九年级数学《相似三角形》课件
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九年级数学《相似三角形判定-3》课件
2.∠APB+PBA=45°
我反思 我进步
1，本节课我有什么收获？ 2，通过本节课的学习我有什么感想？ 3，你对自己今天的表现满意吗？
1 2
EC.求证：
(2)DF⋅BF=EF⋅CF.
导新定向
1.理解掌握三角形三边成比例判定两个 三角形相似。
2.运用三边成比例判定三角形相似来解 决问题。 3.灵活运用判定定理进行解题。
学教新课
自学思考题： 1.三角形三边对应成比例能否判定两个 三角形相似？ 2.如果可以判定，如何证明？ 3.完成自学练习
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.如 图 在边长为1cm的正 方 形 网 格 上 有 Δ A1B1C1和 Δ A2B2C2， 它 们 相 似 吗 ？ 如 果 相 似 ， 求 出 相似 比 ； 如 果 不 相 似 ， 请 说 明 理由 。
4.如图,在边长为1的正方形网格上有P、A、B、C四点. 求证:1.△PAB∽△PCA
相似三角形判定定理3
创设情景 复习导入
1.在△ABC中，∠A=48°，AB=1.5㎝，AC=2㎝， △DEF中，∠E=48°，DE=2.8CM,EF=2.1CM， 这两个三角形相似吗？
2.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的
点,DC交BE于F,且AD= (1)△DEF∽△CBF；
1 3
AB,AE=
A’
如图，在ΔABC和Δ
.
B
D
C B’
E
C’
求 证 ： Δ A B C∽ΔABC.
证明:在△A´B´C´的边A´B´(或延长线)上截取A/D=AB,
过点D作DE∥B´C´交A/C/于点E,则△A/DE∽△A/B/C/ .
我反思 我进步
1，本节课我有什么收获？ 2，通过本节课的学习我有什么感想？ 3，你对自己今天的表现满意吗？
1 2
EC.求证：
(2)DF⋅BF=EF⋅CF.
导新定向
1.理解掌握三角形三边成比例判定两个 三角形相似。
2.运用三边成比例判定三角形相似来解 决问题。 3.灵活运用判定定理进行解题。
学教新课
自学思考题： 1.三角形三边对应成比例能否判定两个 三角形相似？ 2.如果可以判定，如何证明？ 3.完成自学练习
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.如 图 在边长为1cm的正 方 形 网 格 上 有 Δ A1B1C1和 Δ A2B2C2， 它 们 相 似 吗 ？ 如 果 相 似 ， 求 出 相似 比 ； 如 果 不 相 似 ， 请 说 明 理由 。
4.如图,在边长为1的正方形网格上有P、A、B、C四点. 求证:1.△PAB∽△PCA
相似三角形判定定理3
创设情景 复习导入
1.在△ABC中，∠A=48°，AB=1.5㎝，AC=2㎝， △DEF中，∠E=48°，DE=2.8CM,EF=2.1CM， 这两个三角形相似吗？
2.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的
点,DC交BE于F,且AD= (1)△DEF∽△CBF；
1 3
AB,AE=
A’
如图，在ΔABC和Δ
.
B
D
C B’
E
C’
求 证 ： Δ A B C∽ΔABC.
证明:在△A´B´C´的边A´B´(或延长线)上截取A/D=AB,
过点D作DE∥B´C´交A/C/于点E,则△A/DE∽△A/B/C/ .
九年级数学下册272《相似三角形》PPT课件
3. 解等式求出三角形的面积。
注意事项：在解题过程中，要确保已知的三边长度是准 确的，避免因为数据不准确而导致错误。同时，要注意 选择合适的公式或方法进行计算。
典型例题四：综合应用举例
• 解题思路：综合运用相似三角形的性质和判定方法，解决 复杂的实际问题。
典型例题四：综合应用举例
解题步骤 1. 分析问题，确定需要使用的相似三角形的性质和判定方法；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平 方性质，求解面积问题 通过已知三角形的面积和相似比，计算另 一个三角形的面积 结合图形变换和面积公式，利用相似三角 形解决复杂面积问题
利用相似三角形解决综合问题
综合运用相似三角形 的性质，解决涉及线 段、角度和面积的复 杂问题
结合多种数学方法， 如代数运算、方程求 解等，提高解决问题 的效率
通过分析问题的条件 ，选择合适的相似三 角形性质和定理进行 求解
04
典型例题分析与解题思路展示
典型例题一：已知两边求第三边长度
解题思路：利用相似三角形的性质， 即对应边成比例，可以通过已知的两
边长度求出第三边的长度。
解题步骤
2. 利用相似三角形的性质列出比例式 ；
3. 解比例式求出第三边的长度。
1. 确定已知的两边和夹角；
注意事项：在解题过程中，要确保已 知的两边和夹角是对应的，避免因为 数据不对应而导致错误。
典型例题二：已知两角求第三角大小
01
解题思路：根据三角形内角和为180°的性质，可以通过 已知的两角求出第三角的大小。
04
2. 利用三角形内角和为180°的性质列出等式；
02
解题步骤
对应角相等，对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。
《相似三角形的性质》PPT课件 北师大版九年级数学
图1 （1） △ACD与△A′C′D′ 相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. （2） 如果CD =1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
探究新知
图1
解：（1）△ACD与△A′C′D′ 相似. 理由是 A A，ADC ADC 90.
