运筹学 对偶原理
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第二章 运筹学对偶理论
22
3．最优性。 若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解，且 CX0 = Y0 b 则 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证明：设 X* ——原问题最优解， Y* ——对偶问题最优解
则 CX0 CX* Y* b Y0 b
但 CX0 = Y0 b， ∴ CX0 = CX* = Y* b = Y0 b ∴ X0 = X* ， Y0 = Y* 即 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证毕。
20
（1）原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函 数值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其 原问题目标函数值的上界。 （2）如原问题有可行解且目标函数值无界（具有无界解）， 则其对偶问题无可行解，反之对偶问题有可行解且目标函 数值无界，则其原问题无可行解。 证：有性质1，C X0 Y0 b，当 CX0 ∞ 时，则不可能存在 Y0，使得 C X0 Y0 b 。 本性质的逆不成立。当对偶问题无可行解时，其原问题或 具有无界解或无可行解，反之亦然。
min =15y1+24y2+5y3 0y1+ 6y2+ y3≥ 2 S.t. 5y1+ 2y2+ y3≥ 1 y1，y2，y3≥0
• 对偶问题的最优解： y1=0，y2=1/4，y3=1/2，W* =8.5 • 两个问题的目标函数值相等，这不是偶然的，上述两个问题 实际上是一个问题的两个方面，如果把前者称为线性规划原 问题，则后者便是它的对偶问题，反之亦然。 • 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯型法表中，初始基 变量的检验数的负值。
∴ Y*是对偶问题的最优解。
24
• 5.互补松弛性：在线性规划问题的最优解中，如果对应 某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严 格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的 对偶变量一定为零。即 • 若yi*＞0，则有 n * ai j x j bi ,
《管理运筹学》03-对偶原理ppt课件
yi
=
cj，
j = 1,
2,…,n
i=1
因此，性质7(1) 的经济解释是: 当一个单位的任一运营活动 j在严厉 正程度( xj > 0 )上运营时，它所耗费的各种资源的边沿价值总和必定等 于 该项活动所产生的单位价值 cj 。
3.3 对偶关系的经济解释
譬如范例，知 X*= (4, 6, 4, 0, 0)T， Y*= (0, ½ , 1, 0, 0)T x1 = 4 > 0 → y4 = 0， 那么使 y1 +3y3 -y4 = 3 → y1 +3y3 = 3
8 F (8，6，0，0 ,- 12) 否 54 是 (3,5/2, 0, 0,0)
3.2 线性规划的对偶性质
6. 互补松弛性Ⅰ 设 = ( x1 , x2 , … , xn , xn+1, … , xn+m )T = ( y1 , y2 , … , ym , ym+1, … , ym+n )T 是(P⑴1)x(j Dym1)+的j =一0对，互补j根=本1解, ，2 ,那…么, n
cj
3
基 解 0 x1
5 00
x2
x3
0 x3 4 x40 x5 0 1 1/3 -
5 x2 16/3 0
1 0 1/2
3 x1 40 1
0 0 -2/3 1/3
比值
42 0
0 0 1/2 1
y4 y5 y1 y2 y3
σ1 σ2 σ3 σ4 σ5
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T, z* = 42
s.t. 0y1+2y2+4y3 ≥ 5
②
①
y1， y2， y3 ≥ 0 ③
对偶理论知识点总结
对偶理论知识点总结一、一般理解对偶理论是运筹学和数学中的一个重要理论，主要研究优化问题的对偶性质和利用对偶问题来解决原始问题的方法。
优化问题是现实世界中的一种普遍问题，它的目标是在一定的约束条件下找到最优解。
而对偶理论则是研究优化问题的一个重要角度，它告诉我们，对于每一个原始问题都存在一个对偶问题，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息，比如最优解的下界。
二、对偶问题的定义在深入了解对偶理论之前，我们首先需要了解什么是对偶问题。
对于一个原始优化问题：\[ \begin{cases} inf \ c^T x \\ Ax=b \\ x\geq0 \end{cases}\]它的对偶问题可以定义为：\[ \begin{cases} sup \ b^T y \\ A^Ty+c=y \\ y\geq0 \end{cases}\]其中，\(c,x\)是原始问题的目标函数和解向量，\(A,b\)是原始问题的约束条件，对偶问题的目标函数和解向量分别为\(b,y\)。
原始问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息。
三、对偶性质对偶理论的一个重要性质就是对偶性质，它告诉我们原始问题和对偶问题之间存在着一种非常紧密的联系。
具体来讲，对偶性质包括弱对偶性和强对偶性两个方面。
