高一数学下学期期中试题沪教版(最新整理)
2021上海沪教新版高一数学下学期同步练习6.1.1任意角及其度量(1)任意角详解版(01)
6.1.1任意角及其度量（1）任意角一、单选题1．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ） A ．43-与677B ．900与1260-C ．120-与960D ．150与6302．（2020·上海高一课时练习）若α是第二象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第一象限角或第二象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第一象限角或第四象限角3．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ±4．（2020·上海高一课时练习）与角240︒终边相同的角的集合是（ ）A ．5,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．52,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．4,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．42,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭5．（2020·上海高一课时练习）终边在y 轴上的角的集合不能表示成( )A ．2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭B ．1,22k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭C ．,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭6．（2019·上海市宜川中学高一期中）已知下列四组角的表达式(各式中k Z ∈)()123k ±ππ与3±k ππ；()22k±ππ与22k +ππ；()32k -ππ与2k ππ+；()42k ±ππ与k π， 其中表示具有相同终边的角的组数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题7．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.8．（2018·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）2020是第______象限角.9．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限10．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.11．（2020·上海市洋泾中学高一期末）与4π角终边重合的角的集合是________ 12．（2020·上海高一课时练习）在[0,2]π中与274π终边相同的角为________. 13．（2020·上海高一课时练习）若α是第三象限角，则2α是第______象限的角. 14．（2020·上海高一课时练习）终边在第一、第三象限平分线上的角α的集合可表示为____________.15．（2020·上海高一课时练习）四个角的大小分别为170°，480-︒，1500-︒，870°，其中终边在第二象限的角有_________.16．（2020·上海高一课时练习）与8弧度终边相同的所有角是__________；它们是第________象限角，其中最小的正角为________；最大的负角为_________.17．（2020·上海高一课时练习）终边在第二、四象限角平分线上的角的集合：______________． 18．（2017·上海市金山中学高一月考）1200的角属于第_________象限.三、解答题19．（2020·上海高一课时练习）在平面直角坐标系中，用阴影部分表示下列角的集合：（1）222,63A k k k Z ππαπαπ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭； （2）,63B k k k Z ππαπαπ⎧⎫=+<+∈⎨⎬⎩⎭.20．（2020·上海高一课时练习）在下列角的集合中，找出终边位于4π-到4π之间的所有角：（1）3,4A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭； （2）{}|360130,︒︒==⋅+∈B k k Z ββ.21．（2020·上海高一课时练习）如图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在1min 内转过的角度为()0180θθ︒︒<<，2min 到达第三象限，15min 回到原来位置，求θ.22．（2020·上海高一课时练习）已知0360α︒︒<<，且角α的7倍角的终边与角α的终边重合，求角α.23．（2020·上海高一课时练习）写出终边与x 轴负半轴重合的角的集合，并求在360~720-︒︒之间的角.6.1.1任意角及其度量（1）任意角一、单选题1．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ） A ．43-与677 B ．900与1260-C ．120-与960D ．150与630【答案】D【分析】由终边相同的角的性质逐项判断即可得解.【详解】对于A ，因为433602677-+⨯=，所以43-与677终边相同； 对于B ，因为90036061260-⨯=-，所以900与1260-终边相同； 对于C ，因为1203603960-+⨯=，所以120-与960终边相同； 对于D ，若150360630k +⨯=，解得43k Z =∉，所以150与630终边不同.故选：D.2．（2020·上海高一课时练习）若α是第二象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第一象限角或第二象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第一象限角或第四象限角【答案】C【分析】根据α是第二象限角，得22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，,422k k k Z παπππ+<<+∈，即可得解.【详解】由题若α是第二象限角，22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，,422k k k Z παπππ+<<+∈，当k 为偶数时，2α终边在第一象限，当k 为奇数时，2α终边在第三象限， 则2α是第一象限角或第三象限角.故选：C 【点睛】此题考查根据角的终边所在象限判断其半角所在象限，关键在于熟练掌握任意角的概念.3．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ±【答案】B【分析】利用终边相同的角的概念，对选项进行分析即可解得.【详解】A 不是终边相同的角，2k π终边在x 轴的正半轴上，k π终边在x 轴轴上；B 是终边相同的角；C 不是终边相同的角 6k ππ+终边落在直线y x=上， 26k ππ±终边落在,0y x =≥,0y x x =≥两条射线上； D 不是终边相同的角，2k π终边落在坐标轴上，2k ππ±终边落在y 轴上.故选：B【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，属于简单题目，解题时可以应用排除法，对k 取值进行比较验证.4．（2020·上海高一课时练习）与角240︒终边相同的角的集合是（ ）A ．5,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．52,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．4,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．42,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】利用终边相同的角的定义，结合42403π︒=，即可求解. 【详解】42403π︒=，∴与角240︒终边相同的角的集合是42,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，故选：D【点睛】本题考查终边相同的角的定义，属于简单题.5．（2020·上海高一课时练习）终边在y 轴上的角的集合不能表示成( )A ．2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭B ．1,22k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭C ．,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】分别写出终边落在y 轴正半轴和负半轴上的角的集合，然后进行分析运算即可得解. 【详解】终边落在y 轴正半轴上的角的集合为：2,(21),22k k Z k k Z ππθθπθθπ⎧⎫⎧⎫=+∈==+-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，终边落在y 轴负半轴上的角的集合为：2,(21),22k k Z k k Z ππθθπθθπ⎧⎫⎧⎫=-∈==-+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故终边在y 轴上的角的集合可表示成为2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭， 故A 选项可以表示；将2,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭与(21),2k k Z πθθπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭取并集为： ,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，故C 选项可以表示；将(21),2k k Z πθθπ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭与2,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭取并集为： ,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭，故终边在y 轴上的角的集合可表示成为,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭，故D选项可以表示；对于B 选项，当1k =时，0θ=或θπ=，显然不是终边落在y 轴上的角； 综上，B 选项不能表示，满足题意.故选：B .【点睛】本题考查轴线角的定义，侧重对基础知识的理解的应用，考查逻辑思维能力和分析运算能力，属于常考题.6．（2019·上海市宜川中学高一期中）已知下列四组角的表达式(各式中k Z ∈)()123k ±ππ与3±k ππ；()22k±ππ与22k +ππ；()32k -ππ与2k ππ+；()42k ±ππ与k π， 其中表示具有相同终边的角的组数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用特值排除（1），利用终边判断（2），（3），（4） 【详解】对（1），当41,33k k πππ=+=，不存在23k ππ±与之对应，不正确；对（2），2k ππ±表示终边在y 轴上的角，2+2k ππ表示终边在坐标轴y 轴正半轴的角；不正确；对（3），+22k k ππππ-，表示终边在y 轴上的角，正确对（4），2k ππ±表示 终边在x 轴负半轴的角；k π表示终边在x 轴上的角, 不正确；故选B 【点睛】本题考查终边相同的角的判断，是基础题 二、填空题7．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限. 【答案】二【分析】根据α是第三象限角，求得3α的范围，分别令3k m =，31k m =+，32,()k m m Z 可判断3α终边所在象限，即可得答案. 【详解】由题意得：360180360270,()k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，所以1206012090,()3k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，当3,()km mZ 时，3606036090,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第一象限；当31,()k m mZ 时，360180360210,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第三象限； 当32,()km mZ 时，360300360330,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第四象限，所以3α的终边一定不在第二象限，故答案为：二 8．（2018·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）2020是第______象限角. 【答案】三【分析】把2020︒写成360k α+︒,)0,360,k Z α⎡∈∈⎣，然后判断α所在的象限，则答案可求． 【详解】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒与220︒角的终边相同，为第三象限角．故答案为三．【点睛】本题考查了象限角，考查了终边相同的角，是基础题．9．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限 【答案】三【分析】利用终边相同的角的公式{}360,S k k Z ββα==+⋅∈化简可得. 【详解】2020θ=︒,2020=5360+220θ∴=︒⨯220在第三象限，2020θ=︒在第三象限.故答案为：三 【点睛】本题考查终边相同的角所在的象限.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：{}360,S k k Z ββα==+⋅∈或{}2,S k k Z ββαπ==+∈．10．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________. 【答案】285-︒【分析】根据终边相同的角的概念进行判断.【详解】大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是285-︒.故答案为：285-︒【点睛】本题考查终边相同的角，属于基础题.11．（2020·上海市洋泾中学高一期末）与4π角终边重合的角的集合是________ 【答案】{|2,}4ππ=+∈x x k k Z【分析】根据终边相同的角的定义求解.【详解】由终边相同的角的定义得： 与4π角终边重合的角是2,4x k k Z ππ=+∈， 所以与4π角终边重合的角的集合是{|2,}4ππ=+∈x x k k Z . 故答案为：{|2,}4ππ=+∈x x k k Z 【点睛】本题主要考查终边相同的角的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.12．（2020·上海高一课时练习）在[0,2]π中与274π终边相同的角为________. 【答案】34π 【分析】将274π终边相同的角表示为272,4k k Z βππ=+∈，解不等式即可得解. 【详解】与274π终边相同的角为272,4k k Z βππ=+∈， 令272719022,,,488k k Z k k Z πππ≤+≤∈-≤≤-∈，所以3k =-， 273644πβππ=-=，所以在[0,2]π中与274π终边相同的角为34π.故答案为：34π【点睛】此题考查终边相同的角的表示方法，关键在于熟练掌握终边相同的角的表示方法，根据题意建立不等式求解.13．（2020·上海高一课时练习）若α是第三象限角，则2α是第______象限的角. 【答案】二或四【分析】根据α是第三象限角，得到3222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，再得到3224k k παπππ+<<+，k Z ∈，然后讨论k 的奇偶可得答案. 【详解】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，k Z ∈， 所以3224k k παπππ+<<+，k Z ∈， 当k 为偶数时，2α为第二象限角，当k 为奇数时，2α为第四象限角. 故答案为：二或四.【点睛】本题考查了象限角，考查了由角的象限判断半角的象限，属于基础题.14．（2020·上海高一课时练习）终边在第一、第三象限平分线上的角α的集合可表示为____________. 【答案】,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先分析角α为锐角时的情况，再根据角α终边的周期性求解即可.【详解】当角α为锐角时，易得4πα=，又第一、第三象限平分线上的角终边以π为周期，故角α的集合可表示为,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 故答案为：,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了终边相同的角的弧度制表达，属于基础题.15．（2020·上海高一课时练习）四个角的大小分别为170°，480-︒，1500-︒，870°，其中终边在第二象限的角有_________.【答案】170°，870°【分析】将各角写成终边相同的角的集合,即360,k k Z α+⋅︒∈的形式并判断.【详解】170︒是第二象限的角；480720240-︒=-︒+︒是第三象限角；150********-︒=-︒⨯+︒是第四象限角；8703602150︒=︒⨯+︒是第二象限角.故答案为：170°，870°【点睛】本题考查了将角表示成终边相同的角的集合并判断终边是第几象限的角，属于容易题.16．（2020·上海高一课时练习）与8弧度终边相同的所有角是__________；它们是第________象限角，其中最小的正角为________；最大的负角为_________.【答案】{|28,}=+∈k k Z ααπ 二 82π- 84π-【分析】直接根据角度终边定义得到答案.【详解】与8弧度终边相同的所有角是{}|28,k k Z ααπ=+∈，它们是第二象限角， 当1k =-时，最小的正角为82π-；当2k =-时，最大的负角为84π-.故答案为：{|28,}=+∈k k Z ααπ；二；82π-；84π-.【点睛】本题考查了终边相同的角，属于简单题.17．（2020·上海高一课时练习）终边在第二、四象限角平分线上的角的集合：______________． 【答案】3,4k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】当角的终边在第二象限的平分线上时，则324k παπ=+，k Z ∈，当角的终边在第四象限的平分线上时，则724k αππ=+，k Z ∈，问题得以解决． 【详解】解：设角的终边在第二象限和第四象限的平分线上的角为α， 当角的终边在第二象限的平分线上时，则324k παπ=+，k Z ∈， 当角的终边在第四象限的平分线上时，则724k αππ=+，k Z ∈， 综上，324k παπ=+，k Z ∈ 或724k παπ=+，k Z ∈，即34k παπ=+，k Z ∈， 故答案为：3,4k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题主要考查终边相同的角的概念及表示方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．18．（2017·上海市金山中学高一月考）1200的角属于第_________象限.【答案】二【解析】00001200=3360+120,120⨯在第二象限,所以1200的角属于第二象限三、解答题19．（2020·上海高一课时练习）在平面直角坐标系中，用阴影部分表示下列角的集合：（1）222,63A k k k Z ππαπαπ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭； （2）,63B k k k Z ππαπαπ⎧⎫=+<+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）在平面直角坐标系中，先画出22,263ππαπαπ=+=+k k 的终边，再由角的范围画出.（2）在平面直角坐标系中，先画出,63ππαπαπ=+=+k k 的终边，再由角的范围画出.【详解】（1）如图：（2）如图：【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.20．（2020·上海高一课时练习）在下列角的集合中，找出终边位于4π-到4π之间的所有角：（1）3,4A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭； （2）{}|360130,︒︒==⋅+∈B k k Z ββ. 【答案】（1）1395371115,,,,,,,44444444----ππππππππ；（2）590-︒，230-︒，130°，490° 【分析】（1）分别令4,3,22,3k =---，可得结果；（2）分别令2,1,0,1k =--，可得结果；【详解】（1）由于3,4A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 当4k =-时，134πα=-；当3k =-时，94πα=-； 当2k =-时，54πα=-；当1k =-时，4πα=-； 当0k =时，34πα=；当1k =时，74πα=； 当2k =时，114πα=；当3k =时，154πα=； ∴该集合中终边位于4π-到4π之间的角为1395371115,,,,,,,44444444----ππππππππ. （2）由于{}|360130,︒︒==⋅+∈B k k Z ββ，当2k =-时，590β=-；当1k =-时，230β=-；当0k =时，130β=；当1k =时，490β=；∴该集合中终边位于4π-到4π之间的角为590,230,130,490--.【点睛】本题主要考查终边相同的角的集合，利用k 的取值求出对应范围内终边相同的角，属于基础题.21．（2020·上海高一课时练习）如图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在1min 内转过的角度为()0180θθ︒︒<<，2min 到达第三象限，15min 回到原来位置，求θ.【答案】θ为96°或120°【分析】由题意结合任意角的概念、象限角的定义及终边相同的角的概念可转化条件为0180180227015360()k k Z θθθ︒︒︒︒︒⎧<<⎪<<⎨⎪=⨯∈⎩，即可得解. 【详解】由题意得0180180227015360()k k Z θθθ︒︒︒︒︒⎧<<⎪<<⎨⎪=⨯∈⎩，解得24,︒=⋅∈k k Z θ，且90135︒︒<<θ，所以满足题意的θ为96°或120°.【点睛】本题考查了任意角、象限角及终边相同的角的概念的应用，考查了运算求解能力，关键是合理转化题目条件，属于基础题.22．（2020·上海高一课时练习）已知0360α︒︒<<，且角α的7倍角的终边与角α的终边重合，求角α.【答案】60°，120°，180°，240°，300°【分析】根据终边相同角的性质，结合已知列出等式，再根据角α的取值范围进行求解即可.【详解】因为角α的7倍角的终边与角α的终边重合，所以有7360,k k Z αα︒=+⋅∈，解得60,k k Z α︒=⋅∈，而0360α︒︒<<，所以603600,k k Z ︒︒︒<<⋅∈，解得06,k k Z <<∈，即1,2,3,4,5k =，当1k =时，60α︒=；当2k =时，120α︒=；当3k =时，180α︒=；当4k =时，240α︒=；当5k =时，300α︒=，所以角α的值为：60°，120°，180°，240°，300°.【点睛】本题考查了终边相同角的性质，考查了数学运算能力，属于基础题.23．（2020·上海高一课时练习）写出终边与x 轴负半轴重合的角的集合，并求在360~720-︒︒之间的角.【答案】{}|360180,︒︒=⋅+∈k k Z αα；180-︒，180°，540°【分析】根据终边与x 轴负半轴重合的角的性质，结合所给的范围进行求角即可.【详解】因为在0~360︒︒范围内，终边与x 轴负半轴重合的角为180︒，因此与180︒角终边相同的角构成集合{}|360180,︒︒=⋅+∈k k Z αα；当360720α-︒<<︒时，有360360180720,k k Z ︒︒-︒<⋅+<︒∈， 解得：33,22k k Z -<<∈，因此1,0,1k =-， 当1k =-时，180α︒=-；当0k =时，180α︒=；当1k =时，540α︒=，所以终边与x 轴负半轴重合的角的集合是{}|360180,︒︒=⋅+∈k k Z αα；在360~720-︒︒之间的角为180-︒，180°，540°.【点睛】本题考查了终边与x 轴负半轴重合的角的性质，考查了数学运算能力，属于基础题.。
上海市浦东新区沪新中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题(教师版)
2019学年第二学期期中教学质量检测高一数学一.填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.已知角α的终边经过点()5,12P -，则sin cos αα+=__________. 【答案】713【解析】【分析】求出点P 到坐标原点的距离，根据三角函数的定义，求出sin ,cos αα，即可求解.【详解】设坐标原点为,||13O OP =，1257sin ,cos sin cos 131313αααα∴==-∴+=，. 故答案为：713 【点睛】本题考查三角函数定义的应用，属于基础题.2.函数lg(53)y x -的定义域为____________. 【答案】5[1,)3【解析】【分析】根据函数解析式的限制条件，列出不等式，即可求解. 【详解】函数有意义需，lg 0530x x ≥⎧⎨->⎩解得513x ≤<， 所以函数的定义域为5[1,)3. 故答案为：5[1,)3.【点睛】本题考查函数的定义域，注意对数函数性质的应用，属于基础题.3.用弧度制表示所有与75︒终边相同的角的集合是______________.【答案】5{|2,}12k k Z ααππ=+∈ 【解析】【分析】 根据角度和弧度关系，以及终边相同角的关系，即可求解. 【详解】57512π︒=∴Q ，与75︒终边相同的角的集合是5{|2,}12k k Z ααππ=+∈。
故答案为：5{|2,}12k k Z ααππ=+∈ 【点睛】本题考查角单位互化、终边相同角的集合表示，属于基础题.4.函数2log (1)y x =-，[)3,x ∈+∞的反函数为_______________.【答案】21,[1,)x y x =+∈+∞【解析】【分析】先求出函数的值域，然后由函数解析式将x 用y 表示，即可得出结论.【详解】函数2log (1)y x =-，[)3,x ∈+∞，[1,)y ∴∈+∞， 12,21y y x x -==+，所以反函数为21,[1,)xy x =+∈+∞.故答案为：21,[1,)x y x =+∈+∞.【点睛】本题考查反函数的求法，要注意反函数的定义域不要遗漏，属于基础题.5.已知2log 3m =，试用m 表示6log 9=______________. 【答案】21m m+ 【解析】【分析】根据已知，应用换底公式将所求的式子化为以2为底的对数，再结合对数运算性质，即可求解. 【详解】22622log 92log 32log 9log 61log 31m m===++.故答案为：21m m+. 【点睛】本题考查对数的运算，掌握换底公式及对数运算性质是解题关键，属于基础题. 6.001tan151tan15-=+ ．【解析】【分析】根据两角差的正切公式，可直接求出结果.【详解】00000001tan15tan 45tan15tan 301tan151tan 45tan 513-==+-=+.故答案3【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，熟记公式即可，属于常考题型.7.方程239(log )2log 3x x =-的解集是______.【答案】⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭【解析】【分析】对()239log 2log 3x x =-变形，再利用换元法转化成一元二次方程问题来求解即可．【详解】Q ()239log 2log 3x x =-， ∴()()()2333311log 2log 32log 3log 22x x x =-=-+ 即：()23313log log 022x x +-=，令3log t x =， 则方程可化为213022t t +-=，解得：1t =或32t =-， ∴3x =或()323x -=∴3x =或x =∴方程()239log 2log 3x x =-的解集是：3,9⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭【点睛】本题考查了对数运算性质及转化思想，利用换元方法求解．8.把2cos αα+化为sin()(0)A A αϕ+>的形式_________________. 【答案】4sin()6πα+【解析】【分析】根据辅助角公式，即可求解.【详解】12cos 4(cos )4sin()26πααααα+=+=+。
2021-22学年上海高一下沪教新版期末重难点复习专题4：幂与指数常考题专练(解析版)
