基于lyapunov方法的lipschitz非线性系统状态观测器设计

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具有Lipschitz约束条件的系统观测器的设计与研究的开题报告

具有Lipschitz约束条件的系统观测器的设计与研究的开题报告一、选题背景与意义系统观测器是现代控制理论中的一项重要技术，可用于实时预测与估计系统状态，避免由于传感器故障或噪声等因素导致系统控制失效。

在实际应用中，往往需要考虑系统非线性和不确定性，因此设计具有Lipschitz约束条件的系统观测器具有重要的理论与实际意义，能够提高系统的控制性能和稳定性。

二、研究内容本文将研究具有Lipschitz约束条件的系统观测器设计和分析。

具体内容包括：1.建立具有Lipschitz约束条件的系统动态模型。

2.设计基于Lipschitz约束条件的系统观测器，并分析其稳定性。

3.进行仿真实验验证系统观测器的有效性。

三、研究方法本文将采用数学理论分析与计算机仿真相结合的方法进行研究。

具体方法包括：1.使用数学工具建立系统动态模型，分析系统特性。

2.利用Lipschitz函数理论设计系统观测器，并对其稳定性进行分析。

3.使用Matlab等软件进行仿真实验，验证系统观测器的有效性。

四、预期研究结果通过本文的研究，我们预期获得以下研究结果：1.建立具有Lipschitz约束条件的系统动态模型并分析其特性。

2.设计具有Lipschitz约束条件的系统观测器，并分析其稳定性。

3.通过仿真实验验证系统观测器的有效性，进一步提高系统的控制性能和稳定性。

五、研究意义本文的研究成果具有一定的理论与实用意义，可以为系统控制与观测技术的发展提供一定的参考。

同时，本研究成果也可以用于提升现有系统的控制性能和稳定性，具有一定的工程应用价值。

单边Lipschitz时滞系统的H∞函数观测器设计

ＴｈｅＨ∞ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｏｂｓｅｒｖｅｒｄｅｓｉｇｎｆｏｒｏｎｅｓｉｄｅｄＬｉｐｓｃｈｉｔｚｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｔｉｍｅｄｅｌａｙ
ＺＨＯＵＣｈｅｎｇｌａｉ，ＣＡＩＸｉｕｓｈａｎ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＺｈｅｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎｈｕａ３２１００４，Ｃｈｉｎａ）
定义２（二次内部有界条件［１８］）设珚Ｏ为包含原点的区域，若存在 β，γ∈Ｒ，使得对ｘ１，ｘ２∈ 珚Ｏ，有（Φ（ｘ１，ｕ）－Φ（ｘ２，ｕ））Ｔ（Φ（ｘ１，ｕ）－Φ（ｘ２，ｕ））≤ β‖ｘ１－ｘ２‖２＋γ〈Φ（ｘ１，ｕ）－Φ（ｘ２，ｕ），ｘ１－ｘ２〉，
ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｏｂｓｅｒｖｅｒ；Ｌｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙ
０引言
实际生活和工程应设计一个控制器，使之稳定［１３］．另一方面，系统的状态估计也是控制研究的一大主题．外部未知干扰的存在不仅影响系统本身的状态变化，更影响了状态观测的准确性．Ｋａｌｍａｎ滤波
保守性，因而，２００６年文献［１５］提出了单边Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ概念．此后对单边Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ及准单边Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ系统的观测器设计得到了一些研究成果［１６２０］．
然而，对于非线性时滞系统满足单边Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件的Ｈ∞函数观测器设计还未见报道．因此，本文考虑设计一类可有效抑制外部干扰的非线性时滞系统的Ｈ∞ 函数观测器．同时，还希望所设计的观测器具有灵活性：既可以是全维的，也可以是降维的．对于降维的观测器，则期望寻求一种简单的设计，且能通过统一的观测器设计算法得到．研究成果将与一类Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ非线性观测器［２１］作比较．

一类拟单边Lipschitz非线性系统的观测器设计问题

其中＝（１２ … ，）（Ｙ “ ，｛，，，，，，，）ｉ∈ １２
…
，
｝对可微且满足
参考文献［５１］１，６可知＝ｙＰ，ｑ的一Ｐ＋是Ｐ）个单边Ｌｐｃｉ常数矩阵，是Ｌｐｃｉ常ｉｈｔｓｚ其中ｉｓｔｈｚ数．所以Ｌｐｃｉ ‘ ｌｓｈｔ线性函数一定是拟单边ｚ非Ｌｐｅｉ非线性函数．ｉｓｈｔｚ考虑（．）的观测器有如下形式：１１
露∈ Ｒ， ∈Ｒ， ∈ Ｒ “ＹＰｍ
（）２
了拟单边Ｌｐｃｉ线性系统存在的充分条件．ｉｓｈｔｚ非
该充分条件是通过一组线性矩阵不等式给出的．
（Ｙ）称为是带有Ｐ的单边Ｌｐｃｉ，，ｉｓｈｔｚ常数
矩阵
得
的拟单边Ｌｐｅｉｉｓｈｔ数，果存在正定ｚ函如
该方法不仅可应用在可微Ｌｐｃｉ线性系统ｉｓｈｔｚ非
中，且可应用在非Ｌｐｃｉ非线性系统中．而ｉｓｈｔｚ
矩阵Ｐ和实对称阵Ｍ其中它是依赖于Ｐ的，，使
非线性系统的非线性部分的信息。而且，存在也大量的非线性系统，非线性部分不是Ｌｐｃｉ其ｉｓｈｔｚ
ｂ；
为方便说明现定义如下记号．
・
代表矩阵的转置；
・
（代表ｍｂ）Ｘｎ矩阵其中（，ｉ『素为－）元对于一个方阵ＪＳ＞０Ｓ＜０，０表明ｓ，（Ｓ≤ ）Ｃ（Ｙ＝｛＋（ｏ，）Ａ１一Ａ），Ａ ≤ １；Ｙ０≤ ｝表明ｎｘ凡矩阵其中第行第ｋ的元素列

