【创新方案】2020年高考数学一轮复习第九篇解析几何第7讲抛物线教案理新人教版
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节抛物线教学案理含解析新人教A版
第七节 抛物线[考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R焦半径(其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝－x 0＋p 2|PF |＝y 0＋p 2|PF |＝－y 0＋p21．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p ，通径是过焦点最短的弦．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) (3)若一抛物线过点P (－2,3)，则其标准方程可写为y 2＝2px (p ＞0)．( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2A [∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.]3．(教材改编)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8yD [若焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，由题意可知16＝－2m ，∴m ＝－8，即x 2＝－8y .若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝nx ，由题意，得4＝－4n ，∴n ＝－1， ∴y 2＝－x .综上知，y 2＝－x 或x 2＝－8y .故选D.]4．(教材改编)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516C.78D ．0B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.]5．(教材改编)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于________．8 [|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]抛物线的定义及应用【例1】 (1)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54D.74(2)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，A (3,2)，则|PA |＋|PF |的最小值为________，取最小值时点P 的坐标为________．(1)C (2)72 (2,2) [(1)如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，MM 1⊥l 于M 1，由抛物线的定义知p ＝12，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.故选C. (2)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.因为6＞2，所以点A 在抛物线内部，如图所示．过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PQ |， 当PA ⊥l ，即A ，P ，Q 三点共线时，|PA |＋|PQ |最小，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时点P 的纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以所求点P 的坐标为(2,2)．] [规律方法] 应用抛物线定义的两个关键点1由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.2注意灵活运用抛物线上一点P x 0，y 0到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2.(1)动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．(2)(2017· 全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(1)y 2＝4x (2)6 [(1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x . (2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF . 由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.]抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝x(2)在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝_______.(1)B (2)4 [(1)如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30° ，则在Rt△ACE 中，2|AE |＝|AC |，又|AF |＝4，∴|AC |＝4＋3a ，|AE |＝4，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4＝48，p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .故选B. (2)法一：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°.又tan 60°＝y A1－－1，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A ＝2 3.将其代入y 2＝4x ，得x P ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.法二：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为PA ⊥l ，所以|PA |＝|PF |.又因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，所以∠PAF ＝60°，所以△PAF 为等边三角形，所以|PF |＝|AF |＝1－－1cos∠AFO＝4.][规律方法] 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.△POF的面积为( )A. 2B. 3C．2 D．3(2)设抛物线C：y2＝2px (p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为( )A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x(1)B (2)C [(1)抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为直线x＝－1.设点P(x，y)，由抛物线的定义，得|PF|＝x＋1＝4，所以x＝3.把x＝3代入y2＝4x，得y＝±23，故△POF的面积S＝12×|OF|×|y|＝12×1×23＝ 3.故选B.(2)如图所示，抛物线y2＝2px的焦点F坐标为⎝⎛⎭⎪⎫p2，0，准线方程为l：x＝－p2.由|MF|＝5，可得点M到准线的距离为5，则点M的横坐标为5－p2，可设M⎝⎛⎭⎪⎫5－p2，m，则MF中点B的坐标为B⎝⎛⎭⎪⎫52，m2，∵以MF为直径的圆过点A(0,2)，∴|AB|＝12|MF|＝52，则有⎝⎛⎭⎪⎫522＋⎝⎛⎭⎪⎫m2－22＝⎝⎛⎭⎪⎫522，解得m＝4，由点M在抛物线上可得m2＝42＝2p⎝⎛⎭⎪⎫5－p2，解得p＝2或p＝8，∴所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.]直线与抛物线的位置关系【例3】(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.[解](1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝12x＋1或y＝－12x－1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝2x 得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2y 1＋y 2x 1＋2x 2＋2.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .[规律方法] 解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法1直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. 2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用弦长公式.3涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法. 提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.(1)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．(2)(2019·临沂模拟)已知点A (m,4)(m ＞0)在抛物线x 2＝4y 上，过点A 作倾斜角互补的两条直线l 1和l 2，且l 1，l 2与抛物线的另一个交点分别为B ，C . ①求证：直线BC 的斜率为定值；②若抛物线上存在两点关于BC 对称，求|BC |的取值范围．(1)3 [结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．] (2)[解] ①证明：∵点A (m,4)在抛物线上， ∴16＝m 2，∴m ＝±4，又m ＞0，∴m ＝4. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则k AB ＋k AC ＝x 1＋44＋x 2＋44＝x 1＋x 2＋84＝0，∴x 1＋x 2＝－8.∴k BC ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 22－x 214x 2－x 1＝x 1＋x 24＝－2，∴直线BC 的斜率为定值－2.②设直线BC 的方程为y ＝－2x ＋b ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4) 关于直线BC 对称，设PQ 的中点为M (x 0，y 0)，则k PQ ＝y 4－y 3x 4－x 3＝x 3＋x 44＝x 02＝12，∴x 0＝1.∴M (1，－2＋b )．又点M 在抛物线内部，∴－2＋b ＞14，即b ＞94.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2＋8x －4b ＝0，∴x 3＋x 4＝－8，x 3x 4＝－4b . ∴|BC |＝1＋4|x 3－x 4|＝5·x 3＋x 42－4x 3x 4＝5×64＋16b . 又b ＞94，∴|BC |＞10 5.∴|BC |的取值范围为(105，＋∞)．1.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8D [过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋2，y 2＝4x ，得x2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1,2)，N (4,4)，易知F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.]2．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5， ∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.]3.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.2 [由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1ky ＋1，即y 2－4ky －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4.由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.]4.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝y 0－x 0＋122＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.。
2020版高考数学复习第九章平面解析几何9.7抛物线教案理(含解析)新人教A版
§9.7抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质概念方法微思考1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线．2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A ．2B.135C.145D ．3答案 A解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________．答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.题组三易错自纠5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．4B．6C．8D．12答案 B解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l 的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.6．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( ) A．y2＝±22x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±42x答案 D解析由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.7．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．答案[－1,1]解析Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，符合题意，当k≠0时，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1且k≠0，综上，k的取值范围是[－1,1]．题型一抛物线的定义和标准方程命题点1 定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．答案 4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1. 命题点2 求标准方程例2 设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．跟踪训练1(1)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________． 答案5解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离． 于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.(2)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9x C ．y 2＝92xD ．y 2＝3x答案 D解析 分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°. 又|AA 1|＝|AF |＝3， 所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， 所以F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的标准方程为y 2＝3x . 题型二 抛物线的几何性质例3(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN 等于( ) A.83p 2B.233p 2C.433p 2D.833p 2答案 B解析 不妨设P 在第一象限，过Q 作QR ⊥PM ，垂足为R ，设准线与x 轴的交点为E ，∵直线PQ 的斜率为3，∴直线PQ 的倾斜角为60°.由抛物线焦点弦的性质可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝p 1－cos60°＋p 1＋cos60°＝2p sin 260°＝83p .在Rt△PRQ 中，sin∠RPQ ＝|QR ||PQ |， ∴|QR |＝|PQ |·sin∠RPQ ＝83p ×32＝433p ，由题意可知|MN |＝|QR |＝433p ，∴S △MNF ＝12|MN |·|FE |＝12×433p ×p ＝233p 2.故选B.(2)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53B.75C.97D ．