成都七中20届高三理科数学上学期半期考试试卷及答案
2020届四川省成都市第七中学高三上学期期中考试数学(理)试卷带解析
【答案】 【解析】
【分析】利用正方体棱的关系，判断平面 所成的角都相等的位置，然后求解 截此正方体所得截面三角形面积的最大值．
【详解】解：正方体的所有棱中，实际上是 组平行的棱，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，如图所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面 时，满足平面 与正方体每条棱所成的角均相等，
8.已知等比数列{an}的各项均为正数，且 ， ，a2成等差数列，则 =（）
A.1B.3C.6D.9
【答案】D
【解析】
【分析】设各项都是正数的等比数列 的公比为 ， ，由题意可得关于 的式子，解得 ，而所求的式子等于 ，计算可得．
【详解】设各项都是正数的等比数列 的公比为 ， ，
由题意可得 ，即 ，
．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了几何概型中的长度类型问题，属于基础题．
6.已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}是等差数列”是“ 是等差数列”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的定义证明求解.
【详解】首先证“充分条件”：因为{an}是等差数列，所以
三、解答题（本大题共7小题，17-21题各12分，22或23题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数 .
（1）用“五点作图法”作出 在一个周期内的图像；
（2）在 中，若函数 在角 处取得最大值，且 ，求 周长的最大值.
【答案】（1）作图见解析（2）
四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学卷
四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学卷一、单选题1．复数12i34i +-的虚部是（）A ．15-B ．15C ．25-D ．252．式子1tan151tan15+-的值为（）AB ．2CD3．设{a n }是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（）A ．152B ．314C ．334D ．1724．在()()()342111n x x x +++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数是（）A ．33C n +B ．23C 1n +-C ．33C 1n +-D ．331C n +-5．已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（）A ．()()22(2)log af f f a <<B ．()()2log (2)2af a f f <<C ．()()2log 2(2)af a f f <<D ．()()2(2)log 2af f a f <<6．若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c === ，则()()a b c b -⋅-的最大值为（）A ．10B ．12C．D．7．若对x ∀∈R ，函数()2x f x a =+的函数值都不超过函数()2,12,1x x g x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩的函数值.则实数a 的取值范围是（）A ．2a ≥-B ．2a ≤C ．22a -≤≤D ．2a <8．在三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB CC ==，AB =，1C 在面ABC 的投影为ABC V 的外心，二面角11A CC B --为π3，该三棱柱的侧面积为（）A ．3B ．C ．D ．二、多选题9．对于样本相关系数，下列说法正确的是（）A ．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性B ．样本相关系数可以是正的，也可以是负的C ．样本相关系数越大，成对样本数据的线型相关程度越强D ．样本相关系数[]1,1r Î-三、单选题10．为得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数2sin2y x =的图象（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移5π6个单位长度D ．向右平移11π3个单位长度四、多选题11．正实数x ，y 满足1x y +=，则下列选项一定成立的是（）A ．1410x y+≥B ．22x y +≥C ．11254x y x y ⎛⎫⎛⎫++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．316y x xy+≥五、填空题12．命题“x ∀∈N ，21x >”的否定为.13．若()1,1A --，()3,7B ，()7,5C ，()8,2D 四点在同一个圆上，则该圆方程为.14．椭圆()222210+=>>x y a b a b左焦点()1,0F -关于直线y bx =的对称点在椭圆上，则该椭圆离心率为六、解答题15．设ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3c =，且1sin cos 64C C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小；（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B = 共线，求a ，b 的值.16．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上（含9.50m ）的同学将得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望()E X ．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．18．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>左焦点F 和(),0A a ，()0,B b 构成一个面积为)21的FAB ，且cos 2AFB ∠=.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)点P 是E 在三象限的点，PA 与y 轴交于M ，PB 与x 轴交于N ①求四边形ABNM 的面积；②求PMN 面积最大值及相应P 点的坐标19．已知函数()2e 1.xf x ax x =---（其中e 2.71828≈）(1)当0a =时，证明：()0f x ≥(2)若0x >时，()0f x >，求实数a 的取值范围；(3)记函数()e 12ln x g x x x-=-的最小值为m ，求证：23,e 120m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭。
2020届四川省成都七中高三上学期入学数学(理)试题(解析版)
2020届四川省成都七中高三上学期入学数学（理）试题一、单选题21 .已知集合A x x 1 , B xx x 0，则（）A. A BB. B AC. AB x x 1D. A B x x 0【答案】B【解析】分析：根据一元二次不等式的解法求得集合B,之后根据子集的定义可以判断出B A，根据交集中元素的特征求得A B x|0 x 1，根据并集中元素的特征，可以求得A B= x|x 1，从而求得结果.详解：由x2 x 0可以求得0x1,从而求得B x|0 x 1，所以A B x|0 x 1 , A B= x|x 1 ,故选B.点睛：该题以集合为载体，考查了一元二次不等式的解法，并考查了集合间的关系以及集合的交并运算，属于简单题目•a2•已知a R , i为虚数单位，若i为实数，则a的值为（）iA. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解可得答案•【详解】a ai解：Q — i p i 1 a i为实数，i i1 a 0，即a 1 .故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3 .《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗•问：五人各得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子•这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（）【答案】C【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题， 已知公差、项数与和, 求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式, 最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果 详解：设第一个人分到的橘子个数为a 1,5 4由题意得S 5 5a 1 3 60,解得a 1 62则 a5 6(5 1) 3 6 1218，故选 C.所以应用相应的公式求得对应的量即可A . 15B. 16C. 18D. 21点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题, 在求解的过程中，注意分析题的条件,已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中,a 「d, n,a n ,S n 这五个量是知三求二的,【解析】 利用函数的奇偶性排除 B ，D ,利用函数的单调性排除 C ，从而可得结果. 【详解】(X )2f x 为奇函数,其图象关于原点对称, 故排除 B, D , y x 2 在 0, 上是增函数且y e x e x 在 0,上是增函数且所以f x x 2 e xxe 在0,是增函数，排除C ，故选A.4 .函数f x的大致图象为（A【答案】B .D.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：⑴从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象•5. (2x . x)5的展开式中，x4的系数是()A. 40B. 60C. 80D. 100【答案】C【解析】先写出二项展开式的通项，然后令X的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出结果.【详解】k(2x . x)5二项展开式的通项为T k, C5 (2x)5 k( . x)k C5 25 k x5 2.k令5 —4，得k 2 .2_ 2 3因此，二项展开式中x4的系数为C5 2 80，故选C.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题•二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：(1)考查二项展开式的通项公式T r 1 C；a n r b r；(可以考查某一项，也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和；(3)二项展开式定理的应用. 6•按照如图的程序框图执行，若输出结果为15,则M处条件为A. B • C • !,忙D • A【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的框图，分析可知其任务是对等比数列求和的问题，发现数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而很容易发现其前4项和等于15, 而对于k的值为数列的项，结合题中的条件，分析各选项，可以求得正确结果详解：根据题中所给的程序框图，可以确定该题要求的是k = 卜丁…对应的正好是以1为首项，以2为公比的等比数列，该数列的前4项和正好是15,结合题中所给的条件，一一试过，可知选 A.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果7.已知锐角△ ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,贝U b 等于（）A. 10B. 9C. 8D. 5【答案】D【解析】由题意知,23cos 2A+2cos2A-仁0,2 1即cos A= ,25又因△ ABC为锐角三角形，1所以cosA=—.512 2 2 I△ ABC中由余弦定理知7 =b +6 -2b X 6X ,5212即b- b-13=0,512即b=5或b=——（舍去）,故选D.58.曲线y-与直线y 5 x围成的平面图形的面积为（x)15151515A. B. C. 4ln 2 D. 8ln 22442【答案】D【解析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果•【详解】4作出曲线y —与直线y 5 x 围成的平面图形如下:xy —由x 解得：x 1或x 4, y 5 x所以曲线y—与直线 y 5 x 围成的平面图形的面积为x441 241 15S5 x 一 dx5x — x4l nx20 8 4l n45 —— 8l n2 1x212 2故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即 可，属于常考题型•9.已知函数f x xlnx ,若直线l 过点0, e ，且与曲线y f x 相切，则直线l 的斜率为（ ） A . 2 B. 2C. eD. e【答案】B【解析】求得f x 的导数，设出切点 m,n ,可得切线的斜率，结合两点的斜率公式， 解方程可得m 从而可得结果. 【详解】函数f x xlnx 的导数为f' x lnx 1, 设切点为 m,n ，贝U n mlnm , 可得切线的斜率为 k 1 lnm ,【点睛】所以1 lnm mlnm e m解得m e , k1 Ine 2,故选 B .本题主要考查利用导数求切线斜率， 属于中档题•应用导数的几何意义求切点处切线的 斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A x 0, f X )求斜率k ,即求该点处的 导数kX o ； (2)己知斜率k 求切点A X 1, f X !,即解方程f X ! k ； (3)巳知切线过某点M N ，f N (不是切点)求切点，设出切点A X o ,X o ,利用f x-if X )k-- f X )求解•X X o10 .巳知将函数 f (X ) sin(2x) 0的图象向左平移2的图象•若g X 是偶函数•则f —=()3B.