相似比是 1 : 2.
（2）由CD : C′D′ =1:2，得C′D′ = 2CD=3 cm，即模型房的房梁立柱高3 cm.
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质（第1课时）
回顾复习
还记得相似三角形的定义吗？还记得相似多边形的对应边、 对应角有什么关系吗？
相似三角形的对应边成比例、对应角相等.
在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例 这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.
探究新知
如图1，小王依据图纸上的△ABC，以 1：2 的比例建造了模型房 的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱.
C
比吗？
C'
A
B A'
B'
图1
由已知，得
C
∴ AB BC AC AB k.
AB BC AC AB
分别过点C与C′作△ABC和△A′B′C′的高CD，
C' A'
C′D′，如图2.
AD
B
D'
B'
∵定△理ABC∽△A′B′C′，
图2
∴相CC似DD 三 AA角BB 形（k周相长似三的角比形等对应于高相的似比等比于，相面似比积）比. 等于相似比的平方.
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？
探究新知
图1
解：（1）△ACD与△A′C′D′ 相似. 理由是 A A，ADC ADC 90.
相似比是 1 : 2.
（2）由CD : C′D′ =1:2，得C′D′ = 2CD=3 cm，即模型房的房梁立柱高3 cm.
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质（第1课时）
回顾复习
还记得相似三角形的定义吗？还记得相似多边形的对应边、 对应角有什么关系吗？
相似三角形的对应边成比例、对应角相等.
在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例 这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.
探究新知
如图1，小王依据图纸上的△ABC，以 1：2 的比例建造了模型房 的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱.
C
比吗？
C'
A
B A'
B'
图1
由已知，得
C
∴ AB BC AC AB k.
AB BC AC AB
分别过点C与C′作△ABC和△A′B′C′的高CD，
C' A'
C′D′，如图2.
AD
B
D'
B'
∵定△理ABC∽△A′B′C′，
图2
∴相CC似DD 三 AA角BB 形（k周相长似三的角比形等对应于高相的似比等比于，相面似比积）比. 等于相似比的平方.
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？
人教版九年级数学下册相似《相似三角形(第7课时)》示范教学课件
（2）求证： ．
C
A
B
D
E
F
G
类型二：利用相似三角形证明比例式、等积式
C
A
B
D
E
F
G
类型二：利用相似三角形证明比例式、等积式
C
ABDEF NhomakorabeaG
A
D
C
B
E
M
4．在△ABC 中，∠BAC 是直角，过斜边中点 M 且垂直于斜边 BC 的直线交 CA 的延长线于 E，交 AB 于 D，连接 AM． 求证：（1）△ABC∽△MEC； （2）AM2＝MD·ME．
类型一：利用相似三角形求线段长
类型一：利用相似三角形求线段长
类型二：利用相似三角形证明比例式、等积式
3．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，∠AED＝
∠B，AG 分别交线段 DE，BC于点 F，G，且 ．
（1）求证：AG 平分∠BAC．
C
A
B
D
E
F
类型一：利用相似三角形求线段长
C
A
B
D
E
F
类型一：利用相似三角形求线段长
2．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设 ．
①若BC＝12，求线段 BE 的长． ②若△EFC 的面积是 20，求△ABC 的面积．
相似三角形（第7课时）
人教版九年级数学下册
1．相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． （2）相似三角形周长的比等于相似比． （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
C
A
B
D
E
F
G
类型二：利用相似三角形证明比例式、等积式
C
A
B
D
E
F
G
类型二：利用相似三角形证明比例式、等积式
C
ABDEF NhomakorabeaG
A
D
C
B
E
M
4．在△ABC 中，∠BAC 是直角，过斜边中点 M 且垂直于斜边 BC 的直线交 CA 的延长线于 E，交 AB 于 D，连接 AM． 求证：（1）△ABC∽△MEC； （2）AM2＝MD·ME．
类型一：利用相似三角形求线段长
类型一：利用相似三角形求线段长
类型二：利用相似三角形证明比例式、等积式
3．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，∠AED＝
∠B，AG 分别交线段 DE，BC于点 F，G，且 ．
（1）求证：AG 平分∠BAC．
C
A
B
D
E
F
类型一：利用相似三角形求线段长
C
A
B
D
E
F
类型一：利用相似三角形求线段长
2．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设 ．
①若BC＝12，求线段 BE 的长． ②若△EFC 的面积是 20，求△ABC 的面积．
相似三角形（第7课时）
人教版九年级数学下册
1．相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． （2）相似三角形周长的比等于相似比． （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
23.3.2相似三角形的判定定理(23)课件华东师大版九年级数学上册
BC B' C'
8 12.8
5， 8
∴△ABC∽△A′B′C′.
5.如图△ABC为锐角三角形，BD，CE分别为AC，AB边上的高.
求证：△ADE∽ △ABC.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
E
A D
∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A= 90°.