2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E . ∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练2(1)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332D.94答案 D解析 由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得 4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立直线方程与抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94.(2)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.316B.38C.233 D.433答案 D解析 经过第一象限的双曲线C 2的渐近线方程为y ＝33x .抛物线C 1的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线C 2的右焦点为F 2(2,0)．因为y ＝12p x 2，所以y ′＝1p x .所以抛物线C 1在点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 202p 处的切线斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p .因为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，F 2(2,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，p 6三点共线，所以p 2－00－2＝p 6－p233p －0，解得p ＝433，故选D. 题型三 直线与抛物线例4设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的长是8，AB 的中点到x 轴的距离是3. (1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P ，Q 两点．连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程．解 (1)设抛物线的方程是x 2＝2py (p >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义可知y 1＋y 2＋p ＝8，又AB 的中点到x 轴的距离为3，∴y 1＋y 2＝6，∴p ＝2， ∴抛物线的标准方程是x 2＝4y .(2)由题意知，直线m 的斜率存在，设直线m ：y ＝kx ＋6(k ≠0)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋6，x 2＝4y 消去y 得x 2－4kx －24＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝4k ，x 3·x 4＝－24.(*)易知抛物线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，x 234处的切线方程为 y －x 234＝x 32(x －x 3)，令y ＝－1，得x ＝x 23－42x 3，∴R ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－42x 3，－1，又Q ，F ，R 三点共线，∴k QF ＝k FR ，又F (0,1)， ∴x 244－1x 4＝－1－1x 23－42x 3，即(x 23－4)(x 24－4)＋16x 3x 4＝0，整理得(x 3x 4)2－4[(x 3＋x 4)2－2x 3x 4]＋16＋16x 3x 4＝0， 将(*)式代入上式得k 2＝14，∴k ＝±12，∴直线m 的方程为y ＝±12x ＋6.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． (4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． ③以弦AB 为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦． 跟踪训练3(2018·丹东质检)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，圆O ：x 2＋y 2＝1. (1)若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求|AF |； (2)若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点M ，N ，求|MN |的最小值及相应p 的值． 解 (1)由题意得F (0,1)，从而抛物线C ：x 2＝4y .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x 2＋y 2＝1得y A ＝5－2，∴|AF |＝5－1.(2)设M (x 0，y 0)，则切线l ：y ＝x 0p(x －x 0)＋y 0， 结合x 20＝2py 0，整理得x 0x －py －py 0＝0. 由|ON |＝1得|－py 0|x 20＋p2＝1，即|py 0|＝x 20＋p 2＝2py 0＋p 2， ∴p ＝2y 0y 20－1且y 20－1>0. ∴|MN |2＝|OM |2－1＝x 20＋y 20－1＝2py 0＋y 20－1 ＝4y 20y 20－1＋y 20－1＝4＋4y 20－1＋(y 20－1)≥8， 当且仅当y 0＝3时等号成立． ∴|MN |的最小值为22，此时p ＝ 3.直线与圆锥曲线问题的求解策略例(12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R ,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1my ，∴它的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m .[2分] (2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分](3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0(m >0)，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＝8m ＋4>0恒成立， 方程必有两个不等实根．[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m，y P ，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m ，[8分]得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m .若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，[10分]结合(*)式化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，∵m >0，∴m ＝2.∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A.14B ．－14C ．4D ．－4 答案 B解析 由y ＝ax 2，变形得x 2＝1a y ＝2×12a y ，∴p ＝12a .又抛物线的准线方程是y ＝1，∴－14a ＝1，解得a ＝－14.2．(2018·包头诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.3．(2018·辽宁五校联考)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( ) A ．4B ．33C ．43D ．8 答案 C解析 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°， ∵AH 垂直于准线，∴∠FAH ＝60°，故△AHF 为等边三角形．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m >0，过F 作FM ⊥AH 于M ，则在△FAM 中，|AM |＝12|AF |，∴m 24－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边三角形AHF 的边长|AH |＝4，∴△AHF 的面积是12×4×4sin60°＝4 3.故选C.4．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 D解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径． ∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6. 又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝6，∴p ＝8.故选D. 5．已知直线l ：y ＝kx －k (k ∈R )与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若2FM →＝MN →，则实数k 等于( ) A ．±33B ．±1C．±3D ．±2 答案 C解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点．当k >0时，如图所示，过点M 作MM ′垂直于准线x ＝－1，垂足为M ′，由抛物线的定义，得|MM ′|＝|MF |，易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等，由2FM →＝MN →，得cos∠M ′MN ＝|MM ′||MN |＝12，则tan∠M ′MN＝3，∴直线l 的斜率k ＝3；当k <0时，可得直线l 的斜率k ＝－ 3.故选C.6．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为_____． 答案 x 2＝8y解析 ∵动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，∴动点P 到点A (0,2)的距离与它到直线y ＝－2的距离相等．根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A (0,2)为焦点，以直线y ＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝8y .8．(2018·呼伦贝尔质检)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB 是等边三角形，则△AFB 的边长为_________． 答案 8＋43或8－4 3解析 由题意可知点A ，B 一定关于x 轴对称，且AF ，BF 与x 轴夹角均为30°，由于y 2＝4x的焦点为(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x －1)，y 2＝4x ，化简得y 2－43y －4＝0，解得y 1＝23＋4，y 2＝23－4，所以△AFB 的边长为8＋43或8－4 3.9．已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是________． 答案 t >0或t <－3解析 由题意知k ≠0.因为直线l 与圆相切，所以|t ＋1|1＋k2＝1，即k 2＝t 2＋2t .由k 2>0，得t >0或t <－2，再把直线l 的方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是由Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t >0，得t >0或t <－3.综上，实数t 的取值范围是t >0或t <－3. 10．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝_________. 答案 32解析 方法一 由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，|AF |＝3，由抛物线的定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图所示，不妨设点A 在第一象限，将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，所以点A 的纵坐标为22，即A (2,22)，所以直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.所以点B 的横坐标为12，所以|BF |＝12－(－1)＝32.方法二 如图所示，不妨设点A 在第一象限，设∠AFx ＝θ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3，解得cos θ＝13.又|BF |＝x B ＋1＝1－|BF |·cos θ＋1＝2－13|BF |，所以|BF |＝32.11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.则该抛物线的方程为________．答案 y 2＝8x解析 直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.由题意知，Δ＝25p 2－16p 2＝9p 2>0，方程必有两个不等实根． 所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .12．(2018·包头模拟)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标．解 (1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1， ∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1， ∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1， ∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1,0)．13．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为()A ．5B ．6C.163D.203答案 C解析 方法一 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得，3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.方法二 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.方法三 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.故选C. 14.(2018·广东七校联考)如图所示，抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 由题意得，焦点F (0,1)，对于①，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，所以y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，则①错误； 对于②，|AB |min ＝2p ＝4，则②错误； 因为y ′＝x 2，则l AM ：y －y A ＝x A2(x －x A )，即y ＝12x A x －x 2A 4，l BM ：y －yB ＝x B2(x －x B )，即y ＝12x B x －x 2B4，联立l AM 与l BM的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x A x －x 2A 4，y ＝12x Bx －x2B4，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫x A ＋x B 2，x A ·x B 4. 设l AB 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4， 所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，当AB 的斜率为1时，x M ＝2，则④错误，故选B.15．已知曲线G ：y ＝－x 2＋16x －15及点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，若曲线G 上存在相异两点B ，C ，其到直线l ：2x ＋1＝0的距离分别为|AB |和|AC |，则|AB |＋|AC |＝________. 答案 15解析 曲线G ：y ＝－x 2＋16x －15，即为半圆M ：(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)，由题意得B ，C 为半圆M 与抛物线y 2＝2x 的两个交点，由y 2＝2x 与(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)联立方程组得x 2－14x ＋15＝0，方程必有两不等实根，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． 所以|AB |＋|AC |＝x 1＋12＋x 2＋12＝14＋1＝15.16．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________．答案 (2,4)解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<23， 因为点M 在圆上， 所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.。