二C. _!2 2A先由题意写出g X sin 2x 3 ，根据g X 是偶函数求出 ，即可得出个単位长度后•得到函D. 1【答案】【解析】结果• 【详解】由题意可得：g x sin 2x 3,因为g X 是偶函数，所以 3k k Z ，即k k Z ,26 3又0，所以0k解得-k 1，所以 k0,故_2 6 3226所以fsin 2 — _133 6 2故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可, 属于常考题型图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色， 相邻区域11 •如图为我国数学家赵爽 约3世纪初N 在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意B.-7C.7 匸【答案】D【解析】利用分步计数原理求出不冋的涂色方案有420种，其中，八*E区域涂色不相同的情况有120种，由此根据古典概型概率公式能求出区域涂色不相同的概率.【详解】根据题意，如图，设5个区域依次为，分4步进行分析：P4对于区域，有5种颜色可选；|1；胡，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；$列，对于区域环与区域相邻，有3种颜色可选；胡，对于区域，若与刽颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，啊区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选,则区域也日有卜- =讨种选择，则不同的涂色方案有tut駅二＜X|#，其中，氐叮区域涂色不相同的情况有：K-1对于区域，有5种颜色可选；底讣对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；防耳，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；忙儿对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，啊区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选,则区域也计有—二1二种选择，不同的涂色方案有「—「4马）种，区域涂色不相同的概率为，故选D.r 420【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式?--求得概率•12 •如图，将边长为1的正方形ABCD& x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当第7提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色, 相邻区域颜色不同,页共20页B 落在x 轴时，又以B 为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C 滚动时的曲线方程为y f x ，则下列说法不正确的是 ()A . f4『x 0恒成立B . f f x f x 82C. f xx 4x 3(2 x 3)D. f 2019【答案】C【解析】根据正方形的运动关系， 分别求出当X 0 ,1,2,3,4时对应的函数值f X ， 得到f x 具备周期性，周期为 4，结合图象，当2 x 3时，C 的轨迹为以 2,0为1圆心，1为半径的丄圆，即可判断所求结论.4【详解】解：Q 正方形的边长为1, 正方形的对角线 AC 2 ,则由正方形的滚动轨迹得到x 0时，C 位于0,1点，即f 01,当x 1时，C 位于1,-、2点，即f 1 2 , 当x 2时，C 位于2,1点，即f 21, 当x 3时，C 位于3,0点，即f 3 0, 当x 4时，C 位于4,1点，即f 41,则f x 4 f x ，即f x 具备周期性，周期为 4, 由图可得f x0恒成立；f x 8 f x ；1当2 x 3时，C 的轨迹为以 2,0为圆心，1为半径的一圆，方程为42 2(x 2) y 1(2 x 3,y 0);f 2019 f 504 4 3 f 3 0,综上可得A, B, D正确；C错误.故选：C.【点睛】本题主要考查函数值的计算和函数的解析式和性质，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键.二、填空题13 .已知等差数列a n，且34 8，则数列a n的前7项和S7 ________【答案】56【解析】由等差数列的性质可得：31 a7 2a4.利用求和公式即可得出数列a n的前7项和S7.【详解】解：由等差数列的性质可得：a, a72a416 .数列a n的前7项和S7匸一埜7 8 56 .2故答案为:56 .【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.x y2014 .若x，y满足约束条件y20，则' x2 y2的最小值为x y20【答案】,2【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：此时最小值d 则X y 2的最小值是，2 , 故答案为：「2 •【点睛】 本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式结合数形结合是解决本题的关 键.a •b = X 1X 2+y i y 2；三是利用数量积的几何意义(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公 式进行化简•16 .若过抛物线y 2 4x 上一点P 4,4，作两条直线 PA PB分别与抛物线交于uuu uuu AC 的夹角为120，且ABuuur 3, AC c uju 2，若 APuuuUULT AB AC ，uuu 且AP uuuBC 则实数 【答案】712【解析】••• '丄■,二■ .「=(入［+「)•(-—沽•)=—入［2+ 一2+ (入一1）苇■•上1；= 0，即一入 x 9+ 4 + （入一1） x 3x 2x点睛：平面向量数量积的类型及求法—*)= 0，解得入=(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 a • b =|a || b |cos 9 ；二是坐标公式由图象得0到直线X y 20的距离最小,的值为15 .已知向量AB 与又X-i【点睛】于基础题.三、解答题i7•已知等差数列 a n 的前n 项和为S n ，且S 3 9，又a i 2 .i 求数列a n 的通项公式；ai2若数列b n 满足b n 2 n ，求证：数列b n 的前n 项和T n 2 •【答案】(i ) a n n i (2)证明见解析【解析】i 直接利用等差数列前 n 项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项 公式.A(X i , y i ), B(X 2, y 2)两点,若它们的斜率之和为0,则直线 AB 斜率为【答案】【解析】根据斜率公式可得出- 4 X iy 4X 2X i2 yiT ，X22丫乙化简可得4y i y 28,再根据斜率公式可得k AB【详解】解：依题意有y i 4 y 2 4X -I4 X 2 40,所以y i 42鼻44y 2 4 72 0 4 2 y 24 所以y iiy 2 4 0,所以 y iy 28,所以y i y 2 X i X 2y i y 2 y i y 2 44y i y 2本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用, 斜率公式的应用，考查了计算能力•属22利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和.【详解】解：1设a n 的公差为d ,因为S 3 9，又a-i 2 . 所以S 3 3a 1 3 2d9，解得d 1 .2故a n2 n 1 n 1 .2证明： 由于 a nn 1 ,所以b n£ 11141 1 所以T n山2(1 x 2 (1)n12n 4 1( )12 2211 222【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前 缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.118 .如图1,在正方形 ABCD 中，E 是AB 的中点，点F 在线段BC 上，且BF - BC .4若将 AED, CFD 分别沿ED,FD 折起，使A,C 两点重合于点M ,如图2.图1图2(1)求证：EF 平面MED ;⑵ 求直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;丄和平面MFD 的一个法向量，利用向量的夹角公式,2即可求解.n 项和的应用，放 【解析】(1)设正方形 ABCD 的边长为4，由DE 2 EF 2DF 2，可得EFED ,结合MD EF ，禾U 用线面垂直的判定定理，即可得到 EF 平面MED .(2)建立空间直角坐标系，过点M 作MN ED ，垂足为N ，求出向量C)cosC【详解】（1）证明：设正方形A0CD 的边长为4,由图1知,AE = BE = 2,BF = 1「CF = 3|DE’ + EF ? = D F ，^DEF = 90',即EF 丄 ED由题意知，在图 2中，胡D 丄MF ,何D 丄林FMEu 平面胡EF ,何Fu 平面常EF ,且ME n MF = M ,AMD 丄平面閘E F , vEF u 平面研E F |,几加丄EF .又二….二平面Hb ,f —平面w 匸，且⑴nm 、丨丄平面M .（2）由（1）知EF 丄平面MED ，则建立如图所示空间直角坐标系，过点 閘作胡NIED ，垂足为N ，屛EM = ：],心十&¥笛，FD = （ •屁网.设平面制FD 的一个法向量为；十川，则“5"T'，[-^ + 2^57 = 0令"2，^X"，"4，订=（乙10.设直线EIV1与平面何FD 所成角为8【点睛】该题考查的是有关立体几何的有关问题，一是线面垂直的判定， 一定要把握好线面垂直的判定定理的条件，注意勾股定理也是证明线线垂直的好方法，二是求线面角，利用空 间向量来求解，即直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于线面角 的正弦值，求得结果•19 . 2016年某市政府出台了“ 2020年创建全国文明城市 （简称创文）”的具体规划，今日作在 RtADME 中,则sinO = cos < EM ,n >EM n v 5:.直线与平面•所成角的正弦值为,从而*：,〔,，DPZ.5®,为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：① 调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，60,80内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率.*1求被调查者满意或非常满意该项目的频率；2若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；13已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占-，现从评分低于60分的被调查者3中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望E .12 2【答案】（1）0.78 ；（2）；（3）.125 3【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是10.016 0.004 10 0.2 ，根据独立重复试验n次发生k次的概率公式可得结果；5（3）随机变量的所有可能取值为0, 1, 2,利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在60,100的频率为:30.028 0.03 0.016 0.004 10 0.78；(2)根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是1 0.016 0.004 10 0.25用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人,1该人非常满意该项目的概率为-，5现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：12 1251(3)v 评分低于60分的被调查者中，老年人占 -， 3又从被调查者中按年龄分层抽取9人，•••这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量的所有可能取值为0, 1, 2,c 3 c 6 18 1 c| 36 2(1)求椭圆C 的标准方程c 0 o f15 36C 32 C ； 3 136 12的数学期望E362 1 22 . 12 32 220 .已知椭圆C 三占a b1 a b 0的焦点坐标分別为 R 1,0 , F2 1,0 , P 为 椭圆C 上一点，满足3 PF 15PF 2 且 cos RPF 2详解：（1）由题意设PF ,在 PF”中,25 a 42 5a 4r i ， 由余弦定理得,3a 4 _T~a4222 PF 2cos F 1PF 2F 1F22^22a ，解得a 2， Qc 1，b 2 a 2c 2所求椭圆方程为x 2（2）联立方程 4y 2y3 kx，消去y 得 4k8kmx 4 m 2 12则 x-i x 238 km 4k2， X 1X 2 4m 2 124k 2，且48 3 4k 20…①设AB 的中心为M X g ,y o ，则 xX 1 X 22 Q AQAB QM ,即,k k QM4 km 3 4k3m 3 4k 2 4 km 3 4k 2kx g解得4k3m2，3 4k 2⑵设直线ly kx m 与椭圆C 交于代B 两点，1点 Q -,0 ，若 AQBQ ,求k的取值范围•【答案】（1）2x 2y 1 ; (2) k1J1 J24 32【解析】分析：第一问首先根据题中条件将涉及到的量设出来，之后结合椭圆的定义以 及对应的线段的倍数关系， 求得对应的边长，利用余弦定理借用余弦值建立边之间的等 量关系式，从而求得 a,c 的值，借用椭圆中a,b,c 的关系，求得b 的值，从而求得椭圆 的方程，第二问将直线的方程与椭圆的方程联立，求得两根和与两根积，从而求得线段 的中点，利用条件可得垂直关系，建立等量关系式，借用判别式大于零找到其所满足的 不等关系，求得 k 的取值范围.2 24k 1 4k 3解得k会找对应的不等关系.0,恒成立;(1)先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数对函数h x 进行一阶导数和二阶导数的分析，得到 h x 在0, 上单调递增，则当x 0时，h x h 0 e 0 1 0.命题得证.(2)先对整理后的F x 进行一阶导数的分析，画出函数F x 大致图象，可知F 捲 0 , F x ? 0.然后采用先取对数然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明. 