【期末宝典】专题4：幂与指数常考题专练（解析版）一、单选题1．下列各式中成立的一项（ ）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．C ()34x y =+ D =【标准答案】D 【思路点拨】利用指数幂的运算性质、根式与分数指数幂的互化可判断各选项的正误. 【精准解析】对于A 选项，()7177n n m n m m --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，A 选项错误；对于B 1431233===≠B 选项错误；对于C 选项，()34x y =+≠C 选项错误；对于D 12123333⎛⎫= ⎪⎝⎭D 选项正确. 故选：D.2．141681-⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．32-B ．23-C ．32 D ．23【标准答案】C 【思路点拨】试卷第2页，共18页根据指数幂的运算性质可解得结果. 【精准解析】1141441622381332⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C.30)x >的结果是（ ）A ．xB ．2xC ．1 D【标准答案】A 【思路点拨】将指数转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可求解. 【精准解析】2112132123616x x x x x x +-⋅====， 故选：A4．计算：2332(27)9--⨯=（ ）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【标准答案】D 【思路点拨】利用指数运算化简求得表达式的值. 【精准解析】 原式()()()233223323113333933--⎡⎤=-⨯=-⨯=⨯=⎣⎦.故选：D5．在n ①N *，a ①R 时各式子有意义的是（ ） A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①【标准答案】B 【思路点拨】由21(4)n +-<0知②无意义；当a <0时，a 5<0，②无意义，即可得出选项. 【精准解析】由2(4)n ->0知②有意义；由21(4)n +-<0知②无意义；②中开奇数次方根，所以有意义；当a <0时，a 5<0，此时②无意义. 故选:B .63,x=则x =（ ）A ．279 B ．273C ．239D ．233【标准答案】A 【思路点拨】利用根式与分数指数幂之间的互化即可求解. 【精准解析】3x ，得343x x =，即743x =，所以427739x ==.故选：A7⋅=（ ）AB ．5C ．D ．25【标准答案】C【思路点拨】利用指数幂的运算性质求解即可【精准解析】⋅2⎡⎢⎥⎣⎦==故选：C8．将85-化成分数指数幂为（）A．415x B．415x-C．13x-D．25x 【标准答案】A【思路点拨】直接根据根式和指数幂的关系计算即可.【精准解析】8818()551425315x x--⨯--⎛⎫=⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==，故选：A.9．碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为（）A．15730B．25 730C．1573012⎛⎫⎪⎝⎭D．1573014【标准答案】C【思路点拨】设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则 5 73012m=，解方程即可得答案.试卷第4页，共18页【精准解析】设碳14的年衰变率为m ，原有量为1，则 5 73012m=，解得1573012m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以碳14的年衰变率为1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.10．若14a <）A B C ．D ．【标准答案】B 【思路点拨】由题知410a -<,进而根据指数幂化简即可. 【精准解析】因为14a <，所以410a -<= 故选:B.二、填空题11．（2021·上海·高一期末）对于正数a 可以用有理数指数幂的形式表示为__________. 【标准答案】78a 【思路点拨】将根式转化为有理数指数幂，应用指数幂的运算性质，即可得有理指数幂的形式.【精准解析】71118222[()]a a a a=⋅⋅=.故答案为：78a12．（2021·()0pa a=>，则p=___________.【标准答案】524【思路点拨】利用根式与指数幂的运算可求得p的值.【精准解析】a >，则111542324pa a a+⎛⎫==⎪⎝⎭，因此，524p=.故答案为：524.13．（2021·上海宝山·高一期末）代数式x⎛⎪⎪⎝⎭x＞0）可化简为________．【标准答案】x【思路点拨】利用分数指数幂与根式的运算性质求解【精准解析】解：因为0x>，所以35352222x x x x x--+⎛⋅==⎪⎪⎝⎭，故答案为：x试卷第6页，共18页14．（2021·上海金山·高一期末）已知0x >，化简(3x ________.【标准答案】7x 【思路点拨】由幂的运算法则即可求解. 【精准解析】 解：因为0x >，所以由幂的运算法则得((33927=x xx x -==，故答案为：7x .15=a 的取值范围为________.【标准答案】12a ≤【思路点拨】根据根式的性质进行化简，判断即可． 【精准解析】2112a a =-=-，因为2112a a -=-，故210a -≤，所以12a ≤． 故答案为：12a ≤． 16．下列关系式中，根式与有理数指数幂的互化正确的是________（只填序号）.①()()120;x x =->()130;y y =<试卷第8页，共18页①)340;x x ->①)13=0.x x -> 【标准答案】② 【思路点拨】利用根式与分数指数幂的互化即可求解. 【精准解析】对于②，()120x x ->，故②错误； 对于②，当y <0130,0y <，故②错误；对于②，)340x x -=>，故②正确；对于②，13x -，故②错误. 故答案为：②.17．化简：2132111136251528x y x y x y --=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________. 【标准答案】2316x 【思路点拨】按照指数的运算性质计算即可. 【精准解析】原式2121111133322668525x y -+-+--+=⨯⨯02316x y =2316x =. 故答案为：2316x .180=，则()2019yx =__________.【标准答案】-1 【思路点拨】根据题目条件推出1x =-，3y =-，再计算()2019yx 的值.【精准解析】0，130x y +++=，因为10x +≥，30+≥y ，所以由130x y +++=，得10x +=，30y +=， 解得1x =-，3y =-. 所以()2019201911x =-=-，()()3201911yx -=-=-.故答案为：1-.19．（2021·上海闵行·高一期末）已知0a >，0b >，化简：22315166242()()3a b a b a b =-________ 【标准答案】166b - 【思路点拨】直接利用指数幂的运算性质化简求值即可. 【精准解析】0a >，0b >，则22115112321036266615166243466223a b a b a b b a b a b ----⎛⎫=⨯-⋅⋅=-=- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.试卷第10页，共18页故答案为：166b -.20．（2020·上海南汇中学高一期末）已知函数()2x g x =，若0a >，0b >，且()()2g a g b =，则ab 的取值范围是________． 【标准答案】10,4⎛⎤⎥⎝⎦【思路点拨】根据()()2g a g b =可得1a b +=，再将ab 化为关于a 的二次函数，利用二次函数知识可求得结果. 【精准解析】依题意可得222a b ⋅=，即22a b +=，所以1a b +=， 所以10b a =->，所以01a <<，所以2211(1)()24ab a a a a a =-=-+=--+1(0,]4∈.故答案为：10,4⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题 21．化简下列各式： （15；（26；（3【标准答案】（1）-4；（2）4；（3）当x ≥-2时，原式=x +2，当x <-2时，原式=-x -2. 【思路点拨】（1）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（2利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（3）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化分情况化简即可求解. 【精准解析】（1）原式=（-2）+（-2）=-4. （2）原式=|-2|+2=2+2=4.（3）原式=|x +2|=2,2,2, 2.x x x x +≥-⎧⎨--<-⎩22．用有理数指数幂的形式表示下列各式（a >0，b >0）.（1）a（2（3）2（42；（5；（6【标准答案】（1）52a ；（2）136a ；（3）7362a b ；（4）76a ；（5）23a -；（6）11463a b -. 【思路点拨】将根式转化为分数指数幂结合指数的运算性质逐一计算即可. 【精准解析】（1）原式=11522222a a a a +⋅==. （2）原式=22313333262a a a a +⋅==.试卷第12页，共18页（3）原式=2217133333262222a a b a b a b +⋅==. （4）原式=557-2-2666a a a a ⋅==. （5）原式=23a -.（6）原式11463a b -.23．（2020·上海市洋泾中学高一期中）已知实数x 满足210x mx -+=，求： （1）22x x -+（用m 表示）； （2）1x x --（用m 表示）.【标准答案】（1）22m-；（2）【思路点拨】（1）由210x mx -+=得211x m x x x+==+，再两边平方可得结果；（2）根据1x x--=.【精准解析】（1）由210x mx -+=知0x ≠，所以211x m x x x +==+，所以221m x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2212x x =++，所以2222x x m -+=-.（2）由（1）2222x x m -+=-， 所以1x x--===【名师指导】关键点点睛：第（2）问根据1xx --=.24．（2020·上海·高一单元测试）(1)计算：013134210.064160.258-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭；(2)已知13x x -+=，求44x x --的值. 【标准答案】(1)10；(2) ± 【思路点拨】（1）利用指数运算性质即可得出．（2）由13x x -+=平方得227x x -+=，进而得4447x x -=+，再利用()22244245xx x x ---=-+=即可得出．【精准解析】 (1)原式511181022==-++= (2)由13x x -+= 得227x x -+= ②4447x x -=+②()22244245x x x x ---=-+=即22x x --=±【名师指导】本题考查了指数运算性质、乘法公式及其变形，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（2020·上海·高一单元测试）（①）计算：()162164200849-⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭（①111133420,0)a b a b a b ->>⎛⎫⎪⎝⎭试卷第14页，共18页【标准答案】（②）100；（②）ab【思路点拨】（I ）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. （II ）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. 【精准解析】（②）原式1222372341427711004⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （②）原式11123223323111111212633311233a b a b a a b ab b ab a b +-++----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====. 【名师指导】本小题主要考查根式和指数运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题. 26．化简下列各式（1）()1620.251648202049-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭（2)11420,0a b a b >>⎛⎫ ⎪⎝⎭【标准答案】（1）98；（2）ab.【思路点拨】（1）首先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则化简求值；（2）将根式化简为分数指数幂，再按照分数指数幂的运算公式化简. 【精准解析】（1）原式1111324472342814⎛⎫=⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭()144277281 =⨯--⨯-10872198=---=；（2）原式()1110812232233354331127272333333a ba b aba b ab ab b a a b a b-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦====⋅⋅【名师指导】关键点点睛：本题的关键是第二问，理解根式如何化简为分数指数幂的形式.27(3a=-成立的实数a的取值范围.【标准答案】[-3，3]【思路点拨】a==-成立，即可得出3030aa-≤⎧⎨+≥⎩，解得即可．【精准解析】a==-要使(3a a--成立，需3030aa-≤⎧⎨+≥⎩，解得a②[-3，3]．【名师指导】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．28．计算下列各式：试卷第16页，共18页（1）()1020.52312220.0154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （322.551030.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）)0x ⎛> ⎪ ⎪⎝⎭；（5）()21113322156630,0.13a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>> 【标准答案】(1)1615；(2)100；(3)3；(4)2x ；(5)9a -. 【思路点拨】利用根式与分数指数幂的互化，根式的性质，指数幂的运算性质计算求值. 【精准解析】(1)原式()1122221412116110129431015-⎛⎫=+⨯-=+⨯-= ⎪⎝⎭. (2)原式()12232125273710396448--⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5937100331648=++-+100=. (3)原式()1315270.4128-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭5350.51222=-++-3=.(4)原式31222x x x =⋅=. (5)原式21111532623699a b a +-+-=-=-.29．将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1a >0）；（2（x >0）；（3）23-⎝⎭（b >0）.【标准答案】（1）34a ；（2）35x -；（3）19b . 【思路点拨】（1）原式=1322a ⎛⎫⎪⎝⎭=34a .（2）原式19351x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=35x -. （3）原式=213243b --⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦=19b . 【精准解析】（1）原式1322a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=34a . （2）原式=19351x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=351x =35x -. （3）原式=213243b --⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦=212343b ⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭=19b . 30．已知x+x -1=4，其中0<x <1，求221x x --的值. 【标准答案】-试卷第18页，共18页【思路点拨】由题求出x -x -1=-12x +12x -. 【精准解析】因为x+x -1=4，所以12()x x -+=x 2+x -2+2=16，即x 2+x -2=14，则12()x x --=x 2+x -2-2=12.因为0<x <1，所以x<x -1，所以x -x -1=-21122x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭x+x -1+2=6， 故12x +12x -，所以()()112211224=1x x x xx x x x ----⨯-+--==-+。
专题01 三角 高一数学下学期期末考点(沪教版2020必修二)
因为 M＋N
＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋ 3(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin 80°)
＝2＋ 3sin 100°，
①
M－N
＝(sin 220°－cos 220°)＋(cos 280°－sin 280°)＋ 3(sin 20°cos 80°－cos 20°sin 80°)
【变式】求值：
.
1＋cos 10°
[解]
2sin 80°1
3
2sin 50°＋
cos
10°
＋
sin
10°
cos 10°2
2
原式＝
2cos 5°
2sin 80°
2sin 50°＋
cos60°－10°
cos 10°
＝
2cos 5°
＝
2
2
2
sin 50°＋ cos 50° 2cos50°－45°
【变式】 (1)设 α 为锐角，若
π 4
cos α＋6＝5，求
π
sin 2α＋12的值．
α
2
β
π
1
(2)已知 0＜β＜2＜α＜π，且 cosα－2＝－9，sin2－β＝3，求 cos(α＋β)的值．
π 4
(1)因为 α 为锐角且 cosα＋6＝5，
高一沪教版数学下册期末考点大串讲
2023年上海中学高一下期中数学试卷及答案
上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．2.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______．3.若tan 2θ=-，则2cos2sin21cos θθθ-=+______．4.已知π1πcos (0332αα⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则()sin πα+=________________．5.函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是________6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则tan B =________7.已知函数2()cos 2cos (0)222x x x f x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.8.若函数()2sin 0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是________.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，已知b =，45A ∠=，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)10.定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式2cos220x θ-+<与不等式224sin210x x θ++<为对偶不等式，且θ=______．11.设()202320222021f x x x =++，若不等式()()22sin cos 1cos f x a x a f x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______．12.若不等式2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，则实数k 的最小值为______．二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（）A.12t =，s 的最小值为6πB.2t =，s的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.2t =，s的最小值为3π14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角θ的面度数为512π，则cos 2θ=（）A.4B.4C.14D.14-15.将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（）．A.9B.275C.3D.1116.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca的值等于A.12-B.12C.1- D.1三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin tan 12cos CA C=-，1b =.（1）求a 的值；（2）若c =，求ABC 外接圆的面积.19.设a 为常数，函数()()sin2cos 2π21f x a x x =+-+（x ∈R ）．（1）设a =，求函数()y f x =的单调区间及周期T ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．20.已知A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1）用θ及R 表示1S 和2S ；（2）求12S S 的最小值．21.对于函数()f x （x D ∈），若存在非零常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 函数”，若对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则称函数()f x 为“严格T 函数”．（1）求证：()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”；（2）若函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，求k 的取值范围；（3）对于定义域为R 的函数()f x ，()00f =．函数()sin f x 是奇函数，且对任意的正实数T ，()sin f x 均是“严格T 函数”．若()π2f a =，()π2f b =-，求a b +的值上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．【答案】2rad 【解析】【分析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α，根据题意，由24R l +=，112lR =求解.【详解】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α，则24R l +=．①由扇形的面积公式12S lR =，得112lR =．②由①②得1R =，2l =，∴2rad lRα==．∴扇形的圆心角为2rad ．故答案为：2rad2.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______．【答案】34-【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan θ的值．【详解】解：角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-=，3y ∴=-，则3tan 44y θ==-，故答案为34-．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.若tan 2θ=-，则2cos2sin21cos θθθ-=+______．【答案】16【解析】【分析】利用正余的倍角公式，将2cos2sin21cos θθθ-+转化成齐次式即可求出结果.【详解】因为2222222cos2sin2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 1cos 2cos sin 2tan θθθθθθθθθθθθ-----==+++，又tan 2θ=-，所以2cos2sin214411cos 246θθθ--+==++.故答案为：16.4.已知π1πcos (0332αα⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则()sin πα+=________________．【答案】3226-【解析】【分析】根据同角关系式，诱导公式及两角差的正弦公式即得.【详解】π02α<<，ππ5ππ,sin 03363αα⎛⎫∴<+<+> ⎪⎝⎭，所以π22sin 33α⎛⎫+==⎪⎝⎭，则()ππsin πsin sin 33ααα⎡⎤⎛⎫+=-=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦221133232⎛=-⨯-⨯= ⎝⎭3226-.故答案为：3226-.5.函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是________【答案】π【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数sin 21y x =+，根据最小正周期等于2πω求出结果.【详解】函数()222sin cos sin cos 2sin cos sin 21y x x x x x x x =+=++=+，∴函数的最小正周期为22ππ=故答案为：π.6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则tan B =________【答案】43【解析】【分析】根据面积公式得到1sin 2S ac B =⋅,根据余弦定理得到2222cos a c b ac B +-=⋅,对等式进行整理,即可得到tan B 的值【详解】由三角形面积公式可得1sin 2S ac B =⋅,由余弦定理可得2222cos a c b ac B+-=⋅ 2221()3S a c b =+-,11sin 2cos 23ac B ac B ∴⋅=⋅⋅又0a > ,0c >,12sin cos 23B B ∴=,2sin 431cos 32B B ∴==,即4tan 3B =故答案为43【点睛】本题考查解三角形的问题,考查三角形面积公式,余弦定理的应用,考查正切公式7.已知函数2()cos 2cos (0)222x x x f x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.【答案】(3,2]--【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为23π求得()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后将0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，转化为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象，利用数形结合法求解.【详解】函数2()cos 2cos 222x x x f x ωωω=+，cos 1x x ωω=++，2sin 16x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的周期为，所以2323πωπ==，()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，所以0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象如图所示：由图象可知：23k ≤-<，即2k -3<≤-，所以实数k 的取值范围是(3,2]--，故答案为：(3,2]--【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．8.若函数()2sin 0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是________.【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据x 的范围可确定x ω的范围，由正弦型函数最值可确定x ω所满足的不等关系，解不等式组可求得ω的范围.【详解】当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，,34x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由题意可知：32223222242k k k k ππππωπππππωπ⎧-+<-≤-+⎪⎪⎨⎪-+≤<+⎪⎩，Z k ∈，解得：3966222828k k k kωω⎧-≤<-⎪⎨⎪-+≤<+⎩，Z k ∈，0ω> ，9602280k k ⎧->⎪∴⎨⎪+>⎩，解得：4143k -<<，又Z k ∈，0k ∴=，392222ωω⎧≤<⎪∴⎨⎪-≤<⎩，322ω∴≤<，即ω的取值范围为3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，已知b =，45A ∠= ，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得{}22sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合{})2⎡⋃+∞⎣，即可确定一个a的可能取值是【详解】解：由已知及正弦定理sin sin a b A B=22sin 2B =，可得{}22sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合为：{})2⎡⋃+∞⎣．可得a 的可能取值是故答案为．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式2cos220x θ-+<与不等式224sin210x x θ++<为对偶不等式，且θ=______．【答案】()ππZ 26k k θ=-∈【解析】【分析】根据题意利用韦达定理可得,2a b ab θ+==，且112sin 2a bθ+=-，结合三角恒等变换化简可求得πsin 203θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求得答案.【详解】依题意可知,a b 为2cos220x θ-+=的两根，11,a b为224sin210x x θ++=的两根，需满足2248cos 280,16sin 280θθ'∆=->∆=->，即215sin 226θ<<，故,2a b ab θ+==，且112sin 2a bθ+=-，故11a b a b ab++=，则2sin 22θθ-=，π2sin 202sin 20,3θθθ⎛⎫+=∴+= ⎪⎝⎭，()()πππ2πZ ,Z 326k k k k θθ+=∈∴=-∈，经验证满足215sin 226θ<<故答案为：()ππZ 26k k θ=-∈11.设()202320222021f x xx =++，若不等式()()22sin cos 1cos f x a x a f x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(][),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数，利用奇偶性、单调性将不等式转化恒成立问题，利用换元法结合二次函数的性质求解即可.【详解】令()()202320212022g x f x xx =-=+，由()g x 定义域为R ，且()()g x g x -=-，所以()g x 为奇函数，且2023222,0y x y x ==在R 单调递增，所以()g x 在R 单调递增，所以不等式()()22sin cos 1cos f x a x af x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，()()22sin cos 20211cos 2021f x a x a f x ⇔++-≥+-，()()22sin cos 1cos g x a x a g x ⇔++≥+，22sin cos 1cos x a x a x ⇔++≥+，即221cos cos 1cos x a x a x ⇔-++≥+，()22cos 1cos 0x a x a ⇔+--≤在R 恒成立，设[]cos ,1,1t x t =∈-，则问题转化为：()2210t a t a +--≤在[]1,1t ∈-上恒成立，又因为()22Δ140a a =-+>，所以()()()()2222221110201110a a a a a a a a ⎧⎧-≥-+-⨯--≤⎪⇒⎨⎨+-≥+-⨯-≤⎪⎩⎩，解得：2a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围是：(][),21,-∞-+∞ .故答案为：(][),21,-∞-+∞ .12.若不等式2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，则实数k 的最小值为______．【答案】144【解析】【分析】利用正弦定理角化边，可得223kb ac bc +>恒成立，化简为223bc ac k b -⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，将223bc acb-化为二次函数性形式，结合二次函数性质即可求得答案.【详解】由2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，可得223kb ac bc +>，即223bc ac k b -⎛⎫>⎪⎝⎭恒成立，又因为ABC 中，a b c +>，则()()()222232323b a c b a a b bc ac b b b --+-=<22222311144a a a b b b ⎛⎫⎛⎫=-+⋅+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当11a b =时，211144a b ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭取得最大值144，即223144bc ac b -<，故144k ≥，即实数k 的最小值为144，故答案为：144二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（） A.12t =，s 的最小值为6πB.32t =，s的最小值为6π C.