高数期中考试B卷
同济大学2021-2022学年第一学期高等数学B期中考试试题及参考答案
同济大学课程考核试卷（期中试卷）2021—2022学年第一学期课号：122004课名；高等数学B （上）考试考查：考试此卷选为：期中考试（√）、期终考试（），重修（）试卷专业_______________学号____________姓名__________任课教师_________________一、填空与选择题（每小题3分，共24分）1．函数()(1)cos sin f x x x x =−−在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值是_________． 2．极限011lim ln(1)x x x →⎡⎤+=⎢⎥−⎣⎦_________． 3．若0x →时，2(1cos )arcsin x x −是比ln(1)n x x +高阶的无穷小，()ln 1n x x +是比21x e −高阶的无穷小，则正整数n =_______．4．设()y y x =是由方程2()ln()y x x y x y +=−−所确定的隐函数，则该函数的微分dy =________．5．函数2()e x f x =的带有佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式是________． 6．设()f x 在2x =处连续且满足0(2)3lim 52sin x f x x→−−=，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为________．7．设数列{}n a ，{}n b 对任意的正整数n 满足1n n n a b a +≤≤，则（A ）数列{}n a ，{}n b 均收敛，且lim lim n n n n a b →∞→∞=； （B ）数列{}n a ，{}n b 均发散，且lim lim n n n n a b →∞→∞==+∞； （C ）数列{}n a ，{}n b 具有相同的敛散性；（D ）数列{}n a ，{}n b 具有不同的敛散性；8．设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x 内可导，则“极限0lim ()x x f x →'存在”是“()f x 在0x 处可导”的（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件二、计算下列各题（每小题7分，共35分）1．求极限30sin sin(sin )limx x x x→−．2．设()2()ln 23f x x x =+−，求()(2)n f ．3．证明：当02x y π<<<时，tan tan y y x x >．4．溶液自深18cm 顶直径12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形简中，开始时漏斗中盛满了溶液．已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速率为1cm/min ，问此时圆柱形简中溶液表面上升的速率为多少？5．求曲线()2ln 1y x =+的拐点以及凹凸区间． 三、（本题12分）设23310x t t y ty ⎧=−⎪⎨++=⎪⎩确定函数()y f x =，求220d d t y x =．四、（本题12分）讨论方程40x ax b ++=的实根个数，其中a ，b 是常数．五、（本题10分）设00x >，()11212n n n x x x −−+=+，1,2,3,n =，证明{}n x 极限存在并求此极限值．六、（本题7分）设函数()f x 在[]0,2021上连续，在(0,2021)内可导且()0f x '≠，(0)0f =，(2021)2f =．证明：在开区间(0,2021)内存在两个不同的点ξ和η，使得[][]()()()()2021()1f f f f f ηξξξξη'+'=''−．参考答案一、1.sin1−2.123.ln()3ln()x y dx x y −+−4.()2334()12203f x x x x x =++++ 5.1023y x =−+ 6.C 7.A二、 1.162.1()1()(1)!(2)(1)(1)!5n n n n n n f n −−−=−−+3.构造函数tan ()x f x x =，证明其在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增即可 4.16 c m /min 155.拐点(1,ln 2)和(1,ln 2)−，凹区间(1,1)−；凸区间(,1)−∞−和(1,)+∞三、2四、二个（()f x 极小值小于0）、一个（()f x 极小值等于0）、或无（()f x 极小值大于0）五、证明{}n x 单调递减且有下界n x >六、（1）连续性：存在0x 使得0()1f x =（2）构造函数0()()()g x x x f x =−，对其在区间()00,x 使用罗尔定理（3）函数()f x 在()0,2021x 使用拉格朗日定理。
08-09-3高等数学B试卷期中参考答案
08- 09- 3 高数 B（期中）试卷参照答案 09. 4. 17一．填空题（此题共 5 小题，每题 4 分，满分 20 分）1．设向量，则在上的投影；2．曲线在平面上的投影曲线为；3．设是由方程所确立的隐函数，此中可微，则全微分；4．级数的收敛域是；5．设，而，此中，则．二．单项选择题（此题共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）6．函数在点处[C](A 连续且偏导数存在(B连续但偏导数不存在(C 不连续但偏导数存在(D不连续且偏导数不存在7．已知级数条件收敛，则级数[ D ]（ A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）可能收敛可能发散8．以下广义积分中收敛的是[ C ]（A）（B）（C）（D）9．直线与[B]（A）平行（ B）垂直但不订交（C）垂直订交（D）异面且不垂直三 . 计算以下各题 ( 此题共 5 小题，每题 8 分，满分 40 分10．向来线过点且与直线订交，又平行于平面，求此直线方程 .解设所求直线方程为，由该直线与直线共面，得由该直线与平面平行，得，解得，，代入所求直线方程，得. 11．求两条直线与之间的距离. 解，，12．设，求.解，13．试求过直线，且与曲面相切的平面方程.解设过直线的平面方程为（* ）设切点为，则由（2），（ 3）解得，，代入（ 1）得，解得，进而两切平面方程分别为14．将和在。
上展成余弦级数.解，，，，四（ 15）（此题满分8 分）设, 拥有二阶连续偏导数，且,，，求，，. 解对的等号两头对于求导，得，（ 1）对的等号两头对于求导，得，（ 2）对（ 1）式的等号两头对于求导，得，（ 3）从（ 2），（ 3）及条件解得，，五（ 16）（此题满分8 分）求幂级数的和函数，并指明收敛域. 解，收敛域为记幂级数的和函数为，，，六（ 17）（此题满分8 分）设，证明级数收敛 .证易知是正数列，且，因此单一递加，故，进而，于是，，，而级数收敛，由比较鉴别法得悉收敛.。
10-11-2高数1(B)期中考试试卷参考答案
3、设积分区域 D 是 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ，则 ∫∫ dxdy =
D
（A） π
（B）3 π
（C）4 π
（D）15 π
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4、设 z = z ( x, y ) 由 x 3 + y 3 + z 3 + xyz − 6 = 0 所确定的函数，则 （A）
1 5
2 0
∂z ∂x
系
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3、求旋转抛物面 z = x 2 + y 2 − 1 在点 (2,1, 4) 的切平面及法线方程
解： F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − z − 1, 则有 Fx = 2 x, Fy = 2 y, Fz = −1; 设 Fx (2,1, 4) = 4, Fy (2,1, 4) = 2, Fz (2,1, 4) = −1LLLLLLLLLLL 2分 所求切平面方程为 4( x − 2) + 2( y − 1) − ( z − 4) = 0 即 4 x + 2 y − z = 6LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 4分 所求法线方程为 x − 2 y −1 z − 4 = = LLLLLLLLLLLLLL 6分 4 2 −1
(1, 2 , −1)
=
（B）
x2 0
11 5
（C） −
1 5
（D） −
11 5
5、二次积分 ∫ dx ∫ （A） ∫ dy ∫
0 4 2 y
f ( x, y )dy 的另一种积分次序是 （B） ∫ dy ∫
0 4 y 0 y 2
f ( x, y )dx
f ( x, y )dx f ( x, y )dx
厦门理工学院高数1(B)期中考试试卷参考答案(1)