1. 弱对偶性：对于任意一个优化问题，其对偶问题的目标函数值不会超过原始问题的目标函数值，即对于原始问题的任意可行解x和对偶问题的任意可行解y，有\[c^Tx\geqb^Ty\]2. 强对偶性：若原始问题和对偶问题均存在最优解，则它们的目标函数值相等，即\[inf \c^Tx=sup \ b^Ty\]这两个对偶性质告诉我们，对偶问题的解可以为原始问题的最优解提供一个下界，并且在某些情况下，对偶问题的解可以等于原始问题的最优解。
四、对偶问题的应用对偶理论不仅仅是一种理论概念，更是一种实际问题求解的工具。
在实际问题中，我们经常可以通过对偶问题来求解原始问题，或者通过对偶问题的解来获得原始问题的解。
运筹学课件第二章线性规划的对偶理论及其应用
对偶问题同时解
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
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0
0
0
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OBJ=
39
9/2
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3/2
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cj - zj
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OBJ=
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cj - zj
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
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0
1
0
1
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x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学对偶问题
（B）
minW 20y1 10 y2 5y3 s.t. 3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
比较
（A）
（B）
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
当原问题的约束条件的符号不完全相同时，也存在 对偶问题，这种对偶问题称为非对称对偶问题。
例
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1
0,
x
为自
2
由
变
量
分析：
为求对偶问题，可先做过渡，将问题对称化：
对称化
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm x1 0, x2 0, xn 0
则以下线性规划问题：
（B）
minW b1 y1 b2 y2 bm ym s.t.
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
max Z 4x1 5x2 s.t. 3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
4x1 3x2 10
x1 x1
x2 x2
5 5
x1 x2 5
设x 2 x 3 x 4 , x3 0, x 4 0
min W ' 20 y1 '10 y2 '5 y3 '5 y4 ' s.t. 3 y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3 y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
运筹学之对偶问题
Max s .t
W Yb - YA C Y 0
定理2 弱对偶定理 ˆ 和Y ˆ 分别为原问题 P 及其对偶问题 D 的任意可行解， 若X 则有 ˆ Y ˆb CX 成立。
推论1：若原问题 P 和对偶问题 D 都有可行解，则必都有 最优解。 推论2：若原问题 P 有可行解，但无有限最 优解，则对偶 问题 D 无可行解。
s .t
s .t
为其对偶问题，其中yi (i=1,2,…,m) 称为对偶变量。 上述对偶问题称为对称型对偶问题。 原问题简记为(P)，对偶问题简记为(D)
原始问题 Max Z=CX s.t. AX≤b X ≥0
Max C
对偶问题 Min W=Yb s.t. YAT≥C Y ≥0
Min
bT
AT m ≥ CT
第四章 线性规划的对偶理论
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的解 影子价格 对偶单纯形法
4.1 对偶问题
(1) 对偶问题的提出
对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了 解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提 出本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系 统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问 题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？
通过使用所有资源对外加工所获得的收益
W = 30y1 + 60 y2 + 24y3
根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此 此问题可归结为以下数学模型：
