第四节对称矩阵的对角化
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线性代数第三章第四节实对称矩阵的正交对角化
1
当 1 4 时 , 求 得 A 4 E x 0 的 基 础 解 系 为 1 1 .
1
2
当 2 1 时 , 求 得 A E x 0 的 基 础 解 系 2 1 .
2
1
当 3 2 时 , 求 得 A 2 E x 0 的 基 础 解 系 为 3 2 .
2
第三步 将特征向量正交化
由 于 1,2,3 是 属 于 A 的 3 个 不 同 特 征 值 1,2,3 的 特 征 向 量 ,故 它 们 必 两 两 正 交 .
第四步 将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1
2
3
,
2
1
3
,
3
2
3
.
1 3
2 3
则
P1AP0 0 0.
0 0 0
例 设 3阶 实 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 为 5,1,1,且 A的
对 应 于 特 征 值 为 5的 特 征 向 量 为 1=1,1,1T,
试 求 矩 阵 A.
解 由对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的知
若 = x 1 , x 2 , x 3 T 是 与 特 征 值 = - 1 对 应 的 特 征 向 量 ， 则
2 3
2 2 1
命 P1，2，3132 1 2,
1 2 2
4 0 0
则
P1AP0 1 0 .
0 0 2
1 1 1 例 设A 1 1 1,求一个正交矩阵P，
1 1 1 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
1 1 1
AE 1 1 1 230
当 1 4 时 , 求 得 A 4 E x 0 的 基 础 解 系 为 1 1 .
1
2
当 2 1 时 , 求 得 A E x 0 的 基 础 解 系 2 1 .
2
1
当 3 2 时 , 求 得 A 2 E x 0 的 基 础 解 系 为 3 2 .
2
第三步 将特征向量正交化
由 于 1,2,3 是 属 于 A 的 3 个 不 同 特 征 值 1,2,3 的 特 征 向 量 ,故 它 们 必 两 两 正 交 .
第四步 将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1
2
3
,
2
1
3
,
3
2
3
.
1 3
2 3
则
P1AP0 0 0.
0 0 0
例 设 3阶 实 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 为 5,1,1,且 A的
对 应 于 特 征 值 为 5的 特 征 向 量 为 1=1,1,1T,
试 求 矩 阵 A.
解 由对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的知
若 = x 1 , x 2 , x 3 T 是 与 特 征 值 = - 1 对 应 的 特 征 向 量 ， 则
2 3
2 2 1
命 P1，2，3132 1 2,
1 2 2
4 0 0
则
P1AP0 1 0 .
0 0 2
1 1 1 例 设A 1 1 1,求一个正交矩阵P，
1 1 1 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
1 1 1
AE 1 1 1 230
4.4 实对称矩阵的对角化
便有P1APPTAP
注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应
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习题4-3, P154
5 1 2 4 相似 4 设矩阵 A 2 x 2 与 y 4 2 1 4 求x y 并求一个正交阵P 使P1AP
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2 1 求An 例4.2设 A 1 2 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23
对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
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小结 :实对称矩阵的性质
定理4.1 实对称阵的特征值为实数
定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交. 设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量 若12 则p1与p2正交 定理4.3 设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量 定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0 解 由|AE|(1)2(2) 得特征值12 231
对应12 解方程(A2E)x0 得基础解系1(1 1 1)T 将1单位化 得 p1 1 ( 1, 1, 1)T 3 对应231 解方程 (AE)x0 即 x1 +x2－x30 2(1 1 0)T 3(1 0 1)T 得基础解系 将2 3正交化、单位化得
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0
对称阵的对角化
i
( iii ) 将 上 面 求 得 的 特 征 向 量 为 列 , 排 成 一 个 n 阶 方 阵 H , 则
H ( 1 1 , 1 2 , , 1 r , 2 1 , , 2 r , , s 1 , , s r s ) 1 2
1
此为所求的可逆方阵, H
1
相似
= =
正交 相似
正交 相似
三、矩阵的相似对角化的条件
存在一个 n 阶可逆阵 P , 使 L P A 与对角阵 L 相似 ?
1 p 1 , p 2 , , p n )， L 设 P( n 1
1
AP
( Ap 1 , Ap 2 , , Ap n )
A A A ,
x 是其对应的特征向量 , 即 Ax x
A x A x ( Ax ) ( x ) x
x T A x ( x T A T ) x ( A x )T x ( x )T x x T x
另一方面
x T A x x T (A x ) x T x x T x
( i ) 求 出 A 的 所 有 相 异 的 特 征 值 1 , 2 , , s ; 它们的重数依次为 r1 , r 2 , r s ( r 1 r 2 r s n )
( ii ) 对 每 个 r i 重 特 征 值 i , 求 出 对 应 的 r i 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 i 1 , i 2 , , ir ( 方 程 组 ( A i E ) x O 的 基 础 解 系 ， 1 , 2 , , m ) i
( iii ) 将 上 面 求 得 的 特 征 向 量 为 列 , 排 成 一 个 n 阶 方 阵 H , 则
H ( 1 1 , 1 2 , , 1 r , 2 1 , , 2 r , , s 1 , , s r s ) 1 2
1
此为所求的可逆方阵, H
1
相似
= =
正交 相似
正交 相似
三、矩阵的相似对角化的条件
存在一个 n 阶可逆阵 P , 使 L P A 与对角阵 L 相似 ?