【详解】证明：1由题意，可知1 2 5 x 231 2 5 x1 2x — e x x — x — e x x 1 2 22 2 2 2x 1 2令 h x e x x 1, x 0.则2h' x e x x 1, x 0.h x e x 1 ,把②代入①得3 4k 2223 4k 23，整理得4k16k 4 8k 2 3 0，即点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题, 涉及的知识点有椭圆的定义、余弦定理、椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相交的有关问题, 要会将题中条件加以转化，再者要 21 .已知函数f xxxe , g x求证:X i【答案】f x(x 3 g x x — 20)，若0 为 X 2 ,为X 2 2，求证:(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】Q 当 x 0 时，h x e x 1 0,h' x 在0,上单调递增.当 x 0 时，h' x h' 0 0 ,h x 在0,上单调递增.当 x 0 时，h x h 0 e 0 1 0. 故命题得证.e x2由题意，F x , x 0.xF' x① 令F' x 0 ,解得x 1 ;② 令F' x 0，解得0 x 1 ;③ 令F' x 0，解得x1 .F x 在0,1上单调递减，在1- 上单调递增,X 1 x 2e 1 e 2In In x lnx 1x 2 lnx 2 x 1 x 2 lnx 1 lnx 2X X 2Q 0 为 X 2,为 X 2 2,x2lnF x lnF x 2在x 1处取得极小值F 1 e .根据对数平均不等式，有x 1 x 2x 1 2 x 21 ,lnx 1 lnx 2 lnFx 1 lnF x> 1 lnx 1 lnx 2 2 1 1 0 X 2 X 2Q x X 2 0,lnFlnF X 2 0 .F % F x 2故得证.【点睛】本题主要考查函数的一阶导数和二阶导数对函数单调性分析的能力，数形结合法的应 用，构造函数，构造对数平均数，利用对数平均不等式的技巧，本题属偏难题.x 1 cos22 .在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为 (参数)，以0为极点, y sin x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线I 的极坐标方程为sin 、3cos 3,3 .(1)求C 的极坐标方程; 求OP 0Q 的取值范围【答案】(1) 2cos ； (2) 0 OP OQ 6.【解析】 试题分析：(1 )圆C 的参数方程消去参数 0,能求出圆C 的普通方程，再由 x= p cos 0, y= p sin B,能求出圆 C 的极坐标方程.OP OQ = p 1 p 2,结合 tan 0 1 > 0,能求出 Op ||OQ 的范围.试题解析：2 o(1)圆C 的普通方程是 x 1y 2 1，又x cos , y sin所以圆C 的极坐标方程是 2cos(2)设 P 1, 1 ，则有 1 cos 1, 设Q 2, 1 ,且直线l 的方程是 sin ..3cos 3 3，则有(2)若射线0Mn 「圆C 的交点为0, P ，与直线1的交点为Q ,(2)设 P (p 1,0 1),则有 p 1=cos 0 1, Q (p 2,0 1),贝U 23.3 sin 1 i3cos 13^3sin 1\ 3cos 1dll——6j3cos 16/3 小所以OP||OQ i 2 ——-—— ------ 0 i —sin 1 J3cos 1 J3 tan 12因为tan j 0，所以0 OPOQ 6.。
2019-2020学年度高三(上)理科数学期中考试试卷+解析答案+评分标准
2019—2020学年度上期高2020届高三半期考试数学试卷(理科)考试时间：120 分钟满分：150 分一. 选择题(本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合{}2log (1)A x y x ==-，{}2B y y x ==，则AB =()A. (0,2]B. (1,2)C.D. (1,2]2. 已知i 为虚数单位，若复数(13)i z i +=-,则z =()A . 1B . 2:D 3. 若a >b ，则下列不等式恒成立的是()A.22ab> B.ln()0a b -> C.1133a b > D.a b >4. 已知点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D (3,4)，则向量CD 在AB 方向上的投影为()A.2B. C.2-D.-5. 成都七中星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课 上课的时间为7： 55〜8： 35,课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8： 55〜9： 35 之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为( )A.15 B.14 C.13 D.126. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则{}n a 是等差数列〃是“n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列〃的() A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件7. 已知.，2πϕ<，()f x 是偶函数，直线2y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则( )A.()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C. 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增8. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且132a ,34a ，2a 成等差数列，则20191817a a a a +=+（） A. 9 B. 6C. 3D. 19. 椭圆22:193x y C +=与双曲线2222:1(0,0)x y Q m n m n-=>>焦点相同，当这两条曲线的 离心率之积为1时，双曲线Q 的渐近线斜率是（ ）A. 2±C.12± D.2± 10. 已知函数，()g x 为一次函数，若对，有，当[1,1]x ∈时，函数(2()log 2()f x x g x =+的最大值与最小值之和是（）A. 10B. 8C. 7D. 611.在中，点P 满足3BP PC =,过点P 的直线与,AB AC 所在的直线分别交于点M N ，,若AM AB λ=,(0,0)AN AC μλμ=>>,则λμ+的最小值为（）1+ B.12+ C.32D.5212.函数()f x =是定义在R 上的函数，且满足3(2)()2f x f x +=，当[1,1)x ∈时，2()1f x x =-+，则方程29()log 08f x x -=在（0,5］的根的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“2000,21x R x x ∃∈->”的否定是____________________________________14.2019年20月2日，我国在天安门广场举行盛大的建国70周年阅兵典礼.能被邀请到现场观礼是无比的荣耀.假设如图，在坡度为 15.的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30,且第一排和最后一排的距离为则旗杆的高度为米.15.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面α与正方体每条棱所成的角均相等，则 平面截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大值为 ______________ . 16.已知函数32()3f x x x bx c =-++有极值,且导函数'()f x 的极值点是()fx 的零点，给岀命题:①1c >-;②若0c >，则存在00x <，使得0()f x ;③()f x 与'()f x 所有极值之和一定小于0 ;④若1 0c -<<,且y kx =是曲线:()(0)C y f x x =<的一条切线，则k 的取值范围是27,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭则以上命题正确序号是 _____________ .三. 解答题（本大题共7 小题，17-21题各 12分，22或 23题 10分. 解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤）17. 己知函数2())4sin 26f x x x π=-+-（1）用“五点作图法”作岀()f x 在一个周期内的图像；（2）在ABC ∆中，若函数()f x 在角A 处取得最大值，且BC =，求ABC ∆周长的最大值。
四川省成都市第七中学2020届高三数学上学期入学考试试题理含解析
四川省成都市第七中学2020届高三数学上学期入学考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合{}1M x x =<，{}20N x x x =-<，则（ ） A. {}1MN x x =<B. {}0MN x x =>C. M N ⊆D. N M ⊆【答案】D 【解析】 【分析】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<，据此结合交集、并集、子集的定义考查所给的选项是否正确即可.【详解】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<， 则：{}|01MN x x =<<，选项A 错误；{}|1M N x x ⋃=<，选项B 错误； N M ⊆，选项C 错误，选项D 正确；故选D .【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若ai i+为实数，则a 值为 （） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解可得答案. 【详解】解：()21a aii i a i i i+=+=-为实数， 10a ∴-=，即1a =．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A. 15 B. 16C. 18D. 21【答案】C 【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果. 详解：设第一个人分到的橘子个数为1a ， 由题意得515453602S a ⨯=+⨯=，解得16a =， 则51(51)361218a a =+-⨯=+=，故选C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，1,,,,n n a d n a S 这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可. 4.函数()()2xx f x xee -=-的大致图象为( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】利用函数的奇偶性排除,B D ，利用函数的单调性排除C ，从而可得结果． 【详解】()()2x x f x x e e -=-，()()()()22()x x x x f x x e e x e e f x --∴-=--=--=-，()f x ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除,B D ，2y x =在()0,+∞上是增函数且0y >， x x y e e -=-在()0,+∞上是增函数且0y >，所以()()2xx f x xee -=-在()0,+∞是增函数，排除C ，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5.5(2x +的展开式中，4x 的系数是( )A. 40B. 60C. 80D. 100【答案】C 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项，然后令x 的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出结果．【详解】5(2x +二项展开式的通项为5552155(2)2k k kkk kk T C x C x---+=⋅⋅=⋅⋅．令542k-=，得2k =． 因此，二项展开式中4x 的系数为235280C ⋅=，故选C ．【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为A. 16k ≥B. 8k <C. 16k <D. 8k ≥【答案】A 【解析】【详解】运行程序： S=0,k=1; S=1,k=2; S=3,k=4; S=7,k=8;S=15,k=16,此时退出循环，所以16k ≥，故选A.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.7.已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A. 10 B. 9C. 8D. 5【答案】D 【解析】【详解】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0, 即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形,所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15, 即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=-135(舍去),故选D.8.曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为（ ） A.152B.154C.154ln 24- D.158ln 22- 【答案】D 【解析】 【分析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果. 【详解】作出曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形如下：由45y x y x⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得：1x =或4x =， 所以曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为 ()421441115S 5542084458ln21222x dx x x lnx ln x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=----=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.9.