六年级下册数学试题-同余问题(含部分答案)全国通用

一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0)，

若有a÷b＝q…r，或者a＝b×q＋r，0≤r＜b；

当r＝0时，我们称a能被b整除；

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商。

2．余数的性质

①被除数＝除数×商＋余数；除数＝(被除数－余数)÷商；商＝(被除数－余数)÷除数；

②余数小于除数。

③如果a，b除以c的余数相同，就称a，b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差

能被c整除。(a，b，c均为自然数)

例如：17与11除以3的余数都是2，所以17－11能被3整除。

④a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23＋16)除以5的余数等于3＋1＝4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23＋19)除以5的余数等于(3＋4)除以5的余数。

⑤a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23×16)除以5的余数等于3×1＝3。

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。

3．余数的四大判断法：

⑴末位判断法——被4，25，8，125，16，625除的余数特征

以4为例：一个数除以4的余数，等于它的末两位除以4的余数。

⑵数位和判断法——能被3，9整除的数特征

以3为例：一个数除以3的余数，等于它的数位和除以3的余数。

⑶数位差判断法——能被11整除的数的特征一个数除以11的余数，等于它的奇位和减

去偶位和之差(如不够减，奇位和加11后再减)除以11的余数(注意不要减反)。

⑷三位截断法——能被7，11，13整除的数的特征

以7为例：一个数除以7的余数，等于把它的末三位截断后，末三位减去前面部分之差(如不够减，末三位加7后再减)除以7的余数(注意不要减反)。

1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

109后余数为4的两位数

例3

，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________

例4

3、6和9的余数。现知这三余数的和是15试求该数除以18的余数

例5

求2461×125×6047除以11的余数

例6

在图表的第二行中，恰好填上89～88这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3

测试题

1．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10。那么，这些自然数共有________个。2．在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是________。

3．有8只盒子，每只盒内放有同一种笔。8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔。这盒水彩笔共有多少支？4．若68

÷=，则a的最小值为________。

a b

答案

1．【解析】

由于2008被这些自然数去除，得到的余数都是10，因此，这些自然数都是2008101998

-=的约数，并且这些自然数都大于10。又因为3

=⨯⨯，于是可知，1998共有

19982337

+⨯+⨯+=(个)约数。容易判断1998不大于10的约数有5个：1，2，3，6，

(11)(31)(11)16

9。因此共有16511

-=(个)自然数乘2008都余10。

2．【解析】

因为1390313511392

-=，

-=, 1458913903686

由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除。(392,686)98

=，所以所求的最大整数是98。

3．【解析】

铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的+++++++=除以6余1，所以水彩笔的支数++=倍。1723333638424951289

3216

除以6余1，在上述8盒的支数中，只有49除以6余1，因此水彩笔共有49支。4．【解析】

=+，其中b最小也是9，所以a最小值是62。

a b

68