控制系统数学模型种类
控制系统的数学模型
[(s
s1 ) m
F (s)]
13
当无重根时：
则：
F(s) C1 C2 Ci
Cn
n
Ci
s s1 s s2
s si
s sn i1 s si
f
(t)
L1[F(s)]
n
L1[
i 1
Ci s si
]
n i1
Ci e si t
其中：
Ci
lim (s
ssi
si ) F(s)
或
B(s)
Ci A' (s) |ssi
例：求F(s)的原函数
F (s)
s2
s
3 2s
2
解：分母多项式的根为： s1 1 j1 ,
s2 1 j1
方法一、F(s)可表示为
F(s)
s3
C1 C2
(s 1 j)(s 1 j) s 1 j s 1 j
其中：
C1
lim (s
s1 j
1
j)
(s
1
s3 j)(s 1
L[eat f (t)] F(s a)
例:
f(t) 1
t1 t2
f (t)=1(t-t1)-1(t-t2)
L[ f (t)] L[1(t t1)] L[1(t t2 )]
t
e t1s 1 e t2s 1
s
s
例:
f (t) e2t cos 3t
L[
f
(t
)]
(s
s2 2)2
9
四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下
三、拉氏变换基本法则
1. 线性法则： 设：F1(s)=L[f1(t)]， F2(s)=L[f2(t)]，a和b为常数，则
内部控制系统评价定量分析的数学模型
内部控制系统评价定量分析的数学模型随着企业规模的扩大和风险的增加，内部控制系统的评价变得越来越重要。
为了对内部控制系统进行全面、准确的评价，需要借助数学模型来进行定量分析。
本文将介绍内部控制系统评价定量分析的数学模型，并探讨其应用。
一、概述内部控制是指企业为实现经营目标，确保资产的安全、准确记录交易、遵循法规、规范业务流程等各类控制措施的总称。
内部控制系统评价的目的是评估企业内部控制体系的有效性和可行性，为企业管理者提供改进措施。
二、数学模型1. 贝叶斯网络模型贝叶斯网络模型是一种概率图模型，通过描述事物间的相互关系，分析因果关系的强弱，从而评估内部控制系统的有效性。
通过建立各个控制点的贝叶斯网络模型，可以量化各项控制措施对于风险的影响程度，并计算出整体的风险水平。
2. 层次分析模型层次分析模型是一种定量分析方法，通过对内部控制系统的各个要素进行分层次的两两比较和权重分配，来评估内部控制系统的整体性能。
通过构建层次分析模型，可以确定内部控制系统各项要素的重要性，并为改进措施的制定提供数学依据。
3. 控制链模型控制链模型是通过描述内部控制系统中控制要素的依赖关系，评估控制链的强弱程度。
通过量化各个控制要素的控制力度和被控制程度，可以评估控制链的可靠性和有效性，为内部控制系统的改进提供指导。
三、应用案例以某企业的采购管理为例，应用数学模型评价内部控制系统的有效性。
1. 建立贝叶斯网络模型根据采购管理的各项控制措施，建立贝叶斯网络模型，包括供应商审核、采购订单审核、收货检验等多个节点。
通过概率计算和条件推理，评估各个节点的风险水平，并计算出整体的风险水平。
2. 构建层次分析模型将采购管理的各个要素进行层次化比较和权重分配，包括采购流程、内部审核、采购人员素质等。
通过计算各个要素的权重，评估内部控制系统的整体性能，并为改进提供决策支持。
3. 评估控制链的可靠性通过分析采购管理的各个控制要素之间的依赖关系，量化控制链的可靠性。
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
控制 系统的数学模型
Monday, July 27,
J
d
dt
m
mc
2020
8
控制系统的微分方程
La
di dt
Rai
ea
ua
ea Ce
m Cmia
J
d
dt
m
mc
整理得
La J CeCm
d 2 dt 2
Ra J CeCm
d dt
ua Ce
La CeCm
dmc dt
Ra mc CeCm
TaTm
d 2 dt 2
Tm
d dt
这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg, N.s / m, N / m
Monday, July 27,
2020
7
控制系统的微分方程
[例2-3]电枢控制式直流电动机
Ra La
if
i ua
ea
M
ω
这里输入是电枢电压ua和等效到电机
Mc 转轴上的负载转矩Mc，输出是转速
若的取A(某x0,一y0平)。衡A点状附态近为有工点作为点，如下图中y0
例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 x, F, m, f , k
分别与
q,
ui
,
L,
R,
1 C
为相似量。
[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟
相对复杂的系统，实现仿真研究。
Monday, July 27,
2020
10
非线性环节微分方程的线性化
2、非线性元件（环节）微分方程的线性化