1 y 1 ( x 1) 2 cos t t sin t 1 sin t t cos t
． ．
．
7. 设参数方程为
x t (1 sin t ) dy ，则 dx y t cos t
2 ln x 3
8. 若 y x 2 ln x , 则 y =
系
相应地函数增量 y 的线性主部为 0.2，则 f (1) A．0.1 B．0.5 C．-1 D. 1
( D )
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得分 阅卷人
三、计算题（每题 5 分，共 25 分） ， 请把答案写在问题的 下面。
1. 求极限 lim(
x 1
1 3 ) 1 x 1 x3
解： lim
sin 2 1 x
信 级 班级 生
专业
1 sin 2 1 2 2 e x sin …………… x x
装
考
…7 分
系
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4. 试求由方程 2 y x ( x y) ln( x y ) 所确定的函数 y y ( x) 的微分 dy 解： 2 y 1 (1 y) ln( x y ) ( x y )
f (0) b f (0 ) lim (e x 1) 2. …………
x 0
……6 分 …7 分
…………… 综上：当a 1, b 2时，f ( x)在x 0处可导。
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2．求极限 lim
x 0
1 tan x 1 sin x etan x esin x
则dy
…7 分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得分 阅卷人
上海交通大学期中考试高数试卷b类
2011级第一学期《高等数学》期中考试试卷 (B 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知数列{}n a 单调，下列结论正确的是 【 】（A ）n a n e ∞→lim 存在； （B ）211lim nn a +→∞存在； （C ）lim tan n n a →∞存在； （D ）211lim nn a -∞→存在。
2. 当+→0x 时，下列无穷小量中，与x 同阶的无穷小是 【 】（A ）11-+x ； （B ）()x x -+1ln ；（C ）()1sin cos -x ； （D ）1-x x 。
3. 设()x xe x f -=，则()()=x f n 【 】 （A ）()()x nxe n -+-11； （B ）()()x n xe n ---11； （C ）()()x n e n x -+-1； （D ）()()x ne n x ---1。
4. 若032<-b a ，则方程023=+++c bx ax x 的实根数为 【 】（A ）3个； （B ）2个； （C ）1个； （D ）0个。
5. 设()x f y =在()δ,0x U 内连续，在()δ,0x U o 内可导，以下是三个断语：（1）若()00≥x f ，则存在01>δ，使得()10,δx U x ∈∀，都有()0≥x f ；（2）若()0'x f 存在，则()x f '在0x x =连续；（3）()x f '在()δ,0x U o 内无第一类间断点。
上述三个断语中，正确的个数是 【 】（A ）0个； （B ）1个； （C ）2个； （D ）3个。
二、填空题（每小题3分，共15分）6. 已知数列{}n a 通项3412++=n n a n ，n S 为{}n a 的前n 项部分和（ ,3,2,1=n ），则∞→nn S lim7. 函数633223-+--+=x x x x x y 8. 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12x x f y ，()()21arctan 'x x f -=，则==0|x dy ___________。
07-08-3高等数学B期中考试试卷参考答案.
线
07-08-3高数B期中试卷参考答案08.4.11
一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分
1. 级数（常数） [ A ]
(A绝对收敛 (B条件收敛 (C发散 (D敛散性与的取值有关
2.下列反常积分发散的是 [ C ]
(A (B(C (D
3.已知直线与，则与 [ B ] (A相交 (B异面 (C平行但不重合 (D重合
4.设函数，，
，其中，
，则 [ B ]
(A (B(C(D
二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分
5.若垂直于，且，则与的夹角为；
6. 曲线绕轴旋转一周所成的曲面方程是；
7.曲线在面上的投影曲线方程是；
8.设幂级数在处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为；
9.幂级数的收敛域为.
三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分
10．求过点且与直线及直线都平行的平面方程.
解，平面方程为，
即
11．求过点，与平面平行，且与直线
相交的直线方程.
解设所求直线与直线的交点为，，
，于是
，得，交点为，所求直线方程为
12．将函数展开为的幂级数，并求收敛域.
解
，
13.求幂级数的和函数，并指明收敛域.
解令，
，
四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量，准线为的柱面方程.
解设是准线上一点，则，则，
，代入准线方程即得所求的柱面方程
五（15）。
（本题满分9分）判断级数的敛散性.
解，而收敛，由比较判别法得知级数收敛
六（16）.（本题满分10分）将函数展开成正弦级数，并求级数的和.
解由题设知，，，
，
取，得，即。
2021年高三上学期期中数学试卷(b卷)含解析
2021年高三上学期期中数学试卷（b卷）含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={a，b，c，d，e，f}，集合A={a，b，e}，B={b，d，f}，则（∁A）∪B为（）UA．{a，e} B．{c} C．{d，f} D．{b，c，d，f}2．已知p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，q：∃x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q3．已知a，b∈R，条件p：“a＞b＞0”，条件q：“2a＞2b+1”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=，若f（f（0））=3a，则实数a等于（）A．4 B．2 C．D．5．函数f（x）=+lg（x+2）的定义域为（）A．（﹣2，3）B．（﹣2，3] C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，3]6．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2|x|7．函数的零点所在的区间是（）A．B．（1，2）C．（2，e）D．（e，3）8．已知函数f（x）=x﹣ln|x|，则f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．9．若tanα=3，则sin2α=（）A．B．﹣C．﹣D．10．将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知函数f（x）=2cos（ωx+）的最小正周期是π，则f（）= ．12．设函数f（x）对任意实数x满足f（x）=﹣f（x+2），且当0≤x≤2时，f （x）=x（x﹣2），则f（﹣xx）= ．13．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，实数a的取值范围是．14．已知α，β∈（，π），sin（α+β）=﹣，sin（β﹣）=，则cos（α+）= ．15．下列几个命题：①方程x2+（a﹣3）x+a=0若有一个正实根和一个负实根，则a＜0；②函数y=+是偶函数也是奇函数；③函数f（x）的值域是[﹣2，2]，则函数f（x+1）的值域为[﹣3，1]；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值可能是1．其中错误的有．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知p：﹣x2﹣2x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若“￢p”是“￢q”的充分条件，求实数m的取值范围．17．已知函数f（x）=cosxsin（x﹣）+cos2x+，x∈R．（1）求f（x）单调递增区间；（2）求f（x）在[﹣，]上的最大值和最小值．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已2cosC（acosB+bcosA）=c．