛，在平 衡增长路径上，每个变量的增长率都是 常数，且是外生决定的。特别是，在该 路径上，人均产出的增长率仅取决于技 术进步率。
3、储蓄率变化的影响 在索洛模型中，政府最有可能影响的是
al为有效劳动此种形式的技术进步为劳动增进型或哈罗德中性10alal令有效劳动的人均资本kkal有效劳动人均产量yyal则yfk总产量yalfk11其中n为人口增长率g为技术进步率均为外生参数表示不变增长速度15以上条件意味着ntsydk其中s为储蓄率为资本折旧率均为外生变量资本深化每单位有效劳动的实际投资持平投资资本广化2稳态均衡稳态
(ng)k(t)
f (k)
sf (k)
k*
k
k*k*gold
f'(k * (s ,n ,g ,) ) (n g )
反之亦然
c * 0 s
因此，消费与储蓄率的关系为
c cgold
sgold
s
储蓄率变化对产量变化的长期影响
考察储蓄率s变化对有效劳动人均产出y的影响 （弹性分析）
y*f'(k*)k*(s,n,g,)
消费与投资：宏观经济学的微观基础 （一）
• 消费理论 – 确定性条件下的消费理论：生命周期/ 持久收入假说
– 不确定性条件下的消费理论：随机游 走假说
– 其他消费理论 • 投资理论
– 托宾q投资模型
现代主流宏观经济学都是具有微观基础 的一般均衡模型
为什么宏观经济学需要微观基础
为什么宏观经济学要用一般均衡理论作 为分析框架
拉姆齐卡斯库普曼模型
劳动力
知识或技术 有效劳动 总产出 总消费 有效劳动的平均资本
人均资本
有效劳动的人均产出 人均产出 有效劳动的人均消费 人均消费 资本产出比
储蓄率
s=(y-c)/y
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.4 平衡增长路径
结论： 将储蓄率内生化并没有改变索洛模型中关于平衡增长路 径的描述。即使储蓄率是内生的，外生的技术进步依 然是人均产出持续增长的唯一根源。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率和实际工 资率的运动路径 r（t）和 w（t）视为既定。家庭只能 接受它们，而无法影响它们，因为要素市场是完全竞 争的。 家庭的目标是实现终生效用最大化。在追求这一目标 的过程中，家庭的经济活动要受到预算约束的限制， 也就是说，家庭终生消费的现值不能超过家庭初始拥 有的财富与家庭终生劳动收入的现值之和。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 贴现率：按连续复利计算，从时刻0到时刻t这一时间 区间上单位资本的(连续复利)利率为：
R(t )
r( ) d
0
t
这意味着时刻0的1单位资本，在到达时刻t时变成为 e R(t ) 个单位的资本。等价地说，未来t时刻的一元钱的价值(即 R (t ) 现值)是 e 。所以R(t)就是未来价值向当前的贴现率。
0
*
f k f k *
c
c0 c0
*
0
高级经济学Ⅰ（宏观部分） k
当 k k 时， f k f k c 0 当 k k 时， f k f k c 0
第2章 拉姆齐-卡斯-库普曼增长模型
瞬时效用函数性质总结
• 边际效用为正，边际效用递减。 • 相对风险厌恶系数（跨期替代弹性）为常数。
• 劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
劳动增长 率为n： 技术进步 率为g：
(t ) L n L(t )
(t ) A g A (t )
t时劳动力：
L(t ) L(0)e
nt
t时技术存量：
?fk?????c?fk?gck?cngk??????????0??c???????ck????cc???ckk????ccckkckkc?cckkk?c?????????cckck??????????????????????ck?????????kckckckcccckfk?c???????????212r14fkc??221ng?????????????系数矩阵的特征根为根号内的表达式为正因此得到两个不等实根系统为鞍点路径稳定
欧拉方程
• 欧拉方程还说明了r与ρ之间的关系与区别 （思考：是怎样的关系和含义？
• 如果真实利率超过了家庭用于贴现未来消 费的速率，每个家庭的消费将上升。
五、稳态均衡 1、c的动态学（c的微分方程
• 实际上，欧拉方程已经说明了单个家庭的 消费进化情况。由于我们假定了所有家庭 都一样，欧拉方程也就不只是说明家庭消 费进化情况，而是说明了整个经济的消费 进化情况。把 (即r(t)=f’(k(t)))代入欧拉方程， 即可得到单位有效劳动的消费进化公式：