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果 描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系 统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠 加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠 加得到。
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。
从不同的角度，可以对数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统内部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。
2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。
机理分析法是通过对系统内部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。
实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。
如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。
这是介于上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。
2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？答主要步骤有：⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。
一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。
⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。
⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分方程式（或方程式组）。
⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。
是对实际物理系统的一种数学抽象。
模型各有特点，使用时可灵活掌握。
若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。
11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。
控制系统数学模型
控制系统数学模型
控制系统数学模型是指用数学方法对控制系统进行建模和分析
的过程。
控制系统是指对一些物理过程进行控制的系统，包括机电控制系统、化工控制系统、航空航天控制系统等。
数学模型是指对一个系统或过程进行描述的数学式子或方程组。
建立控制系统的数学模型是控制工程的重要基础之一。
通过建立数学模型，可以更加深入地理解系统的特性，优化控制策略，提高系统的效率和稳定性。
在建立控制系统数学模型时，需要先对被控系统进行分析，确定系统的物理特性和运动规律。
然后，根据控制对象的特性，选择适当的数学模型进行建立。
常用的控制系统数学模型包括线性时不变系统模型、非线性系统模型、时变系统模型等。
线性时不变系统模型是指系统的输出与输入之间满足线性关系，且系统的特性不随时间变化。
非线性系统模型是指系统的输出与输入之间不满足线性关系。
时变系统模型是指系统的特性随时间变化。
除了建立数学模型外，还需要对模型进行分析和仿真。
常用的分析方法包括传递函数法、状态空间法等。
仿真可以通过计算机模拟系统运动过程，验证控制策略的有效性。
总之，控制系统数学模型是控制工程的重要基础之一，对于提高控制系统的性能和稳定性具有重要意义。
- 1 -。
控制系统的数学建模方法
控制系统的数学建模方法控制系统是指借助外部设备或内部程序，以使被控对象按照预定的要求或指令完成某种控制目标的系统。
在控制系统的设计过程中，数学建模是十分重要的一步。
通过数学建模，可以将实际的控制过程转化为数学方程，使得系统的行为可以被合理地分析和预测。
本文将介绍几种常用的数学建模方法，包括常微分方程模型、传递函数模型和状态空间模型。
1. 常微分方程模型常微分方程模型是控制系统数学建模中常用的方法。
对于连续系统，通过对系统的动态特性进行描述，可以得到常微分方程模型。
常微分方程模型通常使用Laplace变换来转化为复频域的传递函数形式，从而进行进一步的分析和设计。
2. 传递函数模型传递函数模型是描述线性时不变系统动态特性的一种方法。
它以输入和输出之间的关系进行建模，该关系可以用一个分子多项式与一个分母多项式的比值来表示。
传递函数模型常用于频域分析和控制器设计中，其数学形式直观且易于理解，适用于单输入单输出系统和多输入多输出系统。