基于拟单边Lipschitz条件的非线性系统观测器设计

基于拟单边Lipschitz条件的非线性系统观测器设计徐铭鞠;徐明跃【摘要】一类拟单边Lipschitz非线性系统的观测器设计问题．基于拟单边Lipschitz条件，给出一系列这类非线性系统观测器存在性的充分条件，这些条件至少是已有文献中相关结论的补充，而且和已有文献中的结论相比，所给出的充分条件要减少保守性．论文表明了对于大多数非线性系统观测器的设计而言，拟单边Lipschitz常数矩阵要优于单边Lipschitz常数和传统的Lipschitz常数．需要指出的是所提出的方法不仅可以直接应用于一些重要的Lipschitz非线性系统，对于拟单边Lipschitz非线性系统而非通常的Lipschitz非线性系统也同样适用．最后，仿真算例验证了结论的可行性．%In this systems is investigated paper, the observer design for the class of quasi - one - sided Lipschitz nonlinear Based on the quasi- one- sided Lipschitz condition, we propose sufficient conditions of the existence of the observers for the class of nonlinear systems, these conditions are complements of those based on Lipschitz condition in literature at least, and some of these conditions are less conservative than those in literature. This paper shows that the one - sided Lipschitz constant matrix is superior to the one - sided Lipschitz constant and Lipschitz constant for observer design of a large number of nonlinear systems. It should be noticed that some of the present results are directly applicableto not only the important class of the Lipschitz nonlinear systems but also the quasi - one - sided Lipschitz nonlinear systems which are not the usual Lipschitz nonlinear systems. Some examples are given to illustrate the proposed approach.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2012(028)003【总页数】6页(P32-37)【关键词】非线性系统;观测器设计;单边Lipschitz条件;拟单边Lipschitz条件【作者】徐铭鞠;徐明跃【作者单位】哈尔滨师范大学;哈尔滨师范大学【正文语种】中文【中图分类】TP131 状态描述在过去的数十年中，非线性系统的观测器设计问题是一个非常积极的领域，出现了大量这方面的文献专著.非线性系统的状态观测器可以分为全维观测器和降维观测器.降维观测器只需估计与系统输出独立的部分状态即可.因此，和全维观测器相比，维数得以降低，即降维观测器可以由较少的积分器构成进而使整个控制系统变得相对简单.一般而言，非线性系统观测器的设计有两种方法.第一种是基于一种非线性状态变换，令动态误差系统线性化，因此设计状态观测器需运用到线性技术.第二种方法是则是不需要进行变换，直接基于原始的系统进行观测器设计［1-3，5-6，8-10］.为便于叙述，本文引入如下记法:考虑如下的一类Lipschitz非线性系统:其中x∈Rn，u∈Rm，y∈Rp，A∈Rn×n，C ∈Rp×n，Φ(x，u):Rn→Rn关于x 是非线性的.笔者总是假定(A，C)可观测，并且C是行满秩的.定义1.1 对于n维的向量函数Φ(x，u)，如果存在常数γ使得则γ称为Φ(x，u)关于 x的 Lipschitz常数.称Φ(x，u)是关于x的Lipschitz非线性函数.对于n维的向量函数Φ(x，u)，如果存在正定矩阵P和依赖于P的常数vp 使得则vp称为Φ(x，u)关于x的单边Lipschitz常数称Φ(x，u)是关于x的单边Lipschitz非线性函数.对于n维的向量函数Φ(x，u)，如果其中f(x，u)=PΦ(x，u)，P是待求正定阵，M是一个实对称矩阵(不必负定或正定)称为PΦ的带有拟单边常数矩阵.称Φ(x，u)是关于x的拟单边Lipschitz非线性函数［6］，不等式(2)，(3)和(4)分别叫做Lipschitz条件，单边Lipschitz条件和拟单边Lipschitz条件.注1.1 一个单边Lipschitz函数［5］显然是一个拟单边Lipschitz函数.另外，通过文献［11］中的注2知一个Lipschitz非线性函数一定是一个拟单边 Lipschitz 非线性函数.即，拟单边Lipschitz条件是单边Lipschitz条件的推广，单边Lipschitz条件是Lipschitz条件的推广.首先给出如下假设:假设(i) 系统(1)满足单边Lipschitz条件(2)，并且存在适当维数的矩阵K和P(P是正定矩阵)，使得下式成立假设(ii) 系统(1)满足拟单边Lipschitz条件(4)，并且存在适当维数的矩阵K和P(P 是正定矩阵)，且下面的不等式成立尽管拟单边Lipschitz常数矩阵在非线性系统观测器设计上更优于单边Lipschitz 常数和Lipschitz常数，但很难获得(4-5)的正定解P［13］，原因有两个:(Ⅰ)很难去计算(4)(5)中的Mp.(Ⅱ)即使可以从中计算出来Mp，但是矩阵不等式(4)(5)的可行性和可解性一样是很难讨论，因为 Mp要依赖于正定解 P.即不等式(4)(5)并不是LMIS.因此研究其可行性和可解性就变得尤为重要.2 文献的结论考虑系统(1)的如下形式的观测器则误差系统为其中~=x-^x.下面先介绍几个引理［5，6，11］.引理2.1［6］如果假设(ii)成立，则(7)为系统(1)的渐进稳定估计.引理2.2［12］假定(4)的正定解P有分块矩阵表示形式其中P1 ∈ Rp×p，P2 ∈ Rp×(n-p)，P3 ∈ R(n-p)×(n-p).如果C=(IpO)并且条件(i)成立，则带有单边Lipschitz条件(2)的非线性系统(1)有一个如下形式的降维观测器:其中下面的引理指出假定C有形式(IpO)并不是至关重要的.引理2.3［12］对于带有单边Lipschitz条件(2)的系统(1)，如果C是行满秩的且可以选择一个增益阵K，使得下列不等式有一个正定对称解P，则系统(1)有由(7)给出的全维观测器，以及如下的降维观测器:其中这里的符号S，D和在文献［12］中有所定义.3 主要结论在这一节，将提出非线性系统(1)在几种重要情况下观测器存在性的充分条件.给出的结论至少是已有文献的补充，并且较之已有条件要减少保守性.结论表明对于大量的非线性系统观测器的设计来说，拟单边Lipschitz常数矩阵要优于单边Lipschitz常数和Lipschitz常数.首先，类似引理2.2和引理2.3，我们给出下面重要的定理定理3.1 (1)如果C=(IpO)，并且条件(ii)成立，那么带有拟单边Lipschitz条件(3)的非线性系统(1)具有一个全维观测器(7)及降维观测器(9).(2)如果C是行满秩的，并且条件(ii)成立，那么带有拟单边Lipschitz条件(9)的非线性系统(1)有一个全维观测器(7)及降维观测器(10).其证明完全类似于引理2.2.和引理2.3，在此省略.注3.1 如果C=(IpO)，对于满足条件(3)的系统(1)来说，如果只考虑降维观测器，那么拟单边Lipschitz条件(3)可以减弱为对于所有的u∈Rm成立.现在我们研究不等式(4)和(5)的可行解.通过注1.1知不等式(5)是不等式(4)的延伸，所以只需研究不等式(5)的可行解即可.下面对于特定结构的Φ(x，u)研究如何将矩阵不等式(5)变换为一个线性矩阵不等式(LMI).3.1 假定其中fi(x，u)(i=1，2，…，n)是带有Lipschitz常数γi的非线性Lipschitz函数.定理3.2 考虑系统(1)带有假定条件(2).如果存在正实数 m1，m2，…，mn 和增益矩阵K使得下列LMI:有一个正定解，则非线性系统(1)有一个全维观测器(7)及降维观测器(10)(当C=(IpO)时为(9)).证明根据定理3.1，只需证明对于任意的是PΦ 的拟单边Lipschitz常数矩阵.根据所讨论的非线性项的形式计算得知对于任意的正实数m1，m2，…，mn和，有其中Rn，可见是PΦ的拟单边Lipschitz常数矩阵.注3.2 如果只考虑降维观测器设计，则由(14)式及注3.1的(11)式可知是PΦ的拟单边Lipschitz常数矩阵，且可以通过m1，m2，…，mn来适当的调整和的值. 3.2 在上一种情形中LMI(13)给出了一类非线性系统观测器存在性的充分条件.然而它需要(13)式的正定解P下面我们考虑不等式(5)的正定解可以是任意结构的情况.假设系统(1)的非线性部分Φ有以下结构:其中fi(xi，u)(i=1，2，…，n)单调递增且关于xi可微，且满足，则有定理3.3.考虑系统(1)的非线性系统部分满足如上假设，如果存在增益矩阵K使得下列LMI:有正定解P，其中，则非线性系统(1)具有(7)形式的全维观测器及(11)形式的降维观测器(当C=(IpO)时为(9)).证明根据定理3.1知只需证对于任意的正定矩阵P，Mp=是PΦ 的拟单边Lipschitz常数矩阵.下面分情形由特殊到一般给予证明:如果对于每个i≠k，存在k(1≤k≤n)使得则有 .对于任意正定矩阵P=(pij)n×n × Rn×n，令该矩阵表示中空白的部分为0元素，非空白部分的元素在第k行k列.显然TkPTk ＞0，且可推得TkPTk＞P(k).因此，对于任意的正定矩阵P∈Rn×n，由中值定理知存在ξ∈ Co(xk，)使得因此，Mp=γkTkPTk是PΦ的拟单边Lipschitz常数矩阵.对于一般情形我们可以将Φ(x，u)写成如下形式:其中Rn.利用(18)式，类似定理3.2的证明我们有即是PΦ 的一个拟单边Lipschitz常数矩阵3.3 第三种情形可由下述定理直接阐述定理3.4 如果非线性系统(1)满足下列条件:有一个正定解P，那么(9)是系统(1)的降维观测器.证明依据向量值函数中值定理，对于任意的正定矩阵P=(pij)m×n∈Rm×n及x-^x=(0，0，…，xn-^x)T∈ Rn，存在ξ∈ Co(x，^x)使得因此，Φ(x，u)满足注3.1中的不等式(10)，其中Mp=vP.依据定理3.1和注3.1知，(9)是系统(1)的降维观测器.4 数值算例在这一章，将通过数值算例来验证本文所给结论的有效性.例考虑在文献［7］中研究的三角Lipschitz非线性系统:其中这个系统是Lipschitz非线性系统并且Lipschitz常数是γ=2＞1，引理2.3失效.然而Φ(x，u)满足定理3.3第一部分的条件.解LMI(19)即有所以利用定理3.1和定理3.3，(7)是其全维观测器.图1 x的仿真结果初始条件为 x(0)=(0.5，1)'，^x(0)=(4，6)'.下面考虑该系统的降维观测器，我们可以利用定理3.8，解LMI(3.13)即可以得到正定矩阵从降维观测器(9)，我们得到x2的状态仿真图2，其中初始条件为x2(0)=1，^x2(0)=4.4.5 结束语图2 x的状态仿真拟单边Lipschitz条件是对单边Lipschitz条件的推广，单边Lipschitz条件是Lipschitz条件的推广.论文表明对于大量非线性系统的观测器设计而言，拟单边Lipschitz常数矩阵要优于单边Lipschitz常数和Lipschitz常数.我们希望mp可以尽可能多的利用非线性部分所提供的信息进行观测器设计，但这样的mp是很难找到的，并且解不等式(5)也存在困难，原因是不等式(5)并非直接就是LMI.本文研究了不等式(5)的可行性和可解性.对几种重要的情况加以讨论，获得了使不等式(5)成为LMI的的拟单边Lipschitz常数矩阵mp.需要指出的是所给结论不仅可以直接应用于一些重要的Lipschitz非线性系统，同时对一些非传统意义的Lipschitz非线性系统(只需是拟单边Lipschitz非线性系统)也同样适用，所提出的方法是对文献［11，12］中相关理论的补充.最后给出仿真算例对结论加以验证.参考文献［1］ Besancon G，Hammouri H.On uniform oberservationnonuniformly observable systems，Syst.Control Lett.，1996，29:9-19.［2］ Besancon G，Hammouri H.Reduced order observer for a classof nonuni-formly observable systems，in Proc.34th Conf.Decision and Control，New Orleans，L A，1995:121-125.［3］ Dawson D M.On the state observation and output feedbackproblems for nonlinear uncertain dynamic systems，Syst.ControlLett，1992，18:217-222.［4］ Dekker K，Verwer J 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一类Lipschitz离散非线性系统的观测器设计