（1）求角C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．设函数f（x）=2x+2ax+b且f（﹣1）=，f（0）=2．（1）求a，b的值；判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）若关于x的方程mf（x）=2﹣x在[﹣1，1]上有解，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（1）若a=﹣1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若a≠0 求函数f（x）的单调区间．21．已知函数f（x）=（x+k）e x（k∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）求f（x）在x∈[0，3]上的最小值．（3）设g（x）=f（x）+f'（x），若对∀k∈[﹣，﹣]及∀x∈[0，2]有g（x）≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．xx学年山东省菏泽市高三（上）期中数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={a，b，c，d，e，f}，集合A={a，b，e}，B={b，d，f}，则（∁A）∪B为（）UA．{a，e} B．{c} C．{d，f} D．{b，c，d，f}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与并集的定义进行计算即可．【解答】解：全集U={a，b，c，d，e，f}，集合A={a，b，e}，B={b，d，f}，A={c，d，f}；所以∁UA）∪B={b，c，d，f}．所以（∁U故选：D．2．已知p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，q：∃x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出其复合命题的真假即可．【解答】解：关于p：∀x∈R，x2﹣x+1=+＞0，成立，故命题p是真命题，关于q：∃x∈（0，+∞），sinx＞1，∵∀x∈（0，+∞），sinx≤1，故命题q是假命题，故p∨￢q是真命题，故选：C．3．已知a，b∈R，条件p：“a＞b＞0”，条件q：“2a＞2b+1”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及指数函数的性质判断即可．【解答】解：由条件p：“a＞b＞0”，再根据函数y=2x是增函数，可得 2a＞2b，故条件q：“2a＞2b+1”不一定成立，故充分性不成立．但由条件q：“2a＞2b+1”成立，能推出2a＞2b，得：a＞b，条件p：“a＞b＞0”不成立，例如由 22＞20+1 成立，不能推出0＞0，故必要性不成立．故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D．4．已知函数f（x）=，若f（f（0））=3a，则实数a等于（）A．4 B．2 C．D．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（0）=20+1=2，f（f（0））=f（2）=22+2a=3a，由此能求出实数a．【解答】解：∵函数f（x）=，f（f（0））=3a，∴f（0）=20+1=2，f（f（0））=f（2）=22+2a=3a，解得a=4．∴实数a等于4．故选：A．5．函数f（x）=+lg（x+2）的定义域为（）A．（﹣2，3）B．（﹣2，3] C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，3]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣2＜x≤3，故选：B．6．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】在A中，y=2x3是奇函数，在（0，+∞）上单调递增；在B中，y=|x|+1在（0，+∞）上单调递增；在C中，y=﹣x2+4偶函数，在（0，+∞）上单调递减；在D中，y=2|x|在（0，+∞）上单调递增．【解答】解：在A中，y=2x3是奇函数，在（0，+∞）上单调递增，故A错误；在B中，y=|x|+1是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，故B错误；在C中，y=﹣x2+4偶函数，在（0，+∞）上单调递减，故C正确；在D中，y=2|x|偶函数，在（0，+∞）上单调递增，故D错误．故选：C．7．函数的零点所在的区间是（）A．B．（1，2）C．（2，e）D．（e，3）【考点】函数零点的判定定理．【分析】先判断函数y是定义域上的增函数，再利用根的存在性定理，即可得出结论．【解答】解：∵函数（x＞0），∴y′=+1+＞0，∴函数y=lnx+x﹣﹣2在定义域（0，+∞）上是单调增函数；又x=2时，y=ln2+2﹣﹣2=ln2﹣＜0，x=e时，y=lne+e﹣﹣2=+e﹣﹣2＞0，因此函数的零点在（2，e）内．故选：C．8．已知函数f（x）=x﹣ln|x|，则f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】去绝对值，化为分段函数，根据导数和函数单调性关系即可求出．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x﹣lnx，∴f′（x）=1﹣=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）=x﹣ln（﹣x），∴f′（x）=1﹣＞0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故选：A．9．若tanα=3，则sin2α=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：tanα=3，则sin2α===，故选：A．10．将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=sin （2x+），由2x+=kπ，k∈z，可得对称中心的横坐标，从而得出结论．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．由2x+=kπ，k∈z，得到：x=﹣，k∈z．故所得函数图象的对称中心为（﹣，0），k∈z．令 k=1 可得一个对称中心为（﹣，0），故选：C．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知函数f（x）=2cos（ωx+）的最小正周期是π，则f（）= ﹣3或0 ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据已知最小正周期，利用周期公式求出ω的值，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵函数f（x）=2cos（ωx+）的最小正周期是π，∴ω=2或﹣2，当ω=2时，f（）=2cos（+）=﹣3；当ω=﹣2时，f（）=2cos（﹣+）=0．故答案为：﹣3或012．设函数f（x）对任意实数x满足f（x）=﹣f（x+2），且当0≤x≤2时，f （x）=x（x﹣2），则f（﹣xx）= 1 ．【考点】函数的周期性．【分析】据函数f（x）对任意实数x满足f（x）=﹣f（x+2），得出函数的周期性，再进行转化求解即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=﹣f（x+2），∴f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期函数，周期为4．∴f（﹣xx）=f（﹣504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=1，故答案为1．13．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，实数a的取值范围是（﹣∞，0] ．【考点】导数的运算．【分析】先对函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0问题，进而求出参数a的取值范围．【解答】解：y=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）上恒成立．则必有≤1且f′（1）=﹣2a≥0，∴a≤0．实数a的取值范围是（﹣∞，0]．故填：（﹣∞，0]．14．已知α，β∈（，π），sin（α+β）=﹣，sin（β﹣）=，则cos（α+）= ﹣．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知可求α+β，β﹣的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+β），cos（β﹣）的值，由cos（α+）=cos[（α+β）﹣（β﹣）]利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α，β∈（，π），α+β∈（，2π），β﹣∈（，），∴cos（α+β）==，cos（β﹣）=﹣=﹣，∵cos（α+）=cos[（α+β）﹣（β﹣）]=cos（α+β）cos（β﹣）+sin（α+β）sin（β﹣）=×（﹣）+（﹣）×=﹣．