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角θ的面度数为512π，则cos 2θ=（）A.624 B.624C.314D.314-【答案】B 【解析】【分析】设角θ所在的扇形的半径为r ，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得θ，利用两角和的余弦公式即可求解cos2θ的值．【详解】解：设角θ所在的扇形的半径为r ，由扇形的面积公式可得21||2S r θ=⋅，则215||212S r πθ==，可得5coscos cos cos cos sin sin 212464646θπππππππ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭122224=-⨯=.故选：B.15.将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（）．A.9B.275C.3D.11【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数图象的平移求得()g x 的解析式，根据已知求得1π34x +的最大值和2π34x +的最小值，即可求得1x 的最大值以及2x 的最小值，即得答案.【详解】将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像,即()π2sin 314g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()[3,1]g x ∈-，故由()()129g x g x ⋅=可得()()123,3g x g x =-=-，则12ππsin 31,sin 3144x x ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]12,0,4πx x ∈，故12ππ49πππ49π,3,344444,4x x ⎡⎤⎡⎤+∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以需1π34x +取到最大值23π2，2π34x +取到最小值3π2，即1x 取到最大值15π4，2x 取到最小值5π12，此时12x x 取最大值，即12x x 最大值为15π95412π=，故选：A16.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca的值等于A.12-B.12C.1- D.1【答案】C 【解析】【详解】解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f （x ）+f （x-c ）=2，于是取a=b=12，c=π，则对任意的x ∈R ，f （x ）+f （x-c ）=1，由此得cos b ca=-1，选C 三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.【答案】232()433f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意，根据,B C 是半周期内的两个相邻的零点，求得4w =，进而求得3A =和23πφ=-，即可得到函数的解析式；【详解】（1）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是半周期内的两个相邻的零点，则2,,2236T T w πππ=-∴=∴=0321230sin A Asin πφπφπφπφ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪=⎧⎪⎪⎛⎫+=⇒⎨⎨⎪=-⎝⎭⎪⎪⎩⎪-<<⎪⎩所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是一周期内的两个不相邻的零点，则2,,4362T T w πππ=-∴=∴=()2023331203sin A Asin πφπφππφφ⎧⎛⎫+= ⎪⎧⎪⎝⎭=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪-<<=-⎪⎪⎩⎪⎩所以函数()2sin 433f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，及三角函数的解析式的求解，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin tan 12cos CA C=-，1b =.（1）求a 的值；（2）若c =，求ABC 外接圆的面积.【答案】（1）2a =，（2）73π.【解析】【分析】（1）由2sin tan 12cos CA C=-,根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式可得sin 2sin A B =，再由正弦定理可得2a b =，问题得以解决；（2）由（1）可得2a =，先由余弦定理求出cos C ，再求出C 的值，再由正弦定理求出外接圆的半径，问题得以解决.【小问1详解】因为2sin tan 12cos CA C=-，所以sin 2sin cos 12cos A CA C=-，所以sin (12cos )2cos sin A C A C -=，所以sin 2sin cos 2cos sin 2sin()A A C A C A C =+=+，因为πA C B +=-，所以sin()sin(π)sin A C B B +=-=，所以sin 2sin A B =由正弦定理得2a b =.因为1b =，所以2a =.【小问2详解】因为c =2a =，1b =，所以由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即714212cos C =+-⨯⨯，即1cos 2C =-，因为()0,πC ∈所以2π3C =，设ABC 的外接圆半径为R，则22πsin 3R=，解得213R =，所以ABC 的外接圆面积为27ππ3R =.19.设a 为常数，函数()()sin2cos 2π21f x a x x =+-+（x ∈R ）．（1）设a =，求函数()y f x =的单调区间及周期T ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．【答案】（1）增区间ππ[π,π36Z ],k k k -+∈，减区间为 π2π[63π+,πZ k k k +∈；π（2）[0,2]【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得()π2sin(216f x x =++，结合正弦函数性质即可求得答案；（2）根据函数的奇偶性求得a 的值，结合余弦函数性质可求得答案.【小问1详解】因为a =()πcos212sin(2)16f x x x x =++=++，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，解得ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈，即函数()y f x =的单调增区间为ππ[π,π36],Z k k k -+∈；令ππ3π2π+22π,Z 262k x k k ≤+≤+∈，解得π2ππ+π,Z 63k x k k ≤≤+∈，函数()y f x =的单调减区间为π2π[π+,π],Z 63k k k +∈函数的周期为2ππ2T ==.【小问2详解】函数()y f x =为偶函数，则()()f x f x -=，即sin(2)cos(22)1ππsin2cos(22)1a x x a x x -+++=+-+，即sin2cos21sin2cos21a x x a x x -++=++，即sin20a x =，由于x ∈R ，则0a =，故()()cos 2π21cos 21f x x x =-+=+，由于cos 2[1,1]x ∈-，故()[0,2]f x ∈.20.已知A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1）用θ及R 表示1S 和2S ；（2）求12S S 的最小值．【答案】（1）()21sin cos 2sin cos S R θθθθ=+-，22sin 2S R θ=；（21-【解析】【分析】（1）先利用θ及R 表示出,AC BC 的长，即可表示出2S ，进而设AB 的中点为O ，连接,MO NO ，表示出ME 的长，结合三角形面积公式即可表示出1S ；（2）利用（1）的结论可得12S S 的表达式，结合三角函数sin cos ,sin cos θθθθ+之间的关系化简，并利用函数单调性，即可求得答案.【小问1详解】因为π,(0,]2ABC θθ∠=∈，故2sin 2cos ,AC R BC R θθ==，所以22212sin cos sin 22S AC BC R R θθθ=⋅==，设AB 的中点为O ，连接,MO NO ，则,MO AC NO BC ⊥⊥,设MO 交AC 于点E ，则()cos 1cos 2BCME MO OE R R R R θθ=-=-=-=-，则()21||||sin 1cos 2AMC S AC ME R θθ=⋅=- ，同理求得()2cos 1sin BNC S R θθ=- ，故()()()2221sin 1cos cos 1sin sin cos 2sin cos S R R Rθθθθθθθθ=-+-=+-.【小问2详解】由（1）的结论可得()2122sin cos 2sin cos sin cos 12sin cos 2sin cos R S S R θθθθθθθθθθ+-+==-，令πsin cos ,0,2t θθθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则(π)4t θ=+∈，故22sin cos 1t θθ=-，所以12211111S t S t t t=-=---，由于(t ∈，1y t t =-在(上单调递增，则12(0,]2t t-∈，故1111t t-≥-，即12S S1-.21.对于函数()f x （x D ∈），若存在非零常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 函数”，若对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则称函数()f x 为“严格T 函数”．（1）求证：()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”；（2）若函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，求k 的取值范围；（3）对于定义域为R 的函数()f x ，()00f =．函数()sin f x 是奇函数，且对任意的正实数T ，()sin f x 均是“严格T 函数”．若()π2f a =，()π2f b =-，求a b +的值【答案】（1）证明见解析（2）[2,)π+∞（3）0【解析】【分析】（1）取非零常数2πT =，证明函数满足()()f x T f x +≥即可；（2）根据函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，可推出22ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，化简为cos 22πk x ≥-，结合余弦函数性质可得答案；（3）由“严格T 函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合()sin f x 是奇函数，利用其对称性即可求得答案.【小问1详解】证明：取非零常数2πT =，则对任意的x ∈R ，都有()2πsin(2π)sinx f x x +=+=，因为sin sin x x ≥，即()()f x T f x +≥成立，故()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”.【小问2详解】函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，R D =，则()π2f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即22ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得cos 22πk x ≥-，而cos 2[1,1]x ∈-，故π21,2πk k ≥∴≥，即k 的取值范围为[2,)π+∞；【小问3详解】因为对于任意x ∈R ，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则()f x 在R 上为单调增函数，令()()sin g x f x =，x ∈R ，由题意知()()sin g x f x =为奇函数，因为()π2f a =，()π2f b =-，所以()sin(())1,()sin(())1g a f a g b f b ====-，所以()()0g a g b +=，则0a b +=.【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题.。
上海市(沪教版)高中数学高一(下)期中数学试卷试题节选(25份期中节选题 )
上海市高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计36分）1．已知角α的终边在射线y =−43x(x ≤0)上，sin α+cos α＝ ；2．一扇形的中心角为π3弧度，中心角所对的弦长为2cm ，则此扇形的面积为 cm 2；3．若θ∈（π4，π2），sin2θ=116，则cos θ﹣sin θ的值是 ． 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，则b ＝ ．12．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC 的面积S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]．其中a ，b ，c分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边．若b ＝2，且tan C =√3sinB1−3cosB，则△ABC 的面积S 的最大值为 ．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ．若c ﹣a cos B ＝（2a ﹣b ）cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形14．张晓华同学骑电动自行车以24km /h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是（ ）A ．2kmB ．3√2kmC ．3kmD ．2√2km19．如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂足的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；1．设sinα＜0且tanα＞0，则α所在的象限是．4．已知sin(α+π2)=13，α∈(0，π2)，则tanα＝．5．若tan（α−π4）=16．则tanα＝．9．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则cos（α﹣β）＝．10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为．14．已知sin(π4−α)=m，则cos(5π4+α)=（）A．m B．﹣m C．√1−m2D．−√1−m217．已知函数f(x)=1−√2sin(2x−π4)cosx，（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且tanα=−43，求f（α）的值．20．如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cos A=1213，cos C=35．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？一.填空题1．已知角θ的终边在射线y ＝2x （x ≤0）上，则sin θ+cos θ＝ ．2．若π＜α＜3π2，则√12+12√12+12cos2α= ．4．在△ABC 中，若sinAsin(π2−B)=1−cos(π2−B)cosA ，则△ABC 为 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）5．若cos(α+β)=35，cos(α−β)=45，则tan αtan β＝ ．二.选择题13．若−π2＜α＜0，则点（cot α，cos α）必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限三.简答题 17．求证：sin(2α+β)sinα−2cos （α+β）=sinβsinα．18．已知tan2θ=−2√2，θ∈(π4，π2)． （1）求tan θ的值；（2）求2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(π4+θ)的值．上海市实验中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共70分）1．已知角α的终边经过点P（3，√3），则与α终边相同的角的集合是．2．方程lg（x﹣3）+lgx＝1的解x＝．3．关于x的方程πx=a+12−a只有正实数解，则a的取值范围是．4．若tanα=13，tan(α+β)=12，则tanβ＝．5．已知sin（α+π6）=13，则cos（2α−2π3）的值是．7．若3sinα+cosα＝0，则1cos2α+2sinαcosα的值为．9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3√15，b﹣c＝2，cos A=−14，则a的值为．二、选择题：11．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．下列结论中错误的是（）A．若0＜α＜π2，则sinα＜tanαB．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角C．若角α的终边过点P（3k，4k）（k≠0），则sinα=4 5D．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度三、解答题：15．已知tanα＝2．（1）求tan（α+π4）的值；（2）求sin2αsin2α+sinαcosα−cos2α−1的值．16．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sin C．（Ⅰ）若a＝b，求cos B；（Ⅱ）设B＝90°，且a=√2，求△ABC的面积．17．已知实数x满足32x﹣4−103•3x﹣1+9≤0，且f(x)=log2x2⋅log2√x2．（1）求实数x 的取值范围；（2）求f （x ）的最大值和最小值，并求此时x 的值． 四．附加题19．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x +b +c log x 2＝0，甲写错了常数b ，得两根14，18；乙写错了常数c ，得两根12，64．求这个方程的真正根．上海市七宝中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：（本题一共12小题，前6小题4分，后6小题5分，共计54分） 1．已知−2π3≤θ≤π6，求sin θ的范围 ． 2．方程log 2（x +4）+log 2（x +2）＝3+log 2（x +6）的解是 ． 4．已知sin x =−13，且−π2＜x ＜π2，则tan （π2+x ）＝ ．5．满足tan x ＜√3且x ∈（0，π）的x 的集合为 ． 7．若α的终边在第一、三象限的角平分线上，则√1−sin 2α+√1−cos 2αcosα= ．8．已知π2＜α＜π，﹣π＜β＜0，tan α=−13，tan β=−17，则2α+β＝ ． 9．锐角△ABC 中，ba +a b=6cosC ，则tanCtanA+tanC tanB= ．10．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是 ．11．已知0＜θ＜π2，若cos 2θ+2m sin θ﹣2m ﹣2＜0对任意实数θ恒成立，则实数m 应满足的条件是 ．12．已知α，β∈（0，π2），sin α=35，cos （α+β）=−1213，则sin β＝ ．二、选择题（每小题5分，共计20分）13．已知θ∈（0，2π），且sin θ＜tan θ＜cot θ，那么θ的取值范围是（ ） A ．(π4，π2)B ．(π，5π4)C ．(5π4，3π2)D ．(π2，3π4)14．角α终边上一点P （2sin5，﹣2cos5），α∈（0，2π），则α＝（ ） A ．5−π2B ．3π﹣5C ．5D ．5+π215．在锐角△ABC 中，A ＝2B ，则a b的取值范围是（ ） A ．(0，√2)B ．(√2，√3)C ．(√3，2)D ．(√2，2)16．已知0＜α＜π2＜β＜π，cosα=35，sin(α+β)=−35，则cos β的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣1或−725C ．−2425D ．±2425三、解答题：（本题共5小题，共计76分）17．已知f （α）=sin(π−α)cos(2π−α)tan(−α+3π2)cos(−π−α)（1）求f （−31π3）（2）若2f （π+α）＝f （π2+α），求sinα+cosαsinα−cosα+cos 2α（3）若f （α）=35，求sin α，cos α18．一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile 的海面上有一走私船正以10nmile /h 的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile /h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值．19．（16分）已知函数f （x ）＝log 2（4x +1）﹣ax ． （1）若函数f （x ）是R 上的偶函数，求实数a 的值； （2）若a ＝4，求函数f （x ）的零点．上海市金山中学高一（下）期中数学试卷一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题4分，共54分）1．函数y＝2sin（3x+π6）的最小正周期为．2．已知扇形半径为1，圆心角为2，则扇形的面积为．3．（上海卷理8）对任意不等于1的正数a，函数f（x）＝log a（x+3）的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是4．已知角α的终边经过点P（m，﹣3），且cosα=−45，则m＝．5．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝．7．设sin2α＝﹣sinα，α∈（π2，π），则tan2α的值是．8．已知tan（π﹣α）=−12，则cos(π2+α)+cosα2cosα−sinα的值是．9．已知0＜y＜x＜π，且tan x tan y＝2，sinxsiny=13，则x﹣y＝．11．已知θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=−25，则sinθ+cosθ＝．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若acosA =b2cosB=c3cosC，则A＝．二.选择题（每小题5分，共20分）13．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A．b＝20，A＝45°，C＝80°B．a＝30，c＝28，B＝60°C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝12，c＝15，A＝120°三.解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17．已知f（x）＝log2（2x﹣1）．（1）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）解方程f（2x）＝f﹣1（x）．18．已知sin（2α﹣β）=35，sinβ=−1213，且α∈（π2，π），β∈（−π2，0），求sinα的值．20．（16分）如图所示，扇形AOB ，圆心角∠AOB 的大小等于π3，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB ̂于点P ． （1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设∠COP ＝θ，求△COP 面积的最大值及此时θ的值．上海市交大附中高一（下）期中数学试卷一、填空题1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝ ．3．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 cm ． 4．设sin α=35，α∈（π2，π），则tan α的值为 ．6．若cos x cos y +sin x sin y =13，则cos （2x ﹣2y ）＝ ．8．关于x 的方程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，则a 的取值范围是 ． 10．已知sin α＝3sin （α+π6），则tan （α+π12）＝ ． 11．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足cosAsinA 1=cosB sinB 1=cosC sinC 1=1，则称△A 1B 1C 1是△ABC 的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC 存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为 ． 三、解答题17．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α，β满足{5√3sinα+5cosα=8√2sinβ+√6cosβ=2（1）求cos(α+π6)的值． （2）求cos （α+β）的值．18．如图，等腰三角形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD 大小为α，∠CAD 大小为β．（1）若α=π4，β=π3，求BD DC ；（2）若BD DC=12，β=α+π3，求∠B ．19．某景区欲建两条圆形观景步道M 1，M 2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AD ＝60（单位：米），要求圆M 与AB ，AD 分别相切于点B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ．（1）若∠BAD=π3，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(√3sinB−cosB)(√3sinC−cosC)=4cos B cos C．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sin B＝p sin C，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．上海市黄浦区大同中学高一（下）期中数学试卷一、填空题1．已知α是第一象限角，则π﹣α是第象限角．2．设α角属于第二象限，且|cos α2|＝﹣cosα2，则α2角属于象限．3．已知sinα+cosα=12，则tanα+cotα的值为．4．若sin(α+β)=12，sin(a−β)=13，则tanαtanβ=．6．△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2√3b，sin2A−sin2B=√3sinBsinC，则A＝．二、选择题11．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形三、解答题15．已知0＜α＜π2＜β＜π，cosβ=−13，sin（α+β）=79，求sinα的值．16．已知tan(α+π4)=3，求下列各式的值：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)；（2）sin2α﹣2cos2α．18．在△ABC中，a2﹣b2+c2＝ac，log4sin A+log4sin C＝﹣1，A＝C，且△ABC的面积S=√3．（1）求角A的大小；（2）求边b的长．上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一.填空题1．弧度数为3的角的终边落在第 象限． 2．cos 23π8−sin 23π8= ． 5．在△ABC 中，∠A =2π3，a =√3c ，则ab= ．8．已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ−π4）＝ ． 二.选择题11．已知sinα=√1010，sin(α−β)=−√55，α，β∈(0，π2)，则β＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π613．“sin α＜0”是“α为第三、四象限角”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件三.简答题15．在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． （1）求∠B 的大小；（2）求cos A +√2cos C 的最大值．上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．半径为2，圆心为300°的圆弧的长为．3．在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝3x上，则sin2θ＝．5．已知锐角α，β满足cosα=35，cos（α+β）=−513，求cosβ．7．若长度为x2+4，4x，x2+6的三条线段可以构成一个锐角三角形，则x取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．若MP和OM分别是角7π6的正弦线和余弦线，则（）A．MP＜OM＜0B．OM＞0＞MP C．OM＜MP＜0D．MP＞0＞OM14．已知α，β∈(0，π2)，则下列不等式一定成立的是（）A．sin（α+β）＜sinα+sinβB．sin（α+β）＞sinα+sinβC．cos（α+β）＜sinα+sinβD．cos（α+β）＞cosα+cosβ三、解答题（本题共5大题，满分56分）17．已经cos（2θ﹣3π）=725，且θ是第四象限角，（1）求cosθ和sinθ的值；（2）求cos(π2−θ)tanθ[cos(π+θ)−1]+sin(θ−3π2)tan(π−θ)cos(−θ)的值．19．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a cos C+12c＝b．（1）求角A的大小；（2）若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．2015-2016学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（4*10＝40分）3．若tan θ＝﹣3，则sin θ（sin θ﹣2cos θ）＝ ．7．若0＜θ＜π2，则cos θ，cos （sin θ），sin （cos θ）的大小顺序为 ． 二、选择题（4*4＝16分）12．α，β∈（π2，π），且tan α＜cot β，则必有（ ）A ．α＜βB ．α＞βC ．α+β＜3π2D ．α+β＞3π2三、解答题（8+10+12+14＝44分）15．已知α，β∈（0，π），并且sin （5π﹣α）=√2cos （72π+β），√3cos（﹣α）=−√2cos （π+β），求α，β的值．17．已知函数y =sinθcosθ2+sinθ+cosθ．（1）设变量t ＝sin θ+cos θ，试用t 表示y ＝f （t ），并写出t 的范围； （2）求函数y ＝f （t ）的值域．