• 由于无限生命假设偏离现实，于1965年便 出现了戴蒙德的进一步修正——世代交替 增长模型，把无限生命假设改进为假定经 济中不断有新家庭加入。这样，经济就表 现为一个世代交替的经济，从而使理论模 型向现实更靠近一步。关于世代交替理论， 将在下一讲中介绍
第二章无限期限和世代交叠模型
最后，如果经济从F开始，k收敛于 k 。 因此r 收敛 于f (k ) g 。最终地， e R ( s ) e( n g ) s 正在以 n (1 )g 0 的速率下降.由点F开始的路径也是唯一可行的路径。
鞍点路径
◆对于k的任何为正的初始水平，存在一个一 个惟一的c的初始水平。它与家庭的跨期最 优化，资本存量的动态学，家庭预算约束以 及k不为负的要求相一致将这种初始的c作为 k的一个函数的函数便是著名的鞍点路径。
两边求导 可得：
t
0 r (
) (n g )t
（2.18）
c(t ) r (t ) (n g ) c(t )
由于一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率，则有
c(t ) r (t ) n g r (t ) g c(t )
C
k 0
k 0
图（2.2） k 的动态学 k
c
图2.3
c 与k 的动态学
k
k
说明：
◆图2.3 把图2.1和2.2中的信息结合在一起。 ◆图2.3 是画出的 k 水平小于黄金律k的水平。
需要注意的是 ： k 小于k的黄金律水平。因为是有 定义的。而黄金律水平的k是由 f (k ) g 定义的。 由于 f (k )是负的。当且仅当 g n g, k kGR 这等价于 因此 k 处在 k 0 曲线的顶点的左边。
经济增长模型
∆A = 0 ⇒ ∆A > 0
生的技术进步，即从 A
A。
令
g
=
∆A A
为技术进步引起的增长率，那么
g
产生的影响是：
1）使得 y = f (k) 以 g 的增长率增长（注意 A 的影响是对整个生产函数的影响）
2）使得人均储蓄 sy = sf (k) 以 g 的增长率增长 注意 P53 图 3－7，技术进步作为外生变量导致生产函数曲线整体上移。 此时在稳态， y 和 k 不是不变，而是均以 g 的速率增长——人均指标。而总
y
kA
为
∆y y
=θ
•
∆k k
+
(1−θ )
∆A（对应 A
P52
倒数第
6
行，参见专栏
3－3）。将
∆A A
=
∆k
k
代入该式，我们得到：
g = ∆y = θ • ∆k + (1 −θ ) ∆A = θ • ∆k + (1−θ ) ∆k = ∆k
y
k
A
k
kk
这说明，产出与资本以同样速率增长，人均产出的增长率 ∆y y 与人均资本的
sy* = (n + d )k * 用图表示为：
4
关于稳态的几个结论：因为在稳态有 ∆y = 0 ，表示人均 GDP 不增长，那么此 时总的 GDP 增长率（ ∆Y Y ）＝人口增长率 n。即在稳态的增长率与储蓄率 s 无关 （仅仅与 n 有关）。 ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
3．戴蒙德模型 拉姆齐－卡斯－库普曼斯模型仍然存在缺陷，即其中的家庭都是神仙，长生 不老，显然与事实不符。戴蒙德修正了这一不足，引入新老家庭的更替，从而将 现实的人口生死更替引入增长模型，使增长模型与现实更为相符。在戴蒙德模型 下，平衡增长路径的资本存量又可以高于黄金律资本存量，维护了索洛模型的结 论。 4．新增长理论 虽然以上三类模型通过不断修正与现实越来越接近，但还是忽视了一个十分 核心的问题。这些模型里的核心变量——技术一直被假设是外生的，技术进步到 底如何发生、与增长是否有内在联系等重要问题都被回避。新增长理论正是针对 这一缺陷，将技术进步视为内生，研究经济增长，具体包括 R&D 模型和人力资 本模型，从而使得经济增长理论研究与现实世界之间的距离进一步得到了缩短。
(高级宏观经济学课件)拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
t
engt dt
eRtc
t0
t
e
n
g
t
dt
家庭选择每一时点上的c,对单个c t 的一阶条件是 :
Betc t eRtengt ,
对两边取对数 :
ln B t ln c t ln R t n g t
2.3 家庭行为
求上式两边对t的导数:-
-
ct ct
r
t
n
g
t g
ct
3
此即卡斯--库普曼斯模型的关键方程欧拉方程.