故答案为：﹣．15．下列几个命题：①方程x2+（a﹣3）x+a=0若有一个正实根和一个负实根，则a＜0；②函数y=+是偶函数也是奇函数；③函数f（x）的值域是[﹣2，2]，则函数f（x+1）的值域为[﹣3，1]；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值可能是1．其中错误的有③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由韦达定理，可判断①；根据函数奇偶性的定义，可判断②；根据左右平移变换不改变函数的值域，可判断③；分析曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数，可判断④【解答】解：①方程x2+（a﹣3）x+a=0若有一个正实根和一个负实根，则两根之积为负，即a＜0，故正确；②函数y=+=0，x∈{﹣1，1}，即是偶函数也是奇函数，故正确；③函数f（x）的值域是[﹣2，2]，则函数f（x+1）的值域也为[﹣2，2]，故错误；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值可能是2，3，4，不可能是1，故错误；故答案为：③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知p：﹣x2﹣2x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若“￢p”是“￢q”的充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）解出关于p，q的不等式，根据若p是q的充分条件，得到[﹣4，2]⊆[1﹣m，1+m]，求出m的范围即可；（2）根据q是p的充分条件，得到[1﹣m，1+m]⊆[﹣4，2]，求出m的范围即可．【解答】解：（1）p：﹣x2﹣2x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．故p：﹣4≤x≤2，q：1﹣m≤x≤1+m，若p是q的充分条件，则[﹣4，2]⊆[1﹣m，1+m]，故，解得：1≤m≤5；（2）若“￢p”是“￢q”的充分条件，即q是p的充分条件，则[1﹣m，1+m]⊆[﹣4，2]，∴，解得：0＜m≤1．17．已知函数f（x）=cosxsin（x﹣）+cos2x+，x∈R．（1）求f（x）单调递增区间；（2）求f（x）在[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）将已知函数解析式转化为正弦函数，然后求其单调递增区间；（2）根据（1）中正弦函数的自变量的取值范围来求函数的最值．【解答】解：（1）f（x）=cosxsin（x﹣）+cos2x+=cosx（sinx﹣cosx）+cos2x+=﹣cos2x+sinxcosx+cos2x+=sin2x+cos2x，=sin（2x+）．由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，解得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．（2）由x∈[﹣，]，得2x+∈[，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴﹣≤f（x）≤，因此，f（x）在[﹣，]上的最大值和最小值分别为，﹣．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已2cosC（acosB+bcosA）=c．（1）求角C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得2cosCsinC=sinC，结合范围C∈（0，π），解得cosC=，可得C的值．（2）由三角形的面积公式可求ab=3，利用余弦定理解得a+b的值，即可得解△ABC的周长．【解答】解：（1）∵2cosC（acosB+bcosA）=c．∴由正弦定理可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，可得：2cosCsin（A+B）=2cosCsinC=sinC，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴解得：cosC=，可得：C=．（2）∵c=，C=，∴由△ABC的面积为=absinC=，解得：ab=3，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：7=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=（a+b）2﹣9，解得：a+b=4，∴△ABC的周长=a+b+c=4+．19．设函数f（x）=2x+2ax+b且f（﹣1）=，f（0）=2．（1）求a，b的值；判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）若关于x的方程mf（x）=2﹣x在[﹣1，1]上有解，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）由已知中f（﹣1）=，f（0）=2，构造方程求出a，b的值，进而根据奇偶性的定义，可得结论；（2）证法一：设x1，x2是区间（0，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，作差判断f（x1），f（x2）的大小，可得结论；证法二：求导，根据x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（3）若关于x的方程mf（x）=2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m=在[﹣1，1]上有解，求出f（x）=的值域，可得答案．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=，f（0）=2．∴+2﹣a+b=，1+2b=2，解得：a=﹣1，b=0，∴f（x）=2x+2﹣x；函数的定义域为R，且f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），故函数为偶函数，（2）证法一：设x1，x2是区间（0，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，于是f（x2）﹣f（x1）=（）﹣（）=（）．因为x2＞x1＞0，所以，，，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．证法二：∵f（x）=2x+2﹣x．∴f′（x）=ln2•（2x+2﹣x）．当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（3）若关于x的方程mf（x）=2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m=在[﹣1，1]上有解，令f（x）==，则f（x）∈[，]，故m∈[，]．20．已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（1）若a=﹣1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若a≠0 求函数f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）首先对f（x）求导，求出f'（2）=7，f（2）=4；利用点斜式列出直线方程；（2）求出导函数零点，然后对参数a分类讨论判断函数的单调性即可；【解答】解：（1）若a=﹣1时，f（x）=x3﹣x2﹣x+2；则f'（x）=3x2﹣2x﹣1，故f'（2）=7，f（2）=4；切线方程：y﹣4=7（x﹣2）化简后：7x﹣y﹣10=0．（2）f'（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）；由f'（x）=0得x=﹣a或x=；①当a＞0时，由f'（x）＜0，得﹣a＜x＜，由f'（x）＞0得x＜﹣a或x＞；此时f（x）的单调减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a），（，+∞）；②当a＜0时，由f'（x）＜0得＜x＜﹣a，由f'（x）＞0得x＜或x＞﹣a．此时f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．21．已知函数f（x）=（x+k）e x（k∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）求f（x）在x∈[0，3]上的最小值．