根的判别式优秀课件
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21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)
2
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
九年级数学一元二次方程的根的判别式PPT优秀课件
有两个相等的根？并求出它的根 解；原方程可以整理成；2x2+（m-2）x+m-2=0 a=2, b=m-2, c=-2+m ，b2-4ac=（m-2）2 -4×2（-2+m）
据题意有m2-12m+20=0∴m1=2， m2 =10
当m=2时，x1=x2 =0；当m=10时x1=x2=-2
一元二次方程判别式
的根。 （1）证明：∵△=b 2-4ac=k 2-4（k 2+1）= -3k -24无论 k为何实数k ≥02∴△＜0故原方程没有实数根。
（2）证明：整理原方程得 x2 -3x+2 -a2 =0 ∵△=9-4×（2-a ）2 =1+a 2 无论a为何值a ≥20 ∴ △＞0,故原方程有两个不相等的根
b=-4，c=7，
b2-4ac
b=√6，c=-1
2
b -4ac =16-4×3×7 ＜0
1 =所1以-4×原方4×程1=有0，两
b2-4ac =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实
个相等的实数根 =14＞0，所以原
数根
方程有两个不相 等的根
一元二次方程判别式
• 做练习：不解方程试判断下列方程的根的情况 • （1）3x 2-7x+2=0 （2）9x2+6x+1=0 • （3）2x 2-（2+√2）x+3+√2=0 • 例2：关于x的方程2x2+mx-2=2x-m，当m为何值时方程
一元二次方程判别式
课件作 主讲
一元二次方程判别式
• 一复习提问： • 1、一元二次方程的标准式是什么？ • 2、一元二次方程的求根公式是什么？ • 想一想：b2-4ac的符号与ax2+bx+c=0会有关系吗？ • 做一做：用求根公式法解下列方程 • （1）x2-x-2=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2-x+1=0 • 看一看：上列三个方程的根与b2-4ac的符号有关系吗？
据题意有m2-12m+20=0∴m1=2， m2 =10
当m=2时，x1=x2 =0；当m=10时x1=x2=-2
一元二次方程判别式
的根。 （1）证明：∵△=b 2-4ac=k 2-4（k 2+1）= -3k -24无论 k为何实数k ≥02∴△＜0故原方程没有实数根。
（2）证明：整理原方程得 x2 -3x+2 -a2 =0 ∵△=9-4×（2-a ）2 =1+a 2 无论a为何值a ≥20 ∴ △＞0,故原方程有两个不相等的根
b=-4，c=7，
b2-4ac
b=√6，c=-1
2
b -4ac =16-4×3×7 ＜0
1 =所1以-4×原方4×程1=有0，两
b2-4ac =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实
个相等的实数根 =14＞0，所以原
数根
方程有两个不相 等的根
一元二次方程判别式
• 做练习：不解方程试判断下列方程的根的情况 • （1）3x 2-7x+2=0 （2）9x2+6x+1=0 • （3）2x 2-（2+√2）x+3+√2=0 • 例2：关于x的方程2x2+mx-2=2x-m，当m为何值时方程
一元二次方程判别式
课件作 主讲
一元二次方程判别式
• 一复习提问： • 1、一元二次方程的标准式是什么？ • 2、一元二次方程的求根公式是什么？ • 想一想：b2-4ac的符号与ax2+bx+c=0会有关系吗？ • 做一做：用求根公式法解下列方程 • （1）x2-x-2=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2-x+1=0 • 看一看：上列三个方程的根与b2-4ac的符号有关系吗？
一元二次方程的根的判别式PPT课件
一元二次方程的根的判别式
想一想
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
2
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 5 x 4 0 2 2 7t 5t 2 0 3 x( x 1) 3 2 4 3 y 25 10 3 y
问题三：
ABC
x
2
1 a x (2b c ) 0 4
a b c
a b c
b 3a 2c
ABC
问题四：
求证：关于 x 的一元二次方程 2 2 x +2(m+1)x+2 m +2m+2=0 没有实数根
问题四：
若关于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0没有实数 根，求证：关于y的方程y2+my+12m=1一定有两个不 相等的实数根。
2
问题一：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围。
2 2 mx 8m( x 1) x ，当 m 为何 一元二次方程
值时，
（1） 方程有两个不相等的实数根； （2） 有两个相等的实数根； （3） 没有实数根。
问题二.若方程2x2-(k-1)x+8=0有两个相等的 实数根，求k的值
解：Βιβλιοθήκη 提示：将y2+my+12m=1化为一般形式 y2+my+12m-1=0
