七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版
湘教版七年级数学下册教学课件(XJ) 第3章 因式分解 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
湘教版数学七年级下册第3章 因式分解 小结与复习 课件
x y x2 y 2
x y x y
2
2 2 4 a a b 2 ab a b b a b
a b a 2 2ab b 2
a b a b
2
一级达标重点名校中学课件
一级达标重点名校中学课件
典型题，分类剖析：
类型六：利用完全平方式证明和计算有关问题： 已知x= 3 1 ，求x2-2x+1的值
一级达标重点名校中学课件
典型例题，分类剖析：
类型七：转化思想的应用 已知y=2,请你说明无论x取何值时， 代数式（3x+5y）2-2(3x+5y)(3x-5y)+(3x-5y)2的值不变
1.提公因式法．
步骤： ① 找 ； ②拆 ； ③提．
找出公因式的步骤如下： （1）定符号：如果原来多项式的第1项的系数为负，则把负号 提出。【此时括号内的各项要变号．】 （2）定系数：取各项系数的绝对值的最大公因数作为公因式的 系数。 （3）定字母：取各项中相同的字母。【字母的指数取各项中 次数最低的．】 （4）定式子：取各项中相同的式子。【式子的指数取各项 中次数最低的．】
两因数的和恰好等于一次项系数．
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例4 把多项式
2
x x2
2
因式分解
x x2
x 2 x 1
一级达标重点名校中学课件
典型例题，分类剖析：
类型一：用提公因式法分解因式 b2-2b
类型二：用公式法分解因式: a2-4= x2+4x+4=
一级达标重点名校中学课件
x 1 x 1
2
2
湘教版数学七年级下册第3章《因式分解》小结与复习(新课件)
结构图
7.把下列多项式因式分解：
（1）(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)； （2）x3z-4x2yz+4xy2z.
=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y) =(a-b)(x-y+x+y) =2x(a-b)
=xz(x2-4xy+4y2) =xz(x-2y) 2
结构图
8.一种混凝土排水管，其形状为空心的圆柱体,它的内径d=68cm，外
解
(x-3)2-2(x-3)+1
=(x-3-1)2
=(x-4)2
因为2x-1=3，所以x=2.
原式=4.
结构图
11.把下列多项式因式分解：
（1）x2-4y2+x+2y； =(x+2y)(x-2y)+(x+2y) =(x+2y)(x-2y+1)
（2）(x+y)2-4(x+y-1)； =(x+y)2-4(x+y)+4 =(x+y-2)2
课堂中要使学生体验数学与现实生活与其他学科的联系，锻炼了表达 和解决问题的能力；培养了学生运用数学思维进行表达与交流的能力，发 展应用意识与实践能力。课堂教学要让学生有充分的独立思考的时间，有 丰富的动手操作活动，培养学生学会观察，学会表达。只有坚持学习，与 时俱进，真正做到以培养学生的核心素养为目标，我们才能提高教学质量 。
（2）m2n-mn2+mn； =mn(m-n+1)
（3）9x3y3-21x3y2+12x2y2； （4）x2(x-y)+y2(x-y).
=3x2y2(3xy-7x+4)
=(x2+y2)(x-y)
湘教版七年级数学下册_3.1 多项式的因式分解
答案：③⑥
结论 不是
不是 是
知1－练
感ห้องสมุดไป่ตู้新知
知1－练
解法提醒 判断一个多项式的变形是否为因式分解，要“两看”：
一看 “形式”，看结果是不是乘积形式，积中每一个因式 是不是整式；二看“实质”，看等号的左右两边是否相等. 若两者均满足，则是因式分解；否则不是因式分解.
感悟新知
知识点 2 因式分解与整式乘法的关系
分解
整式 计算几个多项 乘法 式相乘的结果
不能有同类项
感悟新知
例2 [ 中考·河池 ] 下列因式分解正确的是( ) A. a2+b2= (a+b) 2
B. a2+2ab+b2= (a － b) 2
C. a2 － a=a (a+1) D. a2 － b2= (a+b) (a － b)
知2－练
感悟新知
知2－讲
1. 整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，
是两种互逆的变形，即多项式
整式的积 .