（3）设g（x）=f（x）+f'（x），若对∀k∈[﹣，﹣]及∀x∈[0，2]有g（x）≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）由f（x）=（x+k）e x，求导f′（x）=（x+k+1）e x，令f′（x）=0，求得x=﹣k﹣1，令f′（x）＜0，解得函数的单调递减区间，f′（x）＞0，解得函数的单调递增区间，根据函数的单调性即可求得f（x）的极值；（2）当﹣k﹣1≤0时，f（x）在[0，3]单调递增，f（x）的最小值为f（0）=k，当﹣k﹣1≥3时，f（x）在[0，3]单调递减，f（x）的最小值为f（3）=（3+k）e3，当0＜﹣k﹣1＜3时，则x=﹣k﹣1时，f（x）取最小值，最小值为：﹣e﹣k﹣1；（3）由g（x）=（2x+2k+1）e x，求导g′（x）=（2x+2k+1）e x，当g′（x）＜0，解得：x＜﹣k﹣，求得函数的单调递减区间，当g′（x）＞0，解得：x＞﹣k﹣，求得函数的单调递增区间，由题意可知g（x）≥λ，∀x∈[0，2]恒成立，等价于g（﹣k﹣）=﹣2≥λ，由﹣2≥λ，对∀k∈[﹣，﹣]恒成立，根据函数的单调性，即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=（x+k）e x（k∈R），求导f′（x）=（x+k）e x+e x=（x+k+1）e x，令f′（x）=0，解得：x=﹣k﹣1，当x＜﹣k﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣k﹣1时，f′（x）＞0，x（﹣∞，﹣k﹣1）﹣k﹣1（﹣k﹣1，+∞）f′（x）﹣ 0+f（x）↓﹣e﹣k﹣1↑∴f（x）的单调递增区间（﹣k﹣1，+∞），单调递减区间（﹣∞，﹣k﹣1），∴当x=﹣k﹣1，f（x）取极小值，极小值为f（﹣k﹣1）=﹣e﹣k﹣1；（2）当﹣k﹣1≤0时，即k≥﹣1时，f（x）在[0，3]单调递增，∴当k=0时，f（x）的最小值为f（0）=k，当﹣k﹣1≥3时，即k≤﹣4时，f（x）在[0，3]单调递减，∴当x=3时，f（x）的最小值为f（3）=（3+k）e3，当0＜﹣k﹣1＜3时，解得：1＜k＜4时，∴f（x）在[0，﹣k﹣1]单调递减，在[﹣k﹣1，+∞]单调递增，∴当x=﹣k﹣1时，f（x）取最小值，最小值为：﹣e﹣k﹣1；（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（x+k）e x+（x+k+1）e x=（2x+2k+1）e x，求导g′（x）=（2x+2k+1）e x+2e x=（2x+2k+3）e x，令g′（0）=0，2x+2k+3=0，x=﹣k﹣，当x＜﹣k﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣k﹣时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，﹣k﹣）单调递减，在（﹣k﹣，+∞）单调递增，故当x=﹣k﹣，g（x）取最小值，最小值为：g（﹣k﹣）=﹣2，∵k∈[﹣，﹣]，即﹣k﹣∈[0，2]，∴∀x∈[0，2]，g（x）的最小值，g（﹣k﹣）=﹣2，∴g（x）≥λ，∀x∈[0，2]恒成立，等价于g（﹣k﹣）=﹣2≥λ，由﹣2≥λ，对∀k∈[﹣，﹣]恒成立，∴λ≤（﹣2）最小值，令h（k）=﹣2，k∈[﹣，﹣]，由指数函数的性质，函数h（k）在k∈[﹣，﹣]单调递增，∴当k=﹣时，h（k）取最小值，h（﹣）=﹣2e2，∴λ≤﹣2e2．∴实数λ的取值范围（﹣∞，﹣2e2）．xx年1月3日28219 6E3B 渻21884 557C 啼28135 6DE7 淧t35448 8A78 詸4w33662 837E 荾&g29474 7322 猢31876 7C84 粄?。
数学期中测试卷(B)参考答案及解析
数学期中测试卷（B ）参考答案及解析一、选择题1.C2.A 【解析】因为函数f （x ）的反函数与函数f （x ）关于直线y =x 对称，所以反函数上的点与函数f （x ）上的点也关于直线y =x 对称，故函数f （x ）的图像恒过点（2，2）.3.D4.A 【解析】根据题意可知，⎩⎨⎧>≥-001x x ，解得0<x ≤1，即函数f （x ）的定义域为（0,1].5.B6.C【解析】将选项中的点代入解析式中可知选项C 正确.7.D【解析】f （2）=-1，f [f （2）]=-2，f {f [f （2）]}=18.B【解析】根据奇函数的性质f （-x ）=-f （x ）可知，选项B 正确.9.A 【解析】根据题意可知，a -2>0，解得a >2.10.A11.D 【解析】选项A 、B 是偶函数，但是在（0，+∞）内单调递增；选项C ，在（0，+∞）内单调递减，但不是偶函数.12.C13.A14.B15.A 【解析】根据题意可知，S 10=10a 1+45d =150，a 3+a 8=2a 1+9d =510S =30.二、填空题16.-217.（-∞，0]∪[4，+∞）【解析】根据题意可知，x -2≥2或x -2≤-2，解得x ≤0或x ≥4.18.充分条件19.2【解析】原式=（lg 2）2+(1+lg 5)lg 3+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=2lg2+2lg 5=2.20.6【解析】根据题意可知，2×2n -1=64，解得n =6.三、解答题21.【解析】根据题意可知，函数f （x ）的对称轴为x =a ，又因为函数f （x ）在[2，+∞）内单调递增，所以a ≤2.22.【解析】（1）根据题意可知，2x -1>0，解得x >21，故函数f （x ）的定义域为x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21.（2）因为f （x ）<1，所以0<2x -1<2，解得21<x <23.23.【解析】因为a 2+a 5=4，所以2a 1+5d =4，又因为a 1=31，所以d =32.a n =a 1+（n -1）d=31+32（n -1）=33，解得n =50.24.【解析】（1）根据题意可知，⎩⎨⎧=+==+=10045105211013d a S d a a ，解得a 1=1，d =2.所以a n =2n -1.（2）根据题意可知，b n =na 2，b 1=2.因为42222111====-+++d a a a a n n n n n n b b ，所以数列{b n }是首项为2，公比为4的等比数列.故S 5=6824-14-125=⨯）（.。
14-15高数B2第一次期中考试答案
1高等数学B2试题答案及评分标准一、填空题1、42、34 3、)sin cos (21x C x C e y x+=4、)2sin 2cos (x B x A e y x+= 5、xe二、选择题 1、 C 2、 B 3、 C 4、 D 5、 A三、 1、解：原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为02=-r r ，特征根为01=r 和12=r ，则齐次方程的通解为 xe C C x y 21)(+= 设非齐次方程的特解为xe bx ax x y )()(2+=*则有()xe b x b a ax x y ))2(()(2+++='*()x e b a x b a axx y )22)4(()(2++++="*代入原方程，则有21=a ，1-=b ，则原方程通解为 x x e x x e C C y )21(221-++=2、解：所求平面过点)1,2,1(-，法向量为)1,1,1(=n则平面的点法式方程为0121=++-+-z y x 即2=++z y x3、解：直线1L 和2L 的交点为)0,0,0(，方向向量分别为)3,2,1(1=s ，)2,2,1(2-=s所求平面的法向量为)4,1,10(21-=⨯=s s n则所求平面方程为0410=-+z y x4、解：原方程为可分离变量的微分方程，分离变量后为xdx dy y2112=-两端积分可得C x y +=2arcsin即)sin(2C x y +=另外，可知丢掉的解为1±=y ，不符合初值条件。
将初值条件22==x y 代入上式，可得4π=C ，则所求特解为)4sin(2π+=x y5、解：原方程为一阶线性非齐次微分方程，则通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e xe e y dx x x dxx 222cos()⎰+=C xdx e xcos 2()C x e x +=sin 2将初值条件10==x y 代入上式，可得1=C ，则原方程通解为()1sin 2+=x ey x。
07-08-2高数(A、B)期中试卷参考答案及评分标准
