03—《河内塔游戏探秘》

附件3：小课题封面格式
序号
2014年温州市小学数学小课题评比
学校：温州市瓯海实验小学南瓯校区
成员姓名：陈奥
小课题题目：河内塔游戏探秘
指导教师：季迅群
河内塔游戏探秘
一、提出问题
曾经在数学书上有个叫“河内塔问题”数学游戏。

它就是由三个杆子，分别是1号杆，2号杆和3号杆，1号杆上有三颗珠子，是从小到大排列的。

这个问题引起了我的兴趣，于是，我对河内塔游戏产生了浓厚的兴趣，去查找了资料，了解到：它源自古印度神庙中的一段故事。

传说在古老的印度一座庙宇中放置了一块上面插有三根长木钉的木板，在其中的一根木钉上，从上至下被放置了64片直径由小至大的圆环形金属片。

古印度教的天神指示他的僧侣们将64片的金属片移至三根木钉中的其中一根上。

规定在每次的移动中，只能搬移一片金属片，并且在过程中必须保持金属片由上至下是直径由小至大的次序，直到有一天，僧侣们能将64片的金属片依规则从指定的木钉上全部移动至另一根木钉上，那么，世界末日即随之来到，世间的一切终将被毁灭。

二、展开探索
1.探索(一)三颗珠子三根杆子的游戏
三颗珠子的移动挺简单的，但要注意的是：为了做到移动次数最少，第一次移动必须把最小的珠子移动到最后一个柱子。

如果移动到第2个柱子上，虽然最后也能完成任务，但是就达不到“移动次数最少”的要求。

详细移动过程如下：
第一次移动第二次移动第三次移动
第四次移动第五次移动第六次移动第七次移动
2.探索(二) 四颗珠子三根杆子的游戏
四颗珠子能不能移呢？我尝试了几次，最下面的一颗珠子好像没有办法拿出来。

但后来灵机一动：如果把上面三颗珠子先用刚才的方法移到其他柱子上。

不就可以拿起最下面的一颗珠子了嘛！经过尝试，我发现：三颗珠子先用刚才的方法移到第2号柱子上步骤是最少的。

一共需要15次。

步骤具体如下：
第一次移动第二次移动第三次移动
第四次移动第五次移动第六次移动第七次移动
第八次移动第九次移动第十次移动第十一次移动
第十二次移动第十三次移动第十四次移动第十五次移动
移动中，我发现：在这十五次里，有七次是上面的三颗珠子移到2号杆上，有一次是把最大的珠子移到3号杆上，剩下的七次是把2号杆上的三颗珠子移到3号杆上的最大珠子上面。

可是为什么上面的三颗珠子要移到2号杆上呢？因为最大的珠子要移到3号杆上，上面的三颗珠子再移到上面，才能成功。

3.探索(三) 五颗珠子三根杆子的游戏
五颗珠子的移动可以根据4颗珠子的移动思路，也能顺利移动成功。

同样分三步走,第一步：先把最上面的4颗珠子移动到第2根柱子；第二步：把珠子5移到第3根柱子；第三步再把最上面的4颗珠子移动到第3根柱子，一共31次移动。

4.探索（四）无数颗珠子三根杆子的游戏
有了上面的猜想，我想，依此类推，更多的珠子是否都能移动成功呢，我经常尝试，发现都是可以的。

我还发现一个小规律：珠子的个数分奇数和偶数。

若第1根柱子的珠子数是1、3、5、7、9、11 等奇数时，第1 步就先把最上面的珠子放到第3根柱子；若第1根柱子的珠子数是2、4、6、8、10等偶数时，第1 步就先把最上面的珠子放到第2根柱子。

5.研究的结论：河内塔问题的移动规律
在河内塔问题的解决过程中，我发现了最少移动次数的规律：移动次数都是上次移动次数的2倍再加1。

我为发现这个规律洋洋得意。

拿给老师看时，老师提示我：“如果前一次不知道怎么办呢？”
于是，我对最少移动次数进行研究，发现最少移动次数都与2和珠子数有关。

当最少移动次数为a,珠子数为n时,a就等于n个2相乘再减1，即a=2n-1。

借助下面的表格，可以很清晰的看到规律的推导过程。

三、进一步探索
1. 4根柱子的探索
如果不是在3根柱子上移动而是4根柱子，是不是也有规律呢？于是，我在4根柱子的河内塔模型上进行操作。

我摆到3颗珠子时，我发现原来3根柱子中的规律在这里已经不适用了。

而且还发现：随着珠子数增多，刚才“依次加2”的规律无情地发生了变化。

关键的数字出来了：1，3，5，9，13，17，25，33，41，49……，这些数字中到底包含着什么奥秘呢？很自然的，我的脑子里浮现出平时做过的找规律的题目。

OK！找到了：规律还是存在于这些数字的差中，只不过这些数字的差随着珠子数的增多而出现有节奏的变化。

先相差2次2，也就是3-1=2，5-3=2；再相差3次4，也就是9-5=4，
13-9=4，17-13=4；后相差4次8，也就是25-17=8，33-25=8，41-33=8，49-41=8；接下来就是相差5次16，6次32，……。

如下图所示，
……谜团一个一个解开，但数学是无止境的，老的谜团解开了，新的谜团又要来临，我相信只要努力，再大的谜团也会被化解，多动脑，迎接你的新谜团吧！
四、研究体会
通过这次对河内塔问题的探索，，结合了手和脑，勤动手，勤动脑，让自己的思维变得更加活跃，我还感受到：复杂问题的研究可从简单的情况入手，把简单的问题真正搞明白了，复杂的问题就可以转化为简单的问题来解决。

数学真是奇妙，真是神奇呀！好似一片漆黑的数学花园，非常神秘，让人摸不着头脑，却又格外美丽、芳香。

数学，这个奇怪而又美丽的家伙！。