高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第7讲 抛物线教案 理 新人教版
第7讲抛物线【2013年高考会这样考】1．考查抛物线定义、标准方程．2．考查抛物线的焦点弦问题．3．与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．【复习指导】熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用．基础梳理1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质一个结论焦半径：抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2.两种方法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p 的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p 的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x 轴的，设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴的，设为x 2＝by (b ≠0)．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( )． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析 由2p ＝8得p ＝4，即焦点到准线的距离为4. 答案 C2．(2012·金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( )．A ．x 2＝－12y B ．x 2＝12y C ．y 2＝－12xD ．y 2＝12x解析 p2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y .答案 A3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是( )．A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x解析 由准线方程x ＝－2，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F (2,0)；②该抛物线的焦准距p ＝4.故所求抛物线方程为y 2＝8x . 答案 C4．(2012·西安月考)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )．A ．4B ．6C ．8D ．12解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，可得点P 的横坐标x P ＝4，由抛物线定义可知点P 到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF |＝x P ＋p2＝x P ＋2＝4＋2＝6. 答案 B5．(2012·长春模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是________．解析 ∵抛物线方程为y 2＝8x ，∴2p ＝8，即p ＝4.∴焦点坐标为(2,0)． 答案 (2,0)考向一 抛物线的定义及其应用【例1】►(2011·辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )． A.34 B ．1 C.54 D.74[审题视点] 由抛物线定义将|AF |＋|BF |转化为线段AB 的中点到准线的距离即可． 解析设抛物线的准线为l ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则AB 的中点到y 轴的距离为12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.答案 C涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．【训练1】 (2011·济南模拟)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )． A.172 B ．3 C. 5 D.92解析 由抛物线的定义知，点P 到该抛物线的距离等于点P 到其焦点的距离，因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和即为点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点的距离之和，显然，当P 、F 、(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝172. 答案 A考向二 抛物线的标准方程及性质【例2】►(1)(2011·南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线方程为________．(2)(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．[审题视点] (1)为求抛物线的方程问题，用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论．(2)抓住FA 的中点B 在抛物线上，求出p . 解析 (1)由于点P 在第三象限．①当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 把点P (－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p ×(－2)， 解得p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .②当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p ×(－4)．解得p ＝12.∴抛物线方程为x 2＝－y .综上可知抛物线方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则线段FA 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 答案 (1)y 2＝－8x 或x 2＝－y (2)324求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．【训练2】 已知F 为抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，M 为其上一点，且|MF |＝2p ，则直线MF 的斜率为( )． A ．－33 B ．±33C ．－ 3D ．± 3 解析 依题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线为y ＝－p2，过点M 作MN 垂直于准线于N ，过F 作FQ 垂直于MN 于Q ，则|MN |＝|MF |＝2p ，|MQ |＝p ，故∠MFQ ＝30°，即直线MF 的倾斜角为150°或30°，斜率为－33或33. 答案 B考向三 抛物线的综合应用【例3】►(2011·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[审题视点] (1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A 、B 坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C 在抛物线上求解．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)， 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识，以及数形结合思想和化归思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般是联立方程，设而不求，借助根的判别式及根与系数的关系进行转化．【训练3】 设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点． (1)设L 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解 ∵F (1,0)，∴直线L 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·36－4＝8.(2)证明 设直线L 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0.∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值．阅卷报告14——忽视“判别式”致误【问题诊断】 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判断式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误.【防范措施】 解题后任何情况下都来检验判别式Δ.【示例】►(2010·福建)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 实录 (1)将点A (1，－2)代入y 2＝2px ，得p ＝2，故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1.错因 遗漏判别式的应用．(2)假设存在直线l ，设l ：y ＝－2x ＋t ， 由直线OA 与l 的距离d ＝55，得|t |5＝15，解得t ＝±1.故符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.正解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， 所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55， 可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.【试一试】 (2012·杭州模拟)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|＝53.(1)求C 1的方程；(2)平面上的点N 满足MN →＝MF 1→＋MF 2→，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，求直线l 的方程．[尝试解答] (1)由C 2：y 2＝4x ，知F 2(1,0)， 设M (x 1，y 1)，M 在C 2上， 因为|MF 2|＝53，所以x 1＋1＝53，得x 1＝23，y 1＝263.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.M 在C 1上，且椭圆C 1的半焦距c ＝1，于是⎩⎪⎨⎪⎧49a 2＋83b2＝1，b 2＝a 2－1，消去b 2并整理得9a 4－37a 2＋4＝0.解得a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝13不合题意，舍去. 故b 2＝4－1＝3.故椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由MF 1→＋MF 2→＝MN →，知四边形MF 1NF 2是平行四边形，其中心为坐标原点O ， 因为l ∥MN ，所以l 与OM 的斜率相同． 故l 的斜率k ＝26323＝ 6.设l 的方程为y ＝6(x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝6x －m消去y 并整理得9x 2－16mx ＋8m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝16m 9，x 1x 2＝8m 2－49.因为OA →⊥OB →，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋6(x 1－m )(x 2－m ) ＝7x 1x 2－6m (x 1＋x 2)＋6m 2 ＝7·8m 2－49－6m ·16m 9＋6m 2＝19(14m 2－28)＝0. 所以m ＝± 2.此时Δ＝(16m )2－4×9(8m 2－4) ＝－32m 2＋144＝－32×2＋144＞0.故所求直线l 的方程为y ＝6x －23，或y ＝6x ＋2 3.。
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线
方程为
5
x=- =- ,所以点
2 4
A 到抛物线 C 的准线的距离为
5
1+
4
=
9
.
4
增素能 精准突破
考点一京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,
且P的横坐标为4,则|PF|=(
A.2
B.3
)
C.4
D.5
(2)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则
F
B.
1
0, 16
.
考点二
抛物线的标准方程与简单几何性质
典例突破
例2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点M是抛物线C上一点,
过点M作准线l的垂线,交l于点H,若|MH|=2,∠HFM=30°,则抛物线C的标准
方程为
.
答案 y2=6x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,
距离相等
,直线l叫做抛物线的
的点的轨
准线 .
设点M是抛物线上的任意一点,它到准线l的距离为d,则抛物线定义的表达
式为|MF|=d
微思考抛物线定义中,若直线l过点F,则点的轨迹会怎么样?
提示 若直线l过点F,则到点F与到直线l距离相等的点的轨迹是过点F且与l
垂直的直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
y=x+2,联立
=
+2,
2 = 2,
得x2-2px-p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2p,x1x2=-p2,不妨设x1>0,x2<0,
适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第7节抛物线课件新人教A版
越小.
常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为弦AB所在直线的倾斜角,若
A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
2
(1)x1x2= 4 ,y1y2=-p2;
2
(2)弦长|AB|=x1+x2+p= 2 ;
所以 2 =3,2p=12,其方程为x2=-12y.
(3)(2024·北京丰台模拟)在水平地面竖直定向爆破时,在爆破点炸开的每块
碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域
的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示),称该
条抛物线为安全抛物线.若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米,碎
有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.
(3)(2024·北京海淀模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A,B,
线段AB的中点的横坐标为4,则AB的长为( A )
A.10
B.8
C.5
D.4
解析 设AB的中点为C,则点的横坐标xC=4.过A,B,C分别作准线x=-1的垂线,
C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( A )
A.x2=-12y
B.x2=12y
C.y2=12x
D.y2=-12x
解析 设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得点M与点C(0,-3)的距离是
r+1,点M到直线y=2的距离是r,则点M到直线y=3的距离是r+1.由抛物线的
2020年高三数学第一轮复习教案-解析几何-第七节 抛物线
第七节 抛物线
【知识必备】
知识点一 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做
抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线．
【知识必备】
知识点二 抛物线的标准方程及几何性质
【知识必备】
知识点二 抛物线的标准方程及几何性质
【知识必备】
抛物线常见的几何性质
1．焦半径、通径：抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F2p，0的距离|PF|＝x0＋2p，也称为抛物线的焦半径．
过焦点垂直于对称轴的弦称为通径，通径长等于2p，
是过焦点最短的弦．
【知识必备】
①y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
抛物线常见的几何性质
②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2 x1x2＝p，
2．直线AB过抛物线y2＝2px(p>0) 即当 x1＝x2 时，弦长最短为 2p.
的焦点，交抛物线于A(x1，y1)， B(x2，y2)两点，如图可得．
③|A1F|＋|B1F|为定值2p.