2. 可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性 .
感悟新知
特别提醒
知2－讲
因式分解与整式乘法的异同：
区别
作用
结果的要求
①各式均为整式； 因式 把一个多项式表示成若干 ②积的形式； 分解 个多项式的 乘 积的形式 ③各式均不能再
感悟新知
知1－练
例1 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的有
______ .
① 24x2y=4x·6xy；②( x+5) (x－5) =x2－25；
③ x2+2x－3=( x+3) ( x－1)； ④ 9x2－6x+1=3x(3x－2) +1；
湘教版 七年级下册数学 因式分解一
第7讲 因式分解（一）提公因式法、公式法一、 知识要点1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。
注：因式分解的结果必须是每一个因式在有理数范围内不能再分解为止。
因式分解是恒等变形，不能随意把多项式改变原来的大小。
2、提公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++多项式中的公因式：数字部分找最大公约数，字母部分找相同的字母和最低次幂3、公式法：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-特点：①公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或某式的平方形式；③分解的结果是这两个数或两个式子的和与它们差的积；④公式中a,b 可以表示单独的数或字母，也可以表示一个单项式或多项式。
（2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=+特点：①左边相当于一个二次三项式；②首末两项符号为正且能写成某数或某式的完全平方形式；③中间一项是这两项两个数或两个式子的积的2倍，符号可正可负；④公式中a,b 可以表示单独的数或字母，也可以表示一个单项式或多项式。
二、知识运用经典例题例1、多项式232118xy axy a xy -+-中的公因式是例2、已知关于x 的二次三项式22x mx n ++因式分解的结果是1(21)()4x x -+，求m ，n 的值。
例3、把下列各式分解因式（1）、2963x x y x z -+（2）、2210515x y xy xy --+（3）、()()()()xx y a b yy x b a ----- （4）、)2()37)(2(b a a b a b a +--+例4、计算201320142014201420132013⨯-⨯例5、把下列各式分解因式（1）211625m - （2）2()1a b +-（3）22(2)16(1)x x -++- （4）21236m n -+（5） 2244x xy y ++ （6）22293m mnn ++三、知识运用课堂训练1、下列各式能用平方差公式分解的是（ ）A 、22m n --B 、2219p q + C 、321649y x -D 、224k h -+2、下列各式是完全平方式的是（ ）A 、214m m ++ B 、22x xy y ++ C 、21x x +- D 、22h d +3、下列多项式能用公式法分解的是（ ）A.22x y --B.232a ab b -+C. 524x y -D. 2210.049y x -4、把多项式22155x y -分解因式是 。
七年级数学下册3.1 因式分解因式分解概念及提取公因式(知识讲解)(湘教版)
专题3.1 因式分解-因式分解概念及提取公因式（知识讲解）【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.特别说明：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和m m为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、 （2012·浙江杭州市·七年级期中）下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1）221()()1x y x y x y -+=+-+；（2）2(2)(1)2x x x x -+=--；（3）232632x y xy xy =⋅；（4）22()()()(1)x y y x a x y a -+-=--；（5）29696x y xy y xy x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）不是因式分解，理由见解析；（2）不是因式分解，理由见解析；（3）不是因式分解，理由见解析；（4）是因式分解，理由见解析；（5）不是因式分解，理由见解析．【分析】（1）根据等式右边()()1x y x y +-+不符合因式分解的定义即可得；（2）根据等式右边22x x --不符合因式分解的定义即可得；（3）根据等式左边236x y 不符合因式分解的定义即可得；（4）根据因式分解的定义即可得；（5）根据等式右边96xy x x ⎛⎫++⎪⎝⎭不符合因式分解的定义即可得． 【详解】因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，称为因式分解（1）不是因式分解，因为()()1x y x y +-+是和的形式；（2）不是因式分解，因为22x x --是和的形式；（3）不是因式分解，因为236x y 是单项式；（4）是因式分解，因为多项式2()()x y y x a -+-分解成两个整式x y -与21a -的积的形式，符合因式分解的定义；（5）不是因式分解，因为96xy x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中的9x 不是整式． 【点拨】本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键．举一反三：【变式】 （2018·全国七年级课时练习）判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．(1)a2－9b2＝(a ＋3b)(a －3b)； (2)3y(x ＋2y)＝3xy ＋6y2；(3)(3a －1)2＝9a2－6a ＋1； (4)4y2＋12y ＋9＝(2y ＋3)2；(5)x2＋x ＝x2(1+1x )； (6)x2－y2＋4y －4＝(x －y)(x ＋y)＋4(y －1)．