(完整版)余弦定理练习题及答案

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余弦定理练习含答案

课时功课2 余弦定理【2 】时光：45分钟满分：100分教室练习1．在△ABC 中,已知a ＝5,b ＝4,∠C ＝120°.则c 为( ) A.41B.61 C.41或61D.21 【答案】B【解析】c ＝a2＋b2－2abcosC ＝52＋42－2×5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝61. 2．△ABC 的内角A.B.C 的对边分离为a,b,c,若a,b,c 知足b2＝ac,且c ＝2a,则cosB ＝( ) A.14B.34 C.24D.23【答案】B【解析】由b2＝ac,又c ＝2a,由余弦定理 cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋4a2－a ×2a 2a ·2a ＝34. 3．在△ABC 中,三个角A.B.C 的对边边长分离为a ＝3.b ＝4.c ＝6,则bccosA ＋cacosB ＋abcosC ＝________. 【答案】612【解析】bccosA ＋cacosB ＋abcosC ＝bc ·b2＋c2－a22bc ＋ca ·c2＋a2－b22ac ＋ab ·a2＋b2－c22ab＝12(b2＋c2－a2)＋12(c2＋a2－b2)＋12(a2＋b2－c2)＝12(a2＋b2＋c2)＝612. 4．在△ABC 中：(1)a ＝1,b ＝1,∠C ＝120°,求c;(2)a ＝3,b ＝4,c ＝37,求最大角; (3)a:b:c ＝1:3:2,求∠ A.∠ B.∠C. 【剖析】 (1)直接运用余弦定理即可; (2)在三角形中,大边对大角; (3)可设三边为x,3x,2x.【解析】(1)由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝12＋12－2×1×1×(－12)＝3,∴c ＝ 3. (2)显然∠C 最大,∴cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12.∴∠C ＝120°. (3)因为a:b:c ＝1:3:2,可设a ＝x,b ＝3x,c ＝2x(x>0)．由余弦定理,得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝3x2＋4x2－x22·3x ·2x ＝32, ∴∠A ＝30°.同理cosB ＝12,cosC ＝0.∴∠B ＝60°,∠C ＝90°. 【纪律办法】1．本题为余弦定理的最根本运用,应在此基本上闇练地控制余弦定理的构造特点． 2．对于第(3)小题,依据已知前提,设出三边长,由余弦定理求出∠A,进而求出其余两角,别的也可斟酌用正弦定理求∠B,但要留意评论辩论解的情形．课后功课一.选择题(每小题5分,共40分) 1．△ABC 中,下列结论：①a2>b2＋c2,则△ABC 为钝角三角形; ②a2＝b2＋c2＋bc,则∠A 为60°; ③a2＋b2>c2,则△ABC 为锐角三角形; ④若∠A:∠B:∠C ＝1:2:3,则a:b:c ＝1:2:3, 个中准确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】①cosA ＝b2＋c2－a22bc <0, ∴∠A 为钝角,准确; ②cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝－12, ∴∠A ＝120°,错误; ③cosC ＝a2＋b2－c22ab>0, ∴∠C 为锐角,但∠A 或∠B 不必定为锐角,错误; ④∠A ＝30°,∠B ＝60°,∠C ＝90°, a:b:c ＝1:3:2,错误．故选A.2．△ABC 的三内角A.B.C 所对边长分离为a.b.c,设向量p ＝(a ＋c,b),q ＝(b －a,c －a)．若p ∥q,则∠C 的大小为( ) A.π6B.π3 C.π2D.23π 【答案】B【解析】∵p ＝(a ＋c,b),q ＝(b －a,c －a)且p ∥q, ∴(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0即a2＋b2－c2＝ab,∴cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝ab 2ab ＝12. ∴∠C ＝π3. 3．△ABC 中,角A,B,C 的对边分离为a,b,c,∠A ＝π3,a ＝7,b ＝1,则c 等于( ) A ．22B ．3 C.3＋1 D ．23 【答案】B【解析】由余弦定理得,a2＝b2＋c2－2bccosA,所以(7)2＝1＋c2－2×1×c ×cos π3, 即c2－c －6＝0,解得c ＝3或c ＝－2(舍)．故选B.4．在不等边三角形ABC 中,a 为最大边,且a2<b2＋c2,则∠A 的取值规模是( ) A ．(π2,π) B ．(π4,π2) C ．(π3,π2) D ．(0,π2) 【答案】C【解析】因为a 为最大边,所以∠A 为最大角,即∠A>∠B,∠A>∠C,故2∠A>∠B ＋∠ C.又因为∠B ＋∠C ＝π－∠A,所以2∠A>π－∠A,即∠A>π3.因为a2<b2＋c2,所以cosA ＝b2＋c2－a22bc >0,所以0<∠A<π2.综上,π3<∠A<π2. 5．在△ABC 中,已知a ＝4,b ＝6,∠C ＝120°,则sinA 的值为( ) A.5719B.217 C.338D ．－5719【答案】A【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab ·cosC ＝42＋62－2×4×6(－12)＝76, ∴c ＝76.由正弦定理得a sinA ＝c sinC ,即4sinA ＝76sin120°, ∴sinA ＝4sin120°76＝5719. 6．△ABC 中,a.b.c 分离为∠ A.∠B.∠C 的对边,且2b ＝a ＋c,∠B ＝30°,△ABC 的面积为32,那么b 等于( ) A.1＋32B ．1＋3 C.2＋32D ．2＋3 【答案】B【解析】∵2b ＝a ＋c,又因为∠B ＝30°, ∴S △ABC ＝12acsinB ＝12acsin30°＝32,解得ac ＝6, 由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝(a ＋c)2－2ac －2ac ·cos30°＝4b2－12－63, 即b2＝4＋23,由b>0解得b ＝1＋ 3.7．在△ABC 中,若acosA ＋bcosB ＝ccosC,则这个三角形必定是() A ．锐角三角形或钝角三角形 B ．以a 或b 为斜边的直角三角形 C ．以c 为斜边的直角三角形 D ．等边三角形【答案】B【解析】由余弦定理acosA ＋bcosB ＝ccosC 可变为a ·b2＋c2－a22bc ＋b ·a2＋c2－b22ac＝c ·a2＋b2－c22ab, a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2) a2b2＋a2c2－a4＋b2a2＋b2c2－b4＝c2a2＋c2b2－c4 2a2b2－a4－b4＋c4＝0, (c2－a2＋b2)(c2＋a2－b2)＝0, ∴c2＋b2＝a2或a2＋c2＝b2, ∴以a 或b 为斜边的直角三角形．8．若△ABC 的周长等于20,面积是103,∠A ＝60°,则BC 边的长是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】C【解析】依题意及面积公式S ＝12bcsinA, 得103＝12bc ×sin60°,即bc ＝40.又周长为20,故a ＋b ＋c ＝20,b ＋c ＝20－a.由余弦定理,得a2＝b2＋c2－2bccosA ＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc ＝(b ＋c)2－3bc,故a2＝(20－a)2－120,解得a ＝7. 二.填空题(每小题10分,共20分)9．在△ABC 中,三边长AB ＝7,BC ＝5,AC ＝6,则AB →·BC →的值为________．【答案】－19【解析】由余弦定理可求得cosB ＝1935,∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B)＝－|AB →|·|BC→|·cosB ＝－19.10．已知等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长为________．【答案】62a【解析】如图,AB ＝AC ＝2a,BC ＝a,BD 为腰AC 的中线,过A 作AE ⊥BC 于E,在△AEC 中,cosC ＝EC AC ＝14,在△BCD 中,由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC ·CD ·cosC,即BD2＝a2＋a2－2×a ×a ×14＝32a2,∴BD ＝62a. 三.解答题(每小题20分,共40分．解答应写出必要的文字解释.证实进程或演算步骤) 11．在△ABC 中,已知b2sin2C ＋c2sin2B ＝2bccosB ·cosC,试断定三角形的外形．【剖析】解决本题,可分离运用正弦定理或余弦定理,把问题转化成角或边的关系求解．【解析】办法一：由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R,R 为△ABC 外接圆的半径,将原式化为8R2sin2Bsin2C ＝8R2sinBsinCcosBcosC. ∵sinBsinC ≠0,sinBsinC ＝cosBcosC,即cos(B ＋C)＝0,∴∠B ＋∠C ＝90°,∠A ＝90°,故△ABC 为直角三角形．办法二：将已知等式变为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC. 由余弦定理可得：b2＋c2－b2·(a2＋b2－c22ab )2－c2(a2＋c2－b22ac)2＝2bc ·a2＋b2－c22ab ·a2＋c2－b22ac. 即b2＋c2＝[a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]24a2也即b2＋c2＝a2,故△ABC 为直角三角形．【纪律办法】在运用正弦定理实行边角转化时,等式双方a,b,c 及角的正弦值的次数必须雷同,不然不能互相转化．12．(2013·全国新课标Ⅰ,理)如图,在△ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝3,BC ＝1,P 为△ABC 内一点,∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12,求PA; (2)若∠APB ＝150°,求tan ∠PBA.【解析】(1)由已知得,∠PBC ＝60°,∴∠PBA ＝30°,在△PBA 中,由余弦定理得PA2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74,∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α,由已知得,PB ＝sin α, 在△PBA 中,由正弦定理得3sin150°＝sin αsin 30°－α,化简得,3cos α＝4sin α,∴tan α＝34,∴tan ∠PBA ＝34.。