已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为( ) A. 2- B. 2C. e -D. e【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导数，设出切点(),m n ，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m ，从而可得结果．【详解】函数()ln f x x x =的导数为()'ln 1f x x =+， 设切点为(),m n ，则n mlnm =， 可得切线的斜率为1ln k m =+， 所以ln 1ln n e m m em m m+++==， 解得m e =，1ln 2k e =+=，故选B ．【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.10.巳知将函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个単位长度后.得到函数()g x 的图象.若()g x 是偶函数.则3f π⎛⎫⎪⎝⎭=( ) A .12B.2C.2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先由题意写出()()sin 23g x x ϕ=+，根据()g x 是偶函数求出ϕ，即可得出结果. 【详解】由题意可得：()()sin 23g x x ϕ=+， 因为()g x 是偶函数，所以()32k k Z πϕπ=+∈，即()63k k Z ππϕ=+∈， 又02πϕ<<，所以0632k πππ<+<，解得112k -<<，所以0k =，故6πϕ=； 所以1sin 23362f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型.11.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C 区域涂色不相同的概率为( )A.17B.27C.37D.47【答案】D 【解析】 【分析】利用分步计数原理求出不同涂色方案有420种，其中，,A C 区域涂色不相同的情况有120种，由此根据古典概型概率公式能求出,A C 区域涂色不相同的概率．【详解】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,,,,A B C D E,分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与,A B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域,D C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域,D C有3227+⨯=种选择，则不同的涂色方案有5437420⨯⨯⨯=种，其中，,A C区域涂色不相同的情况有：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E与,,A B C区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域,D C，若D与B颜色相同，C区域有2种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有1种颜色可选，则区域,D C有2214+⨯=种选择，不同的涂色方案有5434240⨯⨯⨯=种，,A C∴区域涂色不相同的概率为24044207p== ,故选D．【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式mPn=求得概率.12.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴时，又以B 为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C 滚动时的曲线方程为()y f x =，则下列说法不正确的是 （）A. ()0f x ≥恒成立B. ()()8f x f x =+C. ()243(23)f x x x x =-+-<≤D. ()20190f =【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的运动关系，分别求出当0x =，1，2，3，4时对应的函数值()f x ，得到()f x 具备周期性，周期为4，结合图象，当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，即可判断所求结论． 【详解】解：正方形的边长为1，∴正方形的对角线2AC =，则由正方形的滚动轨迹得到0x =时，C 位于()0,1点，即()01f =， 当1x =时，C 位于(2点，即()12f =当2x =时，C 位于()2,1点，即()21f =， 当3x =时，C 位于()3,0点，即()30f =， 当4x =时，C 位于()4,1点，即()41f =，则()()4f x f x +=，即()f x 具备周期性，周期为4，由图可得()0f x ≥恒成立；()()8f x f x +=； 当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，方程为22(2)1(23,0)x y x y -+=<≤≥；()()()20195044330f f f =⨯+==，综上可得A ，B ，D 正确；C 错误． 故选:C ．【点睛】本题主要考查函数值的计算和函数的解析式和性质，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题）13.已知等差数列{}n a ，且48a =，则数列{}n a 的前7项和7S =______ 【答案】56 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得：1742.a a a +=利用求和公式即可得出数列{}n a 的前7项和7S ． 【详解】解：由等差数列的性质可得：174216a a a +==．∴数列{}n a 的前7项和()177778562a a S +==⨯=．故答案为:56．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.若x ，y 满足约束条件202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩______．【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：22x y +的几何意义是平面区域内的点到原点的距离，由图象得O 到直线20x y ++=的距离最小， 此时最小值22d ==， 则22x y +的最小值是2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式结合数形结合是解决本题的关键．15.已知向量AB 与AC 的夹角为120︒，且32AB AC ==，，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥则实数λ的值为__________．【答案】712【解析】 ∵⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16.若过抛物线24y x =上一点()4,4P ，作两条直线PA ，PB 分别与抛物线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,若它们的斜率之和为0，则直线AB 斜率为______．【答案】12- 【解析】 【分析】根据斜率公式可得121244044y y x x --+=--,利用221212,44y y x x ==化简可得128y y +=-,再根据斜率公式可得12AB k =-. 【详解】解：依题意有121244044y y x x --+=--, 又221212,44y y x x ==, 所以1222124404444y y y y --+=--, 所以1211044y y +=++, 所以128y y +=-, 所以12122212121241244AB y y y y k y y x x y y --====--+-, 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率公式的应用，考查了计算能力．属于基础题.三、解答题（本大题共6小题）17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，又12a =．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 满足n b 2na-=，求证：数列{}n b 的前n 项和12n T <． 【答案】（1）1n a n =+（2）证明见解析 【解析】 【分析】()1直接利用等差数列前n 项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．()2利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．【详解】解：()1设{}n a 的公差为d ,因为39S =，又12a =． 所以3132392S a d ⨯=+=，解得1d =． 故()211n a n n =+-=+．()2证明：由于1n a n =+，所以11()2n n b +=，所以22111111111424()()()112222122n n n T +⎛⎫-⎪⎝⎭=++⋯+=<=-．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n 项和的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 18.如图1,在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，点F 在线段BC 上,且14BF BC =.若将,AED CFD ∆∆ 分别沿,ED FD 折起，使,A C 两点重合于点M ,如图2.图1 图2(1)求证:EF ⊥平面MED ；(2)求直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)5. 【解析】 【分析】（1）设正方形ABCD 的边长为4，由222DE EF DF +=，可得EF ED ⊥，结合MD EF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得到EF ⊥平面MED .（2）建立空间直角坐标系，过点M 作MN ED ⊥，垂足为N ，求出向量EM 和平面MFD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知,,,,,,即 由题意知，在图2中，,,平面,平面,且,平面,平面,. 又平面,平面,且,平面（2）由（1）知平面，则建立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为，在中，,,从而,,,,,.设平面的一个法向量为，则，令，则，，.设直线与平面所成角为,则,.直线与平面所成角的正弦值为..【点睛】该题考查的是有关立体几何的有关问题，一是线面垂直的判定，一定要把握好线面垂直的判定定理的条件，注意勾股定理也是证明线线垂直的好方法，二是求线面角，利用空间向量来求解，即直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，求得结果.19.2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调60,80内认定为满意，查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[)80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．()1求被调查者满意或非常满意该项目的频率；()2若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；()3已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占1，现从评分低于60分的被调查者中按年3龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ． 【答案】（1）0.78；（2）12125；（3）23. 【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==，根据独立重复试验n 次发生k 次的概率公式可得结果；（3）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中， 评分在[]60,100的频率为：()0.0280.030.0160.004100.78+++⨯=；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==， 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为15， 现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：223141255125P C ⎛⎫=⋅⋅=⎪⎝⎭；（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占13， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，()02362915036C C P C ξ⋅===()1136291811362C C P C ξ⋅====()2036293123612C C P C ξ⋅====ξ的分布列为：ξ的数学期望E ξ 15112012362123=⨯+⨯+⨯=. 20.已知椭圆2222:x y C a b+= ()10a b >>的焦点坐标分別为()11,0F -,()21,0F ,P 为椭圆C 上一点，满足1235PF PF =且123cos 5F PF ∠= (1) 求椭圆C 的标准方程:(2) 设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点，点1,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若AQ BQ =，求k 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】分析：第一问首先根据题中条件将涉及到的量设出来，之后结合椭圆的定义以及对应的线段的倍数关系，求得对应的边长，利用余弦定理借用余弦值建立边之间的等量关系式，从而求得,a c 的值，借用椭圆中,,a b c 的关系，求得b 的值，从而求得椭圆的方程，第二问将直线的方程与椭圆的方程联立，求得两根和与两根积，从而求得线段的中点，利用条件可得垂直关系，建立等量关系式，借用判别式大于零找到其所满足的不等关系，求得k 的取值范围.