x共3页第1页07- 08- 2(A 、B)期中试卷参考答案及评分标准16.函数f(x) l n 2x 的单调增加区间为 1,e 2，极大值为4ejx------二.单项选择题(每题 4分，满分12分)-e 2xxsin — 2arctanx C ； 2 33 lim 1 xsinx cosxx 0sinx ln(1 x)1. 当n 时，1 k 1 n 1ak 与1 cos (a 0)是等价无穷小，则 k n n2. 已知 lim2x 1ax b 0，则 a 1 , b1 ；xx 13. 函数 f (x)1 x 带Pea no 余项的4阶Maclaurin 公式是1x1 2x 2x 1 232x 3 2x 4 o(x 4)； .填空题(每小题 4分，满分24分)3， a J 2 ；解讪 1 xsinx cosx x 0sinx ln(1 x) lim x 0 (sin x x)x x 2 1 xsinx cosx丄lim 2x0 sin x 2x4. e si n —35.当某质点沿曲线\ x 运动到点M o 处时，该质点的x 坐标和y 坐标关于时间的变化率相等，点M 0的坐标为1 1 ； 4,2，7.设对 x R ,有 h(x) f(x) g(x).lim[g(x) h(x)] 0, 则 lim f (x)xD](A)存在且等于零(B)存在且不等于零 (C)—定不存在 D)不一定存在&极限limx.4x 2 1 ln 1 1 x 2sinxB](A)2(B(C)D)9.函数f (x) x 3(A) 0三•计算题(每小题(B)sinx 的不可导点的个数为1(C)8分，满分32分)D)(4+3+1 分)共3页 第2页11.设x t3n(12t)，求d y . y t 3 t 2 dx 2解dy (3t 2)(1 t)( 3 分)d 2y.2(6t 5)(1 t)(：5分）dxdxt12. 设 f(x)x 2 x sin2x ，求 f (10)(x). 解 f (10)(x)210 x 2 x sin2x210 5(2x1)cos2x 2945sin2x (2+3+3 分)13. 试确定常数a 、b 的值，使得曲线y x 2 ax b 和2y 1 xy 3在点(1, 1)处相切，并求切线方程.解a b 2,( 2分)曲线y x 2 ax b 点(1, 1)处的切线的斜率为 k 1 a 2 ,( 1 分）曲线2y 1 xy 3点（1, 1）处的切线的斜率为说明理由）的跳跃间断点.（2 分）f(h)-(0)2x 2x 1,( 4 分)于是 f(x)在(,)h1 (2 分)从而b 1,（ 2分）切线方程为y x 2(2 分)四（14）. （ 8分）讨论f （x ） n 2lim 』n 323n x 3n(x 0）的连续性, 并指出间断点的类型（应k 21,( 1 分)由 k 1 k 2 得 a解 f (x)x n 2limn封2彳门nxlim2 nx3nx20, 0523, x 2x , x(4分)lim f(x)x 20 , lim f(x)x 24 ,( 2 分) f(x)在［0,2)和(2, ）上连续，x f(x)五（15）. （ 8分）设函数f （x ）在（ ）上定义, f (0)1 ,并对任意实数有 f(x h) f (x) f (h) 2hx ，证明 f (x)在( ）上处处可导 ,并求 f (x).解在等式f （x h ）f (x) f (h) 2hx 中令 h得 f(0)0, (2 分)f (x h) f (x) 则lim h 0h上处处可导，且 f (x)mo Hh六(16). (8 分)设P 1，q 1 ,且丄 1—1，证明：当x 0时,1 p 1x x. p q p q1 证设f(x) -x p 1 x，(1 分)则 f (x) x p 11，令f (x) 0，得唯一的驻点p qx 1，( 3 分)且f 『(1) p 1 0，x 1是f (x)唯一的极小值点，因而是最小值点。
高等数学B期中考试答案
1 ， 2 1 x
（5） y xsin x 。
sin x cos x ln x x 1 sin x 。 解： y xFra bibliotek
9、求由方程 y 1 xe y 所确定的隐函数 y 的导数。 （8 分）
y e y y 解： y e xe y ，故 y 。 y 1 xe
2 2
解： f ( x 1) ( x2 1)2 1 x 2 x 2 ；
4 2
2
4 2 x 2 x 2 1 1 f( ) 2 1 4 。 2 x 2x 1 f ( x) x 1
2
3、用数列极限的定义证明 lim(3 x 1) 5 。 （8 分）
解： y 3 sin(4 3x) ， （2） y ln( 1 x2 ) ，
2x 解： y ， 2 1 x sin x （3） y ， 1 cos x 1 解： y ， 1 cos x
x 1 （4） y arctan ， x 1
解： y
( x 1) ( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 x 1
x 1 t 2 dy 10、求参数方程 所确定函数的导数 。 （8 分） 2 dx y t t
dy 1 2t 2t 1 解： 。 dx 2t 2t
x2
证明： 0 ， / 3 ，使得若 0 | x 2 | ， 则
| (3x 1) 5 | 3| x 2 | 3 。
4、利用两边夹原理证明
1 1 1 （8 分） lim 1。 2 2 2 n n 1 n 2 n n
高等数学B期中考试答案
高数下期中B卷(1)
武汉理工大学考试试题纸（ B 卷）课程名称 高等数学A （下）期中 专业班级全校2005级工科一、单项选择题（将正确答案填写在题号前的括号内，每小题3分共60分） （ ）1、2z xy =在点（0，1）处的全微分dz =A. 1B. dxC.2dyD.dx+2dy（ ）2、曲面(,,)z F x y z =（F 有一阶连续的偏导数）上一点处的法向量可表示为 A.(,,)x y z F F F B. (,,1)x y F F - C. (,,1)x y z F F F - D. (,,1)x y z F F F - （ ）3、222z x y =+在点（1，1）处沿方向{}1,1l =- 的方向导数zl∂=∂A.0B.2 D.（ ）4、若有(1,2)2dzdx dy =-，则A.(1,2)2 (1,2)1x y z z ''==-B. (1,2)2 (1,2)1x yz z ''== C. (1,2) (1,2)x y z z ''不一定存在 D. (1,2) 1 (1,2)2x yz z ''=-= （ ）5、设221z x y =--，则(1,1)grad z=A.(―2,―2)B.(2 , 2)C.(―2,―2,1)D.(―2,―2,―1) （ ）6、设D 为：01x y ≤≤≤，则Dxd σ=⎰⎰A. 1B.12C.13D.16（ ）7、设D 为：222x y R +≤，则2Dx d σ=⎰⎰A.4R π B.42R πC.43R πD.44R π（ ）8、将二重积分1(,)ydy f x y dx -⎰交换积分秩序是：A.10(,)xdx f x y dy -⎰ B.1(,)yf x y dy -⎰C.201111(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰D.2111(,)xdx f x y dy -⎰⎰（ ）9、将二重积分222()0dx x y dy +⎰⎰化为极坐标下的二次积分A.212()d f d πθρρ⎰⎰ B.2cos 2()d f d πθθρρρ⎰⎰C.12()d f d πθρρρ⎰⎰ D.22cos 20()d f d πθθρρρ⎰⎰（ ）10、设D 为：21x y ≤≤，则()22Dxy yxd σ+=⎰⎰A.2Dxy d σ⎰⎰ B.2Dx yd σ⎰⎰C. 22Dxy d σ⎰⎰ D. 22Dx yd σ⎰⎰（ ）11、设Ω为：01,01,01x y z ≤≤≤≤≤≤，则xyzdv Ω=⎰⎰⎰A.1B.12C.14D.18（ ）12、设Ω为：2222x y z R ++≤，则()222x y zdv Ω++=⎰⎰⎰A.543R π B.545R π C. 4R π D.412R π（ ）13、已知(0,0)2x f '=，曲线(,)0z f x y y =⎧Γ⎨=⎩上在(0,0,(0,0))f 处的切向量是：A.()2,0,1-B. ()2,0,1C. ()1,0,2D. ()1,0,2-（ ）14、设(,3,2),(1,,4)a x b y ==-，若//a b ，则必有：11A.,6 B.,6 C.1,7 D.1,322x y x y x y x y =-==-=-==-=-=-（ ）15、曲面2221x y z +=+是一个A. 单叶双曲面B. 双叶双曲面C.旋转抛物面D.双曲抛物面（ ）16、空间曲线222222:2x y z Rx y Ry⎧++=⎪Γ⎨+=⎪⎩在yoz 平面上的投影曲线为： A.222x y Ry += B.222z R Ry =-C.222y z R += D.2222222()4()x R R R z x -=--（ ）17、直线14:273x y z L ++==--与平面:22x y z π--=的关系是A.平行不重合B.垂直且相交C.L 在π上D.相交但不垂直（ ）18、极限224(,)(0,0)limx y xyx y →=+A.0B.1C.12D.不存在（ ）19、(,)z f x y =在00(,)x y 连续是(,)z f x y =在00(,)x y 存在偏导数的 A. 充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件 （ ）20、函数22()x z x y =+，则z y∂=∂A.221()x x x y -+B.222()x x x y +C.2212()x yx x y -+ D.2222()ln()x x y x y ++以下为计算题和解答题写出解题过程：二、在曲面 2221z x y =+- 上的第六卦限部分内求一点，使得在该点的切平面与已知平面210x y z -++=平行；并写切平面方程。