余弦定理复习题(含答案)

正、余弦定理复习题(一)选择题1.已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，它们的对角分别是A，B，C，则sinA·sinC等于( B ).A.cos2BB.1－cos2BC.1＋cos2BD.1＋sin2B2.若三角形三边长之比如下：①3︰5︰7；②10︰24︰26；③21︰25︰28，其中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的顺序依次是( B )A.①②③B.③②①C.③①②D.②③①.3.某人向正东方向走了x km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值为( C )A.3B.2 3C.3或23D.3.(二) 填空题4.在△ABC中，bc＝30，S△ABC＝1523，则A＝___600或1200_______.5.在△ABC中，已知角A，B，C成等差数列，且边a＝2，c＝4，则△ABC的面积等于6.在△ABC中，已知a＝5，c＝23，∠B＝1500，则边长b＝7.若三角形三边分别为a，b，a2＋b2＋ab，则三角形的最大角为______1200______. 8.在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则∠C＝_____ .(一)选择题9.在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的( B )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.不充分不必要条件.10.在△ABC中，有acosA2＝bcosB2＝ccosC2，则△ABC的形状是( B )A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形. 提示：由已知及正弦定理可得sinA2＝sinB2＝sinC2，从而可得A＝B＝C.11.0＜a＜3是使a，a＋1，a＋2为钝角三角形的三边的( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件.(二)填空题12.在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2cm，B＝450，满足条件的三角形有两解，则x的取值范围是解法1：由正弦定理，得：x＝22sinA，又因三角形有两解，知A≠900且A＞450. 所以，2＜22sinA＜2 2. 即x的取值范围是(2，22). 解法2：∵有两解，在三角形A’BC中，∠CA’B＞∠A’BC ∴x＞2又由图知，CE＜2，∠ABC＝450，∴x＝BC＜CE/sin450＝2CE＜2 2 x的取值范围是2D13. 在△ABC 中，三个角满足2A ＝B ＋C ，且最大边与最小边分别是方程3x 2－27x ＋32＝0的两个根，则a ＝___7 . 14. 从地平面上共线的三点A 、B 、C 测得某建筑物的仰角分别为300，450，600，且AB＝BC＝60m ，则此建筑物的高为解：如图所示：设DE ＝3x m ，由已知可得： AE ＝3x ，BE ＝3x ，CE ＝x ，设∠CBE ＝α，则在△ABE 中，由余弦定理，得：9x 2＝3x 2＋3600＋1203x cosα ①在△BCE 中，由余弦定理，得： x 2＝3x 2＋3600－1203x cosα ② \①＋②，得： 10x 2＝6x 2＋7200 解之，得：x ＝30 2∴ DE ＝3x ＝30 6(三) 解答题15. 在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsinB ＝－lg 2，且B 为锐角，度判断△ABC 的形状.解：∵ lgsinB ＝－lg 2， ∴ sinB ＝22又∵ B 是锐角，∴ B ＝450 由lg a －lg c ＝－lg 2，得a c ＝22，由正弦定理，得：sinA sinC ＝22，∴ 2sin(1350－C)＝2sinC ，∴ 2[sin1350cosC －cos1350sinC]＝2sinC ， ∴ cosC ＝0 ∴ C ＝900， ∴ △ABC 是等腰直角三角形.16. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝450，求角A ，B 及边C.解：由正弦定理:：sinA ＝a sinB b ＝2sin4502＝32∵ B ＝450＜900且b ＜a∴ A 有两解A ＝600或1200.①当A ＝600时，C ＝1800－(A ＋B)＝750c ＝b sinC sinB ＝2sin750sin450＝6＋22； ②当A ＝1200时，C ＝1800－(A ＋B)＝150 c ＝b sinC sinB ＝2sin150sin450＝6－22.17. 已知关于x 的方程x 2－(b cosA)x ＋a cosB ＝0的两根之和等于两根之积，试判断△ABC形状.解：由题意，得：b cosA ＝a cosB∴ 2RsinBcosA ＝2RsinAcosB∴ sinAcosB －sinBcosA ＝0 ∴sin(A －B)＝0∵ A －B ∈(－π，π)∴ A －B ＝0 ∴ A ＝B ∴ △ABC 为等腰三角形.18. 在△ABC 中，求证：a ＝b cosC ＋c cosB ，b＝a cosC ＋ccosA ，c ＝a cosB ＋b cosA.提示：方法1：运用正弦定理，方法2：运用余弦定理19. 已知△ABC 中，面积S ＝3，a ＝23，b ＝2，求角A ，B 的正弦值..解：∵ S ＝ 3 ∴ 3＝12×23×2sinC ∴ sinC ＝12， ∴ C ＝300或1500 ①若C ＝300，由余弦定理，得：西 ACB北东南 c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC ＝4∴ c ＝2，b ＝c ，得∠B ＝300，∠A ＝1200∴ sinA ＝32，sinB ＝12②若C ＝1500，由余弦定理，得：c ＝27 再由正弦定理，得sinA ＝2114，sinB ＝71420. 为了测量某一电视塔的高度，同学们采用了如图所示的两种测量方法，请依据所给条件，分别求出塔高. 解：(1)如图1，在△ABP 中，∠APB ＝β－α，∴ PB sinα＝ABsin(β－α)∴ PB ＝a sinαsin(β－α)∴ 在直角△POB 中，PO ＝PB ·sinβ＝a sinα sin(β－α)·sinβ＝a sinαsinβsin(β－α)(2)如图2.，设PO ＝x ，∵ △APO ，△BPO 都是直角三角形，∴ AO ＝x cotα，BO ＝x cotβ在△AOB 中，由余弦定理，得AB 2＝AO 2＋BO 2－2·AO ·BO ·cosθ即 b 2 ＝(x cot α)2＋(x cotβ)2－2x costα·x cotβ·cosθ ∴ x ＝bcot 2α＋cot 2β－2cotα·cotβ·cosθ21. 在气象台A 正西方向300km 的P 处有一台风中心，它以40km/h 的速度向东北方向移动，距台风中心250km 以内的地方都要受到影响，试问：从现在起，大约多长时间后，气象台A 所在地会遭受台风影响，将持续多长时间？. 解：设t 小时后台风中心由P 点移至B 点，则PB ＝40t ，又PA ＝300，∠BPA ＝450，在△APB 中，由余弦定理，得AB 2＝3002＋1600t 2－120002t ，由AB 2≤2502，得： 3002＋1600t 2－120002t ≤2502解之，得：152－57 4≤t ≤152＋574 即1.99≤t ≤8.618.61－1.99＝6.62 (小时)，即约6小时37分答：大约经过2小时后，气象台受到台风影响，要持续约6小时37分.22. 甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东600方向的B 处，两船相距a 海里，乙船向正北方向行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船？相遇时乙船已行驶了多少海里？解：如图，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离x 海里. 则AC ＝3x 海里.由正弦定理，得：sin θ＝BCsin1200AC ＝12，∴ θ＝300.从而BC ＝AB ·sin θsin ∠ACB＝AB ·sin300sin300＝a （海里）.答：甲船应取北偏东300-方向前进才能尽快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a 海里.23. 沿着一条小路前进，从A 点到B 点，方位角是150，距离是750m ，从B 点到C 点，方位角是1050，距离是2503m ，从C 点到D 点，方位角是1350，距离是500m ，求A 到D 的方位角和距离.解：如图所示，连结β α B PO图1A aB b A αOβ P 图2 θ ADCBE G FAC，在△ABC中，∵∠EAB＝150，∴∠ABF＝1650，又∵∠FBC＝1050∴∠ABC＝900即AB⊥BC又∵AB＝750，BC＝250 3 ∴AB＝3BC∴∠BAC＝300，∠ACB＝600，AC＝500 3在△ACD中，∵∠FBC＝1050，∴∠BCG＝750又∵∠GCD＝1350，∴∠ACD＝3600－(600＋750＋1350)＝900∴AC⊥CD又∵CD＝500 ∴AC＝3CD∴∠CAD＝300，AD＝1000 (m).∴∠EAD＝150＋300＋300＝750故，A到D的方位角是750，距离是1000m.24.给出下列三个命题：①若tanAtanB＞1，则△ABC是钝角三角形；②若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC为正三角形；③若AB＝a，AC＝b，a·b＝－2，则△ABC是钝角三角形，其中正确命题的个数是( C )A.0B.1C.2D.3提示：①∵tanAtanB＞1＞0，∴tanA与tanB 同号，从而必有tanA＞0，tanB＞0，∴A，B 为锐角又由tanAtanB＞1得tsnA＞tsn(900－B)，得A＞900－B，∴A＋B＞900，∴C为锐角，∴△ABC为锐角三角形；②由于cos(A －B)，cos(B－C)，sin(C－A)∈[－1，1]，∴只有cos(A－B)＝cos(B－C)＝sin(C－A)＝1，∴A－B＝B－C)＝C－A)＝0，∴A＝B＝C ∴△ABC是正三角形；③由于a·b＝－2＜0，即·＜0，∴||·||·cos<，>＜0，∴cos<，>＜0，∴，AC＞900，即∠A＞900，∴△ABC是钝角三角形.25.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且A＜B＜C，B＝600，(1＋cos2A)(1＋2cos2C)＝3－12，试比较a＋2b与2c的大小，并说明你的结论. 解：∵(1＋cos2A)(1＋2cos2C)＝4cos2Acos2C＝3－12，且△ABC是锐角三角形，∴cosAcosC＝3－14∵B＝600，A＋C＝1200∴sinA·sinC＝－cos(A＋C)＋cosAcosC＝－cos1200＋3－14＝3＋14∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝32又∵A＜B＜C，∴C－A＝300又∵A＋C＝1200，A＝450，C＝750由正弦定理，得：a＋2b＝2RsinA＋2·2sinB ＝2Rsin450＋2·2sin600＝(2＋6)R.又∵2c＝4RsinC＝4Rsin750＝(2＋6)R∴a＋2b＝2c。