由于C t At c t
C t r t C t
c
它满足家庭的跨期最优化,资
c0
本存量的动态学,家庭预期约
束,和k的非负约束. 将k的初始值表示为c的初始 值的函数,即得鞍点路径.
E
k =0
对于k的任意初始值,c的初始 值必等于鞍点路径上的值,
k* k
即:c0= k 0
4 平衡增长路径(稳态)
• 1、仅仅在鞍点路径上，收敛才是可能的。但经 济行为一旦收敛于稳态点，它就等同于处于平 衡增长路径上的索洛经济的行为。
最大化一生效用。
1 模型的假设
⑦家庭效用函数的形式为:
U etu C t L t dt
t0
H
C t 为t时每一家庭的消费,u 为即期效用函数,
u C t L t 为t时家庭即期总效用,为贴现率.
H 即期效用函数的形式为:
u C t C t 1 , 0, n 1 g 0
第二章 无限期界与世代交叠模型
第二章 无限期界与世代交叠模型A 、拉姆齐（赛）－卡斯－库普曼模型1、假设：厂商——大量相同厂商，生产函数是(,)Y F K AL =，是规模报酬不变，要素与产出市场是竞争性的，A 是给定的，以速率g 外生增长，且企业由家庭所有，企业产生的任何利润归于家庭。
家庭——大量相同家庭，家庭中人口的规模以n 速率外生增长，将其拥有的资本租给厂商，初始资本为(0)/K H ，其中，(0)K 是经济中的资本的初始量，H 是家庭数量。
不存在折旧，每个时点上，家庭将其收入（劳动收入、资本所获得收入和从厂商处接受的利润）在消费与储蓄中分配，以最大化其终身效用。
家庭的效用函数是：0()(())t t L t U e u C t dt Hρ∞-==⎰，其中()C t 是家庭每个成员的消费。
()u ∙是瞬时效用函数－既定时刻家庭每个成员的效用，其形式是1()(())1C t u C t θθ-=-（它是著名的相对风险厌恶不变的CRRA 效用函数，该函数的相对风险厌恶系数（阿罗－帕拉特风险厌恶测度值）为'''()/()u C u C θ-=即独立于C ，并能使经济收敛于平衡的增长路径。
其二个特征：（1）如果1θ<，1C θ-关于C 是递减的；如果1θ>，则消费是递增的。
给1Cθ-除以1θ-，是确保无论θ取什么值，消费的边际效用是正的。
（2）在1θ→，瞬时效用函数可简化为ln C ），0θ> ，1/θ是消费跨期替代弹性。
()L t 是经济的总人口，()L t H是每个家庭的成员人数。
()(())L t u C t H是t 时刻家庭的总瞬时效用。
ρ是贴现率，其越大，表明相对于现期消费，家庭对未来消费的估价越小（更偏好于现期消费，少储蓄）。
且(1)0n g ρθ--->（可确保终生效用不会发散，如果这个条件不成立，家庭可获得无限的终生效用，且难以得到其最大化问题的解）。
