点集拓扑21n维欧氏空间度量空间拓扑空间的概念定义
什么是拓扑空间
什么是拓扑空间拓扑空间是数学中的一个重要概念，它是集合论和点集拓扑学的基础。
拓扑空间的概念是由法国数学家弗雷歇在20世纪初提出的，它是对集合中元素之间的关系进行抽象和研究的数学结构。
一、拓扑空间的定义拓扑空间是一个有序对(T, τ)，其中T是一个非空集合，τ是T的一个子集族，满足以下三个条件：1. T和空集∅都属于τ；2. τ中的任意个集合的交集仍然属于τ；3. τ中的有限个集合的并集仍然属于τ。
在拓扑空间中，集合T的元素被称为点，τ中的元素被称为开集。
开集是拓扑空间中最基本的概念，它描述了点与点之间的邻近关系。
二、拓扑空间的性质1. 开集性质：在拓扑空间中，开集具有以下性质：(1) 空集和全集都是开集；(2) 任意个开集的交集仍然是开集；(3) 有限个开集的并集仍然是开集。
2. 邻域性质：在拓扑空间中，每个点都有一个邻域，邻域是包含该点的开集。
3. 连通性质：在拓扑空间中，如果任意两点之间都存在一条连续的曲线，那么该空间被称为连通空间。
4. 紧致性质：在拓扑空间中，如果任意开覆盖都存在有限子覆盖，那么该空间被称为紧致空间。
5. Hausdorff性质：在拓扑空间中，如果任意两点都存在不相交的邻域，那么该空间被称为Hausdorff空间。
三、拓扑空间的例子1. 实数集上的拓扑空间：在实数集上定义开区间为开集，可以构成一个拓扑空间。
2. 离散拓扑空间：对于任意集合T，将T的所有子集都定义为开集，可以构成一个拓扑空间。
3. 序拓扑空间：对于有序集合T，定义开区间(a, b)为开集，可以构成一个拓扑空间。
4. 有限补拓扑空间：对于集合T，定义开集为T的子集和T的有限补集，可以构成一个拓扑空间。
四、拓扑空间的应用拓扑空间在数学中有广泛的应用，尤其在几何学、分析学和代数学中起着重要的作用。
1. 几何学中的拓扑空间：拓扑空间可以用来描述几何对象的形状和结构，如欧几里得空间、流形等。
2. 分析学中的拓扑空间：拓扑空间可以用来定义连续函数、收敛性和极限等概念，是分析学的基础。
拓扑空间的基本概念
拓扑空间的基本概念拓扑空间是数学中重要的概念，它是研究点集的开集和收敛性质的一种数学结构。
在现代数学中，拓扑空间理论是非常重要的一个分支，它不仅在纯数学中有着广泛的应用，也在物理学、工程学等其他学科中有着深远的影响。
本文将介绍拓扑空间的基本概念，包括拓扑空间的定义、开集、闭集、邻域、连通性等内容，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
1. 拓扑空间的定义在介绍拓扑空间的基本概念之前，首先需要给出拓扑空间的定义。
拓扑空间是一个集合X上的一种拓扑结构，它是X的子集族T的一个元素，满足以下三条性质：（1）X和空集∅都是T的元素；（2）T中任意多个元素的交集仍然是T的元素；（3）T中有限个元素的并集仍然是T的元素。
满足上述性质的集合族T被称为X上的一个拓扑结构，而(X, T)被称为拓扑空间。
在拓扑空间中，集合X的元素被称为点，集合T的元素被称为开集。
2. 开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是非常重要的概念。
开集是指拓扑空间中的一个子集，对于该子集中的每个点，都存在一个包含该点的开球，使得该开球完全包含在该子集中。
换句话说，开集是指对于其中的每个点，都存在一个邻域完全包含在该集合中。
闭集则是开集的补集。
换句话说，闭集是指包含了其所有极限点的集合。
在拓扑空间中，开集和闭集是相辅相成的概念，它们共同构成了拓扑结构的基础。
3. 邻域邻域是拓扑空间中另一个重要的概念。
给定拓扑空间X中的一个点x，邻域是包含x的一个开集。
换句话说，邻域是指包含了该点附近所有点的一个开集。
邻域的概念是用来描述点与点之间的接近程度，它在分析拓扑空间中点的性质和集合的性质时起着重要作用。
4. 连通性在拓扑空间中，连通性是一个重要的性质。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不可以被表示为两个不相交的非空开集的并。
换句话说，一个拓扑空间是连通的，如果任何两点之间都存在一条连续的曲线。
连通性是描述拓扑空间整体结构的一个重要性质，它反映了空间中点之间的连续性和联系性。
拓扑空间理论
拓扑空间理论拓扑空间理论是数学中的一个分支，研究的是集合上定义的一种结构，即拓扑结构。
通过引入拓扑结构，我们可以描述集合中的点之间的接近和连续性关系。
本文将介绍拓扑空间的定义、基本概念和性质，并探讨一些常见的拓扑空间。
一、拓扑空间的定义拓扑空间可以用一对有序集合（X，T）来表示，其中X是任意非空集合，T是X的子集族，满足以下条件：1. 空集和整个集合X都属于T。
2. 任意多个元素的并集和有限个元素的交集都属于T。
3. T中的元素称为开集，满足开集的性质。
二、基本概念在拓扑空间中，我们可以引入一些基本概念来描述点之间的关系。
1. 开集和闭集根据拓扑结构，拓扑空间中的开集满足定义中的性质，而闭集则是其补集的开集。
开集和闭集是拓扑空间中的基本概念，用于描述点的邻域和极限。
2. 连通性连通性描述了拓扑空间中的点之间是否可以通过一条连续的曲线相互连接。
如果一个拓扑空间中没有非空的开集既不是整个空间也不是空集，则称该空间是连通的。
3. 紧致性紧致性是拓扑空间中的一个重要概念，用来描述一个拓扑空间中是否可以从任意的开覆盖中选出有限个开集，使得它们仍然覆盖整个空间。
如果一个空间中存在有限子覆盖，那么称该空间是紧致的。
4. Hausdorff性Hausdorff性是拓扑空间中的一个重要性质，它要求集合中的任意两个不同点都有不相交的邻域。
Hausdorff空间保证了点的唯一性和极限的一致性。
三、常见的拓扑空间在拓扑空间理论中，有许多常见的拓扑空间。
1.度量空间度量空间是拓扑空间的一种特殊情况，它引入了度量函数来度量点之间的距离。
度量空间中的拓扑结构是由度量函数生成的，通过度量函数我们可以定义开球和闭球等概念。
2.欧几里得空间欧几里得空间是我们熟知的三维空间，其中的点坐标可以用实数表示。
在欧几里得空间中，我们可以定义点之间的距离，并且满足距离公理。
3.离散空间离散空间是一种特殊的拓扑空间，其中每个点都是一个单独的开集，没有其他点与之接近。
拓扑与度量空间
拓扑与度量空间拓扑与度量空间是数学中两个重要的概念，它们用于描述空间的结构和性质。
在数学领域中，我们经常需要研究集合上的结构和性质，而拓扑与度量空间为我们提供了两种不同的观察和分析空间的方法。
一、拓扑空间的概念拓扑空间是一种用于描述空间结构的数学概念。
它基于集合论中的集合和集合操作，并引入了开集和闭集的概念。
对于一个集合X，在X上定义一个拓扑T，即可构成一个拓扑空间。
拓扑空间中的开集是一个非常重要的概念。
开集可以定义为满足以下条件的集合：对于任意一个集合中的元素x，存在一个包含x的开集，使得这个开集完全包含于所定义的集合中。
闭集是开集的补集。
闭集满足以下条件：一个集合是闭集，当且仅当它的补集是一个开集。
在拓扑空间中，我们可以通过开集和闭集的概念，研究集合的连通性、紧致性以及其他的拓扑性质。
通过分析和定义拓扑空间中的开集和闭集，我们可以研究集合上的结构和性质。
二、度量空间的概念度量空间是另一种描述空间结构的方法。
与拓扑空间不同，度量空间引入了度量的概念。
度量是集合中两个元素之间的距离函数，它可以度量集合中任意两个元素之间的距离。
在度量空间中，我们可以通过度量的定义，研究集合中元素之间的距离、邻域以及其他的性质。
度量空间中的度量函数需要满足一些条件，如非负性、对称性和三角不等式等。
这些条件保证了度量函数的准确性和可靠性。
通过度量的定义，我们可以研究集合的完备性、连通性以及其他与距离相关的性质。
度量空间为我们提供了一种具体和直观的方法，来描述空间中元素之间的距离和关系。
三、拓扑空间与度量空间的关系拓扑空间和度量空间在某种程度上是相互联系的。
事实上，度量空间是拓扑空间的一种特例。
在某些情况下，可以通过给定度量构造对应的拓扑，而将度量空间转化为拓扑空间。
这种转化不仅保留了度量空间中元素之间的距离关系，还引入了开集和闭集的概念。
拓扑空间和度量空间的关系也可以从另一个角度理解。
在某些情况下，我们可以通过拓扑的性质来构造度量。
拓扑空间的基本概念与性质
拓扑空间的基本概念与性质拓扑空间是数学中的一个重要概念，它在分析、代数、几何等领域中起着重要的作用。
本文将介绍拓扑空间的基本概念及其性质。
一、引言拓扑空间是由集合和集合上的拓扑结构构成的一种数学结构。
它是一种比度量空间更一般的空间，可以用于描述不同度量之间的性质。
拓扑空间的研究为数学领域的许多问题提供了新的解决方法。