O
∴ ∠ABD= ∠ACE.
又∵ ∠A= ∠A，∴△ ABD ∽ △ ACE. B
A
两边成比例且夹角相等
如果相等的角不是成比 例的两边的夹角，那么 这两个三角形还相似吗？
4 cm 3.2 cm
A′
如图，4∶2=3.2∶1.6，∠B=∠B′，
B 50°C
2 cm B′ 50°
1.6 cm 但两个三角形不相似.
C′
例4 证明图中的△AEB∽△FEC相似.
1. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使
相似比
已知△ABC和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(1)AB=3，BC=4，AC=6. DE=6，EF=8，DF=9.
不相似
(2)AB=4，BC=8，AC=10. DE=20，EF=16，DF=8.
相似
(3)AB=12，BC=15，AC=24. DE=16，EF=20，DF=30.
不相似
使得由点B，O，C组成的三角形与△AOB相似(不包括全等)．
4. 已知 AB = 10，BC = 8 ，AC = 16，A′B′ = 16，B′C′ = 12.8， C′A′ = 25.6，试说明△ABC∽△A′B′C′.
解：∵
AB A' B'
10 16
沪科版九年级数学上册相似三角形的判定课件
随堂练习
6. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °， ∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ， A
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF中，∠E=80 °，∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
【分析】欲证AB·DE＝BC·CD， 可证 ＝ ，则证明 △ABC∽△CDE即可，由题意可
知∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠A＝
90°，则∠2＝∠A.于是 Rt△ABC∽Rt△CDE.
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B＝∠D＝90°，又∠1＋∠A＝90°，Байду номын сангаас1＋∠2＝90°， ∴∠A＝∠2， ∴△ABC∽△CDE，
2．如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且 BP＝1，D为AC上一点，当∠APD＝60°时，CD的长为 __________．
随堂练习
3.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交 BC、BD于点E、F，则△AGD∽_△__E__G_C___∽_△__E_A__B__．
探究新知
探究 如图在△A′B′C′和△ABC中，∠A′＝∠A，∠B′＝ ∠B.求证：△A′B′C′∽△ABC. 证明：在△ABC的AB上截BD＝B′A′，
过D作DE∥AC，交BC于E.
∴△ABC∽△DBE.
∵∠BDE＝∠A，∠A＝∠A′， ∴∠BDE＝∠A′. ∵∠B＝∠B′，BD＝B′A′， ∴△DBE≌△B′A′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′.
定理：两角分别相等的两个 三角形类似
类似三角形的判定定理1的运用
∴ ＝ ，即AB·DE＝BC·CD.
3.4.2 相似三角形的性质课件(共18张PPT)湘教版 数学九年级上册
似比”列方程求解.
课堂新授
解：：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4， △DEF的最长边为12， ∴△ABC与△DEF的相似比为4∶ 12=1∶3， ∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3∶1， ∴△DEF的周长为3×(2＋3＋4)＝27. 答案：C
感悟新知
2-1. [ 期末·嘉峪关 ] 两个三角形的相似比为1∶ 4，它 们的周长之差为 27 cm，则较小的三角形的周长为 __9_c_m___ ．
课堂新授
知识点 2 相似三角形面积的比
相似三角形面积的比：相似三角形面积的比等于相似比的 平方. 若△ABC∽△A′B′C′，且它们的相似比为k，则
SS△△AA′BB′CC′＝k2. 特别提醒：面积的比是相似比的平方，不要与对应线段的 比、周长的比等于相似比混淆.
课堂新授
活学巧记 两个相似三角形， 各角对应都相等， 各边对应成比例， 周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方.
3.4 相似三角形的判定与性质 第2课时
相似三角形的性质
课堂新授
知识点 1 相似三角形对应线段的比
1. 定理： 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线 的比都等于相似比. 即：相似三角形对应线段的比等于相似比. 深度理解 对应高、对应中线与对应角平分线分别是指相似 三角形对应边上的高、中线与对应内角的平分线.
感悟新知
例3 [中考·阜新] 如图 3.4-19，在矩形 ABCD 中， E 是 AD 边上一点，且 AE ＝ 2DE， BD 与 CE 相交于点 F， 若△ DEF 的面积是 3，则△ BCF 的面积是 ___2_7____．
感悟新知
解题秘方：利用“相似三角形面积的比等于相似 比的平方” 求解 .
九年级数学《相似三角形判定预备定理》课件
点的字母写在对应的位置上，这样
便于找出相似三角形的对应角和对 应边.
即写成△ABC∽△A′B′C′，表 明对应关系是唯一确定的，即A与 A′、B与B′、C与C′分别对应.如果 仅说“这两个三角形相似”,没有 用“∽”表示的，则没有说明对应 关系.
师友展示
相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
∴ AD AE , FC AD . AB AC BC AB
因为四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC， DE AD . BC AB
AD AE DE . AB AC BC
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC.