2、家庭与厂商的行为：（1）厂商：边际产品'(,)/()F K AL K f k ∂∂=，市场是竞争的，资本获得其边际产品，以不存在折旧，资本的真实报酬率等于每单位时间的收入（利率），那么，真实利率为：'()(())r t f k t =，劳动的边际产品是(,)/F K AL L ∂∂，它等于(,)/A F K AL AL ∂∂。
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第2章（上） 拉姆齐模型
• 在这些时间路径中，只有一条路径满足家 庭预算约束（以等式成立）和“非负资本” 约束。
• 沿着这条路径，（k,c）将收敛于E点。
第2章（上） 拉姆齐模型
• 所以，对于任意一个初始资本存量k(0)，存 在唯一的c的初始值c(0)，从（ k(0) ， c(0) ） 出发,（ k,c）按照欧拉方程和资本积累方程 描述的动态变化收敛于E，并且满足家庭预 算约束和“非负资本”约束。 • 满足以上条件的所有的（ k(0) ， c(0) ）构 成了“鞍点路径”。从鞍点路径上的任意初 始点出发，（ k,c）将沿鞍点路径最终收敛 于E点。
家庭的效用函数
U e u C t H dt t 0 C t ：人均消费
t
L t
(2.1)
L t ：经济中的总人口 H：家庭数
：贴现率
u ：即期效用函数
第2章（上） 拉姆齐模型
一个特定形式的即期效用函数
1 ：a.相对风险规避系数； u C t C t
第2章 (上) 拉姆齐－卡斯－库普曼斯模型
• 教学目的：理解和掌握拉姆齐模型的具体 内容及其含义。 • 主要内容：1、模型的假定
2、家庭与厂商的行为 3、经济的动态学 4、福利 5、平衡增长路径 6、贴现率下降的影响 7、政府购买的影响与“李嘉图等价”
第2章（上） 拉姆齐模型
1、模型的假定
（1）厂商 －大量相同的竞争性厂商，拥有“新古典生产函数”; －厂商将A视作给定，A的增长率为外生的g; －厂商为家庭所有，因此厂商所得利润归家庭所有。 （2）家庭 －存在大量数目固定（长生不死）的家庭； －家庭每一成员供给1单位劳动，人口增长率外生为n； －家庭的目标是最求“一生效用的最大化”； －家庭的效用函数为…第2章（上） 拉姆齐模型
c t dt k 0 e
t 0
Rt
e
n g t
w t G t dt
(2.39)
或 lim e
s R s
e
n g s
k s 0
资本积累方程：k t f k t c t G t n g k t
E’
k*
第2章（上） 拉姆齐模型
• 政府购买的影响
未预期到的政府购买的永久性增加
结论：（1）经济立刻变化至新的平衡增长 路径上；（2）消费的减少量正好等于政府 购买的增加量；（3）平衡增长路径上的资 本存量与真实利率不受影响。
第2章（上） 拉姆齐模型
• 政府购买的影响
未预期到的政府购买的暂时性增加 相图分析
• 家庭的行为
2、家庭的最大化问题：家庭在预算约束下选择最优 的一生消费路径来最大化其一生效用。 1 t c t Max U B e dt (2.12)
c t
t 0
1
s.t.