④弦长 AB＝si2np2α(α 为 AB 的倾斜角)．
⑤以AB为直径的圆与准线相切． ⑥焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
B
【典题演练】
A
C
【典题演练】
D
C
【典题演练】
【作 业】
完成课时作业（四十八）
再见
高考数学一轮复习 第九章 解析几何9.7抛物线教学案 理 新人教A版
9.7 抛物线考纲要求1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的简单应用，了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的____，直线l 叫做抛物线的____．F ______F ______ F ______(x 0，y 0))21．抛物线y ＝8x 2的准线方程为( )．A ．x ＝－2B ．x ＝－12C ．y ＝－18D ．y ＝－1322．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为( )．A ．4B ．－14C ．－4D ．144．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为__________．5．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到定直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为__________．一、抛物线的定义及其应用【例1－1】 设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )．A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16【例1－2】 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是( )． A ．72 B ．4 C ．92 D ．5 方法提炼利用抛物线的定义可解决的常见问题：(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上． 请做演练巩固提升1,3二、抛物线的标准方程及其几何性质【例2－1】 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )．A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)【例2－2】 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．方法提炼1．求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以，只需一个条件确定p 值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．抛物线的标准方程及其性质的应用由抛物线的方程可求x ，y 的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p 值，确定焦点坐标等．提醒：抛物线方程中的参数p ＞0，其几何意义是焦点到准线的距离． 请做演练巩固提升2,4要注重抛物线定义的运用【典例】 (12分)(2012课标全国高考)设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．规范解答：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|FA |＝2p .(1分)由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|FA |＝2p .(2分) 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42， 解得p ＝－2(舍去)，p ＝2.所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(4分)(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上， 所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.(6分)由抛物线定义知|AD |＝|FA |＝12|AB |，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33.(7分) 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0.解得b ＝－p6.(9分)因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.(12分) 答题指导：1.对抛物线的考查多在定义上出题目； 2．解决抛物线问题多考虑开口方向及焦点等问题．1．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )．A ．线段B ．圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分2．(2012课标全国高考)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )．A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．83．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )．A.34 B ．1 C.54 D.744．已知抛物线y ＝2px 2(p ＞0)的焦点为F ，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，过P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．相等 焦点 准线2．⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2 1 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 基础自测1．D 解析：抛物线的方程可化为x 2＝18y ，即2p ＝18，p ＝116，p 2＝132，所以准线方程为y ＝－132.2．D 解析：点A 到抛物线焦点的距离等于点A 到抛物线准线的距离，即4－(－1)＝5.3．B 解析：由x 2＝1a y ，∴其准线方程为y ＝－14a .∴a ＝－14.4．6 解析：由双曲线x 26－y 23＝1的右焦点F (3,0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，得p2＝3，p ＝6.5．y 2＝8x 解析：由条件可知P 点的轨迹为抛物线，其焦点为(2,0)，准线为x ＝－2， 所以p2＝2，p ＝4，轨迹方程为y 2＝2px ＝8x .考点探究突破【例1－1】 B 解析：如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°.又AP ∥MF ，所以∠PAF ＝60°. 又|PA |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形． 故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8.【例1－2】 C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12. 又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92.【例2－1】 C 解析：易知F (0,2)，准线方程为y ＝－2. 圆心到准线的距离为4，则|FM |＞4，即|FM |＝x 02＋(y 0－2)2＝8y 0＋(y 0－2)2＞4，∴y 02－4y 0＋4＋8y 0＞16，y 02＋4y 0－12＞0，解得y 0＞2或y 0＜－6(舍)． ∴y 0的取值范围是(2，＋∞)．【例2－2】 解法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 解法二：如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5， 而|MN |＝3＋p2，∴3＋p2＝5，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6. 演练巩固提升1．D 解析：连接PC 1，即为P 到直线C 1D 1的距离．根据题意，在平面BB 1C 1C 内点P 到定点C 1的距离等于到定直线BC 的距离，符合抛物线定义，轨迹两个端点分别为B 1及CC 1的中点，∴P 点的轨迹为抛物线的一部分．2．C 解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝1，抛物线的准线为x ＝－4，且|AB |＝43，故可得A (－4,23)，B (－4，－23)，将点A 的坐标代入双曲线方程得a ＝4，故a ＝2，故实轴长为4.3．C 解析：如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.4．138 解析：由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上得p ＝18， 故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，点F 坐标为(0,1)，准线为y ＝－1，∴|FM |＝2，|PQ |＝1＋14＝54，|MQ |＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋2×1＝138.。
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节抛物线教学案理新人教版
第七节 抛物线[考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程与几何性质1．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p ，通径是过焦点最短的弦．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) (3)若一抛物线过点P (－2,3)，则其标准方程可写为y 2＝2px (p ＞0)．( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2A [∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.]3．(教材改编)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8yD [若焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，由题意可知16＝－2m ，∴m ＝－8，即x 2＝－8y .若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝nx ，由题意，得4＝－4n ，∴n ＝－1， ∴y 2＝－x .综上知，y 2＝－x 或x 2＝－8y .故选D.]4．(教材改编)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516C.78D ．0B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.]5．(教材改编)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于________．8 [|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]抛物线的定义及应用【例1】 (1)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54D.74(2)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，A (3,2)，则|PA |＋|PF |的最小值为________，取最小值时点P 的坐标为________．(1)C (2)72 (2,2) [(1)如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，MM 1⊥l 于M 1，由抛物线的定义知p ＝12，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.故选C.(2)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.因为6＞2，所以点A 在抛物线内部，如图所示．过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PQ |， 当PA ⊥l ，即A ，P ，Q 三点共线时，|PA |＋|PQ |最小，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时点P 的纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以所求点P 的坐标为(2,2)．] 由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化注意灵活运用抛物线上一点P x 0，0到焦点(1)动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．(2)(2017· 全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(1)y 2＝4x (2)6 [(1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF . 由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.]抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝x(2)在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝_______.(1)B (2)4 [(1)如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30° ，则在Rt△ACE 中，2|AE |＝|AC |，又|AF |＝4，∴|AC |＝4＋3a ，|AE |＝4，∴4＋3a＝8，从而得a ＝43，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4＝48，p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .故选B. (2)法一：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°.又tan 60°＝y A1－－，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A ＝2 3.将其代入y 2＝4x ，得x P ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.法二：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为PA ⊥l ，所以|PA |＝|PF |.又因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，所以∠PAF ＝60°，所以△PAF 为等边三角形，所以|PF |＝|AF |＝1－－cos∠AFO＝4.](1)△POF 的面积为( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．3(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x(1)B (2)C [(1)抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为直线x ＝－1.设点P (x ，y )，由抛物线的定义，得|PF |＝x ＋1＝4，所以x ＝3.把x ＝3代入y 2＝4x ，得y ＝±23，故△POF 的面积S ＝12×|OF |×|y |＝12×1×23＝ 3.故选B.(2)如图所示，抛物线y 2＝2px 的焦点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，准线方程为l ：x＝－p 2.由|MF |＝5，可得点M 到准线的距离为5，则点M 的横坐标为5－p2，可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，m ，则MF 中点B 的坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，m 2，∵以MF 为直径的圆过点A (0,2)，∴|AB |＝12|MF |＝52，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，解得m ＝4，由点M 在抛物线上可得m 2＝42＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，∴所求抛物线方程为y 2＝4x 或y2＝16x ，故选C.]直线与抛物线的位置关系【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .[解] (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝2x得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋y 1＋y 2x 1＋x 2＋.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解(1)________条．(2)(2019·临沂模拟)已知点A (m,4)(m ＞0)在抛物线x 2＝4y 上，过点A 作倾斜角互补的两条直线l 1和l 2，且l 1，l 2与抛物线的另一个交点分别为B ，C . ①求证：直线BC 的斜率为定值；②若抛物线上存在两点关于BC 对称，求|BC |的取值范围．(1)3 [结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．] (2)[解] ①证明：∵点A (m,4)在抛物线上， ∴16＝m 2，∴m ＝±4，又m ＞0，∴m ＝4. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则k AB ＋k AC ＝x 1＋44＋x 2＋44＝x 1＋x 2＋84＝0，∴x 1＋x 2＝－8.∴k BC ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 1＋x 24＝－2，∴直线BC 的斜率为定值－2.②设直线BC 的方程为y ＝－2x ＋b ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4) 关于直线BC 对称，设PQ 的中点为M (x 0，y 0)，则k PQ ＝y 4－y 3x 4－x 3＝x 3＋x 44＝x 02＝12，∴x 0＝1.∴M (1，－2＋b )．又点M 在抛物线内部，∴－2＋b ＞14，即b ＞94.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2＋8x －4b ＝0，∴x 3＋x 4＝－8，x 3x 4＝－4b . ∴|BC |＝1＋4|x 3－x 4|＝5·x 3＋x 42－4x 3x 4＝5×64＋16b . 又b ＞94，∴|BC |＞10 5.∴|BC |的取值范围为(105，＋∞)．1.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8D [过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋，y 2＝4x ，得x 2－5x＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1,2)，N (4,4)，易知F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.]2．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5， ∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.]3.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.2 [由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，消去y ，得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1ky ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4.由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.]4.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋2＝y 0－x 0＋22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.。
高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线课件理新人
解析：解法一：依题意，过抛物线焦点且倾斜角为 45°的直 线方程为 y＝x－2，
将 y＝x－2 代入 y2＝8x，得 x2－12x＋4＝0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝12，x1x2＝4， 所以|AB|＝ 1＋12· x1＋x22－4x1x2 ＝ 2× 122－16＝16.