余弦定理知识点+经典题(有答案)

余弦定理余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-2.利用余弦定理解三角形：（1）已知两边和它们所夹的角：（2）已知三边：余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6 B ．26 C ．36 D ．463．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定 6．已知锐角三角形ABC 中，|AB→|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB→·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－47．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( )A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．28．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．9．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．10．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c 的值为________．11．在△ABC中，a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.12．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________．13．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c24，则角C＝________.14．(2015年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．15．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．16．已知△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为16sin C，求角C的度数．17．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－π4)的值．18．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，确定△ABC的形状．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．36D ．46解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) A. 3 B.2C.5D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30°＝2， ∴c ＝2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120°D ．150°解析：选D.cos∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3bc 2bc＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos Bsin B.显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．bC ．cD ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝2c 22c＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB→|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB→·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )A. 3 B ．2 3C.3或23D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ，∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或23.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝3.答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61.答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝k 2＋k 2－k22×2k ×4k＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4) 13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3. 答案：2 314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935， ∴AB→·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B ) ＝7×5×(－1935)＝－19. 答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________.解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －2－k ＋2＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4， ∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1， ∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，∴a＋b＝23，ab＝2.∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝a2＋b2－2ab(－1 2 )＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB＝10.18．已知△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为16sin C，求角C的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB＋BC＋AC＝2＋1，BC＋AC＝2AB，两式相减，得AB＝1.(2)由△ABC的面积12BC·AC·sin C＝16sin C，得BC·AC＝13，由余弦定理得cos C＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝AC＋BC2－2AC·BC－AB22AC·BC＝12，所以C＝60°.19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A，得AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b. 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b. 又根据余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c，所以a＝b＝c，因此△ABC为等边三角形．。

高一数学余弦定理试题答案及解析

高一数学余弦定理试题答案及解析1.在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD = BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是____________．【答案】.【解析】因为BC边上的高AD=BC=a，所以，则，又，所以，其中有tanA=2，又由基本不等式有所以的取值范围.【考点】三角形的面积公式，辅助角公式，余弦定理，基本不等式，正弦函数的定义域与值域.2.已知ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于是的重心，,.代入得由于不共线，【考点】平面向量共线定理和余弦定理的应用.3.△中，若，则△的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】由，结合余弦定理得，即有，此题也可运用正弦定理化边为角，从角来判定三角形的形状，可能不及运用余弦定理简便【考点】余弦定理和三角形形状的判定.4.在中，已知，则 .【答案】【解析】由得，由余弦定理，所以，即，在中，,那么.【考点】1.余弦定理；2.特殊角的三角函数值.5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量，，．(1)求角C的大小； (2)若，求角A的值．【答案】（1）；（2）【解析】解题思路：（1)利用平面向量的垂直的判定得出三角形的三边的关系式，在利用余弦定理求角；（2）利用三角形的三角关系进行消元，使其变为关于角A的式子，再恒等变形求角的正弦值，结合角的范围求角．规律总结：对于以平面向量为载体考查三角函数问题，要正确利用平面向量知识化为三角函数关系式，再利用三角函数的有关公式进行变形．注意点：利用三角函数值求角时，一定要结合角所在的范围求角．试题解析：(1) 由整理得即又又因为，所以(2) 因为，所以故由即，所以．即．因为故所以【考点】1．平面向量垂直的判定；2余弦定理；3．三角恒等变换．6.某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A处获悉后，测得该货轮在北偏东45º方向距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢.我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是小时.【答案】.【解析】由题意可画出如下示意图，假设经过小时处护卫舰靠近了货轮，则可得，，，∴在，由余弦定理可得：.【考点】余弦定理的运用.7.在△ABC中，，则A等于（）．A．60°B．120°C．30°D．150°【答案】B【解析】根据余弦定理:,根据,可得,所以在三角形中．【考点】余弦定理．8.已知的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是（）A．05B．15C．13D．14【答案】C【解析】新三角形的三边分别为，其中边长为的边对的角最大记为角，所以角为钝角。

(完整版)余弦定理练习题及答案

积累巩固1.已知a ,b ,c 是∆ABC 中角A ,B ,C 的对边,若a =21，b =5,c =4,则A ＝.3,b =3,c =30︒,则A ＝.2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知a =3.在△ABC 中，三个角A ,B ,C 的对边边长分别为a =3,b =4,c =6,则bc cos A +ca cos B +ab cos C 的值为．4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为．5.在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝7，B ＝60°，求边C ．延伸拓展6.在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，A ＝45°，解此三角形．7.已知a 、b 、c 分别是∆ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若∆ABC 面积S∆ABC=3,c =2,A =60︒,求a 、b 的值．28.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .若a ⋅cos 2．C A 3+c ⋅cos 2=b ，求证：2229.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知b +c =a +3bc ，求：（1）A 的大小；（2）2sin B cos C -sin(B -C )的值．10.设∆ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a,b,c，且A=60o ，c=3b.求：（1）222cos B cos C a的值；（2）的值.+c sin B sin C 创新应用11.在△ABC 中，a 、b 是方程x -23x +2=0的两根，且2cos(A +B )=1.求：（1）角C 的度数；（2）c ；（3）△ABC 的面积.12.已知A 、B 、C 为∆ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若2cos B cos C -sin B sin C =1．2（1）求A ；（2）若a =23,b +c =4，求∆ABC 的面积．13．当甲船位于A 处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C 处的乙船，试问乙船直接赶往B 处救援最少要走多少海里？参考答案b 2+c 2-a 21=，∠A =60o ．1.60解析：cos A =2bc 2o 2.解：由余弦定理可得c 2=3+9-2⨯3⨯3cos30o =3,解得c =a =3⇒A =C =30o (或)．616+36-99+36-1616+9-36613.解：由余弦定理，所求式=++=．22224.解：设顶角为C ，因为l =5c ,∴a =b =2c ，由余弦定理得πa 2+b 2-c 24c 2+4c 2-c 27cos C ===．2ab 2⨯2c ⨯2c 85.解：由余弦定理得(7)2＝1＋c 2－2c cos60°，∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去)；∴c ＝3．6.解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得22＝(2)2＋c 2－22c cos45°，∴c 2－2c －2＝0，解得c ＝1＋3或c ＝1－3(舍去)；∴c ＝1＋3．c 2＋a 2－b 222＋（1＋3）2－（2）23又cos B ＝＝＝，且B 为三角形内角；2ca 22×2×（1＋3）∴B ＝30°；∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°．7.解：ΘS∆ABC=1bc sin A =3，∴1b ⋅2sin 60︒=3，得b =12222由余弦定理得a =b +c -2bc cos A =1+2-2⨯1⨯2⋅cos60︒=3，∴a =2222223．8.证明：由已知得：，∴，∴，∴，即222．9.解：(1)由余弦定理得a b c2bccosA,b2c2a23bc3故cosA,所以A.2bc2bc26(2)2sinB cosC sin(B C)2sin B cos C(sinB cos C cos B sinC)sinB cos C cos B sinC1sin(B C)sin(A)sin A.210.解：（1）由余弦定理得1117a7 a2b2c22b cosA(c)2c22g cg cg c2.3329c3（2）由余弦定理及（1）的结论有72212c c(c)a c b539. cosB2ac7272g cg c3222故sin B1cos2B1253. 282772122c c ca2b2c2919,同理可得cosC2ab71272g cg c33sin C1cos2C1133. 2827从而cosB cosC5114333. sinB sin C39911.解：(1)∵2cos(A +B )=1，∴cos C =-21，∴角C 的度数为120°.2(2)∵a 、b 是方程x -23x +2=0的两根，∴由求根公式计算得a +b =23，ab =2,222由余弦定理得c =a +b -2ab cos C =(a +b )-2ab (cos C +1)＝12－2＝10.2∴c =10.(3)S =13ab sin C =.2212.解：（1）Θcos B cos C -sin B sin C =又Θ0<B +C <π，∴B +C =22211，∴cos(B +C )=；223；ΘA +B +C =π，∴A =π2π．3（2）由余弦定理得a =b +c -2bc ⋅cos A ，∴(23)=(b +c )-2bc -2bc ⋅cos 222π，3即12=16-2bc -2bc ⋅(-)，∴bc =4；12∴S∆ABC=113bc ⋅sin A =⋅4⋅=3．222o o o 13.解：在△ABC 中，∠BAC =90+30=120，∴BC =AB 2+AC 2-2AB g AC cos A =202+102-2⨯20⨯10cos120o =107．答：乙船直接赶往B 处救援最少要走107海里．。