1 p 1 , p 2 , , p n )， L 设 P( n 1
1
AP
( Ap 1 , Ap 2 , , Ap n )
A A A ,
x 是其对应的特征向量 , 即 Ax x
A x A x ( Ax ) ( x ) x
x T A x ( x T A T ) x ( A x )T x ( x )T x x T x
另一方面
x T A x x T (A x ) x T x x T x
( i ) 求 出 A 的 所 有 相 异 的 特 征 值 1 , 2 , , s ; 它们的重数依次为 r1 , r 2 , r s ( r 1 r 2 r s n )
( ii ) 对 每 个 r i 重 特 征 值 i , 求 出 对 应 的 r i 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 i 1 , i 2 , , ir ( 方 程 组 ( A i E ) x O 的 基 础 解 系 ， 1 , 2 , , m ) i
线性代数课件-对称矩阵的对角化
所以正交阵不唯一。
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1) 第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i Ex 0,求出A的特征向量
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将
1
,
2
,
3单位化,
令p i
i i
i 1, 2, 3得
0
p1 1 2 ,
1
2
1
p2
0
,
0
0
p3 1 2 .
1
2
于是得正交阵
0 1 0
P
p1
,
p2
,
p3
1
2
0 1 2
1
2
01
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第四节 对称矩阵的对角化
矩阵因 PA ,对使称P,因-故1AAP 对= 称,,其故中 是以 A 的 n 个特征
值为对角1p1元T =素(的1对p1p)角T1T=矩=(阵A(p.11p)1T)T= =p1(TAApT1)=T p=1TpA1TA, T = p1TA
于是证明从略于.是
1 p1Tp2 = p11TpA1pT2p2==p1pT1(TA2p2 =) =p1T2(p21pTp2 2) ,= 2 p1Tp
的基础解系, 设为 pi1 , pi2 , , pini
( i = 1, 2, ···, s). 并把它们正交化、单位化，仍记
为 pi1 , pi2 , , pini ，以这些向量为列构
造矩阵
P ( p11,p12,, p1n1,p21,p22,, p2n2 ,, ps1,ps2,,psns ),
1
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
单击这里求特征多项式
3 2 0
|A E| 2 2 2
0 2 1
例 18
设
A
A0101010111
1 1,
,
1 1 1 1 00
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
方法评单注击这里求特征多项式
角矩阵 矩=角阵di矩aPg阵(,使1,矩P·=·-·阵1d,AiaPPng)=(,相使1似,,P··其，-·1,A中从Pn而)=相是A似-以 , 其，AE中从的而n是A个-以 与 - E值=与为di对ag角-(元1E-值素=为的d, i·对·a对·g,角(角n元1矩-素阵)的,.相··对·似, 角.n矩-当阵).相似. 当 是 A 的 k 重是特A征的值时 k 重，特1征, ·值··,时n，这1n, 个···特, 征n 这 n 个特
5-4 实对称矩阵的对角化
= (λ − 2)(λ − 4)2,
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
对 λ1 = 2, 求解 (2E − A)x = 0
⎡− 2 0 0 ⎤ ⎡1 0 0⎤
2E −
A=
⎢ ⎢
0
−1 −1⎥⎥ → ⎢⎢0 1 1⎥⎥
⎢⎣ 0 −1 −1⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦
∴
⎧ ⎪ ⎨
x1 x2
= =
0 −
x3
⎪ ⎩
x3
=
x3
⎡0⎤ ∴ p1 = ⎢⎢−1⎥⎥.
⎢⎣ 1 ⎥⎦
对 λ2 = λ3 = 4, 求解 (4E − A)x = 0
⎡0 0 0 ⎤ ⎡0 1 −1⎤
4E − A = ⎢⎢0
1
−1⎥⎥ → ⎢⎢0 0
0
⎥ ⎥
⎢⎣0 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦
⎧ x1 = x1
∴
⎪ ⎨
1 3
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
2 −2 1
−2 −1 2
1 ⎟⎞ 2 ⎟, 2 ⎟⎠
则
P −1 AP
=
⎜⎛ ⎜
4 0
0 1
0 ⎟⎞ 0 ⎟.
⎜⎝ 0 0 − 2⎟⎠
⎜⎛ 4 0 0⎟⎞ (2) A = ⎜ 0 3 1⎟
⎜⎝ 0 1 3⎟⎠ λ−4 0
解：λE − A = 0 λ − 3 0 −1
0 −1 λ −3
量正交化；(4)最后单位化; (5) 得出结论。
3
p20
=
⎜⎛ 1 ⎟⎞ ⎜ 0⎟,
⎜⎝ 0⎟⎠
p30
=
⎜⎛ ⎜1
0 ⎟⎞ 2 ⎟.