t 0
e
Rt
e
n g t
R s
c t dt k 0 e e
第2章（上） 拉姆齐模型
2、家庭与厂商的行为 （1）厂商
（2）家庭
第2章（上） 拉姆齐模型
• 厂商的行为
1、竞争性厂商在每个时点上按照给定的价格 雇用资本和劳动进行生产，以实现利润最 大化（利润为零）；
2、利率和工资为…
第2章（上） 拉姆齐模型
假设无折旧 真实利率：r t f k t (2.3) 每工人工资收入：W t A t f k t k t f k t (2.4)
1
， 0, n 1 g 0
(2.2)
b.边际效用对消费的弹性（的绝对值）； c.任意两个时点的消费之间替代弹性的倒数 ;
当 1，时u C t ln C t
n 1 g 0这一条件保证家庭一生效用不发散;
第2章（上） 拉姆齐模型
4、福利
• 所考察的模型满足“完全竞争市场”的所 有假设，因此“福利经济学第一定理”必 然成立。
第2章（上） 拉姆齐模型
5、平衡增长路径
（1）平衡增长路径的特性 与索洛模型相同； （2）平衡增长路径与黄金律资本存量 拉姆齐模型中，资本存量高于黄金律资本存量是 不可能的； 拉姆齐模型中，经济并不收敛于产生最大的可持 续c的平衡增长路径； 修正的黄金律资本存量。
3、经济的动态学
（1）c的动态学
（2）k的动态学 （3）c的初始值与鞍点路径
第2章（上） 拉姆齐模型
• c的动态学
c t c t f k t g
欧拉方程：
(2.22)
k *满足：c t 0，即f k * g
第2章（上） 拉姆齐模型
6、贴现率下降的影响
（1）定性影响 （2）调整速度与鞍点路径的斜率
第2章（上） 拉姆齐模型
• 贴现率下降的定性影响
贴现率下降影响的相图分析 拉姆齐模型中贴现率下降的影响类似于索 洛模型中当资本存量低于黄金率资本存量 时储蓄率上升的影响。
第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
补充：最优控制理论
• 汉密尔顿函数：
其中：μ是“协状态变量”，它代表状态变 量的影子价格。
第2章（上） 拉姆齐模型
补充：最优控制理论
• 一阶条件：
第2章（上） 拉姆齐模型
补充：最优控制理论
• 举例:拉姆齐模型
Max s.t. 1 k t r t n g k t w t c t
第2章（上） 拉姆齐模型
c t 0
E
k t 0
E’
k*
第2章（上） 拉姆齐模型
c t 0
不是最优的情况
E
k t 0
E’
k*
第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
• 政府购买的影响
未预期到的政府购买的暂时性增加 结论：暂时性的高政府购买导致真实利率 上升。
第2章（上） 拉姆齐模型
• c的初始值与鞍点路径
欧拉方程： c t c t f k t g
(2.22)
k t f k t c t n g k t
(2.23)
给定任意一个初始资本存量k(0)，满足上述两个方 程的（k,c）的时间路径有以下几种情况…
n g s
Rt
或： e lim
s
k s 0
t 0
e
n g t
w t dt
(2.14)
B A 0
1
L 0 H
, n 1 g
一阶条件为…
第2章（上） 拉姆齐模型
• 家庭一生效用最大化问题的一阶条件
c t c t r t g
(2.38)
第2章（上） 拉姆齐模型
• 注意：欧拉方程没有变化
第2章（上） 拉姆齐模型
• 政府购买的影响
未预期到的政府购买的永久性增加
相图分析
第2章（上） 拉姆齐模型
c t 0
E
k t 0
E’
k*
第2章（上） 拉姆齐模型
c t 0
E
k t 0
第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
• 稳态条件：
c t 0 k t 0
或
f k* g c f k n g k
* * *
第2章（上） 拉姆齐模型
• 由稳态条件可知，在拉姆齐模型中，稳态 资本存量小于黄金率资本存量。
k k *时，c k k *时，c
第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
• k的动态学
k t f k t c t n g k t (2.23)
使得k t 0的 k , c 满足：c t f k t n g k t
第2章（上） 拉姆齐模型
• 政府购买的影响 考虑政府购买后对模型的修正
假设而非公共投资；政府购买的融资考一 次付清的税收，且政府预算总是平衡的。
模型的修正…
第2章（上） 拉姆齐模型
家庭预算约束： e
t 0
Rt
e
n g t
t 0
U B e k 0 k0
Rt t
t
c t
1
dt
lim e
e
n g t
k t 0
B A 0
1
L 0 H
第2章（上） 拉姆齐模型
, n 1 g
补充：最优控制理论
汉密尔顿函数 : 一介条件 : H t 0: Be c t t c H 0: t t r t n g k lim t k t 0 : lim e
t t Rt
H Be t
c t
t r t n g k t w t c t 1
1
e
n g t
k t 0
( n 1 g )
第2章（上） 拉姆齐模型
• 调整速度与鞍点路径的斜率 在平衡增长路径处的线性近似 鞍点路径的斜率为正 拉姆齐模型中收敛速度比索洛模型快，因 为储蓄率可变。