高三数学余弦定理试题答案及解析

高三数学余弦定理试题答案及解析1.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为 .【答案】.【解析】∵，由正弦定理可知，，又∵，∴，∴.【考点】正余弦定理解三角形.2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．【答案】（1）（2）≤b<1【解析】(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A cos B＝0，即有sin Asin B－sin Acos B＝0.因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0.又cos B≠0，所以tan B＝.又0<B<π，所以B＝.(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B.因为a＋c＝1，cos B＝，有b2＝32＋.又0<a<1，于是有≤b2<1，即有≤b<1.3.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A．3B．C．D．【答案】C【解析】因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.【考点】余弦定理4.（12分）（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．【答案】见解析【解析】先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明．方法一：采用向量法证明，由a的平方等于的平方，利用向量的三角形法则，由﹣表示出，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；方法二：采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．证法一：如图，====b2﹣2bccosA+c2即a2=b2+c2﹣2bccosA同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．点评：此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．5.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东，与观测站A距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北的C处，且，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．【答案】【解析】由已知，所以，，由余弦定理得，,故（海里），该货船的船速为海里/小时．【考点】三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．6.△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，化简得：，同除以得，，即，所以，故选．【考点】余弦定理.7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，A＝，则该三角形面积的最大值是( )A．2B．3C．4D．4【答案】C【解析】由余弦定理得:a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc bc≤16，∴S＝bcsinA≤×16×sin＝4．8.在中，角，，所对的边分别为为，，，且（1）求角；（2）若，，求，的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将已知利用正弦二倍角公式展开，因为，约去，得的值，进而求；（2）已知三角形的面积和，不难想到，得，又根据余弦定理得，联立求即可．试题解析：（1）由已知，∴，∵，∴，∴．（2）由余弦定理，又， 10分由解得 13分【考点】1、正弦二倍角公式；2、三角形面积公式；3、余弦定理.9.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为( )A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由题意得所以.在三角形AOB中，由于,所以由余弦定理得,即，所以，的形状为等边三角形.【考点】几何概型概率，余弦定理10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知（1）求角A的大小；（2）若，△ABC的面积为，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）三角恒等变换是以三角基本关系式，诱导公式，和、差、倍角等公式为基础的，三角变换的常见策略有：（1）发现差异；（2）寻找联系；（3）合理转化、概括．由题知，将展开，得，移项合并得，注意到，可求，进而求角A的大小；（2）由（1）知，结合△ABC的面积为，不难想到①，得关系；又根据，利用余弦定理得②，联立求．试题解析：（1）∵，∴可得，∴． 4分∵，可得．∴． 7分=∴，解得bc=8．① 10分（2）由（1）得．∵S△ABC由余弦定理，得， 12分即．②将①代入②，可得． 14分【考点】1、两角差的余弦公式；2、诱导公式；3、余弦定理.11.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解：由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.12.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝，3a＝2c＝6，则b的值为( ) A．B．C．－1D．1＋【答案】D【解析】因为3a＝2c＝6，所以a＝2，c＝3，由余弦定理知cos C＝，即cos＝＝＝，得b＝1＋.13.如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数,那么最长边的长度为()A．3B．4C．6D．7【答案】B【解析】设出三边的长度,然后由余弦定理,使其最长边所对的角的余弦值小于0即可得到边长的取值范围,再结合边长是自然数得到解.设三角形的三边长分别为n-1,n,n+1(n>1),则n+1对的角θ为钝角,由余弦定理得cosθ= ,所以(n-1)2+n2<(n+1)2,解得0<n<4,所以n=2,3.当n=2时,三边长为1,2,3,1+2=3,不符合题意.当n=3时,三边长为2,3,4,符合题意.故最长边的长度为4.14.已知函数的图像经过点．（1）求的值；（2）在中，、、所对的边分别为、、，若，且．求．【答案】(1)（2）sinB=【解析】（1）f(x)的图像经过点,带入函数得到关于的三角等式,再利用常见三角函数值与的范围即可求出的值.（2）利用三角形关于C角的余弦定理与题目已知式子结合即可得出C角的余弦值,进而得到C角的正弦值(三角形内角的正弦值都为正数),再把带入函数解析式即可得到A角的余弦,利用余弦与正弦的关系得到A角的正弦值,而三角形三个角和为180度,则B角的正弦利用和差角公式即可用A,C两个角的正余弦值来表示,进而得到B角的余弦值.试题解析：（1）由题意可得，即． 2分，，，． 5分（2），， 7分． 8分由（1）知，．，， 10分又，． 12分【考点】三角函数的图象与性质，三角恒等变换余弦定理15.在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理有：.所以.【考点】余弦定理.16.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为________．【答案】-【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝－17.已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】1.向量的运算；2.余弦定理.18.在△ABC中，∠ACB＝60°，sin A∶sin B＝8∶5，则以A，B为焦点且过点C的椭圆的离心率为________．【答案】【解析】设BC＝m，AC＝n，则＝，m＋n＝2a，(2c)2＝m2＋n2－2mn cos 60°，先求得m＝a，n＝a，代入得4c2＝a2，e＝.19.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.【答案】5【解析】由23cos2A＋cos 2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，∴cos2A＝，则cos A＝.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得：72＝b2＋62－12b×，解之得b＝5(舍去负值)．20.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为()．A．－B．－C．D．【答案】A【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝＝－.21.在△中，，，，则△的面积等于（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由余弦定理，代入各值整理可得,解得,三角形面积,所以面积为或【考点】1.余弦定理；2.三角形的面积公式。

高二数学余弦定理试题答案及解析

高二数学余弦定理试题答案及解析1.在中，若，则的形状是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A．【解析】由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得，所以．所以是钝角三角形．【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．2.在中，分别是角所对的边，且满足．(1) 求的大小；(2) 设向量，求的最小值．【答案】(1) ；（2）．【解析】（1）利用余弦定理可求得的值，从而求得；（2）利用向量的坐标运算可求得，从而可求得的最小值．(1)∵，∴．又∵，∴．（2），∵，∴．∴当时，取得最小值为．【考点】1、余弦定理；2、平面向量的坐标运算；3、二次函数的值域．3.已知中的对边分别为若且，则( )A．2B．4＋C．4—D．【答案】A【解析】解三角形问题，已知两边一角，求第三边，可用余弦定理.因为，，所以【考点】余弦定理4.如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A．2B．3C．D．【答案】C【解析】沿将棱锥剪开另一点用表示，则。

质点的最短路线为线段，在中，，所以。

故C正确。

【考点】1余弦定理；2转化思想。

5.如图所示，已知两座灯塔A、Ｂ与海洋观测站Ｃ的距离都等于，灯塔A在观测站Ｃ的北偏东，灯塔Ｂ在观测站Ｃ的南偏东,则灯塔A与灯塔Ｂ的距离为（）A． B． C．Ｄ．【答案】C【解析】如图可知，根据余弦定理可得，故选C.【考点】1.余弦定理的应用；2.解斜三角形.6.若2x，2x+1，3x+3是钝角三角形的三边，则实数x的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】当三边能构成三角形时。

所以最长边为，若三角形为钝角三角形则边长为的边所对的角的余弦值小于0即，整理得，解得或。

所以B正确。

【考点】1三角形两边之和大于第三遍；2余弦定理。

7.中，在边上，且，，，，则的长等于．【答案】【解析】在中，,.在中,由余弦定理:=.【考点】1余弦定理；2、勾股定理；三角形内角和定理.8.△ABC中, ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c.若,∠C=, 则边 c 的值等于（）A．5B．13C．D．【答案】C【解析】利用余弦定理可得:故选C【考点】解三角形,余弦定理的应用.9.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为．【答案】1200.【解析】因为=3，，=4.又因为.所以在三角形中..故填1200.本题是椭圆的定义与解三角形知识的应用.【考点】1.椭圆的定义.2.余弦定理用于解三角形.10.在△中，三边、、所对的角分别为、、，若，则角的大小为．【答案】【解析】利用余弦定理变形得到.又因为所以所以【考点】余弦定理11.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为( )A．79B．69C．5D．-5【答案】D【解析】本题容易误将看作是向量与的夹角．由余弦定理知,根据向量数量积的定义知．【考点】余弦定理和向量的数量积12.在中，下列关系式不一定成立的是（）。