高数B(上)期中卷
1．复合函数2arccos (31)y x =+可拆分为下列基本初等函数 ( )A ．2,arccos(31)y u u x ==+B ．2arccos ,(31)y u u x ==+C ．2,arccos ,31y u u v v x ===+D ．2,,cos(31)y u u arcv v x ===+2．当 ( ) 时， 111e x+的极限等于1A ． 0x →+B ． 0x →-C ． 0x →D ． x →∞3．当x →+∞时， 1()cos f x x x =是 ( )A ．无穷小B ．无穷大C ．有界，但不是无穷小D ．无界，但不是无穷大4．0x →时， ()ln(12)f x x =+是x 的 ( )A ．等价无穷小B ．同阶(非等价) 无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小5．函数y =+ ( )A ． [)4+∞，B ． (]5-∞，C ． []45，D ． ()-∞+∞，1．设()(1)(2)()f x x x x x n =+++ ，则(0)f '= ．2．若210()0x x f x x a x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩， ， 在(,)-∞+∞上连续，则a = ．3．若{}n u 是有界数列，则limn n u n →+∞= ． 4．曲线2221x y x=+的水平渐近线为 ．5．设cos sin 3xy x π=-，则微分d y = ．1．求极限lim3n n n a a →+∞+，其中0a >且1a ≠.2．求极限20lim2x x x→-+．3．求极限11lim (sin sin )x x x x x→∞+.4．求极限2222lim 1x x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎪+⎝⎭．5．讨论函数10()0x x g x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩， 在0x =处是否连续？如果间断属于什么类型？6．设()f x 在1x =处可导，且(1)2f '=，求极限0(12)(1)limtan 3x f x f x →+-．7．求函数ln(y x =+的导数． 8．设函数()y y x =由参数方程232223x t t y t t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩所确定，求d d y x 及22d d y x ． 9．求曲线e sin 1x y x y ++=在点(0,0)处的切线方程．证明：方程710x x ++=在区间(1,0)-内至少有一个实根．。
南京邮电大学通达学院高等数学B期中考试
南京邮电大学通达学院高等数学B期中考试一、填空（每小题2分，共20分）1.小明买了4块橡皮，每块a元，需要（）元。
当a=1.5时，需要（）元。
2.在（）里填上“小于号”、“大于号”或“等于号”。
3.78÷0.99（）3.78；2.6×1.01（）2.67.2×1.3（）7.2÷1.3；9.7÷1.2（）9.7-1.23.在（）里填上合适的数。
2.05吨=（）吨（）千克3升50毫升=（）升4.一个两位小数保留一位小数是2.3，这个两位小数最大是（），最小是（）。
5.一个数的小数点先向左移动两位，再向右移动三位后是0.123，这个数是（）。
6.一个平行四边形的底是2.6厘米，高是4厘米，面积是（），一个三角形的底是2.5厘米，面积是10平方厘米，高是（）。
7.一条裤子n元，一件上衣的价格是一条裤子的6倍，则一件上衣需要（）元，买一套服装共需（）元。
8.501班进行1分钟跳绳测试，六位学生的成绩分别是：137个、142个、136个、150个、138个、149个，这组数据的平均数是（），中位数是（）。
9.正方体的六个面分别写着1——6，每次掷出“3”的可能性是（），每次掷出双数的可能性是（）。
10.一辆汽车开100公里需要8升汽油，开1公里需要（）升汽油，1升汽油可以开（）公里。
二、判断（每小题1分，共5分）1.被除数不变，除数扩大100倍，商也扩大100倍。
（）2.a的平方就是a×2。
（）3.大于0.2而小于0.4的数只有0.3一个。
（）4.两个等底等高的三角形一定可以拼成一个平行四边形。
（）5.一组数据的中位数和平均数可能相等。
（）三、选择（每小题1分，共5分）1.2.695保留两位小数是（）。
A.2.69B.2.70C.0.702.已知0.35×170=59.5，那么3.5×1.7的积是（）A.0.595B.5.95C.59.53.在一个位置观察一个长方体，一次最多能看到它的（）。
高等数学BⅡ期中考试题参考答案
高等数学B Ⅱ期中考试题参考答案一、1.()22{,0,0,1}x y y x x x y ->≥+<； 2. 22228x y z ++=； 3. 2；4.22()1yy e dx xdy x e++； 5.21200r d e rdr πθ⋅⎰⎰ 二、1. B ； 2. A ； 3. B ； 4. A ； 5. B.三、1.【解】设平面π的一般方程为0Ax By Cz D +++=，由题意知，π过点0(1,0,1)M -，故有0A C D -+= （1） 在已知直线上选取两点12(2,1,1)(4,1,2)M M ，，将其坐标代入平面方程，得20A B C D +++= （2）420A B C D +++= （3） 由（1）（2）（3）式解得3,2,3B A C A D A ==-=-所以平面的方程为3230x y z +--=2．【解】2222222211()2x y dz d d x y dx dy x y x y x y ==⋅⋅+=++++ 3．【解】令,u x y v xy =-=，则(,)z f u v =，1u x ∂=∂，v y x ∂=∂，1u y ∂=-∂，v x y ∂=∂。
记 1z f u ∂=∂，2z f v ∂=∂，2112z f u ∂=∂，212z f u v ∂=∂∂，221z f v u ∂=∂∂，2222z f v∂=∂ 则由链式法则，有12z z u z v f yf x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ 1111112f f f u v f xf y u y v y ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+∂∂∂∂∂，2222122f f f u v f xf y u y v y ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+∂∂∂∂∂ 又f 具有二阶连续偏导数，1221f f =，故212122()()f f z z f yf f y x y y x y y y∂∂∂∂∂∂==+=++∂∂∂∂∂∂∂ 11122()f x y f xyf =-+-+4．【解】由于(,,)u f x y z =具有连续的偏导数，故可微，且x y z du f dx f dy f dz =++ （1） 又由0xy e y -=，得ln xy y =，两边求微分，得1ydx xdy dy y += 即 21y dy dx xy=- （2） 又由0z e zx -=，得ln ln z z x =+，两边求微分，得11dz dz dx z x =+ 即 (1)z dz dx x z =- （3） 将（2）（3）式代入（1）式，整理得21(1)x y z du y z f f f dx xy x z =++-- 5. 【解】令221{(,)|4}D x y x y =+≤，222{(,)|49}D x y x y =≤+≤，则12D D D =⋃，于是122222224d d (4)d d (4)d d D D D xy x y x y x y x y x y --=--++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22200(4)d r rdr πθ=-⎰⎰23202(4)d r rdr πθ+-⎰⎰ 242012(2)|4r r π=-423212(2)|4r r π+-412π= 四、【解】总收入函数： 221122121122659022R p q p q p p p p p p =+=+--- 22221211221122659022L R C p p p p p p p p p p =-=+----++（）221211226590233p p p p p p =+--- 现在求二元函数12(,)L p p 的最大值。
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2018-2019高等数学期中考试试题（第七、八章） 2018.5 A 卷
一、填空题（每小题5分，共25分）
1、微分方程 22560d y dy y dx dx
的通解是 . 2、微分方程 32329350d y d y dy y dx dx dx
的通解是 . 3、微分方程 21y x y 的通解为 .
