离散的第三篇代数系统
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第5章 代数系统概述 5.1 二元运算、一元运算及其性质 二元运算
设S为集合,函数f：S×S→S 称为S上的二元运算, 简称为二元运算. 一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：
(1)、S中任何两个元素都可以进行这种运算,且 运算的结果是唯一的.
(2)、S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S 对该运算是封闭的.
求A的幺元、零元、可逆元
P.100 例 5.10 （题目及解法有改） 整数集Z上二元运算＊定义为: x,y∈Z,x ＊y = x + y － xy .
指出该运算的性质，并求出它的幺元、零元、 所有可逆元的逆元. 解： x,y ∈Z, x ＊y = x + y － xy = y+x –yx=y ＊x,
得（A⊕θ）⊕ θ = θ⊕θ ， 即 A⊕（θ⊕θ） = Φ，
A⊕Φ = Φ， A = Φ， 与 A 的任意性矛盾.
定理 设 ＊为S上的二元运算, 则S中关于运算＊至多有一个 零元. 3、逆元
设＊为S上的二元运算,e 是 S 关于运算＊的幺元，对于x∈S, 若存在y ∈S使得 y ＊x =x＊y = e ， 则称y 是x的逆元,并称x是可逆的
一元运算 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一元运算,简
称为一元运算. 例如，求一个数的相反数就是R上的一个一元运算. 即 f: R→R ， f(x)=－x
求实数的绝对值是R上的一元运算 求复数的共轭复数是复数集上的一个一元运算. 求集合的补集也是一元运算. 命题逻辑中求 ﹁ 是命题公式全体所成集合上的一 元运算
例 设A={x︱x=2n,n N},则在集合A上通常的乘法 运算是A上的二元运算？加法运算呢？ 解：对任意的x，yA, 设x=2r，y=2s，r,s N x·y=2r·2s=2r+s A,所以，A对乘法封闭，且运算结 果唯一，所以，பைடு நூலகம்运算是A上的二元运算 但加法不是A上的二元运算，事实上 取x=2，y=22 A,则 X+y=2+4=6 A，所以，A对加法运算不封闭.
对于一元运算 f：S→S ，如果 x 的运算结果是y, 则f(x) = y,利用运算符，如⊕，简记为⊕ x = y 如求A的补集记成~A，或
A, 或A¢等.
表示二元或一元运算的方法 (1)、解析公式法
所谓解析公式就是使用算符和表达式给出参与运算 的元素和运算结果之间的映射规则. 例如： f：N×N → N ，f (<m,n>) = 2m+n.
交运算∩的单位元是S， 对称差运算⊕的单位元是Φ
例 考虑非零实数全体所成集合R*，如下定义的二元运 算 °：
对任意的a,b ∈R*, a ° b = a 则运算没有单位元 定理 设 ＊为S上的二元运算, 则S中关于运算＊至多有 一个幺元.
2、零元 设＊为S上的二元运算, θ ∈S (书上是z,要改)
x的逆元记为x-1 定理 设＊为S上的二元运算,如果＊可结合， 则对于S中每个元素x,x关于＊至多有一个逆元.
4、消去律（书上有错 P.100) 设 °为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z ∈S， 满足以下条件：
(1)、若x °y = x °z 且 x ≠θ，都有 y = z; (2)、若y °x = z °x 且x ≠θ，都有y = z; 则称 °运算满足消去律. 其中(1)称为左消去律， (2)称为右消去律. 例 设A={1,2, …,10}, A上二元运算 ° 定义如下: 对任意的a,b∈A, a ° b = max{a,b}.
（2）、运算表法
表给出.
例 S={a,b,c,d},S上的二元运算 °如下表定义
°a b c
d
aad
c
c
bca
b
d
caa
c
b
d dd
a
b
二元运算的性质 设 ＊为S上的二元运算, (1)、 如果对于任意的x,y∈S,有x ＊ y = y ＊ x, 则称运算 ＊是可交换的，或称＊在S上满足交换律. (2)、 如果对于任意的x,y,z∈S有 (x ＊ y) ＊ z = x ＊(y ＊ z),则称运算 ＊是可 结合的，或称运算＊在S上满足结合律. (3)、如果对于任意的x∈S有x ＊ x = x,则称运算 ＊ 在S上满足幂等律 .
