《三角函数线》教学设计
2024三角函数线(说课稿)范文
2024三角函数线(说课稿)范文今天我说课的内容是《三角函数线》，下面我将就这个内容从以下几个方面进行阐述。
一、说教材1、《三角函数线》是高中数学选修2（上）第4单元的内容。
它是在学生已经学习了三角函数基本概念和性质并掌握了一些常见的三角函数图像的基础上进行教学的，是高中数学中的重要知识点，而且三角函数线在解决实际问题中有着广泛的应用。
2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的认知结构，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解三角函数线的基本性质，掌握正弦曲线和余弦曲线的图像特点。
②能力目标：能够根据给定函数式画出相应的正弦曲线和余弦曲线，能够根据图像判断函数式。
③情感目标：在学习过程中培养学生对数学的兴趣和探索精神，激发学生的创新意识。
三、说教法学法有这样一句话：听见了，忘记了；看见了，记住了；做了，理解了。
可见让学生亲自动手操作、实践是学生学习数学的最佳方式。
因此，这节课我采用的教法：导入法，示范法；学法是：观察比较法，实践探究法。
四、说教学准备在教学过程中，我准备了三种工具来辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增加教学容量，提高教学效率。
首先是三角函数线的图像展示，可以通过投影仪将相关图像呈现给学生观看。
其次是白板和彩笔，用于教师的板书和学生的互动操作。
最后是练习册和作业本，可以用来评估学生的学习效果和巩固知识点。
五、说教学过程新课标指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程”。
本着这个教学理念，我设计了如下教学环节。
环节一、引入新课在课堂伊始，我会让学生回忆一下已经学过的正弦函数和余弦函数的基本概念和性质。
然后，我会以一个有趣的例子引入新知。
比如，我会告诉学生我们要制作一支歌曲，而且要让这首歌曲的声音以特定的频率震动，产生特定的音调。
这时，我会问学生，你们知道如何确定这个频率吗？学生可能会回答使用正弦函数和余弦函数来描述音调变化的规律。
7.2.2 高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》
高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。
三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。
可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。
学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。
利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。
2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。
3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。
教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。
2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。
教学重点认识三角函数线的意义。
教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。
如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。
因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。
因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
高中数学人教B版必修三第七章 单位圆与三角函数线教学设计
《单位圆与三角函数线》教学目标：1、理解单位圆、有向线段的概念2、掌握正弦线、余弦线和正切线的准确作法3、能利用三角函数线解决简单的三角问题教学重点：三角函数线的准确作法教学难点：三角函数线的应用教学过程：一、复习引入对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切的另一种表示方法——几何表示法。
1、角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？cos sin tan .r y r y x ααα===，，2、角α 的正弦、余弦、正切值与终边上P 点的位置是否有关？所以x =______，y =_________，所以点p 坐标为____________。
当r=1时，x =______，y =_________，所以点p 坐标为____________。
y)二、新课讲授探究点1：单位圆的定义从定义看出：，为了简单地计算其正余弦、正切，我们可以分别令每个式子中的分母为1。
问题1：当r=1时，即P 点到原点的距离为1。
所有满足条件的点P 构成什么图形？定义：单位圆 __________________________________________________ 探究点2: 正弦线、余弦线 利用几何画板引导学生思考、观察给出正弦线、余弦线的定义问题2：随着α的变化，请同学们观察 sinα,cosα 的变化规律问题3：试比较sin π6 ,cos π6,sin π12 的大小。
总结1：探究点3：类比正弦线、余弦线给出正切线的定义问题4：类比正余弦的三角函数线定义，要探究正切线，应该令哪个量为1呢?(同学们探究讨论，合作研究) 问题:5：随着α的变化，请同学们观察 tanα 的变化规律问题6:试比较 sin π4 ,cos π4 ,tan π4 的大小。
总结2：()终边上异于原点的任意一点P ,,sin ,cos y x x y r r r ααα===当角的终边不在轴上时，tan yy x αα= oy三、例题精讲例1、作出5π6和π4的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切.例2、（参见教科书）四、课堂练习（课后练习A组：1、3、4、）五、探索与研究尝试利用三角函数线研究：0<α<π2, sinα ,α ,tanα的大小关系六、课堂小结。
三角函数线(第三课时)教学设计
2．练习三角函数线的作图.
八、板书设计
1.2 三角函数线
1.三角函数的定义： ；
2.像 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。
3.把这三条与单位圆有关的有向线段 ,分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
4.例题讲解
5.学习小结
九、课后反思
通过这节课，学生了解有向线段的概念，知道如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来，体会三角函数线的简单应用，学生的掌握情况良好。不足之处就是学生分析讨论方面能力不足，还有待加强。
二、学情分析（说明学生学习本内容可能遇到的知识和能力困难）
学生过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，但是不能表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，而三角函数线的引入有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数.
三、教学目标（根据课程标准要求和学生实际情况，指向学科核心内容、学生核心素养的发展进阶，预设要达到的知识、能力和态度的学习结果。可分条表述）
重点:三角函数线的正确理解.
难点:三角函数线的实际应用.
五、教学策略选择（说明主要采用的教学方法、手段和活动设计等）
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用三角函数线定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.表明了正弦、余弦、正切函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
高中数学必修4 《三角函数线及其应用》教案
三角函数线及其应用1．有向线段(1)定义：带有方向的线段．(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM ，MP . 2．三角函数线(1)作图：①α的终边与单位圆交于P ，过P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M . ②过A (1，0)作x 轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T . (2)图示：(3)结论：有向线段MP 、OM 、AT ，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？ 提示：当角的终边落在x 轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y 轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．1．角π7和角8π7有相同的( ) A ．正弦线 B ．余弦线 C ．正切线D ．不能确定C [角π7和角8π7的终边互为反向线，所以正切线相同．]2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线OM ，正切线A ′T ′B ．正弦线OM ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C [α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ，C 正确．] 3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为 ．1 [若角α的余弦线长度为0时，α的终边落在y 轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.](1)－π4；(2)17π6；(3)10π3. [解] 如图．其中MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线．三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A (1，0)点引x 轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T ，即可得到正切线AT .1．作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线． [解] 如图：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝MP ， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝OM ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝AT .A ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin βB ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan βC ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin βD ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β(2)利用三角函数线比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．