上海中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共33分）1．角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），则sin θ＝ ．5．若π＜θ＜3π2，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ= ．8．若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立，则x ，y 应满足的条件为 ． 二、选择题（每题4分，共16分）12．下列各组角中，终边相同的角是（ ） A ．k2π与kπ+π2（k ∈Z ）B ．kπ±π3与k 3π（k ∈Z ） C ．（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ） D ．kπ+π6与kπ±π6（k ∈Z ）15．已知α、β∈R ，且设p ：α＞β，设q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α，则p 是q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件三、解答题16．已知关于x 的方程169x 2﹣bx +60＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(π4，3π4)． （1）求实数b 的值； （2）求sinθ1−cosθ+1+cosθsinθ的值．5．已知sin θ＝2cos θ，则tan2θ的值为 ．6．已知角α的终边位于函数y ＝﹣3x 的图象上，则cos2α的值为 ． 8．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，c ＝13，则角C 的大小为 ． 9．在△ABC 中，已知A ＝45°，B ＝105°，则ac 的值为 ．10．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝8，并且△ABC 的面积为10，则角C 的大小为 ． 11．已知sin α=1213，并且α是第二象限角，则tan α2的值为 ． 12．化简：cos （44°+θ）cos （θ﹣33°）+sin （θ﹣46°）sin （57°+θ）＝ ． 13．cos x −√3sin x 可以写成2sin （x +φ）的形式，其中0≤φ＜2π，则φ＝ ． 17．化简cos （2π﹣θ）cos2θ+sin θsin （π+2θ）所得的结果是（ ） A ．cos θ B ．﹣cos θC ．cos3θD ．﹣cos3θ一、填空题（每题3分，共计30分）1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是．2．已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P（﹣4，3）是角α终边上一点，则sinα+2cosα＝．4．已知cosx=35，x∈(−π2，0)，则tan2x＝．5．在△ABC中，若a＝4，b＝3，c＝2，则△ABC的最小角为（用反三角函数表示）6．已知sin(π2−α)=−45，α为第二象限角，则tanα2=．7．已知tan（π﹣x）＝3，则sin2x＝．二、选择题（每题4分，共计16分）11．△ABC中，“A＞B”是“cos A＜cos B”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b＝10，A＝45°，C＝60°B．a＝6，c＝5，B＝60°C．a＝7，b＝5，A＝60°D．a＝3，b＝4，A＝45°三、解答题（第15题8分，第16题10分，第17、18、19题各12分）15．已知0＜α＜π2，−π2＜β＜0，cos(α−β)=35，且tanα=34，求tan(β+π4)的值？16．位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20√2海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，AC=5√13．在离观测站A的正南方某处E，cos∠EAC=−2√1313（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．17．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=√5，b＝3，sin C＝2sin A．（1）求c的值；（2）求cos2A的值和三角形ABC的面积．上海市杨浦高中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．角α的终边经过点P （﹣4，3），则2sin α﹣cos α＝ ．2．扇形的圆心角为π3，它所对的弦长是3 cm ，则此扇形的面积为 cm 2．3．已知α是第三象限角，且sin(α−72π)=−15，则sin(π−α)cos(2π−α)tan(−α+32π)cot(−α−3π)sin(−π2−α)= ．4．如果sinα=23，cosβ=−14，α与β为同一象限角，则cos （α﹣β）＝ ． 5．已知θ是第二象限角，且sin 4θ+cos 4θ=59，则sin2θ＝ ． 6．sin 2(α−π6)+sin 2(α+π6)−sin 2α= ．7．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，sinA =√33，则△ABC 的面积是 ． 8．在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：2：4，则cos C 的值为 ． 9．若tanα2=12，则sin α+cos α＝ ． 10．已知tan α，t αn β是方程x 2﹣3x ﹣3＝0的两个根，求sin 2（α+β）﹣3sin （α+β）cos （α+β）﹣3cos 2（α+β）的值．二、选择题（每题4分共16分） 13．有下列命题①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不相等； ③若sin α＞0，则是α第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P （x ，y ）是其终边上一点，则cos α=√，其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．414．下列命题中不正确的是（ ）A ．存在这样的α和β的值，使得cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin βC ．对于任意的α和β，都有cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin βD ．不存在这样的α和β值，使得cos （α+β）≠cos αcos β﹣sin αsin β 15．已知sin （π3+a ）=513，且a ∈（π6，2π3），则sin （π12+a ）的值是（ ） A ．17√226B ．−7√226C ．−17√226D ．7√226三、解答题（共48分）17．已知θ是第四象限角，且sinθ+cosθ=15，求值： （1）sin θ﹣cos θ； （2）tan θ．18．已知α∈(π4，π2)，化简√1+sinα+√1−sinα−√2+2cosα．19．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为5√6米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以 （米/秒）的速度匀速升旗．21．已知sin （2α+β）＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，y ＝f （x ）． （1）求证：tan （α+β）＝2tan α； （2）求f （x ）的解析式；（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f （x ）的值域．上海市徐汇区南洋中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，满分36分）1．若半径为2的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角大小为 ．（用弧度制表示） 2．角α的终边上有一点P （﹣3，4），则sin α值为 ．4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ． 8．已知α∈(0，π2)，sinα=35，则cos(π−α2)= ．9．设tan （α+β）=25，tan （β−π4）=14，则tan （α+π4）＝ ． 10．函数y =sinx−1sinx+2的值域是 ．二、选择题（每题4分，满分20分）14．已知α为第四象限角，则α2所在的象限为（ ）A ．第二象限B ．第二或第四象限C ．第一象限D ．第一或第三象限16．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A 2，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形三、解答题（10+10+10+14）18．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝2√3，AC ＝2，求△ABC 的面积 ． 19．已知tan(π4−α)=−12，α∈(π，32π)，求cos α﹣sin2α的值．上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P （4，y ）是角θ终边上的一点，且sin θ=−2√55，则y ＝ ．2．设扇形AOB 的周长为8 cm ，若这个扇形的面积为4 cm 2，则圆心角的弧度数为 ． 3．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为 千米．4．已知tanα=12，则sin2α的值为 ．8．已知tan α＝1，3sin β＝sin （2α+β），求tan （α+β）的值．16．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C ﹣sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ） A ．（0，π6]B ．[π6，π）C ．（0，π3]D ．[π3，π）三、解答题19．已知α∈(π2，π)，sinα=45． （1）求sin(π4+α)的值； （2）求cos(5π6−α2)的值．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C +cos C ＝1﹣sin C2（1）求sin C 的值（2）若a 2+b 2＝4（a +b ）﹣8，求边c 的值．21．半圆O 直径为2，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，C 为半圆外异于A 的点，以AB 为边按顺时针方向作正△ABC ，问B 在何位置时，四边形OACB 面积最大？上海市位育中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，共36分）1．设P （3，y ）是角α终边上的一个点，若cosα=35，则y ＝ ． 2．半径为3，圆心角等于2π5的扇形的面积是 ．3．若cot x ＝2，则3sinx−2cosx 2sinx−3cosx= ．4．已知tan a =12，则sin2a ＝ ． 8．函数y =4−cosx2cosx+3的值域为 ．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b 2c =tanB tanC，则△ABC 的形状是 ．11．在钝角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围为 ．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件15．下列四个命题，其中是假命题的是（ ）A ．不存在无穷多个角α和β，使得sin （α+β）＝sin αcos β﹣cos αsin βB ．存在这样的角α和β，使得cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin βC ．对任意角α和β，都有cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin βD ．不存在这样的角α和β，使得sin （α+β）≠sin αcos β+cos αsin β16．已知奇函数f （x ）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A ．f （cos α）＞f （cos β） B ．f （sin α）＞f （sin β） C ．f （sin α）＜f （cos β） D ．f （sin α）＞f （cos β）三、解答题：（共52分）17．已知α，β为锐角，cos α=45，tan （α﹣β）=−13，求cos β的值．19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且sinA a=√3cosBb． （1）求角B 的大小；（2）如果b ＝2，求△ABC 面积的最大值．20．如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且α∈(π6，π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B ．记A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． （Ⅰ）若x 1=13，求x 2；（Ⅱ）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ．记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2．若S 1＝2S 2，求角α的值．上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限． 2．若cos α=−45，且α∈（0，π），则tan α＝ ．3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为 ． 4．若sin （π+x ）+cos （π+x ）=12，则sin2x ＝ ． 6．若5π2≤α≤7π2，则√1+sinα+√1−sinα= ． 9．已知α，β∈(3π4，π)，sin(α+β)=−725，sin(β−π4)=45，则sin(α+π4)的值＝ ． 10．设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP ＜OM ＜0；②OM ＜0＜MP ；③OM ＜MP ＜0；④MP ＜0＜OM ， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，∠A ＝60°，a =√3．则c +2b 的最大值为 ．二、选择题（每小题3分，共12分） 13．若α为第一象限角，则α2为（ ）A ．第一象限的角B ．第一或第四象限的角C ．第一或第三象限的角D ．第二或第四象限的角14．若sin αcos （α﹣β）﹣cos αsin （α﹣β）＝m ，且β为钝角，则cos β的值为（ ） A ．±√1−m 2B ．√1−m 2C ．±√m 2−1D ．−√1−m 215．若满足∠A ＝30°，BC ＝10的△ABC 恰好有不同的两个，则边AB 长的取值范围为（ ） A ．（5，10） B ．（10，20）C ．[20，+∞）D ．（5，10）∪[20，+∞）16．设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中的正确的个数是（ ） （1）cos α＞sin β （2）sinα+sinβ＜√2 （3）cos α+cos β＞1 （4）12tan(α+β)＜tanα+β2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（8分+10分+12分+10分+12分）17．已知α是第三象限角，化简：cos(π2+α)cos(2π−α)tan(−α+3π2)cot(−α−π)sin(−π−α)．18．已知tan(π4+α)=12（1）求tan α的值 （2）求sin2α−cos 2α2+cos2α的值．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B +C ）＝1． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =5√3，b ＝5，求sin B sin C 的值； （3）若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．20．如图，摄影爱好者在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30°，已知摄影爱好者的身高约为√3米（将眼睛S 距地面的距离SA 按√3米处理）（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB 和立柱的高度OB（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN ，且MN 绕其中点O 在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN 的视角∠MSN 是否存在最大值？若存在，求出∠MSN 的最大值；若不存在，请说明理由．上海市闵行区七宝中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分30分）1．已知点M （tan α，cos α）在第二象限，则角α的终边在第 象限．2．sin(π−α)cos(4π−α)tan(−α+5π2)cos(−α−π)sin(−α−π)的值为 ．3．化简sinacosacos 2a−sin 2a−tana 1−tan 2a= ．4．设tan （α+β）=25，tan （β−π4）=14，则tan （α+π4）＝ ． 5．三角形的三条高的长度分别为113，110，15，则此三角形的形状是 ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得4分，否则一律得零分． 11．k ∈Z ，下列各组角的表示中，终边相同的角是（ ） A ．kπ2与kπ±π2B ．2k π+π与4k π±πC ．kπ+π6与2kπ±π6D ．kπ3与kπ+π315．已知−π2＜x ＜0，sinx +cosx =15． （1）求sin x ﹣cos x 的值； （2）求tan2x 的值．16．为了废物利用，准备把半径为2，圆心角为π3的扇形铁片余料剪成如图所示的内接矩形ABCD ．试用图中α表出内接矩形ABCD 的面积S ．17．如图，已知△ABC ，a 、b 分别为角A 、B 的对边，设A （b cos α，b sin α），∠AOB ＝β，D 为线段AB 的中点．定义：M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）的中点坐标为(x 1+x 22，y 1+y 22)． 若a ＝2，b ＝1，且点D 在单位圆上，求cos β的值．18．已知△ABC中，A＜B＜C，a＝cos B，b＝cos A，c＝sin C （1）求△ABC的外接圆半径和角C的值；（2）求a+b+c的取值范围．上海市金山中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（共36分，每小题3分）1．已知角α的终边过点P （﹣12，5），则tan α＝ ． 2．已知α是第一象限角，那么α2是第 象限角．3．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为 ． 4．若tan α=−13，则3sinα+2cosα2sinα−cosα= ．5．已知sin （π+α）=35，α∈(−π2，0)，则tan α＝ ．7．在△ABC 中，若sin 2A +sin 2B ＜sin 2C ，则该△ABC 是 三角形（请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形）．11．我们在高中阶段学习了六个三角比，则函数f （θ）＝|sin θ+cos θ+tan θ+cot θ+sec θ+csc θ|的最小值是 ．12．已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据： ①sin α，sin β，sin γ；②sin 2α，sin 2β，sin 2γ； ③cos 2α2，cos 2β2，cos 2γ2；④tan α2，tan β2，tan γ2；分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是 ． 二、选择题（共12分，每小题3分）13．已知α是第二象限角，且sin(π+α)=−35，则tan2α的值为（ ） A ．45B ．−237C ．−247D ．−83三、解答题（共52分，8分+10分+10分+12分+12分） 17．化简sin(θ−5π)cos(−π2−θ)cos(8π−θ)sin(θ−3π2)sin(−θ−4π)．19．如图所示，某建筑工地准备建造一间两面靠墙的三角形露天仓库堆放材料，已知已有两面墙CA 、CB 的夹角为60°（即∠ACB ＝60°），现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），为了使得仓库的面积尽可能大，记∠ABC ＝θ，问当θ为多少时，所建造的三角形露天仓库的面积最大，并求出最大值？上海市交大附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（共14题，每题3分，共42分）1．将时钟拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是 ． 2．已知sin θ=513，θ是第二象限的角，则tan θ＝ ． 3．已知cot （sin θ）•tan （cos θ）＞0，角θ是第几象限的角 ． 4．若α为第二象限角，则[sin(180°−α)+cos(α−360°)]2tan(180°+α)= ．7．对任意实数x ，不等式3sin x ﹣4cos x +c ＞0恒成立，则c 的取值范围是 ． 8．在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝60°，∠D ＝120°，对角线AC 长为4，则对角线BD 的长为 ．二、选择题（共4题每题4分，共16分） 15．在△ABC 中，sin A ＝sin B 是A ＝B 的（ ） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．若α、β∈[−π2，π2]，且αsin α﹣βsin β＞0，则下面结论正确的是（ ） A ．α＞βB ．α+β＞0C ．α＜βD ．α2＞β2三、解答题（共4题，共42分）19．在△ABC 中，cos B =−513，cos C =45． （1）求sin A 的值（2）设△ABC 的面积S △ABC =332，求BC 的长．21．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD ）的池底水平铺设污水净化管道（Rt △FHE ，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别落在线段BC ，AD 上．已知AB ＝20米，AD =10√3米，记∠BHE ＝θ．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）若sinθ+cosθ=√2，求此时管道的长度L ；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．扇形的半径为1cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为 cm 2． 2．已知角α的终边过点P （﹣5，12），则cos α＝ ． 3．已知sin(π−α)=14，α∈(π2，π)，则sin2α＝ ． 4．已知α是锐角，则log cosα(1+tan 2α)= ． 5．化简：sin(π−α)tan(π+α)⋅cot(π2−α)sin(π2+α)⋅cos(−α)sin(2π−α)= ．6．若α是第三象限角，且sin(α+β)cosβ−sinβcos(α+β)=−1213，则tan α2= ． 7．在△ABC 中，若b ＝1，c =√3，∠C =2π3，则S △ABC ＝ ． 8．隔河测算A ，B 两目标的距离，在岸边取C ，D 两点，测得CD ＝200m ，∠ADC ＝105°，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝120°，∠ACD ＝30°，则A ，B 间的距离 m ． 二、选择题（每小题4分，共16分）13．已知k ∈Z ，下列各组角的集合中，终边相同的角是（ ） A ．kπ2与 kπ±π2B ．2k π+π与4k π±πC ．kπ+π6与2kπ±π6 D ．kπ3与 kπ+π314．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则此三角形一定是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．形状不确定三、解答题（本大题共48分） 17．若1−tanA 1+tanA=2，求cot(π4+A)的值．18．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C =14 （Ⅰ）求△ABC 的周长； （Ⅱ）求cos （A ﹣C ）的值．20．如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO＝β．（1）用β表示α；（2）如果sinβ=45，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．一、填空题（每题4分，共48分）1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα＝．2．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为cm．3．若cosα=−13，则sin(3π2−α)=．4．若cosα=−45，α∈(π2，π)，则cos(α−π4)=．5．已知等腰三角形顶角的余弦值为−725，则这个三角形底角的正切值为．8．函数y=2cosx+12cosx−1的值域为．9．在△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosCcosB=2a−cb，则角B＝．二、选择题（每题5分，共20分）14．在△ABC中，下列命题中，真命题的个数为（）①∠A＞∠B是sin A＞sin B的充要条件；②∠A＞∠B是cos A＜cos B的充要条件；③∠A＞∠B是tan A＞tan B的充要条件；④∠A＞∠B是cot A＜cot B的充要条件．A．1B．2C．3D．4三、解答题（共5题，共计52分）18．已知tan(α+π4)=3，求下列各式的值：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)；（2）sin2α﹣2cos2α．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，C=π3．（1）若△ABC的面积为√3，求a，b；（2）若sin C+sin（B﹣A）＝sin2A，求a，b．一、填空题（本大题满分42分）1．函数f（x）＝sin（2x+π4）的最小正周期为．2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝75°，B＝60°，b=√3，则c＝．3．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若a2＝b2+c2﹣bc，则角A＝．4．若cos（π+α）=−12，32π＜α＜2π，则sinα＝．5．函数y＝sin x−√3cos x的最小值为．6．若tan（α−π4）=14，则tanα＝．8．设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．9．已知角α的顶点在坐标原点上，角α的始边与x轴的正半轴重合，并且角α的终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上，则cosα＝．14．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a＝c sin B+b cos C，b=√2，则△ABC面积的最大值为．二、选择题（本大题满分12分）15．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限三、解答题（本大题满分46分）本大题共有6题20．（1）设α≠kπ2(k∈Z)，请运用任意角的三角比定义证明：tanα﹣cotα＝（sinα+cosα）（secα﹣cscα）．（2）设α≠kπ（k∈Z），求证：sin2α(cot α2−tanα2)=4cos2α．21．某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B在船的什么方向（精确到1°）？22．已知cos(x−π4)=√210，x∈(π2，3π4)，求sin(x−π4)，sinx，cos2x的值．。
2024-2025学年七年级数学上学期期中模拟卷(沪教版2024七上第10~12章)(考试版A4)
2024-2025学年七年级数学上学期期中模拟卷（沪教版2024）（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版第10章整式的加减+第11章整式的乘除+第12章12.2因式分解。
5．难度系数：0.7。
第一部分（选择题 共12分）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．在a ―1，0.3，1x ，―2m+n ，x 2―32，―23x 3y 2这些代数式中，单项式的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列各组式中，不是同类项的是（ ）A ．15x 3y 2和―7x 2y 3B ．5和―πC ．3ab 和―5baD ．3x 2y 和2x 2y3．以下能用平方差公式的是（ ）A ．(2a +b )(a ―2b )B ．(a ―b )(b ―a )C ．(a ―b )(―a ―b )D ．(a +b )(―a ―b )4．下列计算中，正确的是（ ）A ．a 3+a 3=a 6B ．a 3⋅a 2=a 6C ．(a 3)2=a 9D ．(―a 2)3=―a 65．下列从左到右变形，是因式分解的是（ ）A ．a(2a 2+5ab ―b 2)=2a 3+5a 2b ―ab 2B ．(x +5y)(x ―5y)=x 2―25y 2C．x2―y2=(x+y)(x―y)D．2x2―3x+1=x(2x―3+1)6．图（1）是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．ab B．(a+b)2C．(a―b)2D．a2―b2第二部分（非选择题共88分）二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）7．多项式―3x2+4xy―2y3+6y2中，其中三次项的系数是．58．把多项式6x2y―2xy―5x3y2+3y4―4x4按字母x的升幂排列是．9．已知单项式―1x m+n y3与―2xy n―1的和为单项式，则|m―n|=．210．计算：0.1252025×(―64)1012=．11．若3x=2，3y=5，则32x―y=．12．因式分解：x4―16=．13．计算：(x+2y―y=．14．一个长方形的面积为(6ab2―4a2b)，一边长为2a，则它的另一边长为．15．已知(2024―a)(2022―a)=16，那么(a―2023)2=．16．若多项式4x2―mx+64是一个完全平方式，则m=．17．已知(x2+mx+1)(x―n)的展开式中不含x项，x2项的系数为―2，则mn+m―n的值为．18．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此表揭示了(a+b)n（n为非负数）展开式的各项系数的规律，如：(a+b)2=a2+2ab+b2，它的系数分别为1，2，1．若y=(x―1)4展开得y=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，那么a0―a1+a2―a3+a4的值为．三、简答题（每题5分，共30分．）19．（5分）计算：(x2)3+(x3)2+(―x2)3+(―x3)2 20．（5分）计算：(2x―1)2―2(x―2)(x+6) 21．（5分）计算：(2a-b+3c)(2a+b-3c)22．（5分）计算：4x3y2―3x2y2―12x2y5÷―12xy．23.（5分）分解因式：-3a3b3+ 6a2b2- 3ab24．（5分）因式分解：(m 2+16n 2―9mn )2―m 2n 2．四、解答题（第25、26、27题每题8分，第28题10分，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）25．（8分）已知多项式A 、B ，其中B =5x 2+3x ―4，马小虎同学在计算“A +B ”时，误将“A +B ”看成了“A ―B ”，求得的结果为12x 2―6x +7．(1)求多项式A ；(2)求出A +B 的正确结果．26．（8分）先化简，再求值：2xy ⋅―[3xy 2―2(x 2y ―12xy 2)]―(―2x 2y)．其中x =―1，y =12．27．（8分）已知a +b =5，ab =32，求下列式子的值：(1)a 2―ab +b 2；(2)(a ―b )2．28．（10分）如图1，已知并排放置的正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n(m>n)，A、B、E 三点在一直线上，且正方形ABCD和正方形BEFG的面积之差为12．(1)用含有m、n的代数式，表示图中阴影部分的面积；(2)DG、CF，则四边形DGFC的面积是多少？(3)图中正方形BEFG绕点B顺时针旋转90°后的对应图形BE′F′G′，连接DE′、CF′，若四边形DE′F′C的面积是18，求m、n的值．。