⎜⎝1 2 ⎟⎠
2
于是得正交阵
04 第四节 实对称矩阵的对角化
第四节 实对称矩阵的对角化一个n 阶矩阵A 具备什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题. 本节我们仅对A 为实对称矩阵的情况进行讨论. 实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质.内容分布图示★ 实对称矩阵的性质 ( 1 )★ 实对称矩阵的性质 ( 2 )★ 对称矩阵对角化的方法★ 例1★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题4-4★ 返回内容要点：定理1 实对称矩阵的特征值都为实数.注: 对实对称矩阵A ，因其特征值i λ为实数, 故方程组0)(=-X E A i λ是实系数方程组, 由0||=-E A i λ知它必有实的基础解系, 所以A 的特征向量可以取实向量.定理2 设21,λλ是对称矩阵A 的两个特征值, 21,p p 是对应的特征向量. 若21λλ≠, 则1p 与2p 正交.定理 3 设A 为n 阶实对称矩阵,λ是A 的特征方程的k 重根,则矩阵E A λ-的秩k n E A r -=-)(λ,从而对应特征值λ恰有k 个线性无关的特征向量.定理4 设A 为n 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵P ,使Λ=-AP P 1,其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.与上节将一般矩阵对角化的方法类似，根据上述结论，可求正交变换矩阵P 将实对称矩阵A 对角化的步骤为：(1) 求出A 的全部特征值s λλλ,,,21 ;(2) 对每一个特征值i λ, 由0)(=-X A E i λ求出基础解系（特征向量）;(3) 将基础解系（特征向量）正交化；再单位化;(4) 以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵P ，使Λ=-AP P 1.注：P 中列向量的次序与矩阵Λ对角线上的特征值的次序相对应.例题选讲：例1 (讲义例1) 设实对称矩阵,320222021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 求正交矩阵P , 使AP P 1-为对角矩阵.例2 (讲义例2) 设对称矩阵,310130004⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 试求出正交矩阵P , 使AP P 1-为对角阵. 例 3 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a A 2020002(其中0>a )有一特征值为1, 求正交矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵.例4 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2112A , 求.n A课堂练习1.设实对称矩阵,020212022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 试求正交矩阵P , 使AP P 1-为对角矩阵. 2.设n 阶实对称矩阵A 满足A A =2,且A 的秩为r , 试求行列式det )2(A E -的值.。
第四节：实对称矩阵的对角化
。
−1 1 p1 = −1 3 1
对应
λ2 = λ3 = 1 ，解方程 ( A− I )x = 0
−1 −1 1 1 1 −1 ( A − I ) = −1 −1 1 → 0 0 0 1 1 −1 0 0 0
− P = ( p1 , p 2 , p 3 ) = −
有
−2 0 0 P −1 AP = PT AP = ∧ = 0 1 0 0 0 1
。
，便有
P AP = P AP = ∧
T
−1
∧ 中对角元的排列次序应与
P中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应
，注意
例1。设 。
0 −1 1 A = −1 0 1 1 1 0
，
求一个正交阵P 使 P−1AP =∧ 求一个正交阵 解：由
( A + 2I ) x = 0
2 −1 1 1 0 1 ( A + 2 I ) = −1 2 1 → 0 1 1 1 1 2 0 0 0
ξ
− 1 = − 1 1
，
得基础解系
1
，将
ξ λi I ) x = 0 的基础解系。得 的基础解系。
个线性无关的特征向量。 个线性无关的特征向量。再把它们 正交化、单位化，因 正交化、单位化，
k1 + L + k s = n
故可得n个两两正交的单位特征向量。 故可得 个两两正交的单位特征向量。 个两两正交的单位特征向量
（3）将这 个两两正交的单位特征向量 ）将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交矩阵P， 构成正交矩阵 ，便有
−1 1 p1 = −1 3 1
对应
λ2 = λ3 = 1 ，解方程 ( A− I )x = 0
−1 −1 1 1 1 −1 ( A − I ) = −1 −1 1 → 0 0 0 1 1 −1 0 0 0
− P = ( p1 , p 2 , p 3 ) = −
有
−2 0 0 P −1 AP = PT AP = ∧ = 0 1 0 0 0 1
。
，便有
P AP = P AP = ∧
T
−1
∧ 中对角元的排列次序应与
P中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应
，注意
例1。设 。
0 −1 1 A = −1 0 1 1 1 0
，
求一个正交阵P 使 P−1AP =∧ 求一个正交阵 解：由
( A + 2I ) x = 0
2 −1 1 1 0 1 ( A + 2 I ) = −1 2 1 → 0 1 1 1 1 2 0 0 0
ξ
− 1 = − 1 1
，
得基础解系
1
，将
ξ λi I ) x = 0 的基础解系。得 的基础解系。
个线性无关的特征向量。 个线性无关的特征向量。再把它们 正交化、单位化，因 正交化、单位化，
k1 + L + k s = n
故可得n个两两正交的单位特征向量。 故可得 个两两正交的单位特征向量。 个两两正交的单位特征向量
（3）将这 个两两正交的单位特征向量 ）将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交矩阵P， 构成正交矩阵 ，便有
第四节 对称矩阵的对角化
一、对称矩阵的性质
二、对称矩阵的对角化
三、小结
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E ) x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
当2 2 时，由 A 2 E x 0,
4 A 2 E 2 0 2 3 2 0 2 2 2 0 2 0 1 0 1 0 0
1 x3 2 x1 p3 2 . 即 得基础解系 x2 2 x1 2 1 3 只需把 p3 单位化，得 3 2 3 . 2 3
第三步
将特征向量正交化
1 1 p1 2 , 先正交化： 令 4 0 5 0 1 ( p2 , 1 ) 4 2 2 p2 1 2 2 5 5 ( 1 , 1 )
1 A E 2 0 2 0 2 0 1 2 0 0 1 2 2 0 0 1 0
2 x1 2 x2 p2 1 . 即 得基础解系 x 3 2 x 2 2 23 只需把 p2 单位化，得 2 1 3 , 2 3
