第3章--线性系统的时域分析--练习与解答
第三章线性系统的时域分析法2
( 3 ）过阻尼单位斜坡响应
6、二阶系统性能的改善 在改善二阶系统性能的方法中，比例（Proportional）─微分（Differential）
控制和测速反馈控制是两种常用的方法。
（1）比例─微分控制
A、比例P的作用
对于具有比例控制作用的控制器，控制器的输出u(t)与作用误差信号e(t)之间
C(s)
- s2 2ns
二阶系统的特征多项式： s2 2ns n2 0
其两个根（闭环极点）分别为： s1,2 n n 2 1
二阶系统的动态性能取决于ξ和ωn两个参数，对于不同的系统，两个 参数的含义是不同的。
2、二阶系统的单位阶跃响应
s
Cs Rs
s2
n2 2 n s
n2
s1,2 n n 2 1
设系统如图所示若欲使系统在单位阶跃响应中的最大过调量等于02峰值时间等于1秒试确定增益k的数值和速度反馈常数k的值并且确定在此k和kbsjskjkk的误差标准相对于的误差标准相对于调节时间arctan1787非零初始条件下的动态响应非零初始条件下的动态响应在分析二阶系统响应过程时一直假定系统的初始条件为零
由图可以看出，当欠阻尼系 统的ξ值在0.5与0.8之间 时，其响应曲线可比临界阻 尼系统或过阻尼系统更快地 达到稳态值。在响应无振荡 的系统中，临界阻尼系统具 有最快的响应特性。过阻尼 系统对任何输入信号的响应 总是缓慢的。
3、欠阻尼二阶系统的动态性能分析
除了一些不允许系统产生振荡的应用情况以外．通常要求系统的瞬态响应既 具有充分的快速性，又具有足够的阻尼。因此，为了获得满意的二阶系统的瞬态 响应特性，阻尼比必须选择在0.4—0.8之间。小的ξ值(ξ<0.4)会造成系统瞬态 响应的严重超调，而大的ξ值(ξ>0.8)则会使系统的响应变得缓慢。
第三章 线性系统的时域分析与校正 习题及答案
第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案3-1 已知系统脉冲响应t e t k 25.10125.0)(-=试求系统闭环传递函数)(s Φ。
解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程T c t c t r t r t ∙∙+=+()()()()τ近似描述，其中，1)(0<-<τT 。
试证系统的动态性能指标为 T T T t d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=τln 693.0t T r =22. T T T t s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=)ln(3τ 解 设单位阶跃输入ss R 1)(=当初始条件为0时有：11)()(++=Ts s s R s C τ 11111)(+--=⋅++=∴Ts T s s Ts s s C ττC t h t T Te t T()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时h t T Te t td ()./==---051τ12=--T T e t T d τ/ ; T t T T d -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-τln 2ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴T T T t d τln 2ln2) 求t r （即)(t c 从1.0到9.0所需时间)当 Tt e TT t h /219.0)(---==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当 Tt e TT t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==21090122ln ... 3) 求 t sTt s s e TT t h /195.0)(---==τ ]ln 3[]20ln [ln ]05.0ln [ln TT T T T T T T T t s τττ-+=+-=--=∴3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。
要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。
线性系统的时域分析习题答案.doc
第 3 章线性系统的时域分析学习要点1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义；2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用；3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算；4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法；5控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。
思考与习题祥解题思考与总结下述问题。
（1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳值对二阶系统特征根的影响规律。
（2）总结和n 对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。
（3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。