目标函数 Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 约束条件 s.t y1 , y 2 , y3 0 原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题， y1 , y2 , y3为对偶变量，也称为影子价格
运筹学课件2.2 对偶理论
原问题的标准型和典则型 max z cx 0 xs Ax xs b x 0, xs 0
max z cB B b (c N cB B N ) xN 1 ( c B B ) x s 1 1 1 xB B b B Nx N B xs x B , x N , xs 0
用例1.1的最优解解释
CB
30 50
cj xB
50
30
0
0
x2
b x1
1350
x2
1 0 0
x3
1 -1/2 -5
x4
-2 3/2 -15
j
20 x1 15
0 1 0
y1=5, y2=15是对偶问题的最优解，此时原、对偶问 题都可行。
习题
习题2.8，P.89。
原问题与对偶问题的对应关系
问题与解的 状态
对偶问题
有最优解 无界 不可能 不可能 无可行解 不可能
原 问 题
有最优解 一定 无界 不可能
无可行解 不可能
不一定/肯 定 肯定/不 可能 一定
对偶问题的典则型
原问题为 对偶问题是
max z CX AX b X 0
minw yb yA变量
ys1 0 ，得基本解
1 1
Y (cB B ,0, cB B N cN )
目标函数
w cB B b
1
若对偶问题的基本解可行，则
c N cB B N ( N ) 0 1 cB B ( s ) 0
1
说明对偶问题解可行是原问题可行解最优的条 件。 1 同样可以看出原问题基本解可行： B b 0 是对偶问题最优解的条件。因此原问题与对偶 问题同时可行，目标函数值相等，同时得最优 解。
对偶定理运筹学
对偶定理是运筹学中最基本的概念之一，它在线性规划中起着非常重要的作用。
在线性规划问题中，存在原始问题和对偶问题两种形式，它们之间通过对偶定理建立了密切的联系。
对偶定理的核心思想是将原始线性规划问题转化为对偶问题，并且通过对偶问题来分析原始问题，从而得到有关原始问题的有效信息。
具体来说，对偶定理可以帮助我们在求解原始问题时，通过求解对偶问题来获得额外的信息和优化结果。
在运筹学中，对偶定理的应用主要体现在以下几个方面：
1. 最优性分析：对偶定理可以帮助我们分析原始问题的最优解以及对应的对偶问题，从而验证原始问题的最优性和对偶问题的最优性，并且可以相互印证，增强了问题解的可靠性。
2. 敏感度分析：对偶定理也可以用于进行敏感度分析，通过对对偶问题的解进行改变，可以评估原始问题解对参数变化的敏感程度，从而指导决策者进行风险评估和决策制定。
3. 经济学解释：对偶问题的解可以提供经济学上的解释和意义，比如对偶问题中的对偶变量可以表示资源的单位价值，对偶问题的约束条件可以反映出资源的受限性，这些信息可以为管理决策提供重要参
考。
总之，对偶定理在运筹学中具有重要的作用，通过对原始问题和对偶问题的分析，可以为决策者提供更全面的信息，帮助其做出更加合理的决策。
因此，对偶定理是线性规划理论中不可或缺的重要内容。
第3章 对偶原理
运筹学第3 运筹学第3章
对偶原理
本章知识内容
线性规划的对偶关系 线性规划的对偶性质 对偶关系的经济解释 对偶单纯形法 交替单纯形法
3.1 线性规划的对偶关系
3.1.1 对偶问题 引例： 引例：胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子售价30元/个，生产桌 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种。现已 知生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。 该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工 时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月 的销售收入最大？
min ω = 3 x1 + 2 x2 − x3
max z = 2 y1 + 5 y2 + y3
2 x1 + x2 + 3 x3 ≥ 2 2 y1 + 3 y2 + y3 ≥ 3 3 x − 5 x y − 5y + y = 2 ≤5 1 1 2 2 3 s.t. ⇒ s.t. + y3 ≤ −1 x1 + x2 + x3 = 1 3 y1 x1 ≤ 0, x3 ≥ 0 y1 ≥ 0, y2 ≤ 0
其对偶问题的最优解为： 对偶问题的最优解为： 的最优解为
4 , 3 z* = 5 Y = 5 5
*
试用对偶性质求出原问题的最优解。 原问题的最优解 试用对偶性质求出原问题的最优解。
解：先写出其对偶问题
max z = 4 y1 + 3 y 2 ≤ 2 ≤ 3 ≤ 5 ≤ 2 ≤ 3 (1) (2) (3) (4) (5)
1 Y = 0, ,1 2
最优值都是42， 最优值都是42，即： 42
对偶原理
本章知识内容
线性规划的对偶关系 线性规划的对偶性质 对偶关系的经济解释 对偶单纯形法 交替单纯形法
3.1 线性规划的对偶关系
3.1.1 对偶问题 引例： 引例：胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子售价30元/个，生产桌 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种。现已 知生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。 该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工 时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月 的销售收入最大？