2 1 2 1 2 1 2 , 得正交矩阵 T 1 , 2 , 3 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT 0 1 0 . 0 0 2
Байду номын сангаас 三、小结
二、对称矩阵的对角化
三、小结
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E ) x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
当2 2 时，由 A 2 E x 0,
4 A 2 E 2 0 2 3 2 0 2 2 2 0 2 0 1 0 1 0 0
1 x3 2 x1 p3 2 . 即 得基础解系 x2 2 x1 2 1 3 只需把 p3 单位化，得 3 2 3 . 2 3
第三步
将特征向量正交化
1 1 p1 2 , 先正交化： 令 4 0 5 0 1 ( p2 , 1 ) 4 2 2 p2 1 2 2 5 5 ( 1 , 1 )
1 A E 2 0 2 0 2 0 1 2 0 0 1 2 2 0 0 1 0
2 x1 2 x2 p2 1 . 即 得基础解系 x 3 2 x 2 2 23 只需把 p2 单位化，得 2 1 3 , 2 3
2 1 2 1 2 1 2 , 得正交矩阵 T 1 , 2 , 3 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT 0 1 0 . 0 0 2
Байду номын сангаас 三、小结
实对称矩阵的对角化
解： E A
0
0 1 3
2
0 0
3
1
2 4 ,
得特征值 1 2, 2 3 4.
对 1 2, 求解 (2 E A) x 0
2 0 0 1 0 0 0 1 1 2E A 0 1 1 0 1 1 0 0 0
得 1 4, 2 1, 3 2.
2 2 0 E A 2 1 2 ( 4)( 1)( 2) 0 0 2
第二步 由i E Ax 0, 求出A的特征向量 x1 2 x 3 对 1 4, 求解 (4 E A) x 0
1 x 1 2 x3 x2 x3 x x 3 1 3
3的特征向量 , 故它们必两两正交 .
第四步 将特征向量单位化 pi 0 令 pi , i 1,2,3. pi
得
1 3 2 3 23 0 0 0 p1 2 3 , p2 1 3 , p3 2 3 . 13 2 3 23
1
0 0 1 2 0 1 2
2 0 0 1 P AP 0 4 0 . 0 0 4
二、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量正交化；(4)最后单位化; (5) 得出结论。
x1 x1 x2 x3 x3 x3
0
0 1 3
2
0 0
3
1
2 4 ,
得特征值 1 2, 2 3 4.
对 1 2, 求解 (2 E A) x 0
2 0 0 1 0 0 0 1 1 2E A 0 1 1 0 1 1 0 0 0
得 1 4, 2 1, 3 2.
2 2 0 E A 2 1 2 ( 4)( 1)( 2) 0 0 2
第二步 由i E Ax 0, 求出A的特征向量 x1 2 x 3 对 1 4, 求解 (4 E A) x 0
1 x 1 2 x3 x2 x3 x x 3 1 3
3的特征向量 , 故它们必两两正交 .
第四步 将特征向量单位化 pi 0 令 pi , i 1,2,3. pi
得
1 3 2 3 23 0 0 0 p1 2 3 , p2 1 3 , p3 2 3 . 13 2 3 23
1
0 0 1 2 0 1 2
2 0 0 1 P AP 0 4 0 . 0 0 4
二、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量正交化；(4)最后单位化; (5) 得出结论。
x1 x1 x2 x3 x3 x3
第四节实对称矩阵的对角化
第四节 实对称矩阵的对角化一个n 阶矩阵A 具备什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题. 本节我们仅对A 为实对称矩阵的情况进行讨论. 实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质.内容分布图示★ 实对称矩阵的性质 ( 1 )★ 实对称矩阵的性质 ( 2 )★ 对称矩阵对角化的方法★ 例1★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题4-4★ 返回内容要点：定理1 实对称矩阵的特征值都为实数.注: 对实对称矩阵A ，因其特征值i λ为实数, 故方程组0)(=-X E A i λ是实系数方程组, 由0||=-E A i λ知它必有实的基础解系, 所以A 的特征向量可以取实向量.定理2 设21,λλ是对称矩阵A 的两个特征值, 21,p p 是对应的特征向量. 若21λλ≠, 则1p 与2p 正交.定理 3 设A 为n 阶实对称矩阵,λ是A 的特征方程的k 重根,则矩阵E A λ-的秩k n E A r -=-)(λ,从而对应特征值λ恰有k 个线性无关的特征向量.定理4 设A 为n 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵P ,使Λ=-AP P 1,其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.与上节将一般矩阵对角化的方法类似，根据上述结论，可求正交变换矩阵P 将实对称矩阵A 对角化的步骤为：(1) 求出A 的全部特征值s λλλ,,,21 ;(2) 对每一个特征值i λ, 由0)(=-X A E i λ求出基础解系（特征向量）;(3) 将基础解系（特征向量）正交化；再单位化;(4) 以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵P ，使Λ=-AP P 1.注：P 中列向量的次序与矩阵Λ对角线上的特征值的次序相对应.例题选讲：例1 (讲义例1) 设实对称矩阵,320222021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 求正交矩阵P , 使AP P 1-为对角矩阵.例2 (讲义例2) 设有对称矩阵,310130004⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 试求出正交矩阵P , 使AP P 1-为对角阵. 例 3 (讲义例3) 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a A 2020002(其中0>a )有一特征值为1, 求正交矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵.例4 (讲义例4) 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2112A , 求.n A课堂练习1.设实对称矩阵,020212022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 试求出正交矩阵P , 使AP P 1-为对角阵. 2.设n 阶实对称矩阵A 满足A A =2,且A 的秩为r , 试求行列式|2|A E -的值.。
第四节 实对称矩阵的对角化
3. 对基础解系i1,i2 ,L ,iri 进行施密特正交化和单位化 得到正交的单位向量组i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
4. 令P (11,12 ,L ,1r1 ,L , s1,L , srs ), 则P为正交阵且有 PT AP=P1AP diag(1Er1 , 2Er2 ,L , s Er s ) .
