基本不等式(第一课时)

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2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)

利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 ab
B.ba＋ab≥2
C.a2＋abb2≥2 ab
D.a2＋abb≥ ab
(2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋bc
＋ca 的大小关系是________．
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立即a＝1时，“＝”成立．] 的条件是( ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，
下列各式中最大的是( )
b2＜b，
A．a2＋b2
一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<ab<1
C.
a＋b ab< 2
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知 ab<a＋2 b一定成立．]
3．不等式x－9 2＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C [由基本不等式知等号成立的条件为x－9 2＝x－2，即x＝5(x＝－ 1舍去)．]
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
B．2 ab
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
B [∵a>0，b>0，∴a＋
＋b的最小值为( )
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取

2.2.1 基本不等式课件(28张)

【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1

“基本不等式”(第一课时)教案

基本不等式教学设计（第一课时）阮晓锋一、教学目标1.知识与技能目标：学会推证基本不等式，了解基本不等式的应用。

2.过程与方法目标：通过代数、几何背景探究抽象出基本不等式；3．情感与价值目标：通过学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索其证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．设置情景，引入新课如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明。

探究一：在这张“弦图”中借助面积能找出一些相等关系和不等关系吗？问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？结论：一般地，对于正实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+当且仅当a=b 时等号成立.2．代数证明，推出结论问题2：你能给出它的代数证明吗？（请同学们用代数方法给出这个不等式的证明．）证明（作差法）：∵，当时取等号．（在该过程中，可发现a,b 取值可以是全体实数）问题3：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？重要不等式：对任意实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时等号成立）特别地，若a>0且b>0可得ab b a ≥+，即ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立）基本不等式:若a>0且b>0，则ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立）深化认识：(1)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)若称2b a +为a 、b 的算术平均数,称ab 为它们的几何平均数，则基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．动手操作、几何证明，相见益彰探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a >），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？（通过学生动手操作，探索发现）探究三：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．根据射影定理可得：ab BC AC CD =⨯=由于RtCOD 中斜边OD 大于直角边CD ，于是有ab b a ≥+2当且仅当点C 与圆心O 重合时，即a=b 时等号成立. （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固新知例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲析，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）方法：一般地，对于R y x +∈,我们有：（1）若xy=p （p 为定值），则当且仅当a=b 时，x+y 有最小值xy 2；（2）若x+y=s （s 为定值），则当且仅当a=b 时，xy 有最大值2s 41．上述应用基本不等式求最值的方法可简记为：在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。