【答案】(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．【解析】【分析】根据因式分解和整式乘法的定义即可解答.【详解】(1)(4)的变形是把多项式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把多项式化为积的形式，但(1＋1x)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解．(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．【点拨】本题主要考察因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．类型二、提公因式法分解因式2、（2020·广西钦州市高新区实验学校八年级月考）把下列各式因式分解：（1）xy ay by +- （2）()()32x a b y b a ---【答案】（1）()y x a b +-；（2）()()32a b x y -+；【分析】（1） 提取公因式y ，即可得到答案；（2）先把原式化为：()()32x a b y a b -+-，再提取公因式-a b ，即可得到答案； 解：（1）xy ay by +-()y x a b =+-（2）()()32x a b y b a ---()()32x a b y a b =-+-()()32a b x y =-+举一反三：【变式】 （2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）()()242252y x x y -+-【答案】()()245025y x y x -+-【分析】提取公因式法分解因式，寻找相同的公因式即可．原式()()242252y x y x =-+- ()()24252y x y x =-+-⎡⎤⎣⎦()()245025y x y x =-+-【点拨】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握寻找公因式的方法是解题的关键．类型三、提公因式法分解因式的应用5、 （2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）先分解因式，再求值：()()()()23271127x x x x --+--，其中1x =．【答案】()()()2735x x x --+，48【分析】先将原式变形，再提取公因式，整理即可．解：()()()()23271127x x x x --+--()()()()23271127x x x x =--+--()()()273211x x x =---+⎡⎤⎣⎦()()()2735x x x =--+；当1x =时，原式()()()121735=-⨯-⨯+()()168=-⨯-⨯48=．【点拨】本题考查了提取公因式法分解因式及代入求值，正确确定公因式是解题关键． 举一反三：【变式】（2021·河南·八年级期末）已知2ab =，3a b -=-，则2332a b a b -的值为（ ）A ．12-B ．12C ．6-D ．6 【答案】B【分析】把2332a b a b -因式分解，再整体代入即可．解：233222()a b a b a b b a -=-，∵2ab =，3a b -=-，原式=223⨯=12，故选：B ．【点拨】本题考查了因式分解和代数式求值，先把多项式因式分解，再整体代入是解题关键．。
湘教版数学七年级下册知识点归纳
湘教版数学七年级下册知识点归纳初中数学七年级下册知识点归纳（湘教版）第一章二元一次方程1.二元一次方程是含有两个未知数，且未知数的项的次数都是1的方程。
2.由两个含有相同未知数的二元一次方程（或一个二元一次方程和一个一元一次方程）联立起来组成的方程组叫做二元一次方程组。
3.在一个二元一次方程组中，使每一个方程左、右两边的值都相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。
4.代入消元法，即由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有另一未知数的代数式表示，再代入另一方程，便得到一个一元一次方程。
5.加减消元法，即当两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程。
6.列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找等量关系。
第二章整式的乘法7.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即an.am=am+n(m,n是正整数)。
8.幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即(an)m=amn(m,n是正整数)。
9.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即(ab)n=anbn(n是正整数)。
10.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。
11.单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
即a（m+n）=am+an。
12.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn。
13.平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
即（a+b）（a-b）=a2-b2.14.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。
即（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2.15.公式的灵活变形：（a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2，（a+b）2-（a-b）2=4ab，a2+b2=（a+b）2-2ab，a2+b2=（a-b）2+2ab，（a+b）2=（a-b）2+4ab,（a-b）2=（a+b）2-4ab。
湘教版七年级数学下册 课件：《因式分解》小结与复习
即：(x-3)2-4=0
若AB=0则A=0或B=0 方法：右边为0，左边进行因式分解。
1、填空题
（1）若x2+25与一个单项式的和是一个完全平方式,
则这个单项式可以是 ±10x
.