3. 状态空间模型状态空间模型是一种将系统的状态表示为向量形式，并以状态方程描述系统动态行为的方法。
通过状态变量的引入，可以将系统行为从时域转换到状态空间，并进行状态变量的观测和控制。
状态空间模型具有较强的直观性和适应性，能够较好地描述系统的内部结构和行为特性，广泛应用于现代控制理论和控制工程实践中。
4. 神经网络模型神经网络模型是一种模拟人脑神经元间相互连接的计算模型，可以用于控制系统的建模与控制。
通过训练神经网络，可以实现对系统的非线性建模和控制，对于复杂控制问题具有较强的适应性和鲁棒性。
5. 遗传算法模型遗传算法是一种通过模拟生物进化过程，优化系统控制器参数的方法。
通过设定适应度函数和基因编码方式，利用遗传算法优化求解出最优控制器参数。
遗传算法模型广泛应用于控制系统自动调参和优化设计中，具有较强的全局寻优能力和较高的收敛性。
数学建模是控制系统设计的重要环节，通过合理选择建模方法，可以更好地描述和分析系统的动态特性，并基于此进行控制器设计和性能评估。
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
控制工程基础 第二章 控制系统的数学模型
R1 ui C1 K
R2 C2 uc
U c ( s) K U i ( s ) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1)
有源网络：
Ur R0
R1
C1 +12V
+
-12V
Uc
U c ( s) R1C1s 1 U r ( s) R0C1s
2-3 典型环节及其传递函数
环节：具有某种确定信息传递关系的元 件、元件组或元件的一部分称为一个环 节。 系统传递函数可写为：
例2 电学系统： 其中：电阻为R，电感为L，电容为C。
＋ ur(t) － i
＋ uc(t) －
解：系统的微分方程如下
d U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
2
拉氏变换后（零初始条件下）
U c ( s) 1 2 U r ( s ) LCs RCs 1
2 2
1 1 1 , 2 2 s Ts 1, T s 2Ts 1
各典型环节名称：
比例环节：K 一阶微分环节：s 1 2 2 s 二阶微分环节： 2 s 1 1 积分环节： s 1 惯性环节： 1 Ts 1 二阶振荡环节：2 s 2 2Ts 1 T
传递函数的性质： （1）传递函数只取决于系统或元件的结构和 参数，与输入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统， 具有复变函数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式， 即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；
传递函数的性质： （5）传递函数与真正的物理系统不存在一 一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多 项式的系数均为实数，故零点和极点可以是 实数，也可以是成对的共轭复数。
第二章 控制系统的数学模型
⇒
QQQr00(((sss)))−−=QQH0c1(((sss)))R=−=1Hcc122s(sHsH)12(s()s)
qc (t)
=
h2 (t) R2
Qc
(s)
=
H2 (s) R2
G(s)
=
Qc (s) Qr (s)
=
R1R 2C1C 2s 2
1 + (R1C1 + R2C2
机理分析法：
依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导 来得到数学模型的方法 。
实验辨识法：
通过整理基于系统输入－输出的实验数据来 得到系统的数学模型。本章着重讨论机理分析 法。
建模特点：相似性、简化性、准确性。
数学模型类型： 经典控制理论: 微分方程（连续系统）、
差分方程（离散系统） 、传递函数、系 统方框图和信号流图； 现代控制理论：状态方程
注：如果在第(3)步结束时已经得到符合第(4)步要求的微分方程，则 无须第(4)步。
线性定常系统微分方程的一般形式
an
d nc(t) dt n
+
an−1
d n−1c(t ) dt n−1
+
...
+
a1
dc(t ) dt
+
a0c(t )
=
bm
d mr(t) dt m
+
bm −1
d m−1r(t ) dt m−1
d x(t ) + dt
Kx(t ) = f (t )
当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x1(t)； 当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为x2(t)； 如果f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解为x(t)= x1(t)+x2(t),这就是叠加性
自动控制原理控制系统的数学模型