二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
1. 由特征方程 E A 0解得 A的所有特征值, 设所有的 不同的特征值为1,L ,s;
2. 对每个i分别求出齐次线性方程组 (iE A) X 0 的 基础解系 , 设之为i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
第二步 由iE A X 0,求出A的正交的特征向量组
对 1 2,解齐次线性方程组2E A X 0,由
1 2 2 1 2 2
2E
A
2
2
4 4
4
4
0 0
0 0
0
0
得基础解系
2 2
1
1
,
2
0
.
0
1
对1,
正交化得
2
2
1
=1
=
1
,
0
2
=2
2 , 1,
1 1
1
=
2 5
4 5
1
.
对 3 7,解齐次线性方程组7E A X 0,由
8 2 2 0 18 18
7E
A
2
2
5 4
4
5
2
0
5 9
4
9
1
0
4. 令P (11,12 ,L ,1r1 ,L , s1,L , srs ), 则P为正交阵且有 PT AP=P1AP diag(1Er1 , 2Er2 ,L , s Er s ) .
二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
1. 由特征方程 E A 0解得 A的所有特征值, 设所有的 不同的特征值为1,L ,s;
2. 对每个i分别求出齐次线性方程组 (iE A) X 0 的 基础解系 , 设之为i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
第二步 由iE A X 0,求出A的正交的特征向量组
对 1 2,解齐次线性方程组2E A X 0,由
1 2 2 1 2 2
2E
A
2
2
4 4
4
4
0 0
0 0
0
0
得基础解系
2 2
1
1
,
2
0
.
0
1
对1,
正交化得
2
2
1
=1
=
1
,
0
2
=2
2 , 1,
1 1
1
=
2 5
4 5
1
.
对 3 7,解齐次线性方程组7E A X 0,由
8 2 2 0 18 18
7E
A
2
2
5 4
4
5
2
0
5 9
4
9
1
0
线性代数 §4 对称矩阵对角化
定理7 设A为n阶对称,矩 则阵 必有正交 P,使 矩阵 P1AP,其中 是以 A的n个特征值为对 素的对角. 矩阵
推论 设A为n阶对称,矩 是 阵 A的特征方r程 重根 ,则矩阵 AE的秩R(AE)nr,从而 对应特征 恰值有 r个线性无关的.特征向
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
第四步 将特征向量单位化
令Pi ii , i1,2,3.
2 3
23
得
P1 2 3 ,
P2 1 3 ,1 32 3 1 3 P3 2 3 . 2 3
作PP1,P2,P31 3 21 2
2 1 2
1 2, 2
则
P1AP04
0 1
0 0.
0 0 2
4 0 0 (2) A 0 3 1
再1 ,将 2 ,3 单,令 位 P ii化 i 1 ,2 ,3 得 i
0
P1 1 2 ,
1 2
1 P2 0 ,
0
0 P3 1 2 . 1 2
于是得正交阵
PP1,P2,P3
0 12
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2
2 0 0
则
P1AP0
4
0.
0 0 4
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
0 1 3
4 0 0
AE 0 3 1 242,
0 1 3
得特 1 征 2 , 2值 3 4 .
0
对 1 2 ,由 A 2 E x 0 ,得基 1 础 11 解
对 23 4 ,由 A 4 E x 0 ,得基础
1
0
2 0,
3 1.
推论 设A为n阶对称,矩 是 阵 A的特征方r程 重根 ,则矩阵 AE的秩R(AE)nr,从而 对应特征 恰值有 r个线性无关的.特征向
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
第四步 将特征向量单位化
令Pi ii , i1,2,3.
2 3
23
得
P1 2 3 ,
P2 1 3 ,1 32 3 1 3 P3 2 3 . 2 3
作PP1,P2,P31 3 21 2
2 1 2
1 2, 2
则
P1AP04
0 1
0 0.
0 0 2
4 0 0 (2) A 0 3 1
再1 ,将 2 ,3 单,令 位 P ii化 i 1 ,2 ,3 得 i
0
P1 1 2 ,
1 2
1 P2 0 ,
0
0 P3 1 2 . 1 2
于是得正交阵
PP1,P2,P3
0 12
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2
2 0 0
则
P1AP0
4
0.