（4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响（5）系统误差与哪些因素有关试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。
（6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。
请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关答：（ 1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图所示。
Im③j n (0)p1③j n 1 2(0 1)p1 ③( 1) ( 1) n p③③ 20 ( 2 1) n ( 2 1) Ren n n np2③j n1 / 2j n③图二阶系统特征根在复平面上的分布当0 ，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。
当 01，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是以n为半径的圆弧，如图中情况②。
当1 ，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。
当1 ，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。
（2）和n 是二阶系统的两个特征参量。
是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。
当0 ，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。
当 01，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。
越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差；越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。
第3章 线性系统时域分析法
C(s)
n2
1
n2
1 A1 A2
s 2 2n s n 2 s s(s s1 )(s s2 ) s s s1 s s2
其中A1 2
1
2 1(
2 1)
1
A2 2
2 1(
2 1)
c(t) 1 1 ( 1
e ( 2 1)nt
1
e ) ( 2 1)nt
2 2 1 2 1
二阶系统的最大超调量只与 有关，阻尼比 越小，超调量越
大。
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
25
自动控制原理
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
26
c() 1
自动控制原理
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
7
自动控制原理
3.1.2 稳态指标与动态指标
动态过程又称为过渡过程，是指系统从加入输入信号的瞬时起，到 系统输出量到达稳态值之前的响应过程，它表征系统的稳定性和对 输入信号响应的快速性。稳态过程是指时间趋于无求大时的输出状 态，它表征系统输出量最终复现输入量的准确性。
控制系统中负载的突变；对于随动系统（如火炮方位角控制系
统），相当于加一突变的给定位置信号。
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
3
自动控制原理
2 斜坡信号
0,
t0
r(t) v0t,
t0
R(s) 1 s2
斜坡信号是一个对时间做均匀变化的信号，可模拟以恒定速度变 化的物理量，例如机械手的等速移动、数控机床加工斜面时的进 给指令、通信卫星跟踪系统的跟踪直线飞行目标等。
1 稳态指标
控制系统在稳态下的精度怎样，是它的一项重要的技术指标，该稳 态指标通常用稳态下系统输出响应的期望值与实际值之间的差来衡 量，称为稳态误差。
夏德钤《自动控制原理》(第4版)-名校考研真题-第3章 线性系统的时域分析【圣才出品】
名校考研真题第3章 线性系统的时域分析一、选择题1．线性定常系统对某输入信号的响应已知，则求该系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对该输入信号响应的（）来求取；而求系统对该输入信号的积分的响应，可通过系统对该信号响应的（）来求取。
[北京理工大学研]A．导数，导数B．积分，积分C．导数，积分D．积分，导数【答案】C2．某系统的开环传递函数，该系统是（）。
[南京理工大学研]A．Ⅰ型三阶系统B．Ⅲ型三阶系统C．Ⅲ型两阶系统D．Ⅰ型两阶系统【答案】A【解析】由于积分环节个数为1，所以选A 。
3．单位反馈控制系统的开环传递函数为，其开环增益和时间常数分别为（ ）。
[南京理工大学研]A ．20，5B ．50，0.2C ．10，5D ．10，0.2【答案】D 【解析】将传递函数改写成如下形式，开环增益和时间常数分别为10，0.2。
4．二阶振荡环节中，三个有定义的频率为：为无阻尼自然频率为有阻尼自然频率为谐振频率，它们之间的大小关系为( )。
[清华大学研]A．B ．C ．D ．【答案】B【解析】，显然。
5．闭环传递函数为的单位脉冲响应曲线，在处的值为( )。
[南京理工大学研]A．B．C．D．0【答案】B【解析】，所以当时，。
6．系统校正中引入“偶极子”的作用是改善系统的（）。