一类Lipschitz离散非线性系统的观测器设计杨迎娟;沈明轩【摘要】研究非线性项满足Lipschitz条件的一类离散非线性系统观测器设计问题. 应用Schur引理,并结合构造Lyapunov函数, 获得了观测误差渐近趋于零的三个新的充分条件,且观测增益矩阵可通过求解线性矩阵不等式得到. 文中仿真实例验证了所获方法的有效性.【期刊名称】《安徽工程大学学报》【年(卷),期】2010(025)001【总页数】5页(P69-73)【关键词】Lipschitz离散非线性系统;线性矩阵不等式;Lyapunov稳定性;观测器设计【作者】杨迎娟;沈明轩【作者单位】安徽工程科技学院,应用数理系,安徽,芜湖,241000;安徽工程科技学院,应用数理系,安徽,芜湖,241000【正文语种】中文【中图分类】O231在过去的几十年里,非线性动态观测器设计的研究得到了很大的发展.不同类型的非线性系统的各种观测器设计方法已被提出.这些方法大致可分为两种.第一种是使用一个非线性坐标变换把原来的系统变换为标准型,然后对标准型系统进行观测器设计[1-3].第二种方法是直接对原系统进行观测器设计.这种方法常常用在带Lipschitz非线性项的系统中[4-10].文献[4-10]都是研究连续时间系统的观测器设计问题.对于离散非线性系统的观测器设计相对来说文献较少.文献[11-12]基于扩展的Kalman滤波方法提出了非线性离散系统的局部的观测器设计方法.文献[13-14]在对系统的非线性项没有任何限制条件的基础上提出了观测器设计方法.文献[15]基于标准Lyapunov函数提出了一个简单的稳定性条件,但是这个条件只适用于Lipschitz常数小于1的Lipschitz系统.文献[16]推广了文献[15]的结果,基于线性矩阵不等式提出了Lipschitz非线性系统的观测器设计方法.文献[17]利用线性矩阵不等式给出了凸最优条件,在这个条件下讨论了带时滞和干扰输入的Lipschitz离散非线性系统的观测器设计问题.文献[18]给出了一个误差动态可线性化的离散非线性观测器存在的充分必要条件,这个结果可以应用到线性项是可观测的非线性系统中.文献[19]在文献[18]的基础上利用坐标变换给出了一类离散非线性观测器设计的直接方法,并给出了变量变换的明确表达式.文献[20]讨论了适用于带线性输出方程的Lyapunov稳定性离散非线性系统的降维观测器设计,这种观测器也是线性系统的Luenberger降维观测器的概括.文献[21]提出了一类离散Lipschitz非线性系统观测器的设计方法,得到了观测器增益阵的存在条件及其解析表达式,但是这个条件很难在工程上实现.文献[22]针对离散时间Lipschitz非线性系统,研究了观测器的设计问题,将观测器增益矩阵的设计问题表述为一组线性矩阵不等式的求解问题,但是没有给出仿真实例.本文针对一类Lipschitz离散非线性系统,提出了新的观测器设计方法.基于不同的Lyapunov函数构造方法,利用线性矩阵不等式和Schur补引理,证明了在适当条件下观测误差渐近收敛于零,并给出增益矩阵的计算方法.在后续的讨论中,本文涉及到的矩阵与向量的范数均为F-范数.1 问题描述考虑如下非线性系统其中是状态向量,是输出向量.A和C是适当维数的矩阵是一个非线性映射,并且关于x(k)是Lipschitz的.即对所有的x1,x2∈Rn都成立,并且γ是与y(k)无关的正实数.对于系统(1)构造如下的观测器令估计误差e(k)=x(k)-ˆx(k),则可得误差动态系统为其中本文的任务是寻求观测器增益矩阵K,使得误差动态系统(4)渐近稳定,即在介绍主要结果之前,先给出下面的引理.引理1 对于任意满足P＜εQ的正数ε及适当维数的正定矩阵P,Q有证明令,则因为YYT≥0,所以有证毕.引理2 (Schur补引理)[23]给定适当维数的常数矩阵N,以及对称矩阵M,Q,则＜0,当且仅当或者等价于2 主要结果定理1 如果存在正常数ε,适当维数的矩阵P＞0,Q＞0,R,使得P＜εQ和同时成立,其中则对误差动态系统(4)有并且增益矩阵证明选取Lyapunov函数则由引理1得由(2)式有于是得到,故有因为P＜εQ,所以-(εQ-P)＜0,根据引理2可知(8)式等价于把RT=PK代入(9)式可得所以对所有的e(k)≠0,有ΔV＜0.由Lyapunov稳定性定理知证毕.下面重新构造Lyapunov函数,利用Schur补引理得到估计误差渐近趋于零的新的充分条件如下.定理2 如果存在正常数ε,α,适当维数的矩阵P＞0,使得成立,其中则对误差动态系统(4)有并且增益矩阵证明选择Lyapunov函数则由(2)式可知所以注意到¯R=KT~P,由引理2知(10)式等价于所以对所有的.由Lyapunov稳定性定理知证毕.下面将Lyapunov函数进行改进,可得观测误差渐近趋于零的改进结果.定理3 如果存在正常数β,适当维数的矩阵P＞0,~Q＞0,~R使得下面的线性矩阵不等式成立其中,则对误差动态系统(4)并且增益矩阵由(2)式可知,对于任意β＞0有下面的不等式成立即所以注意到~R=KT¯P,由引理2可知(11)式等价于所以对所有的e(k)≠0,有ΔV＜0.由Lyapunov稳定性定理证毕.3 例子考虑如下非线性系统其中显然,系统(12)的非线性项的Lipschitz常数γ=1.25.取极易验证定理1的条件满足,由计算得增益矩阵为令初值为仿真结果如图1、2所示.从图可以看出,估计误差渐近趋于零(k→∞).图1 误差e1(k)=x1(k)-ˆx1(k)的仿真图图2 误差e2(k)=x2(k)-ˆx2(k)的仿真图4 结论本文研究了一类Lipschitz离散非线性系统的观测器设计问题.不同于文献[15],本文所讨论的系统不是仅适用于Lipschitz常数小于1的Lipschitz系统.结合线性矩阵不等式,提出了一类Lipschitz离散非线性系统的观测器设计的新方法.文中构造了不同的Lyapunov函数,基于Schur补引理、Lipschitz非线性条件及Lyapunov 稳定性定理,给出了文中所提出的观测器保证观测误差渐近趋于零的三个充分条件.不同于文献[21],本文所提出的充分条件很容易实现.最后,用本文所提出的设计方法,对一个具体的实例进行了仿真,仿真结果表明该方法的正确性和有效性.参考文献:【相关文献】[1] JPGauthier,IA K Kupka.Observability and observers for nonlinear system s[J].SIAMJ.Control Optim.,1994,32(4):975-994.[2] M Hou,A C Pugh.Observer with linear error dynamic for noninear multi-output systems[J].Syst.Control Lett.,1999,37.[3] H Keller.Non linear observer design by transformation into a generalized observer canonical form[J].Int.J.Control,1985,23(2):197-216.[4] S Raghavan.Observers and compensators for non linear systems with application to flexible lo int robots[D].Univ.California:Berkeley,1992.[5] FE Thau.Observing the state ot non linear dynamic systems[J].Int.J.Control,1973,3:56-61.[6] SH Zak.On the stabilization and observation of nonlinear/uncertain dynamic system s[J].IEEE Trans.Automat.Contr.,1990,35(5):604-607.[7] R Rajesh.Observers for Lipschitz nonlinear systems[J].IEEE Trans.Automat.Contr.,1998,43(3):397-401.[8] A Alessandri.Design of observers for Lipschitz nonlinear system s using LMI[J].NOLCOS,Stuttgart,2004,2(9):603-608.[9] F Zhu,Z han.A note on observers for Lipschitz non linear systems[J].IEEE Trans.Autom Contr.,2002,47(10):1 751-1 754.[10] P R Pagilla,Y Zhu.Controller and observer design for Lipschitz nonlinear systems[J].in Proc.IEEE Amer.Control Conf.,Boston,MA,2004:2 379-2384.[11] M Boutayeb,D Aubry.A strong tracking extended Kalman observer for nonlineardiscrete-time systems[J].IEEE T rans.Autom Contr.,1999,44(8):1 550-1 556.[12] M Boutayeb,M Darouach.A reduced-order observer for nonlinear discrete-time systems[J].Syst.Control Lett.,2000:39.[13] A De Angeli,R Genesio,A Tesi.Dead-beat chaos synchronization in discrete-time systems[J].IEEE Trans.Circuits Syst.I.Fundam.Theory Appl.,1995,42(1):54-56.[14] G Grassi,D A Miller.Theory and experimental realization of observer-based discrete-time hyperchaos synchronization[J].IEEE Trans.Circuits Syst.Ⅰ.Fundam.Theory Appl.,2002,49(3):373-378.[15] G IBara,A Zemouche,M Boutayeb.Observer synthesis for Lipschitz discrete-time system s[A]//Proc.IEEE Int.Sym p Circuits Syst.,Kobe,Japan,2005:3 195-3 198.[16] A Zemouche,M Boutayeb.Observer design for Lipschitz nonlinear system s:the discrete-time csae[J].IEEE Trans.Circuits Syst.Ⅱ.Exp ress Briefs.,2006,53(8):777-781. 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基于Lyapunov法的非线性系统稳定性研究及应用

基于Lyapunov法的非线性系统稳定性研究及应用非线性系统在实际应用中十分广泛，如控制系统、电力系统、化学系统等等。

然而，非线性系统的特性使其在稳定性分析中充满了挑战性。

近年来，基于Lyapunov法的稳定性分析方法成为较为成熟的理论方法，得到广泛应用。

一、Lyapunov法基本原理Lyapunov方法是判断动态系统稳定性的一种数学方法，它是通过构造一个Lyapunov函数V(x)来描述系统状态x的演化情况。

Lyapunov函数V(x)需要满足以下条件：1. V(x)连续可微。

2. V(x)在状态空间中的所有状态都为正数。

3. V(x)在状态空间中的所有状态变化时不增加。

如果一个系统在某一状态下的Lyapunov函数小于该状态附近所有可能的状态的Lyapunov函数，那么该状态就是稳定的。

二、 Lyapunov函数的构造什么样的Lyapunov函数可以描述非线性系统的演化情况呢？由于Lyapunov函数应当满足以上三个条件，所以我们在选择构造Lyapunov函数时需要遵循以下几个原则：1. 根据系统的物理特性选择合适的Lyapunov函数。

2. Lyapunov函数需要满足系统状态x在状态空间中的演化方向，如果状态x向着某个方向演化，那么Lyapunov函数对应的导数也应该朝这个方向。

3. 所构造的Lyapunov函数应该比较容易求导，这样才能方便地证明它在状态空间中的性质。

三、Lyapunov函数的应用举例让我们看一下如何应用Lyapunov函数分析一个非线性系统的稳定性。

以一个简单的电路为例，该电路由一个电阻R和一个非线性元件（如半导体器件）组成。

看起来这个电路非常复杂，但是我们可以构造一个Lyapunov函数来描述它的演化情况，具体为：V(x)=x1^2+x2^2其中x1和x2分别是电路中的电压和电流。

很明显，这个函数能够满足三个Lyapunov函数的基本条件。

我们可以证明，在一定条件下，系统的状态在稳定时，其Lyapunov函数的导数小于等于零，即：dV/dt ≤ 0通过进一步数学推导，我们可以证明在电路的某些状态下，系统会进入一种稳定的状态。

浅谈非线性系统状态观测器设计问题

浅谈非线性系统状态观测器设计问题本文综述了非线性系统状态观测器设计问题的研究成果，包括发展简介，研究现状和发展趋势等。

标签：非线性状态观测器；类Lyapunov方法；Luenberger观测器方法；Lipschitz非线性系统；H∞状态观测器。

1、引言简单的说，观测器是基于模型和测量信息的闭环信息重构器。

具体来说，观测器设计问题即状态重构问题，就是重新构造一个系统，它以原系统的输入量和输出量作为输入量，而它的状态变量的值能渐近逼近原系统的状态变量的值，或者某种线性组合，则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的状态变量的估计值，并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量作为反馈量构成状态反馈律，这个用以实现状态重构的新系统通常称为原系统的观测器，它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统，也可以是由计算机和计算模型及软件实现的软系统。

对线性系统而言，著名的Kalman滤波器和Luenberger观测器为该领域的观测器设计问题提供了较为完美的答案。

与线性系统不同，对非线性系统不存在一个总的方法来设计观测器，但对不同的非线性系统可以找出不同的设计方法，因而对非线性系统观测器的研究要复杂得多。

因此，非线性观测器问题是国内外控制界学者当今研究的热点之一。

2、非线性状态观测器的发展简介对于非线性系统状态观测器的研究始于上世纪70年代，在80年代取得了较大的进展，但由于非线性系统本身的复杂性，非线性观测器理论还未能系统化。