0 0 4
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
0 1 3
4 0 0
AE 0 3 1 242,
0 1 3
得特 1 征 2 , 2值 3 4 .
0
对 1 2 ,由 A 2 E x 0 ,得基 1 础 11 解
对 23 4 ,由 A 4 E x 0 ,得基础
1
0
2 0,
3 1.
5-4 实对称矩阵的对角化
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(3) 正交矩阵 Q 的 n 个列向量 1 , 2 ,, n 是 A 的属 于特征值 1 , 2 ,n 的正交单位特征向量.
Q 1 AQ Λ
AQ QΛ
Q (1 , 2 ,, n ) ， 将正交矩阵 Q 按列分块， 其中 1 , 2 ,, n 是正交单位向量组.
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作业
3 2 4 1. 设实对称矩阵 A 2 0 2 . 4 2 3
求正交矩阵 Q，使得 Q-1AQ 成为对角阵.
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2. 设 A是 3 阶实对称矩阵，其特征值为：
1= -2, 2 = 3 =1
1 已知 ξ1 1 是 A 的属于特征值 1 的特征向量. 1
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③ 将属于同一特征值的特征向量正交单位化； k 重特征值 (k>1) 有 k 个线性无关的特征向量，用施 密特正交化方法使其正交化，然后单位化； 单重特征值，只有一个线性无关的特征向量，只需 将其单位化； 通过以上步骤，所有特征值的总共 n 个特征向量是 一个正交单位向量组. (为什么？) ③ 用正交单位化后的 n 个特征向量排成正交矩阵 Q， 则有 Q 1 AQ QT AQ Λ . Q 中特征向量的排序要和 中特征值的排序一致.
2 1 则有 Q AQ diag(1 , 2 , 3 ) 2 7
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小结 思考题 作业
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小结
1. 实对称矩阵的性质： ① 特征值为实数； ② 属于不同特征值的特征向量相互正交； ③ 必存在正交阵，使得实对称矩阵和对角阵相似， 对角阵的主对角元就是实对称矩阵的 n 个特征值. 2. 求正交矩阵，使实对称矩阵对角化的步骤： ① 求特征值； ② 求特征向量，并将特征向量正交单位化； ③ 将正交单位化的特征向量排成正交矩阵；
(3) 正交矩阵 Q 的 n 个列向量 1 , 2 ,, n 是 A 的属 于特征值 1 , 2 ,n 的正交单位特征向量.
Q 1 AQ Λ
AQ QΛ
Q (1 , 2 ,, n ) ， 将正交矩阵 Q 按列分块， 其中 1 , 2 ,, n 是正交单位向量组.
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作业
3 2 4 1. 设实对称矩阵 A 2 0 2 . 4 2 3
求正交矩阵 Q，使得 Q-1AQ 成为对角阵.
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2. 设 A是 3 阶实对称矩阵，其特征值为：
1= -2, 2 = 3 =1
1 已知 ξ1 1 是 A 的属于特征值 1 的特征向量. 1
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③ 将属于同一特征值的特征向量正交单位化； k 重特征值 (k>1) 有 k 个线性无关的特征向量，用施 密特正交化方法使其正交化，然后单位化； 单重特征值，只有一个线性无关的特征向量，只需 将其单位化； 通过以上步骤，所有特征值的总共 n 个特征向量是 一个正交单位向量组. (为什么？) ③ 用正交单位化后的 n 个特征向量排成正交矩阵 Q， 则有 Q 1 AQ QT AQ Λ . Q 中特征向量的排序要和 中特征值的排序一致.
2 1 则有 Q AQ diag(1 , 2 , 3 ) 2 7
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小结 思考题 作业
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小结
1. 实对称矩阵的性质： ① 特征值为实数； ② 属于不同特征值的特征向量相互正交； ③ 必存在正交阵，使得实对称矩阵和对角阵相似， 对角阵的主对角元就是实对称矩阵的 n 个特征值. 2. 求正交矩阵，使实对称矩阵对角化的步骤： ① 求特征值； ② 求特征向量，并将特征向量正交单位化； ③ 将正交单位化的特征向量排成正交矩阵；
§4 对称矩阵的对角化
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P ， 使 P −1 AP 为对角阵. 4 0 0 2 −2 0 (1) A = − 2 1 − 2 , ( 2) A = 0 3 1 0 1 3 0 −2 0 解 (1) 第一步 求 A 的特征值
由于 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 . 第四步 将特征向量单位化 ξi , i = 1,2,3. 令 Pi = ξi
得
− 2 3 23 P1 = 2 3 , P2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
于是得正交阵
1 0 0 P = ( P1 , P2 , P3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2 2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
则
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为： 1. 求A的特征值 λ1 , λ2 ,, λn ; 2. 由( A − λi E ) x = 0, 求出 A的特征向量; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5. 写出正交阵 P = ( P1 , P2 , , Pn ) ，
1 − 1 1 对λ1 = 1,由A − E ~ 0 0 , 得ξ 1 = 1 ; 1 1 1 对λ2 = 3,由A − 3 E ~ − 1 0 0 , 得ξ 2 =
1 1 −1 1 1 1 所以P = (ξ 1 ξ 2 ) = 1 − 1 1 − 1 , P = 2 n n 1 3 1 3 + − 1 n n −1 所以A = PΛ P = n n 2 1 − 3 1 + 3
第4.4节 实对称矩阵的对角化
注 ①实对称矩阵A的重特征值对应的正交特征向量组的取法 不唯一，故Q不唯一； ②由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量必正交， 故只需对对应于同一特征值的线性无关的向量正交化即可.