2021上海沪教新版高一数学下学期同步练习6.1.3任意角的三角函数详解版(01)
6.1.3任意角的三角函数（作业）一、单选题1．（2020·上海静安区·高一期末）设3sin 5α=-，4cos 5α=，那么下列的点在角α的终边上的是（ ） A ．()3,4-B ．()4,3-C ．()4,3-D ．()3,4-2．（2020·上海高一课时练习）若角α的终边经过点(5,12)P -，则sin tan αα+的值为( )A ．125-B ．513C ．9665-D ．1213-3．（2020·上海高一课时练习）若点(1,)P y 是角α终边上一点，且cos α=y 的值为( )AB ．C ．D ．无法确定4．（2020·上海高一课时练习）若点(5,0)P -为角α终边上一点，则下列三角比不存在的是（ ） A ．sin αB ．cos αC ．sec αD ．cot α5．（2019·上海市文来中学高一期末）“tan 3x =-”是“56x π=”的（ ）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件.D ．既非充分也非必要条件.6．（2017·上海市七宝中学高一期中）角α终边上一点()(2sin5,2cos5),0,2P απ-∈，则α=（ ） A ．52π-B ．35π-C ．5D ．52π+7．（2016·上海虹口区·上外附中高一期中）锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，则角α的弧度数为（ ） A ．3π-B ．3π-C ．32π-D ．32二、填空题8．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）若角α的终边经过点P (3m ，-4m )(m <0)，则sin α+cos α=_____.9．（2017·上海市金山中学高一期中）已知角α的终边经过点(),3P m -，且，则m 等于__________．4cos 5α=-10．（2016·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4m α=，则tan α的值为________. 11．（2020·上海市进才中学高一期中）求值：πarccos sin 3⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 三、解答题12．（2020·上海高一课时练习）已知3x π=是方程()2cos 1x α+=的解，其中()0,2απ∈，求α的值.13．（2020·上海高一课时练习）已知角θ终边上一点P （异于原点）与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为4∶3，且cos 0θ<，求sin ,tan θθ的值.14．（2020·上海高一课时练习）解方程：()2sin 5150︒-=x (x 为锐角).15．（2020·上海高一课时练习）已知cos 0α>且tan 0α<. （1）求角α的集合； （2）若cos02α<，求角2α终边所在象限； （3）判断tan,sincos222ααα的符号.16．（2020·上海高一课时练习）已知角α的终边与直线3y x =-重合，求角α的正弦、余弦和正切值.17．（2018·上海市北虹高级中学高一期中）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()3,4,0P t t t ->，求sin cos αα+的值.6.1.3任意角的三角函数（作业）一、单选题1．（2020·上海静安区·高一期末）设3sin 5α=-，4cos 5α=，那么下列的点在角α的终边上的是（ ） A ．()3,4- B ．()4,3-C ．()4,3-D ．()3,4-【答案】B【分析】利用任意角的三角函数的定义逐个分析判断即可 【详解】解：对于A ，若点()3,4-在角α的终边上，则43sin ,cos 55y x r r αα====-，所以A 错误；对于B ，若点()4,3-在角α的终边上，则3sin 5α=-，4cos 5α=，所以B 正确； 对于C ，若点()4,3-在角α的终边上，则3sin 5α=，4cos 5α=-，所以C 错误；对于D ，若点()3,4-在角α的终边上，则4sin 5α=-，3cos 5α=，所以D 错误，故选：B【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题2．（2020·上海高一课时练习）若角α的终边经过点(5,12)P -，则sin tan αα+的值为( )A ．125-B ．513C ．9665-D ．1213-【答案】C【分析】利用三角函数的定义求出sin α、tan α即可求解. 【详解】由角α的终边经过点(5,12)P -， 则12sin 13α==，1212tan 55α==--， 所以121296sin tan 13565αα+=-=-.故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键，考查了基本运算能力，属于基础题.3．（2020·上海高一课时练习）若点(1,)P y 是角α终边上一点，且cos α=y 的值为( )A B ．C ．D ．无法确定【答案】B【分析】根据三角函数的定义，建立关于y 的方程，解得y 的值即可．【详解】∵点(1,)P y 是角α终边上一点，且cos α=，∴cos α==，化简得：2112y +=，解之得：y =．故选：B .【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，侧重考查学生对基础知识的理解和掌握，属于基础题.4．（2020·上海高一课时练习）若点(5,0)P -为角α终边上一点，则下列三角比不存在的是（ ） A ．sin α B ．cos αC ．sec αD ．cot α【答案】D【分析】根据三角比的概念对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】由题意点(5,0)P -为角α终边上一点，则5r OP ==.所以0sin 05y r α===，-5cos 15x r α===-，5sec 1-5r x α===- 由cot xyα=，因为0y =，所以cot α不存在.故选：D 【点睛】本题考查三角函数的定义的应用，利用定义求对应的三角比，属于基础题.5．（2019·上海市文来中学高一期末）“tan x =”是“56x π=”的（ ）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件.D ．既非充分也非必要条件.【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义，即可判断.【详解】由56x π=，可推出tan 3x =-，而由tan x =()56x k k Z ππ=+∈，有多个解，即不能推出56x π=，故“tan x =56x π=”的必要非充分条件.故选：B【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义以及三角函数值与角的关系，属于基础题. 6．（2017·上海市七宝中学高一期中）角α终边上一点()(2sin5,2cos5),0,2P απ-∈，则α=（ ） A ．52π-B ．35π-C ．5D ．52π+【答案】A【分析】根据任意角三角函数的定义，分别计算sin α与cos α，再根据诱导公式求解角α，即可.【详解】3522ππ<<，sin50∴<，cos50>令2r ====则2cos5sin cos502y r α-===-<，2sin 5cos sin 502x r α===< 所以角α在第三象限，即32ππα<<，由诱导公式可知，52πα=- 故选：A【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，以及诱导公式，属于中档题.7．（2016·上海虹口区·上外附中高一期中）锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，则角α的弧度数为（ ） A ．3π-B ．3π-C ．32π-D ．32【答案】C【分析】利用终边上的点确定正切值，结合终边所在的象限，从而得到角α的弧度数. 【详解】因为锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，所以sin(3)2cos32tan(3)tan(3)2sin 322cos t )a 32n (ππαππ---===--=--， 因为3(0,)22ππ-∈，所以32πα=-.故选：C【点睛】本题考查三角函数的定义、诱导公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 二、填空题8．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）若角α的终边经过点P (3m ，-4m )(m <0)，则sin α+cos α=_____.【答案】15【分析】利用任意角三角函数的定义求解即可． 【详解】由题意得：55r OP m m ====-则44sin 55y m r m α-===-，33cos 55x m r m α===-- 故431sin cos 555αα+=-=，故答案为：159．（2017·上海市金山中学高一期中）已知角α的终边经过点(),3P m -，且，则m 等于__________．4cos 5α=-【答案】－4【解析】由题意，4cos 5α==-，解得4m =-，故答案为4-.10．（2016·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4m α=，则tan α的值为________.【答案】3±或0 【分析】利用正弦函数的定义求出m ,利用正切函数的定义求出tan α的值.【详解】角α的终边上一点()P m根据正弦函数的定义得:sin 4m α==解得0m =或m =当0m =时,tan 0α=;当m =, tan 3α=-当m =, tan 3α=则tan α的值为:或0故答案为: 或0. 【点睛】本题考查三角函数的定义,掌握三角函数的定义是解本题关键,考查学生的计算能力,是基础题.11．（2020·上海市进才中学高一期中）求值：πarccos sin 3⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．【答案】π6【分析】先求sin 32π=，再结合余弦函数的值，求arccos 2即可得解.【详解】sin 32π=，cos 62π=，πarccos sin 36π⎛⎫∴== ⎪⎝⎭.故答案为：π6 【点睛】本题考查了反余弦函数，重点考查了反余弦函数求值问题，属基础题.三、解答题 12．（2020·上海高一课时练习）已知3x π=是方程()2cos 1x α+=的解，其中()0,2απ∈，求α的值.【答案】43πα= 【分析】由已知条件得出1cos 32πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出角3πα+的取值范围，可得出角3πα+的值，进而可求得角α的值. 【详解】由题意可得2cos 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1cos 32πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 02απ<<，7333πππα∴<+<，则533ππα+=，解得43πα=. 【点睛】本题考查余弦方程的求解，考查计算能力，属于基础题.13．（2020·上海高一课时练习）已知角θ终边上一点P （异于原点）与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为4∶3，且cos 0θ<，求sin ,tan θθ的值. 【答案】当θ在第二象限时，44sin ,tan 53==-θθ；当θ在第三象限时，44sin ,tan 53=-=θθ. 【分析】根据cos 0θ<确定θ在第二象限或第三象限，讨论两种情况，结合距离之比为4∶3解得答案.【详解】cos 0θ<，故θ在第二象限或第三象限，当θ在第二象限时，()3,4P m m -，0m >， 故4sin 5θ==，44tan 33m m θ==--； 当θ在第三象限时，()3,4P m m --，0m >， 故4sin 5θ==-，44tan 33m m θ-==-. 综上所述：当θ在第二象限时，44sin ,tan 53==-θθ；当θ在第三象限时，44sin ,tan 53=-=θθ. 【点睛】本题考查了根据三角函数定义求三角函数值，意在考查学生的计算能力和应用能力，漏解是容易发生的错误.14．（2020·上海高一课时练习）解方程：()2sin 5150︒-=x (x 为锐角). 【答案】{}15,27,87︒︒︒【分析】由题意可得()5151,5435x ︒︒︒-∈-，转化条件为()sin 515x ︒-=，求得515x ︒-的值后，即可得解. 【详解】 x 为锐角，∴(),090x ︒︒∈，()5151,5435x ︒︒︒-∈-，又()2sin 5150︒-=x ，∴()sin 5152x ︒-=， ∴65015x ︒︒=-或120515x ︒︒=-或420515x ︒︒=-，∴15x ︒=或27x ︒=或87x ︒=，∴原方程的解集为{}15,27,87︒︒︒.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的应用，考查了运算求解能力，准确识记特殊角的三角函数值是解题关键，属于基础题.15．（2020·上海高一课时练习）已知cos 0α>且tan 0α<.（1）求角α的集合；（2）若cos 02α<，求角2α终边所在象限； （3）判断tan ,sin cos 222ααα的符号.【答案】（1）22,2k k k Z παπαπ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭；（2）2α终边在第二象限；（3）tan 0,sin cos 0222<⋅<ααα.【分析】（1）由三角函数值的符号可得α角的集合；（2）由（1）由不等式的性质可得2α的范围，可得所在象限； （3）由2α的象限可得三角函数值的符号，可得乘积的符号． 【详解】解：（1）cos 0α>，tan 0α<，所以α位于第四象限， α角的集合为22,2k k k Z παπαπ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭； （2）由（1）可得22,2k k k Z παπαπ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭；所以,242k k k Z απαππ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭； ∴2α终边在第二、四象限，又cos 02α<，所以2α终边在第二象限； （3）由（2）知2α终边在第二、四象限， 当2α终边在第二象限时tan 02α<，sin 02α>，cos 02α<，所以sin cos 022αα< 当2α终边在第四象限时tan 02α<，sin 02α<，cos 02α>，所以sin cos 022αα<综上可得tan 02α<，sin cos 022αα<【点睛】本题考查三角函数值的符号及象限角，属于基础题．16．（2020·上海高一课时练习）已知角α的终边与直线3y x =-重合，求角α的正弦、余弦和正切值.【答案】当α的终边在第二象限时，sin tan 310==-=-ααα；当α的终边在第四象限时，sin tan 310===-ααα【分析】在角α的终边上取一点(,3)(0)A a a a -≠，则|||r OA a ==，分0a >，0a <两种情况，结合三角函数的定义即可解决.【详解】在角α的终边上取一点(,3)(0)A a a a -≠，则||||r OA a ===，当0a >时，此时角α的终边在第四象限，r =，所以cos10x r α===，sin10y r α-===，tan 3y x α==-；当0a <时，此时角α的终边在第二象限，r =，所以cos10x r α===-，sin 10y r α===，tan 3y x α==-. 【点睛】本题主要考查已知终边的位置求三角函数值，涉及到三角函数的定义，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17．（2018·上海市北虹高级中学高一期中）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()3,4,0P t t t ->，求sin cos αα+的值. 【答案】15【分析】由()3,4,0P t t t ->，所以5OP t ==，再结合三角函数的定义运算即可得解.【详解】解：因为()3,4,0P t t t ->，所以5OP t ==， 由三角函数的定义可得：44sin 55t t α==，33cos 55t t -α==-， 即431sin cos ()555αα=+-=+. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，重点考查了t 符号问题，属基础题.。
2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷(沪教版八上第16章~18.2)(全解全析)
2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷（沪教版）（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版第16章二次根式+第17章一元二次方程+18.2正比例函数。
5．难度系数：0.7。
第一部分（选择题共12分）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列各式中属于最简二次根式的是（）．A B C D【答案】A属于最简二次根式，故正确；==故选：A．2x的值可以是（）A．3-B．2C．1D．0.5【答案】A【详解】解：由题意得02xx -≥，∴020x x ³ìí->î或020x x £ìí-<î，∴2x >或0x £，故选A ．3．如果2a b ==，那么a 与b 的关系是（ ）A ．a ＞b 且互为倒数 B ．a ＞b 且互为相反数C ．ab =-1D ．ab =1【答案】B【详解】解：∵b ==(2-0<，20a =>，a b =-，∴a ＞b 且互为相反数．故选B ．4．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．()()130x x -+=B ．20ax bx c ++=（其中a 、b 、c 是常数）C ．2211x x-=D ．()()2321x x x --=-【答案】A【详解】解：A ．()()130x x -+=，整理，得2230x x +-=，是一元二次方程，故符合题意；B ．当a=0时，20ax bx c ++=（其中a 、b 、c 是常数）不是一元二次方程，故不符合题意；C ．2211x x-=不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意；D ．()()2321x x x --=-，整理，得570x -=，不是一元二次方程，故不符合题意．故选A ．5．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）A ．100×80﹣100x ﹣80x =7644B ．（100﹣x ）（80﹣x ）+x 2=7644C ．（100﹣x ）（80﹣x ）=7644D ．100x +80x =356【答案】C【详解】设道路的宽应为x 米，由题意有（100-x ）（80-x ）=7644，故选：C ．6．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图象分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则下列关系中正确的是（ ）A ．1234k k k k <<<B ．2143k k k k <<<C ．1243k k k k <<<D ．2134k k k k <<<【答案】B【详解】解：根据直线经过的象限，知20k <，10k <，40k >，30k >，根据直线越陡k 越大，知21k k >，43k k <，所以2143k k k k <<<．故选B ．第二部分（非选择题 共88分）二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）7-＝ ．【详解】解：原式﹣．8m = ．【答案】3【详解】解：=又∵可以合并，∴215m -=解得：3m =．故答案为：3．9．函数 ()36f x x =-，则 14f æö=ç÷èø【答案】32【详解】解：∵()36f x x =-，∴11333634422f æö=-´=-=ç÷èø；故答案为：32．10．解不等式：x <的解集是 ．【答案】x >【详解】x <，移项，得：x <合并同类项，得：(1x <系数化为1，得：x >即x >．11．当x =3420252022x x --的值为 【答案】1-【详解】解：∵x =∴()2212022x -=，∴24420210x x --=，∴()()3224202520224420214412023x x x x x x x --=--+-+-()2212023x =--20222023=-1=-．故答案为：1-.12．若()22230m m x ---=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是．【答案】2-【详解】解：∵()22230m m x ---=是关于x 的一元二次方程，∴222m -=且20m -¹，解得：2m =-．故答案为：2-13．方程 ()22x x x +=+ 的解是 ．【答案】11x =，22x =-【详解】解：()22x x x +=+，∴()()220x x x +-+=，∴()()120x x -+=，∴10x -=，20x +=，解得：11x =，22x =-；故答案为：11x =，22x =-14．方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，则正整数a 的值为 .【答案】2或3【详解】解：方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，所以：a -1≠0，故当a ≠1时，原方程为一元二次方程，∵(a -1)x 2+2(a +1)x +a +5=0有两个实根，∴△=[2(a +1)]2－4(a -1) (a +5)≥0，解得：a ≤3∴此时a ≤3且a ≠1故正整数a 的值为：a =2或者3故答案为：2或3．15．一元二次方程29200x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 【答案】13或14【详解】解：29200x x -+=，(4)(5)0x x --=，所以4x =或5x =，当4为腰，5为底时，周长=4+4+5=13，当5为腰，4为底时，周长=5+5+4=14，故答案为13或14．16．在实数范围内因式分解：222x x --= ．【答案】(11x x --【详解】解：对于方程2220x x --=，24212´-△()=，1x ==所以，222x x --=(11x x =--+．故答案为：(11x x --+ ．17．已知函数23(1)m y m x -=+是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则m ＝ ．【答案】-2【详解】解：由题意得：m 2-3=1，且m +1＜0，解得：m =-2，故答案为：-2．18．如图，已知直线:a y x =，直线1:2b y x =-和点(1,0)P ，过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点1P ，过点1P 作x 轴的平行线交直线b 于点2P ，过点2P 作y 轴的平行线交直线a 于点3P ，过点3P 作x 轴的平行线交直线b 于点4,P L ，按此作法进行下去，则点2024P 的横坐标为．【答案】10122【详解】解：Q 点(1,0)P ，1P 在直线y x =上，1(1,1)P \，12PP x Q P 轴，2P \的纵坐标1P =的纵坐标1=，2Q P 在直线12y x =-上，112x \=-，2x \=-，2(2,1)P \-，即2P 的横坐标为122-=-，同理，3P 的横坐标为122-=-，4P 的横坐标为242=，252P =，362P =-，372P =-，482P =¼，242n n P \=，2020P \的横坐标为2505101022´=，2021P \的横坐标为10102，2022P \的横坐标为10112-，2023P \的横坐标为10112-，∴点2024P 的横坐标为2506101222´=故答案为：10122三、解答题（本大题共9小题，满分52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（5分）【详解】解：原式=+..................................2分=..................................5分20．（5分）计算：æ÷çè【详解】æ÷çè(=................................2分(=÷=-................................5分21．（5分）解方程：()2326x x +=+．【详解】解：∵()2326x x +=+，∴()()2323x x +=+，∴()()23230x x +-+=，∴()()3230x x +-+=，................................2分∴320x +-=或30x +=，解得1231x ，x =-=-．................................5分22．（5分）用配方法解方程24720-+=x x ；【详解】解：∵24720-+=x x ，∴2472x x -=-∴27424x x æö-=-ç÷èø，................................1分∴22277742488x x ⎡⎤æöæö-+-=-⎢⎥ç÷ç÷èøèø⎢⎥⎣⎦，∴274942816x æö--=-ç÷èø∴2717864x æö-=ç÷èø................................3分∴78x -=，∴127788x x =+=................................5分23．（5分）先化简，再求值：222444+2x x x x x x x æö-+÷ç÷-èø，其中11=12x -æö---ç÷èø．【详解】解：222444+2x x x x x x x æö-+÷ç÷-èø()()()222442x x x x x x x +-æö++=÷ç÷-èø()222x x x x +=×+12x =+， ................................2分当)11=1212112x -æö---=--+=-+=ç÷èø时，原式12x =+1====．................................5分24．（5分）已知3y -与2x -成正比例，且当1x =时，6y =，求y 与x 之间的函数解析式．【详解】解：Q 3y -与2x -成正比例，\设()32y k x -=-，................................1分Q 当1x =时，6y =，()6321k \-=-，解得：3k =， ................................2分()332y x -=-\，整理得：39y x =-+，\y 与x 之间的函数关系式为：39y x =-+．................................5分25．（7分）甲骑摩托车从A 地去B 地，乙开汽车从B 地去A 地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s (km )与甲行驶的时间为t （h ）之间的关系如图所示．(1)结合图象，在点M、N、P三个点中，点_____代表的实际意义是乙到达终点．(2)求甲、乙各自的速度；(3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离；(4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180千米．【详解】（1）解：由图象可得，在点M时，0s=，此时两人相遇，点N之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点，点P表示两人距离为240s=，此时甲到达终点；故答案为：N；................................1分（2）解：由图象可得，A、B两地相距240千米，甲走完全程需要6小时，∴甲的速度为240640÷=（千米/时）................................2分∵当2t=时，两人相遇，∴两人的速度之和为2402120÷=/时）∴乙的速度为1204080-=（千米/时）................................3分（3）解：当乙到达终点A地时，甲离开出发地A地有403120´=（千米），∴当乙到达终点时，求甲乙两人的距离是120千米；................................5分（4）解：相遇前，甲乙两人相距180千米，则()12401801202-÷=（小时），相遇后，甲乙两人相距180千米，则∵当乙到达终点时，求甲乙两人的距离是120千米，之后两人距离逐渐增大，∴()93180120402+-÷=（小时），综上所述，甲出发12小时或92小时时，甲、乙两人相距180千米．................................7分26．（7分）商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x 元．(1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x 的代数式表示）；(2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？(3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x 的值；若不能，请说明理由．【详解】（1）解：设每套拖把降价x 元，则每天销售量增加2x 套，即每天销售()202x +套，每套拖把盈利()1208040x x --=-元．故答案为：()40x -，()202x +；................................2分（2）解：设每套拖把降价x 元，则每套的销售利润为()40x -元，平均每天的销售量为()202x +套，依题意得：()()402021242x x -+=，整理得：2302210x x -+=，解得：121317x x ==，．又∵需要尽快减少库存，∴17x =．................................5分答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元；（3）解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下：设每套拖把降价y 元，则每套的销售利润为()12080y --元，平均每天的销售量为()202y +套，依题意得：()()120802021400y y --+=，整理得：2303000y y -+=．∵()22Δ43041300300<0b ac =-=--´´=-，∴此方程无实数解，即不可能每天盈利1400元．................................7分27．（8分）已知正比例函数y kx =经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH x ^轴，垂足为点H ，点A 的横坐标为3，且AOH △的面积为3．(1)求正比例函数的解析式；(2)在x 轴上能否找到一点P ，使AOP V 的面积为5．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由(3)在（2）的条件下，是否在正比例函数y kx =上存在一点M ，且M 在第四象限，使得2.3APM OPM S S D D =若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由【详解】（1）解：∵点A 的横坐标为3，且AOH △的面积为3∴1332AH ´´=，解得，2AH =，∴点A 的坐标为()3,2-，∵正比例函数y kx =经过点A ，∴32k =-，解得23k =-，∴正比例函数的解析式是23y x =-；................................2分（2）解：存在．设(),0P t ，∵AOP V 的面积为5，点A 的坐标为()3,2-，∴1252t ´´=，∴5t =或5t =-，∴P 点坐标为()5,0或()5,0-．................................4分（3）解：设2,3M x x æö-ç÷èø，如图，①点M 在OA 上时，当()5,0P 时，5OP =，又()3,2A -,若23APM OPM S S D D =时，11212232A M M OP y OP y OP y ´´-´´=´´´，∴1122125255223323x x ´´-´´=´´´，解得，95x =，∴296355y =-´=-，∴M 点的坐标为96,55æö-ç÷èø；同理，当点()5,0P -时，也可求出M 点的坐标也为96,55æö-ç÷èø；................................6分②点M 在OA 的延长线上时，当()5,0P 时，5OP =，若23APM OPM S S D D =时，11212232M A M OP y OP y OP y ´´-´´=´´´，∴1212125525232323x x ´´-´´=´´´，解得，9x =，∴2963y =-´=-，∴M 点的坐标为()9,6-；当点()5,0P -时，5OP =，若23APM OPM S S D D =时，同理可得，M 点的坐标为()9,6-；综上，点M 的坐标为96,55æö-ç÷èø或()9,6-．................................8分。