[东南大学研]A．稳态特性B．动态特性C．稳定性D．以上说法均不对【答案】A【解析】偶极子可以产生很大的开环增益而对系统的动态性能影响不大。
7．对高阶系统常常用主导极点的概念和偶极子对的方法进行简化，进而简化计算过程。
下面是几个简化式子，正确的是（）。
[南京理工大学]A．B．C．D．【答案】B【解析】利用闭环主导极点和偶极子对对系统进行化简时应该保证系统的开环增益不变。
二、填空题1．在反馈控制系统中，设置______或______可以消除或减小稳态误差。
[南京邮电大学研]【答案】开环增益；题型系统型次2．当系统的输入信号为单位斜坡函数时，______型以上的系统，才能使系统的稳态误差为零。
线性系统的时域分析法
六、一阶系统响应小结
闭环传递 函数 输入信号 时域 输出响应
− t T
ess
δ (t )
1 TS + 1
1 e T
(t ≥ 0 )
− t T
0 0 T 无穷大
1(t) t
1 2 t 2
1 − e
t ≥ 0
− t T
t
t − T + Te
t ≥ 0
− 1 2 t − Tt + T 2 (1 − e T ) t ≥ 0 2
NJUST AUTOMATION
二、时域法典型控制过程
2、典型外作用(t≥ 0) 、典型外作用 δ (t) （1）单位脉冲信号 ） 1(t) （2）单位阶跃信号 ） 3）单位斜坡（速度） （3）单位斜坡（速度）信号 t (½)t2 （4）单位加速度信号 ） A sin(wt+ø) （5）正弦信号 ） 前四者互为导数关系
h(t p ) − h(∞) h (∞ )
× 100% = e
−
πξ
1−ξ 2
× 100%
ξ = 0 .4 ~ 0 .8
σ % = 1.5% ~ 25.4%
南京理工大学自动化系
NJUST AUTOMATION
π π tp = = ω ω 1−ξ2 d n
π −β π −β tr = = ωd ωn 1−ξ 2
ω ntd =
1
ξ
ln
1 − ξ 2 ω n t d + arccos ξ ) 1−ξ
2
2
ξ
值范围内，近似有： 在较大的 ξ 值范围内，近似有：
td =
0 <ξ <1
1 + 0.6ξ + 0.2ξ
第三章 线性系统的时域分析法
第三章 线性系统的时域分析法思考题3-1 某记录仪位置随动系统如图3-1所示。
图中u 为输入电压，ϕ为输出位移。
假定该记录仪性能指标符合要求，但在装配过程中出现如下差错：图3-1 记录仪位置随动系统（1）误将测速机反馈极性接反，系统会出现什么现象？（2）测速反馈极性正确，但误将电位器极性接反，系统会出现什么现象？（3）测速反馈极性及电位器反馈极性都接反，系统又会出现什么现象？试用特征方程式根进行分析，并概略画出相应的)(t ϕ过程图形。
讨论题3-1 设随动系统的微分方程为： u K x x T 200=+&&&])([1f x t r K u -=0x x x T f f f =+&其中T,T f, K 2为正常数。
如果在外作用r(t)=1+t 的情况下，使0x 对r(t)的稳态误差不大于正常数 0ε,试问k1应满足什么条件？3-2 设控制系统如图3-2所示。
试设计前馈补偿装置)(s G f ,使系统对输入r(t)=2•1(t)的稳态误差为零，并对设计结果的实用性进行评述。
图3-2 控制系统3-3 已知单位反馈控制系统的开环传递函数)3)(1(22)(++=s s s G电位器系统输入量为r(t)，输出量为c(t)。
要求：（1）)(1)(t t r =时，c(t)的最大值和稳态值；（2）t A t r ωsin )(=时，选取ω值使系统稳态输出的振幅最大，并求出此最大振幅。
作业题3-1 设系统的微分方程式如下：)()()(24.0)(04.0t r t c t c t c =++&&&试求系统的单位脉冲响应k(t)和单位阶跃响应h(t)。
3-2 已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数Φ（ｓ）。
)1(1.0)(3/t e t k --=3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为 )1.536.1sin(5.1210)(2.1ot t et h +-=- 试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。
第三章-线性系统的时域分析法(简)
劳斯表出现全零行:
系统在s平面有对称分布的根：
①大小相等符号相反的实根
j
0
②共轭虚根
j
③对称于实轴的两对共轭复根
j
0
0
• 特殊情况3：多行元素全为零
Routh表出现多个全零行，系统在s平面有重共轭虚根， 则系统不稳定。
参看：《现代控制系统》第八版 Richard C.Dorf Robert H.Bishop著
名称
时域表达式 复数域表达式
单位阶跃信号 1(t) , t 0
1 s
单位斜坡信号 t , t 0
1 s2
单位加速度信号 1 t 2 , t 0
2
1 s3
单位脉冲信号 (t) , t 0
1
正弦信号
A
As
Asint Acost s2 2 s2 2
二、 动态过程与稳态过程 P78
➢ 动态过程（过渡过程、瞬态过程）： 在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状
s5
1
5
6 解决方法：
s4
1
由全0行的上一行元素构
5
6 成辅助方程F(s)=0，并
s3 0 4 0 10 0 对其求导后，用所得系数
s2 5/2
6
代替全0行的元素。
s1 2/ 5
例如：F(s) s4 5s2 6 0
s0
6