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
想一想
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
2
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 5 x 4 0 2 2 7t 5t 2 0 3 x( x 1) 3 2 4 3 y 25 10 3 y
问题三：
ABC
x
2
1 a x (2b c ) 0 4
a b c
a b c
b 3a 2c
ABC
问题四：
求证：关于 x 的一元二次方程 2 2 x +2(m+1)x+2 m +2m+2=0 没有实数根
问题四：
若关于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0没有实数 根，求证：关于y的方程y2+my+12m=1一定有两个不 相等的实数根。
2
问题一：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围。
2 2 mx 8m( x 1) x ，当 m 为何 一元二次方程
值时，
（1） 方程有两个不相等的实数根； （2） 有两个相等的实数根； （3） 没有实数根。
问题二.若方程2x2-(k-1)x+8=0有两个相等的 实数根，求k的值
解：Βιβλιοθήκη 提示：将y2+my+12m=1化为一般形式 y2+my+12m-1=0
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
中小学数学公开课优秀课件-沪科版一元二次方程根的判别式
如果关于x的一元二次方程 (k-2)x2+k=(2k-1)x有实数根，那么k的取值 范围是什么？
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
布置作业：P36 1、3、4
2x2 3x 1 0
解：这里，a 2, b 3, c 1 △=b2-4ac=3-4×2×1=-5<0， 所以方程无实数根．
问题二：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围
已知关于x 的一元二次方程
2
1 2 x (m 2) x m 1 0 4
当m取什么值时： 1、方程有两个不相等的实数根 2、方程有两个相等的实数根 3、方程没有实数根
2
用公式法解下列方程
x 3x 2 0
2
3 y 10 2 y
2
x 2 8x 16 0
想一想
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
反过来：
b2 4ac 0 1.当方程有两个不相等的实数根时， 2.当方程有两个相等的实数根时， b2 4ac 0 3.当方程没有实数根时， b 2 4ac 0
问题一：不解方程，判断一元二次方程的根的情 况
5 x 3x 2 0
2
25y 4 20y
尝试练习 巩固新知
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 5 x 4 0 2 2 7t 5t 2 0 3 x ( x 1) 3 2 4 3 y 25 10 3 y
人教版九年级上册21.2.2公式法——根的判别式及求根公式(共21张PPT)
当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
一元二次方程根的判别式 解：a=1，b=-4，c=-7 化简得 x2-4x-12=0
4a 2
>0，方程有两个不等的
一元二次方程根的判别式Δ= b2－4ac
=49>0 下列说法正确的是（ ）
b 若Δ<0，方程无实数根. 实数根 x 1
21.2.2 公式法 ——根的判别式及求根公式
新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
当b2－4ac<0时，方程无实数根.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种
情况：
一元二次方程根的判别式
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
①当b －4ac>0时，b 4ac ax2+bx+c=0(a≠0)
2
2 别是（ ）
9x2+12x+4=0； Δ=b2-4ac =122-4×9×4 =0 方程有两个相等的实数根
2x2+4x－3=2x－4； 化简得 2x2+2x+1=0
Δ=b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
一元二次方程根的判别式 解：a=1，b=-4，c=-7 化简得 x2-4x-12=0
4a 2
>0，方程有两个不等的
一元二次方程根的判别式Δ= b2－4ac
=49>0 下列说法正确的是（ ）
b 若Δ<0，方程无实数根. 实数根 x 1
21.2.2 公式法 ——根的判别式及求根公式
新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
当b2－4ac<0时，方程无实数根.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种
情况：
一元二次方程根的判别式
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
①当b －4ac>0时，b 4ac ax2+bx+c=0(a≠0)
2
2 别是（ ）