min ω = 3 x1 + 2 x2 − x3
max z = 2 y1 + 5 y2 + y3
2 x1 + x2 + 3 x3 ≥ 2 2 y1 + 3 y2 + y3 ≥ 3 3 x − 5 x y − 5y + y = 2 ≤5 1 1 2 2 3 s.t. ⇒ s.t. + y3 ≤ −1 x1 + x2 + x3 = 1 3 y1 x1 ≤ 0, x3 ≥ 0 y1 ≥ 0, y2 ≤ 0
其对偶问题的最优解为： 对偶问题的最优解为： 的最优解为
4 , 3 z* = 5 Y = 5 5
*
试用对偶性质求出原问题的最优解。 原问题的最优解 试用对偶性质求出原问题的最优解。
解：先写出其对偶问题
max z = 4 y1 + 3 y 2 ≤ 2 ≤ 3 ≤ 5 ≤ 2 ≤ 3 (1) (2) (3) (4) (5)
1 Y = 0, ,1 2
最优值都是42， 最优值都是42，即： 42
《管理运筹学》02-5对偶原理
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《管理运筹学》025对偶原理
目录
• 对偶理论概述 • 对偶理论的基本概念 • 对偶理论的应用 • 对偶理论的局限性 • 对偶理论的展望
01
对偶理论概述
对偶问题的定义
对偶问题
对于原问题中的目标函数和约束条件，将它们进行适当 的变换，得到与原问题等价的新问题。
对偶问题的特点
对偶问题的目标函数和约束条件与原问题相反，但最优 解相同。
线性规划问题可以通过使用单纯形法、对偶法等求解方法 求解。
原问题与对偶问题
原问题是给定的线性规划问题，对偶问题是通过 引入新的变量和约束条件，将原问题的约束条件 转化为等价的不等式约束条件，同时目标函数也 相应地转化为对偶问题的目标函数。
对偶问题与原问题之间的关系是：当原问题的最 优解存在时，对偶问题的最优解也一定存在，并 且它们的目标函数值相等。
对偶定理
01
对偶定理是线性规划中的一个基本定理，它表明原问题和对偶问题的最优解是 等价的。
02
对偶定理的证明基于互补松弛定理和最优解的性质。
03
对偶定理的应用包括在求解线性规划问题时，通过求解对偶问题来获得原问题 的最优解，以及在确定原问题和对偶问题的解是否为最优解时，使用对偶定理 进行验证。
03
生产、管理、运输等领域的问题。
实际问题验证
02
通过对偶理论的应用，可以验证实际问题的解决方案是否可行，
并优化解决方案。
实际应用拓展
03
通过对偶理论的深入研究，可以拓展其在实际问题中的应用范
围，提高解决问题的效率和质量。
05
对偶理论的展望
对偶理论的未来发展方向
深化理论体系
运筹学之对偶理论
1.如果原问题是对目标函数CX求最大(小)值, 2.对偶问题就是对目标函数Yb求最小(大)值. 二,
对偶问题的一般规则
1.将原问题的不等式约束统一成 ≤ 的形式,对目标函数求最大值; 2.将原问题的不等式约束统一成 ≥ 的形式,对目标函数求最小值; 三, .原问题的每一个行约束(指除非负性条件外的线性等式或不等式约束) 对应对偶问题的一个变量. 1.若该行约束是不等式,则限制Yi ≥ 0 2.若该行约束是等式,则Yi 无符号限制. 四,原问题的每一个变量x j的相应的系数向量Pj = (a1 j , a 2 j , a mj )对应对偶问题 的一个行约束. 1.如果 原问题不等式 约束统一成 ≤ 的形式,且 该x j 有非负限制,则对应行约束为∑ aij y i ≥ c j ;
),对偶问题的形式 (一),对偶问题的形式 对称型对偶问题: 1,对称型对偶问题:已知 P,写出 D. , .
矩阵形式: 矩阵形式: P maxZ = CX AX ≤ b X≥0
D min W = Yb YA ≥ C Y≥0
例一, 例一,写出线性规划问题的对偶问题 max Z = 2 x 1 3 x 2 + 4 x 3
项目 A b C 目标函数 约束条件 决策变量
原问题 约束的系数矩阵
对偶问题 约束的系数矩阵的 转置
约束条件的右端项向量 目标函数的价值系 数系数向量 目标函数的价值系数系 约束条件的右端项 数向量 向量
max z = CX
AX ≤ b
minω = Y ′b A′ Y ≥ C ′
X ≥0
Y ≥0
二,线性规划的对偶理论
模型对比: 模型对比:
max Z = 10 x
1
+ 18 x
《管理运筹学》课件03-对偶原理
优化转换过程，提高转换后解的精度和可靠性。
扩展应用范围
研究对偶算法在其他领域的应用，如机器学习、 图像处理等。
05
对偶理论的扩展与展望
对偶理论与人工智能的结合
人工智能算法优化
对偶理论在人工智能领域的应用，主要是用于优 化算法，通过对偶形式将原问题转化为更易处理 的子问题，从而提高算法的效率和精度。
01 线性规划的对偶问题是在原问题的基础上，将约 束条件和目标函数互换，形成一个新的优化问题。
02 对偶问题可以帮助我们更好地理解原问题，并且 在某些情况下，可以通过求解对偶问题来得到原 问题的最优解。
02 对偶问题的数学表达通常包括原问题的目标函数 和约束条件的对偶形式。
整数规划的对偶问题
01
整数规划的对偶问题是在整数 规划问题的基础上，将约束条 件和目标函数互换，形成一个 新的优化问题。
01
缺点
02
对偶问题可能不是唯一的，因此需要选择 一个合适的问题进行求解。
03
对偶问题可能不是原问题的最优解，因此 需要验证转换后的解是否为最优解。
04
对偶算法可能无法处理一些特殊问题，如 非线性规划问题。
对偶算法的改进方向
开发更高效的算法
针对不同类型的问题，开发更高效的算法来求解 对偶问题。
改进转换过程