A
D B
F
E C
归纳总结
A
D B
E C A
B D
K1
,即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K1
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为 练习
，K 2
即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=Leabharlann K23.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比 K1 和△DEF与△ABC的相似比 K2 是否相等？如果不相等，K1和K2满足什么
关系？如果AB=2，DE=2呢？说明这两个三角形是什么关系？
合作探究，学会质疑
根据自学思考题，师友对议再组议交流上面问题
师友展示
C
A
B
C′
A′
B′
图1
如图1，△ABC与△A′B′C′相 似. 则图1中的两个三角形记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作 “△ABC相似于△A′B′C′”，“∽” 叫相似符号.
便于找出相似三角形的对应角和对 应边.
即写成△ABC∽△A′B′C′，表 明对应关系是唯一确定的，即A与 A′、B与B′、C与C′分别对应.如果 仅说“这两个三角形相似”,没有 用“∽”表示的，则没有说明对应 关系.
师友展示
相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
∴ AD AE , FC AD . AB AC BC AB
因为四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC， DE AD . BC AB
AD AE DE . AB AC BC
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC.
A
D B
F
E C
归纳总结
A
D B
E C A
B D
K1
,即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K1
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为 练习
，K 2
即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=Leabharlann K23.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比 K1 和△DEF与△ABC的相似比 K2 是否相等？如果不相等，K1和K2满足什么
关系？如果AB=2，DE=2呢？说明这两个三角形是什么关系？
合作探究，学会质疑
根据自学思考题，师友对议再组议交流上面问题
师友展示
C
A
B
C′
A′
B′
图1
如图1，△ABC与△A′B′C′相 似. 则图1中的两个三角形记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作 “△ABC相似于△A′B′C′”，“∽” 叫相似符号.
华东师大版数学九年级上册相似三角形的性质课件
之间的关系
2.运用类似三角形的判定和性质解决简
单的问题
尝试猜想
1
B'
B
A
DE F
C
A'
D' E' F'
C'
猜想：当两三角形类似时，相应高、中线、角平分
线的比与类似比有什么关系？
合作探究
A'
A
B
C B'
D
D'
A'
A
B
C'
C
F
B'
F'
A'
C'
A
B
E
C
B'
E'
C'
类似三角形的性质：
A
类似三角形对应高的比等于类似比.
′
′
′
问题:已知∆~∆ ,类似比为，
′
′
= ′ ,求 ′ 是多少？
′
′
=
′ ′
,
′ ′
A'
我
想
想
A
E'
E
B
F
C
B'
F'
C'
类似三角形对应线段的比等于类似比
比一比谁快
AB
BC
CA
AB
B C
C A
AB BC CA
B
D
C
A'
AD
AB
k
A' D ' A' B '
B'
2.运用类似三角形的判定和性质解决简
单的问题
尝试猜想
1
B'
B
A
DE F
C
A'
D' E' F'
C'
猜想：当两三角形类似时，相应高、中线、角平分
线的比与类似比有什么关系？
合作探究
A'
A
B
C B'
D
D'
A'
A
B
C'
C
F
B'
F'
A'
C'
A
B
E
C
B'
E'
C'
类似三角形的性质：
A
类似三角形对应高的比等于类似比.
′
′
′
问题:已知∆~∆ ,类似比为，
′
′
= ′ ,求 ′ 是多少？
′
′
=
′ ′
,
′ ′
A'
我
想
想
A
E'
E
B
F
C
B'
F'
C'
类似三角形对应线段的比等于类似比
比一比谁快
AB
BC
CA
AB
B C
C A
AB BC CA
B
D
C
A'
AD
AB
k
A' D ' A' B '
B'
4.5 相似三角形判定定理的证明 课件(共21张PPT) 数学北师版九年级上册
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则DE:BC的值为( )A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 2．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝( )A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
AE＝A′C′
连接DE.
D
E
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？
作平行线→相似→相等→相似
几何语言：
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠ADE＝∠B，
∠AED＝∠C，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）授课老师：时间：204年9月15日BD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为_______．4．△ABC中，AB=10 ，AC=6 ，点D在AC上且AD=3 ，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE= __ ．
5或
同学们再见！
∴△ADE≌△A′B′C′
相似三角形ppt初中数学PPT课件
在建筑设计中，利用相似三角形原理，根据已知 条件设计出符合要求的建筑物形状和大小。
利用相似三角形进行建筑测量
在建筑测量中，利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的角度和距离，计算出建筑物的高度、宽 度等参数。
利用相似三角形进行建筑施工
在建筑施工中，利用相似三角形原理，根据设计 图纸和比例关系，进行施工和安装。
分析法证明思路及步骤
明确目标
明确需要证明的结论，即两个三角形相似 。
逆向思维
从结论出发，逆向思考如何证明两个三角 形相似，即需要找到两个三角形对应的角
相等或对应边成比例。
寻找突破口
分析题目中的已知条件，寻找与相似三角 形相关的突破口。
验证结论
根据逆向思维找到的证明方法，验证结论 是否正确。
不同方法比较与选择
相似三角形ppt初中数学PPT 课件
目
CONTENCT
录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何图形中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 相似三角形证明方法探讨 • 典型例题解析与练习 • 课堂小结与拓展延伸
01
相似三角形基本概念与性质