思路点拨：(1)在规定象限内画出α、β的余弦线满足cos α＞cos β→观察正弦线或正切线判断大小观察图形，比较大小(1)D [由图(1)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sinβ，故A 错误；图(1)由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B 错误；图(2)由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C 错误；图(3)由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D 正确．]图(4)(2)解：如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan4π5＝AT ′.显然|MP |＞|M ′P ′|，符号皆正， ∴sin 2π3＞sin 4π5；|OM |＜|OM ′|，符号皆负，∴cos 2π3＞cos 4π5； |AT |＞|AT ′|，符号皆负，∴tan 2π3＜tan 4π5.(1)利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”； ②比较三角函数线的长度； ③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点： ①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．2．已知a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cD [由如图的三角函数线知：MP ＜AT ，因为2π7＞2π8＝π4， 所以MP ＞OM ，所以cos 2π7＜sin 2π7＜tan 2π7， 所以b ＜a ＜c .]3．设π4＜α＜π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2＜α＜3π4，上述长度关系又如何？[解] 如图所示，当π4＜α＜π2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT ＞MP ＞OM ；当π2＜α＜3π4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′＞M ′P ′＞OM ′.1．利用三角函数线如何解答形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式？ 提示：对形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式：图①画出如图①所示的单位圆；在y 轴上截取OM ＝a ，过点(0，a )作y 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，并作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a 的角α的范围．2．利用三角函数线如何解答形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式？ 提示：对形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式：图②画出如图②所示的单位圆；在x 轴上截取OM ＝a ，过点(a ，0)作x 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a 的角α的范围．【例3】 利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围． (1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12. 思路点拨：确定对应方程的解―→确定角α的终边所在区域―→写出角α的取值范围[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－3π4＜α＜2k π＋3π4，k ∈Z .(2)如图，由正切线知角α的取值范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜α≤k π＋π6，k ∈Z .(3)由|sin α|≤12，得－12≤sin α≤12. 如图，由正弦线知角α的取值范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪k π－π6⎭⎬⎫≤α≤k π＋π6，k ∈Z .的不等式改为“－12≤sin θ＜32”，求sin π3＝sin2π3＝32，sin利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置．(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．(3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求． 提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合．1．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线概念的理解．2．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题 (1)三角函数线的画法，见类型1； (2)利用三角函数线比较大小，见类型2； (3)利用三角函数线解简单不等式，见类型3.3．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重．4．利用三角函数线解三角不等式的方法1．下列判断中错误的是( )A ．α一定时，单位圆中的正弦线一定B ．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C ．α和α＋π有相同的正切线D ．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上B [A 正确；B 错误，如π6与5π6有相同正弦线；C 正确，因为α与π＋α的终边互为反向延长线；D 正确．]2．如果OM ，MP 分别是角α＝π5的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( ) A ．MP ＜OM ＜0B ．MP ＜0＜OMC ．MP ＞OM ＞0D ．OM ＞MP ＞0D [角β＝π4的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角α＝π5的余弦线和正弦线满足OM ＞MP ＞0.]3．若a ＝sin 4，b ＝cos 4，则a ，b 的大小关系为 ．a ＜b [因为5π4＜4＜3π2，画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图)，观察可知sin 4＜cos 4，即a ＜b .]4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则角α的终边在如图①所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪π3＋2k π≤α≤23π＋2k π，k ∈Z .图① 图②(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则角α的终边在如图②所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪23π＋2k π≤α≤43π＋2k π，k ∈Z .。
高考数学复习 三角函数线教学设计 教案
建构数学知识课新学的任意角三角函数的定义及问题1的思考，可以达成以下共识：1）锐角三角函数的定义与第一象限角的三角函数的定义是一致的，体现一般到特殊。
2）锐角三角函数是用三边比值定义的，也就是通过线段的比反映，所以猜想任意角的三角函数值是不是也可以用线段来表示？2. 探究猜想结果问题引导2：有了这个猜想，我们重新关注任意角α的正弦是如何定义的? （再现定义）问题引导3：注意定义中文字描述，你能进一步简化正弦的表达式吗？[学情预设]：借助几何画板，拖动点P在终边上的位置，观察，可以注意到定义中“任意一点P”，确定三角函数值与点在终边上的位置无关，从而猜想若让r取1，则正弦形式可以简化为y=αsin.此时，引进单位圆的定义：以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆。
这样，任意角α的终边上都取与单位圆的交点P，此时r=1，αcos，αsin分别为点P的横坐标x和纵坐标y。
长点进一步认清三角函数概念的本质问题引导4：通过上面的讨论结果，任意角的正弦函数值可以用线段来表示吗？请大家在各个象限及坐标轴上找角进行讨论、验证。
[学情预设]：学生通过讨论，得出一些猜想：角终边上取了与单位圆的交点后，正弦函数值转化为P点的纵坐标，而纵坐标的绝对值就是点P到x轴的距离，说明正弦函数值可以用线段长度来表示，但是还要根据不同象限角，加上正负符号才行。
（这样的话，已经很接近这节课的中心了。
）问题引导5：如果我们能让上面的猜想中线段的长度和符号统一起来就更完美了，有这样的统一吗？[学情预设]：引导学生观察前面正负数的直观表示，物理中也有矢量知识储备，只要规定正方向就可以解决这个问题了。
定义有向线段：规定了方向的线段。
（1）方向：按书写顺序，前为起点，后为终点，由起点指向终点. (2) 有向线段的数量（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）[师生互动]：结合有向线段进一步确定正弦函数值的几何表示：取角α的终边与单位圆的交点为P,过点P 作x 轴的垂线，设垂足为M ，则有向线段MP=αsin =y 。
〖2021年整理〗《三角函数线》优秀教案
单位圆与三角函数线--预习案班级： 小组： 姓名： 教师评价：【使用说明】1.认真阅读课本15-17页，用红笔进行勾画；再针对预习自学二次阅读并回答问题；2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑【预习目标】1.通过阅读文本，自主归纳三角函数线的定义；2.尝试画出给定角的三角函数线。
【问题导学】1.什么是单位圆？如图是一个以原点O 为圆心的单位圆，作出圆上一点P 在x 、y 轴上的正射影.2.设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),,tan x y r r x αα== (当x ≠0时).在单位圆中画出角α的终边分别在第一、二、三、四象限的三角函数线。
思考： 3.三角函数线与三角函数值有什么关系？【思考】三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么关系？4.（1）当角α的终边在x 轴上时，正弦线、余弦线、正切线的数量分别是什么？（2）当角α的终边在y 轴上时，正弦线、余弦线、正切线的数量分别是什么？（3）正切线始点坐标是什么？【预习自测】1、若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1； ②单位圆与x 轴的交点为（1,0）；③过点（1,0）的单位圆的切线方程为x=1； ④与x 轴平行的单位圆的切线方程为y=1；以上结论正确的为2、已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边（ ）A 在x 轴B 在y 轴上C 在直线y=x 上D 在直线y=-x 上3、如图，分别画出下列各角的三角函数线.（1）3π （2）32π-我的疑惑：单位圆与三角函数线---探究案【学习目标】进一步探究三角函数线，总结并归纳用三角函数线比较大小、求角的范围的规律和方法，体会数形结合的数学思想.【课程核心】重点：用三角函数线表示任意角的三角函数值；难点：用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。