自动控制原理控制系统的数学模型自动控制原理是现代控制工程学的基础，在控制系统的设计中起着至关重要的作用。
控制系统的数学模型是指通过数学方法对控制系统进行建模和描述，以便分析和设计控制系统的性能和稳定性。
控制系统的数学模型可以分为时域模型和频域模型两种形式。
一、时域模型时域模型是描述控制系统在时间域上动态行为的数学表达式。
时域模型是基于系统的差分方程或微分方程的。
1.线性时不变系统的时域模型对于线性时不变系统，可以通过系统的微分方程或差分方程来建立时域模型。
常见的时域模型包括：-一阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*u(t)-二阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*(1+t/Td)*u(t)2.非线性系统的时域模型对于非线性系统，时域模型可以通过系统的状态空间方程来建立。
常见的非线性系统时域模型包括：- Van der Pol方程： d^2x/dt^2 - μ(1 - x^2) * dx/dt + x = 0 - Lorenz方程：dx/dt = σ * (y - x), dy/dt = rx - y - xz, dz/dt = xy - βz二、频域模型频域模型是描述控制系统在频域上动态行为的数学表达式。
频域模型是基于系统的传递函数或频率响应函数的。
1.传递函数模型传递函数是系统的输入和输出之间的关系，是频域模型的核心。
传递函数可以通过系统的拉普拉斯变换或Z变换得到。
常见的传递函数模型包括：-一阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T*s+1)-二阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T^2*s^2+2ξ*T*s+1)2.频率响应模型频率响应函数是系统在不同频率下的输出和输入之间的关系。
频率响应函数可以通过系统的传递函数模型进行计算。
常见的频率响应模型包括：-幅频特性：描述系统在不同频率下的增益变化-相频特性：描述系统在不同频率下的相位变化控制系统的数学模型是对系统动态行为的数学描述，通过对控制系统进行数学建模和分析，可以有效地设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
自动控制系统的数学模型的种类
自动控制系统的数学模型的种类
自动控制系统的数学模型是描述系统各变量之间关系的数学表达式。
这些模型对于理解和分析控制系统的行为至关重要，因此被广泛应用于控制理论、计算机科学和工程领域。
自动控制系统的数学模型可以分为静态模型和动态模型。
静态模型通常以代数方程的形式表示，描述变量之间的静态关系，即在特定条件下，变量各阶导数为零的情况。
动态模型，如微分方程、差分方程和状态方程，则用于描述变量之间的关系以及系统的动态行为。
其中，微分方程是控制系统中最常用的数学模型之一，它可以描述系统的动态行为。
差分方程和状态方程则分别适用于描述离散系统和包含多个状态变量的系统。
要构建一个控制系统的数学模型，通常需要遵循以下几个步骤：首先，确定系统中的输入量和输出量，这通常是根据系统的工作原理和功能来决定的；其次，分析系统内部元件的工作原理，并应用相关的物理或化学规律，推导出描述元件行为的微分方程或差分方程；最后，对推导出的方程进行化简和整理，以得到输出量与输入量之间关系的微分方程，这即是元件的数学模型。
综上所述，自动控制系统的数学模型是描述系统行为和特性的重要工具，对于分析和设计控制系统具有重要意义。
在实际应用中，需要根据系统的具体需求和工作原理来选择合适的数学模
型，以实现对系统的精确描述和控制。
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
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第二节
微分方程的建立
课后练习一
一、微分方程的建立
1、无源电网络模型实例 2、机械位移实例 3、机械旋转实例 4、直流电动机系统实例
二、非线性模型的线性化
1、线性模型的特征—齐次性和叠加性 2、非线性模型线性化问题的提出—理论研究和工程应用的需要 3、线性化的基本方法—静态工作点附近线性化（级数展开） 4、液位系统线性化模型求取应用实例
系统微分方程的求取
RC
d h (t ) h ( t ) R q 1( t ) dt
RC
d q2 ( t ) q 2 ( t ) q1( t ) dt
课后练习一
L
R2
习题1
建立图示电网络输入电压和输 出电压之间的微分方程。
ur u1 R1
C
uc
_
_
_
c (t ) ( R1R2C L)u c (t ) R1uc (t ) R1ur (t ) ( R1 R2 ) LCu
三、控制系统数学模型特征
1、微分方程的阶数等于整个系统中蓄能元件的个数； 2、同一个系统，选择不同输入或输出信号，微分方程的形式则不同； 3、数学模型存在的共性是系统性能仿真研究的理论依据。
无源电网络模型实例
解题步骤及求取过程