求导得: F(s) 4s3 10s1 0
s1,2 j 2 s3,4 j 3 s5 1
第三章 线性系统的时域分析法
本章主要内容: 3.I 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差计算
第3章 线性系统的时域分析法
n n 1 2
n n 1 2
2 (1 1 entp ) n 2
ts
3
n
( 5%)
（2）临界阻尼单位斜坡响应
c(t)
t
2
n
2
n
1
1 2
n
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e
nt
(t 0)
css
(t
)
t
2
n
ctt
(t)
2
n
1
1 2
nt ent
e(t)
t
c(t)
2
n
2
n
1
1 2
n
t
e
nt
ts
4.1
2% (0 0.9)
5%
1
n
1
n
4
ln
3 ln
1 1 2
1 1 2
n
2% 5%
二阶系统单位阶跃响应的性能指标归纳如下：
1 0.6 0.2 2
td
n
或
tr d
n 1 2
1 0.7 td n
tp
d
n
1 2
% e / 1 2 100%
实际上，上述各项性能 指标之间的存在矛盾， 例如上升时间（响应速 度）和超调量（阻尼程 度或相对稳定性）
sin( n
1 2tr ) 1
1 2
sin(n 1 2 tr ) 0
tr
d
n
1 2
（3）峰值时间 t p 的计算
dh(t ) dt ttp
n e nt p sin d t p 0 1 2
sin d t p 0
d t p 0, , 2 ,
第三章 线性系统的时域分析(新)
本章重点1.时域响应的基本概念；2.一阶系统的时域响应、性能指标和参数的求取；3.二阶系统的时域响应及欠阻尼状态下性能指标的计算；4.系统暂态性能随极点变化的规律；5.代数稳定性判据；6.输入信号和扰动信号作用下稳态误差的计算。
本章难点1.二阶系统的时域响应；2.改善系统动态性能的方法；3.输入信号和扰动信号同时作用时稳态误差的计算；4.代数稳定性判据的应用。
第三章线性系统的时域分析§3.1 典型的输入信号§3.2 线性定常系统的时域响应§3.3 一阶系统的暂态响应§3.4 控制系统暂态响应的性能指标§3.5 二阶系统的暂态性能指标§3.6 高阶系统的动态性能§3.7控制系统的稳态误差§3.8 稳定性和代数稳定性判据§3.9 劳斯－赫尔维茨稳定判据§3.10基本控制规律分析第三章线性系统的时域分析建立系统数学模型的目的是为了分析控制系统的性能。
系统的性能分为暂态性能和稳态性能如何评价？动态性能：用控制系统在典型输入下的响应来评价稳态性能：一般是通过系统在典型输入信号下引起的稳态误差来评价。
控制系统的时域分析包括三个方面：稳定性，暂态性能和稳态性能。
系统时域响应——在某一个输入信号作用下，系统输出随时间变化的函数，是描述系统的微分方程的解。
多数控制系统是以时间为独立变量，所以人们往往关心状态及输出对时间的响应。
控制系统的时域分析——通过对系统外施一给定输入信号，通过研究系统的时间响应来评价系统的性能。
控制系统的时域响应不仅取决于系统本身的参数和结构，而且还和系统的初始状态以及输入信号的形式有关。
实际上，系统的输入信号并非都是确定的，为了便于分析和设计，常采用一些典型输入信号。
§3.1典型的输入信号所谓典型输入信号，是指很接近实际控制系统经常遇到的输入信号，并在数学描述上加以理想化后能用较为典型且简单的函数形式表达出来的信号。
线性系统的时域分析与校正习题及答案
线性系统的时域分析与校正习题及答案第三章线性系统的时域分析与校正习题及答案3-1 已知系统脉冲响应t25.1e0125.0)t (k -=，试求系统闭环传递函数)s (Φ。
解 [])25.1s /(0125.0)t (k L )s (+==Φ3-2 设某⾼阶系统可⽤下列⼀阶微分⽅程)t (r )t (r )t (c )t (c T +τ=+?近似描述，其中，1)T (0<τ-<。
试求系统的动态性能指标s r d t ,t ,t 。
解设单位阶跃输⼊ss R 1)(= 当初始条件为0时有：1Ts 1s )s (R )s (C ++τ= 1Ts T s 1s 11Ts 1s )s (C +τ--=?++τ=∴ T/t e T T 1)t (h )t (c -τ--==T )0(h τ=，1)(h =∞，20T T )]0(h )(h [05.0τ-=-∞=?1) 当 d t t = 时2TT e T T 1)]0(h )(h [5.0)0(h )t (h t /t d τ+=τ--=-∞+=-T /t d e 21-= ; 693T .0t d = 2) 求r t （即)t (c 从1.0)(h ∞到9.0)(h ∞所需时间)当T/t 2eTT 1)0(h )]0(h )(h [9.0)t (h -τ--=+-∞=; 当T/t 1eTT 1)0(h )]0(h )(h [1.0)t (h -τ--=+-∞=; )T 1(.0T lnT t 2τ+τ-=，τ-=)T 9(.0T ln T t 1则 2T .29ln T t t t 12r ==-=3) 求 s tT/t s s eTT 1)0(h )]0(h )(h [95.0)t (h -τ--=+-∞= 3T 05.ln0T t s ==∴3-3 ⼀阶系统结构如图所⽰。
要求系统闭环增益2k =Φ，调节时间4.0t s ≤s ，试确定参数21k ,k 的值。
第三章线性系统的时域分析与校正习题
第三章线性系统的时域分析与校正习题第三章线性系统的时域分析与校正习题班级_________ 学号_________ 姓名_________3-1 已知系统脉冲响应t e t k 25.10125.0)(-=，试求系统闭环传递函数)s (Φ。