详解：（1）由题意设11PF r =，22PF r =则1235r r =，又122r r a +=，154r a ∴=，234r a = 在 12PF F ∆中，由余弦定理得，12cos F PF ∠=2221212122r r F F r r +- = 2225324453244a a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯35=， 解得2a =，1c =，2223b a c ∴=-=，∴所求椭圆方程为22143x y +=（2）联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2234k x ++ 284120kmx m +-=， 则12x x += 2834km k -+，212241234m x x k-=+，且()2248340k m ∆=+->…① 设AB 的中心为()00,M x y ，则1202x x x +== 2434km k -+，002334my kx m k =+=+， AQ BQ =,AB QM ∴⊥,即，QM k k ⋅= 22334141344mk k km k +⋅=---+，解得2344k m k +=-…②把②代入①得22234344k k k ⎛⎫++>- ⎪⎝⎭，整理得4216830k k +->，即()()2241430k k -+>解得11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及的知识点有椭圆的定义、余弦定理、椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相交的有关问题，要会将题中条件加以转化，再者要会找对应的不等关系.21.已知函数()xf x xe =，()232g x x x =+-． ()1求证：()()215022f xg x x x-+->对()0,x ∞∈+恒成立；()2若()()()(0)32f x F x xg x x =>-+，若120x x <<，122x x +≤，求证：()()12.F x F x >【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数()h x ，对函数()h x 进行一阶导数和二阶导数的分析，得到()h x 在()0,∞+上单调递增，则当0x >时，()()0010.h x h e >=-=命题得证．（2）先对整理后的()F x 进行一阶导数的分析，画出函数()F x 大致图象，可知()10F x >，()20.F x >然后采用先取对数然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明．【详解】证明：()1由题意，可知()()22221531511222222x x f x g x x e x x x e x x x-+-=--++-=---． 令()2112xh x e x x =---，0.x >则 ()'1x h x e x =--，()0.1x x h x e >"=-，当0x >时，()10xh x e "=->，()'h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()''00h x h >=，()h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()0010h x h e >=-=．故命题得证．()2由题意，()xe F x x =，0x >．()()21'x x e F x x-=，0x >．①令()'0F x =，解得1x =；②令()'0F x <，解得01x <<； ③令()'0F x >，解得1x >．()F x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，在1x =处取得极小值()1F e =．()F x 大致图象如下：根据图，可知()10F x >，()20F x >．()()()()12121122121212.x x e e lnF x lnF x ln ln x lnx x lnx x x lnx lnx x x ∴-=-=---=---120x x <<，122x x +≤， ∴根据对数平均不等式，有12121212x x x xlnx lnx -+<≤-，()()121212121110lnF x lnF x lnx lnx x x x x --∴=-<-=--．120x x -<，()()120lnF x lnF x ∴->． ()()12.F x F x ∴>故得证．【点睛】本题主要考查函数的一阶导数和二阶导数对函数单调性分析的能力，数形结合法的应用，构造函数，构造对数平均数，利用对数平均不等式的技巧，本题属偏难题．22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()sin 3cos 33ρθθ=- 21 - （1）求C 的极坐标方程；（2）若射线11π:02OM θθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求OP OQ ⋅的取值范围.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）06OP OQ <<.【解析】试题分析：（1）圆C 的参数方程消去参数φ，能求出圆C 的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C 的极坐标方程．（2）设P （ρ1，θ1），则有ρ1=cosθ1，Q （ρ2，θ1），则2ρ=，OP OQ =ρ1ρ2，结合tanθ1＞0，能求出OP OQ 的范围．试题解析：（1）圆C 的普通方程是()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=.（2）设()11,P ρθ，则有 11cos ρθ=，设()21,Q ρθ，且直线l的方程是()sin ρθθ=2ρ=所以12102OP OQ πρρθ⎫=⋅==<<⎪⎭ 因为1tan 0θ>，所以06OP OQ <<.。
四川省成都七中2020学年高三数学上学期12月月考试题 理 新人教A版
2020学年四川省成都七中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1．（5分）（2020•陕西）设集合M={y|y=|cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x||x﹣|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为（）A．（0，1）B．（0，1] C．[0，1）D．[0，1]考点：交集及其运算；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：通过三角函数的二倍角公式化简集合M，利用三角函数的有界性求出集合M；利用复数的模的公式化简集合N；利用集合的交集的定义求出交集．解答：解：∵M={y|y=|cos2x﹣sin2x|}={y|y=|cos2x}={y|0≤y≤1}={x|﹣1＜x＜1}∴M∩N={x|0≤x＜1}故选C点评：本题考查三角函数的二倍角公式、三角函数的有界性、复数的模的公式、集合的交集的定义．2．（5分）（2020•资阳二模）下列命题为真命题的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣3x+2≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，使得x2+x﹣1≥0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．分析：本题需要逐一判断，到满足题意的选项为止，（选择题四选一）；可以采用先熟悉后生疏的策略判定解答．解答：解：由复合命题真值表知：若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题，有可能一真一假，也可能两个都真，推不出p∧q为真命题∴选项A错误；由x=5可以得到x2﹣4x﹣5=0，但由x2﹣4x﹣5=0不一定能得到x=5，∴选项B成立；选项C错在把命题的否定写成了否命题；选项D错在没有搞清楚特称命题的否定是全称命题．故选B．点评：本题涉及到四个命题，真值表，充要条件，命题的否定，分析中逐一判断，到满足题意的选项为止，（选择题四选一），先熟悉后生疏，提供解题策略；解答中分析的比较清晰．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．30°或105°C．60°D．60°或120°考点：解三角形．专题：计算题．分析：由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，由a大于b，根据大边对大角，得到A大于B，由B的度数及三角形内角可得出角A的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．解答：解：由a=，b=，B=45°，根据正弦定理=得：sinA===，由a=＞b=，得到A∈（45°，180°），则角A=60°或120°．故选D点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有正弦定理，以及特殊角的三角函数值，学生做题时注意角度的范围及三角形内角和定理这个隐含条件．4．（5分）在等比数列{a n}中，S n为前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q 为（）A．2B．3C．4D．5考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件得出2S5﹣2S4=a6﹣3﹣（a5﹣3）=a6﹣a5=2a5，得出3a5=a6，然后根据两项的关系得出3a5=a5q，答案可得．解答：解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，即2S4=a5﹣3，2S5=a6﹣3∴2S5﹣2S4=a6﹣3﹣（a5﹣3）=a6﹣a5=2a5即3a5=a6∴3a5=a5q解得q=3，故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是利用S5﹣S4=a5得出a5、a6的关系，属中档题．5．（5分）（2020•山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7B．9C．10 D．15考点：系统抽样方法．专题：计算题．分析：由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求解答：解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故选C．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．6．（5分）（2020•四川）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：分析法．分析：先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换．解答：解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x﹣）．故选C．点评：本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．7．（5分）已知函数f（x）=g（x+1）﹣2x为定义在R上的奇函数，则g（0）+g（1）+g（2）=（）A．1B．C．D．3考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：据函数f（x）是定义在R上的奇函数，运用函数奇偶性的定义得到f（﹣x）=﹣f（x），特别地，当x=0时，得到f（0）=0．然后结合f（x）=g（x+1）﹣2x得g（1）=1．再分别令x=﹣1和x=1，从而得到g（0）+g（2）=，最后求出g（0）+g（1）+g（2）的值．解答：解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x），特别地，当x=0时，得到f（0）=0．由f（x）=g（x+1）﹣2x取x=0，所以f（0）=g（1）﹣1，所以g（0）=1．再分别令x=﹣1和x=1，得：f（﹣1）=g（0）﹣2﹣1，f（1）=g（2）﹣2，两式相加得f（﹣1）+f（1）=g（0）﹣2﹣1+g（2）﹣2，且f（﹣1）+f（1）=0，∴f（0）+g（2）=，所以g（0）+g（1）+g（2）=1+=．故选C．点评：本题考查了函数的奇偶性，体现了数学转化思想，考查了学生的抽象思维能力，此题是中档题．8．（5分）已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值2考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：先设 =， =， =t，然后用和表示出，再由 =+将 =、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．解答：解：设 ===t则 =﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t +=+•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t] +t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故选B．点评：本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习．9．（5分）（2020•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3B．4C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．解答：解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．10．（5分）命题P“方程有解”是命题Q“方程x2﹣2x+a=0无实根”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要考点：充要条件．专题：计算题．分析：由指数和对数的关系可化简方程，分离a，由基本不等式可得a≥1，再由△＜0可得a＞1，由集合的包含关系可得答案．解答：解：方程可化为=a﹣2x，整理可得a=≥2=1，当且仅当，即x=﹣1时取等号，故可得a≥1；而方程x2﹣2x+a=0无实根可得△=（﹣2）2﹣4a＜0，解得a＞1，又因为集合{a|a≥1}真包含{a|a＞1}，所以P是Q的必要不充分条件故选B点评：本题考查充要条件的判断，涉及基本不等式和一元二次方程根的情况，属基础题．