二、拓扑空间的定义拓扑空间由以下三条公理定义：首先，给定一个非空集合X，X的全体子集构成的集合Τ称为X上的一个拓扑。
拓扑中的元素称为开集。
其次，空集和整个集合X都是开集。
最后，开集的任意并、有限交以及有限并仍然是开集。
三、开集与闭集拓扑空间中的开集具有以下性质：首先，空集和整个集合X都是开集。
其次，任意两个开集的交集仍然是开集。
最后，开集的任意并仍然是开集。
闭集是指和开集互补的集合。
四、邻域与极限点在拓扑空间中，邻域是指包含某个点的开集。
极限点是指在拓扑空间中，存在序列中的某一点，使得该点的任意邻域都与序列中的无穷个点相交。
五、连续映射拓扑空间中，连续映射是指保持拓扑结构的映射。
即，对于任意开集V，其原像在定义域中是一个开集。
连续映射有以下性质：首先，恒等映射是连续的。
其次，连续映射的复合仍然是连续的。
最后，如果映射的像是开集，那么定义域中的原像也是开集。
六、拓扑空间的性质拓扑空间具有许多重要的性质：首先，有限集在拓扑空间中是闭集。
其次，连续映射保持极限点。
最后，具有有限子覆盖性质的拓扑空间是紧致的。
七、子空间拓扑空间的子集上也可以定义一个拓扑结构，这样的子集称为子空间。
子空间具有许多与原空间相似的性质。
八、紧致性紧致性是拓扑空间中的重要概念之一。
一个拓扑空间是紧致的，当且仅当它的每一个开覆盖都有有限子覆盖。
九、拓扑空间的分类不同的拓扑空间之间可以存在同胚。
同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射，且该双射及其逆映射都是连续映射。
十、总结本文介绍了拓扑空间的基本概念与性质。
拓扑空间是数学中的一个重要研究对象，它可以用于描述不同度量之间的性质。
拓扑名词解释
拓扑名词解释拓扑学是现代数学中的一个分支，主要研究空间及其中形状特征的性质。
拓扑学中有很多名词，下面将分别进行解释。
一、空间1. 拓扑空间：是指一个集合和其上的一些子集所构成的空间，这些子集被赋予了特定的性质，即开集和闭集。
开集具有稠密性和可加性，闭集则满足四个公理，包括空集和全集为闭集，闭集的并集为闭集等。
2. 流形：指在局部可与欧几里德空间同胚的空间，如球面、环面等。
流形具有一些卓越的性质，如最重要的：沿途保存等式。
3. 嵌入空间：是指将一个空间嵌入高维空间的过程，如将平面嵌入三维空间。
4. 维数：是指一个空间中的自由度数量。
如平面的维数为二，三维空间的维数为三。
二、性质1. 一致连续性：是指对于一个拓扑空间中的每一个开集，存在一个对应的开集使得它包含在前述开集中。
2. 连通性：是指一个拓扑空间是不可分割的。
若将该空间分成两个非孤立点集，则它们之间存在一个开集，使得它们分别包含在该空间的两个子区域中。
3. 同胚：是指两个拓扑空间间的一一映射是连续和开连续的。
4. 分离性：是指两个点集之间存在某种性质的分离方式，如点集之间用开区域隔开。
三、映射1. 映射：是指将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的过程。
2. 连续映射：是指对于一个拓扑空间，将其中一个子集映射到另一个拓扑空间，使得其满足连续性要求。
3. 同伦映射：是指在两个拓扑空间之间，有连续的映射使得这两个空间具有相似的形状或性质。
4. 等价映射：是指两个拓扑空间之间存在一种映射，使得它们具有相同的同胚性质并且具有双向性。
以上就是拓扑学中一些比较基础的名词解释，如果想要更好地理解和深入探究拓扑学的话，还需要进行更加深入和具体的学习。
拓扑空间的例子和解释
拓扑空间的例子和解释
拓扑空间是数学中非常基础的概念，用来描述空间中点之间的邻域关系。
一个拓扑空间包含了一组开集，这组开集满足一些基本的性质。
下面我们举几个例子来解释一下拓扑空间的概念：
1. 实数线：实数线是最为熟知的拓扑空间之一，其开集可以是开区间、闭区间和半开区间。
我们可以认为实数线上的每一个点都是一个元素，而每个开集就是包含该点的一些区间。
2. 拓扑空间的复合：如果有两个拓扑空间，我们可以将它们复合起来得到一个新的拓扑空间。
比如说，我们可以将实数线和圆形合并成一个拓扑空间。
在这个新的拓扑空间上，我们可以定义一些开集，其中包括圆形的内部，以及实数线上面的一些区间。
3. 度量空间：度量空间是一种特殊的拓扑空间，它可以通过度量函数来定义空间中点之间的距离。
这个距离函数必须满足一些基本的性质，比如非负性、对称性和三角形不等式等。
常见的例子包括欧几里得空间和切比雪夫空间。
4. 离散空间：离散空间是一种特殊的拓扑空间，其中每一个点都是一个开集。
这个空间中没有相邻的点，因为每一个点都是它自己的邻域。
在离散空间中，开集的性质就显得格外重要，因为每个开集都是单独的。
总的来说，拓扑空间非常重要，它们不仅仅在数学领域中有着广泛的应用，而且也可以用于物理、化学和生物学等其他领域中，是一种非常有价值的分析工具。
点集拓扑知识点总结
一、点集拓扑学的基本概念1. 拓扑空间的概念拓扑空间是点集拓扑学中的一个基本概念，它是一个具有一定性质的集合，其定义是一个集合X，以及X的子集族T，称为X上的一个拓扑结构，满足以下条件：（1）空集和全集都属于T（2）任意两个元素的交集属于T（3）任意有限个元素的并集属于T拓扑结构T的元素称为开集，满足这些条件的集合X称为拓扑空间。
2. 拓扑结构的生成拓扑结构可以由邻域系统、基本开集系统或者距离函数生成。
通常我们可以通过指定一组生成元素，然后利用生成元素的运算得到拓扑结构。
3. 连通性连通性是点集拓扑学中一个重要的概念，它描述了集合的整体性质。
一个集合如果可以被分解成两个不相交的非空集合，则称该集合是不连通的；反之，如果一个集合不能被分解成两个不相交的非空集合，则称该集合是连通的。
4. 紧性紧性是一种覆盖性质，描述了集合上开覆盖的性质，一个集合如果任何开覆盖都存在有限子覆盖，则称该集合是紧的。
二、拓扑空间上的映射1. 连续映射拓扑空间之间的映射称为连续映射，一个映射如果满足对于任意开集的原像都是开集，则称该映射是连续的。
2. 同胚映射一个双射且连续的映射称为同胚映射，它描述了两个拓扑空间之间的等同性质。
3. 全局性质全局性质是指拓扑空间中全体元素的性质，例如紧性、连通性等。
1. 度量空间度量空间是一种特殊的拓扑空间，它可以通过度量函数来定义拓扑结构。
度量空间的拓扑结构由度量函数生成。
2. 离散拓扑离散拓扑是一种特殊的拓扑结构，它的开集是所有单点集和空集的组合。
它是最精细的拓扑结构。
3. 有限开拓扑有限开拓扑是一种限制了开集数量的拓扑结构，它适用于有限集的拓扑结构定义。
四、点集拓扑的应用1. 分析学拓扑学在分析学中有广泛的应用，比如连续函数的性质、紧性和连通性对于函数的性质有很大的影响。
2. 几何学拓扑学在几何学中有着举足轻重的地位，比如拓扑不变性理论、同伦理论等都是几何学中重要的研究方向。
3. 应用数学拓扑学在应用数学中有广泛的应用，比如网络结构的分析、信号传输的优化等都涉及到拓扑学的知识。
点集拓扑知识归纳总结
第二章 拓扑空间2.1拓扑空间的概念2.1.1拓扑定义2.1.1设X 是一集合，T 是X 的一子集族。
如果T 满足：（1）,X T ∅∈；（2）有限交封闭；（3）任意并封闭。
则称T 为X 上的一拓扑，而T 的成员叫X 的开集。
例：{},T X =∅叫X 上的平庸拓扑；{}A |A T X =⊆叫X 上的离散拓扑；典型拓扑：余有限拓扑、余可数拓扑、有心拓扑、去心拓扑定义2.1.2 Y 的子空间拓扑或相对拓扑：母空间的开集交上Y 即可。
定义2.1.3 设(X,T )是拓扑空间，∼是X 上的等价关系，等价类的集合为[]{}/|X x x X =∈∼，自然投影:/p X X →∼定义为()[]p x x =。
令(){}1//|T U X p U T −=⊆∈∼∼叫/X ∼上的商拓扑，()/,/T X ∼∼叫商空间。
下面证明/T ∼是/X ∼上拓扑。
(1)由于()1p T −∅=∅∈，()1/p X X T −=∈∼，即,//X T ∅∈∼∼；(2)设/A T ⊆∼为有限集，由于()11U U U A Ap p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∩∩，且满足()1p U T −∈，由拓扑T 对有限交封闭有，()1U A p U T −∈∈∩，从而U U /AT ∈∈∼∩；(3) /A T ∀⊆∼，由于()11U U A Ap U p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∪∪，类似地，由拓扑T 对任意并封闭有，()1U A p U T −∈∈∪，从而U /AU T ∈∈∼∪。