解：3-2 设某⾼阶系统可⽤下列⼀阶微分⽅程)t (r )t (r )t (c )t (c T +τ=+?近似描述，其中，1)T (0<τ-<。
试求系统的调节时间s t 。
解：3-3 ⼀阶系统结构如图所⽰。
要求系统闭环增益2k =Φ，调节时间4.0t s ≤s ，试确定参数21k k 和的值。
)1Ts k )s (k (+=ΦΦΦ定义由式可得：解：3-4给定典型⼆阶系统的设计指标：超调量0<%%≤σ，调节时间s35t<，峰值s时间s1<，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。
tp解：3-5电⼦⼼脏起博器⼼律控制系统结构如图所⽰，其中模仿⼼脏的传递函数相当于纯积分环节。
（1）若5.0ξ对应最佳响应，问起=博器增益K应取多⼤？（2）若期望⼼速为60次/min，并突然接通起博器，问1s钟后实际⼼速为多少？瞬时最⼤⼼速多⼤？解：班级_________ 学号_________ 姓名_________3-6 机器⼈控制系统结构如图所⽰, 试确定参数21k k 和的值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0t p =s ，超调量%2%=σ。
解：3-7 图(a)所⽰系统的单位阶跃响应如图(b)所⽰。
试确定系统参数 1k 、2k 、a 和传递函数C(s)/R(s)。
解：3-8 已知系统的特征⽅程为D(s)，试判断系统的稳定性，并确定在右半s 平⾯内特征根的个数及纯虚根的值。
（1） 0100s 24s 8s )s (D 23=+++= （2） 02s s 5s 10s 3)s (D 234=++++= (3) 010s 11s 4s 2s 2s )s (D 2345=+++++= (4) 048s 32s 24s 12s 3s )s (D 2345=+++++= (5) 05s 2s 4s 2s )s (D 234=-++-=解：3-9 单位反馈系统的开环传递函数)5s )(3s (s k )s (G ++=，试判断系统稳定性；若要求系统特征根的实部不⼤于1-，试确定k 的取值范围。
第3章线性系统的时域分析习题答案
第3章 线性系统的时域分析3.1 学习要点1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用；3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法；5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。
3.2 思考与习题祥解题3.1 思考与总结下述问题。
（1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。
（2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。
（3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。
（4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响？（5）系统误差与哪些因素有关？试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。
（6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。
请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关？答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图3.1所示。
图3.1 二阶系统特征根在复平面上的分布当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。
当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。
当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。
当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。
（2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。
ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。
当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。
当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。
ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差；ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。
因此，二阶系统的时域性能指标超调量由ξ值唯一确定，即001_100%2⨯=-πξξσe。
c胡寿松简明教程ch3答案
3.1
3.1.1
系统的时域性能指标
典型输入信号
时域表达式 r(t)=l(t),t≥0 复域表达式 R(s)=1/s
t r(t)
信号名称 单位阶跃函数
函数曲线
r(t)
单位斜坡函数 r(t)=t,t≥0 单位加速度函数 r(t)=1/2t2 t≥0