有
x ＊ (x ° y) = x
x °(x ＊ y) = x,
则称°和＊运算满足吸收律. （书上有错 P.99）
二元运算中的特殊元素 1、幺元（单位元）
设 ＊为S上的二元运算, e ∈S，如果对任何x ∈S 都有 e ＊ x = x＊ e= x ，则称e 是关于运算 ＊ 的幺元. 例 在自然数集N上，0是加法的单位元， 1是乘法 的单位元。 例 幂集P(S)上，并运算∪的单位元是Φ ，
例如 f：N×N → N, f(<x,y>) = x + y 就是自然数集合N上的二元运算,即普通的加法运 算 普通的乘法也是N上的二元运算， 但减法、除法不是N上的二元运算 集合的交、并、差、对称差运算都是某幂集 P（A）上的二元运算 命题逻辑中求 ∧、∨、→、 是命题公式全 体所成集合上的二元运算
如果对任意的x∈S 都有θ＊x =x＊θ =θ 则称 θ 是S中关于运算 ＊的零元 例如，自然数集合上0是普通乘法的零元，而加法没 有零元. 幂集P(S)上∪运算的零元是S，∩运算的零元是Φ， 而对称差运算⊕没有零元. 若不然，设 θ 是零元，则对任意的A ∈ P(S)
A⊕ θ = θ ⊕A = θ 由 A⊕ θ = θ ， 两边同时右运算θ,
(4)、设° 和＊为S上两个不同的二元运算,
如果对于任意的x,y,z∈S有
x＊ ( y ° z ) =(x＊y) ° (x ＊ z)
( y ° z) ＊ x =(y ＊ x) ° (z ° x),
则称运算＊对运算°是可分配的，也称＊对°满 足分配律.（书上有错 P.99）
(5)、如果°和＊都可交换,并且对于任意的x,y∈S ，
所以＊满足交换律.
x,y,z ∈Z, (x ＊y ) ＊z =(x + y – xy) ＊z = (x + y – xy) +z – (x + y – xy) z = x+y +z – xy – xz – yz + xyz x ＊ ( y ＊z ) = x ＊(y +z – yz) = x + (y+z – yz) – x(y +z – yz) = x + y + z – xy – xz – yz + xyz 即 (x ＊y ) ＊z = x ＊ ( y ＊z ) 所以， ＊满足结合律.
设S为集合,函数f：S×S→S 称为S上的二元运算, 简称为二元运算. 一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：
(1)、S中任何两个元素都可以进行这种运算,且 运算的结果是唯一的.
(2)、S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S 对该运算是封闭的.
求A的幺元、零元、可逆元
P.100 例 5.10 （题目及解法有改） 整数集Z上二元运算＊定义为: x,y∈Z,x ＊y = x + y － xy .
指出该运算的性质，并求出它的幺元、零元、 所有可逆元的逆元. 解： x,y ∈Z, x ＊y = x + y － xy = y+x –yx=y ＊x,
得（A⊕θ）⊕ θ = θ⊕θ ， 即 A⊕（θ⊕θ） = Φ，
A⊕Φ = Φ， A = Φ， 与 A 的任意性矛盾.
定理 设 ＊为S上的二元运算, 则S中关于运算＊至多有一个 零元. 3、逆元
设＊为S上的二元运算,e 是 S 关于运算＊的幺元，对于x∈S, 若存在y ∈S使得 y ＊x =x＊y = e ， 则称y 是x的逆元,并称x是可逆的
一元运算 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一元运算,简
称为一元运算. 例如，求一个数的相反数就是R上的一个一元运算. 即 f: R→R ， f(x)=－x
求实数的绝对值是R上的一元运算 求复数的共轭复数是复数集上的一个一元运算. 求集合的补集也是一元运算. 命题逻辑中求 ﹁ 是命题公式全体所成集合上的一 元运算
例 设A={x︱x=2n,n N},则在集合A上通常的乘法 运算是A上的二元运算？加法运算呢？ 解：对任意的x，yA, 设x=2r，y=2s，r,s N x·y=2r·2s=2r+s A,所以，A对乘法封闭，且运算结 果唯一，所以，பைடு நூலகம்运算是A上的二元运算 但加法不是A上的二元运算，事实上 取x=2，y=22 A,则 X+y=2+4=6 A，所以，A对加法运算不封闭.
对于一元运算 f：S→S ，如果 x 的运算结果是y, 则f(x) = y,利用运算符，如⊕，简记为⊕ x = y 如求A的补集记成~A，或
A, 或A¢等.