进一步探索对偶理论在其他领域的应 用，如生物学、物理学、社会科学等， 将对偶理论的应用范围不断扩大。
THANKS
感谢观看
对偶理论的应用场景
01 供应链管理
在供应链优化中，对偶理论可用于协调供应商和 制造商之间的利益，实现整体最优。
02 金融规划
在金融领域，对偶理论可用于投资组合优化、风 险管理等问题。
扩展应用范围
研究对偶算法在其他领域的应用，如机器学习、 图像处理等。
05
对偶理论的扩展与展望
对偶理论与人工智能的结合
人工智能算法优化
对偶理论在人工智能领域的应用，主要是用于优 化算法，通过对偶形式将原问题转化为更易处理 的子问题，从而提高算法的效率和精度。
01 线性规划的对偶问题是在原问题的基础上，将约 束条件和目标函数互换，形成一个新的优化问题。
02 对偶问题可以帮助我们更好地理解原问题，并且 在某些情况下，可以通过求解对偶问题来得到原 问题的最优解。
02 对偶问题的数学表达通常包括原问题的目标函数 和约束条件的对偶形式。
整数规划的对偶问题
01
整数规划的对偶问题是在整数 规划问题的基础上，将约束条 件和目标函数互换，形成一个 新的优化问题。
01
缺点
02
对偶问题可能不是唯一的，因此需要选择 一个合适的问题进行求解。
03
对偶问题可能不是原问题的最优解，因此 需要验证转换后的解是否为最优解。
04
对偶算法可能无法处理一些特殊问题，如 非线性规划问题。
对偶算法的改进方向
开发更高效的算法
针对不同类型的问题，开发更高效的算法来求解 对偶问题。
改进转换过程
进一步探索对偶理论在其他领域的应 用，如生物学、物理学、社会科学等， 将对偶理论的应用范围不断扩大。
THANKS
感谢观看
对偶理论的应用场景
01 供应链管理
在供应链优化中，对偶理论可用于协调供应商和 制造商之间的利益，实现整体最优。
02 金融规划
在金融领域，对偶理论可用于投资组合优化、风 险管理等问题。
运筹学第2章 对偶理论
写出对偶问题
2 y1 3 y2 y3 2 3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
原—对偶问题的相互变换形式
原问题（或对偶问题） 目标函数 max 约 束 条 件 变 量 m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束 约束条件右端项 目标函数变量的系数 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 目标函数变量的系数 约束条件右端项 变 量 约 束 条 件
设y1 , y2 , y3分别为三种资源的收费单价，所以 有下式： 5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y1 , y2 , y3 0 就目标而言，用下式可以表达： 170 y1 100 y2 150 y3 W
一般而言，W 越小越好，但因需双方满意，故
变为对称形式
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
min W 2 y1 3 y2 5 y3
B
1 0
M-1
-2
最 终 表
cj cB 3 -1 -1 xB x1 x2 x3 检验数 b 4 1 9
3 x1 1 0 0 0
-1 x2
-1 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 2/3 -1/3
I
0 1 0 0
-1/3 1/3-M 2/3- M
所以， X*=（4 , 1 , 9），Z = 2
初 始 表
2 y1 3 y2 y3 2 3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
原—对偶问题的相互变换形式
原问题（或对偶问题） 目标函数 max 约 束 条 件 变 量 m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束 约束条件右端项 目标函数变量的系数 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 目标函数变量的系数 约束条件右端项 变 量 约 束 条 件
设y1 , y2 , y3分别为三种资源的收费单价，所以 有下式： 5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y1 , y2 , y3 0 就目标而言，用下式可以表达： 170 y1 100 y2 150 y3 W
一般而言，W 越小越好，但因需双方满意，故
变为对称形式
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
min W 2 y1 3 y2 5 y3
B
1 0
M-1
-2
最 终 表
cj cB 3 -1 -1 xB x1 x2 x3 检验数 b 4 1 9
3 x1 1 0 0 0
-1 x2
-1 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 2/3 -1/3
I
0 1 0 0
-1/3 1/3-M 2/3- M
所以， X*=（4 , 1 , 9），Z = 2
初 始 表
《运筹学》对偶理论
s.t
6
x1 2x2 x1 x2
x4 x5
2 5
4
xj 0
s.t
5
6 y2 y3 y1 2 y2
y
y4 3
2 y5
1
yi 0
分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如
下表:
对偶性质
原问 题最 优表
XB
b
x3
15/2
x1
7/2
x2
3/2
j
原问题的变量
x1
x2
0
max z c1x1 c2 x2
s.t.