综上所述，/T ∼是/X ∼上拓扑。
定理2.1.1设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，则（1）,X F ∅∈；（2）有限并封闭；（3）任意交封闭。
定理2.1.2设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，Y ⊆ X，则Y |F 是Y 作为子 空间的闭集族。
2.1.2 领域系定义2.1.5设X 是拓扑空间，包含x 的开集叫x 的开领域。
定义2.1.6设X 是拓扑空间，如果A 内存在x 的开领域，则称A 是x 的领域。
点集拓扑关系知识点总结
点集拓扑关系知识点总结1. 拓扑空间拓扑空间是点集拓扑的基础概念，它是一个集合和该集合上的一组子集的组合。
这组子集需要满足一定的性质，使得在这个集合上能定义一种拓扑结构。
具体来说，拓扑空间需要满足以下几个条件：（1）空集和整个集合本身是拓扑空间的子集；（2）有限个开集的交集仍然是开集；（3）任意多个开集的并集仍然是开集。
根据这些性质，我们可以定义一个拓扑空间。
拓扑空间上的这种拓扑结构能够帮助我们研究集合内部的性质，比如连通性、紧性、收敛性等。
2. 连通性在拓扑空间中，我们可以定义连通性，用来描述集合内部的结构。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不是两个不相交的开集的并集。
换句话说，如果一个拓扑空间的任意开集要么是整个空间本身，要么是空集，那么它就是连通的。
连通性是拓扑空间中的一个基本性质，它描述了集合内部的连接程度。
比如在欧几里得空间中的直线、圆周等都是连通的，而两个不相交的点是不连通的。
3. 紧性紧性是拓扑空间的另一个重要性质，它描述了集合上的一种紧凑性。
一个拓扑空间被称为紧的，如果它的任意开覆盖都有有限子覆盖。
也就是说，如果一个拓扑空间上的任意开集族都存在有限个开集，这个有限个开集的并集覆盖了整个空间，那么这个空间就是紧的。
紧性是拓扑空间中的一个重要性质，它和连通性一样，可以帮助我们研究集合内部的结构。
在欧几里得空间中，有界闭区间是紧的，而非有界闭区间则不是紧的。
4. 度量空间度量空间是点集拓扑中的一个重要概念，它是一个集合和该集合上的一种度量的组合。
度量空间上的度量可以帮助我们定义集合上的距离，从而研究集合内部的性质。
度量空间需要满足以下几个条件：（1）非负性：对于任意两个点x和y，它们之间的距离需要大于等于零；（2）同一性：对于任意两个点x和y，它们之间的距离等于零当且仅当x和y是同一个点；（3）对称性：对于任意两个点x和y，它们之间的距离和y和x之间的距离是相等的；（4）三角不等式：对于任意三个点x、y和z，它们之间的距离满足不等式d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)。
拓扑空间的定义及其应用
拓扑空间的定义及其应用拓扑学是数学中一个重要的分支，它通过探究空间结构和性质之间的关系，解决了无数数学问题。
其中，拓扑空间作为一个基础概念，被广泛使用。
本文将探讨拓扑空间的定义及其应用。
一、拓扑空间的定义在正式介绍拓扑空间之前，我们先来了解一下什么是拓扑。
拓扑是一种空间结构，它描述的是空间中的点和它们之间的关系。
一般来说，我们可以对一个集合进行拓扑结构的描述。
具体来说，设X是一个集合，如果我们能定义一个X上的拓扑结构T，使得它满足以下三条公理：1.空集和全集是开集；2.任意多个开集的交集仍然是开集；3.有限多个开集的并集仍然是开集。
那么这样的(X,T)就成为一个拓扑空间。
其中，开集是什么呢？开集就是指一个集合内任意一点都可以放在该集合内，而不处于它的边界上。
二、拓扑空间的应用在数学中，拓扑空间作为一个基础概念，被广泛使用。
下面，我们就来了解一下拓扑空间的具体应用：1.拓扑空间在几何学中的应用几何学是研究图形、空间和形体等概念的科学。
而拓扑空间在几何学中的应用，就是通过拓扑的方法来研究现实中的几何问题。
举个例子，我们在研究一个球体时，我们可以将球面看成拓扑空间上的圆环，然后通过分析圆环上的性质来解决球面上的问题。
2.拓扑空间在物理学中的应用物理学是研究物质的本质和运动规律的学科。
而拓扑空间在物理学中的应用，主要是通过拓扑的方法来分析物质的性质。
例如，在拓扑学中，我们可以将物理空间看作一个高维拓扑空间，通过分析拓扑空间的形状和特性，来进一步研究物理学中的运动规律和性质。
3.拓扑空间在计算机科学中的应用计算机科学是研究计算机技术及其应用的学科。
而拓扑空间在计算机科学中的应用，则是通过建立拓扑结构来描述计算机中的数学模型。
例如，在计算机图形学中，我们可以通过对计算机场景的建模，从而在拓扑空间中描述其结构和性质。
结语拓扑空间作为数学中的一个基础概念，其应用涉及到多个领域，包括几何学、物理学、计算机科学等。
什么是拓扑空间
什么是拓扑空间拓扑空间是数学中一个重要的概念，它是拓扑学的基础，用来研究空间中的连通性、紧致性、收敛性等性质。
在数学中，拓扑空间是一种抽象的数学结构，它可以描述空间中点的位置关系以及点集之间的邻近关系。
通过定义在拓扑空间上的拓扑结构，我们可以研究空间中的各种性质和结构。
一、拓扑空间的定义在数学上，拓扑空间是一个集合X以及X的子集族T的有序对(Topology)。
这个子集族T满足以下三个条件：1. X和空集∅都属于T；2. 任意多个集合的交集仍然属于T；3. 有限多个集合的并集仍然属于T。
满足上述条件的子集族T被称为X上的一个拓扑结构，而集合X 连同拓扑结构(Topology)构成了一个拓扑空间。
二、拓扑空间的性质1. 开集与闭集：在拓扑空间中，开集和闭集是非常重要的概念。
开集是指属于拓扑结构的集合，闭集是指其补集是开集的集合。
2. 连通性：拓扑空间中的连通性是指空间中不存在将空间分割成两个不相交非空开集的现象。
如果一个拓扑空间是连通的，那么它不能被分割成两个不相交的开集。
3. 紧致性：紧致性是指拓扑空间中的任意开覆盖都有有限子覆盖的性质。
如果一个拓扑空间中的任意开覆盖都有有限子覆盖，那么这个空间就是紧致的。
4. 度量空间：度量空间是一种特殊的拓扑空间，它具有度量的性质，即可以定义空间中点之间的距离。
三、拓扑空间的例子1. 实数集上的标准拓扑：实数集上的标准拓扑是指实数集上的开区间构成的集合族。
这个拓扑空间是一个度量空间，具有许多重要的性质。
2. 离散拓扑：离散拓扑是指集合中的每个点都是开集的拓扑结构。
在离散拓扑下，任意子集都是开集，这个拓扑空间具有很强的性质。
3. 有限拓扑：有限拓扑是指集合中只有有限个点不是开集的拓扑结构。
在有限拓扑下，空间的性质与集合中的有限点有关。
四、拓扑空间的应用拓扑空间的概念和理论在数学以及其他领域有着广泛的应用。
在数学分析、代数学、几何学等领域，拓扑空间的研究为解决各种问题提供了重要的工具和方法。
什么是拓扑空间
什么是拓扑空间1. 引言拓扑空间是数学中一个非常重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
无论是几何学、物理学还是计算机科学，拓扑空间都有着非常重要的地位。
本文将介绍什么是拓扑空间，以及它的基本性质和应用。
2. 定义拓扑空间可以看作是一种具有一定结构的集合。
更准确地说，给定一个集合X，如果我们能够在X上定义一个集合T，满足以下三个条件：X和空集均属于T。
T的任意有限个元素的交集仍然属于T。
T的任意个元素的并集仍然属于T。
那么集合X配上集合T就构成了一个拓扑空间，记作(X, T)。
在这里，X称为拓扑空间的底集，T称为X上的拓扑结构。
3. 拓扑结构拓扑结构T赋予了拓扑空间一些性质和结构。
通过拓扑结构，我们可以定义开集和闭集。
开集：给定一个拓扑空间(X, T)，如果一个集合U属于T，那么称U为开集。
闭集：给定一个拓扑空间(X, T)，称X中任意开集的补集为闭集。
同时，我们可以通过开集定义子拓扑、连续映射等概念。
4. 拓扑空间的基本性质4.1 连通性连通性是研究拓扑空间中连接性质的一个重要性质。
如果给定一个拓扑空间(X, T)，如果存在一种方法可以通过某个点到达另一个点，则称X是连通的。
4.2 紧致性紧致性也是研究拓扑空间性质的重要性质之一。
如果给定一个拓扑空间(X, T)，如果对于任意的开覆盖都存在有限个开集能够完全覆盖X，则称X是紧致的。
4.3 Hausdorff性Hausdorff性是研究点与点之间分离性质的一个重要性质。
如果给定一个拓扑空间(X, T)，对于任意两个不同点，存在两个不相交的开集U和V，使得，则称X是Hausdorff空间。
4.4 连续映射连续映射也是研究拓扑空间中函数性质的重要概念。