11．（5分）已知实系数一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x1、x2，并且0＜x1＜2，x2＞2，则的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣）D．（﹣3，）考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，结合对应二次函数性质得到然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合即可得到结论．解答：解：由程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，故函数f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，则即，其对应的平面区域如下图阴影示：则表示阴影区域上一点与M（1，0）连线的斜率由题意可得A（﹣3，2）由图可知∈（﹣3，﹣）故选C点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，线性规划，其中由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，结合二次函数性质得到解答本题的关键．12．（5分）（2020•成都一模）把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n}，若a n=2020，则n=（）A．1026 B．1027 C．1028 D．1029考点：进行简单的合情推理；归纳推理．专题：压轴题；探究型．分析：根据题意，分析图乙，可得其第k行有k个数，则前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列；进而由442＜2020＜452，可得2020出现在第45行，又由第45行第一个数为442+1=1937，由等差数列的性质，可得该行第37个数为2020，由前44行的数字数目，相加可得答案．解答：解：分析图乙，可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442=1936，452=2025，则442＜2020＜452，则2020出现在第45行，第45行第一个数为442+1=1937，这行中第=37个数为2020，前44行共有=990个数，则2020为第990+37=1027个数；故选B．点评：本题考查归纳推理的运用，关键在于分析乙图，发现每一行的数递增规律与各行之间数字数目的变化规律．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确的答案填在横线上.）13．（4分）一个凸多面体的三视图如图所示，则这个凸多面体的体积是．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由凸多面体的三视图知：凸多面体是四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AD=2，AD∥BC，由此能求出这个凸多面体的体积．解答：解：由凸多面体的三视图知：凸多面体是四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AD=2，AD∥BC，∴，这个凸多面体的体积V===．故答案为：．点评：本题考查利用三视图求四棱锥的体积，是基础题．解题时要认真审题，解题的关键是利用三视图得到几何体．14．（4分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是n≤9或n＜10 ．考点：程序框图．专题：计算题．分析：通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．解答：解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构判断框内为满足循环的条件第1次循环，s=1+1=2 n=1+1=2第2次循环，s=2+2=4 n=2+1=3••当执行第10项时，n=11n的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值故答案为：n≤9或n＜10点评：本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．15．（4分）已知cos（）=，α∈（0，），则= ．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由α∈（0，）及cos（）可求sin（），进而利用诱导公式及二倍角正弦公式可求cos2=2sin （）cos（），而==cos（），代入所求式子即可求解解答：解：∵α∈（0，）∴α∈（0，）∴sin（），＞0∵cos（）=∴sin（）=∴cos2=2sin（）cos（）====cos（）=∴==故答案为：点评：本题主要考查了三角函数的诱导公式及二倍角公式的综合应用，解题的关键是公式的灵活应用16．（4分）设函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，下列五个命题：①对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则m＜e；②存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，则m＜e2﹣ln2；③对于任意x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，则m＜e﹣ln2；④对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则m＜e．⑤存在x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则m＜e2．其中正确命题的序号为①②③④⑤．（将你认为正确的命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：对于①函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，设F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数研究其单调性，从而得出对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则F（x）＞0恒成立，即F（1）＞0，即可求出m的取值范围；对于②③④⑤，可结合图象法，将原问题转化为函数的最大或最小值问题进行解决即可．解答：解：函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，∴f（x）﹣g（x）=e x﹣（lnx+m），设F（x）=e x﹣（lnx+m），则F′（x）=e x﹣，当x∈[1，2]时，F′（x）＞0，故F（x）在x∈[1，2]上是增函数，①对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则F（x）＞0恒成立，即F（1）＞0，e﹣（ln+m）＞0，∴m＜e，故正确；②存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，则f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，∴e2＞ln2+m，则m＜e2﹣ln2．故正确；③对于任意x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，则f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，∴e＞ln2+m，则m＜e﹣ln2；故正确；④对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，∴e＞ln1+m，则m＜e；故正确；⑤存在x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，∴e2＞ln1+m，则m＜e2；故正确；故答案为：①②③④⑤．点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17．（12分）（2020•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x ﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x =sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得f（x）=sin（2x+）是关键，属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PA上，且PE=2EA．（1）求证：PC∥平面EBD；（2）求二面角A﹣BE﹣D的正弦值的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：（1）连接AC，BD，交点为G．由△CBG∽△ADG，且CB=2AD．知CG=2AG，在三角形PCA 中，PE=2AE，CG=2AG．故EG‖PC．由此能够证明PC‖平面EBD．（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．则，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，由，知，故=（1，1，﹣2），由向量法能够求出二面角A﹣BE﹣D的正弦值．解答：解：（1）连接AC，BD，交点为G．∵AD∥BC，∴△CBG∽△ADG，且CB=2AD．∴CG=2AG，在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG．∴EG‖PC．∵EG在平面EBD内，∴PC‖平面EBD．（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，∴A（3，0，0，0），D（3，﹣3，0），B（0，0，0），E（2，1，0），∴，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，∵，∴，令x=1，得=（1，1，﹣2），设二面角A﹣BE﹣D的平面角是θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．∴二面角A﹣BE﹣D的正弦值sinθ==．点评：本题考查直线与平面平行的证明和求二面角的正弦值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的灵活运用．19．（12分）设m是常数，集合（1）证明：当m∈M时，f（x）对所有的实数x都有意义；（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值；（3）求证：对每个m∈M，函数f（x）的最小值都不于1．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）化简函数的解析式为，m＞1时，恒成立，故f（x）的定义域为R．（2）设，由于y=log3U是增函数，故当U最小f（x）最小，再由U的最小值为，求得f（x）的最小值．（3）根据m∈M时，，从而证得函数f（x）的最小值都不小于1．解答：解：（1），当m∈M，即 m＞1时，恒成立，故f（x）的定义域为R．（2）设，∵y=log3U是增函数，∴当U最小时f（x）最小．而，显然当x=2m时，U的最小值为，此时．（3）m∈M时，，当且仅当m﹣1=1时，即m=2时，等号成立，所以，即函数f（x）的最小值都不小于1．点评：本题主要考查基本不等式在最值问题中的应用，对数函数的图象性质的应用，属于中档题．20．（12分）（2020•福建）数列{a n}的前N项和为S n，a1=1，a n+1=2S n（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项a n；（II）求数列{na n}的前n项和T．考点：数列的求和；数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用递推公式a n+1=2S n把已知转化为a n+1与a n之间的关系，从而确定数列a n的通项；（II）由（I）可知数列a n从第二项开始的等比数列，设b n=n则数列b n为等差数列，所以对数列n•a n的求和应用乘“公比”错位相减．解答：解：（I）∵a n+1=2S n，，∴S n+1﹣S n=2S n，∴=3．又∵S1=a1=1，∴数列{S n}是首项为1、公比为3的等比数列，S n=3n﹣1（n∈N*）．∴当n≥2时，a n﹣2S n﹣1=2•3n﹣2（n≥2），∴a n=（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，当n=1时，T1=1；当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n﹣2，①3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n﹣1，②①﹣②得：﹣2Tn=﹣2+4+2（31+32+…+3n﹣2）﹣2n•3n﹣1=2+2•=﹣1+（1﹣2n）•3n﹣1∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n≥2）．又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n∈N*）点评：本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．21．（12分）（2020•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0（不考虑另一根）．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（14分）已知函数在[0，+∞）上单调递增，数列{a n}满足，，（n∈N*）．（Ⅰ）求实数a的取值范围以及a取得最小值时f（x）的最小值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．考点：数列与不等式的综合；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立，分离参数，可得a≥在[0，+∞）上恒成立，求出最值，即可得到结论；（Ⅱ）先证明{}是常数数列，再证明{a n﹣1}是首项为﹣，公比为的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立，令x=，则，可得＜ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n ﹣2），叠加即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立∴a≥在[0，+∞）上恒成立∵x∈[0，+∞），∴∈（0，1]∴a≥1当a=1时，f（x）min=f（0）=0；（Ⅱ）解：∵，∴=∴{}是常数数列∵，，∴∴=∴∴∴{a n﹣1}是首项为﹣，公比为的等比数列∴a n﹣1=（﹣）•∴a n=1﹣；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立令x=，则∴＜ln（+1）=ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n﹣2）∴++…+＜[ln（32﹣2）﹣ln（31﹣2）]+[ln（33﹣2）﹣ln（32﹣2）]+…+ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n﹣2）=ln（3n+1﹣2）∴点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学卷