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似 。
相似三角形的判定方法
详细讲解相似三角形的四种判定方法，包括两角对应相等 、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及通过 中间比转化等，并通过实例加以验证。
相似三角形的应用
通过举例和解析，展示相似三角形在解决实际问题中的应 用，如测量高度、计算面积等。
拓展延伸引导学生思考更深层次问题
相似多边形的研究
解析
根据相似三角形的判定定理，结合直角三角形的 性质，当两个直角三角形的一直角边和斜边对应 成比例时，可以判定这两个直角三角形相似。
利用相似三角形进行建筑测量
在建筑测量中，利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的角度和距离，计算出建筑物的高度、宽 度等参数。
利用相似三角形进行建筑施工
在建筑施工中，利用相似三角形原理，根据设计 图纸和比例关系，进行施工和安装。
分析法证明思路及步骤
明确目标
明确需要证明的结论，即两个三角形相似 。
逆向思维
从结论出发，逆向思考如何证明两个三角 形相似，即需要找到两个三角形对应的角
相等或对应边成比例。
寻找突破口
分析题目中的已知条件，寻找与相似三角 形相关的突破口。
验证结论
根据逆向思维找到的证明方法，验证结论 是否正确。
不同方法比较与选择
相似三角形ppt初中数学PPT 课件
目
CONTENCT
录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何图形中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 相似三角形证明方法探讨 • 典型例题解析与练习 • 课堂小结与拓展延伸
01
相似三角形基本概念与性质
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似 。
相似三角形的判定方法
详细讲解相似三角形的四种判定方法，包括两角对应相等 、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及通过 中间比转化等，并通过实例加以验证。
相似三角形的应用
通过举例和解析，展示相似三角形在解决实际问题中的应 用，如测量高度、计算面积等。
拓展延伸引导学生思考更深层次问题
相似多边形的研究
解析
根据相似三角形的判定定理，结合直角三角形的 性质，当两个直角三角形的一直角边和斜边对应 成比例时，可以判定这两个直角三角形相似。
3.4.1 相似三角形的判定课件(共33张PPT)湘教版 数学九年级上册
感悟新知
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
课堂新授
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形 相似.
∴ AB=CD， AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF ∽△CDF，
△BEF ∽ △AED. ∴△CDF ∽△AED.
∵ AB＝CD，AB＝3BE，∴ CD＝3BE，AE＝4BE. ∴△BEF ∽△CDF，相似比k1＝CBDE＝13； △BEF ∽△AED，相似比k2＝BAEE＝14； △CDF ∽△AED，相似比k3＝CADE＝34.
∵
12＝
2＝ 2
10＝ 5
2，
∴图3.4-11 ②中的三角形与图3.4-10 中的△ABC相似.
感悟新知
5-1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个 小正方形的顶点叫做格点． △ ACB 和△ DCE 的 顶点都在格点上， ED 的延长线交AB 于点 F．
求证： (1) △ ACB ∽△ DCE； 证明：∵DACC＝32，BECC＝64＝32， DABE＝32 55＝32，∴DACC＝BECC＝DABE. ∴△ACB∽△DCE.
课堂新授
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形 三边的长，紧扣“三边成比例的两个 三角形相似”判断.
课堂新授
解：易知AC＝ 2，BC＝2，AB＝ 10 . 图3.4-11 ①中，三角形的三边长分别为1， 5，2 2； 图3.4-11 ②中，三角形的三边长分别为1， 2 ， 5 ； 图3.4-11 ③中，三角形的三边长分别为 2， 5，3； 图3.4-11 ④中，三角形的三边长分别为2， 5， 13 .
人教版九年级数学下册相似三角形全章课件
∴△A′B′C′∽△ABC
B
E C
A A′
B
B′ C
C′
△ABC∽△A′B′C′
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边 对应成比例，那么这两个三角形相似. 简单地说:三边对应成比例，两三角形相似.
【例】在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝ 8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′ ＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
A C
B
D
P2 P3
P1 P4
E
P5 F
【解析】(1)△ABC和△DEF相似．根据勾股定理，
得
， ，BC=5；
，，
.
∵
，∴ △ABC∽△DEF．
(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
A C
B
P3 E
D P1 P2
P4
P5 F
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，
△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．
4.（成都中考）如图，已知线段AB∥CD，AD与B
C相交于点K，E是线段AD上一动点。 (1)若BK= KC，
求 的值；
(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE= AD时，猜想线
段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的
结论并予以证明．再探究：当AE= AD (n>2)，而其余
MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为 152c . m
2.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_1_:_4__. A
4.3 相似三角形 课件(共25张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学
AD∶AC=2∶3，∠ADC=65°，∠B=37°.
(1)求∠ACB，∠ACD的度数.
(2)写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式，并说出
相似比.
A
D
C
B
如图，D是AB上的一点，△ABC∽△ACD，且
AD∶AC=2∶3，∠ADC=65°，∠B=37°.
A
(1)求∠ACB，∠ACD的度数.
D
解：∵△ABC∽△ACD，
A
D
B
E
C
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC.
A
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
D
在△ADE和△ABC中，
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A
ቋ
=
=
=
⇒△ADE∽△ABC(相似三角形的定义).