9x2+12x+4=0； Δ=b2-4ac =122-4×9×4 =0 方程有两个相等的实数根
2x2+4x－3=2x－4； 化简得 2x2+2x+1=0
Δ=b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
一元二次方程的根的判别式PPT演示文稿
2 解： （ 3） 4 1 k 9 4k
⑴
方程有两个不相等的实数根
当 k ＜
⑵
9 4k ＞0 解得 k ＜ 9 4 9
4 方程有两个相等的实数根
时，原方程有两个不相等的实数根
9 4k 0
⑶ 9 4k＜ 0
9 当 k 4 时，原方程有两个相等的实数根 9
b 3a 2c a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 a c
又 b 3a 2c c a b c
ABC是等边三角形。
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
19.3 一元二次方程的根的判别式
利用公式法解下列方程
1 5 x 3x 2 0 2 2 25 y 4 20 y 2 3 2 x 3 x 1 0
2
想一想
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
2
例1. 不解方程，判别下列方程 的根的情况。
1 5 x 3x 2 0 2 2 25 y 4 20 y 2 3 2 x 3 x 1 0
2
1 5x
解：
4 20 y 解：原方程可变形为 25 y 2 20 y 4 0 2 （ 20） 4 25 4 0
（ A）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根
b 4ac 2 b 4ac 0
2
D.根的情况无法确定
初三数学_根的判别式_课件
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程无实数根．
九年级数学名师课程
例2 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的 实数根，则k的取值范围是( B )
九年级数学名师课程
一元二次方程根的判别式
九年级数学名师课程
九年级数学名师课程
一、知识回顾
用公式法解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0
⑵ x2－6x＋9 = 0
⑶2x2－2x＋1 = 0
你在用公式法求解过程中遇到哪些不同的情况？
你是怎样处理所遇到的问题的？
从上面几个方程不同的解的情况，你能归纳出什么结论呢？
九年级数学名师课程
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.
3.求判别式时，应该先将方程化为一般形式. 4.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
解: 4m2 42m 4
拓展补充： 4m2 8m 16
4 m2 2m 1 12
4m 12 12 0
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实 数根
九年级数学名师课程
例4.在一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法确定
（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程无实数根．
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例2 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的 实数根，则k的取值范围是( B )
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一元二次方程根的判别式
九年级数学名师课程
九年级数学名师课程
一、知识回顾
用公式法解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0
⑵ x2－6x＋9 = 0
⑶2x2－2x＋1 = 0
你在用公式法求解过程中遇到哪些不同的情况？
你是怎样处理所遇到的问题的？
从上面几个方程不同的解的情况，你能归纳出什么结论呢？
九年级数学名师课程
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.
3.求判别式时，应该先将方程化为一般形式. 4.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
解: 4m2 42m 4
拓展补充： 4m2 8m 16
4 m2 2m 1 12
4m 12 12 0
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实 数根
九年级数学名师课程
例4.在一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法确定
数学衔接课程专题 一元二次方程根的判别式(共7张PPT)
4．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： (1)3x2－2x－1＝0；
解：Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根
(2)x2＋3＝2 2x；
解：Δ<0，∴方程没有实数根
(3)16y2＋9＝24y.