11x1 12x2 21x1 22x2
b1 b2
x1
0,
x
无约束
2
min w b1 y1 b2 y2
s.t.1121yy11
21y2 22 y2
c1 c2
y1, y2 0
min w b1 y1 b2 y2
s.t.1121yy11
4
y1 , y2 , y3 0
线性规划的对偶模型
(2) 非对称型对偶问题 若给出的线性规划不是对称形式, 可以先化成对称形式
再写对偶问题。也可直接写出非对称形式的对偶问题。
线性规划的对偶模型
原问题（或对偶问题）
约束条件右端项
目标函数变量的系数
目标函数 max
约
m个
束
≤
条
件
≥
=
n个
变
≥0
量
≤0
s.t.2111xx11
12 22
x2 x2
b1 b2
x1 0, x2 0
min w b1 y1 b2 y2
运筹学-对偶问题
对偶问题的应用场景
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以达到 最优目标。
运输问题
如何制定运输计划，使得运输成本最低且满足运 输需求。
生产计划问题
如何制定生产计划，使得生产成本最低且满足市 场需求。
投资组合优化问题
如何选择投资组合，使得投资收益最大且风险最 小。
02
对偶问题在运筹学中的重要性
对偶问题的理论完善与深化
对偶理论的数学基础
进一步深入研究对偶理论的数学基础，包括对偶映射、对偶函 数、对偶不等式等，为解决对偶问题提供更坚实的理论基础。
对偶问题的转化与求解
研究如何将复杂的对偶问题转化为更容易求解的形式，或 者设计有效的求解方法，以提高对偶问题的求解效率。
对偶理论与实际应用的结合
在对偶理论不断完善的基础上，进一步探索如何将其应用于实际问题 中，以解决实际问题的优化问题，提高决策的科学性和效率。
在整数规划中，对偶问题通常 是指将原问题的约束条件或目 标函数进行一些变换，使得原 问题与对偶问题在结构上存在 一定的对称性。
对偶问题的性质
02
01
03
对偶问题的最优解与原问题的最优解具有密切关系。
在线性规划中，如果原问题是最大化问题，则对偶问 题是最小化问题，反之亦然。
在整数规划中，对偶问题的约束条件和目标函数通常 与原问题存在一定的对称性。
02 求解步骤
03 1. 定义原问题和对偶问题。
04
2. 利用状态转移方程和最优子结构性质，求解对偶问 题。
05 3. 利用对偶问题的解，求解原问题。
博弈论中的对偶策略
1. 定义博弈中的策略空间和支付 函数。
求解步骤
2. 构造对偶问题。
运筹学对偶原理
y1
yi ym ym+1
ym+j
yn+m
对偶问题的变量
对偶问题的松弛变量
xjym+j=0
yixn+i=0
(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0
[例4] 求解下列LP问题，并给出对偶问题的最优解 Max Z= x1 + 2 x2 2 x1 + 2 x2 ≤ 8 0 x 1 + 2 x2 ≤ 4 x1 ,
产品甲生产能力工时天36利润百元件目标函数maxz3xst2x123x分别为出售abc工时所得利润百元工时w为总盈利额百元线性规划问题在形式上可以形成一对对称问题对任何线性规划求最大值问题都有一个与之对称的求最小值问题这两个有关的约束条件的系数矩阵具有相同的数据仅形式互为转置并且目标函数与约束右端项互换其目标函数的最优值也是彼此相等的我们把线性规划的这个对称问题称为对偶问题
消耗的资源（吨）
b1 b2 x nm b m x nm 0
x2
xn x n 1
a m1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n x1 x n2
单位产品消耗的资源（吨/件）
剩余的资源（吨）
资源限量（吨）
3.3 对偶的经济解释
b1 W=yb=(y1 … ym ) = b1 y1 + b2 y2 + … + bm ym …
目标函数 Max z =3x1+5x2
约束条件
x1 +
x3
2x2 +x4
+x5
，
=8
s.t.