例2 设3阶实对称矩阵Ａ的特征值为 1 0, 2 3 1,
Ａ对应于1的特征向量为1 (0,1,1)T ,求A.
第4.4节
实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质 二、实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 (1) 实对称矩阵A的特征值都是实数;
(2) 实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量相互正交;
(3) 实对称矩阵A的每个k重特征值恰好有k个对应于此特征值的 线性无关的特征向量. 证 (2) 设1, 2为A的两个不同特征值,1,2为对应的特征向量， 即 Ai = ii ( i = 1,2).
例如
1 2 2 A 2 1 2 是实对称矩阵,其特征值 5, 1. 1 2 3 2 2 1 1 对应特征值5的线性无关的特征向量只有一个 1 1 ; 1
对应特征值１的线性无关的特征向量一定有两个
解 Ａ为实对称矩阵，故Ａ必可对角化，对应于二重特征 值2＝ 3＝１的特征向量应该有两个，设为2,3, 则2,3
都与1正交.
T 设与1正交的向量为 ( x1 , x 解得方程组的基础解系为 2 0 , 3 1 . 0 1
1 1 得 x1 x2 x3 , 线性无关的特征向量为 1 1 , 2 0 . 0 1
当3 3，解(3 E A) x 0．由
2 1 1 1 0 1 3 E A 1 2 1 0 1 1 1 1 2 0 0 0
对称矩阵的对角化
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施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
b1 a1
[b1, a2 ] b2 a2 b1 [b1, b1] [b1, ar ] [b2, ar ] [br 1, ar ] br ar b1 b2 br 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [br 1, br 1] 容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar 等价
2(1 1 0)T 3(1 0 1)T
p2 1 (1, 1, 0)T p3 1 (1, 1, 2)T 2 6 于是P(p1 p2 p3)为正交阵 并且P1APdiag(2 1 1)
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例2 设 A 2 1 求An 1 2 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
§5.4 对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具 有n个线性无关的特征向量 而并非所有n阶方阵都 能对角化 但实对称矩阵都是可以对角化的
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铃
向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 （x y）x1y1x2y2 xnyn （x y）称为向量x与y的内积，记作xTy
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铃
单位化；
正交：当（x y）0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x 与任何向量都正交
施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
b1 a1
[b1, a2 ] b2 a2 b1 [b1, b1] [b1, ar ] [b2, ar ] [br 1, ar ] br ar b1 b2 br 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [br 1, br 1] 容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar 等价
2(1 1 0)T 3(1 0 1)T
p2 1 (1, 1, 0)T p3 1 (1, 1, 2)T 2 6 于是P(p1 p2 p3)为正交阵 并且P1APdiag(2 1 1)
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例2 设 A 2 1 求An 1 2 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
§5.4 对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具 有n个线性无关的特征向量 而并非所有n阶方阵都 能对角化 但实对称矩阵都是可以对角化的
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向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 （x y）x1y1x2y2 xnyn （x y）称为向量x与y的内积，记作xTy
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铃
单位化；
正交：当（x y）0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x 与任何向量都正交
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1 3
122.
作
P
1 ,
2
,
3
1 3
2 2 1
2 1 2
221,
4 0 0
则
P 1 AP
0 0
1 0
20.
例2:对实对称矩阵A, 求正交矩阵P, 使P-1AP =为
对角阵.
A
4 0 0
0 3 1
103.
解: 第一步, 求A的特征值.
4 0 0 | A–E |= 0 3 1 = (2–)(4–)2=0
于是有 xT Ax xT ( Ax) xT (x) ( xT x)
及 xT Ax ( xT AT )x ( Ax)T x ( x)T x ( xT x)
两式相减, 得 ( ) xT x 0. 但因为x0, 所以,
xT
x
n
xi
xi
n
| xi |2
0,
则 ( ) 0,
i 1
P-1AP =, 其中对角矩阵的对角元素含r1个1 , ···,rs个s, 恰是A
的n个特征值.
二、对称矩阵正交对角化的方法
根据上述结论, 利用正交矩阵将对称矩阵A化为对 角矩阵, 其具体步骤为:
1. 求A的特征值1, 2 , ···, s ; 2. 由(A–iE)x=0求出i 的ri 个特征向量; 3. 将i 的ri 个特征向量正交化;
100,
3
110.
第三步, 将特征向量正交化.
由于2, 3恰好正交, 故1, 2, 3两两正交.
第四步, 将所有特征向量单位化.
令
i
i || i
, ||
i 1, 2, 3.
得
1
1 2
011,
1
2
00,
3
1 2
110.
于是得正交阵
P 1 ,2 ,3
1 2
0 1 1
2 0 0
112.
再将所求特征向量单位化得:
p1
1 2
011,
p2
1 3
111,
p3
1 6
112.
0
P
(
p1 ,
p2 ,
p3
)
1 2
1 3
2 6
1 1
3 6
1 2
1 3
1 6
可以验证仍有 2 0 0
P 1 AP
0 0
4 0
40.