给定两个拓扑空间(X, T)和(Y, S)，如果一个函数满足对任意开集，它的原像都是X中开集，则称f是连续映射。
5. 拓扑空间的应用5.1 几何学在几何学中，拓扑空间提供了描述和刻画形状、距离、连通性等概念的数学工具。
点集拓扑的基本概念
点集拓扑的基本概念点集拓扑是拓扑学中的一个重要分支，研究的是集合中点的位置关系以及由此导出的拓扑性质。
在点集拓扑中，我们主要关注的是集合中点的聚集、分散情况，以及点之间的邻域关系。
通过对点集拓扑的学习，我们可以更好地理解空间中点的分布规律，从而推导出一些重要的拓扑性质和定理。
下面将介绍点集拓扑的基本概念，帮助读者更好地理解这一领域。
1. 点集拓扑的定义在点集拓扑中，我们首先需要定义什么是点集。
点集可以是有限的，也可以是无限的，可以是一维的，也可以是多维的。
在点集拓扑中，我们通常考虑的是集合中点的位置关系，而不涉及点的具体性质。
点集拓扑的研究对象是点的集合以及这些点之间的邻域关系，通过定义不同的拓扑结构，我们可以研究集合中点的连接性、连通性等性质。
2. 拓扑空间在点集拓扑中，我们引入了拓扑空间的概念。
拓扑空间是指一个集合，这个集合中的元素被称为点，同时还给出了这些点之间的邻域关系。
具体来说，拓扑空间是一个二元组(T, τ)，其中T是一个集合，τ是T上的一个拓扑结构，满足以下性质：（1）空集和全集都属于τ；（2）任意多个集合的交集仍然属于τ；（3）有限个集合的并集仍然属于τ。
通过定义拓扑结构，我们可以在集合中引入一种拓扑性质，从而研究集合中点的位置关系和连通性。
3. 邻域与开集在点集拓扑中，邻域是一个非常重要的概念。
给定一个拓扑空间(T, τ)和其中的一个点x，我们称包含x的开集为x的邻域。
开集是指在拓扑空间中定义的一种特殊集合，满足以下性质：（1）空集和全集都是开集；（2）任意多个开集的交集仍然是开集；（3）有限个开集的并集仍然是开集。
通过邻域和开集的概念，我们可以定义点的聚集、分散情况，进而研究集合中点的连接性和连通性。
4. 连通性在点集拓扑中，连通性是一个重要的性质。
一个拓扑空间(T, τ)被称为连通的，如果它不可以表示为两个不相交的非空开集的并集。
换句话说，一个拓扑空间是连通的，如果任何两个点之间都存在一条连续的路径。
点集拓扑的基本概念
点集拓扑的基本概念点集拓扑是数学中的一个分支，研究的是集合中元素之间的关系以及集合本身的性质。
在点集拓扑中，我们关注的是集合中的点以及它们之间的邻域关系。
本文将介绍点集拓扑的基本概念，包括拓扑空间、开集、闭集、连通性等。
一、拓扑空间拓扑空间是点集拓扑的基本概念之一。
它由一个集合X以及X上的一组特定的子集构成，这组子集被称为拓扑结构。
拓扑结构满足以下三个条件：1. 空集和整个集合X都是拓扑结构的元素。
2. 任意多个拓扑结构的交集仍然是拓扑结构的元素。
3. 任意多个拓扑结构的并集仍然是拓扑结构的元素。
二、开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是两个重要的概念。
开集是指在拓扑空间中的任意一点，都存在一个包含该点的邻域，该邻域完全包含在该集合内。
闭集则是指拓扑空间中的补集是开集。
具体来说，对于一个拓扑空间X，如果A是X的一个子集，且A的补集是开集，则称A是闭集。
三、连通性连通性是点集拓扑中的一个重要概念，用来描述集合的连通性质。
一个集合被称为连通的，如果它不能被分割成两个非空的开集，且这两个开集的交集为空。
换句话说，如果一个集合中的任意两点都可以通过集合中的路径相连，则该集合是连通的。
四、邻域和极限点在点集拓扑中，邻域是一个重要的概念。
对于一个拓扑空间X和其中的一个点x，如果存在一个开集U，使得x属于U，则称U是x的一个邻域。
邻域可以用来描述点的局部性质。
极限点是指在一个集合中，存在一个点x，使得任意一个邻域U都包含集合中的其他点。
换句话说，如果一个点x的任意邻域都包含集合中的其他点，则称x是集合的一个极限点。
五、紧致性紧致性是点集拓扑中的一个重要概念，用来描述集合的紧凑性质。
一个集合被称为紧致的，如果它的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
换句话说，如果一个集合中的任意开覆盖都可以找到有限个开集，使得它们的并集包含整个集合，则该集合是紧致的。
六、同胚同胚是点集拓扑中的一个重要概念，用来描述两个拓扑空间之间的一种映射关系。
拓扑空间的定义与拓扑性质
拓扑空间的定义与拓扑性质拓扑空间是数学领域中的一个重要概念，它为我们研究集合上的连续性和收敛性提供了一种基本框架。
在本文中，我们将介绍拓扑空间的定义以及一些与其相关的基本性质。
一、拓扑空间的定义拓扑空间是通过引入开集的概念来定义的。
设X为一个非空集合，如果对于X的一个子集T满足以下三个条件，那么T被称为X上的一个拓扑：1. X和空集∅都是T中的元素。
2. T中的任意有限交集仍然属于T。
3. T中的任意并集仍然属于T。
满足以上条件的拓扑T，我们称之为集合X上的一个拓扑空间，常记作(X, T)。
二、基本性质1. 极限点：在拓扑空间中，我们可以定义集合中元素的极限点。
设A为集合X的一个子集，x为X的一个点，如果对于A中任意一个开集U，都存在y∈U∩(A\{x})，则称x为A的一个极限点。
2. 连续映射：设(X, T1)和(Y, T2)为两个拓扑空间，f:X→Y为一个函数。
如果对于任意开集V∈T2，f^{-1}(V)∈T1，那么我们称f为从X 到Y的一个连续映射。
3. Hausdorff空间：如果一个拓扑空间中的任意两个不同点都有不相交的开集包含它们，那么我们称该空间是Hausdorff空间。
4. 连通性：一个拓扑空间中，如果不存在非空开集U和V，使得U和V是互不相交的且它们的并集为整个空间X，那么我们称X是一个连通空间。
5. 紧性：如果对于一个拓扑空间中的任意一个开覆盖，都存在有限个开集使得它们的并集覆盖整个空间X，那么我们称该空间是紧的。
三、例子1. 实数空间上的常规拓扑是一个拓扑空间。
其中的开集是实数轴上的开区间。
2. 度量空间：如果一个拓扑空间中的拓扑可以由一个度量函数产生，那么我们称该空间是度量空间。
3. 离散拓扑：对于一个集合X，如果X上的所有子集都是开集，那么我们称这个集合上的拓扑空间为离散拓扑。
4. 有限补拓扑：对于一个集合X和它的一个子集A，如果X\{A}是X中的有限集，那么我们称X上的一个拓扑空间为有限补拓扑。
拓扑空间与度量空间的基本概念
拓扑空间与度量空间的基本概念拓扑空间和度量空间是数学中研究空间的两个重要概念。
它们从不同的角度刻画了空间的结构和性质。
本文将介绍拓扑空间和度量空间的基本概念，并探讨它们之间的关系。
一、拓扑空间的基本概念拓扑空间是一种比度量空间更一般的空间概念。
它不依赖于距离的概念，而是通过引入拓扑结构来定义空间的性质。
下面给出拓扑空间的基本概念。
1.1 拓扑空间的定义拓扑空间是一个集合X和一个X上的拓扑结构T的有序对(T,X)。
其中，集合X的元素称为点，拓扑结构T是对X子集族的一个选择性的集合，它满足以下三个条件：（1）空集和整个X都是T的成员；（2）若A和B都是T的成员，则它们的交集A ∩ B也是T的成员；（3）若{Aα}是T的成员，则它们的并集∪Aα也是T的成员。
1.2 拓扑空间中的开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是非常重要的概念。
开集是指拓扑结构中的成员，它的任意点都是它的一部分。
闭集是指其补集是开集的子集。
1.3 连通性和紧性连通性描述了拓扑空间中的连通性质，即空间中不存在不相交的非空开集。
紧性则是拓扑空间中点集的紧致性质，即任意开覆盖都存在有限子覆盖。
二、度量空间的基本概念度量空间是一种用度量来度量空间中点之间距离的数学结构。
它给出了空间中点的定量关系。
下面是度量空间的基本概念。
2.1 度量空间的定义度量空间是一个集合X和一个函数d：X × X → R的有序对(X, d)。
其中，函数d称为度量，它满足以下三个条件：（1）对于任意的x, y ∈ X，有d(x, y) ≥ 0，且当且仅当x = y时，d(x, y) = 0；（2）对于任意的x, y ∈ X，有d(x, y) = d(y, x)；（3）对于任意的x, y, z ∈ X，有d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)。
2.2 度量空间中的开球和闭球在度量空间中，开球和闭球是度量所定义的重要概念。
对于给定的点x和半径r，开球B(x, r)是包含所有与x的距离小于r的点的集合；闭球C(x, r)是包含所有与x的距离小于等于r的点的集合。
拓扑知识点总结
拓扑知识点总结1. 拓扑空间拓扑空间是拓扑学的基本对象。