探究一：作三角函数线1、分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线.(1)65π (2) 613π-探究二：利用三角函数线求角的范围2、在单位圆中画出适合下列条件的角α的三角函数线，并写出角α.(1) 3sin =α (2) 1cos =α (3) 1tan =α【拓展一】 已知21sinx ≥，求x 的取值范围.探究三：利用三角函数线比较大小(1) 3sin π与5sin π (2) 5tan 3tan ππ与【拓展二】利用三角函数线求下列函数的定义域.（1）2sin 2-=x y （2）)cos 21lg(x y -=规律方法总结： M。
《三角函数线》说课课件-PPT课件
练习1、作出下列各角的正弦线、余 弦线、正切线：
（1）π/3 （2）5 π
（3）-2 π/3 （4）- π/6 （5） π/2 （6） π
• 此题是一个基本题，要求学生独立 完成，尽管在提问（4）中已经涉及 A点变化问题，估计学生仍会有A点 随角α的变化而变化的情况，老师加
以引导，使学生走出这一误区，实 现知识目标C。
B、难点：三角函数线的应用
三角函数线可以看做是解三角函数 题的一种工具，所以本节课通过例 题、练习等途径，力图使难点得到 突破。
二、教学方法
本课采用：“自学辅导”和“启发探究 式”教学法，它符合辩证唯物主义内因和 外因相互作用的观点，符合教学论的主导 作用与学生主体作用相统一的原则，使学 生在获得感性知识的同时，为掌握理性知 识创造条件，从而培养学生的创新能力和 实践能力。
小结：（5分钟）
学生自结，教师补充，一结 知识，二结方法。
结束语：
本节课学习了三角函数的另一种定 义——三角函数线，利用三角函数线的 直观性，我们可以很方便地解决三角函 数的很多性质，那么它究竟有多大能力 呢，请同学们抱着极强的求知欲望往后 学习。
这样做的目的是：“承上启下、留下悬念”激 发学生的求知欲望，有利于养成课前预习的 习惯。
练习二、根据图象回答下列问题：
1、（口答）当角α的终边分别位于x 轴正半轴、y轴正半轴、x轴负半轴、 y轴负半轴时，角α的正弦、余弦、 正切值是多少？
2、根据（1）的结论，求出正弦、余 弦、正切函数的值域。
此题和练习一异曲同工，但涉
及了角在坐标轴上时的特殊情况， 引导学生不仅掌握事物的一般性， 更要熟悉事物的特殊性，求定义域 和值域，略高于课本要求，实现知 识目标D和能力目标A和C。
河北省张家口一中高一数学《三角函数线》教案
教学目标1.通过对有向线段的介绍，理解三角函数线的概念，从形的角度认识三角函数2.能够在直角坐标系中做出给定角的三角函数线3.能够应用三角函数线解决已知角的范围求三角函数值的范围，及已知三角函数值的范围求角的范围的问题教学重难点重点：理解单位圆中的三角函数线难点：正切线的画法，三角函数线的应用教学过程一、三角函数线的概念图（1）（2）（3）（4）分别表示终边在一、二、三、四象限的角α，),(y x P 为α的终边与单位圆的交点，过P 做P M ⊥x 轴，垂足为M 。
依三角函数定义知：|sin |||||α==y MP ，|cos |||||α==x OM思考：能否规定线段MO 、MP 的方向使它们的取值与点P 的坐标联系起来，从而去掉绝对值？有向线段：①当角α的终边不在坐标轴上时，以O 为起点，M 为终点，规定：若线段OM 指向x 轴正方向，称OM 的方向为正方向，且 x OM =（正值），如（1）、（4） 若线段OM 指向x 轴负方向，称OM 的方向为负方向，且x OM =（负值），如（2）、（3） 如此，无论OM 方向如何，都有αcos ==x OM②当角α的终边不在坐标轴上时，以M 为起点，P 为终点，规定：若线段MP 指向y 轴正方向，称MP 的方向为正方向，且 y MP =（正值），如（1）、（2）若线段MP 指向y 轴负方向，称MP 的方向为负方向，且y MP =（负值），如（3）、（4） 如此，无论MP 方向如何，都有αsin ==y MP像OM 、MP 这样带有方向的线段称为有向线段 思考：能否用有向线段表示正切？ 分析：αtan ==x y OM MP 能否将以上有向线段数量比的形式转化为一条有向线段来表示？分析：利用相似三角形，将分母转化为1，如下图：过A （0,1）做单位圆的切线（必平行于y 轴），与角α的终边交于T ，如前规定，OA 、AT 分别为x 、y 轴方向的有向线段，可知OA=1，则有：αtan ====xy OM MP OA AT AT 则可用有向线段AT 表示角α的正切，即αtan =AT探究：当α的终边分别在二象限时，怎样实现用线段AT 表示正切？仿照上述过程，过)0,1(1-A 做单位圆的切线与α的终边交于T ，则αtan 11===xy OM MP OA T A ，能否用T A 1表示αtan ？不可。
《三角函数线》说课课件-PPT课件_OK
的综合素质。
Hale Waihona Puke 8（3）思想目标： 培养学生的数形结合思想。
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（4）美育目标： 使学生体会到数转化为形所带 来的美感。
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3、教学的重点和难点：
A、重点：三角函数线的定义。
为了突出重点，教学中突出以下几 个环节：
一是抓住三角函数的代数定义和几 何定义密切性，强调三角函数线是 三角函数的另一种定义。
（3）、角的三角函数值与终边上点P的位置
是否有关？
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这个环节有以下作用：
（1）、巩固上节课的学习成果； （2）、为本节课的学习做好铺垫。
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接着让学生自主学习教材有关内 容，通过教师走动辅导让学生在“阅 读、思考、讨论、总结”后，教师进 行做图演示，让学生回答问题： 连接
连接
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（1）什么叫做有向线段？它和线段有何异同？
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2、教学目标：
（1）知识目标： A、理解“有向线段”的定义，掌握有向 线段和线段的异同； B、 理解三角函数线的定义； C、会画出任意角的三角函数线； D、能根据三角函数线写出终边落在坐标
轴 上的角的三角函数值；
E、能根据三角函数线总结出三角函数值 随
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角度变化的规律。
之所以定这样一个目标层次，因为：有向 线段是定义三角函数线的前提，理解三角函数的 定义是其应用的最起码要求，画出三角函数线， 是为了通过数与形的转化，以几何的方法来解决 代数问题，培养学生空间想象能力，知识的迁移 能力 及多向思维能力，之所以安排D、E两个知识 目标，期望所学内容源于教材而又高于教材。知 识目标由低到高符合学生的认知规律，符合数学 大纲的要求，也符合素质教育的要求。
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练习二、根据图象回答下列问题：
三角函数线教案
1.2 三角函数线一、教学目标：1、知识与技能（1）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（2）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；2、过程与方法根据角终边所在位置不同, 主要是借助有向线段进一步认识三角函数以及这三种函数的值在各象限的符号.最后.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数.二、教学重、难点重点:三角函数线的正确理解.难点:三角函数线的实际应用.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用三角函数线定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.表明了正弦、余弦、正切函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机四、教学设想第三课时【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长Array度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y，过点P作PM x⊥轴交x轴于点M，则请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin|==MP yαOM xα==；|||||cos|随着α在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有==cosOM xα同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有sinMP yα==4.像MP OM、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT、,我们有tanyATx α==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当α的终边与x轴或y轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.8.当堂检测9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.【评价设计】1． 作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒ （2）'cos15018︒、cos121︒ （3）5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.。
三角函数线教案