[解析] 依题意，由点 M 向抛物线 x2＝4y 的准线 l：y＝－1 引垂线，垂足为 M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，则|MA|＋ |MM1|的最小值等于圆心 C(－1,5)到 y＝－1 的距离再减去圆 C 的 半径，即等于 6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是 5.
(3)顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方 程为：__x_2＝ __2_p_y_(_p_>_0_) __；
(4)顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方 程为：_x_2＝ __－ __2_p_y_(_p_>_0_) _.
2．抛物线的几何性质
y＝0
O(0,0)
x＝0
解法二：过抛物线焦点且倾斜角为 45°的直线方程为 y＝x－ 2，将 y＝x－2 代入 y2＝8x，得 x2－12x＋4＝0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝12. 由抛物线定义知，|AB|＝x1＋x2＋4＝16.
[考情聚焦] 与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最 短、距离和最小等等．
角度三
到定直线的距离最小问题
[典题 3] 已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1， 抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最 小值是( B )
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2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线教案(理)(含解析)新人教A版
第7讲抛物线基础知识整合1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离□01相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．其数学表达式：□03|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p .1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为( ) A ．y ＝－18B ．y ＝－14C ．y ＝－12D ．y ＝－1答案 A解析 由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，故选A.2．(2019·黑龙江联考)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( )A.194 B.92C ．3D ．4 答案 D解析 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1.根据抛物线的定义可知5＝n ＋1，解得n ＝4.故选D.3．已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )A ．2B ．±2 C．4 D ．±4 答案 D解析 由y ＝x 28，得x 2＝8y ，∴抛物线C 的准线方程为y ＝－2，焦点为F (0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF |＝2y 0＝y 0＋2.解得y 0＝2，∴x 0＝±4.故选D.4．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8x D ．y 2＝10x答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线方程为x ＝－p2.∵点P (2，y 0)到其准线的距离为4.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p2－2＝4.∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x .5．(2019·广东中山统测)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．6B ．8C ．9D ．10 答案 B解析 由题意知，抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1.∵过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2.又∵x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.6．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4 答案 C解析 利用|PF |＝x P ＋2＝42，可得x P ＝32， ∴y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝2 3.故选C.核心考向突破考向一 抛物线的定义角度1 到焦点与到定点距离之和最小问题例1 (2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)答案 D解析 过M 点作准线的垂线，垂足为N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．角度2 到点与准线的距离之和最小问题例2 (2019·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．答案 5解析 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.角度3 到定直线的距离最小问题例3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3 答案 B解析 由题意可知l 2：x ＝－1 是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.触类旁通与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．2将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.)即时训练 1.(2019·潍坊质检)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2) 答案 B解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义，知|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，即当且仅当A ，P ，N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A ，C ，D ，故选B.2．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D.5－1 答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.考向二 抛物线的方程例4 (1)(2019·运城模拟)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝－3y D ．x 2＝3y答案 D解析 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y . (2)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析 抛物线的准线方程为y ＝－p2，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝3＋p 24，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点，得p ＝32|AB |，即p 2＝34×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 24，所以p ＝6. 触类旁通求抛物线的标准方程应注意的几点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种． 2要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系. 3要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题. 即时训练 3.(2019·上海模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝152x答案 B解析 设M (x ，y )，∵|OF |＝p 2，|MF |＝4|OF |，∴|MF |＝2p ，由抛物线的定义知x ＋p2＝2p ，∴x ＝32p ，∴y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，∴12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．∴抛物线的方程为y 2＝8x .4．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．答案 x 2＝3y解析 设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋b ，x 2＝2py ，消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )．即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3.∴p ＝32，∴抛物线的方程为x 2＝3y .考向三 抛物线的性质例5 (1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2 答案 C解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以过焦点且斜率为－1的直线方程为y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程，整理得x 2－3px ＋p 24＝0，由AB 中点的横坐标为3，得3p ＝6，解得p ＝2，故抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1.(2)(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 如图，由题意可得，点P (1,2)在抛物线上，将P (1,2)代入y 2＝4ax ，解得a ＝1，∴y 2＝4x ，由抛物线方程可得，2p ＝4，p ＝2，p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)．触类旁通1涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化. 2应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.即时训练 5.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝2222p＝4p，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B.6．在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．答案 x ＝－52解析 OA 的中点的坐标为(2,1)，斜率k OA ＝12，OA 的垂直平分线的方程为y －1＝－2(x－2)，即y ＝－2x ＋5.又∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在x 轴上，即y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝－2x ＋5，得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，∴52＝p 2，∴抛物线的准线方程为x ＝－52. 考向四 直线与抛物线的位置关系例6 (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .解 (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2,2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为线段MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN . 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2y 1＋y 2x 1＋2x 2＋2.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN . 触类旁通求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p 焦点在x 轴正半轴，若不过焦点，则必须用弦长公式.即时训练 7.如图，AB 为抛物线x 2＝2py (p >0)的弦，且以AB 为直径的圆恒过原点O (A ，B 均不与O 重合)，△AOB 面积的最小值为16.(1)求抛物线的方程；(2)设过点A ，B 的切线的交点为M ，试问点M 是否在某定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．解 (1)不妨设点A 在第二象限，点B 在第一象限． 设直线OA ：y ＝kx (k <0)，与抛物线方程联立，化简得x 2－2pkx ＝0，解得x ＝0或x ＝2pk ，则A (2pk,2pk 2)， 由于以AB 为直径的圆恒过原点O ，所以OA ⊥OB ， 所以直线OB 的斜率为－1k，同理可得B ⎝⎛⎭⎪⎫－2p k，2p k 2.所以S △AOB ＝12|OA ||OB |＝12 4p 2k 2＋4p 2k4⎝ ⎛⎭⎪⎫4p2k 2＋4p 2k 4 ＝2p22＋k 2＋1k2≥4p 2，当且仅当k ＝－1时等号成立．所以4p 2＝16，p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y . (2)由(1)知x 2＝4y ，y ＝x 24，则y ′＝x2.再由(1)得k MA ＝2k ，k MB ＝－2k.所以直线MA 的方程为y －4k 2＝2k (x －4k )，直线MB 的方程为y －4k 2＝－2k⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k ， 联立两直线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －4k 2＝2k x －4k ，y －4k2＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k ，解得x ＝2k 2－1k，y ＝－4，由于x＝2k 2－1k∈R ，所以点M 在定直线y ＝－4(x ∈R )上．1．(2018·温州十校联考)已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.18 B.14 C ．2 D ．4 答案 C解析 设M (x M ，y M )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y N ，由|FM ||MN |＝55，知|FM ||FN |＝15＋1，所以y N ＝(5＋1)y M ；由k FA ＝k FN 知，y N －p ＝2－p 2，所以y N ＝4，所以y M ＝45＋1；又|FM ||FN |＝15＋1，所以p 2－x M ＝15＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＝p 5＋1，所以x M ＝5－1p25＋1，将(x M ，y M )代入y 2＝2px ，得⎝⎛⎭⎪⎫45＋12＝2p ×5－1p25＋1，解得p ＝2.故选C.2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B ，若S △OAF ＝4S △OBF ，则直线AB 的斜率为( )A ．±35B ．±45C ．±34D ．±43答案 D解析 根据题意设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由S △OAF ＝4S △OBF ，得|AF |＝4|BF |，AF →＝4FB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝4y 2，即y 1y 2＝－4.设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0，故y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2，则y 1＋y 22y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，∴－4k 2＝－94，解得k ＝±43，即直线AB 的斜率为±43.故选D. 答题启示圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法进而转化为向量关系，或有关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数求解．对点训练1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且斜率为22的直线交抛物线于A ，B 两点11 (x A >x B )，则|AF ||BF |＝( ) A.32 B.34C ．3D ．2 答案 D解析 设直线方程为y ＝22(x －1)，与y 2＝4x 联立，得2x 2－5x ＋2＝0，∴(2x －1)(x －2)＝0，∴x 1＝12，x 2＝2.∵x A >x B ，∴x A ＝2，x B ＝12.∴|AF ||BF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A ＋p 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B ＋p 2＝2＋112＋1＝2.故选D. 2．(2019·河南模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且l 与准线交于点C ，若CB →＝4BF →，则|AF ||BF |＝( ) A.53 B.52C ．3D ．2 答案 A解析 根据题意，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，则有|BF |＝|BN |＝b ，|AF |＝|AM |＝a ，因为CB →＝4BF →，所以|CB |＝4|BF |，即|CB |＝4|BN |，又BN ∥AM ，所以|CA |＝4|AM |，即有4b ＋a ＋b ＝4a ，变形可得a b ＝53，即|AF ||BF |＝53，故选A.。
高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 7 第7讲 抛物线教案 理-高三全册数学教案
