线性系统理论第三章 线性系统的运动分析

3.1 线性定常系统的运动分析
三点解释 1 如果将t 取为某个固定值，那么零输入响应 (t;0, x0 ,0) 即为状态空间中
由初始状态 x0 经线性变换矩阵 e At所导出的，一个变换点，因此系统的 自由运动就是由初始状态 x0 出发的，并由 x0 的各时刻的变换点所组成
的一条轨线; 2 自由运动轨线的形态，也即零输入响应的形态，是由矩阵指数函数
T w w i i In i 1
n
3.1 线性定常系统的运动分析
• 结论：对特征值两两相异一类 n 维连续时间线性时不变系统，基于特征结 构的矩阵指数函数 e At 的表达式
n n
e v v e
At i 1
T i t i i
wi wiT eit
i 1
•结论 对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统，基于特征结 构的零输入响应x0u(t)零初态响应x0x(t)以及状态运动规律x(t)的表达 式为：
3.1 线性定常系统的运动分析
系统状态运动规律的基本表达式
设系统的状态空间描述为
Ax Bu x(t0 ) x0 , t t0 x
有表达式
x(t ) eห้องสมุดไป่ตู้
A( t t0 )
x0 e A(t ) Bu( )d , t t 0
t0
t
对初始时刻 t0=0 情形有表达式
3.1 线性定常系统的运动分析
例 给定线性定常系统为：
1 0 1 x1 0 x u,t 0 x 2 2 3 x2 1
其中， x1 (0) x2 (0) 0, u(t)为单位阶跃1(t)。 解: 利用系统零状态相应，即可导出系统的零状态响应为：
x0 x (t ) e e
At 0
t
A
Bu ( )d e A(t ) Bu ( )d
0
t
如果令时间定义区间为 t t0 , 而t0 0 那么系统的零状态响应的 表达式可表示为更一般的形式 x0 x (t )

t
t0
e A(t ) Bu( )d
A(t ) x B(t )u, x(t0 ) x0 , t t0 , t x
从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方
程。以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入 和初始状态的演化规律。 状态方程中给定的初始状态 x0 和外输入作用 u，来求出 状态方程的解 x(t)，即由初始状态和外输入作用引起的
t (t t ) p t (t ) i (t t0 ) p n i ( t ) T i 0 i x(t ) (v v ) x0e bj e u j ( )d (wi wi ) x0e bj e u j ( )d , i 1 j 1 j 1 t0 t0 i 1 t t0 n T i i
x(t ) e x0 e A(t ) Bu( )d ,
At 0 t
t
e x0 e A Bu(t )d ,
At 0
t0
3.1 线性定常系统的运动分析
系统状态解的物理含义
x(t ) e
A( t t0 )
x0 e A(t ) Bu( )d , t t 0
t0
t
在物理上的含义是，系统的运动由两部分组成，其中第一项是初始 状态的转移项，而第二项为控制输入作用下的受控项。正是由于受
引言
系统的运动是对初始状态和外输入作用的响应 运动的形态（状态方程的解x(t)）是由系统的结构和参数 (A(t),B(t))决定 运动分析的目的是，通过状态的解x(t)分析系统的结构特性； 或通过引入附加的部分改变系统的参数后结构使系统运动形 态在性能上达到期望的要求（系统的综合问题）
引言
运动分析的数学实质 描述线性系统状态运动过程的状态方程
3.1 线性定常系统的运动分析
系统的零输入响应
Ax x(0) x0 , t 0 令输入 u(t)=0 而得到系统自治状态方程 x 结论1 系统自治状态方程的解（零输入响应），具有以下形式
x0u (t ) e At x0 , t 0
1 22 1 k k 其中矩阵指数函数 e I At A t A t 2! k 0 k ! At
Ax Bu, x(0) x0 , t 0 x
响应。
引言
解的存在性和唯一性条件
A(t ) x B(t )u, 设系统状态方程 x x(t0 ) x0， t [t0 , t ]
如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上 为时间 t 的连续实函数，输入 u(t) 的所有元为时间 t 的 连续实函数，那么状态方程的解 x(t) 存在且唯一。 以上条件在实际的物理系统中总是能够满足的
若初始时间取为 t0≠0 则
x0u (t ) e A(t t0 ) x0 , t t0 x(t 0 ) x0