解：Δ＝0，∴方程有两个相等的实数根
知识点二：根据根的情况，确定字母系数的取值范围
5．(2014·广东)关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋m＝0 有两个不相
(2)当Δ＝0时，原方程有_____两_个__相___等___实数根，其根为x1＝x2＝ ____－__2b_a_____．
(3)当Δ<0时，原方程____没__有___实数根． 注意：在运用一元二次方程根的判别式时，要注意二次项系数
a____≠__0__的条件．
知识点一：不解方程，判断根的情况
1．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D )
等的实数根，则实数 m 的取值范围为( B )
A．m>94
B．m<94
C．m＝94
D．m<－94
6．(易错题)(2014·益阳)一元二次方程 x2－2x＋m＝0 总有实数根，
则 m 应满足的条件是( A．m>1
D)
B．m＝1
C．m<1
D．m≤1
7．(易错题)关于 x 的一元二次方程(a＋1)x2－4x－1＝0 有两个不相等的
(3)x2－2mx＋2m－1＝0； 解：Δ＝4(m－1)2≥0，∴方程有两个实数根
(4)12x2－mx＋m－4＝0. 解：Δ＝(m－1)2＋7>0，∴方程有两个不相等的实数根
3．已知关于 x 的方程 x2－(2k＋1)x＋4(k－12)＝0，求证：这个方 程总有两个实数根．
根的判别式.ppt
2
a 0, 4a 0
2
当 b 4ac <0时，方程的右边是 一个负数，则方程__________.
2
反过来，对于方程
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
如果方程有两个不等的实数根，那么
b 4ac 0;
2
2
如果方程有两个相等的实数根，那么
b 4ac 0;
典型例题解析
【例5】 已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求 m、n的值. 解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根， ∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n. 又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根， 方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根， ∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0.
一元二次方程的根 的判别式
温故而知新
一元二次方程 ax bx c 0 a 0
2
的求根公式是：
b b 4ac x 2a
2
用公式法求下列方程的根:
1)2 x x 2 0; 1 2 2) x x 1 0; 4 2 3) x x 1 0.
如果方程没有实数根，那么
b 4ac 0.
2
1：按要求完成下列表格：
方程
a 0, 4a 0
2
当 b 4ac <0时，方程的右边是 一个负数，则方程__________.
2
反过来，对于方程
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
如果方程有两个不等的实数根，那么
b 4ac 0;
2
2
如果方程有两个相等的实数根，那么
b 4ac 0;
典型例题解析
【例5】 已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求 m、n的值. 解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根， ∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n. 又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根， 方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根， ∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0.
一元二次方程的根 的判别式
温故而知新
一元二次方程 ax bx c 0 a 0
2
的求根公式是：
b b 4ac x 2a
2
用公式法求下列方程的根:
1)2 x x 2 0; 1 2 2) x x 1 0; 4 2 3) x x 1 0.
如果方程没有实数根，那么
b 4ac 0.
2
1：按要求完成下列表格：
方程
《根的判别式》课件
三、新课讲 解
让我们一起学习例题
1：按要求完成下列表格：
方程
2y 2 4y
2
2 2 x 3x 1 0 2( x 1) x 0
2
Δ的值 根的情 况
0 0
有两个相等 的实数根
15 0
没有实数根
17 0
有两个不相 等的实数根
2 : 不解方程，判别方程4y2+1=4y的根的 一起 情况. 学习例 解：4y2-4y+1=0
1 2 (1) x 3 x 8； 4
2
(பைடு நூலகம்)5 t 1 7t 0.
2 2 eg3：不解方程，判别关于xx 的方程 2 2kx k 0
的根的情况.
分析：a 1
解： 2 2k 4 1 k
2 2
b 2 2k
2 2
ck
2
2
8k 4k 4k
2
1)把方程化为一般形式
2)确定a、b、c 的值 3)计算b2-4ac ,
并判断其值与0 的关系 b 2 4 ac 0
4)利用求根 b b2 4ac 公式计算方 x 2a 程的根
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根 公式是：
b b 4ac x 2a
2
第21章：一元二 次方程
21.2 解一元二次方 程
21.2.4一元二次方程的根的判别 式
人教版·九年级 上册
一、知识回 顾
用公式法求下列方程的根:
用公式法 解一元二次方 程的一般步骤:
1)2 x x 2 0; 1 2 2) x x 1 0; 4 2 3) x x 1 0.