对非线性系统，观测器理论方面最初的系统性结果是在观测误差是线性的等一系列条件下得出的。

这类观测器存在的充分必要条件是相当严格的。

在1989年，Tornambe[1]提出了基于“高增益”近似抵消的方法。

然而此方法不能保证增益任意高时，估计的状态渐近收敛到真正的状态，即使观测器与系统的初值一致，一般情况观测器误差只是有界的，而不能保证是渐近收敛到零。

对于能够转换成能观标准型的单输入单输出非线性系统，1988年，Bastin和Gevers给出了系统转换成这类标准型的充要条件，然而此类观测器所需要的转换是很难找到的，并且Bastin和Gevers提出的条件是相当严格的。

一类利普希茨非线性系统的全局有限时间控制

一类利普希茨非线性系统的全局有限时间控制王康;沈艳军【摘要】讨论了一类Lipschitz非线性系统的全局有限时间控制问题,利用Lyapunov稳定性理论,齐次系统理论及系统局部有限时间稳定性理论,给出了一个连续非光滑的状态反馈控制器存在的充分条件,它能将满足全局Lipschitz条件的非线性系统在有限时间控制到平衡点.最后,通过仿真实验验证了方案的有效性.%This note presents global finite-time controller design for nonlinear systems with Lipschitz. By the theory of Lyapunov, homogeneous system and locally finite-time stability theory, a controller design method is proposed to solve the control problem. A numerical example is given to testify the deign method.【期刊名称】《三峡大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(033)001【总页数】6页(P107-112)【关键词】利普希茨;非线性系统;全局有限时间稳定;控制器;非光滑【作者】王康;沈艳军【作者单位】三峡大学,理学院,湖北,宜昌,443002;三峡大学,理学院,湖北,宜昌,443002【正文语种】中文【中图分类】O231近年来,非线性系统稳定性研究成为了研究热点,Lyapunov稳定性是非线性系统研究的重要内容之一,学者们研究各类非线性系统已得出了许多好的结果,如非线性系统的指数稳定等.然而,具有Lyapunov稳定性的系统有时在工程上的应用效果并不好,这就要求人们关注系统在有限时间内所能达到的性能要求,非线性系统的有限时间控制问题也就应运而生[1-15].所谓有限时间控制问题是指能否在有限时间内将系统控制到平衡点.指数稳定是被控系统最快收敛速度,但此时的绝大多数闭环系统不可能在有限时间收敛到平衡点.当系统具有外部干扰和不确定因素影响时,有限时间稳定的系统往往具有更好的性能[2],因而非线性系统有限时间控制器的设计和稳定性分析更为复杂.目前,研究非线性系统有限时间控制问题的方法主要有:文献[3-4]利用齐次性理论证明齐次系统的有限时间稳定及控制器的设计,文献[5-9]利用反步构造 Lyapunov函数解决了非线性系统的有限时间控制问题,文献[10-11]利用终端滑模控制方法讨论非线性系统的有限时间控制,文献[12]利用齐次性理论解决了机器人系统的有限时间控制问题,文献[13]分别利用上述3种方法分析一类二阶非线性系统的有限时间状态反馈镇定问题.伴随着有限时间控制问题研究的深入,非线性系统的有限时间观测器设计也得到了学者的广泛关注[14-15].本文讨论一类Lipschitz非线性系统的全局有限时间控制问题,通过所构造的一个连续非光滑的状态反馈控制器的作用,使得该系统能在有限时间内达到全局渐近稳定,并借助 Lyapunov理论,齐次性理论及系统局部有限时间稳定性理论给出了理论证明,最后,仿真结果证明了本方法的有效性.1 预备知识考虑如下非线性系统:其中,f:D→Rn是连续的.定义1[2] 系统(1)的零解是有限时间收敛的,如果存在原点的开领域U⊆D和函数T:U\{0}→{0,∞},使得∀x0∈U,系统(1)的解φ(t,x0)∈U\ {0},t∈[0,T(x0)]且称为设定时间.定义2[2] 系统(1)的零解如果是Lyapunov稳定和有限时间收敛的,则它是有限时间稳定的.如果U=D=Rn,则它是全局有限时间稳定的.定义3[9](齐次函数) 假设(r1,…,rn)∈Rn, ri＞0,i=1,2,…,n,V:Rn→R为连续函数V 被称为相对于(r1,…,rn)具有齐次自由度σ＞0的函数,如果对∀ε＞0,∀ξ∈Rn,使得成立.定义4[9] 令为一连续向量.f(ξ)被称为相对于(r1,…,rn)具有齐次自由度k∈R的齐次向量,如果对∀ε＞0,∀ξ∈Rn,i=1,2,…,n,使得成立.引理1[9] 假设系统(1)相对于(r1,…,rn)具有齐次自由度k,则系统(1)的平衡点是有限时间稳定的,当且仅当系统(1)的原点是渐近稳定的平衡点且齐次自由度k＞0.引理2[9] 假设V1和V2是在Rn连续实函数,分别相对于(r1,…,rn)具有齐次自由度l1,l2(均大于0),V1为正定的,则有,对每个x∈Rn有下式成立.引理3[14] 假设系统存在一个定义在原点的某个领域U∈Rn内的Lyapunov函数V(x)满足其中l,k＞0.故系统(5)原点是局部有限时间稳定的.集合是一个包含原点的吸引域,且此时设定时间T(x)满足引理4 考虑以下系统这里,x∈Rn是系统状态,hi:Rn→R是连续函数(i=1,2,…,n),若系统(7)是全局渐近稳定且原点在某邻域内是有限时间稳定的,则系统(7)的原点是全局有限时间稳定的. 引理5[16] 令c,d为正实数,γ(x,y)＞0为一实值函数,则有下式成立:符号说明:(1)signx为x的符号函数,其定义:当x＞0时, signx=1;当x＜0时,signx=-1;当x=0时,signx =0.(2)λmax(P),λmin(P)分别表示矩阵P的最大,最小特征值.(3)向量范数:2 主要结果考虑以下Lipschitz非线性系统式中,x∈Rn、u∈R分别是系统状态、控制输入,非线性项fi(◦)∈R满足全局Lipschitz条件且fi(0)=0 (i=1,2,…,n),即存在一个常数γ＞0,使得称γ为Lipschitz 常数.令则有f(0)=0,且满足此时系统(9a)可写为所讨论系统的全局有限时间控制问题是指系统(9)在形如以下状态反馈控制器(10)的作用下,其闭环系统是全局有限时间稳定的.此时控制器(10)称为系统(9)的一个有限时间状态反馈控制器.注1:文献[13]考虑了一类参数与状态不确定性非线性系统的有限时间控制问题,其非线项fi(◦)具有下三角结构,而本文考虑的非线性项fi(◦)与所有状态变量均有关,从而更具广泛性.下面给出解决系统(9)的全局有限时间控制问题的主要定理.定理1 如果存在(0,1)使得对每个α∈(1-,1),以及给定的Lipschitz常数γ,则在控制器的作用下可实现闭环系统(11)是全局有限时间稳定的,其中控制器增益ki满足(k1,k2,…,kn)=BTQ,这里Q满足Riccati方程:式中,a＞0为适当标量,Q0为适当的对称正定矩阵, ρ,αi为控制器参数且满足证明步骤分两步:步骤1,用 Lyapunov直接方法,证明系统(11)存在一个正定且径向无界V∈Rn,其且沿闭环系统(11)轨迹的微分在Pr=Rn-υQ(r)上是负定的;步骤2,证明闭环系统(11)在υQ(2r)上是有限时间稳定(FTS)的.由于˙V在Pr上负定且在υQ(2r)上是FTS的,意味着系统(11)是全局渐近稳定和局部FTS的,再利用引理4可完成证明.步骤1:令系统(11)的正定Lypunov函数由于控制器增益ki满足(k1,k2,…,kn)=BTQ,则控制(12)可等价为其中,x={signx1|x1|α1,signx2|x2|α2,…,signxn◦|xn|αn}.此时,上式沿闭环系统(11)轨迹的微分为由条件(13)知:QA+ATQ+2aQ-2QBBTQ＞0,将其代入式(17)可得令υQ(r)={x|xTQx≤r}(r≥1),Pr=Rn-.现考虑对xTQBBTQ x进行放缩.当x∈Pr≤1时,有|xi|αi≤1,i=1,2,…,n,于是有当x∈Pr＞0时,有2,…,n,于是有故存在使得又有存在c2=使得注意:V≥λmin(Q)xTx,有.从而有故对适当参数a,γ,存在适当控制器参数ρ满足则有a≥ρ c1+γ c2,于是对x∈Pr,有且其中g(a,ρ,γ)=max{-2a+ρ c1+γ c2,-2},则有式中,x0为系统的初始状态.要保证系统状态轨迹进入υQ(2r)内,则必须有V(x0,t)eg(α,ρ,λ)t≤2r或者t≥成立,于是当是系统状态轨迹从x0开始进入υQ(2r)内.步骤2:考虑正定连续的Lyapunov函数其中满足条件(14).考虑以下系统即系统(27)是相对于具有齐次自由度的齐次系统,Vα(x,t)相对于具有的齐次自由度,显然有且有令U=υQ(2r),则U为紧集,此时(0＜α＜1)是确定的,且有由Vα(x,t)的齐次性及引理2可知这里.另一方面,故存在ε2∈(0,1)使得对每个α∈(1-ε2,1)有于是对∀x∈υQ(2r),存在ε2∈(0,1)使得对每个α∈(1-ε2,1)有基于上述分析,可得正定Lyapunov函数Vα(x, t)沿闭环系统(11)轨迹的微分为利用引理5且可得其中,di,k＞0,令则由式(33)与式(34)可得同理可得其中,ei＞0,令现要证明＾xTQBBTQx的值不小于0,利用Tube引理,知道υQ(2r)是紧集,定义函数则φ是连续的.很容易证明对又φ-1(R+)是R+×υQ(2r)含{1}×υQ(2r)的一个开子集,由于υQ(2r)是紧集,由Tube引理可得φ-1(R+)是含{1}×υQ(2r)的某个(1-μ,1+μ2)×υQ(2r).于是,对所有的(α,e)∈(1-μ1,1+μ2)×υQ(2r)都有φ(α,x)＞0.从而存在ε3∈(0,1)使得对每个α∈(1-ε3,1)使得＾xTQBBTQx＞0,进而可得2＾xTQBBTQx◦为非负数. 从而有因此,令则有由于,由引理3知,闭环系统(11)是局部有限时间稳定的.进而,由引理3和式(38)可得一个包含原点的吸引域Ω,且有υQ(2r)⊂Ω,其中且设定时间综上所述,存在=max{ε1,ε2,ε3}∈(0,1),使得对每个α∈(1-,1),在控制器(12)作用下可实现系统(9)的闭环系统(11)是全局有限时间稳定的,且设定时间为T(x0)≤T1(x0)+T2(x0).注2:由定理1,可按以下步骤设计系统的全局有限时间控制器(12):(1)选定参数α,Q0,通过求解Riccati方程(13)得到Q;(2)计算 ki,c1,c2,Lipschitz常数γ,设定控制器参数ρ且满足如果ρ不存在,则适当改变参数a,Q0的值,重新从步骤(1)开始,直至得到合适的控制器参数ρ为止;(3)设定控制器参数αi且满足条件(14);(4)设计形如(12)的有限时间控制器.注3:考虑系统分析其解的情况,当x远离平衡点原点时,系统(41)可约写为˙x=-hx,此时系统是指数收敛到原点的,当x非常接近含原点的邻域时,系统(41)可约写为˙x=-jsign(x)|x|β,此时系统是有限时间稳定的,详见参考文献[12].注4:从定理1的证明中不难得出,当α=1时,控制器(42)是控制器(12)的极限形式,且在其作用下能确保闭环系统(11)是全局渐近稳定的:3 数值实验考虑以下系统这里f1=f2=f3=sin(x1+x2+x3)满足全局Lipschitz条件且γ=1.设系统初始条件x0=[1,1, 1]T,令,通过求解Riccati方程,可得到则可得有限时间控制器的增益k1=9.247 9,k2= 12.8343,k3=6.173 8,设定控制器参数为ρ=0.3, α=0.8,则可得系统状态轨迹如图1所示.当设定控制器(12)中的参数ρ=0.3,α=1,此时的控制器是控制器(12)的极限形式,它将不再是有限时间控制器,只是一般状态反馈控制器,所得系统状态轨迹如图2所示.由仿真实验可知,图1是系统(40)在有限时间控制器(12)作用下T=12s内就达到平衡点.图2是系统(40)在控制器(39)作用下T=20 s才被控制到平衡点.从而有力地说明了有限时间控制器比一般的状态反馈控制器具有更优的控制性能.4 结语本文讨论了一类Lipschitz非线性系统的全局有限时间控制问题,设计了一个有限时间状态反馈控制器,通过Lyapunov理论,齐次系统理论和局部有限时间稳定性理论证明在其作用下的闭环系统是全局有限时间稳定的,并通过求解Riccati方程得到控制器增益,最后,通过实例仿真证明了本方法的正确性.参考文献:[1] Ryan E P.Finite-time Stabilization of Uncertain Nonlinear Planar Systems[J].Dyn.Control,1,1991:83-94.[2] Bhat S P,Bernstein D S.Continuous Finite-time 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Syst.Control Lett.,1998,34(5):281-288. [11] Feng Y,Yu X H,Man Z H.Nonsingular Terminal Sliding Mode Control of Rigid Manipulators[J].Automatic,2002,38(12):2159-2167.[12]Hong Y,Xu Y,Huang J.Finite-time Control for RobotManipulators[J].Syst.Control Lett.,2002,46:243-253.[13]李世华,丁世宏,田玉平.一类二阶非线性系统的有限时间状态反馈镇定方法[J].自动化学报,2007,33(1): 101-104.[14]Shen Y,Xia X.Semi-global Finite-time Observers for Nonlinear Systems[J].Automatica,2008,44:3152-3156.[15]Shen Y,Huang Y.Uniformly Observable and Globally Lipschitzian Nonlinear Systems Admit Global Finitetime Observers[J].IEEE Trans,Auto mat,Control, 2009,54(11):2621-2625.[16]Qian C,Lin W.Non-Lipschitz Continuous Stabilizer for Nonlinear Systems with Uncontrollable Unstable Linearization[J].Syst.Control Lett.,2001,42:185-200.。