=12
= 36
运筹学定理
性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 X0 和 Y0 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。
推论2: 在一对对偶问题（P ）和（D ）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。
这也是对偶问题的无界性。
推论3： 在一对对偶问题（P ）和（D ）中，若一个可行（如P ），而另一个不可行（如D ），则该可行的问题目标函数值无界。
性质3 最优性定理：如果 X0 是原问题的可行解，Y0 是其对偶问题的可行解，并且:则 X0 是原问题的最优解，Y0 是其对偶问题的最优解。
性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若（LP ）与（DP ）都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。
性质5 互补松弛性：设X0和Y0分别是P 问题 和 D 问题 的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：其中：Xs 、Ys 为松弛变量性质5的应用：该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解的方法，即已知Y ＊求X ＊或已知X ＊求Y ＊ 由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，因而有下列关系： 若Y ＊≠0，则Xs 必为0；若X ＊≠0，则Ys 必为0利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，方程组的解即为最优解。
判断下列结论是否正确，如果不正确，应该怎样改正？1）任何线性规划都存在一个对应的对偶线性规划.2）原问题第i 个约束是“≤”约束，则对偶变量yi ≥0.3）互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解.4）对偶问题有可行解，则原问题也有可行解.5）原问题有多重解，对偶问题也有多重解.6）对偶问题有可行解，原问题无可行解，则对偶问题具有无界解.7）原问题无最优解，则对偶问题无可行解.8）对偶问题不可行，原问题可能无界解.9）原问题与对偶问题都可行，则都有最优解.10）原问题具有无界解，则对偶问题不可行.∑∑==≤≤n j m i ii j j b y x c b Y CX 1100即：wz :00＝即BY CX =⎪⎩⎪⎨⎧==000s s 0X Y X Y ⎪⎩⎪⎨⎧==**00ss X Y XY 互补松弛条件11）对偶问题具有无界解，则原问题无最优解.12）若X*、Y*是原问题与对偶问题的最优解，则X*=Y*.。
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解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
y1 3 y1
2 y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
（3）复杂模型的对偶：可分步骤求对偶；或 依据表2.2求对偶
max Z 2x1 3x2 5x3 x4
( y3 , y4 , y5 )(x1 , x2 , x3 )T 0
( y1 , y2 )(x4 , x5 )T 0 将Y*带入由方程可知，y3＝y5＝0，y4＝1。
∵y2=-2≠0 ∴x5＝0
又∵y4=1≠0 ∴x2＝0
将x2，x5分别带入原问题约束方程中，得：
x1 x1
x3 x3
4 6
解方程组得：x1=-5,x3=-1, 所以原问题的最优解为
推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若原问题可行但目标函 数无界，则对偶问题无可行解；反之不成立。这也是对偶问题的 无界性。
对偶性质
性质3 最优性定理：如果 X 0是原问题的可行 解，Y 0是其对偶问题的可行解，则
CX 0 Y 0b
充分不要条件是，X 0 与 Y 0是原问题和对偶
的最优解。
数列于下表 ：
设备 产品
产品数据表
ABC
产品利润
D
（元／件）
甲
2140 2
乙
2204 3
设备可利用机 时数（时）
12
8
16 12
线性规划的对偶模型
•解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数 学模型为： max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
x2 16
8
4 x2 12
对偶理论
( Duality Theory )
本章主要内容： 线性规划的对偶模型 对偶性质 对偶问题的经济解释－影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析
线性规划的对偶模型
1. 对偶问题的现实来源
• 设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设
备按A，B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机
时数、每件产品的利润值及每种设备的可利用机时
3 4
y1, y2 , y3 0
• 例 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5
3 x1 2 x2
7 x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
y1, y2 , y3 , y4 0
对偶问题
（原问题）
• (1)对称形式
目标函数求极大值时，所有约束条件为≤ 号，变量非负;
目标函数求极小值时，所有约束条件为≥
号，变量非负.
