第37讲 数列的求和(解析版)

第37讲：数列的求和

一、课程标准

1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法．

2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决与前n 项和相关的问题.

二、基础知识回顾 1．公式法

(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d

2. 推导方法：倒序相加法．

(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1，q ＝1，a 1(1－q n

)1－q ，q ≠1.

推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)

2； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．

(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 3、常见的裂项技巧

①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1

n －1n ＋2.

③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1

2n －1－12n ＋1. ④1

n ＋n ＋1＝n ＋1－n .

⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).

三、自主热身、归纳总结

1、数列112，314，518，71

16，…的前n 项和为(C )

A . 2n －1＋12n

B . n 2

＋1－1

2n C . n 2

＋1－12n D . n 2＋1－1

2n －1

【答案】C

【解析】 S n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋12＋14＋18＋…＋12n ＝n 2

＋1－1

2n .故选C .

2、数列{a n }的通项公式为a n ＝1

n ＋n －1，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝( )

A ．80

B ．81

C ．79

D ．82

【答案】B

【解析】 a n ＝1

n ＋n －1＝n －n －1， 故S n ＝n ，令S k ＝k ＝9，解得k ＝81，故选B.

3、若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )

A ．15 B.12 C ．－12 D ．－15

【答案】A

【解析】a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28 ＝5×3＝15，故选A.

4、数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π

2，其前n 项和为S n ，则S 2 020＝________. 【答案】1 010

【解析】因为数列a n ＝n cos n π

2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.

故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2. a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8， 故a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，∴周期T ＝4. ∴S 2 020＝2 020

4×2＝1 010.

5、(一题两空)(2020·安徽太和模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＋1＋S n S n ＋1＝0，则S n ＝________，数列{}S n S n ＋1的前n 项和为________． 【答案】1n n n ＋1

【解析】∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＋S n S n ＋1＝0，∴S n ＋1－S n ＋S n S n ＋1＝0，∴1

S n ＋1－1

S n ＝1.

又∵1S 1＝1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬

⎫

1S n 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1S n ＝n ，∴S n ＝1n .∴S n S n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1， ∴T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫

12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.

6、(2020·郑州模拟)数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *

，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1

a 3＋…

＋1

a 2 018＝( )

A.2 017

2 018 B.2 0182 019 C.4 0342 018 D.4 0362 019

【答案】D

【解析】因为a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，

所以a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1， 用累加法可得a n ＝a 1＋(n －1)(n ＋2)2＝n (n ＋1)

2， 所以1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1

n －1n ＋1， 所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 018

＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1

2 018－12 019