三角函数线及其应用教学目标1．使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题．2．培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力．3．强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性．教学重点与难点三角函数线的作法与应用．教学过程设计一、复习师：我们学过任意角的三角函数，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的？生：在α的终边上任取一点P（x，y），P和原点O的距离是r（r＞0），那么角α的六个三角函数分别是（教师板书）师：如果α是象限角，能不能根据定义说出α的各个三角函数的符号规律？生：由定义可知，sinα和cscα的符号由y决定，所以当α是第一、二象限角时，sinα＞0，cscα＞0；当α是第三、四象限角时，sinα＜0，cscα＜0．cos α和secα的符号由x决定，所以当α是第一、四象限角时，cosα＞0，secα＞0；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，secα＜0．而tanα，cotα的符号由x，y共同决定，当x，y同号时，tanα，cotα为正；当x，y异号时，tan α，cotα为负．也就是说当α是第一、三象限角时，tanα＞0，cotα＞0；当α是第二、四象限角时，tanα＜0，cotα＜0．师：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y，余弦值的正负取决于P 点的横坐标x，而正切值的正负取决于x和y是否同号，那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关？生：三角函数值的大小与P的位置无关，只与角α的终边的位置有关．师：既然三角函数值与P点在角α的终边上的位置无关，我们就设法让P点点位于一个特殊位置，使得三角函数值的表示变为简单．二、新课师：P点位于什么位置，角α的正弦值表示最简单？生：如果r=1，sinα的值就等于y了．师：那么对于余弦又该怎么处理呢？生：还是取r=1．师：如果r=1，那么P点在什么位置？生：P点在以原点为圆心，半径为1的圆上．师：这个圆我们会经常用到，给它起个名字，叫单位圆，单位圆是以原点为圆心，以单位长度为半径的圆．（板书）1．单位圆师：设角α的终边与单位圆的交点是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x．师：我们前面说的都是三角函数的代数定义，能不能将正弦值、余弦值等量几何化，也就是用图形来表示呢？因为数形结合会给我们的研究带来极大的方便，请同学们想想，哪些图形与这些数值有关呢？（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示．）师：sinα=y，cosα=x，而x，y是点P的坐标，根据坐标的意义再想一想．师：对点来说，是它的位置代表了数，点本身并不代表数．能不能找到一个图形，自身的度量就代表数？生：可以用面积，比如一个正数可以对应着一个多边形的面积，每一个多边形的面积对应着唯一一个正数．师：很好．但这是一个二维的图形，而且多边形的边数也不确定，我们还应遵循求简的原则．有没有简单的图形呢？生：是不是能用线段的长度来表示？师：说说你的理由．生：线段的长度与正数是一一对应的，所以每一个正数可以用一条线段来作几何形式．师：正数可以这样去做，零怎么办呢？能用线段来表示吗？生：（非常活跃）当然行了，让线段两个端点重合，线段长就是零了．师：可以画这样一个示意图，线段一个端点是A，另一个端点是B，当A，B 重合时，我们说AB是0；当A，B不重合时，我们说AB是一个正实数．那么负数怎么办呢？能不能想办法也用线段AB表示？生：线段的长度没有负数．生：我能不能这样看，A点在直线l上，B点在l上运动，如果B在A的右侧，我就说线段AB代表正数；如果B和A重合，就说线段AB代表0；如果B在A的左侧，就说线段AB代表负数．（教师不必理会学生用词及表述的漏洞．主要是把学生的注意力吸引到对知识、概念的发现上来．）师：正数与正数不都相等，负数和负数也不都相等，你只是规定了正负还不够吧？！生：可以再加上线段AB的长度．这样所有的实数都能对应一条线段AB，以A为分界点，正数对应的点B在A的右侧，而且加上长度，B点就唯一了．师：他的意见是对线段也给了方向．与直线规定方向是类似的．那么如何建立有向线段与数的对应关系？（板书）2．有向线段师：顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴．平行于坐标轴的线段可以规定两种方向．如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向，当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的．如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）．师：现在我们回到刚才的问题，角α与单位圆的交点P（x，y）的纵坐标恰是α的正弦值，但sinα是可正、可负、可为零的实数，能不能找一条有向线段表示sinα？生：找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为｜y｜．师：理论上很对，到底选择哪条线段呢？我们不妨分象限来看看．生：如果α是第一象限的角，过P点向x轴引垂线，垂足叫M（无论学生用什么字母，教师都要将其改为M），有向线段MP为正，y也是正的，而且MP的长度等于y，所以用有向线段MP表示sinα=y．（图中的线段随教学过程逐渐添加．）生：如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段．因为α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα．师：第一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第三、四象限呢？注意此时sinα是负值．生：这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是｜y｜=-y．所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=y．师：归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x 轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．所以有MP=y=sinα．我们把有向线段MP叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．（板书）3．三角函数线（1）正弦线——MP师：刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线，轴上角有正弦线吗？生：当角α的终边在x轴上时，P与M重合，正弦线退缩成一点，该角正弦值为0；当角α终边与y轴正半轴重合时，M点坐标为（0，0），P（0，1），MP=1，角α的正弦值为1；当α终边与y轴负半轴重合时，MP=-1，sinα=-1，与象限角情况完全一致．师：现在来找余弦线．生：因为cosα=x（x是点P的横坐标），所以把x表现出来就行了．过P 点向y轴引垂线，垂足为N，那么有向线段NP=cosα，NP是余弦线．师：具体地分析一下，为什么NP=cosα？生：当α是第一、四象限角时，cosα＞0，NP的方向与x轴正方向一致，也是正的，长度为x，有cosα=NP；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，NP 也是负的，也有cosα=NP．师：这位同学用的是类比的思想，由正弦线的作法类比得出了余弦线的作法，其他同学有没有别的想法？生：其实有向线段OM和他作的有向线段NP方向一样，而且长度也一样，也可以当作余弦线．师：从作法的简洁及图形的简洁这个角度看，大家愿意选哪条有向线段作为余弦线？生：OM．（板书）（2）余弦线——OM师：对轴上角这个结论还成立吗？（学生经过思考，答案肯定．）师：我们已经得到了角α的正弦线、余弦线，它们都是与单位圆的弦有关的线段，能不能找到单位圆中的线段表示角α的正切呢？生：肯定和圆的切线有关系（这里有极大的猜的成分，但也应鼓励学生．）坐标等于1的点，这点的纵坐标就是α的正切值．师：那么横坐标得1的点在什么位置呢？生：在过点（1，0），且与x轴垂直的直线上．生：这条直线正好是圆的切线．（在图3-（1）中作出这条切线，令点（1，0）为A．）师：那么哪条有向线段叫正切线呢？不妨先找某一个象限角的正切线．生：设α是第一象限角，α的终边与过A的圆的切线交于点T，T的横坐标是1，纵坐标设为y′，有向线段AT=y′，AT可以叫做正切线．师：大家看可以这样做吧？！但第二象限角的终边与这条切线没有交点，也就是α的终边上没有横坐标为1的点．生：可以令x=-1，也就是可以过（-1，0）再找一条切线，在这条切线上找一条有向线段表示tanα．师：我相信这条线段肯定可以找到，那么其他两个象限呢？生：第三象限角的正切线在过（-1，0）的切线上找，第四象限角的正切线在过（1，0）的切线上找．师：这样做完全可以，大家可以课下去试，但我们还是要求简单，最好只要一条切线，我们当然喜欢过A点的切线（因为这条直线上每个点的横坐标都是1），第一、四象限角与这条直线能相交，AT是正切值的反映，关键是第二、三象限的角．（如果学生答不出来，由教师讲授即可．）师（或生）：象限角α的终边如果和过A点的切线不相交，那么它的反向延长线一定能和这条切线相交．因为△OMP∽△OAT，OM与MP同号时，OA与AT也同号；OM与MP异号时，OA与AT也异号，（板书）（3）正切线——AT师：的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分，那么轴上角的正切线又如何呢？注意正切值不是每个角都有．生：当角α终边在x轴上时，T和A重合，正切线退缩成了一个点，正切值为0；当角α终边在y轴上时，α的终边与其反向延长线和过A的切线平行，没有交点，正切线不存在，这与y轴上角的正切值不存在是一致的．师：可以看到正切线的一个应用——帮助我们记忆正切函数的定义域．现在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法．设α的终边与单位圆的交点为P，过P点作x轴的垂线，垂足为M，过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题．（板书）4．三角函数线的应用例1 比较下列各组数的大小：分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．（由学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断．）（画出同一个角的两种三角函数线）．师：例1要求我们根据角作出角的三角函数线，反过来我们要根据三角函数值去找角的终边，从而找到角的取值范围．（板书）例2 根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角的取值集合．分析：P 1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为（3）在单位圆过点A（1，0）的切线上取AT=-1，连续OT，（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合三、小结及作业单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确．作业（1）复习课本“用单位圆中的线段表示三角函数”一节．（2）课本习题P178练习第7题；P192练习十四第9题；P194练习十四第22题；P201总复习参考题二第20题．课堂教学设计说明关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是三种函数线在同一节课交待，第二节课再讲应用；另一个设想是，第一节课只出正弦线、余弦线及它们的应用，__________________________________________________第二节课引入正切线，及三线综合运用，如比较函数值的大小、给值求角、解简单的三角不等式，证明一些三角关系式．本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维．在实际教学中，由于教师水平不同，学生的水平也不相同，教案中的例题可能讲不完，或根本不讲，但是宁可不讲例题，也要让学生去猜、去找三角函数的几何形式，我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，教师不能包办代替．数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透．通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式．至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2α+cos2α=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好．教案中的三角函数线应用不够全面，应在第二节课加以补充使其完整．11__________________________________________________。
三角函数线教学设计