基于拟单边Lipschitz条件的非线性系统自适应观测器设计

基于拟单边Lipschitz条件的非线性系统自适应观测器设计高波;徐明跃【摘要】用拟单边Lipschitz条件代替通常的Lipschitz条件研究了一类非线性系统自适应观测器的设计方法.所得到的判据较已有文献的结果减少了保守性,并给出了仿真算例验证了所给方法的有效性.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2010(026)003【总页数】4页(P17-19,40)【关键词】非线性系统;自适应观测器;拟单边Lipschitz条件;Lyapunov函数【作者】高波;徐明跃【作者单位】哈尔滨师范大学;哈尔滨师范大学【正文语种】中文对于观测器的设计,大体分为线性和非线性系统观测器设计,对于线性系统的观测器设计,在文献中已有较完善的结果 .但在实际工程问题中,所涉及到的大多都是非线性系统.非线性系统的观测器设计比线性系统的观测器设计研究起来困难的多.近年来,非线性的观测器设计问题已经成为众多学者所关注的研究课题,并取得了丰硕的成果.已发展的方法,诸如:扩展的 Kalman滤波器法,高增益方法,自适应观测器设计,微分几何观测器设计方法等,对系统有较为苛刻的要求,所以非线性系统观测器设计问题至今仍是许多学者研究的热点.在实际工程问题中一般系统为Lipschitz非线性系统,并且许多学者都对 Lipschitz非线性系统状态观测器进行研究,得到了一些设计方法[11-12].参考文献[11-12]提出了单边 Lipschitz、拟单边 Lipschitz条件,在研究系统稳定性以及非线性观测器设计时它们比Lipschitz条件减少保守性.该文用拟单边 Lipschitz条件代替通常的 Lipschitz条件研究了一类非线性系统自适应观测器设计.得到的渐近稳定观测器设计条件比已有文献所给判据减少保守性.最后通过仿真算例,验证了该方法的正确性.考虑如下一类参数不确定非线性系统其中x∈Rm为系统的状态向量;u∈Rr为系统的输入向量;y∈Rn为系统的输出向量;A∈Rn×n, C∈Rm×n都为常数矩阵;θ∈Rp为系统未知定常参数;f:Rn→Rn×p 和φ:Rn→Rn为已知的非线性函数.对系统作如下假设:(a)对任意输入u(t),φ(x,u)为x的拟单边Lipschitz函数,f(x,u)为x的Lipschitz函数,即存在M,γ1>0使得式中:‖·‖为 Euclid向量范数.(b)未知定常参数θ有上界,即存在γ2>0使得(c)存在增益矩阵L及正数ε,使如下的不等式有正定解P(d)存在向量函数g(x,u),使相对于(5)式的正定解P满足对于参数不确定非线性系统来说,上述数学模型具有普遍意义.该文针对系统(1)设计一非线性自适应状态观测器.并确保所设计的观测器渐进稳定.对系统(1),设计非线性自适应观测器:其中L∈Rn×m为待定的观测器增益.(Ⅰ)当f(x,u)=0时,系统(1)变为:构造如下所示的观测器式中^x为状态估计.状态误差=x-^x,L∈Rn×m为观测器增益矩阵.设计目标为:确定L使状态估计误差渐近稳定,即(Ⅱ)当f(x,u)≠0时,采用观测器(7),由下列定理可知自适应观测器渐进稳定.定理 1 设非线性系统式(1)满足假设条件(a)～ (d),若采取如下参数调整律则自适应观测器(7)渐进稳定.证明由式(1)和(7),状态观测器误差的动态方程为式中=x-^x为状态估计误差;^θ为未知定常参数的估计值.令参数估计误差˜θ=θ-^θ,考虑Lyapunov函数注:对于(5)式可以改写成(A-LC)TP+ P(A-LC)<-γ2PP-2M-I.当M≥0时(A,C)可检测,当时(A,C)有可能不可检测,可见定理 1至少是已有结论的补充.例 1 考虑下列非线性系统(1),其中显然,参数A是不稳定的.这里γ1=1.5,γ2=2,γ=3.由中值定理,对于∀xi,^xi∈R(i=1,2)存在ζi∈Co(x,)注:本例中(A,C)是不可检测的,参考文献[3]中的设计方法失效,但该文设计方法可用.这说明的方法比基于 Lipschitz条件得到的方法减少了保守性.该文研究了具有未知参数的非线性系统的自适应观测器设计问题,利用拟单边Lipschit条件代替通常的 Lipschit条件,得到了该类系统存在渐近稳定观测器的充分条件.所得到的判据即使在不可检测时也可用.Based on the former design of an adaptive observer for Lipschitz nonlinear systems,a part of conditions are weaken by using quasi-one-sided Lipschitz conditions.Reduced conservation is presented in this paper.The simulation examples verify that the improved algorithm is effective.【相关文献】[1] Kalman R.E.On a new approach to filtering and prediction problems.Transactions of the AS ME Journal of Basic Enginneering,1960,82(D):35-45.[2] David G.An introduction to observers.IEEE Transactions on AutomaticControl,1971,16(6):596-602.[3] 贺乃宝,姜长生.基于方法的非线性系统自适应观测器计.南京航空航天大学学报,2006,38(3).[4] Oisiovici R M,Cruz S L.State estimation of batch distillation columns using an Extended Kalman filter.Chemical Engineering Sicence,2000,55:4667-4680.[5] Gauthierm J.P.,HammonuriM.,Othman S.A simple observer for nonlinear systems application to bioreactor[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,1992,37(6):875 -879.[6] Ciccarella G.,MoraM.D.,GermaniA.A Luenberger-like observer for nonlinearSystems[J].International Journal Control,1993,57(3):537-556.[7] Rajamani R.Observers for Lipschitz nonlinear syatems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,1998,43(3):397 -401.[8] Besancon R.Remarks on nonlinear adaptive observer design[J].Systems&ControlLetters,2000,41:271-280.[9] Bestin G,GeversM R.Stable adaptive observers for nonlinear time-varying systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,1988,33(7):650-658.[10]Cho YM,Rajamani R.A systematic approach to adaptive observer synthesis for nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1997,42(4):534-537. [11]Hu G.D.Observers for one-sided lipschitz non-linear systems. IMA J.Math.Control Inf.2006,23,395-401[12]Hu G.D.A note on observer for one-sided Lipschitz nonlinear systems. IMAJ.Math.Control Inf.,2008,25,297-303.[13]Xu Mingyue.Reduced-order observer design for one-sided Lipschitz non-linear Systems. IMA Journal of Mathematical Control and Information,2009,26,299-317.。

一类非线性系统连续非光滑自适应观测器设计

一类非线性系统连续非光滑自适应观测器设计沈艳军;胡俊波【摘要】在已有文献的基础上增加非线性齐次误差项，给出一类具有单边或拟单边Lipschitz 条件的非线性系统连续非光滑自适应观测器的设计方法，并进行仿真。

所设计的观测器有线性部分和非线性齐次部分，其中，线性部分可以确保观测误差全局Lyapunov 稳定，而非线性齐次部分可以加快状态误差和参数误差收敛速度，提高抗干扰性。