确定图示无源的网络的输入ur(t)和输出uc(t) ； 依据回路电压定律，设置中间变量回路电流i(t)，从输入到输出建立原 始微分方程组；
输出响应象函数为： C(s ) G(s ) R(s )
传递函数的特征及性质 传递函数的求取方法
传递函数的特征及性质
1、传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统的 固有特性，与输入信号类型及大小无关。 2、传递函数只适用于线性连续定常系统。 3、传递函数仅描述系统的输入/输出特性。不同的物理系统 可以有相同的传递函数。同一系统中，不同物理量之间对 应的传递函数也不相同。 4、初始条件为零时，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统 的传递函数。 5、实际系统中有n≥m，n称为系统的阶数； 6、传递函数是系统性能分析的最简形式之一。
FB ( t ) f
d y( t ) dt
Fk ( t ) k y ( t )
d2y (t ) d y (t ) m f k y (t ) F(t ) 2 d t dt
机械旋转实例
解题依据
运动学定律： 作用力矩=反作用力矩 ; ∑M = J a
求取过程
输入动力矩Mf；输出物体旋转角度θ 或角速度ω 。
1 d i (t ) L R i ( t ) dt C 1 i (t )d t uc ( t ) C t u (t ) i (t )d
r
R
L
u r (t )
_
i (t )
C
u c (t )
_
代入消元，获仅含输入输出变量的线性连续微分方程。
消除中间变量i(t)，化微分方程为规范结构形式
传递函数
问题的提出 传递函数的定义及表示形式
零初始条件下输出象函数与输入象函数的比值。 有理真分式多项式
(t ) a0c (t ) (t ) b0r(t ) (n m ) anc ( n)(t ) a1c bmr ( m ) (t ) b1r
C (s) bms m bm 1s m 1 b1s b 0 N (s) G(s) R (s) ans n an 1s n 1 a1s a 0 M (s)
qr
习题2
建立图示初箱输入流量和末 箱水位之间的微分方程。（两个 水箱的横截面积分别为C1和C2）
h1
R1 q0
h2
R2
qc
(t ) ( R C R C R C )h R1R2C1C2h 2 1 1 2 2 2 1 2 (t ) h2 (t ) R2qr (t )
第三节
J d2 θ (t) dθ Mf f dt d t2
d2θ dθ 角位移方程：J f Mf 2 d t dt
dω 角速度方程：J f ω M f dt
Mf
f
直流电动机系统实例
解题依据
Ra
La Ia Ma Ea
Ja ML
基尔霍夫定律； Ua 运动学定律； 直流发电机相关定律。
d 2 u c(t) duc(t) LC RC u c(t) u r(t) dt2 dt
机械位移实例
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解题依据
运动学定律： 作用力=反作用力 ; ∑F = m a。
F (t )
k
求取过程
输入外力F(t)；输出质量模块m的位移y(t)。
f
m
y (t )
d2 y ( t ) m F( t ) F B ( t ) F k (t ) 2 dt
第二章 控制系统的数学模型
（本章五次课）
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
基本概念 单元内容总结 微分方程的建立 传递函数 动态结构图（方框图） 动态结构图的等效变换求传递函数 信号流图和梅逊增益公式 控制系统的典型传递函数 典型环节的传递函数
第一节 基本概念
一、控制系统数学模型的定义 描述系统输入与输出动态关系的数学表达式。 二、建立控制系统数学模型的意义 数学模型是进行控制系统性能分析的前提条件。 三、建立控制系统数学模型的方法 1、理论建模* 2、试验建模 3、系统辨识 四、控制系统数学模型的几种形式 1、微分方程 2、传递函数* 3、频率特性*
Uf
if
求取过程
电网络平衡方程 电动势平衡方程 机械平衡方程 转矩平衡方程
d Ia R aIa E a Ua dt Ea K e ω dω Ja Ma ML dt Ma K CIa La
JaLa d2ω JaR a d ω K eω Ua K C d t2 KC d t
（空载Ml=0）
液位系统线性化模型求取应用实例
求取过程
确定系统的输入和输出 建立原始方程组
d h (t ) q1( t ) q 2 ( t ) ; dt
q1 (t )
C
q2(t)α
h(t) ; h(t )
q2 (t )
非线性模型线性化
q 2 ( t ) α h ( t ) d q2 ( t ) [h ( t ) h0 ( t ) ] q2 0( t ) dt 1 1 q2 ( t ) q2 0( t ) [ h (t ) h0 ( t ) ] q 2 ( t ) h (t ) R R q2 ( t ) q2 0( t )