高三数学余弦定理试题答案及解析

高三数学余弦定理试题答案及解析1.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为 .【答案】.【解析】∵，由正弦定理可知，，又∵，∴，∴.【考点】正余弦定理解三角形.2.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A．3B．C．D．【答案】C【解析】因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.【考点】余弦定理3.在中，，，，则； .【答案】2,【解析】由余弦定理得：==4，故；因为=，所以=.【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正余弦定理，三角函数的基本关系式等基础知识，属中低档题.4.设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.【答案】，或.【解析】根据三角形面积公式可以求出，利用可以解出，对进行分类讨论，通过余弦定理即可求出的值.由三角形面积公式，得，故.∵，∴.当时，由余弦定理得，，所以；当时，由余弦定理得，，所以.【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理.5.已知为双曲线的左右焦点，点在上，，则( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，，，即，，又，所以．【考点】双曲线的定义与性质，余弦定理．6.在中，,,，则边上的高等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，在△ABC中，由余弦定理知，即，，即，又，设BC边上的高等于，由三角形面积公式，知，解得.故选【考点】余弦定理；三角形面积公式.7.在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为．【答案】3【解析】设，，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，当时等号成立．【考点】解三角形8.△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，化简得：，同除以得，，即，所以，故选．【考点】余弦定理.9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由得，，所以，所以,即三角形为钝角三角形，故选A.10.已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a，b，c，若3a2+2ab+3b2－3c2=0，则sinC 的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵3a2+2ab+3b2－3c2=0，∴a2+b2－c2=ab由余弦定理知cosC==－又sin2C+cos2C=1∴sinC=11.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若C＝120°，c＝a，则( ) A．a>bB．a<bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定【答案】A【解析】方法一：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，∴b2＋ab－a2＝0，即()2＋－1＝0＝<1，故b<a．方法二：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，∴b2＋ab－a2＝0，即b2＝a2－ab＝a(a－b)>0，∴a>b．12.在中，角所对的边的长度分别为，且，则 .【答案】【解析】由余弦定理知，所以，，．【考点】余弦定理．13.在中，角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，则等于( ) A．B．5C．D．25【答案】B【解析】∵，∴，由余弦定理得，∴，故选B.【考点】余弦定理的应用14.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解：由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.15.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【答案】10(m)【解析】如图，A为炮台，M、N为两条船的位置，∠AMO＝45°，∠ANO＝60°，OM＝AOtan45°＝30，ON＝AOtan30°＝×30＝10，由余弦定理，得MN＝＝10(m)．16.设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________．【答案】【解析】根据正弦定理，3sinA＝5sinB可化为3a＝5b，又b＋c＝2a，解得b＝，c＝.令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，在△ABC中，由余弦定理得cosC＝＝＝－，所以C＝17.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．【解析】∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3∴BD＝18.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】【思路点拨】利用正弦定理转化为边的关系,而后利用余弦定理判断.解:由sin2A+sin2B<sin2C得a2+b2<c2,即a2+b2-c2<0.又∵cosC=,故cosC<0.又∵0<C<π,故<C<π,所以△ABC是钝角三角形.【方法技巧】三角形形状判断技巧三角形形状的判断问题是解三角形部分的一个重要题型,也是高考的热点问题,因而正确快速地判断是解题的关键.其基本技巧就是利用正、余弦定理快速实现边角互化,常规是边化角,再利用三角恒等变换公式结合三角形中角的关系正确判断三角形的形状.19.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为________．【答案】-【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝－20.已知a、b、c是△ABC的三边，且B＝120°，则a2＋ac＋c2－b2＝________.【解析】利用余弦定理，再变形即得答案．＝2，则b等21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC于________．【答案】5【解析】∵S＝ac sin B＝2，∴×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×4×cos 45°.∴b2＝25，b＝522.如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BDC＝120°.BD＝CD＝10米．并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.【解析】在△BCD中，由余弦定理可得BC＝10，在直角△ABC中，AB＝BC tan 60°＝30.23.已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为________．【答案】2【解析】由三角形的面积公式得c2＝ab sin C⇒＝sin C，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C⇒＝＋2cos C＝sin C＋2cos C，所以＝2sin C＋2cos C＝2sin，最大值是224.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()．A．B．C．D．－【答案】C【解析】∵cos C＝＝，又a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2，则cos C≥，即cos C的最小值为.25.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）B＝（2）＋1【解析】(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝ac sin B＝ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.26.已知三角形内角A,B,C的对边分别为且满足，则_________.【答案】【解析】因为，所以可得.又因为在三角形中，由余弦定理可得.所以.又因为.所以.故填.本小题的关键是余弦定理的应用.【考点】1.余弦定理.2.三角函数方程的解法.27.在△中，已知，，且的面积为，则边长为．【答案】7【解析】由即得，再由余弦定理可得，所以.【考点】三角形面积公式和余弦定理.28.已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于 .【答案】16【解析】设三角形的边长为其中,则，即，所以，即，当且仅当时取等号，所以两边长之积的最大值等于16.【考点】余弦定理的应用，基本不等式.29.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【答案】乙船每小时航行海里．【解析】连接，依题意可知，求得的值，推断出是等边三角形，进而求得，在中，利用余弦定理，可得，从而可求出的值，最终可求得乙船的速度．试题解析：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．【考点】应用余弦定理解三角形．30.四棱锥P—ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为 .【答案】【解析】∵正方形ABCD中，CD∥AB，∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角，△PAB中，PA=PB=，AB=2，∴cos∠PAB=.【考点】1.余弦定理的应用；2.异面直线及其所成的角31.在中，，是的中点，若，在线段上运动，则下面结论正确的是____________.①是直角三角形；②的最小值为；③的最大值为；④存在使得【答案】①②④【解析】在中，，解得，因为,故，如图所示建立平面直角坐标系,则，设点（），所以=，故当时，最小值为，当时，最大值为12，由三点共线，故（）得，所以，令，故正确结论为①②④.【考点】1、余弦定理；2、二次函数的值域；3、平面向量基本定理.32.在中，，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，所以，由余弦定理可得，故，选C.【考点】1.向量的数量积；2.余弦定理；3.基本不等式33.△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，则b= .【答案】3【解析】由余弦定理，所以，，又所以，，故答案为3.【考点】余弦定理的应用34.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足,且=60°,则的值为（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由得：，故由余弦定理知：，解得，故选C.【考点】余弦定理的应用35.在中，若，，，则 .【答案】【解析】设，由余弦定理得，即，整理得，由于，解得，即.【考点】余弦定理36.在中，分别是的对边，若，则的大小为 .【答案】＋1【解析】由，得，即，∵，∴，又∵，∴在中，由余弦定理得，解得.【考点】1.余弦定理；2.倍角公式.37.已知的三个内角、、的对边分别为、、，且．(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ)若，求周长的最大值．【答案】（1）（2）6【解析】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，结合余弦定理知cos A=，∴A=，∴2sin B cos C-sin(B-C)= sin B cos C+cos B sin C=sin(B+C)=sin A= 6分(Ⅱ)由a=2，结合正弦定理，得b+c=sin B+sin C=sin B+sin(-B)=sin B+2cos B=4sin(B+)，可知周长的最大值为6 ． 12分【考点】三角函数的性质，解三角形点评：主要是考查了余弦定理和正弦定理的运用，属于基础题。

余弦定理40道基础题必练题含详解

故选：C. 6．C 【分析】
利用余弦定理可求 ab 的值，从而可求三角形的面积.
【详解】
因为 C 120 ，故 c2 a2 b2 2ab cos120 a2 b2 ab ，
而 a b2 c2 4 ，故 c2 a2 b2 2ab 4 a2 b2 ab ，
故 ab 4 ，故三角形的面积为 1 ab sin120 3 4 3 ，
由余弦定理可得： cos A b2 c2 a2 16 36 28 1
2bc
246 2
又 A 0, 所以 A
3
故选：C
4．C
【分析】
答案第 1页，总 21页
利用余弦定理即可求解. 【详解】
在 ABC 中，若 b2 c2 a2 2bc ，
所以 cos A b2 c2 a2 2bc 2 ，
【详解】
依题意，由正弦定理得 c2 2a bb a b a ，
c2 2ab b2 a2 ab ， a2 b2 c2 ab ， a2 b2 c2 1 ，
2ab
2
即 cos C 1 .由于 0 C ，
2 所以 C 2 .
3
故选：C
3．C
【分析】
由余弦定理求解可得结果. 【详解】
则C （）
A． 6
B．
或
2
33
C． 2 3
D．
6
或
5 6
3．在 ABC 中，若 AC 4 ， AB 6 ， BC 2 7 ，则 A （）
A． 6
B．
4
C．
3
4．在 ABC 中，若 b2 c2 a2 2bc ，则 A （）
D．
2
A． 90
B．150
C．135

余弦定理练习题(含答案)

余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．462．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )A. 3B. 2C. 5 D ．23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．余弦定理答案1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( A )A ．6 B ．26C ．3 6 D ．462．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( B )A. 3 B.2C. 5 D ．23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( D )A ．60° B ．45°C ．120° D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( D )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( C )A ．aB ．BC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )A. 3 B ．23C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ，∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案：3 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61.答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝?2k ?2＋?4k ?2－?3k ?22×2k ×4k＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3.答案：2315．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N)，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋?k －1?2－?k ＋1?2＜0k ＋k －1＞k ＋1?2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10.18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝?AC ＋BC ?2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC＝12，所以C ＝60°. 19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。