课时3153_2.2 基本不等式(第一课时)-2.1等式性质与不等式性质(第一课时)教学设计

2.2.1等式性质与不等式性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1. 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系；2. 灵活掌握作差法比较两实数的大小, 提高数学运算能力；3. 通过具体情景, 构建不等式，初步了解数学建模的思想.二、教学重难点1. 将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2. 在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小.三、教学过程1.用不等式（组）表示不等关系1.1创设情境，引发思考【实际情境】中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v)不小于第一宇宙速度(记作v2),且小于第二宇宙速度(记作v1).问题1：你能用不等式和不等式组表示下面的不等关系吗？（1）某路段限速40km/h;（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％,蛋白质的含量p应不少于2.3％；（3）三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.【预设的答案】0 ＜v ≤40;{f≥ 2.5p≥ 2.3%;设△ABC的三条边为a，b，c，则a + b ＞c ，a – b＜c ;设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD＜CE.【设计意图】不等式和不等式组不是凭空产生的，用这些生活实例所蕴含的不等关系抽象出不等式，让学生感受“不等式和不等式组”来简化表达.问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调査，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?【活动预设】（1）第一步：审题找出题中数量关系；（2）第二步：根据数量关系构建不等式或者不等式（组）.【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数x的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.问题3：如何比较两个实数的大小关系？你能比较(x+2)(x+3)与(x+1)(x+4)的大小关系吗？【活动预设】（1）化简题设中的代数式，观察结构，利用作差法比大小；（2）总结：实数大小的基本事实.教师讲授：如果a-b是正数，那么a＞b; 如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是负数，那么a＜b.反过来也对.比较大小常用方法: 作差比较法由于(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=2>0，所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).【设计意图】在探究实数大小的基本事实的基础上，总结比较大小的常用方法“作差比大小”.1.2探究典例，理性分析典例1：用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值?【活动预设】感受在列不等式的过程中，变量的范围的重要性及不可缺少性.【设计意图】为加强不等式或不等式(组)中变量范围的限制.典例2：已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[变条件]将本例中“x＞1”改为“x∈R”，比较x3－1与2x2－2x的大小？【活动预设】感受利用作差法比大小的过程中，变量的范围的重要性.【设计意图】为给学生贯彻分类讨论的数学思想.教师讲授：比较两个实数(代数式)大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.1.3具体感知，加强练习活动：观察2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标.注:实际上这个图称为“弦图”,三国时期吴国的数学家赵爽,用来证明勾股定理.【活动要求】第一组每一排学生讨论在这个图案中含有怎样的几何图形；第二组相应排学生找出图案中的相等关系；第三组相应排学生找出图案中的不等关系.【活动预设】得出当a>0,b>0时，a2+b2≥2ab，引导学生思考“当a,b为任意实数时，上式仍成立”的合理性.【设计意图】在实践活动中进行认识, 在得出不等关系后，遵循从特殊到一般的思路，从外延的角度加深概念的理解，为基本不等式作铺.2.初步应用，理解概念例1 比较大小：(x−1)(x−2)与(x−2)的大小关系；【预设的答案】(x−1)(x−2)≥(x−2)【设计意图】进行简单的比较大小运算，熟悉作差法.例2 已知a>0,b>0,试比较√b +√a与√a+√b的大小；【预设的答案】√b +√a≥√a+√b【设计意图】（1）利用作差法概念以及变形方法,加深对作差法比大小的理解；（2）从这个例题中归纳概括出变形的方法：有理化.例3 已知a=√7−√6,b=√6−√5,则下列关系正确的是（）A. a>bB. a≤bC. a≥bD. a<b 【预设的答案】D【设计意图】在解题中加深对作差法中对差进行变形的灵活运用.例4 已知a>b , 证明：a>a+b2>b【预设的答案】∵a−a+b2=a−b2,a−b>0∴a−a−b2>0 即a>a+b2∵a+b2−b=a−b2,a−b>0∴a−b2−b>0 即a+b2>b综上，a>a+b2>b【设计意图】让学生掌握证明不等式的方法及书写格式3.归纳小结实际问题⇒不等关系⇒不等式⇒不等式性质数学抽象两个实数大小关系的基本事实(作差法)思考：对于Nalog，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？【设计意图】（1）梳理本节课对于对数的认知；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 .四、课外作业高中教科书数学必修第一册第39页至第40页课后练习。

2.2基本不等式(第一课时)课件(人教版)

必须要满足条件：(1)
；
(2)
；
(3)
.
练一练
4.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
2.2.1 基本不等式
思维篇
知识篇
素养篇
问
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
分
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２
二次式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
a×a+b×b
≥
a×b+b×a
自乘的和
不小于
互乘的和
①
如果把两个数相乘看成一
次合作“圈地”(如图)，那
b
a
b
a
么公式 ①折射诞生活的哲理：
自立自强比互相合作更
重要！
1 重要不等式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
①
特别地：
；
1 2
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S ．
4
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2 ．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
+
数
学
建
模
1.已知x，y都是正数，求证：
析
方
法
总
结
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当

3.4基本不等式(第一课时)

当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
Rt△ACD∽Rt△DCB，所以 BC DC DC AC
所以DC2 BC AC ab
D a OC b B
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S>S′即
问：那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab (a≠b)
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2 b2B> 2ab (a≠b)
B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
1 8
.
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．