R(s)=1/s2
r(t) t
R(s)= 1/s3
r(t) t
（2）临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应
h(t ) = 1 − e −ωntωn t − e −ωnt = 1 − e −ω t (1 + ω nt ) —— 稳态值为1的无超调的
n
（3）过阻尼二阶系统的单位阶跃响应
2 ωn 1 ⋅ C (s) = ( s + 1 / T1 )( s + 1 / T2 ) s
0.9h (∞) 误差带 ±2%或±5%
0.5h(∞)
0.1h(∞)
td tr tp
ts
t
tr
ts
t
◆上升时间tr： 振荡——第一次上升到终值所需时间； 非振荡——从终值的10%上升到终值的90%所需的时间； ◆延迟时间td： 第一次达到其终值一半所需的时间； ◆峰值时间tp： 超过其终值后，到达第一个峰值所需的时间； ◆调节时间ts： 到达并保持在[终值±5%终值](或±2%)内所需的最短时间。
（2）标准二阶系统传递函数
ω n2 C (s) Φ (s) = = 2 2 R ( s ) s + 2ζω n s + ω n
ω n ——自然频率（无阻尼自然振荡频率）
ζ ——阻尼比（相对阻尼系数）
（3）标准二阶系统结构图 （单位反馈）
第三章 线性系统的时域分析法内部自编
第三章一、填空题1、系统的瞬态性能通常以系统在（ ）初始条件下，对（ ）输入信号的响应来衡量。
2、线性定常系统的响应曲线不仅取决于系统本身的（ ），而且还与系统的（ ）以及加在该系统的（ ）有关。
3、系统的瞬态性能通常用（ ）、上升时间、（ ）、（ ）和衰减比等指标来衡量。
4、一阶系统的时间常数为系统响应达到稳态值的（ ）所需时间。
或，若系统响应曲线以（ ）速度增加，达到稳态值所需时间。
5、如果增加系统开环传递函数中积分环节个数，则闭环系统的（ ）将提高，稳定性将（ ）。
6、在高阶系统响应中，距离虚轴（ ），且其附近没有（ ）的极点将起到作用。
二、简答题1、什么是时域分析法？2、对于单位阶跃响应，欠阻尼二阶系统的性能指标有哪些？3、线性系统稳定的充要条件是什么？4、计算稳态误差一般有哪些方法？5、什么是控制系统的误差和稳态误差？三、计算题1、 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。
（1）01011422)(2345=+++++=s s s s s s D（2）0483224123)(2345=+++++=s s s s s s D（3）022)(45=--+=s s s s D（4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D2、试选择K 1和K 2的值，使图3-1所示系统阶跃响应的峰值时间为0.5s ，超调量可以忽略不计（即0.5％<超调量<2.0％）。
3、某控制系统如图3-2所示。
其中控制器采用增益为K p 的比例控制器，即G c (s)=K p试确定使系统稳定的K p 值范围。
图3-5图3-2 4、已知单位反馈系统的开环传递函数为1()(0.21)(0.51)G s s s s =++，试求：（1）闭环极点的分布并判断系统是否存在主导极点；（2）估算系统的暂态性能。
5、已知单位反馈系统的开环传递函数为)22)(4()1(7)(2++++=s s s s s s G试分别求出当输入信号t t t r ),(1)(=和2t 时系统的稳态误差6、设一单位反馈控制系统的开环传递函数为)11.0()(+=s s Ks G试分别求出当110-=s K和120-=s K 时系统的阻尼比ξ，无阻尼自然频率n ω，单位阶跃响应的超调量%σ及峰值时间p t ，并讨论K 的大小对系统性能指标的影响。
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第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案3-1 已知系统脉冲响应t e t k 25.10125.0)(-=试求系统闭环传递函数)(s Φ。
解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程T c t c t r t r t ∙∙+=+()()()()τ近似描述，其中，1)(0<-<τT 。
试证系统的动态性能指标为 T T T t d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=τln 693.0t T r =22. T T T t s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=)ln(3τ 解 设单位阶跃输入ss R 1)(=当初始条件为0时有：11)()(++=Ts s s R s C τ 11111)(+--=⋅++=∴Ts T s s Ts s s C ττC t h t T Te t T()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时h t T Te t td ()./==---051τ12=--T T e t T d τ/ ; T t T T d -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-τln 2ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴T T T t d τln 2ln2) 求t r （即)(t c 从1.0到9.0所需时间)当 Tt e TT t h /219.0)(---==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当 Tt e TT t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==21090122ln ... 3) 求 t sTt s s e TT t h /195.0)(---==τ ]ln 3[]20ln [ln ]05.0ln [ln TT T T T T T T T t s τττ-+=+-=--=∴3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。