第7讲 抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准 方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0， x ∈R开口方向 向右向左向上向下焦半径 (其中P (x 0， y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝ －x 0＋p2|PF |＝ y 0＋p 2|PF |＝ －y 0＋p23.与焦点弦有关的常用结论 (以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p.(4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(3)若一抛物线过点P (－2，3)，则其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．( )(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(教材习题改编)抛物线y ＝－14x 2的焦点坐标是( )A ．(0，－1)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(－1，0)解析：选A.抛物线y ＝－14x 2的标准方程为x 2＝－4y ，开口向下，p＝2，p2＝1，故焦点为(0，－1)．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y解析：选D.设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .(教材习题改编)焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．解析：抛物线的标准方程的焦点都在坐标轴上，直线2x ＋y ＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－1，0)与(0，－2)，故所求的抛物线的焦点为(－1，0)或(0，－2)，当焦点为(－1，0)时，易得抛物线标准方程为y 2＝－4x .当焦点为(0，－2)时，易得抛物线标准方程为x 2＝－8y . 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．解析：如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2，由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6. 答案：6抛物线的定义(高频考点)抛物线的定义是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)求抛物线的标准方程；(2)求抛物线上的点与焦点的距离； (3)求距离和的最值．[典例引领]角度一 求抛物线的标准方程(2018·天津模拟)已知动圆过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，且与直线x ＝－p2相切，其中p >0，则动圆圆心的轨迹E 的方程为________________．【解析】 依题意得，圆心到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离与到直线x ＝－p2的距离相等，再依抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E 为抛物线，其方程为y 2＝2px . 【答案】 y 2＝2px角度二求抛物线上的点与焦点的距离(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M 是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝____________．【解析】法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝22，所以N(0，42)，|FN|＝4＋32＝6.法二：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.【答案】6角度三求距离和的最值已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.【答案】4若本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2. [通关练习]1．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选A.由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.2．已知动点P 的坐标(x ，y )满足方程5（x －1）2＋（y －2）2＝|3x ＋4y ＋12|，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选 D.由5（x －1）2＋（y －2）2＝|3x ＋4y ＋12|⇒（x －1）2＋（y －2）2＝|3x ＋4y ＋12|5，所以动点P 到定点(1，2)的距离等于其到直线l ：3x ＋4y ＋12＝0的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54D.74解析：选C.如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，MM 1⊥l 于M 1，由抛物线的定义知p ＝12，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.故选C.抛物线的性质[典例引领](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2018·东北四市模拟)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B.12 C.14D.18【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)由题意知x 2＝12y ，则F ⎝⎛⎭⎪⎫0，18，设P (x 0，2x 20)，则|PF |＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2x 20－182＝4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18，所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18.【答案】 (1)B (2)D抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数．[通关练习]1．(2018·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝15x 2解析：选 B.设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .2.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．当水面宽为2 6 m 时，水位下降了________ m.解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，把(2，－2)代入方程得p ＝1，即抛物线的标准方程为x 2＝－2y .将x ＝6代入x 2＝－2y 得：y ＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m.答案：1直线与抛物线的位置关系[典例引领](2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．直线与抛物线位置关系的判断直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与抛物线y 2＝2px (p >0)联立方程组，消去y ，得到k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0的形式．当k ＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k ≠0时，设其判别式为Δ，(1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点； (2)相切；Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点； (3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．[提醒] 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．[通关练习]1．过点(－2，1)斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则由k 的值组成的集合为________． 解析：设l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋（2k ＋1）y 2＝4x，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，①当k ＝0时，y ＝1，此时x ＝14，l 与抛物线仅有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. ②当k ≠0时，由Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝0，得k ＝－1或k ＝12，所以k的值组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，122.(2018·湖南长沙四县联考)如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线．解：(1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E 上， 所以m 2＝4×2，解得m ＝22，即A (2，22)， 又F (1，0)，所以直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝223，k GB ＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，所以∠AGF ＝∠BGF ， 所以GF 为∠AGB 的平分线．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”；一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)． 抛物线最值问题的求法(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，在利用函数求最值的方法求解时，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围． 易错防范(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C.由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34.2．若点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 是坐标原点，若正三角形OAB 的面积为43，则该抛物线方程是( ) A ．y 2＝233xB ．y 2＝3x C ．y 2＝23xD ．y 2＝33x解析：选 A.根据对称性，AB ⊥x 轴，由于正三角形的面积是43，故34AB 2＝43，故AB ＝4，正三角形的高为23，故可以设点A 的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p ，解得p ＝33，故所求的抛物线方程为y 2＝233x .故选A. 3．(2018·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2y D ．x 2＝y解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0，0)和(4p ，8p )，则（4p ）2＋（8p ）2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2018·湖南省五市十校联考)已知抛物线y 2＝2x 上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF |>2，则点A 到原点的距离为( ) A.41 B ．22 C ．4D ．8解析：选B.令点A 到点F 的距离为5a ，点A 到x 轴的距离为4a ，则点A的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a －12，4a ，代入y 2＝2x 中，解得a ＝12或a ＝18(舍)，此时A (2，2)，故点A 到原点的距离为2 2.5．(2018·太原模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3D ．2解析：选C.因为FP →＝4FQ →，所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.6．(2018·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy 中，有一定点M (－1，2)，若线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．解析：依题意可得线段OM 的垂直平分线的方程为2x －4y ＋5＝0，把焦点坐标⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2代入可求得p ＝52，所以准线方程为y ＝－54.答案：y ＝－547．(2018·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________． 解析：设满足题意的圆的圆心为M . 根据题意可知圆心M 在抛物线上， 又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2，又由题意可知x M ＝p 4，所以p 4＝6－p2，解得p ＝8.所以抛物线方程为y 2＝16x .答案：y 2＝16x8．已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________．解析：抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2yp＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2，y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，则1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得y 0＝16p ，由于点M 在直线x 2＋2y p ＝1上，所以36p ＋2p ×p 6＝1，解得p ＝43＝433.答案：4339．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线方程．解：设所求的抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线y ＝2x －4代入y 2＝ax ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0，由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32. 又x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，所以|AB |＝（1＋22）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝35，所以5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝45， 所以a ＝4或a ＝－36.故所求的抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k FA ＝43，因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.1．(2018·甘肃兰州模拟)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22D ．1解析：选C.由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0， 显然当y 0<0时，k OM <0；当y 0>0时，k OM >0.要求k OM 的最大值，则y 0>0，则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，所以k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤22y 0p ·2p y 0＝22， 当且仅当y 20＝2p 2时，取得等号．2．(2018·福建省普通高中质量检查)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，且A ，C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.设抛物线的准线与x 轴交于点D ，则由题意，知F (1，0)，D (－1，0)，分别作AA 1，BB 1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A 1，B 1，则有|AC ||FC |＝|AA 1||FD |，所以|AA 1|＝43，故|AF |＝43.又|AC ||BC |＝|AA 1||BB 1|，即|AC ||AC |＋|AF |＋|BF |＝|AF ||BF |，亦即2|AF |3|AF |＋|BF |＝|AF ||BF |，解得|BF |＝4，故选C.3．(2017·高考北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)．过点(0，12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解：(1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，得p ＝12.所以抛物线C的方程为y 2＝x . 抛物线C的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0， 所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1. 故A 为线段BM 的中点．4．(2018·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M . (1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2， 所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝xp，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p(x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2.所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)，用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33.。
创新方案高考数学一轮复习第九章解析几何第七节抛物线课件理
[典题 4] (2015·浙江高考)如图，已知抛物线 C1：y＝14x2， 圆 C2：x2＋(y－1)2＝1，过点 P(t,0)(t＞0)作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切，A，B 为切点．
(1)求点 A，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．
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(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截 得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2＝－2ay(a>0)的通径 长为 2a.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
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2．点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋6＝0 的距离小 2， 则 M 点的轨迹方程为_____________________．
故y20＝－x20t＋1， x0t－y0＝0，
解得xy00＝＝112＋＋2tt2tt22，，
因此，点 B 的坐标为1＋2tt2，1＋2t2t2.