B
E
C
例2 如图，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，
B
例3 如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角
形相似吗？为什么？
解：相似. 理由如下：
设△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2.
由△ABC∽△A1B1C1，得∠A=∠A1，∠B=∠B1，
∠C=∠C1，
=
=
.
由△A1B1C1∽△A2B2C2，得∠A1=∠A2，
边是对应边；
④相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的
角是对应角.
两个全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它
们的相似比是多少？
(1)求∠ACB，∠ACD的度数.
(2)写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式，并说出
相似比.
A
D
C
B
如图，D是AB上的一点，△ABC∽△ACD，且
AD∶AC=2∶3，∠ADC=65°，∠B=37°.
A
(1)求∠ACB，∠ACD的度数.
D
解：∵△ABC∽△ACD，
A
D
B
E
C
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC.
A
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
D
在△ADE和△ABC中，
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A
ቋ
=
=
=
⇒△ADE∽△ABC(相似三角形的定义).
B
E
C
例2 如图，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，
B
例3 如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角
形相似吗？为什么？
解：相似. 理由如下：
设△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2.
由△ABC∽△A1B1C1，得∠A=∠A1，∠B=∠B1，
∠C=∠C1，
=
=
.
由△A1B1C1∽△A2B2C2，得∠A1=∠A2，
边是对应边；
④相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的
角是对应角.
两个全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它
们的相似比是多少？
相似三角形判定定理的证明课件北师大版数学九年级上册
,
=
,
D
E
.
A1D=AB ，
=
B1
C1
A
，∴DE=BC,A E=AC.
1
∴ △A1DE≌△ABC, ∵ △A1DE∽△A1B1C1,
∴△ABC∽△A1B1C1.
B
C
二 类似三角形判定定理的运用
一、会用证明判定定理的方法解决相关问题
G，∠1＝∠2.猜想线段BF、FG、EF之间的等量关系，并说明理由．
【思路分析】由图知三条线段分别位于
△BFG和△EFB中，若能让它们类似即可．
二 类似三角形判定定理的运用
二、会用三角形类似探索线段之间的关系
【例2】如图，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别交BD、BC于点F、
G，∠1＝∠2.猜想线段BF、FG、EF之间的等量关系，并说明理由．
A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′, ∴ ∠A′DE=∠B′,又∵∠A′=∠A.
∴△A′DE∽△A′B′C′. ∴
∵A′D=AB， ′ ′
=
′
′ ′
=
′
.∴ ′ ′
′ ′
′
.
′ ′
=
′
′ ′
C
B
A'
=
.
定理1：两角分别相等的两个三角形类似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C′ 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B′.
求证：△ABC ∽△A'B'C′．
A'
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求证： 1、△FMD∽ △AMB D
M
C
F
2、AM：MF=BM：MD
3、AM2=ME · MF A E B
已知如图△ABC∠C=90oBC=8cm,AC:AB=3:5, 点P从点B出发，沿BC向点C以2厘米/秒的速度移 动，点Q从点C出发，沿CA向点A 以1厘米/秒的 速度移动,如果P、Q分别从B、C同时出发，经过 多少秒时△CPQ∽△CBA？
BC AB EF DE 3.如图：AD∥BE∥CF, 则 = ; = ; AB AC DE DE DF EF DF = =
O
E
F
B
C
（第3题图）
B
（第4题图）
C
5.如图，线段AC、BD相交于点O，要是 ∠AOB=∠DOC ⊿AOB∽⊿DOC,已具备的条件是_______________, C 还需要补充的条件 ∠B=∠C 是_____________, 或______________, ∠A=∠D B D BO:CO=AO:DO . 或____________ O 6.已知两个三角形的最短边分别是9cm 和6cm，若大 三角形的周长=____cm,则小三角形的周长=____cm.
6、已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝ CD，求证：ED＝3EF。
A F E
B
C
D
自我挑战题：
A
E B
1.如图，AD是△ABC的角 平分线，DE∥AB交AC于E 求证：
CD BC
D
C
DE AC
1
2.如图，F为平行四边形ABCD的边DC的延长 线上的一点，AF分别交BD、BC于M、E
相似三角形复习
塞尔山· 加汗
1 1.若x是6、3、2的第四比例项，则x =_____; 若2:(a-3)=(a-3):8,则a=________. 7或-1 3 5:2 2.已知：2x-5y=0，则x:y=_____;
2 x y y ____; ___. y 2 x y 7
AB AC BC 4.如图，在梯形ABCD中，AC、BD相交于点O, EF过点O ⊿AOD ∽⊿COB， 且平行于BC,写出图中所有的相似三角形 ⊿BAD∽⊿BEO， ⊿CDA∽⊿CFO， ⊿AOE∽⊿ACB， A D ⊿ DOF∽⊿DBC A D E F
比一比，看谁做得好
1、 在△ABC与△ AB C 中，有下列条件： ① ③∠A＝∠ A ； ④∠C＝∠ C 。如果从中任取两个条件组成 一组，那么能判断△ABC∽△ AB C 的共有 （C ）组。 A、1 B 、2 C、3 D、4
AB BC AB B C ；②
BC AC B C AC
相信你一定能完成下面问题!