证: 令系统状态自治方程的解为系数向量待定的一个幂级数，即
x(t ) b0 b1t b2t bk t k , t 0
2 k 0
（3.1.1）
则由其必须满足状态自治方程，可导出
b1 2b2t 3b3t 3 Ab0 Ab1t Ab2t 2
（3.1.2）
3.1 线性定常系统的运动分析
由比较上列等式两边 t k , (k 0,1,2) 的定向系数， 可定出待定向量 b1 , b2 , b3 , 为：
1 1 2 1 1 3 b1 Ab0 , b2 Ab1 A b0 , b3 Ab1 A b0 , 2 2! 3 3! 1 1 k , bk Abk 1 A b0 , k k! 将(3.1.3)带入(3.1.1)，可把解得表达式进而表示为：
线性系统理论
第三章 线性系统的运动分析
重庆大学 自动化学院 柴毅 魏善碧
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引言
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特
性提供了可能性
对系统进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律
和基本特性
系统分析：定量分析，定性分析 定量分析：对系统的运动规律进行精确的研究，即定 量地确定系统由外部激励作用所引起的响应
系统的响应=零输入响应+零状态响应
引言
本章的主要内容
系统运动规律定量分析
运动规律分析方法
第3章 线性系统的运动分析
3.1
线性定常系统的运动分析
3.2 线性定常系统的状态转移矩阵
3.3 线性定常系统的脉冲响应矩阵
3.4 线性时变系统的运动分析
3.5 线性连续系统的时间离散化 3.6 线性离散系统的运动分析
e At 所唯一决定的。包含了自由运动性质的全部信息。
3 如果当 t 时自由运动轨线最终趋向于自治系统的平衡状态 x=0 （即 状态空间的原点），则称为系统是渐近稳定的。 由 x0u (t ) e At x0 , t 0 可容易看出，线性定常系统为渐近稳定的充 要条件是 At
lim e
t
0
进一步，当且仅当矩阵A的特征值均具有负实部，也即均位于左半开复
平面时，上式才成立。
3.1 线性定常系统的运动分析
系统的零状态响应
令初始状态x(t0)=0，得到系统的强迫方程
Ax Bu x
t
x(0) 0, t 0
结论2 系统强迫方程的解（零状态响应），具有以下形式
x0 x (t ) e A(t ) Bu( )d , t 0
xou (t ) (v v )x0e
i 1 T i i
n
n
i ( t t0 )
(wi wiT )x0ei (t t0 ) , t t0
i 1
n
t t p p n i ( t ) i ( t ) T T xox (t ) (vi vi ) b j e u j ( )d ( wi wi ) b j e u j ( )d , t t0 i 1 j 1 t0 i 1 j 1 t0
x0 x (t ) e A(t ) Bu(t )d
0
t
t
2e (t ) e 2(t ) 0 2e ( t ) 2e 2 ( t )
e (t ) e 2(t ) (t ) d 2 ( t ) 0 e 2e 1 t 1 2 t e e 2 ,t 0 2 e t e 2 t
i 1
1 , 2 ,n 为A的n个两两相异的特征值
Ax Bu, x(t0 ) x0 , t t0 x v1 , v2 ,vn： A的属于 1 , 2 ,n线性无关右特征向量组 T T T A的属于1 , 2 ,n线性无关左特征向量组 w1 , w2 ,wn ：
线性系统满足叠加原理 系统运动：初始状态作用下的自由运动 输入作用引起的强迫运动
A(t ) x, x(t0 ) x0 , t t0 , t 的解 零输入响应：自治方程 x
零状态响应： 零初始状态下的强迫方程
A(t ) x B(t )u, x(t0 ) x0 , t t0 , t 的解 x
引言
从数学观点，上述条件可减弱为：
① 系统矩阵A(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积,即：

t
t0
| aij (t ) | dt , i, j 1,2, n
② 输入矩阵B(t)的各个元bij(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积,即：

t
t0
[bik (t )]2 dt ,
x(t ) ( I At 1 2 2 1 3 3 A t A t )b0 , t 0 2! 3!
（3.1.3）
（3.1.4）
令上式中t=0，并考虑到其应满足初始条件即 x(0)=x0，又可定出
b0 x0
（3.1.5）
将(3.1.5)带入(3.1.4)，并利用矩阵指数函数 ，就可导出系统状态自治 方程的解。证明完成
t
e (t ) e 2(t ) 0 1d ( t ) 3( t ) e 2e 1
3.1 线性定常系统的运动分析
基于特征结构的状态响应表达式
设系统的状态空间描述为
1T T 2 1 右特征向量矩阵 p v1 , v2 vn , p T T w1 n T w2 , T 1 w , w , w T 左特征向量矩阵 1 2 n T n wn T 显然 vi vi I n ,
0
证：考虑如下的显等式：
d At d e At x Ax e At Bu (t ) (e x) ( e At ) x e At x dt dt t 进而，对上式从0至t进行积分，得到 e At x(t ) x(0) e A Bu( )d 0 At 考虑到 x(0)=0，并将上两边左乘 e ，可得
i 1,2,n,
k 1,2 p
③ 输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积,即：

绝对可积。
t
t0
[uk (t )]2 dt , k 1, 2 p
条件②③可一步合并为要求B(t), u(t)的各元在时间区间[t0,tα]上
引言
零输入响应和零状态响应