控制系统数学模型种类

（空载Ml=0）
液位系统线性化模型求取应用实例

求取过程

确定系统的输入和输出 建立原始方程组
d h (t ) q1( t ) q 2 ( t ) ; dt
q1 (t )
C

q2(t)α
h(t) ; h(t )
q2 (t )
非线性模型线性化
q 2 ( t ) α h ( t ) d q2 ( t ) [h ( t ) h0 ( t ) ] q2 0( t ) dt 1 1 q2 ( t ) q2 0( t ) [ h (t ) h0 ( t ) ] q 2 ( t ) h (t ) R R q2 ( t ) q2 0( t )
FB ( t ) f
d y( t ) dt
Fk ( t ) k y ( t )
d2y (t ) d y (t ) m f k y (t ) F(t ) 2 d t dt
机械旋转实例

解题依据
运动学定律： 作用力矩=反作用力矩 ; ∑M = J a

求取过程
输入动力矩Mf；输出物体旋转角度θ 或角速度ω 。
输出响应象函数为： C(s ) G(s ) R(s )

传递函数的特征及性质 传递函数的求取方法
传递函数的特征及性质
1、传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统的 固有特性，与输入信号类型及大小无关。 2、传递函数只适用于线性连续定常系统。 3、传递函数仅描述系统的输入/输出特性。不同的物理系统 可以有相同的传递函数。同一系统中，不同物理量之间对 应的传递函数也不相同。 4、初始条件为零时，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统 的传递函数。 5、实际系统中有n≥m，n称为系统的阶数； 6、传递函数是系统性能分析的最简形式之一。
第二节
微分方程的建立
课后练习一
一、微分方程的建立
1、无源电网络模型实例 2、机械位移实例 3、机械旋转实例 4、直流电动机系统实例
二、非线性模型的线性化
1、线性模型的特征—齐次性和叠加性 2、非线性模型线性化问题的提出—理论研究和工程应用的需要 3、线性化的基本方法—静态工作点附近线性化（级数展开） 4、液位系统线性化模型求取应用实例
第二章 控制系统的数学模型
（本章五次课）
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
基本概念 单元内容总结 微分方程的建立 传递函数 动态结构图（方框图） 动态结构图的等效变换求传递函数 信号流图和梅逊增益公式 控制系统的典型传递函数 典型环节的传递函数
第一节 基本概念
一、控制系统数学模型的定义 描述系统输入与输出动态关系的数学表达式。 二、建立控制系统数学模型的意义 数学模型是进行控制系统性能分析的前提条件。 三、建立控制系统数学模型的方法 1、理论建模* 2、试验建模 3、系统辨识 四、控制系统数学模型的几种形式 1、微分方程 2、传递函数* 3、频率特性*
1 d i (t ) L R i ( t ) dt C 1 i (t )d t uc ( t ) C t u (t ) i (t )d
r

R
L


u r (t )
_
i (t )
C
u c (t )
_

代入消元，获仅含输入输出变量的线性连续微分方程。
消除中间变量i(t)，化微分方程为规范结构形式

系统微分方程的求取
RC
d h (t ) h ( t ) R q 1( t ) dt
RC
d q2 ( t ) q 2 ( t ) q1( t ) dt
课后练习一

L
R2
习题1
建立图示电网络输入电压和输 出电压之间的微分方程。

ur u1 R1

C
uc
_
_
_
c (t ) ( R1R2C L)u c (t ) R1uc (t ) R1ur (t ) ( R1 R2 ) LCu

传递函数
问题的提出 传递函数的定义及表示形式
零初始条件下输出象函数与输入象函数的比值。 有理真分式多项式
(t ) a0c (t ) (t ) b0r(t ) (n m ) anc ( n)(t ) a1c bmr ( m ) (t ) b1r
C (s) bms m bm 1s m 1 b1s b 0 N (s) G(s) R (s) ans n an 1s n 1 a1s a 0 M (s)
qr

习题2
建立图示初箱输入流量和末 箱水位之间的微分方程。（两个 水箱的横截面积分别为C1和C2）
h1
R1 q0
h2
R2
qc
(t ) ( R C R C R C )h R1R2C1C2h 2 1 1 2 2 2 1 2 (t ) h2 (t ) R2qr (t )
第三节
Uf
if
Hale Waihona Puke Baidu

求取过程

电网络平衡方程 电动势平衡方程 机械平衡方程 转矩平衡方程
d Ia R aIa E a Ua dt Ea K e ω dω Ja Ma ML dt Ma K CIa La
JaLa d2ω JaR a d ω K eω Ua K C d t2 KC d t
d 2 u c(t) duc(t) LC RC u c(t) u r(t) dt2 dt
机械位移实例

解题依据
运动学定律： 作用力=反作用力 ; ∑F = m a。
F (t )
k

求取过程
输入外力F(t)；输出质量模块m的位移y(t)。
f
m
y (t )

d2 y ( t ) m F( t ) F B ( t ) F k (t ) 2 dt
J d2 θ (t) dθ Mf f dt d t2
d2θ dθ 角位移方程：J f Mf 2 d t dt
dω 角速度方程：J f ω M f dt
Mf
f

直流电动机系统实例

解题依据

Ra
La Ia Ma Ea
Ja ML
基尔霍夫定律； Ua 运动学定律； 直流发电机相关定律。
三、控制系统数学模型特征
1、微分方程的阶数等于整个系统中蓄能元件的个数； 2、同一个系统，选择不同输入或输出信号，微分方程的形式则不同； 3、数学模型存在的共性是系统性能仿真研究的理论依据。
无源电网络模型实例

解题步骤及求取过程

确定图示无源的网络的输入ur(t)和输出uc(t) ； 依据回路电压定律，设置中间变量回路电流i(t)，从输入到输出建立原 始微分方程组；