仿真结果表明，所设计的观测器是有效的。

%In thispaper,continuous but nonsmooth adaptive observer design is studied for a class of one-sided Lipschitz and quasi-one-sided Lipschitz nonlinear systems.The observer has two part:Linear part and homogeneous nonlinear part.The linear part can guarantee that the obser-vation errors are globally Lyapunov stable.The homogeneous nonlinear part can speed up con-vergent rate of the state error and the parameter error.It can also improve robust against noi-ses.At last,numerical simulations show the validity of the proposed methods.【期刊名称】《广西科学》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】4页(P421-424)【关键词】非线性系统;连续非光滑;自适应观测器【作者】沈艳军;胡俊波【作者单位】三峡大学电气与新能源学院，湖北宜昌 443002;三峡大学电气与新能源学院，湖北宜昌 443002【正文语种】中文【中图分类】O230 引言近年来，非线性系统自适应观测器的设计成为研究热点，主要表现为3个方面：1）具有自适应观测器标准型的非线性系统自适应观测器设计，这类设计主要通过变量变换把一个非线性系统变成自适应观测器标准型，再给出其状态和参数估计，在持续激励条件下，保证了状态误差和参数误差同时渐近收敛到零点［1］；2）对非线性项满足Lipschitz条件并与所有状态变量均有关的非线性系统，通过构造满足某些条件的Lyapunov函数，再设计其自适应观测器［2］.这两类方法适用于未知参数是线性化的非线性系统；3）未知参数非线性化的非线性系统自适应观测器的设计［3］。

非线性系统的有限时间扩张状态观测器的设计

非线性系统的有限时间扩张状态观测器的设计王洪斌;周振;王跃灵;郝策;葛顺刚【摘要】To investigate a class of nonlinear systems with uncertainties and external disturbances,a finite time extended state observer is designed to estimate the uncertainties and external disturbances in finitepared to standard extended state observer,based on the idea of terminal sliding mode,the observer makes use of fractional powers to reduce extended state error to zero in finite time,and then strengthen the robustness.A sufficient condition on the issue of finite time stability is established through the theory of Lyapunov,and finally,an illustrative numerical simulation is given to demonstrate the effectiveness of the strategy proposed.%针对非线性系统的不确定项和外部干扰问题,提出了一种有限时间扩张状态观测器的设计方案,实现了非线性系统不确定项和外部干扰的有限时间估计.与传统的线性扩张状态观测器相比,有限时间扩张状态观测器基于终端滑模的思想而设计,其非线性项的引入保障了扩张状态的有限时间估计,进而辅助设计控制器,可以提高系统的鲁棒性能.利用Lyapunov有限时间稳定性理论得到该观测误差系统收敛的充分条件.最后,实例仿真进一步验证了该策略的有效性.【期刊名称】《计量学报》【年(卷),期】2017(038)006【总页数】5页(P725-729)【关键词】计量学;扩张状态观测器;有限时间;非线性系统;不确定项;干扰;终端滑模【作者】王洪斌;周振;王跃灵;郝策;葛顺刚【作者单位】燕山大学工业计算机控制工程河北省重点实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学工业计算机控制工程河北省重点实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学工业计算机控制工程河北省重点实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学工业计算机控制工程河北省重点实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学工业计算机控制工程河北省重点实验室,河北秦皇岛066004【正文语种】中文【中图分类】TB93在实际工程领域中,系统的非线性特性为其控制带来了新的挑战[1],而在众多的非线性系统控制理论中,终端滑模控制因其强鲁棒性、灵敏度低、有限时间快速收敛性[2]等优势,逐渐受到学者的青睐[3]。

Lipschitz非线性系统状态观测器设计新方法

min ( A - LC - !E) > ,
( 8)
! R+
表明稳定观测器的设计与( A- LC- !E) 的奇异值有关, 但是该方法要求控制矩阵的特征值无重根。
文献[ 3] 在文献[ 2] 的基础上进行改进, 不考虑观测器的特征值是否有重根, 只要求增益矩阵满足
∀( V) + K 2( D) < 0。
Abstract: T his paper present ed a new design m et hod of stat e observer fo r L ipschit z nonlinear sys t ems, aiming at the minim izatio n o f condit io n number. A syst emat ic comput at ional pro cedure fo r minim izat ion o f condit ion number w as developed based on t he g radient f low algo rithm and Sly vest er equat ion. T he observer gain mat rix and t he allo wable m aximum L ipschitz const ant w ere opt imized by using t his m et hod. By com paring numerical ex ample wit h ot her paper s, the result reveals that sim ple com put at ion and w ell desig n are t he charact er ist ics of t he observer.

一种不确定非线性系统的滑模变结构观测器的研究

第23卷第4期电子测量与仪器学报 Vol. 23 No. 4 · 60 ·JOURNAL OF ELECTRONIC MEASUREMENT AND INSTRUMENT2009年4月本文于2008年10月收到。

* 基金项目: 国家自然科学基金(编号: 60835004, 60774069)资助项目; 湖南省自然科学基金(编号: 07JJ3118)资助项目。

一种不确定非线性系统的滑模变结构观测器的研究*何静1,2 邱静1 张昌凡2(1. 国防科技大学机电工程与自动化学院, 长沙410073; 2. 湖南工业大学电气信息工程学院, 株洲412008) 摘要: 由于工程实际中大部分工业对象均为非线性系统, 滑模观测器应用研究的重点已从线性系统转至不确定非线性系统。

针对一类非线性满足Lipschitz 条件, 而不确定部分为有界函数的不确定非线性系统, 提出一种滑模变结构观测器设计方案, 将基于线性系统提出的Walcott-Zak 观测器用于抑制非线性对系统的影响, 而滑模变结构使得观测器对系统不确定性具有鲁棒性。

对所设计观测器的稳定性进行了证明, 并通过仿真验证了所提方法的有效性。

关键词: 滑模；非线性系统；观测器中图分类号: TP13 文献标识码: A 国家标准学科分类代码: 510. 8010Study on sliding mode observer for the uncertain nonlinear systemsHe Jing 1,2 Qiu Jing 1 Zhang Changfan 2(1. College of Mechatronics and Automation, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China;2. College of Information Science and Engineering, Hunan University of Technology, Zhuzhou 412008, China)Abstract: Due to most of practical industrial objects belonging to nonlinear systems, study attention on sliding mode observer has recently shifted from uncertain linear systems to nonlinear systems. A design of sliding mode ob-server is developed for a class of nonlinear systems with nonlinear part which satisfies Lipschitz condition and uncer-tain part which is a bounded function. The Walcott-Zak observer originally designed for linear systems is introduced to minimize the nonlinear effects on the considered system, while the use of sliding mode variable structure theory makes the system robust to the uncertainty. Following the fully proving of system stability, simulation studies demonstrate the effectiveness of the proposed strategy.Keywords: sliding mode; nonlinear systems; observer1 引言准确的测量工业系统所需的各种状态是实现工业自动化控制的前提, 而如果仅靠传感器等测量手段来获取控制系统所需要状态变量等信息, 不但要增大系统开支, 也增加了硬件的复杂性, 而且有的信息不便于或是无法通过物理测量获取。

一类单边Lipschitz非线性系统观测器的设计

关于的Ｌｐｃｉ函数，中ｚ利普，）ｉｓｈｔｚ其为希茨常数，件（）被称为Ｌｐｃｉ条件．条２ｉｓｈｔｚ
０引言
观测器的设计问题是控制理论的核心问题
之一，在很多方面都得到了广泛的应用．者用笔
亡
≤ Ｉ一Ｉ＋＜（）一（ “ ，一曼ＩＩ，，））
Ｌｐｃｉ条件．ｉｓｈｔｚ
示适当维数的单位矩阵，１・ｌ表欧式范数，Ｉ】代＜，・表示与欧式范数相对应的欧几里得内积，・）Ａ（）和Ａｉ・别表示矩阵的最大和最小・（）分
２观测器设计
个常数Ｚ使得对任意的， ∈Ｒ，满足，名均
ｆ（）一（，Ｉ≤ ｌ一Ｉ２， Ⅱ Ｉ，互）ｆＩｆ）贝称（
＝ｅ［Ａ— ＣＰＡ— Ｃ］＋ｅ（Ｌ）Ｐ＋（Ｌ）ｅ２假设（ “ ，）满足单边Ｌｐｃｉ条件，到ｉｓｈｔｚ找
第２７卷第３期
哈尔滨师范大学自然科学学报
ＮＡＴＡＬＳＩＵＲＣＥＮＣＳＪＥＯＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＢＮＮＯＲＭＡＬＵＶＥＲＩＹＩＮＩＳＴ
Ｖ１２，Ｎ．０１ｏ．７ｏ３２１
一
类单边Ｌｐｃｉ非线性系统观测器的设计ｉｓｈｔｚ
）这里设ｂｘ“ （）一（，）构造，（，）＝，１．１，
Ｌａｕｏｙｐｎｖ函数Ｖ＝ｅ，ｅ并对其求一阶导数有

一类非线性系统的函数观测器设计探究

一类非线性系统的函数观测器设计探究本文着重对单边Lipschitz非线性系统函数观测器设计进行研究，在已知条件背景下，通过线性矩阵不等式对函数观测器增益矩阵条件进行明确，继而确定了函数观测器增益矩阵设计方法。

以一个仿真实例为基础，对函数观测器的设计进行验证，既能够实现系统状态估计，又能够有效消除观测误差。

标签：非线性；系统；函数观测器；设计探究1 前言非线性系统观测器设计问题一直备受关注，相关研究者也尝试通过坐标变换法、类Lyapunov方法和扩展的Kalman滤波法等对不同设计方法进行探索，以推进状态反馈实施，为非线性系统观测器研究奠定良好的理论及技术基础。

以一类Lipschitz非线性系统观测器设计为例，相关文献中对该非线性系统的相关条件进行明确界定，有助于实现观测器渐近稳定，与此同时，也对观测器增益矩阵的设计方法进行明确，并在降维观测器设计中对相关研究成果进行推广。

Lipschitz条件背景下的观测器增益矩阵设计方法比较保守，数学领域研究者采用单边Lipschitz条件，对它的保守性进行有效控制。

相关文献中已经对单边Lipschitz条件的概念进行了相关界定，且单边Lipschitz非线性系统观测器增益矩阵条件也比较充分，但是观测器增益矩阵设计过程中的有效性不足，也并未给出具体的设计方法。