它是一个集合X连同一个满足一定条件的集合T构成的二元组（X，T）。
这个集合T包含了X的某些子集，称为开集，它满足以下性质：1）空集和X本身都是开集；2）开集的任意并集仍然是开集；3）开集的有限交集仍然是开集。
闭集是开集的补集。
拓扑空间中的开集和闭集具有许多重要的性质，如开集和闭集的运算法则、开集的性质等，这些性质对于研究拓扑空间的结构和性质非常重要。
2. 连通性连通性是拓扑空间的一个重要性质。
一个空间如果不是连通的，那么它可以分解成为若干个连通的子空间。
连通性在很多领域都有重要的应用，如在微积分中，连通性是讨论函数定义域的重要性质；在代数拓扑学中，连通性是讨论拓扑空间的同伦性等。
3.紧性紧性是拓扑空间的一个重要性质。
一个拓扑空间如果满足这个性质，就称为紧拓扑空间。
紧性在很多领域都有重要的应用，如在微积分中，紧性是讨论极限的性质；在代数拓扑学中，紧性是讨论拓扑空间的完备性等。
4. 度量空间度量空间是拓扑学中的一个重要概念，它是一个集合X连同一个度量d构成的二元组（X，d）。
（1）度量空间是数学分析和实变函数中的基本概念之一，度量空间给出了“距离”的概念。
（2）度量空间是几何学中的基本概念之一，度量空间给出了点的位置的概念。
拓扑空间与度量空间有着密切的联系，在实际应用中常将拓扑空间视为度量空间来分析，或者将度量空间的公理推广到拓扑空间来研究。
5. 同胚同胚是拓扑学中的一个重要概念。
如果两个拓扑空间X和Y之间存在一个一一映射f，且f和f的逆映射都是连续的，则称X和Y是同胚的。
同胚将一个拓扑空间上的拓扑结构转移到另一个拓扑空间上，使得它们在拓扑上是相似的。
同胚是研究拓扑空间的一个重要工具，它可以帮助我们理解拓扑空间的结构和性质。
6. 康托尔集康托尔集是拓扑学中的一个重要概念。
它是一个紧集，是典型的不可数集。
康托尔集的构造方法非常巧妙，它是通过递归地删除中间的开区间来构造的。
拓扑空间与欧氏空间的联系
拓扑空间与欧氏空间的联系拓扑空间与欧氏空间是两种不同的空间概念，但它们之间存在联系。
下面将详细探讨它们之间的联系及区别。
一、定义欧氏空间是指$n$维向量空间中的一类空间，具体来说就是指实数域内的$n$维空间。
它具有度量和内积的结构，且对应于我们熟知的几何空间。
而拓扑空间则是在没有度量和内积的情况下，基于集合论定义的一种空间。
它指的是一组元素的集合，其中定义了一些子集族作为开集，同时满足一定的公理化条件，比如说开集互相可以通过有限个运算(如交、并、补)得到。
二、相同点1. 拓扑空间可以通过度量空间构造得到。
度量空间与欧氏空间本质上是一种特殊的拓扑空间，且欧氏空间总是可度量的，所以每个欧氏空间都是一个度量空间。
2. 拓扑空间和欧氏空间都可以通过“开集”来描述空间中的点与集合的关系。
在度量空间中，定义一个点的邻域为以该点为中心的开球，集合是开集当且仅当集合内任意一点都可以覆盖一个开球。
3. 拓扑空间和欧氏空间都涉及到一些基本的拓扑概念，如”极限“、”连续性“、”紧致性“等。
三、区别1. 有度量的空间是可测量的，通过度量我们可以量度两点之间有多远。
而拓扑空间的内部结构很难直接被测量。
2. 在欧氏空间中，子空间也是欧氏空间，而在拓扑空间中却不一定成立。
比如说，半开区间$[0,1)$在实数集上是子空间，而在拓扑空间$\{[0,1)\cup [2,3]\}$中却不是子空间。
3. 拓扑空间与欧氏空间有不同的拓扑性质，比如欧氏空间是一致空间，而拓扑空间不一定是。
另外，在拓扑空间中，点集的业已定义十分关键，但是在欧氏空间中，距离是十分重要的，因为它给了我们关于空间的模拟。
综上所述，欧氏空间和拓扑空间都是至关重要的数学概念，它们在描述数学中的连续性、极限、收敛、连通性等方面都有广泛的应用。
优秀的数学学者们，正是凭借这些概念的深入理解和研究，使得我们对世界的认知更加精确和全面。
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第二章 点 集 拓 扑§2.1. n 维欧氏空间、度量空间、拓扑空间的概念定义2.1.1．) , ,(n 1ξξ =x ，nR y ∈=) , ,(n 1ηη ，定义 R R R d nn →⨯: 为 ∑=-=n12)()y ,(i i i x d ηξ． 称d 为nR 上的Euclid 距离． 易证距离d 满足：01．y x 0)y ,( ,0)y ,(=⇔=≥x d x d ； 02．) x ,()y ,(y d x d =；03．)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤， )R z y, ,(n∈x ．定义2.1.2．( 距离空间，Metrical Space ) X 为非空集合，二元函数 R X X d →⨯: 满足：01．非负性：y x 0)y ,( ,0)y ,(=⇔=≥x d x d ； 02．对称性：) x ,()y ,(y d x d =；03．三角不等式：)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤ )R z y, ,(∈x ．称d 为X 上的一个距离，)d ,(X 为距离空间或度量空间．如 X A ⊂，称)d ,(A 为距离子空间．0r ,>∈X x ，开球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x B <∈=； 闭球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x S ≤∈=．开集：X A ⊂．A x ∈，∃球 A x B ⊂)r ;(，称x 为A 的一个内点．如A 中每个点都是内点，则称A 为开集．开球是开集；2R 中第一象限区域（不含坐标轴）是开集． 记)d ,(A 中开集全体为τ，则有如下结论． 定理2.1.1．(1)τφ∈X ,； (2) ττ∈⇒∈)( ,2121G G G G ； (3) τλτλλλ∈⇒Λ∈∈Λ∈ )( G G ．例：(1) 离散空间．φ≠X ，定义 ) X y x,( yx ,1yx ,0)y ,(∈⎩⎨⎧≠==x d ． 称X 为离散距离空间．(2) ] ,[b a C 空间．} b] [a, )( )({] ,[上连续函数为t x t x b a C =．] ,[y(t)y ),(b a C t x x ∈==， 定义y(t)x(t) max )y ,( -=≤≤bt a x d ，d 是距离．(3) 有界函数空间)(X B ．φ≠X ，} X )( )({)(上有界函数为t x t x X B =． 定义 y(t)x (t) sup )y ,( -=∈Xt x d ，()(y ,X B x ∈)，d 是距离．称)(X B 为有界函数空间． 取+=N X ，记} )( )( {)(有界 n n x l X B ξξ===∞．)(y ),(n ηξ==n x ，n n sup )y ,(ηξ-=∈Nn x d ．定义2.1.3．设φ≠X ，)(X P ⊂τ 满足：(1) τφ∈X ,； (2) τ对于有限交运算封闭：ττ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒∈= n 1 i i n 1G G , ,G ；(3) τ对于任意并运算封闭：τλτλλλ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒Λ∈∈Λ∈ G )( G ． 称τ为X 上的一个拓扑( Topology )，X 上安装了拓扑τ，) ,(τX 是拓扑空间( Topological Space )． 每个τ∈G 称为开集． 如 X A ⊂， 令} {ττ∈=G A G A ， 称) ,(A τA 为（拓扑）子空间．例：(1) 度量空间)d ,(X 是拓扑空间，称为由距离d 诱导的拓扑τ． (2) 设 φ≠X ，}{X ，φτ=，称) ,(τX 是平凡拓扑空间． (3) 设φ≠X ，)(X P =τ，称) ,(τX 是离散拓扑空间．(4) } n, , 2, 1, ,0{ ==N X ，令}{} )\( {φτ为有限集 A X X A ⊂=，则) ,(τX 成为拓扑空间．§2.2. 拓扑空间中的基本概念设),(τX 是拓扑空间，X A ⊂．定义：(1) 若 c A 是开集，称A 为闭集． (2) A 的闭包闭F F,A F⊂∆=A (包含A 的最小闭集)．(3) 若G x ∈，G 是开集，称G 为x 的一个邻域．∃∈ ,A x 邻域G ，使A G x ⊂∈，称x 为A 的内点．A 的内点全体称为A 的核（内部），记0A 为． （书15P (3)错） (4) x X, x ,∀∈⊂X A 的邻域G ，有φ≠A G ，φ≠cA G ，称x 为A 的边界点．