4、微分方程 2230d y y dx
得通解是 . 5、微分方程 2221x y y x e 的待定系数法确定的特解形式（不必求出系数） 是 .
二、选择题（每小题5分，共130分）
1、函数221x c y c e （其中12,c c 是任意常数）是微分方程2220d y dy y dx dx
的 [ ] （A ）通解； （B ）特解；
（C ）不是解； （D ）是解，但不是通解，也不是特解.
2、微分方程 n
y P x y Q x y （n 为整数） [ ] （A ）当0n 或1时为伯努利方程； （B ）当0n 或1时为伯努利方程；
（C ）当0n 或1时为线性方程； （D ）为全微分方程.
3、函数 y y x 的图形上点 0,2 的切线为236x y ，且 y x 满足微分6y x 则此函数为 [ ]
（A ）32y x （B ） 232y x
（C ）333260y x x （D ）323
y x x . 4、方程 210cos3x y y y e x 的一个特解应具有形式为 [ ]
（A ） cos3sin 3x e
a x
b x ； （B ） cos 3sin 3x x ae x bxe x ； （C ） cos3sin 3x
e ax x bx x ； （D ） cos 3sin 3x x axe x be x . 5、268x x y y y e e 特解形式为 [ ]
（A ） 2x x ae be （B ） 2x x ae bxe
（C ） 2x x axe be （D ） 2x x axe bxe .
6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ ） A 2
B 4
C 3
D
7. 求点到直线L ：的距离是：（ ）
A 138
B 118
C 158
D 1
8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C ，求三角形的面积是：（ ） A
2 B 36
4 C 32
D 3
9. 求平行于轴，且过点和的平面方程是：（ ）
A 2x+3y=5=0
B x-y+1=0
C x+y+1=0
D ．
10、若非零向量a,b 满足关系式 a b a b ，则必有（ ）；
A a b =a b ；
B a b ；
C 0 a b =；
D a b =0．
11、设,a b 为非零向量，且a b , 则必有（ ） A a b a b B a b a b C a b a b D a b a b
12、已知 2,1,21,3,2 a =,b =，则Pr j b a =（ ）； A 53； B 5； C 3； D
13、直线11
z 01
y 11
x 与平面04z y x 2 的夹角为（ ）
A 6
； B 3
； C 4
； D 2
．
14、点(1,1,1)在平面02 1z y x 的投影为 （ ）
（A ）
23,0,21； （B ）1
3
,0,22
； （C ） 1,1,0 ；（D ）11,1,22
．
15、向量a 与b 的数量积 a b =（ ）. A a rj b a ； B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b ．
16、非零向量,a b 满足0 a b ，则有（ ）．
A a ∥b ;
B a b ( 为实数)；
C a b ；
D 0 a b ． )10,1,2( M 12213 z y x z )1,0,1(1M )1,1,2(2 M 01 y x
17、设a 与b 为非零向量，则0 a b 是（ ）．
A a ∥b 的充要条件；
B a ⊥b 的充要条件;
C a b 的充要条件；
D a ∥b 的必要但不充分的条件．
18、设234,5 a i j k b i j k ，则向量2 c a b 在y 轴上的分向量是（ ）．
A 7
B 7j
C –1；
D -9k
19、方程组2222491
x y z x 表示 （ ）. A 椭球面； B 1 x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面； D 空间曲线在1 x 平面上的投影.
20、方程 220x y 在空间直角坐标系下表示 （ ）.
A 坐标原点(0,0,0)；
B xoy 坐标面的原点)0,0(；
C z 轴；
D xoy 坐标面. 21、设空间直线的对称式方程为 012
x
y z 则该直线必（ ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴；
C 过原点且垂直于z 轴；
D 过原点且平行于x 轴. 22、设空间三直线的方程分别为
123321034:;:13;:2025327x t x y z x y z L L y t L x y z z t
,则必有（ ）. A 1L ∥2L ； B 1L ∥3L ； C 32L L ； D 21L L .
23、直线 34273
x y z 与平面4223x y z 的关系为 ( )． A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；
C 垂直相交；
D 相交但不垂直．
24
、已知1, a b ,且(,)4
a b , 则 a b = ( )． A 1； B
1 ； C 2； D
.
25、下列等式中正确的是( )．
A i j k ；
B i j k ；
C i i j j ；
D i i i i ．
26、曲面22x y z 在xoz 平面上的截线方程为 ( )．
A 2x z ；
B 20y z x ；
C 2200x y z ；
D 20x z y
．
三、解答题
I 微分方程部分
1.（10分）求微分方程 ln 1ln xy x y x x 的通解.
2、（10分） 求2332(64)(126)0x y y dy x xy dx 的通解.
3、（10分）求微分方程
261dy y x y dx x
的通解.
4、（10分）求微分方程 0xy y 的通解.
5、（10分）求方程 (4)20y y y 的通解.
II 空间解析几何与向量代数部分
1．分别按下列条件求平面方程
(1)平行于xoz 面且经过点 3,5,2 ；
(2)通过z 轴和点 2,1,3 ；
(3)平行于x 轴且经过两点 2,0,4 和 7,1,5。
2．确定直线
37423z y x 和平面3224 z y x 间的位置关系。
3、已知22,5,(,)3
a b a b ,问 为何值时,向量17 u a b 与3 v a b 互相垂直．
4、求两平行面362140x y z 与36270x y z 之间的距离．
5、求过点(3,2,5) 且与两平面430x z 和2510x y z 的交线平行的直线方程．
6、一平面过点(1,0,1) 且平行向量 2,1,1 a 和 1,1,0 b ，试求这平面方程．。