相关研究人员对线性矩阵不等式进行求解，以得出观测器增益矩阵。

而单边Lipschitz非线性系统降维观测器增益矩阵的相关条件也比较充分，并尝试提出新型观测器设计方法。

采用二次内积有界性使观测器增益矩阵条件充足，它需要对非线性矩阵不等式进行求解，笔者对该条件进行升级和改进，使其变为解线性矩阵不等式，而观测器增益矩阵设计方法属已知条件。

借助Lyapunov方法，观测误差渐近稳定条件呈已知状态，对观测器设计进行转化，使其变为对线性矩阵不等式进行求解，借助该种方法，实现观测器增益矩阵设计。

相关文献中，以代数Riccati方程为前提，对单边Lipschitz非线性系统降维和全维观测器设计方法进行明确。

带有不确定量的Lipschitz非线性时滞系统的稳定性分析和观测器设计

数；（ ¨ ｆ）（ｔｈ） ¨ ｔ）∈Ｒ “ ｙｔ，（），（一（），（）；（）
成为控制理论和信息系统中倍受关注的课题之＿．
带有不确定量的线性时滞系统理论，状态反如
馈稳定性、出状态反馈稳定性、ｉｃｔ方程方法输Ｒｃａｉ
中图分类号：２１２０３．
文献标识码：Ａ
文章编号：０７— ８４２０）２— ０１４１００３（０８０００ —０
０引言
ｙ＝Ｃ（）ｘｔ
（）２
实际工作中很多系统存在时滞的影响，如航例天器、电话、传感器、学反应、为控制等，些系化人这统需要延时，而且根据需要适当地进行延时．年来近对时滞系统中的带有不确定量的时滞系统的研究已
∈Ｒ为输出状态．下面，我们讨论全维非线性观测器，并做出一些
假设：
稳定性、及日等问题已趋于成熟和完善，非线对性时滞系统的研究逐渐被关注和重视，往往但
要求条件苛刻，因而研究这一问题具有很大的挑战
性．文对带有不确定量的满足Ｌｐｃｉ条件的非本ｉｓｈｔｚ线性时滞系统的稳定性和观测器进行了研究，用利
（）＝（ △ （）（）＋［ｄＡ（）（一ｔＡ＋Ａｔ）ｔＡ＋△ ｄｔ］ｔ

基于拟单边Lipschitz条件的一类非线性系统降维观测器设计

基于拟单边Lipschitz条件的一类非线性系统降维观测器设计徐明跃;胡广大【摘要】In order to study the problem of reduced-order observer design for a class of nonlinear systems, the quasione-sided and weak-quasi-one-sided Lipschitz conditions were introduced. Criteria for the existence of reduced-order observers of the class of nonlinear systems were presented the linear matrix inequality method. Based on the (weak-) quasi-one-sided Lipschitz condition, the contribution of the nonlinearity on asymptotic convergence of the observer error was explored. The proposed criteria were less conservative than those in previous literature. Furthermore, it was proven that the present criteria are available even if the system parameters are not detectable. Two numerical examples were given to illustrate effects of the proposed approach.%为了研究一类非线性系统降维观测器设计问题,引入拟单边、弱拟单边Lipsehitz条件,采用线性矩阵不等式方法给出了该类系统降维观测器渐近稳定的判据.借助(弱)拟单边Lipsehitz条件,研究了系统非线性项对降维观测误差渐近收敛性的贡献,得到了比现有的方法减小保守性的判据.证明了在系统的参数不可检测性时,所给出的判据仍然有效.最后,给出仿真算例并验证了所得方法的正确性.【期刊名称】《哈尔滨工程大学学报》【年(卷),期】2011(032)005【总页数】5页(P565-569)【关键词】非线性系统;降维观测器;拟单边Lipschitz条件;拟单边Lipschitz常数阵【作者】徐明跃;胡广大【作者单位】哈尔滨工业大学,航天学院,黑龙江,哈尔滨,150001;北京科技大学,信息工程学院,北京,100083【正文语种】中文【中图分类】TP273线性及非线性系统的观测器设计问题十分重要，它是控制理论的核心问题，得到了广泛应用.诸如:输出反馈控制、过程辨识、系统控制、故障诊断等.对于线性系统状态观测器的设计方法，在文献［1-2］中就已经得到了完美解决.比起线性系统，非线性系统观测器设计要复杂和困难得多，至今仍有许多尚待解决的问题.近几十年来，非线性状态观测器设计一直是众多学者研究的热点，得到了很多设计方法.如非线性坐标变换、自适应观测器、高增益技术、标准型和输出嵌入、光滑和非光滑技术等［3-8］.这些方法或是给出的条件比较严格以确保系统能够转化为便于观测器设计的形式，或是针对特殊结构的非线性项，或是增加假设条件已得到具有局部收敛的观测器.所以，为了得到尽可能较少保守性的更一般的设计方法，非线性系统观测器设计问题至今仍是许多学者研究的热点.非线性系统的状态观测器可分为全维观测器和降维观测器两种.降维观测器只估计系统的部分状态变量，这些变量不能从输出中直接测量.由于降维观测器的维数比全维观测器的维数低，因此，构造观测器时可以用较少的积分仪并且整个控制系统更简单.在实际问题中遇到的系统大多都为 Lipschitz非线性系统，许多非线性系统的非线性项或是Lipschitz的或是局部Lipschitz的.近年来，许多学者致力于Lipschitz非线性系统状态观测器的研究，得到了大量设计方法［9-14］.但基于Lipschitz 条件得到的渐近稳定观测器存在的充分条件，具有强的保守性，原因在于Lipschitz常数是个正数.文献［15-17］中引入比Lipschitz条件更弱的拟单边Lipschitz条件来代替Lipschitz条件，研究了Lipschitz非线性系统全维观测器的设计方法，设计方法比已有方法减少了保守性.沿文献［15-20］的思路，基于拟单边、弱拟单边Lipschitz条件，给出Lipschitz 非线性系统的降维观测器设计方法，得到比现有的设计判据减小保守性的渐近稳定观测器存在的判据.不同于现有文献的方法，使所得到的设计方法在系统的参数不满足可检测性时仍然可用.最后通过仿真算例，验证了所得到方法的正确性.1 模型描述假定I代表适当维数的单位阵，Eij表示第i行第j列元素是1其余元素是0的适当维数方阵.考虑如下的Lipschitz非线性系统:其中，x∈Rn为状态向量，u∈Rm为输入，y∈Rp为输出，A∈Rn×n，C∈Rp×n为常值矩阵.Γ(y，u，t)是n维已知向量函数，φ(x，u，t)是n维已知向量函数并且关于x是非线性的.在文献［15-17］中引入了拟单边Lipschitz条件:来代替通常的Lipschitz条件.其中f(x，u，u)= Pφ(x，u，t)，P是待求正定阵，M是一个实对称阵(不必正定或负定)，称M为Pφ的拟单边Lipschitz常数矩阵.称函数φ(x，u，t)满足条件拟单边Lipschitz条件.在设计非线性系统观测器时，用拟单边Lipschitz条件(2)代替通常的Lipschitz条件的优越性在文献［15-17］中已经讨论.此外，易见，满足通常Lipschitz条件的函数一定满足拟单边 Lipschitz条件(2).在很多情况下，可以找到不定的甚至负定的拟单边Lipschitz常数矩阵M，这就使得拟单边Lipschitz常数矩阵M(尤其是负的M)比通常的Lipschitz常数能更多反映非线性部分对观测器稳定性的贡献.将矩阵A和对称正定阵P分块如下:式中:A11、p1∈Rp×p、A12，p2∈RP×(n－P)，A21∈2 降维观测器设计基于拟单边Lipschitz条件(2)，可以得到下列重要结果.定理1 假定C=［Ip0］，并且系统(1)满足拟单边Lipschitz条件(2).如果有正定解P，其中M为Pφ的拟单边Lipschitz常数矩阵.那么非线性系统(1)存在n－p维的降维观测器:式中证明:令，其中M1∈Rp×p，M2∈Rp×(n－p)，M3∈R(n－p)×(n－p).则式(3)的第2行第2列块矩阵为式中:取坐标变换，令，其中z1=y∈Rp，并且z2∈Rn－p.则，根据式(1)有用式(7)减去式(4)的第1个式子，则动态误差满足:式中:考虑Lyapunov函数其导数为因为x=T－1z，拟单边Lipschitz条件(2)意味着即结合式(5)、(8)和(9)得这就意味着式(4)是式(1)的渐近稳定降维观测器.定义1 考虑非线性向量函数φ(x，u，t).如果成立.其中P是某待求正定阵，M是一个实对称阵(不必正定或负定)，则称φ(x，u，t)满足弱拟单边Lipschitz条件.从定理1的证明过程可见，在C=［Ip0］的情况下，定理1的条件“系统(1)满足拟单边Lipschitz条件(2)”可以减弱为“系统(1)满足弱拟单边Lipschitz条件(10)”.定理2 如果非线性系统(1)满足弱拟单边Lipschitz条件(10)，C=［Ip0］，并且存在增益阵K使得有正定解P，则系统(1)有形如式(4)的降维观测器.类似于文献［20］的讨论，如果C≠［Ip 0］，但C有行满秩，则可以得到类似定理1的结论.即利用Gram-Schmidt正交化，存在可逆阵S∈Rp×p使得C=，其中∈Rp×n且=Ip.运用输出变换ω=S－1y=，将矩阵扩充为n×n的正交阵通过状态变换，式(1)变为式中且令，式(1)变为引理1 考虑非线性系统(1).如果条件(2)成立，并且可以选择K满足式(3)，则可以选择WKS使得存在对称正定解，其中引理1的证明完全类似于文献［20］中引理1的证明(略).记其中定理3 假设C行满秩，且非线性系统(1)满足拟单边Lipschitz条件(2).如果存在增益阵K使得(A－KC)TP+P(A－KC)+2M＜0有正定解P，则系统(1)有具有如下形式的降维观测器:式中证明:先证明式(11)中的满足拟单边Lipschitz条件:事实上，注意到W是n×n的正交阵，有由式(11)、(14)、引理1和定理1可知式(13)是系统(1)的渐近稳定降维观测器.定理3得证.3 观测器渐近稳定性的仿真试验下面就(A，C)可检测与不可检测2种情况下通过仿真实例验证提出的降维观测器设计方法的有效性以及所得判据比基于Lipschitz条件得到的判据减小保守性.试验1 考虑非线性系统(1)，其中对于任意的x－=(0)∈R2，由中值定理得其中，令并注意到，应用定理2对于任意的，有期望设计拟单边Lipschitz常数矩阵，不妨考虑P满足P2＞0，－P3+P2＜0.因此，矩阵不等式(3)即为如下的LMIs由Matlab的LMI工具箱解(17)得图1给出了状态变量x2的仿真结果，从图1可以看出所设计的非线性降维观测器实现了对例1所给系统的状态变量x2的渐近估计，其中初值x(0)=1，(0)=0.6.在例1中容易求得φ(x，u，t)的Lipschitz常数，此时文献［20］中所给方法失效.而由于设计了半负定的拟单边Lipschitz常数矩阵M，从而把非线性项对于观测器渐近稳定的贡献充分地挖掘了出来.由此可见基于拟单边Lipschitz条件比基于Lipschitz条件得到的观测器设计判据大大地减小了保守性.图1 试验1的状态x2的仿真Fig.1 The simulations for state x2of experiment 1下面的例子验证了所给的方法即使在系统的参数(A，C)不可检测时，仍然可用. 试验2 在试验1中，改变参数则(A，C)不可检测，不妨考虑P满足P2＞0，－P3+ 2P2＜0.仿照例1的方法，矩阵不等式(3)成为下面的LMIs:由Matlab LMI工具箱解式(18)得图2给出了状态变量x2的仿真结果，从图2可以看出所设计的非线性降维观测器在(A，C)不可检测情况下实现了对例2所给系统的状态变量x2的渐近估计，其中初值图2 试验2的状态x2的仿真Fig.2 The simulations for state x2of experiment 24 结束语通过设计不定、半负定或负定的拟单边Lipschitz常数矩阵得到了一类非线性系统降维观测器设计的判据，用拟单边Lipschitz、弱拟单边Lipschitz条件来代替通常的Lipschitz条件，给出了了该类非线性系统降维观测器渐近收敛的LMI形式的充分条件.该充分条件比现有文献利用Lipschitz条件给出的充分条件大大减少了保守性.同时解决了非线性系统的参数(A，C)不可检测时现有文献判据失效的问题.所给判据不仅适用于通常的Lipschitz非线性系统，也适用于非Lipschitz非线性系统.仿真算例验证了所给方法的有效性.参考文献:【相关文献】［1］KALMAN R E.On a new approach to filtering and prediction problems［J］.Transactions of the ASME Journal of Basic Engineering，1960，82(D):35-45.［2］LUENBERGER D.An introduction to observers［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1971，16(6):596-602.［3］DEZA F，BOSSANNE D，BUSVELLE E.Exponential observer for nonlinear systems ［J］.IEEE Trans on Autom Control，1993，38(3):482-484.［4］CICCARELLA C，DALLAMORA M，GERMANI A.A Luenberger-like observer for nonlinear systems［J］.Int J Control，1993，57(3):537-556.［5］NIKOUKHAH R.A new methodology for observer design and implementation ［J］.IEEE Trans on Autom Control，1998，43(2):229-234.［6］WANG H，HUANG Z J，DELEY S.On the use of adaptive updating rules for actuator and sensor fault diagnosis［J］.Automatica，1997，33(2):217-225.［7］KREISSELMEIER G，ENGEL R.Nonlinear observers for autonomous Lipschitz continuous systems［J］.IEEE Trans Autom Control，2003，48(3):397-401.［8］XIA X，ZEITZ M.On nonlinear continuous observers［J］.Int J Control，1997，66(6):943-954.［9］THAU F E.Observering the state of nonlinear dynamic systems［J］.Int J Control，1973，17，471-480.［10］ZAK S H.On the stabilization and observation of nonlinear dynamic systems ［J］.IEEE Trans Autom Control，1990， 35:604-607.［11］RAGHAVAN S.Observers and compensators for nonlinear systems with application to flexible joint robots［M］.Berkeley:California University，1992.［12］RAGHAVAN S，HEDRICK J K.Observer design for a class of nonlinear systems ［J］.Int J Cntrol，1994，59: 515-528.［13］GARG V，HEDRICK J.Fault detection filters for a class of nonlinear systems［C］//Proceedings of the American Control Conference.Seattle，USA，1996:1647-1651. ［14］PERTEW A M，MARQUEZ H J，ZHAO Q.H∞observer design for Lipschitz nonlinear systems［J］.IEEE Trans on Autom Control，2006，51(7):1211-1216.［15］HU G D.Observers for one-sided Lipschitz nonlinear systems［J］.IMA J Math Control Inf，2006，23:395-401.［16］HU G D.A note on observer for one-sided Lipschitz nonlinear systems［J］.IMA J Math Control inf，2008，25: 297-303.［17］XU M Y，HU G D，ZHAO Y B.Reduced-order observer design for one-sided Lipschitz nonlinear systems［J］.IMA J Math Control Inf，2009，26:299-317.［18］RAJAMANI R.Observer for Lipschitz nonlinear systems［J］.IEEE Trans AutomControl，1998，43:397-401.［19］RAJAMANI R，CHAO Y M.Existence and design of observers for nonlinear systems:relation to distance to unobservability［J］.Int J Control，1998，69:17-731. ［20］ZHU F，HAN Z.A note on observers for Lipschitz nonlinear systems［J］.IEEE Trans Autom Control，2002，47: 1751-1754.。