三角函数线教学设计教学分析学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,但这是在“数”的角度上认识三角函数的，我们还可以从“形”的角度去考察任意角的三角函数, 即用有向线段表示三角函数值，这也是三角函数与其它基本初等函数不同的地方。
本节课所学习的三角函数线是正弦线、余弦线、正切线，它们分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示，它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段。
用有向线段表示三角函数值,可实现数与形的完美结合,我们将利用数形结合的思想方法巧妙求解三角方程和三角不等式，使得对三角函数的研究大为简化；在后继的学习中，我们将会用三角函数线“探究”同角三角函数的平方关系式，利用平移三角函数线的方法画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象。
由此可见，学好三角函数线是学习三角函数图象的基石，它在本章的地位是极其重要的，它在培养学生数形结合（特别是“以形解数”）的能力上有着巨大的潜在作用。
知识与技能1、借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义2、能利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的三角函数函数值表示出来3、能用三角函数线解决简单的三角不等式过程与方法：1、经历三角函数中数值与线段长度的转换过程，理解三角函数线是三角函数的一种几何表示。
2、通过应用三角函数线解决三角不等式问题初步体会数形结合思想。
情感、态度与价值观：感受用几何观点描述三角函数定义的统一性和简洁美。
重点难点教学重点:用三角函数线表示任意角的三角函数值。
教学难点:利用三角函数线解决简单三角不等式。
教具：电脑、投影仪等课时安排1课时导入新课情境导入：同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?复习导入：我们研究了三角函数在各象限内的符号,学习了将任意角的三角函数化成0°—360°角的三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容的研究,都是建立在任意角的三角函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来.推进新课提出问题问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定义能否用几何中的方法来表示,应怎样表示呢?问题②:回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段?活动:指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆,设任意角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0),过P作x轴的垂线,垂足为M;过A作单位圆的切线,这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P的坐标.显然,线段OM的长度为|x|,线段MP的长度为|y|,它们都只能取非负值.当角α的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段:如果x>0,OM与x轴同向,规定此时OM具有正值x;如果x<0,OM与x轴正向相反(即反向),规定此时OM具有负值x,所以不论哪一种情况,都有OM=x.如果y>0,把MP看作与y轴同向,规定此时MP具有正值y;如果y<0,把MP看作与y 轴反向,规定此时MP 具有负值y,所以不论哪一种情况,都有MP=y.引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段.于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有 sinα=r y =1y =y=MP, cosα=r x =1x =x=OM. 这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线. 类似地,我们把OA 、AT 也看作有向线段,那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识,就有tanα=x y =OAAT =AT. 这条与单位圆有关的有向线段AT,叫做角α的正切线.讨论结果:①能.②被看作带有方向的线段叫做有向线段.提出问题问题①:怎样把三角函数线与有向线段联系在一起?问题②:正弦线、余弦线、正切线在平面直角坐标系中是怎样规定的?当角α的终边变化时,它们有什么变化?活动:师生共同讨论,最后一致得出以下几点:(1)当角α的终边在y 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.(2)当角α的终边在x 轴上时,正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与x 轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.讨论结果:①略.②略. 例题讲解例题1： 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线． 例题小结： 1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．2．作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT →.变式训练：作出α＝－4π3的正切线例2：如图，已知角α的终边是OP ，角β的终边是OQ ，试在图中作出α、β的三角函数，然后用不等号填空：(1)sin α________sin β；(2)cos α________cos β；(3)tan α________tan β.例题小结：利用单位圆中的三角函数线比较三角函数值的大小时，分三步：①作出角的终边与单位圆的交点；②作出三角函数线；③比较三角函数线的数量的大小，同时要注意符号．变式训练：利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5.例3：利用单位圆中的三角函数线，求满足1sin 2α=的 角α的值的集合活动:引导学生画出单位圆,对于(1),可设角α的终边与单位圆交于A(x,y),则sinα=y,所以要作出满足sinα=21的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为21的点A,则OA 即为角α的终边;对于(2),可先作出满足sinα=21的角的终边,然后根据已知条件确定角α的范围. 解:(1)作直线y=21交单位圆于A 与B 两点,连结OA,OB,则OA 与OB 为角α的终边,如图所示.故满足条件的角α的集合为{α|α=2kπ+6π或α=2kπ+65π,k ∈Z }. (2)作直线y=21交单位圆于A 与B 两点,连结OA,OB,则OA 与OB 围成的区域(如图中的阴影部分)即为角α的终边所在的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+6π≤α≤2kπ+65π,k ∈Z }. 例题小结：在解简单的特殊值(如±21,22等)的等式或不等式时,应首先在单位圆内找到对应的终边(作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交,连结交点与坐标原点作射线),一般情况下,用(0,2π)内的角表示它,然后画出满足原等式或不等式的区域,用集合表示出来.变式训练1、已知sinα≥21,求角α的集合. 解:作直线y=21交单位圆于点P,P′,则sin ∠POx=sin ∠P′Ox=21,在［0,2π)内∠POx=6π,∠P′Px=65π. ∴满足条件的集合为{α｜2kπ+6π≤α≤2kπ+65π,k ∈Z }. 2、利用单位圆中的三角函数线求－12≤cos α<32中角α的取值范围．解：如图，作直线x ＝－12，x ＝32与单位圆相交．则图中阴影部分就是满足条件的角α的取值范围，即2k π－2π3≤α<2k π－π6或2k π＋π6<α≤2k π＋2π3(k ∈Z )．3：利用单位圆中的三角函数线求tan 3α≥中角α的取值范围．知能训练课本本节练习.解答:1.终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况,包括三角函数值的符号情况,终边相同的角的同一三角函数的值相等.点评:利用单位圆中的三角函数线认识三角函数的性质,对未学性质的认识不作统一要求.2.(1)如图11所示,图11(2)(3)(4)略.点评:作已知角的三角函数线.3.225°角的正弦、余弦、正切线的长分别为3.5 cm 、3.5 cm 、5 cm;330°角的正弦、余弦、正切线的长分别为2.5 cm 、4.3 cm 、2.9 cm,其中5,2.5是准确数,其余都是近似数(图略). sin225°=55.3-=-0.7,cos225°=55.3-=-0.7,tan225°=-1; sin330°=-0.5,cos330°=53.4=0.86,tan330°=59.2-=-0.58. 点评:进一步认识单位圆中的三角函数线.4.三角函数线是三角函数的几何表示,它直观地刻画了三角函数的概念,与三角函数的定义结合起来,可以从数和形两方面认识三角函数的定义,并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的理解容易了.点评:反思单位圆中的三角函数线对认识三角函数概念的作用.课堂小结本节课我们学习了有向线段的定义,正弦线、余弦线、正切线的定义,这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段,其之所以特殊,一是其与坐标轴平行(或重合),二是其与单位圆有关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,所以说它们是三角函数的一种几何表示.三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具,利用三角函数线可以解或证明三角不等式,求函数的定义域以及比较大小,三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具.作业：1、如果π4<θ<π2，那么下列各式正确的是()A．cosθ<tanθ<sinθB．sinθ<cosθ<tanθC．tanθ<sinθ<cosθD．cosθ<sinθ<tanθ课后探究利用单位圆和三角函数线证明:若α为锐角,则(1)sinα+cosα>1;(2)sin2α+cos2α=1.证明:如图,记角α与单位圆的交点为P,过P作PM⊥x轴于M,则sinα=MP,cosα=OM.(1)在Rt△OMP中,MP+OM>OP,即sinα+cosα>1.(2)在Rt△OMP中,MP2+OM2=OP2,即sin2α+cos2α=1.教学反思：对于三角函数线,开始时学生可能不是很理解,教师应该充分发挥好图象的直观作用,让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义.在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后,教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.以便为以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础.教师要让学生对三角函数线了解即可,要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势,不要再向深处挖掘,因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决.教师在教学中要搞好师生互动,让学生自己动脑、动手,多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力,让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力.。