一元二次方程根的判别式ppt课件
2.3 一元二次方程根的判别式
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
一元二次方程根的判别式课件(人教版)
x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
根的判别式经典最新最好 .ppt
（3） ∵b2-4ac=-23 ∴没有方程实数根
变式：不解方程，判别下
列方程的根的情况：
2
x 2 2kx k 0
2
典型例题
例2：k为何值时，关于x的一元二次方程 x2-x +4k =0： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解：∵a=1，b=-1，c=4k ∴b2-4ac=〔-1〕2-4×1×4k=1-16k
0 时，方程有两个不相等的实数根； 0 时，方程有两个相等的实数根； 0
时，方程没有实数根。
反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， 0 ；
当方程有两个相等的实数根， 0 ；
当方程没有实数根， 0 。
记住了， 别忘了!
概念巩固
1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= 所以方程的根的情况是 方程无实数根 .
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即1-16k＞0 （2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即1-16k=0 （3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即1-16k＜0
1 ∴k= 16 1 ∴k＞
1 ∴k ＜ 16
16
举一反三 变式1:已知关于x的一元二次方 2 程 x kx 4 0 有两个相等的实数根,求k的值并 解这个方程.
注：先化为一般形式。
（2）已知根的情况，求字母的取值范围。
注：考虑二次项系数≠0
课时训练
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（ ） A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.下列一元二次方程中，有实数根的是 （ A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0 ） D
变式：不解方程，判别下
列方程的根的情况：
2
x 2 2kx k 0
2
典型例题
例2：k为何值时，关于x的一元二次方程 x2-x +4k =0： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解：∵a=1，b=-1，c=4k ∴b2-4ac=〔-1〕2-4×1×4k=1-16k
0 时，方程有两个不相等的实数根； 0 时，方程有两个相等的实数根； 0
时，方程没有实数根。
反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， 0 ；
当方程有两个相等的实数根， 0 ；
当方程没有实数根， 0 。
记住了， 别忘了!
概念巩固
1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= 所以方程的根的情况是 方程无实数根 .
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即1-16k＞0 （2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即1-16k=0 （3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即1-16k＜0
1 ∴k= 16 1 ∴k＞
1 ∴k ＜ 16
16
举一反三 变式1:已知关于x的一元二次方 2 程 x kx 4 0 有两个相等的实数根,求k的值并 解这个方程.
注：先化为一般形式。
（2）已知根的情况，求字母的取值范围。
注：考虑二次项系数≠0
课时训练
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（ ） A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.下列一元二次方程中，有实数根的是 （ A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0 ） D
一元二次方程根的判别式公开课课件
一元二次方程根的判别式公开课课 件
目 录
• 一元二次方程根的判别式的基本概念 • 一元二次方程根的判别式的应用 • 一元二次方程根的判别式的证明 • 一元二次方程根的判别式的扩展 • 一元二次方程根的判别式的练习题与解析
01 一元二次方程根的判别式 的基本概念
定义与公式
定义
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac，其中a、b、c分别是一元二次方程ax² + bx + c = 0的系数。
题目15
已知一元二次方程$7x^2 - x - 8 = 0$，求该方程的根。