问题1
已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，DE ⊥AC， DF⊥AB，垂足分别是E、F。 求证：AF：AC = AE：AB 证明：
┐
∴AB:AD=AD:AF, AC:AD=AD:AE（相似三角形对 应边成比例） ∴AD2=AF•AB AD2 =AE•AC ∴ AF•AB=AE•AC(等量代换） ∴AF:AC=AE:AB （比例基本性质）
A
Q
B
C P
活动与探究 如图:直角三角形的铁片ABC的两条直 角边BC,AC的长分别是3和4,分别采用(1),(2) 两种方法,剪出一块正方形铁片,剪下的正方 形铁片面积哪个较大,并说明理由.
A A
C
(1)BCB来自(2)课堂小结
1.灵活应用比例的性质、平行线分线段成 比例定理及其推论、相似三角形的判定和性 质解决有关问题. 2.规律探索： （1）根据平行找相似； （2）要证相似看边、角； （3）三角形相似对应角相等、对应线段成 比例，比例式、等积式、线段比问题还要考 虑中间比.
2 .已知：如图，BD、CE是△ABC的高. 求证： △ADE∽△ABC
A E D C
证明： ∵BD、CE是△ABC的高 B ∴∠ADB=∠AEC=90°
又∵∠A=∠A ∴△ABD∽△ACE（两角对应相等，两三角形相似） ∴AD:AE=AB:AC 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似）
E A F
B
D
C
4、矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是 BC的中点，DE⊥AM，E是垂足。 ①求△ABM的面积；
A D
②求DE的长；
③求△ADE的面积。
E B M C
5、如图，在△ABC中，DE∥BC， 且S△ADE :S四边形BCED＝1:2，BC＝2 6 。 求DE的长。
A D B E C
问题2
已知：在 ABCD中，E是AB上 一点，AE:EB=4:3， AC、DE相交于 点F. 求⊿AEF和⊿CDF的周长比.
D F A C
E
B
问题3
已知：如图，在Rt⊿ABC中∠BAC=90º ， AD⊥BC于点D，直线EF过点A，BE⊥EF 于点E，CF⊥EF于点F. 求证：AD· AF=BE· DC
A
你能用几种 方法证明?
O
A' B' C' C B
试试看，你一定是最棒的！
E 如图，在 ABCD中，E在BA F 的延长线上，EA：AB=1：2， A CE与AD、BD分别相交与点F、 G G，请指出图中各对相似三角形 B C 及其相似比。 解：∵AD∥BC ∴⊿ EAF∽⊿EBC 相似比为1:3； ⊿DFG∽⊿BCG 相似比为2:3； ∵CD∥BE ∴⊿EAF ∽ ⊿CDF 相似比1:2 ⊿EBG ∽ ⊿CDG 相似比3:2 ⊿EBC ∽ ⊿CDF 相似比3:2 ⊿ABD ∽⊿CDB 相似比1 D
有一对 等角,找
另一对等角---用判定定理1 夹边成比例---用判定定理2 夹角相等----用判定定理2 第三边也成比例---用判定 定理3 有一对直角---用直角三角形相似 的判定定理
有两对应 边成比例, 找
证明三角形相似和证明三角形全 等类似，可以多方面考虑，例如有 没有角相等，有没有边成比例，然 后再看怎样把已知条件用于要证明 的两个三角形中.证明线段成比例， 往往比较困难，除了要对比例的性 质较熟悉外，常常还要用中间比.
A
(第5题图）
36
24
已知：△ABC，P是边AB上一点，连 结CP。 （1）∠ACP满足什么条件时， △ACP∽△ABC； （2）AC∶AP满足什么条件时， △ACP∽△ABC。 则△ACP∽△ABC吗？ A
(3) 满足什么条件, △ACP∽△ABC。
P B C
已知：如图，A'B ' ∥AB， B ' C ' ∥BC 求证：△A ' B ' C ' ∽△ABC
M
C
F
2、AM：MF=BM：MD
3、AM2=ME · MF A E B
已知如图△ABC∠C=90oBC=8cm,AC:AB=3:5, 点P从点B出发，沿BC向点C以2厘米/秒的速度移 动，点Q从点C出发，沿CA向点A 以1厘米/秒的 速度移动,如果P、Q分别从B、C同时出发，经过 多少秒时△CPQ∽△CBA？
BC AB EF DE 3.如图：AD∥BE∥CF, 则 = ; = ; AB AC DE DE DF EF DF = =
O
E
F
B
C
（第3题图）
B
（第4题图）
C
5.如图，线段AC、BD相交于点O，要是 ∠AOB=∠DOC ⊿AOB∽⊿DOC,已具备的条件是_______________, C 还需要补充的条件 ∠B=∠C 是_____________, 或______________, ∠A=∠D B D BO:CO=AO:DO . 或____________ O 6.已知两个三角形的最短边分别是9cm 和6cm，若大 三角形的周长=____cm,则小三角形的周长=____cm.