课时学案——三角函数线
课时学案——三角函数线江苏 韩文美【课前准备】 1．课时目标（1）知识目标：使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题；（2）能力目标：借助几何图形让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；并开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力；（3）情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．（4）掌握三角函数的又一表示方法——几何表示，即三角函数线；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来；利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．2．基础预探角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．（1）当角α的终边不在坐标轴上时，以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有负值x ．其中x 为P 点的横坐标．这样有OM=x=________；（2）当角α的终边不在坐标轴上时，以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有负值y ．其中y 为P 点的纵坐标．这样有MP=y=________；（3）过点A （1，0）作单位圆的切线，这条切线必须平行于y 轴，设它与α的终边（当α为第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于点T ．则有tan α=________=xy ． 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT ，分别叫做角α的________、________、________，统称为________．（4）当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为________；当当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为________，正切值________．【知识训练】1．如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线的写法完全正确的是（ ） A ．正弦线MP ，正切线A 1T 1 B ．正弦线PM ，正切线AT C ．正弦线MP ，正切线A T D ．正弦线PM ，正切线T 1A 12．在[0，2π）上，满足sin α≥12的α的取值范围是（ ）A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]3．已知角α的终边与单位圆的交点为P （12，－23），则sin α=________．4．设MP 和OM 分别是角1817的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①MP<OM<0； ②OM<0<MP ； ③OM<MP<0； ④MP<0<OM ； 其中正确的是________．5．利用三角函数线证明：|sin α|＋|cos α|≥1． 6．已知sinx=22，且x ∈[0，2π]，求x 取值的集合． 【学习引领】1．三角函数的几何意义设任意角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于P （x ，y ），过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点A （1，0）作单位圆的切线，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则有向线段MP 、OM 、AT 分别叫角α的正弦线、余弦线和正切线．正弦线、余弦线、正切线是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示．正弦线、正切线的方向与y 轴一致，向上为正，向下为负，它们的数值分别等于角α的正弦值、正切值，余弦线的方向与x 轴一致，向右为正，向左为负，它的数值等于角α的余弦值．2．书写正弦线、余弦线、正切线时，一定要注意起点和终点的次序． 3．三角函数线的作用三角函数线可以直观地表示出角的终边所处的位置，利用三角函数线可以直观地看出各三角函数值的正负，并且在比较三角函数值的大小时，更是直观快捷，它是解决三角函数不等式的重要工具；利用三角函数线可以画三角函数的图象；利用三角函数线可以研究三角函数的性质等．【典例导析】题型一：求解不等式问题例1．在（0，2π）内使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是（ ）A ．（π4，π2）∪（π，5π4）B ．（π4，π）C ．（π4，5π4）D ．（π4，π）∪（5π4，3π2）思路导析：用单位圆内正弦线和余弦线来解，要使sin x >cos x ，只要x 取其阴影部分的角即可．解析：如图所示，在平面直角坐标系中，在单位圆上作出第一、三象限的角平分线AB ，由正弦线、余弦线知，图中的阴影部分的角所对应的正弦线大于相应余弦线，故选择答案：C ．点评：利用单位圆，结合三角函数线的特征，可以非常直观明确地求解出一些相关的三角不等式，简单易操作，思路清晰．变式练习1：在[0，2π）内解关于x 的不等式：tanx>－1． 题型二：证明有关的三角恒等式问题例2．试利用三角函数线的相关知识求证：sin 2α+cos 2α=1．思路导析：在单位圆中作出正弦线、余弦线，利用勾股定理证明．解析：设角α的终边交单位圆于点P ，如图所示，做出cos α=OM ，sin α=MP 在Rt △OMP 中，MP 2+OM 2=OP 2，即sin 2α+cos 2α=1．点评：利用单位圆和三角函数线的特征，可以非常巧妙地证明三角函数中相关的恒等式问题．变式练习2：试利用三角函数线的相关知识证明：tan 2α=ααcos 1sin +． 题型三：判断三角函数值的大小问题例3．设α∈（0，2π），试证明：sin α<α<tan α． 思路导析：在判断三角函数值的大小问题，可以借助单位圆，利用三角函数线来直观分析与判断．解析：如下图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x 轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P 点，∵S △OP A <S 扇形OP A <S △OAT ，∴21|MP |<21α<21|A T|，∴sin α<α<tan α． 点评：在解决三角函数值的大小判定问题或表示角的大小问题时，往往可以借助三角函数线的几何性质，通过数形结合直观来处理相应的数学问题．数形结合是高中数学中常用的数学思想，它要求找到与所要研究的问题相应的几何解释，再由图形的相关性质来解决问题．变式练习3：设a ＝sin 27π，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 【随堂练习】1．已知角α的终边与单位圆的交点为P （－12，23），则tan α=（ ）A ．－33 B ．－3 C ．3 D ．332．在[0，2π）上，满足cos α≥22的α的取值范围是（ ） A ．[0，π4] B ．[47π，2π） C ．[0，π4]∪[47π，2π） D ．[π4，47π]3．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是（ ）A ．若α，β是第一象限角，则cos α>cos βB ．若α，β是第二象限角，则tan α>tan βC ．若α，β是第三象限角，则cos α>cos βD ．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β 4．在[0，2π）上，满足sin α=cos α的α的取值集合是________． 5．在[0，2π）上，满足tan α≥1的α的取值范围是________． 6．已知α∈（0，2π），求证：sin α+cos α<2π． 【课后作业】1．如果θ是第一象限角，那么恒有（ ） A ．sin2θ>0 B ．tan 2θ<1 C ．sin 2θ>cos 2θ D ．sin 2θ<cos 2θ 2．已知P （sinα－cosα，tanα）在第一象限内，则在[0，2π]内的α的取值范围是（ ） A ．（π2，3π4）∪（π，5π4）B ．（π4，π2）∪（π，5π4）C ．（π2，3π4）∪（5π4，3π2）D ．（π4，π2）∪（3π4，π）3．试比较a=sin72π，b=cos 78π，c=tan 79π的大小关系为：________． 4．已知x 满足－12≤sinx ≤23，则角x 的取值范围为________．5．已知0<α<π，且sin α＋cos α= m ，当0<m<1时，试比较式子sin α与cos α的大小． 6．已知x 1，x 2∈（0，2π），求证：tanx 1+tanx 2>2tan 221x x +．答案：【课前准备】 2．基础预探 （1）cos α；（2）sin α；（3）AT ；正弦线，余弦线，正切线，三角函数线； （4）0，0，不存在； 【知识训练】1．A ；解析：正切线必须过A 1点作单位圆的切线交α的终边或终边的反向延长线； 2．B ；解析：利用单位圆中的三角函数线加以分析与判断；3．－23；解析：根据单位圆与三角函数线的性质加以判断； 4．②；解析：sin1817π=MP>0，cos 1817π=OM<0； 5．证明：当α角的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变为零，而余弦线（正弦线）的长等于r （r = 1），所以|sin α|＋|cos α|=1；当α角的终边落在四个象限时，利用三角形两边之和大于第三边有：|sin α|＋|cos α| = |MP|＋|OM|>1；综上有：|sin α|＋|cos α|≥1．6．解析：如图，在单位圆上作出正弦线的值为22所对应的角的终边与单位圆的交点A 、B ，在x ∈[0，2π]上，结合图形可以很快地判断出A 、B 所对应的角分别为4π、43π，则所求的x 的取值集合为{4π，43π}．【典例导析】变式练习1：解析：如图，在单位圆中正切值AT=－1，在[0，2π）内正切值等于－1的角有两个，即43π和47π， 满足不等式tanx>－1的角x 的终边落在阴影区域内，由图可得所求角的范围是： [0，2π）∪（43π，23π）∪（47π，2π）．变式练习2：证明：如图，作出单位圆中的三角函数线，则有cos α=OM ，sin α=MP ， 设α为锐角，则在Rt △AMP 中，∠PAM=21∠POM=2α， 则有tan2α=AM MP =OM MP +1=ααcos 1sin +．变式练习3：D ；解析：由于 π4<27π<π2，通过单位圆三角函数线比较：cos 2π7=OA，sin2π7=AB ，tan 2π7=MN ，∴cos 2π7<sin 27π<tan 27π，即b<a<c ；【随堂练习】1．B ；解析：根据单位圆与三角函数线的性质可知sin α=y=23，cos α=x=－12，则tan α=x y =－3；2．C ；解析：利用单位圆中的三角函数线加以分析与判断；3．D ；解析：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），分别为单位圆与角α、β终边的交点，则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2，若α、β是第一象限角，由sin α＞sin β，可得y 1＞y 2，此时x 1＜x 2，即cos α＜cos β，所以A 不正确；若α、β是第二象限角，如图tan α＝AT 1，tan β＝AT 2，观察可知AT 1＜AT 2，即tan α＜tan β，所以B 不正确；同理可知C 不正确；4．