高中一年级数学《基本不等式》课件

b，我们有 a2 b2 2ab 当且仅当 a=b 时，等号成立.
你能给出它的证明吗？
基本不等式1：如果 a ，b R，那么 a2 b2 2ab （当且仅当a b 时取“”号）.
证明： a2 b2 2ab （a b）2 当 a b 时，(a b)2 0 （比较法）当 a b 时，(a b)2 0
由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，即得到一个不等关系：
___a_2___b_2 __2_a_b___
当直角三角形变成等腰直角三角形时，即 a b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有_____a_2__b_2___2_a_b____.
基本不等式1：一般地，对于任意实数a、
又 AB⊥DE，∴ △ACD∽△BCD，
从而得到： CD2 AC CB ，
CD ab 半径 a b .
2
当且仅当点C 与圆心重合，即 a b 时，等号成立 .
基本不等式2：如果 a ，b R ，那么 a b ab （当且仅当a b 时取“2”号）.
探究:你能对基本不等式2给出几何解释吗？
由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，即得到一个不等关系： ____a_2 __b_2___2_a_b_____.
②设直角三角形的两条直角边长为a,b，那么正方形的边长为____a_2__b_2____. 这样,4个直角三角形的面积的和是 ____2_a_b_____,正方形的面积为__a_2___b_2 __.
当且仅当 a=b 时，等号成立.
基本不等式2：如果 a ，b R ，那么 a b ab （当且仅当a b 时取“2”号）.
证明： a ，b R，由基本不等式1得：
( a )2 ( b )2 2 a b ，（综合法）

第1课时基本不等式

课前预习案重要不等式
∀a，b∈R，有 a2＋b2≥___2_a_b____，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 1．不等式中 a，b 的取值是任意的，a 和 b 代表的是实数，它们既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此其应用范围比较广泛．今后有不少不等式的证明就是根据条件进行转化，使之可以利用该公式来证明． 2．不等式 a2＋b2≥2ab 常变形为 ab≤a2＋2 b2或 a2＋b2＋2ab≥4ab 或 2(a2＋b2)≥(a ＋b)2 等形式，要注意灵活掌握．
∵a＋b≥2 ab(当且仅当 a＝b 时等号成立)，∴2a＋abb≥1，
即 ab ≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
综上得1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
探究三利用基本不等式证明不等式
[知能解读] 1．两个不等式(重要不等式、基本不等式)都具有放缩的功能，因此利用不等式可以将数式放大或缩小，即可用来判断大小关系．
bc ac ab (1)已知 a＞0，b＞0，c＞0，求证： a ＋ b ＋ c ≥a＋b＋c． (2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9．
解题流程：(以(2)为例) 第一步泛读题目明待求结论：结合条件 a＋b＝1 将不等式左边进行适当变形．第二步精读题目挖已知条件：a＞0，b＞0，所以ba＞0，ab＞0．第三步建立联系寻解题思路：利用基本不等式进行证明．第四步书写过程养规范习惯．
A．a2＋b2≥2|ab|
B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab|
D．a2＋b2＞2|ab|
(B ) (A )
4．有下列不等式：①a＋1a≥2；②(－a)＋－1a≤－2；③a2＋a12≥2；④(－a)2＋－1a 2≤－2.其中正确的是__________.(填序号)

高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)

基本不等式：
ab

a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
二、自主探究推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
还有没有其它的证明方法证明均值不等式呢?
二、自主探究推导公式探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的面积最大，最大值是81m2。

2.2 基本不等式(第一课时)课件(共16张PPT).ppt

课后练习
1.已知x＞0，求值．
2x
1 x
的最小值及相应的x
2.已知x,y＞0，x+2y=4，求 xy的最大值及相应的x,y值．
3.已知0＜x＜1，求x(1－x)的最大值及相应的x值．
可以得到：
a b 2 a（b a 0,b 0）
通常把上式写作：
ab a b（a 0,b 0）(当且仅当a=b时，等号成立) 2
↑ 几何平均值
↑ 算术平均值
通常称上述不等式为基本不等式．其中，a b 叫做正数a，b的 2
算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何平均数．
代数解释：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
积定和最小，和定积最大
课堂练习
已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
(1) x y 2 yx
2 2xy xy
x y
证明：1因为x, y 0,所以 x ，y 0，
yx
所以 x y 2 x y 2 y x yx
当且仅当 x y ，即x y时，等号成立. yx
又x y，
所以 x y 2. yx
注意 ⇔ ⇒ ⇔
4
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc c的符号
5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
6
同向同正可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2)
8
可开方性 a>b>0⇒ n a n b (n∈N*，n≥2)
只要把上述过程倒过来，就是我们熟悉的方法了。