6、已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝ CD，求证：ED＝3EF。
A F E
B
C
D
自我挑战题：
A
E B
1.如图，AD是△ABC的角 平分线，DE∥AB交AC于E 求证：
CD BC
D
C
DE AC
1
2.如图，F为平行四边形ABCD的边DC的延长 线上的一点，AF分别交BD、BC于M、E
相似三角形复习
塞尔山· 加汗
1 1.若x是6、3、2的第四比例项，则x =_____; 若2:(a-3)=(a-3):8,则a=________. 7或-1 3 5:2 2.已知：2x-5y=0，则x:y=_____;
2 x y y ____; ___. y 2 x y 7
AB AC BC 4.如图，在梯形ABCD中，AC、BD相交于点O, EF过点O ⊿AOD ∽⊿COB， 且平行于BC,写出图中所有的相似三角形 ⊿BAD∽⊿BEO， ⊿CDA∽⊿CFO， ⊿AOE∽⊿ACB， A D ⊿ DOF∽⊿DBC A D E F
比一比，看谁做得好
1、 在△ABC与△ AB C 中，有下列条件： ① ③∠A＝∠ A ； ④∠C＝∠ C 。如果从中任取两个条件组成 一组，那么能判断△ABC∽△ AB C 的共有 （C ）组。 A、1 B 、2 C、3 D、4
AB BC AB B C ；②
BC AC B C AC
相信你一定能完成下面问题!
问题1
已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，DE ⊥AC， DF⊥AB，垂足分别是E、F。 求证：AF：AC = AE：AB 证明：
┐
∴AB:AD=AD:AF, AC:AD=AD:AE（相似三角形对 应边成比例） ∴AD2=AF•AB AD2 =AE•AC ∴ AF•AB=AE•AC(等量代换） ∴AF:AC=AE:AB （比例基本性质）
A
Q
B
C P
活动与探究 如图:直角三角形的铁片ABC的两条直 角边BC,AC的长分别是3和4,分别采用(1),(2) 两种方法,剪出一块正方形铁片,剪下的正方 形铁片面积哪个较大,并说明理由.
A A
C
(1)BCB来自(2)课堂小结
1.灵活应用比例的性质、平行线分线段成 比例定理及其推论、相似三角形的判定和性 质解决有关问题. 2.规律探索： （1）根据平行找相似； （2）要证相似看边、角； （3）三角形相似对应角相等、对应线段成 比例，比例式、等积式、线段比问题还要考 虑中间比.
2 .已知：如图，BD、CE是△ABC的高. 求证： △ADE∽△ABC
A E D C
证明： ∵BD、CE是△ABC的高 B ∴∠ADB=∠AEC=90°
又∵∠A=∠A ∴△ABD∽△ACE（两角对应相等，两三角形相似） ∴AD:AE=AB:AC 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似）
E A F
B
D
C
4、矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是 BC的中点，DE⊥AM，E是垂足。 ①求△ABM的面积；
A D
②求DE的长；
③求△ADE的面积。
E B M C
5、如图，在△ABC中，DE∥BC， 且S△ADE :S四边形BCED＝1:2，BC＝2 6 。 求DE的长。
A D B E C
问题2
已知：在 ABCD中，E是AB上 一点，AE:EB=4:3， AC、DE相交于 点F. 求⊿AEF和⊿CDF的周长比.
D F A C
E
B
问题3
已知：如图，在Rt⊿ABC中∠BAC=90º ， AD⊥BC于点D，直线EF过点A，BE⊥EF 于点E，CF⊥EF于点F. 求证：AD· AF=BE· DC
A
你能用几种 方法证明?
O
A' B' C' C B
试试看，你一定是最棒的！
E 如图，在 ABCD中，E在BA F 的延长线上，EA：AB=1：2， A CE与AD、BD分别相交与点F、 G G，请指出图中各对相似三角形 B C 及其相似比。 解：∵AD∥BC ∴⊿ EAF∽⊿EBC 相似比为1:3； ⊿DFG∽⊿BCG 相似比为2:3； ∵CD∥BE ∴⊿EAF ∽ ⊿CDF 相似比1:2 ⊿EBG ∽ ⊿CDG 相似比3:2 ⊿EBC ∽ ⊿CDF 相似比3:2 ⊿ABD ∽⊿CDB 相似比1 D
有一对 等角,找
另一对等角---用判定定理1 夹边成比例---用判定定理2 夹角相等----用判定定理2 第三边也成比例---用判定 定理3 有一对直角---用直角三角形相似 的判定定理
有两对应 边成比例, 找
证明三角形相似和证明三角形全 等类似，可以多方面考虑，例如有 没有角相等，有没有边成比例，然 后再看怎样把已知条件用于要证明 的两个三角形中.证明线段成比例， 往往比较困难，除了要对比例的性 质较熟悉外，常常还要用中间比.
A
(第5题图）
36
24
已知：△ABC，P是边AB上一点，连 结CP。 （1）∠ACP满足什么条件时， △ACP∽△ABC； （2）AC∶AP满足什么条件时， △ACP∽△ABC。 则△ACP∽△ABC吗？ A
(3) 满足什么条件, △ACP∽△ABC。
P B C
已知：如图，A'B ' ∥AB， B ' C ' ∥BC 求证：△A ' B ' C ' ∽△ABC