高一下学期期末考试数学试卷含答案(沪教版)
高一数学下学期期末考试试卷（沪教版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．考试范围：必修二一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知()1sin 753α+=，则()cos 15α-的值为________． 2．已知(1,0),(5,5)a b ==，则向量b 在向量a 方向上的投影向量的坐标为_______．3．已知向量()1,1a =-，(),2b m =，若存在实数λ，使得a b λ=，则m =___________.4．设复数z 满足i 32i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则Im z =___________．5．已知角α的终边上的一点(4,3)(0)t t t ->，则sin α=________．6．已知单位向量a ，b 满足，则,a b =_________．7．将正弦函数sin y x =的图像向右平移m ()0m >个单位，可以得到余弦函数cos y x =的图象，则m 的最小值为________．8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为________．9．已知函数22()2x x x a f x x x a ⎧--≤=⎨-+>⎩，若存在实数0x ，使得对于任意的实数x 都有()0()f x f x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________.10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____. 11．函数()212log 23y x x =+-的单调递减区间是_____ ． 12．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有三个零点，则ω的取值范围是______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知a ，b ∈R ，若11:||,||;:||122a b a b αβ<<+<；则α是β的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件14．下列幂函数在区间(0,)+∞上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是（ ）A ．32y x =B ．23y x =C ．13y x =D ．13y x -= 15．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为23π，AB 长为403π，CD 长为10π，则扇面ABCD 的面积为（ ）A ．1753πB ．3503πC ．21759πD ．23509π16．函数1|1|1y x =--与|sin 2|,[4,8]y x x =∈-交点的个数是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知向量a 、b 的夹角为2,||1,||23a b π==.（1）求a ·b 的值（2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值.18．求函数223cos 2sin cos 3222x x x y =+-的值域与单调增区间.19．如图所示，甲船在距离A 港口24海里，并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求ABC ∠的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D 处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？20．已知复数12cos sin z i θθ=+，21sin z i θ=-，其中i 为虚数单位，R θ∈.（1）当1z 、2z 是实系数一元二次方程20x mx n ++=的两个虚根时，求m 、n 的值.（2）求12z z ⋅的值域.21．随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是∶将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角.（1）请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；（2）为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设∶假设1∶家具呈长方体的形状∶假设2∶转角两侧的过道宽度相同∶假设3∶墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；假设4∶家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直∶假设5∶过道的转角为直角∶假设6∶忽略家具转动时家具与墙壁､地面的摩擦影响；等等.根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内.高一数学下学期期末参考答案（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：4． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．5． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．6． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 考试范围：必修二二、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知()1sin 753α+=，则()cos 15α-的值为________． 【答案】13【分析】由三角函数的诱导公式即可求解.【详解】()()()1cos 15cos 9075sin 753ααα⎡⎤-=-+=+=⎣⎦， 故答案为：13. 2．已知(1,0),(5,5)a b ==，则向量b 在向量a 方向上的投影向量的坐标为_______．【答案】（5，0）【分析】根据定义即可求出投影向量.【详解】b →在a →方向上投影向量为()()5··1,05,01a b a a a ⋅==，所以b →在a →方向上投影向量为（5,0）. 故答案为：（5,0）.3．已知向量()1,1a =-，(),2b m =，若存在实数λ，使得a b λ=，则m =___________.【答案】2- 【分析】由于a b λ=，所以//a b ，从而列方程可得m 的值.【详解】因为a b λ=，则//a b ，所以120m -⨯-=，得2m =-.故答案为：2-.4．设复数z 满足i 32i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则Im z =___________．【答案】－3【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，即可求解.【详解】由i 32i z ⋅=+可得：()()()32i i 32i 23i i i i z +⋅-+===-⋅-， 所以Im 3z =-， 故答案为：3-. 5．已知角α的终边上的一点(4,3)(0)t t t ->，则sin α=________． 【答案】35【分析】由三角函数定义即可得到答案. 【详解】因为，t >0，所以()()223333sin 5||5543t t t t t t t α---====-+-. 故答案为：35. 6．已知单位向量a ，b 满足，则,a b =_________． 【答案】π3 【分析】将已知条件两边同时平方，由向量数量积的定义结合1a b ==可得cos ,a b 的值，结合向量夹角的范围即可求解.【详解】因为向量a ，b 是单位向量，所以1a b ==， 由3a b +=可得()23a b+=，即2223a b a b ++⋅=， 所以222cos ,3a b a b a b ++⋅=，所以112cos ,3a b ++=，所以1cos ,2a b =， 因为0,πa b <<，所以,a b =π3， 故答案为：π3. 7．将正弦函数sin y x =的图像向右平移m ()0m >个单位，可以得到余弦函数cos y x =的图象，则m 的最小值为________．【答案】3π2【分析】利用三角函数的诱导公式以及图象的平移变换即可求解.【详解】因为3πcos sin 2y x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以正弦函数sin y x =的图像向右平移3π2个单位可得3πsin cos 2y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 并且此时是将正弦函数sin y x =的图像向右平移最少的单位，所以m 的最小值为3π2， 故答案为：3π2. 8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为________．【答案】17- 【分析】结合已知条件设直角三角形两直角边分别为x 、1x +，由勾股定理求出x 的值，进而可得tan α的值，由两角差的正切公式即可求解.【详解】设直角三角形的较小的直角边为x ，则较长的直角边为1x +，因为大正方形的面积为25，所以有正方形的边长为5，每一个直角三角形中由勾股定理可得：()22125x x ++=，即2120x x +-=，解得3x =或4x =-（舍），直角三角形较小的锐角为α，可得3tan 14x x α==+， 所以π3tan tan1π144tan π3471tan tan 1144ααα--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭++⨯， 故答案为：17-.9．已知函数22()2x x x a f x x x a ⎧--≤=⎨-+>⎩，若存在实数0x ，使得对于任意的实数x 都有()0()f x f x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1a ≥【分析】作出分段函数的图象，再结合图形就可以得到a 的取值范围.【详解】分别作出22y x x =--、2y x =-+的图象中下图所示，由图可以看出当1a ≥时，()f x 有确定的最大值()11f -=，所以这时存在0x ，使得对于任意x 都有0()()f x f x ≤.故答案为：1a ≥.10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____. 【答案】3⎫∞⎪⎪⎝⎭【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得2||1z m =-.【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >， 则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则23||1z m =-， 所以z 的取值范围是：3⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为33⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+. 【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.11．函数()212log 23y x x =+-的单调递减区间是_____ ．【答案】(1,)+∞【分析】先计算定义域，再根据复合函数的单调性求减区间.【详解】()2212log 232301y x x x x x =+-⇒+->⇒>或3x <-12log y x=为减函数，要求()212log 23y x x =+-的单调递减区间 即2()23f x x x =+-的增区间：1x ≥-综上所诉：1x >故答案为(1,)+∞【点睛】本题考查了复合函数的单调性，同增异减.忽略定义域是常犯的错误.12．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有三个零点，则ω的取值范围是______．【答案】[2,4)【分析】根据函数在[],ππ-上为偶函数的性质可知x =0为函数的一个零点，求得a =-1，再根据三角函数的图像和性质求得ω的取值范围.【详解】因为函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有三个零点，故必有一个零点为x =0，所以101a a +=⇒=-.所以问题等价于函数cos y x ω=与直线y =1的图像在[,]-ππ上有3个交点，如图所示：所以02424ωωπππωω>⎧⎪⇒≤<⎨≤<⎪⎩. 故答案为：[2,4).二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知a ，b ∈R ，若11:||,||;:||122a b a b αβ<<+<；则α是β的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】根据绝对值不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：①若1||2a <，1||2b <时， 11||||||122a b a b ++<+=，∴充分性成立， ②当2a =-， 2.5b =时，满足||1a b +<，但1||2a <，1||2b <不成立，∴必要性不成立， α是β的充分不必要条件，故选：C ．14．下列幂函数在区间(0,)+∞上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是（ ）A ．32y x =B ．23y x =C ．13y x =D ．13y x -= 【答案】C【分析】利用函数的奇偶性、单调性逐个判断即可得出答案．【详解】解：A ．32y x =的定义域[0，)+∞，为非奇非偶函数，不符合题意；B ．23y x =，定义域为R ，且为偶函数，不符合题意；C ．13y x =，定义域为R ，且为奇函数，且在R 递增，符合题意；D ．13y x -=，在区间(0,)+∞上是严格减函数，不符合题意．故选：C.15．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为23π，AB 长为403π，CD 长为10π，则扇面ABCD 的面积为（ ）A．1753πB．3503πC．21759πD．23509π【答案】A【分析】依题意分别求得AO，CO，进而由扇形OAB的面积减去扇形OCD的面积可得结果.【详解】根据题意40233AOππ=⋅，则20AO，2103OCπ=⋅，则15OC=，所以扇面ABCD的面积14011752015102323 OAB OCDS S Sπππ=-=⨯⨯-⨯⨯=扇形扇形.故选：A.16．函数1|1|1yx=--与|sin2|,[4,8]y x x=∈-交点的个数是（）A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B【分析】分别作出111yx=--和sin2y x=图象，由数形结合可得结果.【详解】用图形计算器分别作出111yx=--和sin2y x=在[]4,8-上的图象，由图可知两函数图象有10个交点.故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知向量a、b的夹角为2,||1,||23a bπ==.（1）求a ·b 的值（2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值.【答案】（1）1-；（2）2.【解析】（1）利用数量积的定义直接计算即可．（2）利用()()20t b a b a +=-可求实数t 的值．【详解】（1）21cos 12132a b a b π⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． （2）因为2a b -和ta b +垂直，故()()20t b a b a +=-，整理得到：()22220ta t a b b +--=即()12212402t t ⎛⎫+-⨯⨯⨯--= ⎪⎝⎭， 解得2t =．【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0a b ⋅=，本题属于基础题．18．求函数22sin cos 222x x x y =+的值域与单调增区间. 【答案】值域[-2，2]，增区间52,266k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式将函数的解析式化简，然后由正弦函数的有界性以及单调性求解即可.【详解】函数22sin cos 222x x x y =+cos )sin sin 2sin()3x x x x x π++=+=+ 因为sin()[1,1]3x π+∈-，所以[2,2]y ∈-， 令22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈， 解得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 故函数的增区间为5[2,2]66k k ππππ-++，k Z ∈. 19．如图所示，甲船在距离A 港口24海里，并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求ABC ∠的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D 处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？【答案】（1）123arcsin 31ABC =∠；（2）21海里． 【分析】（1）由正弦定理可得结果；（2）由余弦定理可得结果.【详解】（1）根据题意知，24AC =，31BC =，204060CAD ∠=︒+︒=︒，在中，由正弦定理得，2431sin sin 60ABC =∠︒，解得123sin ABC ∠= 由AC BC <，知ABC ∠为锐角，所以123ABC =∠ （2）由（1）得2231sin cos 31ABC ABC ∠∠=-=， 在BCD △中，由余弦定理得，22233120231202131CD =+-⨯⨯⨯=（海里）， 所以，此时甲、乙两船之闻的距离为21海里． 20．已知复数12cos sin z i θθ=+，21sin z i θ=-，其中i 为虚数单位，R θ∈.（1）当1z 、2z 是实系数一元二次方程20x mx n ++=的两个虚根时，求m 、n 的值.（2）求12z z ⋅的值域.【答案】（1）2m =-，74n =；（2）732,⎡⎢⎦. 【分析】（1）由于1z 、2z 是方程20x mx n ++=的两个虚根，得出12z z =，求出cos θ的值，再根据根与系数的关系可求出m 、n ；（2）直接求出12z z ⋅的表达式，利用三角函数以及二次函数的性质，求出值域即可.【详解】（1）已知复数12cos sin z i θθ=+，21sin z i θ=-，1z 、2z 是方程20x mx n ++=的两个虚根，所以12z z =，即2cos sin 1sin i i θθθ+=+，所以2cos 1sin sin θθθ=⎧⎨=⎩，所以，1cos 2θ=， 由韦达定理可得()122cos 12m z z θ=-+=--=-，212171sin 1144n z z θ⎛⎫==+=+-= ⎪⎝⎭； （2）()()()()2122cos sin 1sin 2cos sin sin 2sin cos z z i i θθθθθθθθ⋅=+⋅+=-++=====⎦【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：①利用sin x 和cos x 的最值直接求；②把形如sin cos y a x b x =+的三角函数化为()sin y A ωx φ=+的形式求最值；③利用sin cos x x ±和sin cos x x 的关系转换成二次函数求最值；④形如2sin sin y a x b x c =++或2cos cos y a x b x c =++转换成二次函数求最值.21．随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是∶将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角.（1）请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；（2）为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设∶假设1∶家具呈长方体的形状∶假设2∶转角两侧的过道宽度相同∶假设3∶墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；假设4∶家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直∶假设5∶过道的转角为直角∶假设6∶忽略家具转动时家具与墙壁､地面的摩擦影响；等等.根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内.【答案】问题见解析，答案见解析（答案不唯一）【分析】（1）作出图形，提出问题：家具长为l ，宽为h ，过道宽为d ，图中DON θ∠=，求出l 的最小值，求矩形的长l 与角度θ的函数关系式()l f θ=，对2d =，1h =时，求这个函数()l f θ=的最小值，（2）利用三角函数知识根据图中的等量关系可求矩形的长l 与角度θ的函数关系式()l f θ=，利用导数求最值解即可.【详解】（1）提出的问题为：如下图，在不同的角度θ()DON ∠下，求l 的最小值，这就是能通过的家具长的最大值，请你求矩形的长l 与角度θ的函数关系式()l f θ=，并对2d =，1h =时，求这个函数()l f θ=的最小值.（2）画出搬运家具时一个转角过道的示意图，如图所示：由图可知：cos cos sin tan d h l h d θθθθ-+=+02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 所以sin cos cos sin d h d h l θθθθ--=+02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 所以矩形的长l 与角度θ的函数关系式为sin cos cos sin d h d h l θθθθ--=+02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 当2d =，1h =时，2sin 2cos cos sin l θθθθ--=+02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ ()()()222cos cos sin 2sin sin cos 2cos cos sin l θθθθθθθθθ-⋅-----'=+ ()()2222222sin 1sin 12cos cos 2sin 112cos cos sin cos sin θθθθθθθθθθ-+---=+= ()()3322222sin cos sin cos cos sin θθθθθθ---=()()()()22222sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθ-++--+=()()2222sin cos 2sin 2sin cos 2cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθ-++--=()()22sin cos 22sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθ-+--=， 因为02πθ<<，所以0sin 1θ<<，0cos 1θ<<，所以2sin cos 0θθ-->，sin cos 0>θθ，可得2222sin cos sin cos 0cos sin θθθθθθ+-->， 由0l '>即sin θcos θ0，解得：42ππθ<<，由0l '<即sin cos 0θθ-<，解得：04πθ<<， 所以2sin 2cos cos sin l θθθθ--=+在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以当4πθ=时，min 2sin2cos 44222cos sin 44l ππππ--⎛⎛=+== ⎝⎭⎝⎭， 所以2d =，1h =时，函数()l f θ=的最小值为2.。
上海市上海中学高一数学下学期期中试题(含解析)
上海市上海中学高一数学下学期期中试题（含解析）一、填空题(每题3分,共36分)1.函数的最小正周期是_________.【答案】【解析】【分析】直接由周期公式得解。
【详解】函数的最小正周期是：故填：【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题。
2.已知点P 在角的终边上,则_______.【答案】0【解析】【分析】求出到原点的距离，利用三角函数定义得解。
【详解】设到原点的距离，则所以，，所以【点睛】本题主要考查了三角函数定义，考查计算能力，属于基础题。
3.已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．【答案】【解析】由题意或，则圆心角是，应填答案。
4.在△ABC中,若则△ABC为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.【答案】钝角【解析】【分析】整理得，利用可得，问题得解。
【详解】因为，所以，又,所以，所以所以为钝角，故填：钝角【点睛】本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，属于基础题。
5.若则______.【答案】【解析】【分析】直接由三角函数的诱导公式得解。
【详解】因，又所以【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，考查观察能力及计算能力，属于基础题。
6.若则化简_______.【答案】0【解析】【分析】由正弦、余弦的二倍角公式升幂去根号，问题得解。
【详解】由题可得：，，因为所以，所以所以【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了三角函数的性质及计算能力，属于中档题。
7.已知则_______.【答案】【解析】【分析】将整理成，问题得解。
【详解】因为.将代入上式可得：【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及正、余弦的二次齐次式变形，考查化简能力及计算能力，属于中档题。
8.方程的实数根的个数是______.【答案】6【解析】如下图，由于函数y＝lg|x|是偶函数，所以它的图象关于y轴对称．9.若则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由整理可得：，由此可得，对消元可得：，令，把问题转化成函数，值域问题，从而得解。
上海市高一数学下学期第一次月考试题沪教版
上海市大团高级中学第二学期第一次月考 高一年级 数学试卷（总分：题号 1~~~12 13~~16 1718 19 20 21 总分 得分一、填空题（本大题共12小题，总分36分）1、3log 9log 28的值是___________2、若23log (log )1x = ,则_______x =3、函数y = )12(log 21-x 的定义域为___________________4、设1)2(log )(23>-=x x x x f ，，则=-)1(1f6. 5、 已知5log log 2a b a ⋅=，则_____b =6、已知2lg(x －2y)=lgx ＋lgy ，则y x的值为________7、已知xx f 21log )(=的反函数为)(1x f-，若111()()4f a f b --⋅=，则=+)(b a f ． 8、函数20.5log (616)y x x =-- 的单调增区间为________________9、方程21log (4)()2xx += 的根的个数为_______个 10、已知y=loga(2－ax)在区间(0,1)上是x 的减函数,则a 的取值范围为_______11、已知定义在R 上的偶函数函数1()[0,),()0,2y f x f =+∞=在上递减且 14(log )0f x <则满足的x 的集合为____________________12、关于函数1lg)(2+=x xx f ，有下列结论：①函数)(x f 的定义域是（0，+∞）；②函数)(x f 是奇函数；③函数)(x f 的最小值为－2lg ；④当10<<x 时，函数)(x f 是增函数；当1>x 时，函数)(x f 是减函数. 其中正确结论的序号是 。