四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．对于样本相关系数，下列说法正确的是（）A．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性B．样本相关系数可以是正的，也可以是负的C．样本相关系数越大，成对样本数据的线型相关程度越强D．样本相关系数[]rÎ-1,116．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上（含9.50m ）的同学将得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望()E X ．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ^平面 ,,2ABC AC BC AC BC ^==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱 1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．C【分析】求出()1n x +展开式中含2x 的系数为2C n ，再利用组合数的计算性质11C C C m m mn n n -++=求和即可.【详解】解：()1n x +Q 展开式中第1r +项为：1C r r r n Tx+=，()()()342111n x x x +\++++×××++中含有2x 项的系数为：22222322234334C C C C C C C 1n n +++++=++++-L L 232244C C C 1n +=+++-L L 33C 1n +=-.故选：C.5．D【分析】根据导函数()f x ¢满足当2x ¹时,(2)()0x f x ¢->,可得()f x 在(,2)-¥上递减,在(2,)+¥上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)a f a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R "Î都有()(4)f x f x =-,所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <,所以()f x 在(,2)-¥上递减,在(2,)+¥上递增,所以2x =时,函数取得最小值,．C【分析】先由外心性质和1C O ^面ABC 结合三角形全11CBC CAC V ,均为正三角形；接着取1CC 中点E 得BEA Ð从而得π3BEA Ð=，进而求出12CC =，于是可求出S1121225ö-´=÷ø分类讨论与极值点分析：对于不同的区间，通过分析单调性和极值点来确定函数的表现，从而得出函数的取值范围. 这种分类讨论确保了结论的全面性和准确性.利用洛必达法则求极限：在证明极值时，利用洛必达法则简化极限计算，是一个重要的方法，可以确保计算的简洁和准确.。
成都七中2022-2023高三上半学期理数试题答案
成都七中 2022～2023 学年度（上）半期考试高三数学试题参考答案及评分意见(理科)一、选择题:(每小题5分,共60分)CABC BADA DCDB二、填空题:(每小题5分,共20分)13、∀x ∈N ,2x ≥x 2；14、)23,(-∞；15、31；16、0.4(2分);0.256(3分).三、解答题:(共70分)17、解:（1）若选择条件①,则由已知得22211+⋅=⋅++n n n n a a .(2分)所以}2{n n a ⋅是首项为2,公差为2的等差数列,故n a n n 22=⋅.(4分)于是{a n }的通项公式为12-=n n na ,n ∈N *.(5分)或解：若选择条件①,则由已知得n n n n n a a 2)1(211-++=+,于是2(212111-+-=+-n n n n n a n a .(2分)又02101=-a ,所以}2{1--n n n a 为常数数列{0}.(4分)于是021=--n n n a ,故{a n }的通项公式为12-=n n n a ,n ∈N *.(5分)若选择条件②,则由已知得n an a n n ⋅=++2111.(2分)所以}{n a n 是首项为1,公比为21的等比数列,故121-=n n n a .(4分)于是{a n }的通项公式为12-=n n n a ,n ∈N *.(5分)或解：若选择条件②,则由已知得n n a a nn 1211+⋅=+.(2分)于是11112211211221121-----=⋅⋅⋅--⋅-⋅=⋅⋅⋅⋅=n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a .(4分)于是{a n }的通项公式为12-=n n n a ,n ∈N *.(5分)(注:如果选择两个条件作答,则以第一个计分;若两个条件同时使用,则不计分)（2）因为12210221232221--+-++++=n n n nn S ,所以n n n nn S 221232*********+-++++=- .(6分)两式错位相减,得nn n n S 221212*********-++++=- (7分)n n n n n 2222211211+-=---=.(9分)又3=b ,所以a 2-c 2=3.(2分)解得a =2,c =1.故椭圆C 的方程为13422=+y x .(3分)椭圆C 的离心率e =21.(4分)（2）当直线l 垂直于y 轴时,直线AM ,AN 的斜率乘积为正,与已知矛盾.(5分)故可设l 的方程为x =ty +m (m ≠-2),代入3x 2+4y 2=12,并整理得(3t 2+4)y 2+6mty +3(m 2-4)=0.(6分)设M (ty 1+m ,y 1),N (ty 2+m ,y 2),则436221+-=+t mt y y ,43)4(32221+-=t m y y .(※)(7分)因为A (-2,0),由21-=⋅AN AM k k ,得21)2)(2(2121-=++++m ty m ty y y .整理得(t 2+2)y 1y 2+(m +2)t (y 1+y 2)+(m +2)2=0.(8分)将(*)式代入,得3(m 2-4)(t 2+2)-6m (m +2)t 2+(m +2)2(3t 2+4)=0.因为m ≠-2,化简得3(m -2)(t 2+2)-6mt 2+(m +2)(3t 2+4)=0.(9分)化简得3(m -2)+2(m +2)2=0,解得52=m (此时Δ>0恒成立),所以直线l 经过定点P )0,52(.(10分)又因为PH ⊥FH ,所以H 的轨迹是以PF 为直径的圆(除去点F ).(11分)故点H 的轨迹方程为)1(1009107(22≠=+-x y x .(12分)(说明:未注明除去点F 和x ≠1,整体只扣1分)21、解：（1）求导,得x k x f x cos e )(-='.(1分)①当k ≤1时,因为π(0,)2x ∈,于是k cos x ≤cos x <1,所以()1cos 0f x k x '>->.(2分)此时f (x )在区间π(0,2内单调递增,故f (x )在区间π(0,)2内无极值点.(3分)②当k >1时,易知()f x '在区间π(0,2内单调递增.(4分)又(0)10f k '=-<,π2π(e 02f '=>,所以存在唯一的π(0,2α∈,使得()0f α'=.(5分)综上可知,所求实数k 的取值范围是(1,+∞).(6分)或解：求导,得x kx f x cos e )(-='.(1分)由0)(='x f ,得x xk e cos 1=(显然k ≠0).(2分)设函数)2π0(e cos )(<<=x x x k x ,则0e )cos (sin )(<+-='x x x x k .(3分)所以k (x )在区间π(0,)2内单调递减.(4分)又k (0)=1,π()02k =,故101k <<.(5分)于是所求实数k 的取值范围是(1,+∞).(6分)（2）由（1）知,当0<x <α时,()0f x '<;当π2x α<<时,()0f x '>.(7分)又当ππ2x ≤<时,()0f x '>恒成立,所以f (x )在区间(0,α)内单调递减,在区间(α,π)内单调递增.(8分)故当0<x ≤α时,f (x )<f (0)=1恒成立.又f (π)=e π>1,所以在区间(0,π)内存在唯一的β,使得f (β)=1,且β∈(α,π).(9分)由()0f α'=,得cos e k αα=,所以2(2)e 2sin cos e (e 2sin )f k ααααααα=-=-.(10分)设函数π()e e 2sin (02g ααααα-=--<<,则()e +e 2cos 22cos 0g ααααα-'=->->.所以g (α)在区间π(0,)2内单调递增,故g (α)>g (0)=0,即e 2sin e ααα-->,于是f (2α)>1.(11分)又f (β)=1,所以f (2α)>f (β).因为f (x )在区间(α,π)内单调递增,且2α,β∈(α,π),所以2α>β.(12分)22、解：（1）由(x 2+y 2)2=2(x 2-y 2)得ρ4=2(ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ).(1分)于是ρ2=2(cos 2θ-sin 2θ),所以C 的极坐标方程为ρ2=2cos2θ.(2分)由直线l 的参数方程可知,l 经过坐标原点O ,且倾斜角为)4π0(<<αα,(3分)所以l 的极坐标方程为)4π0,R (<<∈=αραθ.(4分)（2）易知曲线C 关于点O 对称,所以四边形AMBN 为平行四边形.(5分)又α2cos 2,2==OM OA ,其中)4π,0(∈α.(6分)所以□AMBN 的面积ααα2cos sin 4sin 24⋅=⋅==∆OM OA S S OAM .(7分)于是)sin 21(sin 22222αα-⋅=S ≤22)sin 21(sin 22222=-+⋅αα.(9分)故四边形AMBN 的最大面积为2(当且仅当21sin =α即6π=α时取得).(10分)23、解：（1）当x <-1时,原不等式化为-(x +1)+4≥-(3x -1),得x >-1,此时无解;(1分)当-1≤x ≤31时,原不等式化为(x +1)+4≥-(3x -1),得x ≥-1,故-1≤x ≤31;(2分)当x >31时,原不等式化为(x +1)+4≥3x -1,得x ≤3,故31<x ≤3;(3分)所以原不等式的解集M ={x |-1≤x ≤3}.(4分)(5分)(7分)(9分)（2）因为 a ,b ∈M ,所以|a -1|≤2,|b -1|≤2.所以|ab -a -b |=|(a -1)(b -1)-1|≤|(a -1)(b -1)|+1=|a -1|·|b -1|+1≤2×2+1=5.故|ab -a -b |的最大值为2(当且仅当a =3,b =-1,或a =-1,b =3时取得).(10分)。
成都七中高三上学期半期理数
一、单项选择题1．已知集合{}2A x x =， (){}10B x x x =-，那么A B ⋂=（ ） A. {}1x x B. {}2x x C. {2x x 或0}x < D. ∅2．命题“2m =-”是命题“直线2240x my m +-+=与直线220mx y m +-+=平行”的（ ） A. 充要条件 B. 充分没必要要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也没必要要条件3．设{n a }为等差数列，公差2d =-， n S 为其前n 项和，假设1011S S =，那么1a =（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 244．如图，设 ,A B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸选定一点 C ，测出AC 的距离为 50米，045ACB ∠=， 0105CAB ∠=，那么 ,A B 两点的距离为（ ）A. B. 50米 C. 25米D.2米 5．假设等比数列{}n a 的前5项的乘积为1， 68a =，那么数列{}n a 的公比为（ ） A. 2- B. 2 C. 2± D.126．设 0.213121log 3,,23a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，那么（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 7．曲线22y x x =-+与x 轴围成的一个封锁图形的面积为（ ） A. 1 B.43C. D. 28．假设某多面体的三视图(单位：cm)如下图，那么此多面体的体积是（ ）A.312cm B. 323cm C. 356cm D. 378cm 9．把函数22sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像向左平移(0)φφ>个单位就取得了一个奇函数的图象，那么φ的最小值是（ ） A.512π B. 6π C. 12π D. 3π10．函数2sin ,,22y x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ） A.B.C. D.11．已知12,F F 别离是双曲线的左、右核心，点2F 关于渐近线的对称点P 恰好落在以1F 为圆心、1OF 为半径的圆上，那么双曲线的离心率为（ ）A. 3B.C. 2D. 12．已知()()xx f x x R e=∈，假设关于x 的方程()()210f x mf x m -+-=恰好有 4 个不相等的实数解，那么实数m 的取值范围为（ ）A. ()1,22,e e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为 3 的点到其核心的距离为 4，那么p =________. 14．已知平面向量()21,3a m =+与()2,b m =是共线向量且0a b ⋅<，那么b =_________.15．刘徽（约公元 225 年—295 年）是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的古代数学遗产. 《九章算术·商功》中有如此一段话：“斜解立方，得两壍堵. 斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.” 刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.” 