A 的边界点全体称为A的边界，记为 A ∂．显然，0A ，A ∂，0)(c A 互不相交，o c o A A A X)( ∂=．(5) x X,A ,∀⊂∈X x 的邻域G ，有 φ≠A x G }){\(，称x 为A 的聚点．A 的聚点全体称为A 的导集，记A '． (6))A \A ('∈x ，称x 为A 的孤立点．(7) 若 A A '=，称A 为完全集（完备集）． (8) 若 ()φ=oA ，称A 为疏朗集（无处稠密集）． A 不在任何开集中稠密．(9)X B ,⊂A ，若B A ⊃，称A 在B 中稠密．它等价于： Ay y B ∈⊂>∀);(B 0, εε．(10)-σF 型集A ： +∞==1nF n A ，n F (闭集)；-δG 型集B ： +∞==1n G n B ，n G (开集)．(11) 设B 在A 中稠密，0ℵ≤B ，称A 为可分集．若X 可分，称X 为可分空间． (12) 若 +∞==1nEn A ，n E (疏朗)，称A 为第一纲集；否则称A 为第二纲集．(13) 设)d ,(X 为度量空间，X A ⊂．若存在球 )r ;(0x B ，使)r ;(0x B A ⊂，称A 为有界集．设 0 , ,>⊂εX B A ．若 Bx x B A ∈⊂)(ε；，称B 为A 的一个网-ε．若0 >∀ε，A 具有有限的网-ε B ，称A 为完全有界集．注：可取有限的网-ε A B ⊂． 如：球n R x B ⊂)r ;(0 是完全有界集．(14) 设X x n ⊂}{， 若∃X x ⊂， 使 0 x),d(x lim n =+∞→n ． 称}{n x 收敛于x ， 记 x x lim n =+∞→n 或)(n x x n +∞→→．极限是唯一的； 收敛点列是有界集． (15) 设 )d ,(X 为度量空间，X A ⊂．若A 中任一点列都存在收敛于X 中点的子列，称A 为列紧集．如：欧氏空间n R 中的有界集是列紧集． (16) 设X A ⊂，Λ∈λλ}{G 是开集族．若 Λ∈⊂G λλA ，称Λ∈λλ}{G 为A 的一个开覆盖．若A 的任一开覆盖Λ∈λλ}{G ，存在有限子覆盖： n1iG =⊂i A λ，称A 为紧集． 若空间X 紧，称X 为紧空间．(17) 设)d ,(X 为度量空间，εε<>>∃>∀⊂) x ,d(x N n m , 0,N 0, }{n m 时，有当，X x n ，则称}{n x 为Cauchy 序列（基本列）． 若X 中每个基本列均收敛，称X 是完备的度量空间． 如：收敛点列必是基本列． nR 是完备的度量空间．以下假设),(τX 是拓扑空间． 定理2.2.1．（闭集的性质）(1) X ,φ是闭集； (2) 有限个闭集之并是闭集； (3) 任意多个闭集之交是闭集． 定理2.2.2．(1) o A 是A 的最大开子集； A 为开集 o A A =⇔．(2)A 是包含A 的最小闭集； A 为闭集A A =⇔．(3) A 为闭集A A ⊂'⇔． (4) A A A '= ． (5) A A A o∂= ． (6) )d ,(X 为度量空间，则X A ⊂为闭集A ⇔中取极限运算封闭．(7) A 为度量空间X 中闭集 ⇔若 A x 0)y ,(inf )A ,( ∈==∈∆则，x d x d Ay ．选证：(1) 记} {Λ∈λλG 为A 的全体开子集所成之集族．则⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⇔∈Λ∈∃⇔∈Λ∈ G x G x , λλλλ使oA x ，于是 Λ∈=λλG A o是开集，且是A 的最大开子集． 故A 为开集A A o =⇔． (3) 若A 为闭集，则c A 为开集，且φ=cA A ．由聚点定义，c c A x A x )( '∈⇒∈，即c c A A )('⊂，A A ⊂'．反之， 设A A ⊂'，则cc A x A x )( '∈⇒∈， 故存在x 的某个邻域G ， 满足 c A x .)}{\(∈=而φA x G ，∴ φ=A G ，即cAG x ⊂∈，说明x 是c A 的内点，c A 是开集，A 是闭集．(6) 设点列A x n ⊂}{，X x x n ∈→．若}{n x 有无穷多项互异，则A x '∈；否则A x ∈．从而总有A x ∈．由(2) 得证．例1. 0.5] [0,E );5.0 ,0(E ,)5.0 ,0[0='==则Z E ； Z E E E ]5.0 ,0[='=．由于E E ⊂'不成立，E 不是闭集．例2. 2R X =， } 0 R,x ) ,{(≥∈=y y x A ． 则 A A ='； } R x,0 ) ,{(∈>=y y x A o． A A A A ='= ； } )0 ,{(R x x A ∈=∂．例3. 证明R A ⊂的导集A '是闭集． 证：需要证c) A ('是开集．x,)A ( x c '∈∀不是A 的聚点，存在x 的邻域 ) ,(δx U ，) ,(δx U 中不存在异于x 的A 中的点，故),(δx U 中的每个点均不是A 的聚点．于是 cA x U ) () ,('⊂δ，c) A (' 是开集．定理2.2.3．X A = ∀⇔ 非空开集 X G ⊂，有 φ≠G A ． 证：设X A =． 若开集G 满足φ=G A ． 则 c G ( ,c G A ⊂为闭)．由Th2.2.2.(2) 得 c G A ⊂， 于是，φ==⊂c c X A G )(．反之，由于c cA A A )( )(且φ= 为开集，由条件，φ=c A )(，得 X A =．定理2.2.4．( 疏朗集的三种等价描述)(1) φ=oA )(； (2) ∀非空开集φ≠⇒c )A (G G ；(3) ∀非空开集G ，必含有非空开子集 G G ⊂0，满足φ=0G A ．证：(1)⇒(2)．若开集G 满足φ=c)A (G ，则A G ⊂， 于是φφ==⊂G ,)A (G o． (2)成立．(2)⇒(3)．∀非空开集G ，令0c0G ,)A (G G = 为G 的非空开子集， 且φ=⊂cA A 0G A ．(3)⇒(1)．反证法．假设 φ≠oA )(，由(3)，存在非空开集oA G )(0⊂，满足φ=0G A ，即c )(G A 0⊂ (闭集)，c G A0⊂，c 0)A (G ⊂ (开集)， 从而 φ==00)(G G A c( A ⊂0G )．矛盾． （18P 错）定理2.2.5．在度量空间中，完全有界集是有界的可分集．证：设X A ⊂为完全有界集，存在X 中有限多个球 n k x B 1)}1 ;({，使 n1)1 ;(=⊂k kx B A ． 固定 X x ∈0，记 ∑=+=n10k) x ,d(x1r k ． 1) x d(x , 1), ;B(x x k, A, x k k <∈∃∈∀即使， 故r ) x ,d(x ) x d(x ,) x d(x ,0k k 0<+≤ ，即 )r ;(0x B A ⊂， A 有界．对于kk 1=ε，存在有限多个以A 中点)(k j x 为中心的球⎪⎭⎫⎝⎛k 1;)(k j x B ) n , 2, ,1(k =j ，使 kn 1 )(k 1 ;=⎪⎭⎫ ⎝⎛⊂j k j x B A ．记{}3, 2, 1,k ;n , 2, ,1 k)( ===j x D k j ，则 D 是A 的至多可数子集．εε<∃>∀k1 ,0．于是，()Dx j k j j k j x B x B A n 1 )(n 1 )() B(x; ;k 1 ;kk∈==⊂⊂⎪⎭⎫⎝⎛⊂εε， D 在A 中稠密，A 为可分集．定理2.2.6．在度量空间中，列紧集是完全有界集．证：反证法．假设X A ⊂是列紧集，但A 不是完全有界集，A ,0 0>∃ε没有有限的0ε－网．A A ∈∃∈∀21 x , x ，使021) ,(ε≥x x d ．同理，} x ,{21x 不是A 的0ε－网，A ∈∃3 x ，使) 2 1,i ( ,) ,(03=≥εx x d i ．继续下去，得到A x n ⊂}{，满足：) j i ( ,) ,(0≠≥εj i x x d ．显然，点列}{n x 无收敛子列，A 非列紧．定理2.2.7．在度量空间中，A 为紧集A ⇔为列紧的闭集．证：只需证明：A 为紧集 A ⇔中每个点列均有收敛于A 中点的子列．“⇒”． 反证法．假设存在点列A x n ⊂}{无收敛于A 中点的子列．则y y y N n ,0N 0 A,y >>>∃∈∀当及δ时，有 ) ;(y δy B x n ∉．现A y y B y )} ;({∈δ为紧集A 的一个开覆盖， 存在 m1 y )} ;({k =k k y B δ 满足m1y ) ;(k =⊂k k y B A δ．