（写出所有你认为正确的结论的序号）二、选择题（本大题共4小题，总分16分）13、已知函数1()3ax f x x -=- 的反函数是()f x 本身，则实数a 的值为 （ ）（A ）1a = （B ）3a =- （C ） 3a = （D ）不存在14、若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 15、已知,αβ 是方程2lg lg 20x x -+= 的两根，则log log αββα 的值为（ ） （A ） 3 （B ） 2 （C ） 53-（D ）32-16、设1a>，函数log a y x =的定义域为[](),m n m n <，值域为[]0,1，定义“区间[],m n 的长度等于n m -”，若区间[],m n 长度的最小值为56，则实数a 的值为（ ）（A ）11 （B ）32 （C ） 116 （D ）6三、解答题（6+8+10+12+12） 17、已知18log 9,185b a == ，用,a b 表示36log 4518、解下列方程： （1） 2log ()log 2x x x x -= （2）2255log log 3x x -=Oy O x y O xy O x y19、已知x 满足不等式01log 5)(log 631231≤++x x ，试求2)81(log )9(log )(33+⋅=x x x f 的最大值和最小值20、设函数)10)(1(log )(≠>-=a a a x f xa ，（1）求)(x f 的定义域； （2）讨论)(x f 的单调性(不必证明)； （3）解方程)()2(1x f x f -=21、已知函数)(2)22()1(log )(2R t x tg x x f x ∈=--=，（1）求)(x g y =的解析式；（2）若1=t ，求当]3,2[∈x 时，)()(x f x g -的最小值；（3）若在]3,2[∈x 时，恒有)()(x f x g ≥成立，求实数t 的取值范围数学第一次月考 参考答案 一填空题1、232、93、1(,1)2 4、3 5、25 6、3 7、-18、(,2)-∞- 9、1个 10、(1,2] 11、),2()21,0(+∞⋃ 12、①③④二、选择题13、C 14、B 15、D 16、D 三、解答题17、解 36log 45=2a ba+-18、解（1）2x = （2）11255x x ==或19、已知x 满足不等式01log 5)(log 631231≤++x x ，试求2)81(log )9(log )(33+⋅=x x x f 的最大值和最小值解：由题设得1311log 23x -≤≤-，即311log 32x ≤≤ 而3333()log (9)log (81)2(2log )(4log )2f x x x x x =⋅+=+++22333(log )6log 10(log 3)1x x x =++=++所以当31log 2x =即3x =max 53()4f x =当31log 3x =即33x =max109()9f x =20、设函数)10)(1(log )(≠>-=a a a x f x a ，（1）求)(x f 的定义域； （2）讨论)(x f 的单调性；（3）解方程)()2(1x f x f -=解：（1）10xa ->，即1xa >当1a >时，(0,)x ∈+∞；当01a <<时，(,0)x ∈-∞（2）当1a >时，)(x f 在(0,)x ∈+∞上为增函数； 当01a <<时，)(x f 在(,0)x ∈-∞为增函数 （3）因1()log (1)x a f x a -=+ 则2log (1)log (1)x x a a a a -=+，220xx aa --=故2xa =或1xa =-（舍），所以log 2a x =21、已知函数)(2)22()1(log )(2R t x tg x x f x ∈=--=，（1）求)(x g y =的解析式；（2）若1=t ，求当]3,2[∈x 时，)()(x f x g -的最小值；（3）若在]3,2[∈x 时，恒有)()(x f x g ≥成立，求实数t 的取值范围解；（1）令22x tp -=，则2log (2)x p t =+故2()2log (2)g p p t =+，即2()2log (2)g x x t =+（2）22(21)()()log 1x g x f x x +-=- 因2(21)94(1)122411x x x x +=-++≥--，当且仅当94(1)1x x -=-时取等号 故当52x =时，)()(x f x g -的最小值为2log 24 （3）由222log (2)log (1)x t x +≥-得21x t x +≥-即12t x x ≥-在]3,2[∈x 内恒成立先利用换元法求12y x x =-在]3,2[∈x 上的最大值，为3-所以3t ≥-。
上海高一下学期期中数学试卷试题(解析版)
一、填空题1．扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___________. 【答案】4【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．【详解】根据扇形的面积公式得，．1142422S lr ==⨯⨯=故答案为：4 2．已知，且是第二象限角，则___________． 4sin 5α=αcos α=【答案】 35-【详解】∵是第二象限角， α∴． cos 0α<又， 4sin 5α=∴．3cos 5α===-答案：35-3．在中，，，，那么的面积等于______． ABC A 2a =1b =π3C =ABC A【分析】由三角形面积公式即可求【详解】由三角形面积公式得. 11sin 2122ABC S ab C ==⨯⨯A4．已知向量，，则与共线，则实数_________．()2,3a =-r ()3,2b λ= a bλ=【答案】94-【分析】根据向量平行得到，解得答案.2233λ⨯=-⨯【详解】向量，，与共线，则，解得.()2,3a =-r ()3,2b λ= a b2233λ⨯=-⨯94λ=-故答案为：94-5．已知，，则满足条件的__________（用反三角记号表示）1cos 3x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x =【答案】1πarccos 3-【分析】根据反三角函数求解即可.【详解】因为，，所以.1cos 3x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭11cos πarccos 33x arc ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故答案为：1πarccos 3-6．已知，则在上的数量投影为__________．()()1,2,3,2a b ==- a b【分析】根据题意，由向量的数量投影的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，设与的夹角为， ()()1,2,3,2a b ==- a bθ则在上的数量投影为a b cos a b a b a a a bb θ⋅⋅=⨯===故答案为7．设是两个单位向量，向量，且，则的夹角为______. ,m n 2a m n =-()2,1a = ,m n【答案】/90︒2π【分析】利用向量数量积的定义和运算律求解即可.【详解】由()2,1a = =又因为是两个单位向量，所以， ,m ncos ,cos ,m n m n m n m n ⋅== 所以，()2222244a m n m m n n =-=-⋅+解得，即的夹角为，cos ,0m n = ,m n90︒故答案为：90︒8．函数_________ y =【答案】 522,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域． 【详解】由题意知，， 11sin 0sin 22x x -≥⇒≥即， 522,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以的定义域为： ()f x 522,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦故答案为： 522,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 9．已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数，都有()3sin2xf x =1x 2x x ，则的最小值为______．()()()12f x f x f x ≤≤12x x -【答案】2π【解析】根据存在实数，，使得对任意的实数，都有，得到1x 2x x ()()()12f x f x f x ≤≤分别是函数的最小值和最大值，则一定是半个周期的整数倍，再求出函()()12,f x f x ()f x 12x x -数的最小正周期即可. ()3sin2xf x =【详解】因为存在实数，，使得对任意的实数，都有， 1x 2x x ()()()12f x f x f x ≤≤所以分别是函数的最小值和最大值， ()()12,f x f x ()f x 所以一定是半个周期的整数倍， 12x x -又函数的最小正周期是， ()3sin 2xf x =4T π=所以， 1222x n n x Tπ=⨯=-所以的最小值为 12x x -2π故答案为：2π【点睛】本题主要考查三角函数的周期性的求法及应用以及最值问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.10．已知函数，且，则___．()()πsin 20π6f x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭()()()13f f αβαβ==≠αβ+=【答案】/ 43π43π【分析】利用正弦函数的的对称性可得，由此求得的值． ππ3π222662αβ+++=⋅αβ+【详解】∵函数，()()πsin 20π6f x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，ππ13π2,666x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦（）， ()()13f f αβ==αβ≠则由正弦函数的对称性可得：， ππ3π222662αβ+++=⋅所以， 4π3αβ+=故答案为：. 4π311．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得，，，，则A 、B 35m CD =135ADB ∠= 15BDC DCA ∠=∠= 120ACB ∠= 两点的距离为___________m ．【答案】【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得. BCD △BD ABD △AB 【详解】因为，，所以，，所135ADB ∠= 15BDC DCA ∠=∠= 150ADC ∠= 15DAC DCA ∠=∠= 以，35AD CD ==又因为，所以，，120ACB ∠= 135BCD ∠= 30CBD ∠=在中，由正弦定理得，解得BCD △sin BD BCD ∠sin CDCBD=∠3512=BD =在中，由余弦定理得，ABD △2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以，解得．(22235235AB ⎛=+-⨯⨯ ⎝m AB =故答案为：12．已知满足，当，，若函数()f x ()(8)f x f x =+[0,8)x ∈()[)[)π4sin ,0,4428,4,8x x f x x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈⎩在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为_____.2()()()1g x f x af x a =+--[8,8]x ∈-a 【答案】(9,5)--【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的[8,8]x ∈-图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数，()f x ()(8)f x f x =+()f x结合，作出函数在上的图象，如图示： ()[)[)π4sin ,0,4428,4,8x x f x x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈⎩[8,8]x ∈-因为，[][]2()()()1()1()(1)g x f x af x a f x f x a =+--=-++故时，即或，()0g x =()1f x =()(1)f x a =-+则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不()g x [8,8]x ∈-()f x 1,(1)y y a ==-+同的交点，由图象可知，和的图象有6个不同的交点，1y =()f x 则和的图象需有2个不同的交点，即， (1)y a =-+()f x 4(1)8a <-+<故，95a -<<-则实数的取值范围为， a (9,5)--故答案为：(9,5)--【点睛】方法点睛：根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解.二、单选题13．下列说法正确是（ ） A ．角60和角600是终边相同的角o o B ．第三象限角的集合为 3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣C ．终边在轴上角的集合为 y ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣D ．第二象限角大于第一象限角 【答案】C【分析】根据终终边相同角的表示，可以判断A 错误，C 正确；根据象限角的表示可以判断B 错误；举特例可以判断D 错误.【详解】，与终边不相，故A 错误；600360240︒=︒+︒60︒第三象限角的集合为，故B 错误； 3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭∣终边在轴上角的集合为， y π3π2π,Z 2π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣即， ππ2π,Z (21)π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=++∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ∣∣即，故C 正确； ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣是第二象限角，第一象限角，，120︒390︒120390︒<︒故D 错误； 故选：C.14．函数的图像向左平移个单位得到下列哪个函数（ ）πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4A ． B ．πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin 24y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．D ．πcos 24y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭πcos 24y x ⎛⎫ ⎪⎝+⎭=【答案】D【分析】根据相位平移,结合诱导公式即可求解.【详解】的图像向左平移个单位得到，πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4()πππsin 2cos 2444f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D15．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若(m)y (s)t sin()(0,π)y t ωϕωϕ=+><该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且1t 2t ()31230t t t t <<<122t t +=，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）235t t +=A ．B ．C ．1D ．1s 32s 3s 4s 3【答案】C【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解. 2π3ω=2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭t【详解】因为，，，所以，又，所以， 122t t +=235t t +=31t t T -=3T =2πT ω=2π3ω=则，由可得，2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0.5y >2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以， π2π5π2π2π,Z 636k t k k ϕ+<+<+∈所以，故，135333,Z 42π42πk t k k ϕϕ+-<<-+∈531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s ． 故选：C.16．已知，给出下述四个结论:()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ①是偶函数; ②在上为减函数;()y f x =()y f x =3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭③在上为增函数; ④的最大值为. ()y f x =(,2)ππ()y f x =其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．①③④C ．①②③D ．①④【答案】D【分析】利用偶函数的定义即可判断①；利用举反例即可判断②和③；分四个范围对进行化()f x 简，然后利用三角函数的性质进行求值域，即可得到时的最值，结合偶函数即可判断 0x ≥【详解】解：对于①，易得的定义域为，关于原点对称，()f x R 因为()()()sin |||sin |cos |||cos |sin |||sin |cos |||cos |f x x x x x x x x x -=-+-+-+-=+-++，所以是偶函数，故正确；()sin |||sin |cos |||cos |x x x x f x =+++=()y f x =对于②和③，因为， 55555sin |||sin |cos |||cos |044444f πππππ⎛⎫=+++=+=⎪⎝⎭， 7777711sin sin cos cos 06666622f πππππ⎛⎫=+++=-+= ⎪⎝⎭且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错753642ππππ<<<()y f x =3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭(,2)ππ误；对于④，当时，22,N 2k x k k πππ≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x，()sin sin cos cos 2sin cos 4x x x x x x x π⎛⎫=+++=+=+ ⎪⎝⎭因为，所以， 22,N 2k x k k πππ≤<+∈322,N 444k x k k πππππ+≤+<+∈，所以； sin 14x π⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭()2f x ≤≤当时，22,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，sin sin cos cos 2sin x x x x x =++-=因为，22,N 2k x k k ππππ+≤<+∈所以，所以； 0sin 1x <≤0()2f x <≤当时，322,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ；sin sin cos cos 0x x x x =-+-=当时，3222,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，sin sin cos cos 2cos x x x x x =-++=因为， 3222,N 2k x k k ππππ+≤<+∈所以，所以，0cos 1x ≤<0()2f x ≤<所以，综上所述，当时，的最大值为为偶函数，所以当时，的0x ≥()f x ()f x 0x<()f x 最大值也为，故的最大值为④正确； ()y f x =故选：D【点睛】方法点睛：利用四个象限对进行讨论，根据三角函数符号去掉绝对值，然后利用()y f x =三角函数的性质进行求解值域三、解答题17．已知.sin(π)cos 2()3πcos tan(π2π)f ααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)已知，求的值.162πf α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) ()cos f αα=-(2)12-【分析】（1）直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系化简； （2）直接利用倍角公式求解.【详解】（1）；sin(π)cos sin sin sin sin 2()cos sin 3πsin tan sin cos tan(π)co 2πs f ααααααααααααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭====--⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭（2）由（1）得，1cos 662ππf αα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1cos 62πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.2211cos 22cos 1213226ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．已知单位向量，，与的夹角为.1e 2e 1e 2e π3(1)求证；()1222e e e -⊥(2)若，，且，求的值. 12m e e λ=+ 1232n e e =-m n = λ【答案】(1)证明见解析 (2)或. 2λ=3λ=-【分析】(1)利用向量数量积的运算即可证明； (2)根据向量的模和数量积的计算公式即可求解.【详解】（1）因为，与的夹角为， 121== e e 1e 2e 3π所以，()222122122122π1222cos 2111032e e e e e e e e e -⋅=⋅-=-=⨯⨯⨯-= 所以.()1222e e e -⊥（2）由得，m n = ()()22121232e e e e λ+=- 即.()()221122921230e e e e λλ-++⋅-=因为，与的夹角为，121== e e 1e 2e π3所以，，22121e e == 12π111cos 32e e ⋅=⨯⨯= 所以，()()21912123102λλ-⨯++⨯-⨯=即.所以或.260λλ+-=2λ=3λ=-19．已知向量.()()()cos ,sin2,2cos ,1,m x x n x f x m n ==-=⋅(1)求函数的最小正周期和严格増区间，()f x(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.()f x ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x 【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为πT =5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈(2)故时，；当时，取得最小值，最小值为.π8x =-()f x 1+3π8x =()f x 1【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换()f x 公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间. （2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）已知向量，，()cos ,sin 2m x x = ()2cos ,1n x =-所以.()2π2cos sin 21cos 2sin 2214f x m n x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+-=++ ⎪⎝⎭ 故函数的最小正周期为； ()f x 2ππ2T ==由，解得：，， π2ππ22π4k x k -≤+≤5ππππ88-≤≤-k x k Z k ∈故函数的严格增区间为.()f x 5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈（2）由于，得.ππ,82x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5π20,44x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故当，即时，；π204x +=π8x =-()f x 1+当，即时，取得最小值，最小值为. π2π4x +=3π8x =()f x 120．在中，角的对边分别为，已知. ABC A ,,A B C ,,a b c sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+(1)求角的大小；B (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 2a =ABC A ABC A 【答案】(1) π3B =(2) (3+【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； A 【详解】（1）由正弦定理，， sin sin sin a b c A B C==由sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+可得，22cos cos a ac B bc A b ac ++=+由余弦定理，2222222cos ,2cos ac B a c b bc A b c a =+-=+-则，则，222a cb ac +-=2221cos 22a cb B ac +-==因为，所以； 0πB <<π3B =（2）由为锐角三角形，，可得， ABC A π3B =ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由正弦定理，则， sin sin sin a b cA B C ==22πsin sin 3cA A==⎛⎫-⎪⎝⎭则， 2π2sin 31sin A b cA ⎛⎫-⎪⎝⎭====则的周长为ABC A 22cos cos 12333sin 2sin cos 22A A a b c A A A +++===由，则，因为ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,2124A⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2π2tanπ12tan π61tan 12==-，解得或（舍去），2ππtan101212+-=πtan 212=πtan 212=-所以，则周长范围是. ()tan22A∈(3+21．已知函数，，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总()y f x =x D ∈存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的P 级递减周期函数，周期()()f x T P f x +<⋅()f x 为T ；若恒有成立，则称函数是D 上的P 级周期函数，周期为T .()()f x T P f x +=⋅()f x (1)判断函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？()23f x x =+(2)已知，是上的P 级周期函数，且是上的严格增函数，当2T π=()y f x =[)0,∞+()y f x =[)0,∞+时，.求当时，函数的解析式，并求实0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()sin 1f x x =+())()*,1N 22x n n n ππ⎡∈+∈⎢⎣()y f x =数P 的取值范围；(3)是否存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你()1cos 2xf x kx ⎫⎛=⋅ ⎪⎝⎭的结论.【答案】(1)是，理由见解析；⎝⎭⎣⎦(3)存在，. 2,Z m k m Tπ=∈【分析】（1）利用P 级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P 级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作1,2,3n =答.（3）假定存在符合题意的k 值，利用P 级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数定义域是R ，()23f x x =+， 22222()(1)2(3)[(1)3]22(1)10f x f x x x x x x -+=+-++=-+=-+>即，成立，R x ∀∈(1)2()f x f x +<所以函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数. ()f x （2）因，是上的P 级周期函数，则，即2T π=()y f x =[)0,∞+(()2f x P f x π+=⋅()()2f x P f x π=⋅-，而当时，，当时，，，[0,)2x π∈()sin 1f x x =+[,)2x ππ∈[0,)22x ππ-∈()sin 12f x P x π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，，则， 3[,)2x ππ∈[,)22x πππ-∈()()2sin 12f x Pfx P x ππ⎛⎫⎡⎤=-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，，则， 3[,2)2x ππ∈3[,)22x πππ-∈()33sin 122f x Pf x P x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦……当时，，则，[,(1))22x n n ππ∈+[(1),)222x n n πππ-∈-()sin 122n f x Pf x P x n ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦并且有：当时，，当时，，当时，[0,)2x π∈[1,2)y ∈[,)2x ππ∈[,2)y P P ∈3,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭22[,2)y P P ∈，……，当时，，[,(1))22x n n ππ∈+[,2)n n y P P ∈因是上的严格增函数，则有，解得，()y f x =[)0,∞+22312222n nP P P P P P P-≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩ 2P ≥⎝⎭⎣⎦（3）假定存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，1()()cos 2xf x kx =⋅即，恒有成立，则，恒有成R x ∀∈()()f x T T f x +=⋅R x ∀∈()11cos cos 22x Txkx kT T kx +⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭立，即，恒有成立，当时，，则，，R x ∀∈()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅0k ≠x ∈R R kx ∈R kx kT +∈于是得，，要使恒成立，则有cos [1,1]kx ∈-()[]cos 1,1kx kT +∈-()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅21T T ⋅=±，当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，21T T ⋅=12TT=2x y =1y x=12TT=此时恒成立，则，即， ()cos cos kx kT kx +=2,Z kT m m π=∈2,Z m k m Tπ=∈当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，21T T ⋅=-12TT =-2x y =1y x =-12TT=-所以存在，符合题意，其中满足. 2,Z m k m Tπ=∈T 21T T ⋅=【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
数学高一(下)沪教版(同角三角比的关系式和诱导公式(一))教师版
7、已知tanα＝2，则 ＝__________.