{4π，45π}；解析：利用单位圆中的三角函数线加以分析与判断；5．[π4，2π）∪[45π，23π）；解析：利用单位圆中的三角函数线加以分析与判断；6．证明：如图，作出单位圆中的三角函数线，则有cos α=OM ，sin α=MP ，由于S △OAP =21|OA||MP|=21sin α，S △OBP =21|OB||OM|=21cos α，S 扇形OAB =41π×12 =41π， 结合图形可知，S △OAP + S △OBP <S 扇形OAB ，则有21sin α+21cos α<41π，即sin α+cos α<2π．【课后作业】1．B ；解析：利用三角函数线结合各选项条件加以判断；2．B ；解析：∵P （sinα－cosα，tanα）在第一象限内，∴⎩⎨⎧ sinα﹣cosα＞0tanα＞0，作出单位圆中第一、三象限的平分线（如图），由图易知y=x 上方满足sinα＞cosα，在第一、三象限tanα＞0，图中阴影部分为所求；3．b<0<a<c ；解析：如图所示，可知b<0<a<c ；4．{x|32π+2k π≤x ≤67π+2k π或－6π+2k π≤x ≤3π+2k π，k ∈Z}；解析：在平面直角坐标系xOy 中，作出单位圆，找出在[0，2π）内满足条件中的两个正弦函数值，根据正弦线的变化规律，找出在R 内x 的取值范围；5．解析：若0<α<2π，则如图所示，MP = sin α，OM = cos α，于是，sin α＋cos α= MP ＋OM>1；若α=2π，则sin α＋cos α= 1， 由已知0<m<1，故2π<α<π，此时sin α>0，cos α<0，于是sin α>cos α．6．证明：设x 1<x 2，如图所示，在单位圆上，过A 作单位圆的切线AT ，在AT 上取B 、C 、D 三点，使∠BOA=x 1，∠COA=x 2，∠DOA=221x x +，取BC 的中点E ， ∵x 1，x 2∈（0，2π），∴|OC|>|OB|，|AB|=tanx 1，|AC|= tanx 2，|AD|=tan 221x x +，∵∠DOA=21（x 1+x 2），∴∠DOB=21（x 1+x 2）－x 1=21（x 2－x 1），知OD 是∠COB 的角平分线，由三角形内角平分线的性质，得||||DC BD =||||OC OB ，||||DC BD <1，即|BD|<|DC|， ∵|BE|>|BD|，∴|AE|>|AD|， ∵|AE|=21（|AB|+|AC|），∴2|AE|= （|AB|+|AC|），∴tanx 1+tanx 2>2tan 221x x +．。
三角函数线教案
三角函数线教案一、教学目标1、知识与技能目标理解三角函数线的定义和几何意义。
能够利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦和正切值。
掌握利用三角函数线比较角的大小和求解简单的三角不等式。
2、过程与方法目标通过几何画板等工具的演示，培养学生的观察能力和抽象思维能力。
引导学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程，体会数形结合的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
让学生在探究过程中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
二、教学重难点1、教学重点三角函数线的定义和几何意义。
利用三角函数线表示三角函数值和求解三角不等式。
2、教学难点正确理解三角函数线的概念，特别是正切线的定义。
灵活运用三角函数线解决相关问题。
三、教学方法讲授法、演示法、探究法相结合四、教学过程1、导入新课复习任意角三角函数的定义：设角α的终边与单位圆交于点 P(x, y)，则sinα ＝ y，cosα ＝ x，tanα ＝ y ／ x（x ≠ 0）。
提出问题：如何用几何图形直观地表示三角函数值呢？从而引出三角函数线的概念。
2、讲解三角函数线的定义正弦线：在单位圆中，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，则有向线段 MP 叫做角α的正弦线，sinα ＝ MP。
余弦线：有向线段 OM 叫做角α的余弦线，cosα ＝ OM。
正切线：过点 A(1, 0)作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α为第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于点 T，则有向线段 AT 叫做角α的正切线，tanα ＝ AT。
3、利用几何画板演示三角函数线展示不同象限角的三角函数线的位置和长度变化，让学生直观感受三角函数值的大小与角的关系。
引导学生观察并总结规律：当角的终边在第一象限时，正弦线、余弦线和正切线均为正；在第二象限时，正弦线为正，余弦线和正切线为负；在第三象限时，正切线为正，正弦线和余弦线为负；在第四象限时，余弦线为正，正弦线和正切线为负。
高中数学 三角函数线 说课稿教案教学设计
4.3 任意角的三角函数（二）——三角函数线教材：人教版高中《数学》第一册（下）第四章第三节教学背景：1．教材地位分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，……可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.2．学生现实分析：学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.高一上学期研究指、对数函数图像时,已带领学生学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画板应用能力，能够制作简单的动画，开展数学实验.教学目标：1．知识目标: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.2．能力目标: 借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.3．情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.教学重点难点：1．重点：三角函数线的作法及其简单应用.2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.教学方法与教学手段：1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学.2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验; 借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能.教学过程：一、设置疑问,实验探索（17分钟）二、作法总结,变式演练（13分钟）三、思维拓展,论坛交流（10分钟）四、归纳小结,课堂延展（5分钟）教学设计说明:1.让计算机软件和网络真正走入数学课堂,发挥它们的辅助作用.“让计算机软件和网络走入数学课堂”是提出了多年的口号，但是如何真正让多媒体在数学学习中发挥积极的作用却是我们一直在探索的问题.本节课有较广的延展面，是培养学生发现、探索、创新能力的很好素材，但是要在一节课45分钟时间内实现构想，对课的安排提出了非常高的要求.几何画板软件的动画演示功能正好可以帮助学生做数学试验，探讨数学问题；网络论坛可以让他们充分交流，相互学习.为此，我把授课地点放在多媒体网络教室，充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高.2.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够独立地开展科研活动.3.使学生始终保持学习兴趣,快乐学数学.苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者.”本节课正是抓住学生的这一心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流，真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学！。
三角函数线教学设计范文
三角函数线教学设计范文三角函数线教学设计范文在教学工作者实际的教学活动中，就有可能用到教学设计，编写教学设计有利于我们科学、合理地支配课堂时间。
教学设计要怎么写呢？下面是小编帮大家整理的三角函数线教学设计范文，仅供参考，大家一起来看看吧。
教材：三角函数线目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
过程：一、复习三角函数的.定义，指出：定义从代数的角度揭示了三角函数是一个比值。
二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值。
三、新授：1. 介绍(定义)单位圆圆心在原点O，半径等于单位长度的圆。
2. 作图：(课本P14 图4-12 )此处略设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B两点过P(x,y)作PMx轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交于S。
3. 简单介绍向量(带有方向的量用正负号表示)有向线段(带有方向的线段)。
方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。
例：有向线段OM，OP 长度分别为当OM=x时若 OM看作与x轴同向 OM具有正值x若 OM看作与x轴反向 OM具有负值x4.有向线段MP,OM,AT,BS分别称作角的正弦线,余弦线,正切线,余切线四、例一，利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 与2 tan 与tan3 cot 与cot解：如图可知：tan tancot cot例二，利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角1 sin 2 tan解： 1 230150 30 90或210 270例三求证：若时，则sin1 sin2证明：分别作1,2的正弦线x的终边不在x轴上sin1=M1P1 sin2=M2P2∵M1P1 M2P2 即sin1 sin2五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线六、作业：课本 P15 练习 P20习题4.3 2。
利用三角函数线探究三角函数的性质教学设计.doc
利用三角函数线探究三角函数的性质教学设计一、教学设计意图在学生掌握了任意角的三角函数概念，了解关于正弦线、余弦线、正切线的概念与作法Z后，课本捉出了用三角函数线研究①正弦函数、余弦函数和正切函数的值域；②正弦函数和余弦函数在［0, 2JI ）上的单调性；③正切函数在卜承咲）上的单调性。
学牛在解决此问题时，由于缺乏动态的思维，难以快速、准确地判断出上述几个性质。
本节课借助于几何画板生成关于三角函数线随着角的变化而变化的动态效果，让学生能够准确得到三角函数的一些简单性质，加深对三角函数线的理解，学会利用三角函数线解决问题。
二、教学目标描述1、知识与能力：①加深对三角函数线的认识，学会利用三角函数线解决问题；增强分析问题, 解决问题的能力。
②培养白主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力；③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术索养。
2、过程与方法：通过自主学习和协作学习培养动手与思考能力，以及对图形反馈的信息进行整理和加工的能力。
培养归纳总结和实验探究的能力。