单边Lipschitz非线性系统观测器设计的新方法

产物，
具有Ｌｐｃｉ常数（）的系统（）的观测器设计ｉｓｈｔｚ２１
已经在Ｒｊｍａｉ１９）Ｔａ（９３，ａａｎ（９８，ｈｕ１７）
ｌｌ相应的欧式范数．Ｐ是某一个对称正ｌ・ｌ是且
定的矩阵，有时可能为负的常量叫伪，）在的单边Ｌｐｃｉｉｓｈｔｚ常数，等式（）即为单边不３Ｌｐｃｉ条件，ｉｓｈｔｚ观察常数依赖于特殊的对称正定矩阵Ｐ对于许多问题，．可以发现单边Ｌｐｃｉｉｓｈｚｔ
常数要明显小于Ｌｐｃｉ常数．ｉｓｈｔｚ
具有单边Ｌｐｃｉ条件（）的系统（）的观ｉｓｈｔｚ３１
Ｚｕａ（０２ｈ＆Ｈｎ２０）中讨论．如Ｒｊｍａｉ１９）正ａａｎ（９８所指出，形式如＝厂ｕ的任何非线性系统，Ｉ，）（只要，）在可微，以看成是系统（）的第一ｕ可１个方程．在Ｚｏｈｕ＆Ｚａｇ（０１，ｉ，ｈｎｈｎ２０）ＬｕＺａｇ＆
维普资讯
第４期
单边Ｌｐｃｉ非线性系统观测器设计的新方法ｉｈｚｓｔ
＜（￡，）一（（）ｕ，）一（（）ｕ露ｔ，）（露）＞
１文献结论
设观测器拟设计成如下形式贾＝Ａ（，）＋Ｋ（．ｅ＋露ｕＹ—Ｃ）鸳．观测器的估计误差满足
收稿１：０８一ＯＯ３期２０４～８
测器设计已有Ｈ（０５，ｕ２０）中讨论，ｕ２０）Ｈ（０７笔者主要介绍具有单边Ｌｐｃｉ条件（）的系统ｉｈｚｓｔ３

Lyapunov第二方法在非线性控制中的应用解析

Lyapunov第二方法在非线性控制中的应用解析作者：魏萍来源：《教育教学论坛》2017年第51期摘要：Lyapunov方法是进行系统稳定性分析和控制设计的重要工具。

关于稳定性分析方面的应用，在一般教材和参考资料中都进行了详细的介绍。

本文准备对Lyapunov第二方法，在非线性控制设计方面的应用进行解析说明。

本文首先介绍了Lyapunov第二方法的基本内容，并说明了如何结合LaSalle不变原理拓宽Lyapunov函数的选择范围。

然后针对两个具体例子，演示了应用Lyapunov第二方法，以及结合LaSalle不变原理，进行控制律设计的过程，并对设计的控制律进行了系统仿真验证。

关键词：Lyapunov第二方法；非线性系统；非线性控制；LaSalle不变原理中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）51-0171-03一、引言1892年俄国学者Lyapunov发表了论文《运动稳定性一般问题》，给出了分析常微分方程组稳定性的两个方法，分别称为Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法[1，2]。

其中Lyapunov第二方法通过选取一个正定的标量函数（代替之前分析系统稳定性的能量函数），进而研究标量函数沿着目标系统轨线随时间的变化情况，得出目标系统平衡点的稳定性结论。

这种可应用于线性和非线性、时变和时不变系统的稳定性分析手段，不需要求解微分方程，是稳定性理论的重要组成部分，同时也是控制分析和设计的重要工具。

关于Lyapunov第二方法的讲解，不仅出现在本科生的自动控制原理II或现代控制理论课堂中，也可能在研究生课程非线性系统或非线性控制课堂上作为重要内容[3，4]。

不过一般教材或研究资料中，只是介绍和示例相关定理，以及其在稳定性分析中的应用，很少介绍其在非线性系统控制中的应用[5-7]。

另外应用Lyapunov第二方法通常是首先选取一个正定的标量函数，然后要求这个标量函数关于系统的时间导数是负定的。

Lipschitz非线性系统自适应观测器设计

Lipschitz非线性系统自适应观测器设计
朱芳来;韩正之
【期刊名称】《上海交通大学学报》
【年(卷),期】2003(37)6
【摘要】对具有未知参数的 Lipschitz非线性系统自适应观测器设计问题进行了讨论 .首先 ,在一定的条件假设下 ,讨论了可同时辨识出系统常量参数的全维自适应观测器 .然后 ,在同样的条件下 ,基于一坐标变换的方法 ,提出了一种降维自适应观测器设计方法 .由此得出结论 :具有常未知参数的 Lipschitz非线性系统在同样的条件假设下 ,既可进行全维自适应观测器设计。

【总页数】4页(P943-946)
【关键词】自适应观测器;Lipschitz条件;非线性系统;Lyapunov函数
【作者】朱芳来;韩正之
【作者单位】上海交通大学电子信息学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP13
【相关文献】
1.含未知参数和输出不确定性的Lipschitz非线性系统自适应观测器设计 [J], 邹伟;刘玉生
2.拟单边Lipschitz非线性系统的自适应观测器设计 [J], 王丽;徐明跃
3.基于拟单边Lipschitz条件的非线性系统自适应观测器设计 [J], 高波;徐明跃
4.基于LMI的一类Lipschitz非线性系统自适应观测器设计 [J], 张岩;卢建波
5.单边Lipschitz离散非线性系统的降阶观测器设计 [J], 余正林;赵岩斌;董文强因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。