进阶题目解析
题目16
已知一元二次方程$8x^2 + x 7 = 0$，判断该方程的根的情况。
题目17
已知一元二次方程$9x^2 - x 10 = 0$，求该方程的根。
题目18
已知一元二次方程$10x^2 + x 9 = 0$，判断该方程的根的情况。
求解一元二次方程
通过判别式，可以判断一元二次方程实 数根的个数，进而求解方程。
VS
解决实际问题
判别式可以用于解决一些实际问题，例如 判断某个事件是否会发生，或者预测某个 结果的可能性。
判别式的实际应用案例
物理学中的应用
在物理学中，判别式可以用于解决一些与二 次方程相关的问题，例如物体运动轨迹、振 动等问题。
进阶题方程$3x^2 - x - 4 = 0$，求该方程 的根。
题目12
已知一元二次方程$4x^2 + x - 3 = 0$，判断该 方程的根的情况。
进阶题目解析
题目13
已知一元二次方程$5x^2 - x - 6 = 0$，求该方程的根。
题目14
已知一元二次方程$6x^2 + x - 5 = 0$，判断该方程的根的情况。
目 录
• 一元二次方程根的判别式的基本概念 • 一元二次方程根的判别式的应用 • 一元二次方程根的判别式的证明 • 一元二次方程根的判别式的扩展 • 一元二次方程根的判别式的练习题与解析
01 一元二次方程根的判别式 的基本概念
定义与公式
定义
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac，其中a、b、c分别是一元二次方程ax² + bx + c = 0的系数。
题目15
已知一元二次方程$7x^2 - x - 8 = 0$，求该方程的根。
进阶题目解析
题目16
已知一元二次方程$8x^2 + x 7 = 0$，判断该方程的根的情况。
题目17
已知一元二次方程$9x^2 - x 10 = 0$，求该方程的根。
题目18
已知一元二次方程$10x^2 + x 9 = 0$，判断该方程的根的情况。
求解一元二次方程
通过判别式，可以判断一元二次方程实 数根的个数，进而求解方程。
VS
解决实际问题
判别式可以用于解决一些实际问题，例如 判断某个事件是否会发生，或者预测某个 结果的可能性。
判别式的实际应用案例
物理学中的应用
在物理学中，判别式可以用于解决一些与二 次方程相关的问题，例如物体运动轨迹、振 动等问题。
进阶题方程$3x^2 - x - 4 = 0$，求该方程 的根。
题目12
已知一元二次方程$4x^2 + x - 3 = 0$，判断该 方程的根的情况。
进阶题目解析
题目13
已知一元二次方程$5x^2 - x - 6 = 0$，求该方程的根。
题目14
已知一元二次方程$6x^2 + x - 5 = 0$，判断该方程的根的情况。
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一元二次方程的解法——
根的判别式
课前导学，问题引领
1.请你回忆写出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)求根 公式？
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a 2.利用公式法解下列方程：
想一想？
问题1.请你仔细观察上述三个方程，它们的根的情况有什么
不同？
（1）方程①的根的情况是 有两个不相等的实数根 ；
当此方程为一元一次方程时，
∴k=0
综上所述，k≤9/4。
当堂导练 分层达标
中考链接 明确方向
归纳小结 颗粒归仓
a≠0
没有确定方程类型，应该分情况讨论
作业分层 学有所获
（2）方程②的根的情况是
有两个相等的实数根
Байду номын сангаас
；
（3）方程③的根的情况是
没有实数根
.
课堂导学 学法指导
当堂导练 分层达标
小组合作 拓展探究
学习是件很愉快的事
又∵k≠0（二次项系数≠0） ∴k≤9/4且k≠0
小组合作 拓展探究
学习是件很愉快的事
当此方程为一元二次方程时，
又∵k≠0（二次项系数≠0） ∴k≤9/4且k≠0
根的判别式
课前导学，问题引领
1.请你回忆写出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)求根 公式？
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a 2.利用公式法解下列方程：
想一想？
问题1.请你仔细观察上述三个方程，它们的根的情况有什么
不同？
（1）方程①的根的情况是 有两个不相等的实数根 ；
当此方程为一元一次方程时，
∴k=0
综上所述，k≤9/4。
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归纳小结 颗粒归仓
a≠0
没有确定方程类型，应该分情况讨论
作业分层 学有所获
（2）方程②的根的情况是
有两个相等的实数根
Байду номын сангаас
；
（3）方程③的根的情况是
没有实数根
.
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学习是件很愉快的事
又∵k≠0（二次项系数≠0） ∴k≤9/4且k≠0
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当此方程为一元二次方程时，
又∵k≠0（二次项系数≠0） ∴k≤9/4且k≠0