(2) 若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m= 7或-1.
（3）若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=_1_0_0_0_0_______；
(3) 3x³+6x²y+3xy² =3x(x+y)²
(4) x²-4x(x-y)+ 4(x-y)²； (2y-x)2
1、把下列各式因式分解
（1）-x3y3-2x2y2-xy
(2)
1 2
x2+xy+
1 2
y2.
先提公因式-xy，再用公式。 先提公因式 12，再用公式。
（3） (x-y)2 -6x +6y+9
2、检验下列因式分解是否正确？
(1).2ab2+8ab3=2ab2 (1+4b) √ (2). 2x2-9= (2x+3)(2x-3) ×
(3). x2-2x-3=(x-3)(x+1) √ (4). 36a2-12a-1= (6a-1)2 ×
3、填空
（1）.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5)，
因式分解的应用
1，运用因式分解进行多项式除法 2，若A·B=0，则 A=0或B=0
3, 运用因式分解解简单的方程
1、下列代数式的变形当中哪些是因式分解，哪些不是？ (1) 3a2+6a=3a(a+2) 是 (2) (2y+1)(2y-1)=4y2-1 否 (3) 18a3bc=3a2b·6ac 否 (4) x²+2x+1=x(x+2)+1 否
湘教版七年级 第三章 因式分解 知识点小结
湘教版七年级第三章因式分解 知识点小结
一、 因式的定义：一般地，对于两个多项式f 和g ，如果有多项式h 使得f=gh ，那么我们把g 叫作f 的一个因式。
h 也是f 的一个因式。
二、因式分解的定义：把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。
因式分解与整式乘法是互逆的关系
因式分解
多项式 整式×整式
整式乘法
注意：检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等。
三、公因式的定义：几个多项式的公共的因式称为它们的公因式。
四、找公因式的步骤：
1、先确定公因式的系数：各项系数的最大公约数
2、再确定字母及字母的指数：各项中都含有的字母，字母的指数应取它们在各项中次数最低的。
五、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式。
注：在因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止。
六、公式法：
1、平方差公式：)(a b -a 22b a b -+=）（
用平方差公式分解因式的特点：①只有两项；②每一项都能写成平方的形式
2、完全平方公式：222b a b ab 2a ）（+=++
222b -a b 2ab -a ）（=+
七、因式分解的一般步骤：
1、若有公因式，先提公因式。
2、若没有公因式，只有两项则用平方差公式，三项则用完全平方公式。
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版第三章因式分解1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式几个整式的积例：axbx13131x(ab) 3因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部3232分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
2233例1：把12ab18ab24ab分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。
2233解：12ab18ab24ab6ab(2a3b4a2b2)例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式. 解：3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)例3：把多项式x22x分解因式解：x22x=(x22x)᠆ 1;x(x2) （2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
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湘教版七年级数学下册知识点归纳第一章二元一次方程组一、二元一次方程组1、概念：①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数〔即次数〕都是1的方程，叫二元一次方程。
②二元一次方程组：两个二元一次方程〔或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个〕合在一起，就组成了二元一次方程组。
2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等〔即等式成立〕的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。
注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组〔对〕数，用大括号联立；②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解〔即无公共解〕。
二元一次方程组的解的讨论：二元一次方程组 a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2①、当a1/a2≠b1/b2时，有唯一解；②、当a1/a2=b1/b2≠c1/c2时，无解；③、当a1/a2=b1/b2=c1/c2时，有无数解。