3、情感态度与价值观：通过图形抽象的函数结论的统一，一维函数线与二维函数图像的对比，培养了对立统一的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养的合作精神和协作精神。
三、教学内容分析本节课屈丁研究性学习课，具体内容是：让学生利用《几何iHii板》软件生成关丁•三角函数线的动态效果，从而增强利用三角函数线解决实际问题的能力。
学习的重点：探究角大小的变化与三角函数线（即相关的三角函数值）变化之间的变化规律。
学习的难点：分析出三角函数性质变化Z后，进一步探究三角函数在某范围上的图像。
四、教学对象分析1、个性心理特征：每个学生都有自己的感官，自己的头脑，自己的性格，自己的知识和思想基础，自己的行动规律。
教师不能代替学生感知、观察、分析、思考，只能让学生自己感受事物，明白事理，掌握事物发展变化的规律，教师要尊重其个性发展, 让其自主探究学习。
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《三角函数线》教学设计教学背景：1．教材地位分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.2．学生现实分析：学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.高一上学期研究指、对数函数图像时,已带领学生学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画板应用能力，能够制作简单的动画，开展数学实验.教学目标：1．知识目标:使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.2．能力目标:借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.3．情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.教学重点难点：1．重点：三角函数线的作法及其简单应用.2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.教学方法与教学手段：1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学.2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验;借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能.教学过程：一、设置疑问,实验探索（17分钟）教学环节教学过程设计意图设置疑前面我们学习了角的弧度制，角弧度数的既可以引出单位圆，又问,点明主题绝对值，其中是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径.特别地,当r=1时，,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题. 可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.概念学习,分散难点有向线段：带有方向的线段.（1）方向：按书写顺序，前者为起点，后者为终点，由起点指向终点.如：有向线段OM,O为起点，M为终点，由O点指向M点.（动态演示）(2)数值：（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值;与坐标轴反向，取负值.如：OM=1,ON=-1,AP=相关概念的学习分散了教学难点,使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究.实验探索,辨析研讨1.(复习提问)任意角的正弦如何定义?角的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是（），它与原点的距离是r,比值叫做的正弦.思考:能否用几何图形表示出角的正弦呢?学生联想角的弧度数与弧长的转化,类比猜测:若令r=1，则.取角的终边与单位圆的交点为P,过点P作轴的垂线，设垂美国华盛顿一所大学有句名言:“我听见了,就忘记了;我看见了,就记住了;我做过足为M，则有向线段MP=.(学生分析的同时,教师用几何画板演示)请学生利用几何画板作出垂线段MP,并改变角的终边位置,观察终边在各个位置的情形,注意有向线段的方向和正弦值正负的对应.特别地,当角的终边在轴上时,有向线段MP变成一个点,记数值为0.这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角的正弦线.2.思考:用哪条有向线段表示角的余弦比较合适?并说明理由.请学生用几何画板演示说明.有向线段OM叫做角的余弦线.3.如何用有向线段表示？讨论焦点：若令=1,则=AT，但是第二、三象限角的终边上没有横坐标为1的点，若此时取=-1的点T‘，tan=-=T‘A‘,有向线段的表示方法又不能统一.引导观察：当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关系？统一认识：方案1：在象限角的终边或其反向延长线上取=1的点T，则tan==AT；方案2：借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到=.几何画板演示验证:当角的终边落在坐标轴上时，tan与有向线段AT的对应.这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角的了,就理解了.”要想让学生深刻理解三角函数线的概念，就应该让学生主动去探索，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程. 教学已经不再是把教师或学生看成孤立的个体，而是把他们的教和学看成是相互影响的辩证发展过程.在和谐的氛围中，教师和学生都处在自由状态，可以不受框框的束缚，充分表达各自的正切线. 意见，在自己积极思维的同时又能感受他人不同的思维方式，从而打破自己的封闭状态，进入更加广阔的领域.二、作法总结,变式演练（13分钟）教学环节教学过程设计意图作法总结正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.请大家总结这三种三角函数线的作法,并用几何画板演示(一学生描述,同时用电脑演示)：第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；第二步：过点P作轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT.特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）.及时归纳总结，加深知识的理解和记忆.变式演练,提高能力练习：利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）;（2）.学生先做,然后投影展示一学生的作品,并强调三角函数线的位置和方向.例1利用几何画板画出适合下列条件的角的终边：巩固练习,准确掌握三角函数线的作法.逆向思维,灵活运用三角函数线,并为利用三角函数线求解三角（1）；（2）；（3）.共同分析（1），设角的终边与单位圆交于P(),则=,所以要作出满足的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为的点P，则射线OP即为的终边.（几何画板动态演示）请学生分析（2）、(3),同时用几何画板演示.例2利用几何画板画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：（1）≥;（2）≤-.分析：先作出满足，的角的终边(例1已做)，然后根据已知条件确定角终边的范围.（几何画板动态演示）答案：（1）{}.（2）{}.延伸：通过（1）、（2）两图形的复合又可以得出不等式组的解集：{}. 函数不等式(组)作铺垫.数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面.将任意角的正弦、余弦、正切值分别用有向线段表示出来体现了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用.三、思维拓展,论坛交流（10分钟）教学环节教学过程设计意图思维拓展,论坛交流观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和已学知识，你能发现什么规律,得出哪些结论？请说明你的观点和理由,并发表于焦作一中教育论坛().学生得出的结论有以下几种：(1)sin2+c os2=1;(2)│sin│+│cos│≥1;(3)-1≤sin≤1,-1≤cos≤1,tan∈R;(4)若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相等,正弦、余弦值互为相反数;(5)当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小;(6)当角的终边在直线的右下方时,sin＜cos;当角的终边在直线的左上方时,sin＞cos;……给学生建设一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境.论坛交流既能展示个人才华,又能照顾到各个层次的学生.来自他人的信息为自己所吸收，自己的既有知识又被他人的视点唤起，产生新的思想.这样的学习过程使学生在轻松达成一个个阶段目标之后，顺利到达数学学习的新境界.教学环节教学过程设计意图归纳小结1.回顾三角函数线作法.2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简化，现在仍然是我们解三角不等式、比较大小、以及今后研究三角函数图像与性质的基础.回顾三角函数线作法,再次加深理解和记忆.点明三角函数线在其他方面的应用,以及数形结合思想,便于学生在后续学习中更深入的思考,更广泛的研究.巩固巩固作业:习题4.3 1,2提升练习：既能保证全体学生的巩固应用，创新,课堂延展1.已知：，那么下列命题成立的是（）A．若、是第一象限的角，则cos>cos.B.若、是第二象限的角，则tan>tan.C.若、是第三象限的角，则cos>cos.D.若、是第四象限的角，则tan>tan.2．求下列函数的定义域：（1）y=;(2)y=lg(3－4sin2x).延展作业:1.类比正切线的作法，你能作出余切线吗？2.结合三角函数线我们已经发现了一些很有价值的结论,你还能得出哪些结论？请大家继续在论坛上交流.3.查阅数学家欧拉的生平事迹,了解他在数学方面的突出贡献,谈谈你的学习感受,并发表于论坛交流.又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外.教学设计说明:1.让计算机软件和网络真正走入数学课堂,发挥它们的辅助作用.“让计算机软件和网络走入数学课堂”是提出了多年的口号，但是如何真正让多媒体在数学学习中发挥积极的作用却是我们一直在探索的问题.本节课有较广的延展面，是培养学生发现、探索、创新能力的很好素材，但是要在一节课45分钟时间内实现构想，对课的安排提出了非常高的要求.几何画板软件的动画演示功能正好可以帮助学生做数学试验，探讨数学问题；网络论坛可以让他们充分交流，相互学习.为此，我把授课地点放在多媒体网络教室，充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高.2.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够独立地开展科研活动.3.使学生始终保持学习兴趣,快乐学数学.苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者.”本节课正是抓住学生的这一心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流，真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学！。