令k y mk N N max 1≤≤=，则当 时，N n > m1y ) ;(k=∉k k n y B x δ． 从而 A x n ∉． 矛盾．“⇐”． 设 A 为列紧闭集，则A 为完全有界集．要证A 是紧集，只要证明，对于A 的任一开覆盖Λ∈ }{λλG ，λδλδG ) B(x ; , , x 0, ⊂Λ∈∃∈∀>∃使A ． ( 因为 A 具有有限的δ－网 )．采用反证法．假设不然，存在A 的一个开覆盖Λ∈ }{λλG ， 满足Λ∈∀∈∃∈∀λ , x N,n n A ， 有φλ≠c n G )1;B(x n．对A x n ⊂}{， 因A 为列紧闭集，存在子列 Λ∈⊂∈→ 0λλG A x x k n ． 0r , 00>∃Λ∈∃λ，使0 G )r ;B(x 00λ⊂(开集)． 而当k 充分大时，有 0 G )r ;B(x )n 1;B(x 00kn λ⊂⊂． 矛盾． 定理2.2.8．设) ,(d X 是度量空间，则以下三条等价： (1) X 是完备的度量空间； (2) 非空闭集列X F n ⊂满足0y) d(x , sup lim )(lim ), 3, 2, 1,(n ,nF y x,n 1===⊂∈+∞→+∞→+n n n n F d F F ，则∃唯一的 +∞=∈1n0Fn x ．(3) X 中的完全有界集是列紧集．证：(1)⇒(2)． 取) 3, 2, 1,n ( =∈n n F x ．当 N p ∈ 时，n p n pn F F x ⊂∈++，0)d(F ) x ,d(x n n p n →≤+，)(n +∞→． }{n x 为完备空间X 中的基本列．记 ) (n ,0+∞→→x x n ，n F 闭， +∞=∈1n 0F n x ． 0x 的唯一性显然． (2)⇒(3)．设X A ⊂为完全有界集，点列A x n ⊂}{．由完全有界集的定义，∃∈∀ N,k 有限个以 k 21为半径的闭球所成之集族kn m k m k S F 1}{== 覆盖A ．于是，存在1)1(F S∈ 含有}{n x 中的无限多项；又存在2)2(F S ∈ ，使得)2()1(S S 含有}{n x 中的无限多项 ； ． 一般地， , N k ∈∀k k F S ∈∃)( ，使得kj j k S F 1)( =∆=含有}{n x 中的无限多项． 由此知，存在}{n x 的子列}{k n x 满足k n F x k ∈，) 3, 2, ,1 ( =k ．非空集列}{k F 满足k k F F ⊂+1，且 0 1)(→=k F d k ．由(2)，存在 +∞=∈1k 0F k x ，且)d(F ) x ,d(x k 0n k ≤0k1→=，即0n x x k →，A 为列紧集．(3)⇒(1)．设}{n x 为X 中基本列，记} {N n x A n ∈=．εε<≥>∃>∀) x ,d(x N n 0,N 0, N n 时，当．从而， N1k) ;B(x=⊂k A ε， A 为完全有界集⇒ A 为列紧集． 故}{n x 有收敛子列 0n x x k → ) (+∞→k ． 显然0n x x → ) (+∞→n ． X 为完备空间．定理2.2.9．设) ,(d X 是完备的度量空间，则子空间X M ⊂是完备的 M ⇔是闭集． 定理2.2.10．(Baire 纲定理) 完备的度量空间X 必是第二纲集． 证：采用反证法．假设X 是第一纲集，则 n 1nE ,E+∞==n X 为疏朗集． 由Th2.2.4.(3) 知：对于∃ ,1E 直径小于1的非空闭球φ=111E S , 使S ； 对于∃ ,2E 直径小于21的非空闭球1012S S S ⊂⊂，使φ=22E S ； ； 对于∃+ ,1n E 直径小于11+n 的非空闭球φ=⊂⊂+++1n 1n 01E S , 使n n n S S S ．得非空闭球套+∞1}{n S ． X 完备， +∞=∈∃1n 0S n x ． 这样，X N n E x n ∉∈∉00 x ),( ． 矛盾．定理 2.2.11．(完备化定理) 对于度量空间) ,(d X ，必存在一个完备的度量空间)~,~(d X ，使得) ,(d X 等距于)~ ,~(d X 的一个稠密子空间．在等距意义下，空间)~,~(d X 是唯一的． 称空间)~ ,~(d X 为) ,(d X 的完备化空间．（证明的思想方法与Cantor 实数理论中，把无理数加到有理数域中的方法相同）． 等距映射：) ,(1d X ，) ,(2d Y 是距离空间， 存在一一映射Y X →:ϕ 满足 ))( ),(() ,(21y x d y x d ϕϕ=)X y x,(∈∀，称ϕ为等距映射，空间X 与Y 等距．例：取nR X =，d 为欧氏距离． )r ;(0x B A = (开球，0>r )．则A 为完全有界集；X 完备，A 也是列紧集．作为距离子空间，A 不完备，其完备化距离空间为 )r ;(~0x S A = (闭球)．§2.3. 连 续 映 射定义2.3.1.(连续映射)(A) ) ,(1d X 与) ,(2d Y 是距离空间，映射 . x ,:0X Y X f ∈→) ;( x 0, 0, 0δδεx B ∈>∃>∀当时，) );(((x )0εx f B f ∈，称f 在0x 处连续． 若f 在X 的每一点连续，称f 是X 到Y (B) ) ,(1τX 与) ,(2τY 是拓扑空间，映射. x ,:0X Y X f ∈→ 020 x , )( ∃∈∀τV x f 的邻域 的邻域1τ∈U ，使(V ))f U ( ,(U)1-⊂⊂即V f ，称f 为在0x 处连续． 若f 在X 的每一点连续，称f 是X 到Y 的连续映射．例1. (1) 距离空间 21d ,d R,Y ),1 ,0(==X 为欧氏距离． 则 x y sin =是)d ,()d ,(21Y X → 的连续映射(函数)．(2) 取 }X ,{ ),1 ,0(1φτ==X 为X 中离散拓扑； 2 ,τR Y = 为Y 中欧氏拓扑．则 x y sin =不是Y X →的连续映射．因为，X ∈∀0 x ，对于Y 中)(0x f 的邻域 Y ) ),(21(0⊂∞+=x f V ，不存在0x 的邻域X U ⊂，使V U f ⊂)(． 定理2.3.1. 设X ，Y 是拓扑空间，Y X f →:． (A) f 连续 ⇔ f 反射开集：X (V )f 1⊂⇒⊂∀-Y V 开集 是开集；(B) f 连续 ⇔ f 反射闭集：X (F)f 1⊂⇒⊂∀-Y F 闭集 是闭集．证：(A) “⇒”．V f(x ) (V ),fx 1∈∈∀-即 ．由f 在x 处连续，存在x 的邻域 X U ⊂， 使(V )f U (U)1-⊂⊂．即V f ． x 是内点，(V )f 1-是开集．“⇐”． 若f 反射开集，Y V f(x ) X x ⊂∈∀的邻域及， 则 X (V)f 1⊂=-∆U 为x 的邻域，且V (V )][f f f(U)1⊂=-，故)(x f 在x 处连续．(B) 注意到 c c F f F f)]([)(11--=，证(B)．定理2.3.2. 设X ，Y 是度量空间，映射Y X f →:．则f 在0x 处连续0n n X,}{ x x x →⊂∀⇔)()f( 0n x f x →⇒， )(n +∞→． (证明同数学分析)定理2.3.3. (连续函数的延拓)设E 是度量空间X 中的闭集，R E g →: 是连续函数，则存在连续函数R X f →: 满足： (1) E ),()(∈=x x g x f ； (2) )( sup )(sup ),( inf )(inf x g x f x g x f Ex Xx Ex Xx ∈∈∈∈==．(证略)定理2.3.4. (压缩映射原理，Banach 不动点定理)设)d ,(X 是完备的距离空间，映射X X T ：是压缩映射， 即 y) d(x , Ty) d(Tx , 1,0 θθ≤<≤∃使 ， X y x,∈∀． 则 T 有唯一的不动点X x ∈：x x T = ．证：取初值 ,0X x ∈ 迭代格式：,01Tx x = ,12Tx x =, ,1 n n Tx x =+．下证}{n x 是Cauchy 序列：)Tx ,d(Tx ) x ,d(x ) ,() ,(2n 1n 1n n 11----+=≤=θθn n n n Tx Tx d x x d ) x ,d(x ) x ,d(x 02n 1n 2１n θθ≤≤≤-- ．) x ,d(x ) x ,d(x ) ,() ,(n n 2p n 1p n 1１+-+-+-++++++≤ p n p n n p n x x d x x d()) ,( 0121x x d np n p n θθθ+++≤-+-+ ),(1),(1)1(0101x x d x x d np n θθθθθ-≤--=，∴0),(lim =++∞→n p n n x x d ． 