表示二元或一元运算的方法 (1)、解析公式法
所谓解析公式就是使用算符和表达式给出参与运算 的元素和运算结果之间的映射规则. 例如： f：N×N → N ，f (<m,n>) = 2m+n.
交运算∩的单位元是S， 对称差运算⊕的单位元是Φ
例 考虑非零实数全体所成集合R*，如下定义的二元运 算 °：
对任意的a,b ∈R*, a ° b = a 则运算没有单位元 定理 设 ＊为S上的二元运算, 则S中关于运算＊至多有 一个幺元.
2、零元 设＊为S上的二元运算, θ ∈S (书上是z,要改)
x的逆元记为x-1 定理 设＊为S上的二元运算,如果＊可结合， 则对于S中每个元素x,x关于＊至多有一个逆元.
4、消去律（书上有错 P.100) 设 °为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z ∈S， 满足以下条件：
(1)、若x °y = x °z 且 x ≠θ，都有 y = z; (2)、若y °x = z °x 且x ≠θ，都有y = z; 则称 °运算满足消去律. 其中(1)称为左消去律， (2)称为右消去律. 例 设A={1,2, …,10}, A上二元运算 ° 定义如下: 对任意的a,b∈A, a ° b = max{a,b}.
（2）、运算表法
表给出.
例 S={a,b,c,d},S上的二元运算 °如下表定义
°a b c
d
aad
c
c
bca
b
d
caa
c
b
d dd
a
b
二元运算的性质 设 ＊为S上的二元运算, (1)、 如果对于任意的x,y∈S,有x ＊ y = y ＊ x, 则称运算 ＊是可交换的，或称＊在S上满足交换律. (2)、 如果对于任意的x,y,z∈S有 (x ＊ y) ＊ z = x ＊(y ＊ z),则称运算 ＊是可 结合的，或称运算＊在S上满足结合律. (3)、如果对于任意的x∈S有x ＊ x = x,则称运算 ＊ 在S上满足幂等律 .
有
x ＊ (x ° y) = x
x °(x ＊ y) = x,
则称°和＊运算满足吸收律. （书上有错 P.99）
二元运算中的特殊元素 1、幺元（单位元）
设 ＊为S上的二元运算, e ∈S，如果对任何x ∈S 都有 e ＊ x = x＊ e= x ，则称e 是关于运算 ＊ 的幺元. 例 在自然数集N上，0是加法的单位元， 1是乘法 的单位元。 例 幂集P(S)上，并运算∪的单位元是Φ ，
例如 f：N×N → N, f(<x,y>) = x + y 就是自然数集合N上的二元运算,即普通的加法运 算 普通的乘法也是N上的二元运算， 但减法、除法不是N上的二元运算 集合的交、并、差、对称差运算都是某幂集 P（A）上的二元运算 命题逻辑中求 ∧、∨、→、 是命题公式全 体所成集合上的二元运算
如果对任意的x∈S 都有θ＊x =x＊θ =θ 则称 θ 是S中关于运算 ＊的零元 例如，自然数集合上0是普通乘法的零元，而加法没 有零元. 幂集P(S)上∪运算的零元是S，∩运算的零元是Φ， 而对称差运算⊕没有零元. 若不然，设 θ 是零元，则对任意的A ∈ P(S)
A⊕ θ = θ ⊕A = θ 由 A⊕ θ = θ ， 两边同时右运算θ,
(4)、设° 和＊为S上两个不同的二元运算,
如果对于任意的x,y,z∈S有
x＊ ( y ° z ) =(x＊y) ° (x ＊ z)
( y ° z) ＊ x =(y ＊ x) ° (z ° x),
则称运算＊对运算°是可分配的，也称＊对°满 足分配律.（书上有错 P.99）
(5)、如果°和＊都可交换,并且对于任意的x,y∈S ，
所以＊满足交换律.
x,y,z ∈Z, (x ＊y ) ＊z =(x + y – xy) ＊z = (x + y – xy) +z – (x + y – xy) z = x+y +z – xy – xz – yz + xyz x ＊ ( y ＊z ) = x ＊(y +z – yz) = x + (y+z – yz) – x(y +z – yz) = x + y + z – xy – xz – yz + xyz 即 (x ＊y ) ＊z = x ＊ ( y ＊z ) 所以， ＊满足结合律.