三、小结
1. 对称矩阵的性质:
(1)特征值为实数; (2)属于不同特征值的特征向量正交; (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向 量的个数相等; (4)必存在正交矩阵, 将其化为对角矩阵, 且对角矩
则
(1 –2 ) p1Tp2 = 0.
再由 12 得, p1Tp2 =[p1, p2] = 0, 即 p1与p2 正交.
定理3: 设A为n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r
重根, 则矩阵(A–E )的秩R(A–E ) = n–r, 从而对应r 重
特征值 恰有r 个线性无关的特征向量.
这个定理的证明超出本课程范围, 证明略.
0 1 3
得A的特征值1=2, 2=3=4.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
对1=2,由(A–2E)x=0, 得
2 x1
x2
x3
0 0
,
x2 x3 03=4,由(A–4E)x=0, 得
x2
0 x3
0 0
,
x2 x3 0
得基础解系 2
011
2 0 0
则
P 1 AP
0 0
4 0
40.
如果对2=3=4, 由(A–4E)x=0, 得
x2 x2
00 x3 0 , x3 0
求得基础解系为 2
111,
3
111.
由于2, 3不正交, 需要将其正交化:
1
则取2=2
11
3
3
[2 [2
, 3 ,2
]
]
2
111
1 3
111
2 3
证明: 由条件知, Api = i pi ( i =1, 2), A = AT.
所以, 1 p1T = (1 p1)T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA,
于是 1 p1Tp2 = (1 p1T) p2 = (p1TA) p2
= p1T(Ap2) = p1T(2 p2) = 2 p1Tp2,
4. 将所有特征向量单位化.
例1:对实对称矩阵A, 求正交矩阵P, 使P-1AP =为
对角阵.
A
2 2 0
2 1
2
020.
解: 第一步, 求A的特征值.
2 2 0
| A–E |= 2 1 2 =(4–)(–1)( +2)=0 0 2
得A的特征值1=4, 2=1, 3=–2.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
对1=4,由(A–4E)x=0, 得
2 x1 2 x1
2x2 3x2
2x3
0 0
,
2x2 4x3 0
2
得基础解系1
21.
对2=1,由(A–E)x=0, 得
2xx11
2x2
2x3
0 0
,
2x2 x3 0
2
得基础解系
2
21.
对2=–2,由(A+2E)x=0, 得
4 x1 2 x2 2 x1 3 x2
2x2
2x3 2x3
0 0 0
,
得基础解系
3
1 2 2
.
第三步, 将特征向量正交化.
由于1, 2, 3是属于A的3个不同特征值1, 2, 3
的特征向量, 故它们必两两正交.
第四步, 将所有特征向量单位化.
令
i
i || i
, ||
i 1, 2, 3.
得
1
1 3
221,
2
1 3
221,
3
对应特征值i ( i =1, 2, , s), 恰有ri 个线性无关的实
特征向量. 把它们正交化, 单位化, 即得ri个单位正交的 特征向量.
由于r1+r2+···+rs = n,这样的特征向量共可得n个.
由定理2知, 对应于不同特征值的特征向量正交, 故这n个单位特征向量两两正交.
以它们为列向量构成正交矩阵P, 则
1 P-1AP =
2
,
n
其中i ( i = 1, 2, ···, n )为A的n个实特征值.
又由A2=A可得,
= P-1AP = P-1A2P = P-1AP P-1AP = 2,
即
1
2
12
n
22
,
2n
因此得, i = i2 ( i = 1, 2, ···, n ),
所以, A的所有特征值只能是0或1.
定理4: 设A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使
P-1AP =, 其中是以A的n个特征值为对角元素的对
角矩阵.
证明: 设A的互不相等的特征值为1, 2 , ···, s , 它
们的重数依次为r1, r2 , ···, rs , 且r1 + r2 + ···+ rs = n .
根据定理1和定理3可得:
阵对角元素即为特征值. 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤:
(1) 求特征值;
(2) 求特征向量;
(3)将特征向量正交化; (4) 将特征向量单位化.
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2=A, 且R(A)=r, 求行列 式| 2E–A |的值.
思考题解答
由于A是实对称矩阵, 则存在正交矩阵P, 使得
又因R(A) = r , 故存在可逆阵P, 使得
P 1
AP
Er
0
00 ,
其中Er是r 阶单位阵. 从而,
| 2E–A |= | 2P-1P–P-1AP |= | 2E– | ER 2Enr = 2n-r.
§5.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质
说明: 本节所提到的对称矩阵, 除非特别说明, 均
指实对称矩阵.
定理1: 对称矩阵的特征值为实数.
证明: 设向量x(x0)为对称矩阵A的对应复特征值
的特征向量, 即
Ap =p,
用 表示的共轭复数, 用 x 表示x的共轭复向量.
Ax A x Ax x x.
i 1
即 , 由此可得, 是实数.
定理1的意义: 由于实对称矩阵A的特征值i 为实
数, 所以齐次线性方程组
( A–iE ) x = 0 是实系数方程组, 由| A–i E | = 0 知, 必有实的基础解系,
从而对应的特征向量可以取实向量.
定理2: 设1, 2是对称矩阵A的两个特征值, p1, p2 是对应的特征向量, 若12, 则p1与p2正交.