其实那个地址所谓的“鳖臑（biē nào ）”，确实是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥. 如图，在三棱锥A BCD -中， AB 垂直于平面BCD ， AC 垂直于CD ，且 1AB BC CD ===，那么三棱锥A BCD -的外接球的球面面积为__________.16．已知ω是正数，且函数 ()sin f x x x ωω=在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上无极值，那么ω的取值范围是__________.三、解答题17．已知数列{}n a 知足11a =， 121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和， *n N ∈. （1）求n a ；（2）假设数列{}n b 知足()()3311log 3log n n n b a a =++， {}n b 的前n 项和为n T ，且对任意的正整数n 都有n T m <，求m 的最小值.18．设ABC ∆三个内角 ,,A B C 的对边别离为,,a b c ， ABC ∆的面积S知足222a b c =+-. （1）求角C 的值；（2）求sin cos B A -的取值范围.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形， 090ACB ∠=，侧棱12AA =，点,,D E F别离为棱11,,CC A B AB 的中点， ABD ∆的重心为G ，直线EG 垂直于平面ABD .（1）求证：直线//CF 平面1A BD ； （2）求二面角1A BD C --的余弦.20．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右核心别离为 12,F F且离心率为2， ,,Q A B 为椭圆C 上三个点， 12QF F ∆的周长为)41，线段AB 的垂直平分线通过点()1,0P -.（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段AB 长度的最大值. 21．已知函数()()1ln 1,1x f x ax a R x -=+∈+. （1）假设()f x 在1x =时取到极值，求a 的值及()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）假设()ln2f x ≥在0x ≥时恒成立，求a 的取值范围.22．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，直线l 上两点,M N的极坐标别离为()2,0,2π⎫⎪⎪⎝⎭.圆C的参数方程为22{ 2x cos y sin θθ=+= (θ为参数).（1）设P 为线段MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程；（2）判定直线l 与圆C 的位置关系.23．已知函数()1,f x m x m R =--∈，且()()220f x f x ++-≥的解集为[]2,4-.（1）求m 的值；（2）假设,,a b c 为正数，且11123m a b c++=，求证233a b c ++≥.参考答案 1．D【解析】集合B=(){}10x x x - {}=|01x x << ，则A B ⋂是空集，因为二者没有公共元素。
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⎝⎭⎪⎛⎫π40,f x )(⎝⎭ ⎪⎛⎫ππ88,3f x )(π2f x )(=yf x )(<ϕπ2ω>0=++ωϕωϕf x x x sin +cos )()()(⎩⎭⎨⎬⎧⎫n S n a n }{S n n a n }{21314151-AB CD ---A B C D (1,1),(1,2),(2,1),(3,4)>a b ||||>a b 1313a b ->ln()0<22a b >a b =z ||+=-i z i 13)(i (1,2]+∞(1,)(1,2)(0,2]=AB ==B y y x {|}2==-A x y x {|log (1)}2成都七中2019—2020学年度上期高2020届高三半期考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（ ） A. B. C.D. 2．已知为虚数单位，若复数,则（ ）A ．1B ．2CD 3.若,则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 4．已知点，则向量在方向上的投影为（ ） A B ． C ．D ． 5．成都七中星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：55～8：35，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：55～9：35之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 6．已知数列的前项和为，则“是等差数列”是“是等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.已知，，，是偶函数，直线的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减AED EM BC M EAD ⊥ECD EC AE AF ,AB AD ,====AB AE AF AD 3,4∆Rt FAD ∆Rt EAB ABCD ∆ABC BCA f x )(∆ABC f x )(=-+-πf x x x 6())4sin 22⎝⎭⎪--⎛⎫4,2.27k ：=<C y f x x 0)()(=y kx -<c 1<00'f x )(f x )(=f x 00)(<x 00>c 0>-c 1;f x )('f x )(=++-f x x x bx c 332)(αα-ABCD A B C D 111115.在棱长为1的正方体中，平面与正方体每条棱所成的角均相等,则平面截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大值为____________.16.已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点，给出命题:① ②若,则存在,使得;③与 所有极值之和一定小于;④若，且是曲线的一条切线，则的取值范围是 则以上命题正确序号是____________.三. 解答题（本大题共7小题，17-21题各12分，22或23题10分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数.（1）用“五点作图法”作出在一个周期内的图像；（2）在中，若函数在角处取得最大值，且 求周长的最大值.18.如图①，是由矩形,和组成的一个平面图形，其中.将其沿折起使得重合，连结如图②. （1）证明：平面平面；（2）若为线段中点，求直线与平面所成角的正切值.图① 图②l +=k k 212k k ,12OA OB ,∆ABC =-y x 2l A B ,F l ，-M 1(=>C y px p :2(0)2++++=-a bc d a c b d K n ad bc ()22)()()()(19．2019年电商“双十一”大战即将开始.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对成都地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：（年龄单位：岁） （1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用网上购物”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考数据：参考公式：20.已知抛物线过点，直线经过抛物线的焦点与抛物线交于两点.（1）若直线的方程为，求的面积；（2）若直线的斜率为，且,求直线的方程.l l C l C xOy -<f x m 2)(>m 1m ∀∈x R +≥f x x m +2)(∈m R =+++f x x x m 21)(⋅AM BM A B ,απ3=α，12)(M +=x y 416122a ===f x f x f x g x 1230)()()()(=x i i 1,2,3)(-ππ2,2][∈-ππx 2,20][a f x )(e a ∈-ππx 2,2][=+g x ax 61)(=e f x x x sin +1)(21.已知函数， ，，其中为实数，为自然对数的底数. （1）求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使得对任意给定的，在区间上总存在三个不同的,使得成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分. 请考生用2B 铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的方程为 ，直线恒过定点，倾斜角为. （1）求曲线和直线的参数方程；（2）当时，若直线交椭圆于两点，求的值． 23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数，.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求不等式的解集.∠===ME MEN MN tan 中∴∆MEN ==EN ∆EAN =AE 3∴===AN MN CD 2, 3.AD N MN CD //BC M ∠MEN AED EM ⊥MN EN ,∴面平⊥MN AED 面平⊥CD AED MN CD //EN N AD M 面平面平∴⊥ECD AED 面平⊂CD ECD 面平∴⊥CD AED ⋂=AB AE A ⊥CD AB ,∴⊥AE CD 面平⊥AE ABCD ⊥⊥AE AD AE AB ,∆ABC =AB AC ∴∴≤AB AC ++-⋅-⋅≥AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC 4=+3+12222)()(=+-⋅AB AC AB AC 322∴=BC =+-⋅⋅πBC AB AC AB AC 32cos222∴=πA 3=+∈Z ππx k k 3,f x )(-=+∈Z πππx k k 6222,⎝⎭ ⎪=-⎛⎫πx 6sin 2-x x 22=sin 2cos 21⎭⎪⎪=+⋅+⋅--⎫f x x x x 22()cos 2sin 24211cos 22∀∈-≤x R x x ,212成都七中2019—2020学年度上期高三数学期中考试参考答案（理科）一．选择题CDCBBCBAADAB二．填空题13. 14.30 16.①②③④ 三．解答题17.解：（1） ………….2分 ………….6分 （2）当时，取得最大值，此时..由余弦定理可知： ，又,， 由基本不等式 当,即为正三角形时，周长的最大值为 ………….12分18. (1) 证明：由翻折前后的不变关系可知， ,则. .又.又 , . ………….6分(2)解：过作的垂线，垂足为,连接.由,, 可知, 且直线和平面所成的角为.由为中点，,则为中点.又,在中，， .-<<πππe a 2120112⎩⎪-+<⎪⎨⎪⎪+>⎧πππa e a 621,162112⎣⎦⎢⎥∈+-+⎡⎤ππg x a a 662,211)(<a 0<<-πππe a 1220112⎩⎪+<⎪⎨⎪⎪-+>⎧πππa e a 621,162112⎣⎦⎢⎥∈-++⎡⎤ππg x a a 662,211)(>a 0⎝⎭⎪=∈⎛⎫πe g x 6,1112)(=a 0a =+∈-ππg x ax x 6,2,21][)(-==ππππe f e f 2,2.122)()(=f 01,)(⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-==⎛⎫⎛⎫ππf f 2203∈-ππx 2,2][f x )(⎝⎭ ⎪⎛⎫π20,3⎝⎭ ⎪--⎛⎫ππ22,⎝⎭ ⎪⎛⎫ππ2,23⎝⎭ ⎪-⎛⎫π2,0f x )(∴<<πx 203=k 1-<<-ππx 22=k 0∴-<<-∈Z ππππk x k k 2222,⎝⎭ ⎪+<⎛⎫πx 42sin 3--<x x cos sin 10<f x 0')(<<ππx 223=k 1-<<πx 20=k 0∴-<<∈Z πππk x k k 222,⎝⎭ ⎪+>⎛⎫πx 42sin 3-->x x cos sin 10>f x 0')(==∈----+ππe e f x x x x e x x e x x x x,2,2cos sin 1cos sin 12'][)()()(+-=x y 240l ∴∴=-k 2--+kk k k k 4=22==244822⎝⎭⋅ ⎪∴+=+=+=-+-⎛⎫--+x x x x x x x x k k k k k k y y k x k x k x x 2=2222221212121212121212)()()( ,. 直线的方程为. ………….12分21.解：（1）.………….2分 当，即时，. .当时，；当时，. 当，即时，. .当时，；当时，. 函数的单调递增区间为与，单调递减区间为与.…….6分 （2）由（1）可知，函数在有两个极小值，. 存在一个极大值另外 大致作出函数图像可知： 对于函数.假设存在满足题意的实数. 当时，，满足题意. ………….7分 当时，. 由题意 ，解得.………….9分 当时，.由题意 ，解得.……….11分<<-+x x m m 33{|}131>m 1≤<+m x m 331<x m 33+1-+-<x x m m 212≥x m <<x m 21-+-<x m x m 212<<x m 21<≤-x m 3211>-x m 31-+-<x m x m 122≤x 21>m 1-+-<x x m m 212-+-<x m x m 122或≤-≥m m 2213-≥m 211+++≥x x m 211+++≥x x m 2122⋅⋅=AM BM t t 7=3212=-t t 73212∆>0++-=t t 448072(数参为，⎩⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎧y t x t 221)(l απ3=数参为，⎩=+⎨⎧=+ααy t t x t 2sin 1cos )(l 数参为，⎩=⎨⎧=θθθy x 4sin 2cos )(22.解：（1）曲线C 的参数方程是，………….2分 直线的参数方程是.………….2分 （2）当时，直线的参数方程为,将其代入椭圆方程： 化简得，由题意知恒成立，， 由参数的几何意义得 .………….10分 23.解：(1)恒成立，即 ， 由几何意义可知， ，可得.………….5分 （2）不等式为，即，①当时，不等式为，解得，所以； ②当时，不等式为，恒成立，所以； ③当时，不等式为，解得，所以； 综上所述，当时，原不等式的解集为．………….10分。