例如：对应方程组：①、x+y=4②、x+y=3③、x+y=43x-5y=92x+2y=52x+2y=8例：判断以下方程组是否为二元一次方程组：①、a+b=2 ②、x=4 ③、3t+2s=5 ④、x=11b+c=3 y=5 ts+6=0 2x+3y=03、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：用含X的代数式表示Y，就是先把 X看成数，把Y看成未知数；用含Y的代数式表示X，那么相当于把Y看成数，把X看成未知数。
例：在方程2x+3y=18中，用含x的代数式表示y为：___________,用含y的代数式表示x 为:____________。
4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：1/22要抓住两个方面：①、未知数的指数为1，②、未知数前的系数不能为 0例：方程(a-2)x^(/a/-1) –(b+5)y^(b^2-24)=3 是关于x、y的二元一次方程，求a、b 的值。
湘教版数学七年级下册第三章因式分解第三章_小结与复习
第三章 小结与复习学习目标：1、掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如x 2+(p+q)x+pq 的多项式因式分解。
2、经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.重点与难点：重点是用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解法和形如x 2+(p+q)x+pq 的多项式的因式分解. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.多项式m a +mb+mc 中的各项都有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式的公因式.m a +mb+mc=m(a +b+c)就是把m a +mb+mc 分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式(a +b+c)是m a +mb+mc 除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.探究交流下列变形是否是因式分解？为什么，(1)3x 2y-xy+y=y(3x 2-x)；(2)x 2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x 2y 2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x n (x 2-x+1)=x n+2-x n+1+x n .(1)平方差公式：a 2-b 2=(a +b)(a -b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.(2)完全平方公式：a 2±2a b+b 2=(a ±b)2.其中，a 2±2a b+b 2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 探究交流下列变形是否正确？为什么？(1)x 2-3y 2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x 2-6xy+9y 2=(2x-3y)2；(3)x 2-2x-1=(x-1)2.(1)形如：m+n+bm+bn=(m+n)+(bm+bn)=a (m+n)+b(m+n)=(m+n)(a +b)(2)形如：x 2-y 2+2x+1=(x 2+2x+1)-y 2=(x+1)2-y 2=(x+y+1)(x-y+1).把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q 时，这个式子化成x 2+2px+p 2或x 2+2qx+q 2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.例如：把x 2+3x+2分解因式.(分析)因为二次三项式x 2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x 2+(p+q)x+pq 型式子.解：x 2+3x+2=(x+1)(x+2)【当堂检测】1. 把下列多项式因式分解(1) a 2-25= ； (2) xy 2-x 2y= ；(3) x 2-1= ； (4) 3x 2-3= ；(5) x 2+2xy+y 2-4= ； (6) x 3y 2-4x= ；(7) 2x 2-2= ； (8) a 3+2a 2+a = ；(9) x 3y-4xy+4y= ； (10) a 2-2a b+b 2-c 2= .2. 若9x 2+kxy+36y 2是完全平方式，求k 的值。
湘教版七年级数学下册 期末复习(三) 因式分解 知识梳理
式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2
＋5x－12＝
(x＋3)(3x－4)
．
三、解答题(共52分) 17．(16分)因式分解： (1)12a2b－18ab2－24a3b3；
解：原式＝6ab(2a－3b－4a2b2)． (2)a3－9a； 解：原式＝a(a2－9)
＝a(a＋3)(a－3)．
【思路点拨】 首先把(2－3x)变为－(3x－2)，然后提取公因式即 可将多项式因式分解，再代入数值计算即可求出结果．
【解答】 原式＝(2x＋1)2(3x－2)－(2x＋1)(3x－2)2＋x(2x＋1)(3x －2)
＝(2x＋1)(3x－2)(2x＋1－3x＋2＋x) ＝3(2x＋1)(3x－2)． 当x＝32时，原式＝3×(3＋1)×(92－2)＝30．