解析： ＝ ＝ ＋ ＝tanα＋ ＝2＋ ＝ .
答案：
8、已知tanα＋ ＝ ，则tan2α＋ ＋ ＝__________.
解析：tanα＋ ＝ ，
∴ ＋ ＝ ＝ .
∴tan2α＋ ＋
＝(tanα＋ )2－2＋
＝( )2－2＋ ＝ .
答案：
三、解答题
例3、已知 ，求下列各式的值。
（1）
（2）
【解】方法一：由 ，得
（1）原式
（2）原式
方法二：
（1）
（2）
变式练习：已知 ，求下列各式的值：
（1） ；（2） ；
（3）
答案：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
例4、求下列各三角比的值。
（1） ；（2） ；（3） ；（4） （5）sin210°
（1）平方关系： ， ， ；
（2）倒数关系： ， ， ；
（3）商数关系： ，（ ） （ ）
2、诱导公式：诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限
：，，；
：，，；
：，，；
：，，；
：，，；
：，，；
：，，；
：，，；
：，，；
【典型例题分析】
例1、已知 ，求 值。
答案：
当 是第一象限角时，
当 是第三象限角时，
精锐教育学科教师辅导讲义
年级：高一辅导科目：数学课时数：3
课题
同角三角比的关系式和诱导公式（一）
教学目的
1、理解和掌握同角三角比的八个关系式，并能用这些关系式解决一些三角恒等变换的化简与证明问题；
2、掌握诱导公式并能够运用诱导公式进行化简、求值、与恒等证明。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题(上海专用,测试范围：沪教版)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．“点A 在直线l 上”用符号语言可以表示为.【答案】A l∈【解析】A 在直线l 上，即A l∈故答案为：A l∈2．在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，则直线AB 到平面11CDD C 的距离为．【答案】2【解析】根据正方体的性质可知，//AB CD .又AB ⊄平面11CDD C ，CD ⊂平面11CDD C ，所以，//AB 平面11CDD C .所以，点A 到平面11CDD C 的距离，即等于直线AB 到平面11CDD C 的距离.又AD ⊥平面11CDD C ，所以点A 到平面11CDD C 的距离即为12AD AA ==.所以，直线AB 到平面11CDD C 的距离为2.故答案为：2.3．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是．【答案】8π【解析】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即2π24π⨯=，另一边长为2，故圆柱的侧面面积为24π8π⨯=.故答案为：8π4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AC 所成的角为．正方体111ABCD A B C D -因此1ACD ∠是异面直线A 而112AD CD AC AB ===所以异面直线1A B 与AC 故答案为：60o5．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为30︒，则该圆锥的高为．【答案】3【解析】由已知得该圆锥的高为故答案为：3.6．一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且132A B O C O A '''=='''=，，，则原梯形的面积为.易得24OA O A ''==，1AB A B ''==，OC O =故原梯形的面积为：113482S =⨯+⨯=（），故答案为：8.7．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的为.【答案】4π/45 【解析】设斜线和平面所成角为02παα⎛≤≤ ⎝8．已知球的两个平行截面的面积分别为49π，400π且两个截面之间的距离是9，则球的表面积为．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD 与底面ABCD所成的二面角的大小是．【答案】45°【解析】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD，又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD，因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD，又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD，又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°，于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°．故答案为：45°．10．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是.（1）直线AF 与直线DE 相交；（2）直线CH 与直线DE 平行；（3）直线BG 与直线DE 是异面直线；（4）直线CH 与直线BG 成60︒角.【答案】（3）（4）/(4)(3)【解析】解：由正方体的平面展开图可得正方体ABCD EFGH -，可得AF 与ED 为异面直线，故（1）错误；CH 与DE 为异面直线，故（2）错误；直线BG 与直线DE 是异面直线，故（3）正确；连接AH ，AC ，由正方体的性质可得//AH BG ，所以AHC ∠为异面直线CH 与直线BG 所成的角，因为AHC 为等边三角形，所以60AHC ∠=︒，即直线CH 与直线BG 所成角为60︒，故（4）正确；故答案为：（3）（4）．11．设AB 和CD 都是平面α的垂线，其垂足分别为,B D .已知5,9,3AB CD BD ===，那么线段AC =.12．如图，平面OAB ⊥平面α，OA α⊂，OA AB =，120OAB ∠=︒．平面α内一点P 满足PA PB ⊥，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则tan θ的最大值是．【答案】612【解析】如图，过点B 作BH OA ⊥，交OA 的延长线于点H ，连接取AH 的中点为E ，连接PE ，过点P 作PF OA ⊥，垂足为当且仅当PE OP ⊥，即OP 是圆E 的切线时，角tan θ取得最大值为：22PE PE OP OE PE ==-故答案为：612.二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列说法错误的是（）A ．一个棱柱至少有5个面B ．斜棱柱的侧面中没有矩形C ．圆柱的母线平行于轴D ．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】B【解析】由棱柱的性质可知A 正确，B 错误；由圆柱的性质可知C 正确；由正棱锥的性质可知D 正确.故选：B14．已知l 是直线，,αβ是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）A ．若//,//l l αβ，则//αβB ．若,//αβα⊥l ，则l β⊥C ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥D ．若//,//l ααβ，则//l β【答案】C 【解析】若,//,,m l m l l αβαβ⋂=⊄⊄，则有//,//l l αβ，故可判断A 错误.若,//,m l m l αβα⋂=⊄，则//l β或l β⊂，故B 错误.若,//l l αβ⊥，则β存在直线与l 平行，所以αβ⊥，故C 正确.若//,//l ααβ，则//l β或l β⊂，故D 错误.故选：C.15．《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF ，其中////AB DC EF ，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a 、b 、c ，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m 、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n （如图）．羡除的体积公式为()6a b c mn V ++=，过线段AD ，BC 的中点G ，H 及直线EF 作该羡除的一个截面α，已知α刚好将羡除分成体积比为5:4的两部分．若4AB =、2DC =，则EF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．6故选：B16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则以下命题正确的序号为（）①直线1BD ⊥平面11AC D②平面1B CD 与平面BCD 的夹角大小为π2③三棱锥11P AC D -的体积为定值④异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①④三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，已知,,,E F G H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱111,,,AB BC CC C D 的中点，且EF 与HG 相交于点Q ．(1)求证：点Q 在直线DC 上；(2)求异面直线EF 与11A B 所成角的大小．【解析】（1）平面ABCD 平面11CDD C DC =，由于Q EF ∈⊂平面ABCD ，Q HG ∈⊂平面11CDD C ，所以Q DC ∈，也即点Q 在直线DC 上.（6分）（2）根据正方体的性质可知11//A B DC ，所以异面直线EF 与11A B 所成角为DQE ∠，（8分）由于//,,AB DC E F 分别是,AB BC 的中点，所以45DQE FEB ∠=∠=︒，所以异面直线EF 与11A B 所成角的大小为45︒.（14分）18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，O 是AC 与BD 的交点，=45ADC ∠ ，2AD AC ==，⊥PO 平面ABCD ，2PO =，M 是PD 的中点．(1)证明：//PB 平面ACM(2)求直线AM 与平面ABCD 所成角的大小．【解析】（1）连接MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 与BD 的交点，所以O 为BD 的中点，（2分）又M 为PD 的中点,所以//PB MO .因为PB ⊄平面,ACM MO ⊂平面ACM ，所以//PB 平面ACM .（6分）（2）取DO 中点N ,连接MN ,AN，因为M 为PD 的中点,所以//MN PO ,且112MN PO ==,由⊥PO 平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角.（8分）因为底面ABCD 为平行四边形，且45ADC ∠=o ，2AD AC ==，所以45ACD ∠= ，则90DAC ∠= ，在Rt DAO 中,2,1AD AO ==,所以DO =从而122AN DO ==，因为MN ⊥平面ABCD ,AN ⊂平面ABCD ,MN AN ∴⊥，所以在Rt ANM中，tan 5MN MAN AN ∠==，0,2MAN π⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，19．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm ，圆柱高为30cm ，底面的周长为24πcm .(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到30.1cm ）；(2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米．．．．8元．，共需多少元？（结果精确到0.1元）【解析】（1）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为1h ，圆柱高为2h ，则由题意有2π24πr =，得12cm r =，圆锥高116cm h ==，所以“笼具”的体积2232111πππ14430144165088π15984.4cm 33V r h r h ⎛⎫=+=⨯+⨯⨯=≈ ⎪⎝⎭.（6分）（2）圆柱的侧面积2122π720πcm S rh ==，圆柱的底面积22π144πS r ==，圆锥的侧面积3π240πS rl ==，所以“笼具”的侧面积21231104πcm S S S S =++=侧.（12分）故造50个“笼具”的最低总造价为41104π5081104π138.71025⨯⨯=≈元.（14分）答：这种“笼具”的体积约为315984.4cm ；生产50个笼具需要138.7元.20．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AD BC ，90BCD ∠=︒，PA PB =，PC PD =．(1)证明：CD 与平面PAD 不垂直；(2)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；(3)如果CD AD BC =+，二面角P BC A --等于60︒，求二面角P CD A --的大小．【解析】（1）若CD ⊥平面PAD ，则CD PD ⊥，由已知PC PD =，得90PCD PDC ∠=∠<︒，（2分）这与CD PD ⊥矛盾，所以CD 与平面PAD 不垂直．（4分）（2）取AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF 、EF ，由PA PB =，PC PD =，得PE AB ⊥，PF CD ⊥，EF ∴为直角梯形的中位线，（6分）EF CD ∴⊥，又PF EF F = ，∴C ⊥平面P ，（8分）由PE ⊂平面PEF ，得CD PE ⊥，又AB PE ⊥且梯形两腰AB 、CD 必交，PE ∴⊥平面ABCD ,又PE ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ,（10分）（3）由（2）及二面角的定义知PFE ∠为二面角P CD A --的平面角,作EG BC ⊥于G ，连PG ，由于PE ⊥平面ABCD ,⊂BC 平面ABCD ,故PE BC ⊥,EG BC ⊥,,,EG PE E EG PE ⋂=⊂平面PEG ,故⊥BC 平面PEG PG ⊂平面PEG ,所以PG BC⊥故PGE ∠为二面角P BC A --的平面角,（12分）即60PGE ∠=︒，由已知，得11()22EF AD BC CD =+=，又12EG CF CD ==．EF EG ∴=，Rt F Rt PE PEG ∴≅ ．60PEF PGE ∴∠=∠=︒，故二面角P CD A --的大小为60︒．（18分）21．如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，D 为AB 的中点，1D 为11A B 的中点，平面ABC ⊥平面11ABB A ．(1)求证：直线1//A D 平面11BC D ；(2)设直线1AB 与直线1BD 的交点为点E ，若三角形ABC 是等边三角形且边长为2，侧棱1AA =直线1BC 与1AB 互相垂直，求异面直线1A D 与1BC 所成角；(3)若12,2AB AC BC A AB ===∠=，在三棱柱111ABC A B C -内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱111ABC A B C -的高．【解析】（1）斜三棱柱111ABC A B C -中，1D 为11A B 的中点，D 为AB 的中点，所以11111122A D AB AB BD ===，且11A D BD //，所以四边形11A D BD 为平行四边形，所以11//A D BD ，（2分）因为1BD ⊂平面11BC D ，1A D ⊄平面11BC D ，所以1//A D 平面11BC D ；（4分）（2）因为AC =BC ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ，因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥平面11ABB A ，故11C D ⊥平面11ABB A ，所以111C D AB ⊥,又1BC 与1AB 互相垂直，1111BC C D C ⋂=,111,BC C D ⊂面11BC D 故1AB ⊥面11BC D ,得11⊥AB BD .即11B D E 为直角三角形，（6分）在11ABB A 中，1,D D 为中点，11//A D BD ，所以E 为1AB 的三等分点，设1B E t =，由余弦定理可得：()22222211111111111132cos 21232t B E AB A B AA t A B A B D AB A B t +-+-⎝⎭∠====⋅⨯⨯解之：t =，所以11π,6A B A ∠=故112D E =11111113//,,.22D E B D A B AB BD EB AB ∴==∴=11C D ⊥平面11ABB A ，111,C D BD ∴⊥在11BD C △中，11tan 3D BC ∠=.1A D 与1BC所成的角为arctan（10分）（3）过B 作1BP AA ⊥于P ，过P 作1FP CC ⊥于F ，连BFBPF ∴ 为直截面，小球半径为BPF △的内切圆半径因为2,2AB AC BC ===，所以222AC BC AB +=，故AC ⊥BC ，则112CD AB ==（12分）设2,BP t =所以2AP t =，由222AB BP AP =+解得63t =，232633BP AP =由最小角定理112cos cos cos 263A AC A AB BAC ∠=∠∠=⨯=12sin 3PF AC A AC =∠=（14分）由CD ⊥面11ABB A ,易知1BP CC ⊥，23BF PF BP ∴===内切圆半径为：13r =则12362sin .9h r r r A AB =++∠=（18分）。
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三．解答题（8 分+8 分+10 分+12 分+14 分=52 分）
tan
17．已知
1 3
,且
是第四象限角．
（1）若 P 为 角终边上的一点，写出符合条件的一个 P 点坐标；
（2）求 sin , cos 的值.
2
0 x
18．已知
2 ,化简：
lg
cos
x
tan
x
1
2 sin2
x 2
lg
2
解： (1) tan x 3 ；
……4 分
6
m sin x cos x, n sin x cos x
(2)
……6 分
m2 2n 1 4sin x cos x 1 2sin 2x 1 2 2 tan x 1 1 tan 2 x 5 ……10 分
已知 (sin x cos x )2 4 1 sin 2x 4 sin 2x 3
2014 学年第二学期高一年级数学期中试卷
一.填空题（3 分×12=36 分）
y lg x
1. 函数
x 2 1 的定义域是___________________
2.
log a
若
2 3
1 ，则 a 的取值范围是
3.方程 4 x 3 2 x 2 0 的解为______________________
）
A．1 a 2 B． 0 a 1 C． 0 a 1 或1 a 2 D． a 1或 a 2
1 11 ,,
16．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 13 11 5 ，则此人（ ）
（A）不能作出这样的三角形 （C）能作出一个直角三角形
（B）能作出一个锐角三角形 （D）能作出一个钝角三角形
三．解答题（8 分+8 分+10 分+12 分+14 分=52 分）
tan
17．已知
1 3
,且
是第四象限角．
（1）若 P 为 角终边上的一点，写出符合条件的一个 P 点坐标；
（2）求 sin , cos 的值.
(1) 3, 1 (不唯一)
……4 分
sin =- 10 , cos = 3 10
（2）
（另解：
sin x cos x
1 sin 2x
5）
20．在
ABC
中，设角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，且
cos C cos B
3a b
c
，
（1）求 sin B 的值；
（2）若 b 4 2 ，且 a c ，求 ABC 的面积.
cosC 3sin A sin C
（1）由正弦定理，得 cos B
沿北偏东105 方向，以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速 21 海里，则舰艇到达渔船的最
2 短时间是 3 小时．
二、选择题（3 分×4=12 分）
13．在 ABC 中，若 cos A cos B cos C 0 ，则这个三角形是
（B ）
（A）直角三角形 （C）钝角三角形
（B）锐角三角形 （D）直角或锐角三角形
（）
（A）直角三角形 （C）钝角三角形
（B）锐角三角形 （D）直角或锐角三角形
14．在三角形△ABC 中, a 36 , b 21, A 60 ,不解三角形判断三角形解的情况(
)
(A) 一解
（B） 两解
(C) 无解
(D) 以上都不对
15．函数 f (x) log2 (2 a x ) 在区间 ( , 1] 上单调递减，则 a 的取值范围是（
8.设 角属于第二象限，且 2
2 ，则 2 角属于第__________象限.
sin
9.若
: sin
2
5 : 3，则 cos
．
10. 把 cos
3
sin
化为
A sin(
)( A
0,0
2
)
的形式即为
tan ( ) 2 , tan ( ) 1 , 那么 tan( ) 的值是
11.如果
5. 对数函数 y f (x) 的反函数图像过点（2,4），则 y f (x) 的解析式为 y log2 x x 0
4
8
6.若扇形的圆心角为 3 ，弧长为 3 ，则扇形的面积为 3
7.已知
2
,
0
, sin
3 5
，则
cos
-
4 5
cos
cos
8.设 角属于第二象限，且 2
2 ，则 2 角属于第__三_象限.
sin
9.若
: sin
2
5 : 3，则 cos
7 18
10. 把 cos
3
sin
化为
A sin(
)( A
0,0
2
)
的形式即为
2 sin
+
6
tan ( ) 2 , tan ( ) 1 , 那么 tan( ) 的值是 3
11.如果
5
44
4
22
12.某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45 距离为 10 海里的 C 处，此时得知，该渔船
5
44
4
12.某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45 距离为 10 海里的 C 处，此时得知，该渔船
沿北偏东105 方向，以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速 21 海里，则舰 艇到达渔船的最短时间是______ __小时．
1
二、选择题（3 分×4=12 分）
13．在 ABC 中，若 cos A cos B cos C 0 ，则这个三角形是
cos C cos B
3a b
c
，
（1）求 sin B 的值；
（2）若 b 4 2 ，且 a c ，求 ABC 的面积.
3
21.
设a
0且a
1 ，函数
f (x)
log a
x3 x3．
（1）求 f (x) 的定义域；
（2）判断 f (x) 的奇偶性，并证明之；
（3）若 0 a 1 ，讨论函数 f (x) 在区间 (3 , ) 上的单调性，并证明你的结论.
（
A）
5
A．1 a 2 B． 0 a 1 C． 0 a 1 或1 a 2 D． a 1或 a 2
1 , 1 ,1 16．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 13 11 5 ，则此人（ D ）
（A）不能作出这样的三角形 （C）能作出一个直角三角形
（B）能作出一个锐角三角形 （D）能作出一个钝角三角形
2014 学年第二学期高一年级数学学科期中试卷答案 一.填空题（3 分×12=36 分）
y
1. 函数
lg x
x2 1 的定义域是 1，+
2.
log a
若
2 1 3 ，则 a 的取值范围是
2 0，
3
1，+
3.方程 4 x 3 2 x 2 0 的解为 x 0或1
4
4.方程 log2 x 4 log2 x 1 1 log2 x 8 的解是 x 4
=
…… 6 分
lg sin x cos x lg cos x sin x 2 lg cos x sin x
=
=0
…… 8 分
sin x cos x 2 19．已知 sin x cos x .
（1）求 tan x 的值；
（2）若 sin x, cos x 是方程 x 2 mx n 0 的两个根，求 m2 2n 的值.
（1） ( , 3) (3 , ) ． ……3 分
（2） f (x) 是奇函数（证明略）．……8 分
7
（3） f (x) 在 (3 , ) 上是减函数（证明略）．……14 分
8
4.方程 log2 x 4 log2 x 1 1 log2 x 8 的解是
5. 对数函数 y f (x) 的反函数的图像过点（2,4），则 y f (x) 的解析式为
4
6.若扇形的圆心角为 3 ，弧长为 3 ，则扇形的面积为
7.已知
2
,
0
, sin
3 5
，则
cos
cos
cos
sin B 即 sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB
∴sin(B+C)=3sinAcosB∵A+B+C=180°∴sinA=3s
∵0°<A<180°∴cosB= 3 ∴sinB= 3
……6 分
a2 c2 b2
1
,
（2）由余弦定理，cosB= 2ac 再由 b=4 2 ，a=c，cosB= 3 得 c2=24
10
10
……8 分
0 x
18．已知
2 ,化简：
lg
cos
x
tan
x
1
2 sin2
x 2
lg
2
cos
x
4
lg
1
sin
2
x
．
lg sin x cos x lg cos x sin x lg 1 sin 2x
=
…… 4 分
lg sin x cos x lg cos x sin x lg cos x sin x2
1
1
∴S△ABC= 2 acsinB= 2 c2sinB=8 2
……12 分
21.
设a
0且a
1 ，函数
f (x)
log a
x3 x3．