要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。
解 由结构图写出闭环系统传递函数111)(212211211+=+=+=ΦK K sK K K s K sK K s K s令闭环增益212==ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03321≤==K K T t s ，得：151≥K 。
3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图3-46（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。
（1） 若)(1)(t t r =，0)(=t n 两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？ （2） 当有阶跃扰动1.0)(=t n 时，求扰动对两种系统的温度的影响。
解 （1）对（a ）系统： 1101110)(+=+=s s K s G a ， 时间常数 10=T632.0)(=T h （a ）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间；对（a ）系统：11011010110010110100)(+=+=Φs s s b ， 时间常数 10110=T 632.0)(=T h （b ）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。
（2）对（a ）系统： 1)()()(==s N s C s G n 1.0)(=t n 时，该扰动影响将一直保持。
对（b ）系统： 1011011011010011)()()(++=++==Φs s s s N s C s n 1.0)(=t n 时，最终扰动影响为001.010111.0≈⨯。
3-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的50%或63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（如图3-47）和所测数据,并假设传递函数为)()()()(a s s Ks V s s G +=Θ=可求得K 和a 的值。
若实测结果是：加10V 电压可得1200min r 的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2s ，试求电机传递函数。
提示：注意as Ks V s +=Ω)()(，其中dt d t θω=)(，单位是s rad解 依题意有： 10)(=t v （伏） ππω406021200)(=⨯=∞ （弧度/秒） （1）πωω20)(5.0)2.1(=∞= （弧度/秒） （2）设系统传递函数 as Ks V s s G +=Ω=)()()(0 应有 πω401010lim )()(lim )(000==+⋅⋅=⋅=∞→→aK a s K s s s V s G s s s （3） [][]ate a K a s s L a K a s s K L s V s G L t -----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅=1101110)(10)()()(1101ω 由式（2），（3） [][]ππω20140110)2.1(2.12.1=-=-=--a a e e aK得 5.012.1=--ae解出 5776.02.15.0ln =-=a （4） 将式（4）代入式（3）得 2586.74==a K π3-6 单位反馈系统的开环传递函数)5(4)(+=s s s G ，求单位阶跃响应)(t h 和调节时间t s 。
解：依题，系统闭环传递函数)1)(1(4)4)(1(4454)(212T s T s s s s s s ++=++=++=Φ ⎩⎨⎧==25.0121T T41)4)(1(4)()()(210++++=++=Φ=s C s C s C s s s s R s s C1)4)(1(4lim)()(lim 000=++=Φ=→→s s s R s s C s s34)4(4lim)()()1(lim 011-=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s31)1(4lim)()()4(lim 042=+=Φ+=→-→s s s R s s C s st t e e t h 431341)(--+-=421=T T ， ∴3.33.3111==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T t t s s 。
3-7 设角速度指示随动系统结构图如图3-48所示。