余弦定理练习题及答案

∙余弦定理练习题及答案一、选择题1．(2014·昆明一模)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32 B.34 C.36D.38解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34.答案：B2．(2015·广州综合测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝2B ，则cb 为( )A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C解析：由于C ＝2B ，故sin C ＝sin2B ＝2sin B cos B ，所以sin Csin B ＝2cos B ，由正弦定理可得c b ＝sin Csin B ＝2cos B ，故选B.答案：B3．(2014·东北三省二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.3π4解析：由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得：c －b c －a ＝ac ＋b ⇒c 2－b 2＝ac －a 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，即cos B ＝12，所以B ＝π3.答案：C4．(2015·烟台期末)在△ABC 中，若lg(a ＋c )＋lg(a －c )＝lg b －lg 1b ＋c，则A ＝( ) A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：由题意可知lg(a ＋c )(a －c )＝lg b (b ＋c )， ∴(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. 又A ∈(0，π)，∴A ＝120°，选C. 答案：C5．(2014·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( ) A ．－19B.13C ．1D.72解析：由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72. 答案：D6．(2014·石家庄一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1 B. 2 C. 3D ．3解析：由c sin A ＝3a cos C ，所以sin C sin A ＝3sin A cos C ，即sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝3，C ＝π3，A ＝2π3－B ，所以sin A ＋sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋sin B ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，sin A ＋sin B 的最大值为 3.故选C. 答案：C 二、填空题7．(2014·福建卷)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于__________．解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以2sin B ＝3sin60°，解得sin B ＝1，因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝90°，所以AB ＝ 22－(3)2＝1. 答案：18．(2014·湖北卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝__________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝32，又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π3.答案：π3或2π39．(2014·北京卷)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝__________；sin A ＝__________.解析：根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c ＝2，因为cos C ＝14，于是sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154，于是，由正弦定理，sin A ＝a sin C c ＝1×1542＝158(或：由a ＝1，b ＝2，c ＝2，得cos A ＝22＋22－122×2×2＝78，于是，sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158)．答案：2158三、解答题10．(2014·新课标全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解析：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ， ①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C . ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin60°＝2 3.11．(2014·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．解析：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是，cos2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos2A ·cos π6＋sin2A ·sin π6＝15－38. 12．(2014·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．解析：(1)由题意可知：c ＝8－(a ＋b )＝72. 由余弦定理得： cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×2×52＝－15.(2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得： sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C . 因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知：a ＋b ＝3c . 又因a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.。

(完整版)余弦定理练习含答案

课时作业2余弦定理时间：45分钟满分：100分课堂训练1.在△ABC 中，已知 a = 5, b =4,Z C = 120°.则 c 为()A. 41B. , 61C. 41 或 61D. , 21【答案】 B【解析】 c = ” a 2 + b 2 — 2abcosC=52 + 42 — 2X 5X 4X — 2 = 61.2.^ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a , b , c ,若a , b , c 满足 b 2 = ac ，且 c = 2a ,则 cosB =( )3B. 3C.【答案】 B【解析】由b 2 = ac ，又c = 2a ,由余弦定理3. 在厶ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边边长分别为a = 3、b = 4、c = 6,贝卩 bccosA + cacosB + abcosC =A*_ a 2 + c 2 — b 2 cosB = 2ac a 2+ 4a 2 — a x 2a 3 2a 2a — 4.b 2 +c 2— a 2bccosA + cacosB + abcosC = bc •c 2 + a 2 — b 2 a 2 + b 2 — c 2 1 1 1 ca -20c + ab • 2ab = 2(b 2 + c 2— a 2) + 2(c 2 + a 2 — b 2) + ^(a 2 + 1 61b 2—c 2) = 2(a 2 + b 2+ c 2)=亍4. 在△ ABC 中：(1) a = 1, b = 1,Z C = 120° 求 c ; (2) a = 3, b = 4, c = 37,求最大角； (3) a:b:c = 1: 3 :2,求/ A 、/ B 、/ C. 【分析】(1)直接利用余弦定理即可； (2) 在三角形中，大边对大角； (3) 可设三边为x ， 3x,2x.【解析】(1)由余弦定理，得c 2 = a 2 + b 2— 2abcosC 1=12+ 12 — 2X 1 x 1 x (—刁=3,「・c = 3. (2) 显然/C 最大，a 2+b 2 —c 2 32+ 42— 37 1/cosC = —2ab — = 2x 3x 4 = — 2.AzC = 120°(3) 由于 a:b:c = 1: 3 :2, 可设 a = x , b = V3x , c = 2x(x>0).b 2+c 2 — a 2 3x 2 + 4/ — x 2 百由余弦定理，得 cosA = —2bc — = 2 • 3X 2X = ~2,/./\= 30 °【答案】 612 【解析】1同理cosB=2 cosC= O.「./3= 60 ,ZC= 90 .12,【规律方法】1. 本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征.2. 对于第（3）小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出/A ,进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求/ B ,但要注意讨论解的情况.课后作业一、选择题（每小题5分，共40分）ABC 中，下列结论：① a 2>b 2 + &,则厶ABC 为钝角三角形; ② a 2= b 2 + c 2 + be,则/ A 为 60° ③ a 2+ b 2>e 2，则△ ABC 为锐角三角形;④ 若/ A:Z B: / C = 1:2:3，贝卩 a:b:e = 1:2:3, 其中正确的个数为（）A . 1B . 2 C. 3 D . 4【答案】 A•••么为钝角，正确;b 2 + e 2— a 2【解析】 ① eosA = b 2+ c 2—a 2 —2bc —<°，②eosA=—2be—12,a 2+b 2—c 2③ cosC = 2ab >0，•••©为锐角，但/ A 或/B 不一定为锐角，错误;④ Z A = 30 ° ZB = 60 ° ZC= 90 °a:b:c = 1: 3 :2,错误.故选 A.2.A ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ,设向量p =(a + c , b), q = (b — a , c — a).若 p// q ,则/ C 的大小为( )人nA~6nB.3nc.2【答案】 B【解析】 Tp = (a + c , b), q = (b — a , c — a)且 p 〃q , • .(a + c)(c — a) — b(b — a) = 0n zC= 3.冗 ,△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,/ A =3 a=7, b = 1,则 c 等于()A . 2 2B . 3 C/ 3 + 1 D . 2 3【答案】 B【解析】由余弦定理得，a 2= b 2 + c 2— 2bccosA ,即 a 2+ b 2— c 2= ab , 「•cosC = a 2+ b 2—c 2=_ab =1 2ab = 2ab =2.所以(7)= 1 + c2—2x 1 x e x cog.即c2—c—6= 0,解得c= 3 或c= —2（舍）.故选 B.4.在不等边三角形ABC中，a为最大边，且a2vb2+ c2,则/ A 的取值范围是（）A.（扌，n ）B. （n, nC.（n，f）D. （0, n【答案】C【解析】因为a为最大边，所以/ A为最大角，即/A> ZB,/A>ZC,故2ZA>/B+/C.又因为Z B+ Z C= n-Z A,所以2ZA> n—Z A, 即Z Ag因为a2<b2+ c2,所以cosA=葺b—2>0,所以0<从W综上,n /A n3<zA<25. 在△ ABC 中，已知 a = 4,b= 6,Z C= 120° 则si nA 的值为() A语D「I?【答案】【解析】由余弦定理得c = a2+ b2—2ab cosC = 42+ 62—2X4X 6( —2)= 76,••c= 76.由正弦定理得轟=sinC,即蠢=sinLZQ ,4sin120。

高三数学余弦定理试题答案及解析

高三数学余弦定理试题答案及解析1.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．已知a＋c＝2b，sinB＝sinC，则cosA＝．【答案】【解析】因为sinB＝sinC，由正弦定理得：，由余弦定理得：【考点】正余弦定理2.已知的三个内角所对的边分别为．若△的面积，则的值是。