LP : maxZ CX DP : min W Y T b
AXX0b已知P，写出D
A T Y CT
Y0
(2) 一般非对称型对偶问题
y2 1
4
y1 , y2 0
标准化
min w 10 y1 16 y2
y1 2 y2 y3 3
2 y1 2 y1 y2
y2 y5
y4 1
4
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0
• 设对偶问题最优解为Y*＝(y1，y2),由互补松 弛性定理可知，X*和 Y*满足：
•（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利 润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。 由此原则，便构成了新规划的不等式约 束条件。
•（2）竞争性原则。即在上述不吃亏原 则下，尽量降低机时总收费，以便争取 更多用户。
• 设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、 y2、y3、y4，则新的线性规划数学模型为：
min 12 y1 8y2 16 y3 12 y4
x1 , x2 0
反过来问：若另有企业看好该厂的发展前景，
决定收购该厂，那么４种机器的机时如何定
价才是最佳决策？
线性规划原问题模型
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
x2 16
8
4 x2 12
x1 , x2 0
线性规划的对偶模型
•在市场竞争的时代，厂长的最佳决策 应符合两条：
• 1. 影子价格的数学分析：
maxZ CX
minW Yb
AX b
P
X
0
YA C D Y 0
由对偶问题得基本性质可得：
n
m
z c j x j bi yi
j1
i1
对偶问题的经济解释－影子价格
•2. 影子价格的经济意义
•1）影子价格是一种边际价格
• 在其它条件不变的情况下，单位资源数量 的变化所引起的目标函数最优值的变化。即
Y＊=(1,1)，最优值w=26。
• 例2.5 已知线性规划
min z 2x1 x2 2x3
x1 x1
x2 x2
x3＝4 x3 6
x1
0,
x2
0,
x
无
3
约束
的对偶问题的最优解为Y＊=(0,-2)，求原问题的最优解。
解: 对偶问题是
max w 4 y1 6 y2
y1 y2 2
若给出的线性规划不是对称形式，可 以先化成对称形式再写对偶问题。
• 例 写出线性规划问题的对偶问题
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1 x1
x2 7x3 4x2 6x3
3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原问题变形为对称形式
Y≥0
对偶性质
性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 X 0 和 Y 0 分别是问题(LP)和(DP)的可行解，则必有
CX 0 Y 0b
n
m
即： c j x j yibi
j1
i 1
推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值 的下界；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目 标函数值的上界。
结论：若yi* > mi 则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi 若yi* < mi则转让资源i ，可获单位纯利mi－yi
• 3）影子价格在资源利用中的应用
• 根据对偶理论的互补松弛性定理:
• Y*Xs=0 , YsX*=0 • 表明生产过程中如果某种资源bi未得到充
maxZ 2x1 3x2 4x3
2x 3x2 5x3 2
3
x1
x2
7x3
3
x1 4x2 6x3
5
x1 , x2 , x3 0
目标函数变为求极小值，得到对偶模型
minW 2 y1 3y2 5y3
2 y1 3y2 y3 2
5y31y1
7
y2 y2
4y3 6y3
X＊=(-5,0,-1)，最优值z=-12
• 原问题与对偶问题解的对应关系小结
对应关系
对偶 问题
最优 解
无界 解
无可 行解
原问题 最优 无界
解解
(Y,Y) ——
(N,N)
无可 行解
——
—— —— (Y,Y)
——
(Y,Y)
无法 判断
对偶问题的经济解释－影子价格
定义：在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常 数bi （第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标 函数最优值z* 的改变量称为第 i 种资源的影子价格，其值等 于D问题中对偶变量yi*。
• 性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解，则两者 都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。
性质5 互补松弛性：设X0和Y0分别是P问题 和 D问题 的可行 解，则它们分别是最优解的充要条件是：
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2
s.t2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
y1
,
y2 ,
y3 ,
y4
0
对偶问题模型
min 12y1 8y2 16y3 12y4
22yy11
y2 4y3 0y4 2y2 0y3 4y4
2 3
y1, y2 , y3 , y4 0
2 y1 7 y2
y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
约束条件右端项
目标函数变量的系数
目标函数变量的系数
约束条件右端项
目标函数 max
目标函数 min
约
m个
束
≤
条 件
≥
=
m个
≥0
变
≤0
量
无约束
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
n个
约
≥
束
≤
条 件
=
对偶性质
例 分别求解下列互为对偶关系的线性规划问题
• 例2.4 已知线性规划
max z 3x1 4 x2 x3
2xx1 122xx2
x3 2x
10 3 16
x
j
0,
j
1,2,3
的最优解是X＊=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y＊。
解：写出原问题的对偶问题，即
min w 10 y1 16 y2
y1 2 y2 3