若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K 应取何值，调节时间s t 是多少？解 依题意应取 1=ξ，这时可设闭环极点为02,11-=λ。
写出系统闭环传递函数Ks s Ks 101010)(2++=Φ 闭环特征多项式20022021211010)(⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++=T s T s T s K s s s D比较系数有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=K T T 101102200 联立求解得 ⎩⎨⎧==5.22.00K T 因此有 159.075.40''<''==T t s3-8 给定典型二阶系统的设计指标：超调量%5%≤σ，调节时间 s t s 3<，峰值时间s t p 1<，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。
解依题%5%≤σ， )45(707.0︒≤≥⇒βξ；35.3<=ns t ωξ， 17.1>⇒n ωξ；np t ωξπ21-=1<， 14.312>-⇒n ωξ综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图解3-8所示。
3-9 电子心脏起博器心律控制系统结构图如题3-49图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节。
（1） 若5.0=ξ对应最佳响应，问起博器增益K 应取多大？（2） 若期望心速为60次/min ，并突然接通起博器，问1s 钟后实际心速为多少？瞬时最大心速多大？解 依题，系统传递函数为2222205.005.0105.0)(nn n s s K s s Ks ωξωω++=++=Φ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯==n n Kωξω205.0105.0 令 5.0=ξ可解⎩⎨⎧==2020n K ω将 s t 1=代入二阶系统阶跃响应公式()βωξξξω+---=-t e t h n t n 221sin 11)(可得 min 00145.60000024.1)1(次次==s h5.0=ξ时，系统超调量 %3.16%=σ，最大心速为min 78.69163.1163.01(次次）==+=s t h p3-10 机器人控制系统结构图如图3-50所示。
试确定参数21,K K 值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0=p t s ，超调量%2%=σ。
解 依题，系统传递函数为222121212112)1()1()1(1)1()(n n n s s K K s K K s K s s s K K s s K s ωξωωΦΦ++=+++=++++= 由 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=≤=--5.0102.0212n p oo t e ωξπσξπξ 联立求解得⎩⎨⎧==1078.0nωξ 比较)(s Φ分母系数得⎪⎩⎪⎨⎧=-===146.0121001221K K K n n ξωω 3-11 某典型二阶系统的单位阶跃响应如图3-51所示。
试确定系统的闭环传递函数。
解 依题，系统闭环传递函数形式应为2222.)(nn ns s K s ωξωω++=ΦΦ 由阶跃响应曲线有：21)(lim )()(lim (0==⋅Φ=Φ=∞Φ→→K ss s s R s s h s s ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===-=--o oo o n p e t 25225.221212ξξπσξωπ 联立求解得 ⎩⎨⎧==717.1404.0nωξ所以有 95.239.19.5717.1717.1404.02717.12)(2222++=+⨯⨯+⨯=Φs s s s s3-12 设单位反馈系统的开环传递函数为)12.0(5.12)(+=s s s G试求系统在误差初条件1)0(,10)0(==ee 作用下的时间响应。
解 依题意，系统闭环传递函数为 5.6255.62)(1)()()()(2++=+==Φs s s G s G s R s C s当0)(=t r 时，系统微分方程为 0)(5.62)(5)(=+'+''t c t c t c 考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换[][]0)(5.62)0()(5)0()0()(2=+-+'--s C c s C s c c s s C s整理得 ()())0()0(5)(5.6252c c s s C s s'++=++ （1）对单位反馈系统有 )()()(t c t r t e -=， 所以110)0()0()0(101000()0()0(-=-='-'='-=-=-=e r c e r c ）将初始条件代入式（1）得 2225.7)5.2(26)5.2(105.6255110)(++++-=++--=s s s s s s C 22225.7)5.2(5.747.35.7)5.2()5.2(10++-+++-=s s s )8.705.7sin(6.105.7sin 47.35.7cos 10)(5.25.25.2︒+-=--=---t e t e t e t c t t t3-13 设图3-52（a ）所示系统的单位阶跃响应如图3-52（b ）所示。