【答案】4【解析】得得。

【考点】三角形面积公式、余弦定理、商数关系．3.某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为km，那么x的值为()A．B．2C．2或D．3【答案】C【解析】根据余弦定理可得：()2＝x2＋32－2×3x×cos(180°－150°)，即x2－3x＋6＝0．∴x＝2或．4.如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是()A．5(＋) km B．5(－) kmC．10(－) km D．10(＋) km【答案】C【解析】由题意，知∠BAC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝30°＋45°＝75°，∠ACB＝180°－75°－30°＝75°，∴AC＝AB＝40×＝20(km)．由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC ＝202＋202－2×20×20×cos30°＝800－400＝400(2－)，∴BC＝＝＝10 (－1)＝10(－)(km)．5.在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据余弦定理的推论，代入到条件中可得，所以有，进一步根据角B的范围求出B 的大小；（2）由（1）知：所以把化成只含角一个变量的三角函数，利用三角函数的最值求解.解：（1）由余弦定理可得：，即由得 5分（2）由得， 6分． 9分∵，∴， 10分∴， 11分∴的取值范围为． 12分【考点】1、余弦绽理及其推论；2、两角各与差的三角函数公式；3、三角函数的最值问题.6.（13分）（2011•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（I）利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系；利用三角形的余弦定理求出角A的余弦．（II）利用三角函数的平方关系求出角A的正弦，利用二倍角公式求出角2A的正弦，余弦；利用两个角的和的余弦公式求出的值．解：（I）由B=C，可得所以cosA==（II）因为所以=点评：本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式．7.在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得.故选.【考点】余弦定理的应用.8.（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S=bcsinA=．△ABC9.在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为．【答案】3【解析】设，，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，当时等号成立．【考点】解三角形10.在△中，角、、所对的边长分别为、、，且．（1）若，，求的值；（2）若，求的取值范围．【答案】(1)或；（2）．【解析】(1)已知两边，要求第三边，最好能求出已知两边的夹角，然后用余弦定理可求得，而由已知条件可得，从而可知，即，问题得解；（2）这是三角函数的一般性问题，解决它的一般方法是把函数化为的形式，然后利用正弦函数的知识解决问题，，首先用二倍角公式，降幂公式把二次式化为一次式，再利用两角和的正弦公式把两个三角函数化为一个三角函数，，接下来我们只要把作为一个整体，求出它的范围，就可借助于正弦函数求出的取值范围了．试题解析：（1）在△中，．所以．，所以． 3分由余弦定理，得．解得或． 6分（2）. 9分由（1）得，所以，，则. ∴.∴.∴的取值范围是. 12分【考点】（1）余弦定理；（2）二倍角公式与降幂公式，三角函数的取值范围11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，a＝5，△ABC的面积为10.(1)求b，c的值；(2)求cos的值．【答案】（1）c＝7（2）＝absinC，即10＝b·5sin，解得b＝8. 【解析】(1)由已知，C＝，a＝5，因为S△ABC由余弦定理可得：c2＝25＋64－80cos＝49,所以c＝7.(2)由(1)有cosB＝，由于B是三角形的内角，易知sinB＝，所以cos＝cosBcos＋sinBsin＝.12.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.向量m＝(1，cosB)，n＝(sinB，－)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若△ABC面积为10，b＝7，求此三角形周长．【答案】（1）（2）20【解析】(1)m·n＝sinB－cosB，∵m⊥n，∴m·n＝0，∴sinB－cosB＝0.∵△ABC为锐角三角形，∴cosB≠0，∴tanB＝.∵0<B<，∴B＝.＝acsinB＝ac，由题设ac＝10，得ac＝40.由72＝a2＋c2－2accosB，得(2)∵S△ABC49＝a2＋c2－ac，∴(a＋c)2＝(a2＋c2－ac)＋3ac＝49＋120＝169.∴a＋c＝13，∴三角形周长是20.13.在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A＝________．【答案】60°【解析】由余弦定理，得cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝60°14.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是________三角形．【答案】等腰【解析】因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得a＝2b·，整理得b2＝c2，故此三角形一定是等腰三角形．15.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4【答案】D【解析】因为a,b,c为连续的三个正整数,且A>B>C,可得a=c+2,b=c+1;①又因为3b=20acosA,由余弦定理可知cosA=,则3b=20a·,②联立①②,化简可得7c2-13c-60=0,解得c=4或c=-(舍去),则a=6,b=5.又由正弦定理可得,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=6∶5∶4.故应选D.16.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,B=,且sinA∶sinC=3∶1,则b∶c的值为.【答案】【解析】sinA∶sinC=a∶c=3∶1,∴a=3c.由余弦定理cos==,∴=,7c2=b2,∴=7,∴=.17.在△ABC中,AC=,BC=2,∠B=60°,则△ABC的面积等于.【答案】【解析】设角A、B、C的对边分别为a、b、c,由余弦定理,cosB==,即=,∴c2-2c-3=0,∴c=3或c=-1(舍).∴S=acsinB=.△ABC18.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若m=（sin2,1）,n="(-2,cos" 2A+1),且m⊥n.(1)求角A的度数;(2)当a=2,且△ABC的面积S=时,求边c的值和△ABC的面积.【答案】(1) π (2)C=B【解析】解:(1)由于m⊥n,所以m·n=-2sin2+cos 2A+1=1-2cos2+2cos2A-1=2cos2A-cosA-1=(2cosA+1)(cosA-1)=0.所以cosA=-或1(舍去),即角A的度数为π.(2)由S=及余弦定理得tanC=,∴C==B.又由正弦定理=得c=2,所以△ABC的面积S=acsinB=.19.在中，、、分别是角A、B、C所对的边，，则的面积S=______．【答案】【解析】由角A的余弦定理得,因为,所以三角形ABC为直角三角形,则,故填.【考点】余弦定理勾股定理面积＝2，则b等20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC于()A．5B．25C．D．5【答案】A【解析】∵S＝ac sin B＝2，∴×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×4×cos 45°.∴b2＝25，b＝5.21.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）B＝（2）＋1【解析】(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝ac sin B＝ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.22.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2－cos 2A＝.(1)求角A的度数；(2)若a＝，b＋c＝3，求△ABC的面积．【答案】（1）A＝60°.（2）【解析】(1)∵B＋C＝π－A，即＝，由4sin2－cos 2A＝，得4cos2－cos 2A＝，即2(1＋cos A)－(2cos2A－1)＝，整理得4cos2A－4cos A＋1＝0，即(2cos A－1)2＝0.∴cos A＝，又0°＜A＜180°，∴A＝60°.(2)由A＝60°，根据余弦定理cos A＝，得＝.∴b2＋c2－bc＝3，①又b＋c＝3，②∴b2＋c2＋2bc＝9. ③①－③得bc＝2. ④解②④得或∴S＝×1×2×sin 60°＝.△ABC23.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为( )A．＋1B．2＋2C．－1D．2－2【答案】D【解析】分别过点作的垂线，垂足分别为，连结,设,则＝,等腰梯形的周长,令则，所以，，所以，当即， ,此时， ,因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长.故选D.【考点】1、双曲线的定义；2、余弦定理；3、二次函数的最值问题.24.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∴，由余弦定理得，，所以.【考点】1、诱导公式；2、余弦定理.25.已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于 .【答案】16【解析】设三角形的边长为其中,则，即，所以，即，当且仅当时取等号，所以两边长之积的最大值等于16.【考点】余弦定理的应用，基本不等式.26.在⊿ABC中,三边所对的角分别为A,B,C,若,则角C为（）A．30°B．45°C．150°D．135°【答案】B【解析】由余弦定理得，，又，∴.【考点】余弦定理.27.在△的内角、、的对边分别为、、，若，，，则 .【答案】【解析】由余弦定理可知.【考点】余弦定理.28.在中,设内角的对边分别为,向量,向量,若(1)求角的大小；(2)若,且，求的面积.【答案】（1）；（2）16【解析】（1）先计算的坐标，由得关于的方程，再利用辅助角公式化为，则，然后根据，得范围，从而求值，进而确定；（2）在中，，确定，另外两边的关系确定，所以利用余弦定理列方程求，再利用求面积.试题解析：（1）又因为，故，∴；（2）由余弦定理得，即，解得，∴，∴.【考点】1、向量的模；2、向量运算的坐标表示；3、余弦定理.29.在中，，，，则的面积为()．A．B．C．D．【答案】D.【解析】因为为三角形的内角，所以，所以三角形的面积，选D.【考点】三角形面积公式.30.在中，角所对的边分别为满足，,,则的取值范围是 .【答案】【解析】由得，得为钝角，故，由正弦定理可知：，，所以.【考点】正余弦定理，辅助角公式.31.已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【答案】【解析】，故．【考点】考查余弦定理及运算，属容易题。

余弦定理训练题(有答案)

余弦定理训练题（有答案）1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是()A．8B．217C．62D．219解析：选 D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，c＝219.2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sinA的值为()A.5719B.217C.338D．－5719解析：选A.c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋32－2×2×3×cos120°＝19.∴c＝19.由asinA＝csinC得sinA＝5719.3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a22•2a•2a＝78.答案：784．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解：法一：根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos60°，整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.∴△ABC是正三角形．法二：根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为2sinB＝sinA＋sinC.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A，∴2sin60°＝sinA＋sin(120°－A)，整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°.∴△ABC是正三角形．课时训练一、选择题1．在△ABC中，符合余弦定理的是()A．c2＝a2＋b2－2abcosCB．c2＝a2－b2－2bccosAC．b2＝a2－c2－2bccosAD．cosC＝a2＋b2＋c22ab解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．2．(2011年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是()A.1213B.513C．0D.23解析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cosC ＝a2＋b2－c22ab＝0.3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形．4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3解析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，又∵0＜A＜π，∴A＝2π3，故选C.5．在△ABC中，下列关系式①asinB＝bsinA②a＝bcosC＋ccosB③a2＋b2－c2＝2abcosC④b＝csinA＋asinC一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选 C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sinA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，则不一定成立．6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()A.14B.34C.24D.23解析：选B.∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a•2a＝34.二、填空题7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.解析：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cosA，即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－12)，AC2＋5AC－24＝0.∴AC＝3或AC＝－8(舍去)．答案：38．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三边长是21.答案：219．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则B的大小是________．解析：由正弦定理，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8.不妨设a＝5k，b＝7k，c＝8k，则cosB＝ 5k 2＋ 8k 2－ 7k 22×5k×8k＝12，∴B＝π3.答案：π3三、解答题10．已知在△ABC中，cosA＝35，a＝4，b＝3，求角C.解：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴16＝9＋c2－6×35c，整理得5c2－18c－35＝0.解得c＝5或c＝－75(舍)．由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝16＋9－252×4×3＝0，∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，求C的大小．解：由题意可知，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，即a2＋b2－c22ab＝12，所以cosC＝12，所以C＝60°.12．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状．解：由余弦定理知cosB＝a2＋c2－b22ac，代入c＝acosB，得c＝a•a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，∴△ABC是以A为直角的直角三角形．又∵b＝asinC，∴b＝a•ca，∴b＝c，∴△ABC也是等腰三角形．综上所述，△ABC是等腰直角三角形．。

高二数学余弦定理试题答案及解析

高二数学余弦定理试题答案及解析1.△ABC的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，又∵，∴，∴.【考点】余弦定理的变式.2.在△中，角的对边分别为，若，则( ) A．B．C．D．【答案】C.【解析】将展开有，根据余弦定理有，所以.【考点】余弦定理.3.如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A．2B．3C．D．【答案】C【解析】沿将棱锥剪开另一点用表示，则。