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(2)由(1)知|AP|＝t· 1＋t2，直线 PA 的方程为 tx－y－t2＝0.
点 B 到直线 PA 的距离是 d＝
t2 1＋t2 .
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(2)由(1)得 4x2－5px＋p2＝0，即 x2－5x＋4＝0，则 x1＝1， x2＝4，于是 y1＝－2 2，y2＝4 2，从而 A(1，－2 2)，B(4,4 2)．设 C(x3，y3)，则 ＝(x3，y3)＝(1，－2 2)＋λ(4,4 2)＝(4λ＋1,4 2λ －2 2)．
[自我查验] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨 迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线 y2＝4x 的焦点到准线的距离是 4.( ) (3) 若 一 抛 物 线 过 点 P( － 2,3) ， 其 标 准 方 程 可 写 为 y2 ＝ 2px(p>0)．( )
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第7节 抛物
焦点到直线x＝m的距离为4，则m的值为( )
A.5
B.－3或5
C.－2或6
D.6
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，它与直线x＝m的距
离为d＝|m－1|＝4，
∴m＝－3或5，故选B.
答案 B
4.(教材习题改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴， 并 且 经 过 点 P( － 2 ， － 4) ， 则 该 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 解__析____很__明. 显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x 轴负半轴上或y轴负半轴上. 当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，把点 P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，
物线的______.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
x2＝ 标准 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0)
2py(p>0)
x2＝－ 2py(p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
第7节 抛物线
最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几 何图形、标准方程及简单几何性质.
知识梳
1.抛物线的定义
理
(1)平面内与一个定点F和一条定直线相l(F等∉l)的距离______的点
的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物准线线的焦点，定直线l叫做抛
5.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物 线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________. 解析 设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去 y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意； 当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－ 1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1]. 答案 [－1，1]
2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何第七节抛物线课件理
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有 关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题 也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是 解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
[典题 2] (1)(2015·陕西高考)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的
准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置 关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物 线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p， 若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利 用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－m1 ＝－2，所以实数 m＝12. 答案：12
[典题 3] 已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2
的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝
9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若
A．(－1,0)
B．(1,0)
C．(0，－1)
D．(0,1)
(2)设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，
|MF|＝5.若以 MF 为直径的圆过点(0,x
B．y2＝2x 或 y2＝8x
C．y2＝4x 或 y2＝16x
第九章 解析几何
第七节 抛 物 线
考纲要求： 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、 对称性、顶点、离心率等)． 2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解 抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 3．理解数形结合思想．
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第7讲抛物线【2020年高考会这样考】1考查抛物线定义、标准方程.2. 考查抛物线的焦点弦问题.3•与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等.【复习指导】熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用.* j KACUIZIZHUD A0KUED1 •考基自主导学基础梳理1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线1（1不过F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线•点F叫做抛物线的焦点，直线I叫做抛物线的准线.其数学表达式：|MF = d（其中d为点M到准线的距离）.^=肋学腿毎----一个结论2 P P焦半径：抛物线y= 2px（p> 0）上一点P（x o, y o）到焦点F -, 0的距离| PF = x o+号.两种方法（1）.......................................................................... 定义法.：.…根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定…P.的值，，得到抛物.线的标進方程. （2）..................................................................................... 待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数............................................. P.的值.，这里要注意抛物线标准方程..…有四种形式.•一.丛简单化角度出发，…焦点在x .轴旳'…设为…y.2亍ax（. a于0）.，焦点在. y 轴.的,设为.2x = by（b 工0）.双基自测1.（人教A版教材习题改编）抛物线y2= 8x的焦点到准线的距离是（）.A. 1 B . 2 C . 4 D . 8解析由2p= 8得p= 4，即焦点到准线的距离为 4.答案C2.(2020•金华模拟）已知抛物线的焦点坐标是（0，—3），则抛物线的标准方程是()A.2x =—12y B. x2= 12yC.2y =—12x D. y2= 12x解析2= 3,.・.p= 6,「. x2=- 12y.答案A3. （2020 •陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程x =- 2，则抛物线的方程是（）.2 2 2 2A. y =—8x B . y =—4x C . y = 8x D . y = 4x解析由准线方程x=—2,顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F（2,0）;②该2抛物线的焦准距p= 4.故所求抛物线方程为y = 8x.答案C4 . （2020 •西安月考）设抛物线y2= 8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是（）.A. 4 B . 6 C . 8 D . 12解析据已知抛物线方程可得其准线方程为x = —2，又由点P到y轴的距离为4,可得点P的横坐标X P= 4,由抛物线定义可知点P到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF = X P+号=X P+ 2 = 4 + 2= 6.答案B5. （2020 •长春模拟）抛物线y1 2 3 4= 8x的焦点坐标是____ .解析•••抛物线方程为y. 8x,「. 2p= 8,即p= 4. 