基本不等式课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

ab

2
几何
平均
算术
平均
a b
2
2
平方
平均
当且仅当a b时等号成立
2
2

ab
ab

2
a b
2
2
2
1 1

a b
a, b 0, 当且仅当a b时等号成立
ab 2 a b
(
) ab (
)
1 1
2
2

a b
a, b R, 当且仅当a b时等号成立
2
2
2
2
∀, ∈ ,
∀, ∈ ,
2

+
2

≥ 2 ，变形式
当且仅当 =
时，等号成立
≤
2 +2
，
2
当且仅当 = 时，
等号成立
定理1.重要不等式：
（5）证明
思考：你能给出不等式
a 2 b 2≥2ab
的证明吗？
证明：（作差法） a 2 b 2 2ab ( a b ) 2
x
三相等
12
变式1 若 x 0,求 y 3 x
的最小值
x
解： x 0, 3x 0,
12
y 3x 12
x
12
当且仅当3x ，即x 2时，ymin 12
x
1
变式2 若 x 0 ,求 y x
的最大值.
x
解： x 0, x 0,
4
x y
证明是：x, y都是正数，所以
xy
2
x y
(1)若xy等于定值P,

基本不等式(第1课时)(课件)(人教A版2019必修一)高一数学同步备课

) 1，
2
当且仅当1 x 1 x，即x 0时，上式等号成立，
∴当x 0时，
1 x 2取得最大值1.
5. 已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条
直角边的和最小? 最小值是多少?
解：
设两直角边长分别为a , b，则有ab 100.
由基本不等式，可得a b 2 ab 20，
等式的几何解释吗？
D
∵AB是圆的直径，∴AD⊥BD，又CD⊥AB，
BC，即CD= ，
∴△ACD∽△DCB，∴CD2=AC·
a b
.
又∵|DE|≤|AB|， ab
2
A
a
C b
E
显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.
B
1.利用基本不等式
求最值
典例1

已知 > ，求 + 的最小值.
1
1
2

2
x

2，
2
2
x
x
1
，即x 1时，上式等号成立，
2
x
1
∴当x 1时，x 2 + 2 取得最小值 2.
x
当且仅当x 2
4.已知 1 x 1，求1 x 2的最大值.
解：
由基本不等式，可得
1 x 2 (1 x )(1 x ) (
1 x 1 x 2
基本不等式：
若a , b R , 则
ab
ab (当且仅当a b时, 等号成立)
2
a b
叫做正数a,b的算术平方数，ab叫做正数a,b的几何平方数.

人教版高中数学必修1《基本不等式》第1课时PPT课件

当然，我们可以用作差比较法证明基本不等式 .
∀ a > 0,b > 0， ab ≤
高中数学
一、温故知新-新知形成
分析法
分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证
明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，
把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条
件、定理、定义、公理）为止.
高中数学
四、画龙点睛－关键之处
例2 已知x,y都是正数，求证：
（１）如果积等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 2 P ；
x+ y
证明：因为x,y都是正数，所以 2 ≥
x+ y
≥
所以
2
P ，当且仅当x=y时，上式等号成立．于是，当x=y时，和
x+y有最小值 2 P ；
高中数学
xy ．
四、画龙点睛－关键之处
高中数学
一、温故知新-新知特征
问题2
由
，
即由
⟹
，
根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不
等式反向,这里，根据前面的知识，我们可以知道⑤是④成立的充
分条件；
显然，⑤成立，当且仅当 = 时，⑤中的等号成立.
高中数学
一、温故知新-新知特征
分析法的证明格式
由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的
要证②，只要证
要证③，只要证
要证④，只要证
高中数学
≤
+
，
2 ≤ + .
2 − − ≤0.
2
− − ≤0 .
2
− ≥0 .
2
①
②