质点的最短路线为线段，在中，，所以。

故C正确。

【考点】1余弦定理；2转化思想。

4.如图所示，已知两座灯塔A、Ｂ与海洋观测站Ｃ的距离都等于，灯塔A在观测站Ｃ的北偏东，灯塔Ｂ在观测站Ｃ的南偏东,则灯塔A与灯塔Ｂ的距离为（）A． B． C．Ｄ．【答案】C【解析】如图可知，根据余弦定理可得，故选C.【考点】1.余弦定理的应用；2.解斜三角形.5.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为．【答案】1200.【解析】因为=3，，=4.又因为.所以在三角形中..故填1200.本题是椭圆的定义与解三角形知识的应用.【考点】1.椭圆的定义.2.余弦定理用于解三角形.6.在△中，三边、、所对的角分别为、、，若，则角的大小为．【答案】【解析】利用余弦定理变形得到.又因为所以所以【考点】余弦定理7.已知函数（1）求的最小正周期和值域；（2）在中，角所对的边分别是，若且，试判断的形状.【答案】﹙1﹚ ;﹙2﹚为等边三角形.【解析】﹙1﹚ 4分所以 6分﹙2﹚由，有，所以因为，所以,即. 8分由余弦定理及，所以. 10分所以所以. 所以为等边三角形. 12分【考点】余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式，三角函数的图象和性质。

点评：中档题，本题是综合性较强的一道应用问题，涉及余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式，三角函数的图象和性质。

(完整版)余弦定理练习题及答案(可编辑修改word版)

(1)求 A ： (2)若 a = ^b + c = 4 ,求AABC 的而积•余弦走理练习题及答案积累巩固L 已知是AABC 中角A.B.C 的对边，若u =运,h = 5,c = 4,则片= 2在AABC 中，心b, e 分别是角A, B. C 所对的边，已知& = 方=3工=30。

,则A3. ABC 中，三个角A.B.C 的对边边长分別为rt = 3上= 4,c = 6侧he cos A + ca cos B + ab cos C 的值为 ___ -4. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 _______ .5. 在△ABC 中，已知b=® 5=60",求边C ・延伸拓展6. 在A ABC 中，已知"=2, //=¥乞4=45% 解此三角形•7. 已知"、b. C 分别是AABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若SABC 而积S , ,= 2^. c = 2.A= 60。

.求 a 、b 的值. ArwC 2&在△ABC 中，内角儿B, C 的对边分别为仏be 若«-cos-£ + c -cos-^= 求证:2 2 2a+c = 2if.9.设△ABC 的内角久B, C 的对边分别为“06已知//+€'2=幺2+5^加，求:2 sin B cos C 一 sin(B 一 C)的值.B, C 的对边分别为a,b,c,且A=60…c=3b •求:创新应用11.在△ABC 中，a. b 是方程 A?-2j5x ・ +2 = 0 的两根，且2 cos( A + B)= I.求:（1）角C 的度数：（2〉C ：（3） AABC 的而积.12•已知3、C 为AABC 的三内角，且英对边分别为h. c ，若COS B cos C - sin B sin C ==_ • 2（1） A 的大小；（2） 10.设MBC 的内角A,（1）细值: C (2) cosB casXl 丄… 而+ sine 的值•13.当甲船位于A 处时获悉，在尖正东方方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、柑距10海里C 处的乙船，试问乙船a 接旺往B 处救援最少要定多少海里?参考答案 tr + 1 1. 60. 解析：cos A = ----------- = _ » ZA = 60。

余弦定理练习题（含答案）

余弦定理定义及公式余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

a²=b²+c²-2bccosA余弦定理证明如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：向量证明正弦定理和余弦定理正弦定理　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．2 C ．3 D ．46662．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B. C. D ．23253．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A. B. C.或 D.或π6π3π65π6π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的值为( )AB → AC → 3AB → AC → A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－48．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．2 C.或2 D ．233339．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．331011．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为3________．12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.213314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则·的值为________．AB → BC → 15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 2416．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的3长．18．已知△ABC 的周长为＋1，且sin A ＋sin B ＝sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为sin 2216C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．5π420．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．余弦定理答案1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．26C ．3D ．466解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝＝6.42＋62－2×4×6×132．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B.32C. D ．25解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos30°33＝2，∴c ＝.23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45°C ．120°D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝＝＝－，b 2＋c 2－a 22bc －3bc2bc 32∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A. B.π6π3C.或D.或π65π6π32π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，联想到余弦定理，代入得3cos B ＝＝·＝·.a 2＋c 2－b 22ac 321tan B 32cos Bsin B 显然∠B ≠，∴sin B ＝.∴∠B ＝或.π232π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对解析：选C.a ·＋b ·＝＝c .a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc 2c 22c 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的值为()AB → AC → 3AB →AC → A ．2 B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝＝||·||·sin A312AB →AC →＝×4×1×sin A ，12∴sin A ＝，又∵△ABC 为锐角三角形，32∴cos A ＝，12∴·＝4×1×＝2.AB →AC → 128．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．233C.或2 D ．233解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－3a ，3∴a 2－3a ＋6＝0，解得a ＝或2.3339．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝.π3在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝＝.1＋4－2×1×2×123答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．3310解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，3310∴a ∶b ∶c ＝(－1)∶(＋1)∶.3310设a ＝(－1)k ，b ＝(＋1)k ，c ＝k (k ＞0)，3310∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝＝－，a 2＋b 2－c 22ab 12又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为3________．解析：S ＝ab sin C ，sin C ＝，∴C ＝60°或120°.1232∴cos C ＝±，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，12∴c 2＝21或61，∴c ＝或.2161答案：或216112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝＝＝，a 2＋c 2－b 22ac 2k 2＋ 4k 2－ 3k 22×2k ×4k 1116同理可得：cos A ＝，cos C ＝－，7814∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：∵cos C ＝，∴sin C ＝.13223又S △ABC ＝ab sin C ＝4，123即·b ·3·＝4，1222233∴b ＝2.3答案：2314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则·的值为________．AB → BC → 解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝，1935∴·＝||·||·cos(π－B )AB → BC → AB → BC → ＝7×5×(－)1935＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 24解析：ab sin C ＝S ＝＝·12a 2＋b 2－c 24a 2＋b 2－c 22ab ab 2＝ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.12答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则Error!⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为＝.32＋42－222×3×478答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的3长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝，即cos C ＝－.1212又∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－)12＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(2)2－2＝10，3∴AB ＝.1018．已知△ABC 的周长为＋1，且sin A ＋sin B ＝sin C .22(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为sin C ，求角C 的度数．16解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝＋1，BC ＋AC ＝AB ，22两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积BC ·AC ·sin C ＝sin C ，得BC ·AC ＝，121613由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝＝，AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC 12所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .5(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．π4解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，AB sin C BCsin A 得AB ＝BC ＝2BC ＝2.sin Csin A 5(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC 255于是sin A ＝＝.1－cos2A 55从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝，45cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝.35所以sin(2A －)＝sin 2A cos －cos 2A sin ＝.π4π4π421020．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得＝.sin C sin B cb 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝＝.sin C 2sin B c2b 又根据余弦定理，得cos A ＝，所以＝，b 2＋c 2－a 22bc c 2b b 2＋c 2－a 22bc 即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。

高二数学余弦定理试题答案及解析

高二数学余弦定理试题答案及解析1.已知的内角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是 .【答案】【解析】因为，所以，由余弦定理可得，又因为，所以.【考点】余弦定理.2.若的内角所对的边满足，且，则的值为 .【答案】【解析】因为，所以由余弦定理可得即，又由，所以.【考点】余弦定理.3.如图所示，已知两座灯塔A、Ｂ与海洋观测站Ｃ的距离都等于，灯塔A在观测站Ｃ的北偏东，灯塔Ｂ在观测站Ｃ的南偏东,则灯塔A与灯塔Ｂ的距离为（）A． B． C．Ｄ．【答案】C【解析】如图可知，根据余弦定理可得，故选C.【考点】1.余弦定理的应用；2.解斜三角形.4.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则∠C=( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，因为，所以。

【考点】余弦定理。

5.的内角的对边分别为．若成等比数列，且，则( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为成比数列，所以有，且，由余弦定理推论，故正确答案是C.【考点】1.余弦定理；2.等比数列.6.在△中，三边、、所对的角分别为、、，若，则角的大小为．【答案】【解析】利用余弦定理变形得到.又因为所以所以【考点】余弦定理7.在△ABC中，已知，则C=（）A．300B．1500C．450D．1350【答案】C【解析】由余弦定理得,所以,选C.【考点】余弦定理的应用8.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为a、b、c成等比数列,所以,又,所以,所以由余弦定理得,所以选B.【考点】余弦定理的应用9.在中,若，，，则= .【答案】1【解析】因为，，，，所以，由余弦定理得，，即，解得，a=1.【考点】本题主要考查余弦定理的应用。

点评：简单题，利用余弦定理，建立a的方程，注意方程根的取舍。

10.（本题满分12分）在△中，角所对的边分别为，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由余弦定理，，得，．（2）方法1：由余弦定理，得，∵是的内角，∴．方法2：∵，且是的内角，∴．根据正弦定理，，得．【考点】解三角形点评：熟练的运用正弦定理和余弦定理是解决该试题的关键，同时要根据同角关系式来求解函数值，属于基础题。

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