此题考查的是整式的化简求值，化简是利用了因式分解，这样计 算比较简便，遇到这类题目时主要利用因式分解简化计算．
4．(2019·株洲荷塘区期末)已知a2－b2＝6，a－b＝－2，则a2＋ 2ab＋b2＝ 9 ．
5．用简便方法计算： 102－92＋82－72＋…＋42－32＋22－12．
解：原式＝(10－9)(10＋9)＋(8－7)(8＋7)＋…＋(4－3)(4＋3)＋(2 －1)(2＋1)
数．
8．计算(－2)2 019＋22 018等于( C )
A．22 019
B．－22 019
C．－22 018
D．22 018
9．已知a2－2a－1＝0，则a4－2a3－2a＋1等于( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
10．对于数a，b，现用“☆ ”定义新运算：a☆ b＝a3－ab，那么将 多项式a☆ 4因式分解，其结果为( A )
湘教版七年级下册数学第2课时 用完全平方公式因式分解
x2-10x+25 x2+2x+4
2 y 1+ y + 4 4x2-12xy+9y2
(x-5)2
不适用
a表示x,b表示5
不适用
2 y 1+ 2
y a表示1,b表示 2
a表示2x,b表示3y
(2x-3y)2
2、下列各式是不是完全平方式？ 1 2 2 （3）4a +2ab+ 4 b 是 （1）a2-4a+4 是 （2）x2+4x+4y2 不是
分解因式的步骤：一提二套
即：(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法 （如平方差公式，完全平方公式）
分解因式的要求：
1、提公因式时不要漏项，掌握公因式的结构， 全部提出来. 2、套用公式时，根据公式特征选择.
3、务必检查是否分解彻底了，结果写成最简形式.
谢谢！
1 2 ( 4 ) m - 3mn + 9n 2 4 1
( 2 m-3n)2
(5) a4+2a2b+b2 (a2+b)2
(6)
4a 12ab 9b
2
2
(2a+3b)2
(7) -x2-4y2＋4xy
-(x-2y)2
(8)
49a b 14ab
2 2
(7a+b)2
中考零距离
1.已知 4x2+kxy+9y2 是一个完全平式，则k= ±12 2.因式分解 x - 2 x y + xy =
先提公因式 分解要彻底
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你能将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因 式吗？这两个多项式有什么特点？ 从项数看：都是有 3 项 从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方, 另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同
湘教版七年级数学下册课件《因式分解》小结与复习
(1).2ab2+8ab3=2ab2 (1+4b) √ (2). 2x2-9= (2x+3)(2x-3) ×
(3). x2-2x-3=(x-3)(x+1) √ (4). 36a2-12a-1= (6a-1)2 ×
3、填空
（1）.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5)，
(4)在多项式4x2+1 中，添加一个单项式，使其成为 一个完全平方式。则添加的单项式____±__4_x______.
(5)已知x2-ax+7 在有理数范围内能分解成两个因式 的积,则正整数a的值是___8_____.
(6)分解因式: a3-2a2+a= a(a-1)2 ； (x+y)2-4(x+y)+4= (x+y-2)2 ； 3x(x-2)-(2-x)= (x-2)(3x+1) ；
C. x(y+3)(y-3)
D. x(y+9)(y-9)
(5) (3a-y)(3a+y)是下列哪个多项式 因式分解的结果( C) A. 9a2+y2 B. -9a2+y2 C. 9a2-y2 D. -9a2-y2
(6)下列多项式中,能用公式法分解因式的是( B)
A. x2+4
B.
x2-x
+
1 4
C. x2+2x+4
x-1=0，x=1或x-5=0，x=5
即：(x-3)2-4=0
若AB=0则A=0或B=0 方法：右边为0，左边进行因式分解。
1、填空题
（1）若x2+25与一个单项式的和是一个完全平方式,
则这个单项式可以是 ±10x
第3章因式分解常考题型讲解-湘教版七年级数学下册期末复习课件(共25张PPT)
考点三 利用提公因式法求值 例3 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91 ＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260；
(2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14 ＝ 20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
2
3
3
-1
2×(-1)+3=7(一次项系数)
解：原式=(2x+3)(3x-1)
考点十 看错系数型
例10．两位同学将一个二次三项式因式分解，一位 同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)， 另一位同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)， 试求原多项式．
解：设原多项式为ax2＋bx＋c(其中a，b，c均为常数，且 abc≠0)． 因为2(x－1)(x－9)＝2(x2－10x＋9)＝2x2－20x＋18， 所以a＝2，c＝18. 又因为2(x－2)(x－4)＝2(x2－6x＋8)＝2x2－12x＋16， 所以b＝－12. 所以原多项式为2x2－12x＋18.