而X 完备， x x ,x n →∈∃使 X ． T 连续， 故 x x T = ．唯一性：若 y T y =． 由于 y 0)y ,( )y ,( )y T , ()y ,(=⇒=⇒≤=x x d x d x T d x d θ．误差估计：) x ,(1)x ,(00Tx d x d nn θθ-≤． 推论．设),(d X 是完备的距离空间，映射X X T ：． 若 0n T 是X 上的压缩映射，则T 有唯一的不动点．证：0n T有唯一的不动点x ：x x Tn =0．由, )() (00x T x T T x T T n n == 故x T 也是 0nT 的不动点． x x T =⇒ ． 由于 T 的不动点也是0n T的不动点，故T 的不动点唯一． 压缩映射原理的应用例1．常微分方程解的存在唯一性．考虑初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(x t x t x f dt dx，其中) ,(t x f 连续， 关于x 满足Lipschite 条件：0)(k,) ,() ,(2121>-≤-x x k t x f t x f ． 则方程存在唯一解 )(t x x =．证：方程等价于[]⎰+=tt d x t x 00),x(f )(τττ．取 1k ,0<>δδ使．定义 ] t ,[] t ,[0000δδδδ+-+-t C t C T ：为 []⎰+=tt d x t Tx 00),x(f ))((τττ，] t ,[00δδ+-∈t t ．验证 T 是压缩映射：⎰-≤≤- t212100 ]),([]),([max ),(t t t d x f x f Tx Tx d τττττδ⎰-≤≤- t2100)()(max t t t d x x k τττδ021t t m ax )()( m ax 0-⋅-⋅≤≤-≤-δδτττt t t x x k ),( 21x x d k δ≤． )1(<δkT 在 ] t ,[00δδ+-t C 内具有唯一的不动点 )(t x x =：x Tx =． 重复利用定理将解延拓到实数域R 上．例2．线性方程组解的存在唯一性．线性方程组：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-∑∑∑===nj n j j n n n j j j nj j j b x a x b x a x b x a x 1 12221111,,,满足 ∑=≤≤<=nj ji n i a111max α， 则它具有唯一解 ) x , ,(n 1 x x =．证：在nR 中定义距离：ini y y x d -=≤≤i 11x max ),(，) x , ,(n 1 x x=，n R y y ∈=)y , ,(n 1 ，则 ) ,(1d R n 完备． 作映射 n n R R T ： 为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∑==n j n j j n j j b x a b x a x x 1 n 1 j 11n 1 , ,) x , ,( ． 则∑=≤≤-=nj j j j i n i y x a Ty Tx d 1 11)( max ) ,(∑=≤≤-≤nj j j j i ni y x a 1 1 max ),(max 11 1y x d a n j j i n i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤∑=≤≤) ,( 1y x d α=．T 是压缩的，有唯一不动点 ) x , ,(n 1 x x =．§2.4. R 中的开集及完全集的构造开区间) ,(b a 是R 中开集 (+∞≤<≤∞-b a )． 任意多个开区间之并是开集．另一方面，设开集R G ⊂．则G r) x r,(x 0,r G , x ⊂+->∃∈∀使．记 }G x),( , inf{⊂<=ααα且x a ， }G ) ,( , sup{⊂>=βββx x b 且．开区间) ,(b a 具有性质：G b G,a ,) ,(∉∉⊂G b a ．称) ,(b a 为开集G 的一个构成区间．于是，G 中每一点必在G 的一个构成区间．此外，G 的任何两个不同的构成区间必不相交．而R 中两两不交的开区间至多可列个． 定理2.4.1. (开集构造定理) 每个非空开集R G ⊂可表示为至多可列个两两不交的开区间之并： +∞==1 n n )b ,(a n G ．根据完全集的定义 (15P )及Th2.2.3(3) 可知，完全集（A A '=）即为无孤立点的闭集．故有如下定理． 定理2.4.2. (R 中完全集的构造) 集R A ⊂是完全集 cA ⇔ 是两两不交并且无公共端点的开区间之并．Cantor 集P ． [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]构造过程： 0 231 23231 32 97 98 1第一步：将 ]1 ,0[三等分，挖去⎪⎭⎫ ⎝⎛=32 ,311J ，留下闭区间 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=31 ,00I ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1 ,322I ． 记 11J G =．第二步：对0I ，2I 分别三等分，挖去中间的开区间⎪⎭⎫ ⎝⎛=92 ,9101J 与 ⎪⎭⎫⎝⎛=98 ,9721J ． 记 21012J J G =，留下4个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡91 ,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡31 ,92，⎥⎦⎤⎢⎣⎡97 ,32，⎥⎦⎤⎢⎣⎡1 ,98．第三步：对留下的4个闭区间施行同样过程．将挖去的4个开区间之并记为3G ．如此继续下去．记 c1 n G P ), ,1()0 ,(G ∆+∞==∞+-∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= n G ． (书25P 错) 据Th2.2.4 及Th2.4.2，Cantor 集P 是疏朗集、完全集．若采用三进制无穷小数表示]1 ,0[中数，则 xG 1n ⇔∈+∞= n x 中至少有一位是1，亦即：x ⇔∈P x 可表示为由0或2作为位数过构成的无穷小数．由Th1.3.4，ℵ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏∞+= 2} {0,1 n P ； ]1 ,0[～P ．第二章习题26P ．16．设}{n K 是度量空间X 中非空单调减紧集序列，证明：φ≠+∞= 1nKn ．特别地，若 0)(→n K d ，则+∞=1nKn 为单点集．证：反证法．假设φ=+∞= 1 n K n ， 即 ∞+=∞+==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⊂11 n 1K n c n cn K X K ． 321 ⊃⊃⊃K K K ， 321 ⊂⊂⊂cc c K K K ． 1K 紧 φ=⊂=⇒=⊂⇒=cn c n ki c n kkiK K K K K kkkn 1n n 11K K K ．矛盾．若 0)( lim =+∞→n n K d ，)(n 0)d(K y) d(x , K ,n 1n +∞→→≤⇒∈+∞= n y x ． y x =∴．33．证明： x sup }{n⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞<==∈∞N n n x x l 是不可分的距离空间． 证明：距离：}{n x x =，}{n y y =，n n Nn y x y x d -=∈ sup ) ,( ． 假设 ∞l 可分，据15P (11), (9)，它有至多可列的稠密子集．对于 41=ε，存在可列多个球+∞1)} ;({εn x B ， 使+∞=∞⊂1) ;(n n x B l ε．记{} }1 ,0{ }{ n ∈==x x x A n ， 则 ∏+∞=1 1} {0,n A ～，ℵ=A ． 但+∞=⊂1 ) ;(n n x B A ε， 存在球) ;(0εn x B ， 至少包含A 中不同的两点 A y x ∈ ,． 这样，()212) ;(1) ,(0 =≤≤=εεn x B d y x d ， 矛盾． 空间 ∞l 不可分．。