焦点坐标为（2,0）.答案（2,0）mi KAOXIANQTAIMJIUDAOXI.............. ................. *・*n*”・**m*+***-—*+m*n“**i ・**”-■.”******.—・*»****02 ®考向探究导析晴析丢同：乘祈娶醸设抛物线的准线为I，作AA丄l于A, BB丄l于B，由抛物线的定义知| AA| + | BB| = | AF1 1 5+ | BF = 3,贝U AB的中点到y轴的距离为2(| AA| + | BB|) — 4 = 4.答案 C miiz涉及抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线（焦点）的距离问题求解.【训练1】（2020 •济南模拟）已知点P是抛物线y2= 2x上的一个动点，则点P到点（0,2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）.解析由抛物线的定义知，点P到该抛物线的距离等于点P到其焦点的距离，因此点P到点（0,2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和即为点离之和，显然，当P、F、（0,2）三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于考向二抛物线的标准方程及性质考向一抛物线的定义及其应用【例1】?（2020 •辽宁）已知F是抛物线y2= x的焦点，A, B是该抛物线上的两点，| AF +|BF = 3,则线段AB的中点到y轴的距离为（）.3 5代4 B . 1° 4 D.［审题视点］由抛物线定义将|AF + I BF转化为线段AB的中点到准线的距离即可.解析A.17亍 C. ：5 D.P到点（0,2）的距离与点P到焦点的距,172答案 A【例2】？(1)(2020 •南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P( —2,—4)的抛物线方程为__________ •⑵(2020 •浙江)设抛物线y2= 2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 __________ .［审题视点］(1)为求抛物线的方程问题，用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论.⑵抓住FA的中点B在抛物线上，求出p.解析(1)由于点P在第三象限.①当焦点在x轴负半轴上时，设方程为 2 y =—2px(p>0),2把点R —2,—4)代入得：(一4) =—2p x ( —2),解得p= 4,.••抛物线方程为2y = —8x.设方程为x2= —2py(p> 0)，把点R —2, —4)代入得：(一2)2②当焦点在y轴负半轴上时，=—2p x ( —4).1 2解得p= 2* •••抛物线方程为x = —y.综上可知抛物线方程为y2=—8x或x2=—y.(2)抛物线的焦点F的坐标为2, 0，则线段FA的中点B的坐标为p 1 ,代入抛物线方程得1 = 2p x 4,解得p^2,故点B的坐标为誓,1 ,故点B到该抛物线准线的距离为申+ 迈=座2 4 *2 23迈答案(1) y =—8x 或x =—y (2) 4丐匚吒• 1 “求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【训练2】已知F为抛物线x2= 2py( p> 0)的焦点，M为其上一点，且| MF = 2p,则直线MF 的斜率为()•A. — B .土申C >/3 D .±^3p p解析依题意，得F 0, 2，准线为y = —$，过点M作MN垂直于准线于N,过F作FQ垂直于MN于Q则| MN =|MF = 2p, |MQ = p,故/ MF= 30即直线MF的倾斜角为150。
或30°,斜率为—p3或答案B考向三抛物线的综合应用【例3】？(2020 •江西)已知过抛物线y5 6= 2px(p>0)的焦点，斜率为2 ,：2的直线交抛物线于A(x i, y i) , B(x2, y2)( x i v X2)两点，且| AE| = 9.(1)求该抛物线的方程；⑵O为坐标原点，c为抛物线上一点，若3C=6A F入6B求入的值.[审题视点](1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A、B坐标，利用关系式表示出点C坐标，再利用点C在抛物线上求解.解⑴直线AB的方程是y = 2述x—p，与y2= 2px联立，从而有4x2—5px+ p2= 0,所以丄5px i + X2=—,由抛物线定义得：I AB = x i + X2+ p= 9,所以p= 4,从而抛物线方程是y2= 8x.2 2 2(2)由p= 4,4 x —5px+ p = 0 可简化为x —5x+ 4= 0,从而x i = i, X2 = 4, y i=— 2 '2, y2 = 4 '2,从而A(i , — 2 .-2) , B(4,4 -2);设OC= (X3, y3) = (i , — 2 ⑵+ 入(4,4 ；2) = (4 入+ i,4 ：2 入—2 ：2),丄】'二本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识，以及数形结合思想和化归思想.其中直线与圆锥曲线的相交问题一般是联立方程，设而不求，借助根的判别式及根与系数的关系进行转化.【训练3】设抛物线C：y2= 4x, F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A B两点.(I)设L的斜率为I,求| AB的大小；⑵求证：6A- 3B是—个定值.(I)解••• F(i,0) ,•••直线L 的方程为y= x —I,y= x—i,设A（Xi, yi）,日X2, y2），由y2= 4X•X i + X2= 6, X i X2= i.•I AB = ' X2—x i 2+ y2 —y i又y3 = 8X3, 即[2 ..''2(2 入一i)] 2= 8(4 入+ i), 即(2入一i) = 4入+ i ,解得入=0,或入=2.2得x —6x+ i = 0,=：2 •-x i+ X2 2—4X I X2=；'2 •.'36—4 = 8.⑵证明设直线L的方程为x= ky + 1,x = ky+ 1, 2由2得y —4ky —4= 0.y = 4x/• y i+ y2= 4k, y i y2 =—4,0A= (X i, y i) , 0E=(X2, y2).•/O A-=(ky i+ 1)( ky2 + 1) + yy2=k y1y2+ k( y1 + y2)+1 + 屮y2 2=—4k + 4k + 1 —4=—3.••• OA- 3E是一个定值.03 ®考题专项突破辛壁展示［名师無谨阅卷报告14――忽视“判别式”致误【问题诊断】由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判断式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误•【防范措施】解题后任何情况下都来检验判别式A.【示例】?(2020 •福建)已知抛物线C: y = 2px(p>0)过点A(1 , —2).(1) 求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2) 是否存在平行于OAO为坐标原点)的直线I，使得直线I与抛物线C有公共点，且直线OA与I的距离等于二5?若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由.5实录(1)将点A(1 , —2)代入y2= 2px，得p= 2,故所求抛物线C的方程为y2= 4x, 其准线方程为x =— 1.错因遗漏判别式的应用.(2)假设存在直线I，设I : y=—2x +1,5由直线OA与I的距离d=匸，故符合题意的直线I存在，其方程为2x+ y — 1 = 0或2x+ y +1 = 0.得孚=+，解得t = ± 1.5 .5__ 2 2正解 ⑴将(1 , - 2)代入 y = 2px ，得(—2) = 2p • 1, 所以p = 2.故所求的抛物线 C 的方程为y 2= 4x ，其准线方程为x =— 1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y = — 2x +1,y =— 2x +1,2由 2得 y + 2y — 2t = 0.y = 4x ,因为直线l 与抛物线C 有公共点，1所以 A = 4+ 8t >0,解得 t >— 2 另一方面，由直线 OA 与 I 的距离d = J, 所以符合题意的直线I 存在，其方程为2x + y — 1 = 0. 2 2x y【试一试】(2020 •杭州模拟)在直角坐标系xOy 中，椭圆C ： r + 2= 1( a > b >0)的左、右 a b 焦点分别为F 1、F 2, F 2也是抛物线C 2： y 2= 4x 的焦点，点M 为C 与C 2在第一象限的交点，且51 MFI = 3.(1)求C 的方程;⑵ 平面上的点 N 满足M N= MF + MF ,直线I // MN 且与C 交于A 、B 两点，若O A- 0B= 0,求 直线l 的方程.［尝试解答］ ⑴ 由C 2: y 2= 4x ，知F 2（1,0）, 设 MX 1, y 1） , M 在 C 2上,55因为 | MF | = 3,所以 X i + 1 = 3, 得 X 1 = |, y 1 =所以M |,.3' IM 在G 上，且椭圆 G 的半焦距c = 1,482 + ' 2= 1 ,于是9a Ibb 2= a 2— 1,可得|t | -5「I 解得 t = ± 1.因为一1? — 2，+^ , 1 €1— +m2，消去b7 8并整理得9a9—37a2+ 4= 0.1解得a= 2 a= 3不合题意，舍去故b2= 4—1 = 3.2 2故椭圆C i的方程为X4 + y3 = 1.⑵由爺+ MF= I^N知四边形MFNF是平行四边形，其中心为坐标原点0,因为l // MN所以I与OM勺斜率相同.3 L的斜率k =―厂=:63的方程为y = &(x —m).2 2x-+ y-= 1 由4十10，y= ;'6 x —m2 2消去y并整理得9x —16mx+ 8m— 4 = 0.设A(x1, y" , B(x2, y2).2nrt16m 8m—4则X1 + X2 = , X1X2= 9—因为OAL O B 所以X1X2+ y1y2 = 0.所以X1X2 + y1y2= X1X2+ 6(X1 —n)( X2 —m)=7x1x2—6m X1+X2)+ 6m8m —4 16m 2=7 •9——6m•+ 6m7 2=9(14m —28) = 0.所以m=±, 2.此时 A = (16m) —4X9(8 m—4)故所求直线l的方程为y = 6x — 2 3 ,或y=. 6x+ 2 3.=—32m + 144= —32X 2+ 144 > 0.。