针对训练
9．如果x2－ax＋5有一个因式是x＋5，求a的值， 并求另一个因式．
解：因为5＝1×5，5＝(－1)×(－5)， 又x2－ax＋5有一个因式是x＋5， 因此5只能分解为1×5， 所以x2－ax＋5可以分解为(x＋5)(x＋1)， 即x2－ax＋5＝(x＋5)(x＋1)． 而(x＋5)(x＋1)＝x2＋6x＋5， 所以a＝－6，且另一个因式为x＋1.
考点八 十字相乘法（二次项系数 是1时）
1、
不能用乘法公式，用十字相乘法进行分因式分解
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七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版第三章因式分解1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式几个整式的积例：axbx13131x(ab) 3因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部3232分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
2233例1：把12ab18ab24ab分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。
2233解：12ab18ab24ab6ab(2a3b4a2b2)例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式. 解：3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)例3：把多项式x22x分解因式解：x22x=(x22x)᠆ 1;x(x2) （2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
a.逆用平方差公式：a2b2(ab)(ab)b.逆用完全平方公式：a22abb2(ab)222c.逆用立方和公式：ab(ab)(aab ;b（拓展）)d.逆用立方差公式：a3b3(ab)(a2ab= 483;b2（拓展）)注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
例1：因式分解a214a492解：a14a49=(a7)2例2：因式分解a2a(bc)(bc) 解：a2a(bc)(bc)=(a 1483;bc) （3）分组分解法（拓展）①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式abab1分解因式解：abab1=(aba)᠄ 3;(b1)=a(b1)(b1)& #61501;(a1)(b1) ②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.22例：将多项式a2ab1b因式分解2222222解：a2ab1b=(a2abb)1(a᠄ 5;b)1(ab1)(aɦ 85;b1)2x （4）十字相乘法（形如(pq)xpq(x p)(xq)形式的多项式，可以考虑运用此种方法）222方法：常数项拆成两个因数p和q，这两数的和pq为一次项系数x2(pq)xpqx2(pq)xpq(x᠄ 3;p)(xq)例：分解因式x2x30 分解因式x252x100 补充点详解补充点详解我们可以将-30分解成p×q的形式，我们可以将100分解成p×q的形式，使p+q=-1, p×q=-30,我们就有p=-6, 使p+q=52, p×q=100,我们就有p=2, q=5或q=-6,p=5。
q=50或q=2,p=50。
所以将多项式x2(pq)xpq可以分所以将多项式x2(pq)xpq可以分解为(xp)(xq) 解为(xp)(xq)xx5x2-6x50x2x30(x6)(x5)3.因式分解的一般步骤：x252x100(x50)(x&# 61483;2)如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。
因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。
注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。
一、例题解析提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 【例 1】分解因式：⑴15aab2n110abba(n为正整数)2n⑵4a2n1bm6an2bm1( m、n为大于1的自然数)【巩固】分解因式：(xy)2n1(xz)(x= 485;y)2n2(yx)2n(yz)，n为正整数.【例 2】先化简再求值，yxyxɦ 83;yxyx2，其中x2，y 2求代数式的值：(3x2)2(2x1)(3x2)(2x1)2x(2x1)(23x)，其中x.31． 222221【例 3】已知：bca2，求a(abc)b(ca ;b)c(2b2c2a)的值 公式法平方差公式：a2b2(ab)(ab)①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式：a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2 ①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；分解因式：x3(xyz)(yza)ɦ 83;x2z(zxy)x2y(zx y)(xza).③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：a3b3(ab)(a2ab= 483;b2)a3b3(ab)(a2ab= 483;b2)(ab)3a33a2b3ab2&# 61483;b3(ab)3a33a2b3ab2&# 61485;b（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。