1 第1课时　基本不等式(共42张PPT)

解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值，所以 22a＝3，解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值．解：因为 x，y 为正实数，所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本不等式 a＋b≥2 ab求得．不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C，忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．

基本不等式第一课时教学设计

《2.2 基本不等式(第一课时)》教学设计1．理解基本不等式2b a ab +≤ (a ＞0，b ＞0)，会利用不等式性质证明，发展逻辑推理素养； 2．了解基本不等式的几何解释，发展直观想象素养；3．结合具体实例，形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型，发展数学运算核心素养．教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题．教学难点：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值．PPT 课件，及GEOGEBRA 制作的动画课件．一、创设情境★资源名称：【情景演示】基本不等式引入★使用说明：本资源以欧拉智改羊圈的小故事为出发点，引出基本不等式的知识.注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：请同学们阅读课本第44页，说一说今天我们将要学习的内容是什么？在不等式中起着怎样的作用？师生活动：学生自主阅读课本，思考并回答，教师给予简单总结．预设的答案：基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，与乘法公式在代数运算的地位一样，在解决不等式问题中有重要的作用，它之所以被称为“基本不等式”，主要是因为它可以作为不等式论的基本定理，成为支撑其他许多非常重要结果的基石。

◆ 课前准备◆ 教学过程◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标师生活动：学生思考后回答．教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然×××成立”．设计意图：利用不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，提高学生逻辑推理的数学素养．3．基本不等式的几何解释问题4：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ，BC =b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？师生活动：如图1，连接OD ，教师引导学生先寻找图中的不等关系，利用动画，观察从弦DE 长和圆的直径AB 这两个几何元素在变化中的不等关系，及半弦CD ≤OD ，并将此不等关系用符号表示．学生独立思考，并说出思路：半径OD 为2b a +，利用射影定理可得弦DE 长的一半CD 为ab ，由OD CD ≤ ，得到2b a ab +≤．教师评价并总结，基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释．当且仅当弦DE 过圆心时，二者相等．设计意图：让学生观察图形，先将图形中的不等关系找出来，再用代数语言表示，从而获得基本不等式的几何解释，提高学生数学直观的核心素养．★资源名称：【数学探究】基本不等式a+b ≥2根号（ab ）★使用说明：本资源通过交互式动画展示了基本不等式的几何意义，运用本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为“动画”截图，如需使用资源，请于资源库调用．图1b a B A C DE O。

第二章 2.2 第一课时基本不等式

ab＝4，a＋2 b＝5，所以 a<
a＋b ab< 2 <b.
答案 B
规律方法利用基本不等式比较实数大小的注意事项 1.利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). 2.利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
x2＋2 【训练1】比较大小： x2＋1 ________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).
解析由于 a2＋1－a＝a－122＋34>0，故①恒成立；
由于a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ba＋ab≥2
ab·a1b＋2
ba·ab＝4.当且仅当abab＝＝aba，1b，即
a＝b＝1 时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 成立，故③恒成立；
1 A.2
B.a2＋b2
C.2ab
D.a
解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·a＋2 b2＝12.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵0<a<b 且 a＋b＝1，∴a<12.∴a2＋b2 最大.
答案 B
3.若 x>0，则 x＋1x________2(填“＝”，“≥”，“≤”，“>”，“<”).
证明 ∵a，b 均为正实数，∴a12＋b12≥a2b，∵a2b＋ab≥2 2，∴a12＋b12＋ab≥2 2(当且仅当 a＝b 时取等号).
1.通过学习基本不等式培养数学抽象素养，通过运用基本不等式进行证明提升数学运算及逻辑推理素养.
2.两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当 a＝b 时，a＋2 b＝ ab；另一方面：当a＋2 b＝ ab时，也有 a＝b.